GEOMETRÍA 1º

I.E.P Corazn de Jess

Primer Ao III BIM

I.E.P Corazn de Jess Primer Ao IIIBIM

DEFINICIN

Se llama polgono a la figura geomtrica plana que se encuentra formada por tres o ms segmentos.

ELEMENTOS

Vrtices:......................................................

Lados

:......................................................

ngulos internos :..................................................

ngulos externos: .................................................

Diagonales : .....................................................

Permetro : .....................................................

CLASIFICACIN: Polgono convexo

...................................................................

...................................................................

...................................................................

Polgono cncavo o no convexo

...................................................................

...................................................................

...................................................................Polgono equingulo

...................................................................

...................................................................

...................................................................Polgono equiltero

...................................................................

...................................................................

...................................................................Polgono regular

...................................................................

...................................................................

...................................................................PROPIEDADES EN LOS POLGONOS CONVEXOS:

1. Suma de las medidas de los ngulos interiores.

n : nmero de lados

2. Suma de las medidas de los ngulos exteriores

Observacin: Todo polgono de n lados tendr tambin n vrtices y n ngulos interiores.

Polgonos segn el nmero de lados:

Polgono de 3 lados:

Polgono de 4 lados:

Polgono de 5 lados:

Polgono de 6 lados:

Polgono de 7 lados:

Polgono de 8 lados:

Polgono de 9 lados:

Polgono de 10 lados:





Clculo del nmero de diagonales

De un solo vrtice:

n = nmero de lados

De todos los vrtices:

n = nmero de lados

Completar el siguiente cuadro:

Nmero de ladosNombre Suma de ngulos internos (S)Nmero de diagonales (D)

6

8

10

15

20

1. Cunto suman los ngulos interiores de un polgono convexo de 18 lados?

a) 1380b) 1600c) 2120

d) 2380e) 2145

2. Si la suma de los ngulos internos de un polgono es 1800, cuntos lados tiene el polgono?

a) 8 b) 10 c) 12 d) 15e) 20

3. En qu polgono se cumple que el nmero de diagonales es numricamente igual al nmero de lados?

a) tringulo

b) cuadrado

c) pentgono

d) exgono

e) octgono

4. De cuntos lados es el polgono que tiene 170 diagonales?

a) 17b) 18c) 20

d) 19e) 21

5. Hallar x

a) 100b) 120c) 150

d) 130e) 160

6. En qu polgono al sumar el nmero de diagonales ms el nmero de lados se obtiene 21?

a) pentgono

b) heptgono

c) hexgono

d) octgono

e) nongono

7. En qu polgono se cumple que el nmero de diagonales es el triple del nmero de lados?

a) pentgono

b) heptgono

c) hexgono

d) octgono

e) nongono

8. En qu polgono se cumple que la suma de ngulos interiores es el triple de la suma de sus ngulos exteriores?

a) hexgono

b) decgono

c) cuadrado

d) octgono

e) endecgono

9. Si el nmero de diagonales es igual a 44, calcular la suma de los ngulos internos del polgono

a) 1434b) 1820c) 1620

d) 1500e) 1760

10. Si la suma de los ngulos internos de un polgono es 1080, cuntas diagonales posee?

a) 15b) 18c) 20

d) 22e) 25

11. Cuntas diagonales tiene aqul polgono en el cual la suma de sus ngulos internos es 8 veces la suma de los externos?

a) 102b) 125c) 146

d) 165e) 135

12. Cuntos lados tiene el polgono convexo en el cual el nmero de diagonales es mayor en 133 que el nmero de lados?

a) 13b) 17c) 11

d) 14e) 19

13. Cuntos vrtices tiene el polgono cuyo nmero de diagonales excede al nmero de lados en 18?

a) 4b) 5c) 7

d) 9e) absurdo

14. En qu polgono se cumple que al disminuir en 2 el nmero de lados, el nmero de diagonales disminuy en 7?

a) tringulo

b) hexgono

c) pentgono

d) decgono

e) heptgono

1) Cul es la suma de los ngulos internos de un polgono de 8 lados?

a) 1000b) 1050c) 1080

d) 1090e) 1100

2) Cuntas diagonales se pueden traza en un polgono de 15 lados?

a) 75b) 60c) 80

d) 90e) 100

3) Cul es el valor del ngulo x en el polgono mostrado?

a) 60b) 85c) 93

d) 120e) 75

4) La suma de los ngulos de un polgono convexo es igual a 8 rectos. Cul es el nombre de este polgono?

a) tringulo

b) cuadrado

c) hexgono

d) pentgono

e) N.A.

