Geometría Analítica Módulo I. Línea recta Tema I. Plano

Geometría Analítica Módulo I. Línea recta Tema I. Plano cartesiano y trazo de segmentos

ING. J. TERESA ESCAMILLA PLATA 1

Tema 1. PLANO CARTESIANO Y TRAZO DE SEGMENTOS

Desarrollar habilidades para solucionar problemas

teóricos o prácticos que involucren la línea recta,

aplicando e integrando de manera crítica y reflexiva,

los conceptos, técnicas y procedimientos básicos de

la geometría analítica

Pro

pósito:

CONTENIDO TEMÁTICO

A continuación te presento el desarrollo del tema Plano

cartesiano. Es importante que realices cada una de las

actividades que encontrarás en ésta presentación y que

revises los materiales y las prácticas sugeridas para una

mejor comprensión del tema

.

1. Plano cartesiano y trazo de

segmentos

1.1 División de un segmento

1.2 Razón de un segmento

1.3 Punto medio

1.4 Puntos de trisección



La geometría, vista desde su generalidad,

es la rama de las matemáticas que

estudia el espacio, sus características y las figuras que en él se

encuentran.

En su origen, la Geometría se preocupó por resolver problemas

prácticos, como el cálculo de longitudes, de áreas y volúmenes.

1

2 3

1

4

6 5

7 8



1. En tu cuaderno traza un plano y ubica los siguientes puntos:

A(2,7), B(-8,3), C(0,5) y D(-7,0)

2. En un plano cartesiano traza los siguientes segmentos de recta y

ubica el punto medio de cada uno, usa colores diferentes.

a) E(3,2) F(5,-4) b) G(-2,6) H(3,5)

Plano cartesiano y trazo de segmentos

Las coordenadas son grupos de números que describen una posición:

a lo largo de una línea, en una superficie o un espacio.

La aplicación Google Maps, que inició como una serie de algoritmos que

mostraban una imagen del mapa de cierta región determinada, es ahora

la herramienta que traza cualquier ruta por donde desplazarse y ayuda

a localizar rápidamente las coordenadas de cualquier localidad, incluso,

con ella es posible observar la tierra en 360°.

La necesidad de orientarse condujo a

los seres humanos, desde la

antigüedad a confeccionar mapas (o

cartas geográficas) y a relacionar un

punto terrestre mediante números. En

el actual sistema geométrico,

cualquier lugar del mundo queda

perfectamente determinado si se

conoce su latitud “a” (distancia al

ecuador) y su longitud “b” (distancia al

meridiano de Greenwich)



El plano cartesiano, o sistema coordenado bidimensional, es un sistema de referencia que está formado por dos rectas numéricas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas (x), y el de vertical eje de las ordenadas (y); El punto donde se cortan recibe el nombre de origen. Los ejes dividen al plano en cuatro regiones, llamadas cuadrantes, designados por los números romanos I, II, III, IV y numerados en sentido contrario a las manecillas del reloj. Cada punto P del plano se le conoce como coordenada x está asociado con una pareja de números reales (x, y) de manera que a cada pareja le corresponde uno y solo un punto P del plano y viceversa. Al primer elemento “x” se le conoce como coordenada de “x”o abscisa de P y al segundo elemento “y” se le conoce como coordenada “y” u ordenada de P. El signo de la abscisa y la ordenada varía según el cuadrante en el que se encuentre el punto, como se muestra en la tabla.



Para localizar un punto en el plano

primero se recorren las unidades

correspondientes en el eje “x” hacia la

derecha si es positiva y a la izquierda

si la coordenada o abscisa es

negativa, después se recorren las

unidades en el eje “y” hacia arriba si

es positiva y hacia abajo si es negativa

la coordenada u ordenada.

En el siguiente esquema se

puede observar como colocar un

punto en el plano o como obtener

las coordenadas de un punto.



1.- En tu cuaderno traza un plano cartesiano y ubica los siguientes puntos A(2,3), B(-4,5), C(-3,-3), D(1,-2), E(6,0), F(0,5).

