FAING EPIE MATEMATICA BASICA IIUNIDAD - I: GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO SESION 01: SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES EN EL ESPACIO Y LA RECTA EN EL ESPACIO

1. EL ESPACIO CARTESIANO

Sea R3 el conjunto de ternas ordenadas de nmeros reales, esto es:R3 = R X R XR = {(x,y,z); x R, y R y z R }

Dadas dos ternas ordenadas (x,y,z), (x,y,z) R3 son iguales si, y slo si x = x, y = y y z = z

Como veremos, cada terna ordenada (x, y, z) R3 se puede asociar de manera nica con un punto del espacio, y cada punto del espacio se puede asociar en forma nica con una terna ordenada de nmeros reales mediante un sistema de coordenadas cartesianas rectangular en tres dimensiones.

Consideremos tres planos mutuamente perpendiculares que se cortan en el punto comn 0, tal como se indica en la siguiente gura:

Como el punto en el espacio va a localizarse con referencia a estos elementos, los planos se llaman planos coordenados, las rectas de interseccin de estos planos se llaman ejes coordenados. El punto de interseccin de los tres planos es el origen del sistema de coordenadas rectangulares.

Teniendo lo anterior estamos en libertad de designar los ejes coordenados como queramos. Un convenio es el indicado en la gura anterior; se dice entonces que el sistema de coordenadas es un sistema de mano derecha. Los ejes coordenados son: El eje x es la recta determinada por y X. El eje y es la recta determinada por y Y. El eje z es la recta determinada por y Z

Su direccin positiva est indicada en cada uno de los ejes por una echa.Cada plano coordenado se designa por los dos ejes coordenados que contiene. As, el plano coordenado que contiene al eje x y al eje y se llama plano xy; anlogamente, tenemos los planos xz y yz. Los tres planos coordenados dividen el espacio en ocho regiones llamadas octantes. El octante determinado por las partes positivas de los ejes coordenados es el primer octante; los dems se identican mediante los signos de las componentes de las ternas coordenadas a las que estn asociados, como (+;- ;+).

En la prctica as se representa el sistema de coordenadas

1.1 Localizacin de un Punto en el espacioSea P un punto cualquiera del espacio. Su posicin puede determinarse haciendo pasar por P planos paralelos a los tres planos coordenados y considerando los puntos A, B y C en que cortan a los ejes x, y y z, respectivamente. Estos planos, juntos con los planos coordenados forman un paraleleppedo rectangular recto, como muestra la siguiente gura:

Evidentemente, la posicin de P con relacin al sistema de coordenadas est determinada por sus distancias a los planos coordenados. Estas distancias estn dadas por las longitudes de los segmentos dirigidos OA, OB y OC, llamados x, y, z, respectivamente.

Entonces los tres nmeros reales x, y y z constituyen la coordenada x, la coordenada y y la coordenada z de P. Cada coordenada se mide a partir del origen O sobre el eje coordenado correspondiente, y es positiva o negativa segn que su direccin sea la misma o la opuesta a la de la direccin positiva del eje.

Para el punto P todas las coordenadas son positivas, y el punto est en el primer octante. Las coordenadas x, y, z de cualquier punto P se escriben en ese orden, se encierran en un parntesis y el punto se representa por P (x, y, z ).

Veamos como ejemplo la ubicacin de los siguientes puntos P1(3,4,-2) y P2 (-3,-5,3)

Ejemplo 01: Trazar los puntos cuyas coordenadas son (2, 0, 1), (4, 3, 7), (- 5, - 9, 2) y (3, - 2, 4).Ejemplo 02: Construir el tringulo cuyos vrtices son (2, 1, 3), (1, 1, 2) y (1, 5, - 2).

2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia no dirigida entre dos puntos p1(x1, y1, z1) y p2(x2, y2, z2) del espacio tridimensional est dado por:

d(

Nota: Recordar que : =

Ejemplo 03: hallar la distancia entre los puntos P1(-1,-2,2) y P2 (2,4,-1)Ejemplo 04demostrar que los puntos p1 (-2,4,3) y p2 (4,-3,-2) y p3(-3,-2,4) son los vrtices de un tringulo equiltero3. DIVISION DE UN SEGMENTO A UNA RAZON DADA

Si los puntos p1(x1, y1, z1) y p2(x2, y2, z2) son los extremos de un segmento dirigido las coordenadas de un punto p(x,y,z) que divide el segmento en la razn r = / es:

Demostracin:

Corolario.- Si P(x, y, z) es el punto medio del segmento , entonces r = = 1. Luego las coordenadas del punto medio son:

x = , y = , z =

Ejemplo 6: Hallar las coordenadas de los puntos de triseccin y el punto medio del segmento (1, -3, 5) y (-3, 3. -4)

LA RECTA EN EL ESPACIO

1. LA RECTA EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

Para definir una recta en R3 se requiere como mnimo de dos ecuaciones lineales, por cuanto una recta en el espacio es la interseccin de dos planos, entonces las condiciones mnimas para definirlas son: Vector directriz y un punto Dos planos que se cortan Dos puntos