5) Si a un polgono se le trazan 119 diagonales, cuntos lados tiene dicho polgono?

a) 15b) 17c) 20

d) 21e) 23

DEFINICIN:

Son aquellos polgonos que tienen sus lados y ngulos respectivamente iguales.

Para todo polgono regular o equingulo se cumplir:

a) Media de un ngulo interior

= (n 2)

2

n : nmero de lados

Ejemplo: Hallar la medida del ngulo interior del polgono regular mostrado.

Solucin:

Como el polgono mostrado es un pentgono, entonces: n = 5

( =

= 108

b) Medida de un ngulo exterior

n : nmero de lados

Ejemplo:

Hallar la medida del ngulo exterior de un polgono regular de 12 lados.

Solucin:

Como: n = 12 (

=

= 30

Solucin para polgonos regulares se cumplir:

Medida del ngulo central

: ngulo central

n : nmero de lados

Ejemplo:

Calcular el ngulo central de un polgono regular de 20 lados.

Solucin:

Como: n = 20 (

=

= 18

1) Cunto mide cada uno de los ngulos interiores de un polgono regular de 15 lados?

a) 138b) 156c) 120

d) 118e) 145

2) Si el ngulo interno de un polgono regular es 120, cuntos lados tiene el polgono?

a) 5b) 6c) 7

d) 8e) 9

3) Cunto mide el ngulo externo de un icosgono regular?

a) 8b) 24c) 18

d) 54e) 36

4) En qu polgono regular, el ngulo interior es el triple del exterior?

a) 8b) 24c) 18

d) 54e) 36

5) Hallar ( en el siguiente polgono regular.

a) 30b) 90c) 120

d) 150e) 80

6) Cmo se llama aquel polgono regular cuyo ngulo interior es 3 veces el exterior?

a) pentgono

b) octgono

c) decgono

d) hexgono

e) heptgono

7) Al aumentar en 2 el nmero de lados de un polgono, su ngulo central disminuye en 9. Cuntos lados tiene el polgono de menos lados?

a) 3b) 6c) 5

d) 8e) 10

8) Cuntos lados tiene el polgono regular en el cual el ngulo interno mide 8 veces el externo?

a) 10b) 12c) 14

d) 16e) 18

9) El ngulo interior de un polgono regular mide el quntuplo de la medida de su ngulo exterior. Hallar el nmero de lados del polgono.

a) 6b) 8c) 10

d) 12) 14e

10) Al disminuir en 2 el nmero de lados de un polgono, su ngulo central aumenta en 6. Cuntos lados tiene el polgono inicial?

a) 10b) 11c) 12

d) 13e) 15

11) En el siguiente pentgono regular, hallar x:

a) 36b) 24c) 18

d) 15e) 32

12) Hallar el nmero de diagonales de un polgono regular en el cual su ngulo interior multiplicado por la inversa de su ngulo exterior es igual a 12.

a) 250b) 299c) 315

d) 420e) 365

13) Hallar x, si ABCD es un cuadrado y CDE es un tringulo equiltero.

a) 15b) 45c) 30

d) 60e) 90

14) Hallar x, si ABCDE es un pentgono regular y AGFE es un cuadrado.

a) 20b) 15c) 17

d) 25e) 18

1) Calcular la media del ngulo exterior de un pentgono regular.

a) 36b) 108c) 54

d) 72e) 60

2) Cul es el nmero de lados de aquel polgono regular cuyo ngulo interior es 2 veces su ngulo exterior?

a) 4b) 5c) 6

d) 7e) 8

3) Cuntas diagonales tiene aquel polgono regular en el cual se cumple que seis veces su ngulo central es igual a 2 ngulos rectos?

a) 50b) 51c) 52

d) 53e) 54

4) Si ABCDE es un pentgono regular y CDF es un tringulo equiltero, calcular el valor de x

a) 50b) 36c) 48

d) 72e) 95

5) Si a un polgono regular se le aumenta un lado, su ngulo interior aumenta en 12. Cul es el polgono?

a) cuadrado

b) pentgono

c) hexgono

d) octgono

e) heptgono

DEFINICIN

Un cuadriltero es un polgono de cuatro lados. En todo cuadriltero, los ngulos internos suman 360

(+ ( + ( + (

CLASIFICACIN GENERAL:

( > 180

CONVEXOS

NO CONVEXOS

(CNCAVOS)CLASIFICACIN DE LOS CONVEXOS

Los cuadrilteros se clasifican segn el paralelismo de sus lados.