2.- Del siguiente esquema obtén las coordenadas de los puntos A, B, C, D, E, F, G, H, I, J y K

En conclusión:



División de un segmento Un segmento rectilíneo es la porción de una recta limitada por dos puntos A y B,

llamados extremos, y se denota como:𝐴𝐵̅̅ ̅̅

Para trazar un segmento en el plano cartesiano, se localizan las coordenadas de sus extremos y se unen con una línea recta:

Ejemplo: En el plano cartesiano bidimensional trazar los segmentos de recta cuyos extremos son:

a) A(-2,6), B(5,1) b) C(4,-3), D(-1,2) c) E(9,1), F(-7,6) d) G(-1,-2), H(-5,-4) e) I(-3,7), J(3,8)



Los siguientes puntos corresponden a los extremos de un segmento de recta. En tu cuaderno ubica los puntos y traza los segmentos de recta.

a) A(-2,6), B(5,1) b) C(4,-3), D(-1,2) c) E(9,1), F(-7,6) d) G (-1,-2), H (-5,-4) e) I (-3,7), J (3,8)

División de un segmento en una razón dada: Un punto P sobre un segmento lo divide en dos partes, en la que una de ellas puede ser mayor o igual que la otra como se observa en las siguientes figuras.

P determina los segmentos 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ 𝑦 𝑃𝐵̅̅ ̅̅



En matemáticas, se llama razón (r) a la relación entre dos cantidades de la misma especie y que puede expresarse como el cociente (división) adimensional entre dos números (denominada razón geométrica).

La razón de la división se un segmento se escribe como 𝑟 =𝐴𝑃̅̅ ̅̅

𝑃𝐵̅̅ ̅̅

Si un segmento se divide en dos partes (que pueden ser iguales o no), se tendrá un punto de división; si se divide en tres partes (que pueden ser iguales o no), se tendrán dos puntos de división; etc. Para cada uno se ellos se tendrá una razón diferente. Ejemplo: Considerando un segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ dividido en cinco partes iguales. Obtener las razones para cada punto de división. Solución: En la siguiente figura, se puede observar que si el segmento se divide en cinco partes iguales, se tendrán cuatro puntos de división. Las razones para cada punto, de acuerdo a la definición dada, serán:

𝑟𝑃1=

𝐴𝑃1̅̅ ̅̅ ̅

𝑃1𝐵̅̅ ̅̅ ̅ =

1

4 𝑟𝑃2

=𝐴𝑃2̅̅ ̅̅ ̅

𝑃1𝐵̅̅ ̅̅ ̅=

2

3 𝑟𝑃3

=𝐴𝑃3̅̅ ̅̅ ̅

𝑃1𝐵̅̅ ̅̅ ̅=

3

2 𝑟𝑃4

=𝐴𝑃4̅̅ ̅̅ ̅

𝑃1𝐵̅̅ ̅̅ ̅=

4

1



Revisa el video: https://youtu.be/tFRsne2a_HA

1.- Si el segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ se divide en siete partes iguales. Obtener las razones del segundo y quinto punto de división.

https://youtu.be/tFRsne2a_HA



Coordenadas del punto que divide a un segmento

En el sistema bidimensional, las expresiones para determinar coordenadas (x, y) de un punto P que divide a un segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ cuyas, coordenadas de sus

extremos son A (𝑥1,𝑦1) 𝑦 𝐵(𝑥2,𝑦2) en la razón 𝑟 =𝐴𝑃̅̅ ̅̅

𝑃𝐵̅̅ ̅̅ son:

En el esquema de acuerdo al teorema de Tales que dice

que si por tres rectas paralelas cortan dos rectas

secantes los segmentos que se formas en las secantes

son proporcionales por lo tanto tenemos:

𝑃1𝑃̅̅ ̅̅ ̅̅

𝑃𝑃̅̅ ̅̅ 2=

𝐴1𝐴̅̅ ̅̅ ̅̅

𝐴𝐴1 (1)

Si el 𝑃1 (𝑋1, 𝑌1), P(x, y) y 𝑃2 (𝑋2, 𝑌2) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠.