1.1. Ecuacin Vectorial de la Recta - Vector Directriz y un PuntoSea L la recta que pasa por el punto P0(x0, y0,z0) paralelo al vector =(a1,b1,c1). Si p(x,y,z) de R3 es un punto cualesquiera de la recta L, entonces el vector es paralelo al vector es decir: // t R tal que: =t, de donde entonces p=p0+ t, por tanto la recta L est dada por:

L= {p=p0+ t/ t R}

Observacin: para cada par de puntos distintos de R3, hay una slo una recta que pasa por ellos. la ecuacin de una recta queda bien definida si: Se conocen un punto P0 y su vector director . Se conocen dos puntos p0 y p1, en este caso el vector director se halla por diferencia entre p1 y p0: = p1 p0Ejemplo 01: hallar la ecuacin vectorial de la recta que pasa por el punto (4,0,5) y es paralela al vector =(1,-1,3)Ejemplo 02: hallar la ecuacin vectorial de la recta que pasa por los puntos p1(1,3,5) y p2(4,2,7)1.2. Ecuacin Paramtrica de la Recta.Consideremos la ecuacin vectorial de la recta L: L={p=p0+ t/ t R}De la observacin anterior se tiene: P LP=P0+ t, para algn t R}

De donde al reemplazar las coordenadas de P=(x, y, z) , P0=( y las coordenadas de vector se tiene (x,y,z) = (x0, y0,z0) + t(a1,a2,a3), es decir:

Las cuales se conocen con el nombre de ecuaciones paramtricas de la recta L.Observacin: las ecuaciones paramtricas de la recta L que pasa por el par de puntos P1(x1,y1,z1) y P2(x2,y2,z2) est dada por:

A ambas ecuaciones se les conoce como ecuaciones paramtricas de la recta en el espacio. Ejemplo 03: hallar las ecuaciones paramtricas de la recta L que pasa por el punto (5,3,2) paralela al vector =(4,1,-1)

Ejemplo 04: hallar las ecuaciones paramtricas de la recta L que pasa por los puntos P1(1,2,1) y P2(5,-1,1)1.3. Ecuacin Simtrica de la RectaConsideremos las ecuaciones paramtricas de la recta L

Suponiendo que a10, a20, a30, despejando el parmetro t de cada ecuacin tenemos:

Igualando para t, se obtiene:

A la ecuacin (I) se le conoce como ECUACIN SIMETRICA DE LA RECTA.Observacin: Si a3=0, la ecuacin simtrica de la recta L se escribe de la forma:

Si a1 =0 y a3=0, la ecuacin simtrica de la recta L se escribe en la forma:

Ejemplo 05: encontrar las ecuaciones simtricas de la recta paralela al vector a=(4,-3,2) y que pasa por el punto (2,5,-1)

Ejemplo 06: hallar la ecuacin simtrica de la recta L que pasa por el punto p0(-1,1,1), paralela al vector =(2,0,1)

1.4. Forma General de la ecuacin de la Recta

Una recta L queda bien definida si se intersectan dos planos diferentes cualesquiera, cuyas ecuaciones en forma general son: L : Para este caso se cumple que el vector director de la recta es perpendicular de los vectores directores de los dos planos, y este se obtiene con el producto vectorial de los vectores cuyas coordenadas son los coeficientes que multiplican a x, y, z de los dos planos. Se debe entender que la ecuacin general es un sistema compatible determinado.

Calculo del Vector director = = (( (Producto vectorial)

= Calculo de un punto: Para hallar un punto solo hay que darle a x, y z un valor arbitrario sustituirlo en el sistema y despejar en las otras incgnitas.

Dada la ecuacin en su forma general obtener la ecuacin vectorial, paramtrica y simtrica de la recta.Ejemplo 7: Dada la recta en su forma general L : Encontrar la recta L; en su forma vectorial, paramtrica y simtrica.

1.5. Rectas Paralelas y Rectas perpendiculares (ortogonales)Las relaciones de paralelismo y ortogonalidad entre dos rectas se dan comparando sus vectores direccionales.

1.5.1 Rectas ParalelasConsideremos las ecuaciones vectoriales de dos rectas. L1={ p=p0+ t/ t R} y L2={ p=q0+ / R}

La recta L1 y la recta L2, son paralelas (L1//L2) si y solo si sus vectores direccionales son paralelos, es decir:L1//L 2// =r, r

Nota: Tambin se cumple que si dos rectas son paralelasL1={ p=p0+ t/ t R} con (L2={ p=q0+ / R} con ( y L1//L 2 = = Ejemplo 08: demostrar que la recta L1= p=p0+ t(-1,2,1) es paralelo a la recta L2=(-2,4,2)

1.5.2 Rectas Ortogonales

La recta L1 y la recta L2 son ortogonales (L1L2) si y solo si sus vectores direccionales son ortogonales, es decir:L1 L2 .=0