I. PARALELOGRAMO

Es aquel cuadriltero donde sus lados opuestos son paralelos y congruentes respectivamente.

Altura del paralelogramo

Clasificacin de los paralelogramos

a) Rectngulo

Es aquel paralelogramo que tiene sus cuatro ngulos iguales (equingulo).

b) Rombo

Es aquel paralelogramo que tiene sus lados iguales (equiltero)

c) Cuadrado

Es aquel paralelogramo que tiene sus cuatro ngulos y lados iguales (regular).

d) Romboide

Es aquel paralelogramo propiamente dicho.

II. TRAPECIO

Es aquel cuadriltero que tiene slo opuestos paralelos llamados bases y los otros dos llamados no paralelos.

(+ ( = ( + ( = 180

Altura del trapecio:

Es la distancia entre las bases.

Clasificacin de trapecios

Trapecio escaleno

Es aquel trapecio que tiene sus cuatro lados diferentes.

Trapecio issceles.

Es aquel trapecio que tiene sus dos lados no paralelos iguales.

Trapecio rectngulo

Es aquel trapecio en el cual uno de sus lados no paralelos tambin es altura.

III. TRAPEZOIDE

Es aquel cuadriltero que no tiene ningn par de lados opuestos paralelos.

Trapezoide simtrico

Es aquel cuadriltero llamado tambin bissceles, donde una diagonal es mediatriz de la otra.

1) En el trapecio ABCD (), calcular x

a) 40b) 50c) 60d) 80e) 150

2) Si ABCD es un paralelogramo, calcular x

a) 10b) 11c) 12d) 13e) 15

3) En el cuadrado ABCD, calcular x

a) 10b) 12c) 15

d) 18e) 20

4) En el rectngulo PQRS, calcular x

a) 10b) 11c) 12

d) 13e) 15

5) MNPQ es un rombo. Calcular x, si: MN = NQ

a) 30b) 45c) 75

d) 60e) 15

6) Si ABC es un paralelogramo, calcular x

a) 50b) 60c) 80

d) 100e) 90

7) Si PQRS es un paralelogramo, calcular x

a) 6b) 2c) 4

d) 8e) 1

8) En el cuadriltero ABCD, calcular x

a) 45b) 55c) 65

d) 70e) 75

9) Si ABCD es un paralelogramo, calcular x

a) 2

b) 5c) 5

d)

e)


a) 30b) 10c) 40

d) 60e) 50

11) Si ABCD es cuadrado de permetro 32, hallar AE

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

12) Si ABCD es un cuadrado y APD es un tringulo equiltero, calcular x

a) 30b) 60c) 15d) 45e) 75


a) 100 b) 120 c) 150 d) 160 e) 170

2) Calcular x

a) 60 b) 70c) 65 d) 100e) 80

3) Calcular x

a) 10 b) 20c) 30 d) 40e) 60

4) Si ABCD es un cuadrado y CPD es un tringulo equiltero, calcular x

a) 10b) 20c) 30

d) 40e) 50

PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS

1) Las diagonales de un romboide se bisecan (se cortan en su punto medio).

AO = OC

BO = OD

2) Las medidas de los ngulos opuestos de un romboide son iguales y la suma de dos ngulos consecutivos es 180.

( + ( = 180

3) Las diagonales de un rectngulo se bisecan y son iguales.

BD = AC

4) Las diagonales del cuadrado son iguales, perpendiculares y bisectrices.

AC = BD

5) Las diagonales de un rombo se bisecan, son perpendiculares entre s y son bisectrices de sus ngulos interiores.