Ejemplo: Determinar las coordenadas de un punto P(x, y) que divide al

segmento cuyos extremos son A(-5,2) y B(7,-6) y en la razón 𝑟 =3

4

Solución:

A (-5,2) = {𝑥1 = −5 y 𝑦1 = 2 B (7,-6) = {𝑥2 = 7 y 𝑦2 = −6

𝑟 =3

4

Para obtener la coordenada “x”

𝑟 =3

4(7)+(−5)

1+3

4

=21

4−5

4+3

4

=21−20

47

4

=1

47

4

=1

7

𝑟 =

34

(−6) + 2

1 +34

=−

184

+ 2

4 + 34

=

−18 + 8474

=

10474

=10

7

Por lo tanto las coordenadas que dividen al segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ es 𝑃(1

7,

10

7)

Trazando la gráfica



1.- Determina las coordenadas de un punto P(x, y) que divide al

segmento cuyos extremos son A (5,-1) y B(2,5) y en la razón 𝑟 =2

3

también traza la gráfica 2.- Si los extremos de un segmento de recta son A(-3,6) y B(3,-4) y la razón al punto P(x,y) es de −2. Encontrar las coordenadas del punto y construir su gráfica. 3.- Sea A(5,3) y B(-3, 3) los extremos del segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ encuentre las

coordenadas del punto P que divide al segmento a una razón r= 1

4 y construye la

gráfica. Punto medio.

Un caso partículas del punto que divide al segmento en dos partes iguales es el punto medio el cuál se denota como 𝑃𝑚 y se encuentra a

una razón 𝑟 =1

1= 1 por lo que al sustituir r=1 en las fórmulas

anteriores tenemos:

𝑥 =1(𝑥2) + 𝑥1

1 + 1=

𝑥2 + 𝑥1

2

Por tanto para determinar las coordenadas del

punto medio de un segmento son

𝑥 =𝑥2+𝑥1

2 𝑦 =

𝑦2+𝑦1

2



En tu cuaderno calcula las coordenadas del punto medio de los siguientes segmentos y construir su gráfica en un mismo plano. Utiliza diferentes colores para diferenciarlos. a) A(-3,5) B(4,6) b)C(3,2) D(6,4) c) E(-4,-5) F(-6,2)

d) G (8,5) H(-4,7) e) I(0,5) J(4,0) Puntos de trisección. Al dividir un segmento en tres partes iguales, se obtendrán dos puntos de división, los cuales se nombran puntos de trisección 𝑇1𝑦 𝑇2 como se observa en la siguiente figura.

Ejemplo: Calcular el punto medio del

segmento 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ si las coordenadas de M y N

son: M (-3, 2) y N (9, 8) tos

Datos:

Las coordenadas del punto medio son 𝑃𝑚(3,5)



Ejemplo: Los extremos de un segmento son los puntos A(-3,3) y B(6,-6). Determinar las coordenadas de los puntos que dividen al segmento en tres partes iguales

Solución: Para las coordenadas de T1.

𝑥1 = −3 𝑥2 = 6 𝑦1 = 3 𝑦2 = −6 𝑟 =1

2

𝑥 =𝑟𝑥2 + 𝑥1

1 + 𝑟=

12

(6) + (−3)

1 +12

=

62 − 3

2 + 12

=

6 − 6232

=

0232

=0

3= 0

𝑦 =𝑟𝑦2 + 𝑦1

1 + 𝑟=

12

(−6) + (3)

1 +12

=−

62 + 3

2 + 12

=

−6 + 6232

=

0232

=0

3= 0

Las coordenadas de T1 es (0,0) que corresponde al origen del plano

En la figura también se

puede observar que las

razones de cada punto

de trisección son:

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑇1, 𝑟 =1

2

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑇2, 𝑟 =2

1= 2



Para las coordenadas de T2.

𝑥1 = −3 𝑥2 = 6 𝑦1 = 3 𝑦2 = −6 𝑟 = 2

𝑥 =𝑟𝑥2 + 𝑥1

1 + 𝑟=

2(6) + (−3)

1 + 2=

12 − 3

3=

9

3= 3

𝑦 =𝑟𝑦2 + 𝑦1

1 + 𝑟=

2(−6) + 3

1 + 2=

−12 + 3

3= −

9

3= −3

Por lo que las coordenadas del punto T2 son (3,-3) La gráfica sería como sigue:



1.- Obtener los puntos de trisección para los siguientes segmentos cuyos extremos son: a) L(5,3) M(8,-2) b) R(-4,5) S(1,0) y c) P(-1,-3) Q(2,4). Construye su gráfica. 2.-

Refuerza lo expuesto en el tema de Plano cartesiano y trazo de segmentos, en los siguientes videos.

Video: https://youtu.be/GTBN2tJkwzI

https://youtu.be/5NfpY7T2_6Q

https://youtu.be/FXZVhjNxspo

https://youtu.be/GTBN2tJkwzI

https://youtu.be/5NfpY7T2_6Q

https://youtu.be/FXZVhjNxspo

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