Ejemplo 09: sean las rectas L1: p=p0+ t(2,0,1) y L2: p=q0+ (-1,0,2) son perpendiculares

Ejemplo 10: Hallar la ecuacin de la recta L que intercepta en ngulo recto a la recta L1 = {(1,2,3) +t(2,1,-1)/t R} y que pasa por el punto A(2,0,1)

1.6. Angulo entre dos Rectas.Consideremos las ecuaciones de dos rectas:L1: p=p0+ t/ t R y L2: p=q0+ / RUn ngulo entre las rectas L1 y L2 se define como el ngulo formado por sus vectores direccionales y , es decir:(L1,L2)= , )= , y est dado por la frmula:

cos = ; 0

Ejemplo 10. Encuntrese un ngulo formado por las rectas:L1={(1,3,-2)+t(3,-6,9)/ t R} y L2={(2,1,7)+s(1,3,4)/ s R} Ejemplo 11. Hallar el ngulo formado por las rectas: L1 p = {(4,3,11) + t(-4,-3,-2)/ t R} y L2: 2x +y -2z +10 = 0 y +2z -4 = 0

1.7. Distancia mnima entre dos rectas que se cruzanSi L1={p0+ t/ t R} y L2={q0+ / R} son dos rectas no paralelas (rectas que se cruzan) la distancia mnima est expresada por la longitud del vector proyeccin de sobre x lo cual est expresado matemticamente as:

d(

Ejemplo 11: calcule la distancia perpendicular entre las dos rectas oblicuas dadas por las ecuaciones:

L1: y L2:1.8. Distancia de un punto a una RectaEs la perpendicular trazada desde el punto a la recta y est dada por la siguiente frmula: d(p, L) =

Ejemplo 12: hallar la distancia del punto p(3,1,-2) a la recta

L:

PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO 1. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto A(3, 1, -2) y es perpendicular y corta a la recta L: 2. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto M(-1, 2, -3) es perpendicular al vector =(6, -2, -3) y se corta con la recta : = = 3. Encuentre el punto de interseccin de las rectas: = {(-1, 7, 17) +t(-1, 2, 3) /t} y : = =

1. Localiza el baricentro del tringulo de vrtices A(2, -1, 3), B(0, 4, 1), C(1, 1, 0)Rpta: G: Baricentro = (1, 4/3, 4/3)

2. Escribe las ecuaciones de la recta vectorial, paramtrica y simtrica, de la recta que pasa por el punto P(1, -3, 0) y es paralela al vector siendo = (1, -1, 2) y =(2, 0, 0)3. Halla los valores de m y n para que las rectas r y s sean paralelas.r : s: = Rptas. m=12; n=-34. Dadas las rectas ={(3, 1, 0)+ t(1, 0, 1)/t y ={(1, 1, 1)+ (2, 0, 1)/ . Hallar el punto Q que equidista de ambas rectas una distancia mnima, adems hallar esta distancia. Rpta. Q(13/4, 3/2, 3/4) y distancia =

5. Los vrtices A, B y C forman un tringulo: A (3, 5,-4). B (-I, I, 2), C (-5,-5, -2) Indique si es: A) Issceles B) Recto C)Escaleno 6. Uno de los extremos de un segmento de longitud o norma igual a 3 es el punto (3, 2, 1). Si las coordenadas del otro extremo son (5, 3, z). Hallar la coordenada z. (Dos soluciones) Rpta: z= -1 y z=37. Hallar las coordenadas de los puntos de triseccin y el punto medio del segmento cuyos puntos extremos son: (5, -1, 7) y (-3, 3, 1). Rpta. Puntos de triseccin: (7/3, 1/3, 5) y (-1/3, 5/3, 3) Punto medio: (1, 1, 4).8. Dados los vrtices de un tringulo A (3, 6, -7), B (-5, 2, 3) y C (4, -7, -2). Hallar las ecuaciones paramtricas de su mediana, trazada desde el vrtice C. Rpta. x= 4-5t; y= -7+11t; z=-29. Las rectas r y s vienen determinadas por la interseccin de 2 planos respectivamente (rectas en su forma general): r: s: Cunto vale el ngulo que forman estas dos rectas?Rpta. Angulo 10. Cul es el ngulo que forman las rectas? r: s: Rpta. 41 aproximadamente11. Cul es el ngulo entre las rectas r y s?r: (x, y,z) =(1, 2, 1)+ t(1, 1, 1) s: Rpta. 103.08 aproximadamente12. Dado tringulo de vrtices: A(2, -1, 3), B(0, 4, 1), C(1, 1, 0)Calcular el ngulo del vrtice B. Rpta.38 aproximadamente.13. Dado tringulo de vrtices: A(2, -1, 3), B(0, 4, 1), C(1, 1, 0)Calcular el ngulo del vrtice C. Rpta. 108.8 aproximadamente14. Los puntos extremos de un segmento son P1(2, 1, 4) y P2 (3 , 2, 1) . Hallar las coordenadas del punto P que divide a este segmento en la razn P1P / PP2 = 3.____________________________________________________________________________________________________________