Propiedades en los trapecios

Mediana de un trapecio

Es el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos. 1) La mediana de un trapecio es igual a la semisuma de las bases del trapecio ABCD ()

2) La mediana de un trapecio es paralela a las bases.

3) El segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio es igual a la semidiferencia de sus bases.

1) Hallar MN, si BC = x, AD = 13 y MN= x + 5

a) 3b) 5c) 6d) 8e) 102) Hallar el valor de x, si ABCD es un romboide.

a) 2b) 3c) 4d) 5e) 63) Hallar BD, si ABCD es un paralelogramo, AO = x2 1, OC = 15 y OD = 2x +3

a) 4b) 6c) 8d) 11e) 22

4) PQRS es un rombo. Hallar x, si: PH=HS

a) 30b) 45c) 40d) 60e) 755) Hallar el ngulo x, si AB = BC = 4 y AD = 8

a) 15b) 30c) 37d) 45e) 60

6) Las diagonales y del rombo ABCD miden 16 y 12 respectivamente. Hallar el lado BC

a) 14b) 12c) 10d) 9e) 87) P, Q, R y S son puntos medios de los lados del cuadriltero ABCD. Qu cuadriltero se formar al unir dichos puntos?

a) rombo b) cuadrado

c) rectngulod) trapecio

e) romboide 8) Hallar el segmento que une los puntos medios de y , si AC=32

a) 16b) 12c) 10d) 8e) 49) Hallar el valor de x

a) 8b) 9c) 10d) 11e) 12

10) Si: AC = 8, EO = 3, hallar ED

a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8

11) Calcular la altura del trapecio rectngulo ABCD.

a) 6b) 8c) 10d) 12e) 16

12) En el trapecio ABCD, hallar el valor de AD

a) 15b) 15c) 17d) 18e) N.A.

13) En un rectngulo ABCD, las bisectrices interiores de B y C se intersectan en un punto M de . Si el permetro del rectngulo es 36, calcular la mediana del trapecio BMDC.

a) 18b) 12c) 10d) 9e) 8

1) Hallar el valor de x + y en el romboide PQRS

a) 9b) 12c) 13d) 11e) 6

2) Hallar la longitud de la mediana en el trapecio ABC

a) 12b) 13c) 10d) 15e) 16

3) En el rectngulo ABCD, hallar su permetro, si: OB = 5 y CD = 6

a) 14b) 18c) 28d) 10e) 12

4) En un rectngulo ABCD, hallar la relacin entre , si BC = 8 y CD=6

a)

b)

c)

d)

e)

5) En un trapecio ABCD, y BC=AB = CD = , calcular la m(D

a) 30b) 45c) 60

d) 53e) 37

DEFINICIN:

CRCULO:

ELEMENTOS:

centro:

radio:

cuerda:

dimetro:

arco:

flecha o sgita:

recta tangente:

recta secante:

punto de tangencia:

PROPIEDADES

1) El radio es perpendicular a toda recta secante tangente en su punto de tangencia.

OA ( L

2) Arcos comprendidos entre rectas paralelas son congruentes (iguales).

Si: BC // AD

m AB = m CD

3) Arcos congruentes le corresponden cuerdas congruentes (iguales).

Si: mAB = mCD

AB = CD

4) Si un radio es perpendicular a una cuerda, el radio pasa por el punto medio de la cuerda y del arco correspondiente a la cuerda.

Si: OA ( BC

BF = FC

BA = AC

5) Por un punto exterior se trazan dos tangentes, las cuales son congruentes.

AB = AC

AO es bisectriz del ( BAC

TEOREMA DE PONCELET

En todo tringulo rectngulo se cumple que la suma de las longitudes de los catetos es igual a la suma de la longitud de la hipotenusa ms dos veces el radio de la circunferencia inscrita.

a + b = c + 2r

1) Hallar el valor del ngulo X, si O es centro.

a) 20b) 27c) 35

d) 60e) 37

2) Calcular el valor de x

a) 15b) 20c) 16

d) 14e) 13

3) Calcular el valor de x

a) 12b) 13c) 14

d) 10e) 11

4) Si: , calcular x

a) 120b) 200c) 150

d) 180e) 2405) Si: AB = 5 y BC = 12, calcular r

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

6) Si: AT = 6, calcular OE si O es centro.

a) 2

b) 2c)

d) 6e) 3

7) Calcular x, si: OA = AB

a) 60b) 15c) 45

d) 30e) 37

8) Si: m < HBO = 37, calcular x

a) 4b) 6c) 8

d) 7e) 5

9) Si: AE = 5 y BQ = 3, hallar el valor de x

a) 15b) 8c) 6

d) 5e) 9

10) En un tringulo rectngulo los catetos suman 30 y su inradio mide 8, calcular la hipotenusa.

a) 11b) 12c) 13

d) 14e) 15

11) Si: PQ = 60 y PQ = 5cm, calcular x

a) 1cmb) 2c) 3

d) 4e) 5

12) Calcular x, si T es punto de tangencia y O es centro.

a) 15b) 17c) 18

d) 20e) 19

13) Calcular AP, si: AB = 7, BC = 8 y AC = 9

.

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

14) El permetro de un tringulo rectngulo es 24u y su radio mide 2u, calcular la hipotenusa.

a) 12ub) 10c) 13

d) 14e) 18

15) Calcular (, si P es punto de tangencia.

a) 30b) 45c) 60

d) 37e) 53

1) Calcular x

a) 7b) 8c) 9

d) 6e) 5

2) Calcular BC, si: AB = 5 y CD = 8

a) 11b) 12c) 13

d) 14e) 15

3) Si: y AB = 204, calcular x

a) 100b) 102c) 120

d) 150e) 200

4) Calcular r, si: OM = 3 y AM = 4

a) 2b) 3c) 4

d) 5e) 6

5) El permetro de un tringulo rectngulo es de 30u. Calcular la suma de la hipotenusa y el inradio.

a) 15ub) 16c) 18

d) 14e) 17

NGULO CENTRAL

NGULO INSCRITO

NGULO SEMIINSCRITO

NGULO INTERIOR

NGULO EXTERIOR

PROPIEDAD IMPORTANTE

La suma del ngulo formado por dos tangentes a una circunferencia y el arco correspondiente a dichas tangentes ser 180.

( + ( = 180

1) Si O es centro, calcular x

a) 10b) 20c) 30

d) 40e) 50

2) Calcular x

a) 15b) 30c) 40

d) 50e) 60

3) Calcular (

a) 100b) 105c) 110

d) 120e) 150


a) 20b) 25c) 30

d) 35e) 505) De la figura, calcular x, si O es el centro.

a) 10b) 20c) 30

d) 40e) 50

6) Si O es centro y AB = R, calcular x

a) 30b) 15c) 45

d) 60e) 90

7) Si: AB = AC, calcular BC

a) 60b) 80c) 50

d) 70e) 30

8) Calcular x

a) 30b) 20c) 15d) 25e) 409) Si P y T son puntos de tangencia, hallar x

a) 40b) 50c) 60

d) 80e) 70

10) De la figura, calcular x

a) 10b) 11c) 15

d) 12e) 20


a) 5b) 10c) 15

d) 20e) 25

12) Si: BAE = 20, calcular x

a) 50b) 60c) 76

d) 80e)N.A


a) 30b) 50c) 40

d) 45e) 60

2) De la figura, calcular x

a) 100b) 80c) 70

d) 90e) 120

3) Calcular x

a) 10b) 30c) 40

d) 50e) 60

4) Si: BC = 28, calcular x

a) 72b) 22c) 36

d) 40e) 52

5) Si: AB = 12, hallar AC

a) 6

b) 6c) 3

d) 4e) 2

CONTENIDO

POLIGONOS

POLIGONOS REGULARES

CUADRILATEROS I

CUADRILATEROS II

CUADRILATEROS III

CIRCUNFERENCIA I

CIRCUNFERENCIA II

B

w

(

C

(

x

D

y

E

A

z

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

S( : 180 (n - 2)

S( : 360

d = n 3

d = n 3

ACTIVIDADES EN AULA

x

x

x

ACTIVIDAD DOMICILIARIA

x+10

x+15

x+20

x+25

x+5

ACTIVIDAD EN AULA

(


base menor

base mayor

h: altura

ACTIVIDAD EN AULA


ACTIVIDAD EN AULA


Actividad en Aula

Actividad Domiciliaria

Actividad en Aula

Actividad Domiciliaria

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GEOMETRÍA 1º