Geometr­a Anal­tica (La Recta)

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Geometra AnalticaLA RECTA1. DEFINICIN 2. ECUACIONES DE LA RECTA 3. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA 4. NGULO ENTRE DOS RECTAS 5. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

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Geometra AnalticaLA RECTA En geometra definimos a la recta como la sucesin infinita de puntos uno a continuacin de otro en la misma direccin. En el plano cartesiano, la recta es el lugar geomtrico de todos los puntos colineales de un plano. La ordenada de cada punto que la conforma est relacionada con su respectiva abscisa mediante una ecuacin de primer grado con dos variables x e y.

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Geometra AnalticaLA RECTA Podemos determinar la ecuacin de la recta si se conocen algunas condiciones. A continuacin estudiaremos algunas de estas ecuaciones: ECUACIN PUNTO - PENDIENTEEs la ecuacin de la recta que se determina conociendo su pendiente m y un punto P(x0; y0) perteneciente a ella.

y y 0 ! m x x0

ECUACIN PENDIENTE ORDENADA EN EL ORIGENEs la ecuacin de la recta que se determina conociendo su pendiente m y el punto de corte con el eje Y (0; b) (ordenada en el origen).

y ! mx b4

Geometra AnalticaLA RECTA

ECUACIN GENERALSe denomina ecuacin general de la recta a la expresin:

Ax By C ! 0Donde A, B, C son nmeros reales y A, B no son simultneamente nulos. Dada la ecuacin general de la recta, se presentan los siguientes casos: Si A = 0 y B 0, entonces la recta es paralela al eje X. Si A 0 y B = 0, entonces la recta es paralela al eje Y. A Su pendiente es m ! y su ordenada en el origen es B b! C B

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Geometra AnalticaEJERCICIOS 01. Escribe (en cuanto sea posible) las formas general, punto pendiente y pendiente ordenada en el origen de las rectas que cumplen con las siguientes condiciones: La pendiente es -2 y pasa por el punto P(2; -3). Pasa por los puntos (-1; -5) y (3; 6). La pendiente es -2/3 y la ordenada en el origen es 1. 02. Halla la pendiente y la interseccin con los ejes de la recta definida por la ecuacin L: 5x + 2y 8 = 0. 03. Encuentra la ecuacin de la recta que pasa por el punto (2; -3) y tiene la misma pendiente que la recta L: 3x + 4y = 10.6

Geometra AnalticaEJERCICIOS 04. Si se conoce que la ecuacin general de una recta es 2px + 3qy = 3 y adems que contiene a los puntos P (3; 1) y Q (-6; -3), determina el ngulo de inclinacin de dicha recta. 05. Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto (3; 2) y forma con los ejes coordenados un tringulo en el primer cuadrante de 12u2 de rea.

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Geometra AnalticaLA RECTA DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTALa distancia del punto P (x0; y0) a la recta L de ecuacin: Ax + By + C = 0 se calcula empleando la expresin:

P(x0; y0)

d

d P;

!

Ax0 By 0 C A 2 B2

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Geometra AnalticaEJERCICIOS 06. Halla la distancia de P(3; 4) a la recta: 2x + 3y = 4. 07. Halla la distancia del origen de coordenadas a la recta L: 2x 3y + 9 = 0 08. Determina el valor de a para que la distancia del origen a la recta: x + ay 7 = 0 sea 2. 09. La pendiente de una recta es -3. Halla su ecuacin si su distancia al origen es 2. 10. Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto (3; 1), tal que la 2 2 distancia de esta recta al punto (-1; 1) sea igual a

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Geometra AnalticaLA RECTA NGULO ENTRE DOS RECTASLos ngulos formados por dos rectas secantes se pueden calcular cuando se conoce el valor de la pendiente de cada recta. Los ngulos son medidos en sentido anti horario, de manera que se pueda distinguir el lado inicial y el lado final de cada ngulo.

Ytg tg

!

2

1 2

! tg !

1

1 1

tg

2

tg2

1 tg

. tg

m !1 2

m2 m1 1 m 2 .m 110

X

Geometra AnalticaEJERCICIOS 11. Halla el ngulo que forman las rectas que tienen por ecuaciones: L1: 3x + 4y 12 = 0; L2: 6x + 8y + 1 = 0 L1: 2x + 3y 5 = 0; L2: 3x - 2y + 10 = 0 12. Dadas las rectas L1: 3x + y 1 = 0 y L2: 2x + my -8 = 0, determina el valor de m para que formen un ngulo de 45. 13. Encuentra la ecuacin de la recta que pasa por el punto P(4;10) y forma un ngulo de 45 con la recta 2y 3x = 0.

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Geometra AnalticaLA RECTA RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES Sean dos rectas L1 y L2 con pendientes m1 y m2 respectivamente, si se cumple que: m1 = m2, entonces las rectas son paralelas. Y m1.m2 = -1, entonces las rectas son perpendiculares. Y

X

X12

Geometra AnalticaEJERCICIOS 14. Escribe la ecuacin de una recta que pase por el punto (-1; 3) y sea paralela a la recta: 2x + y = 10. 15. La ecuacin de la recta que pasa por el punto (5,6) y que es paralela con la recta que une los puntos (-4,0) y (1,-6) es: 16. Encuentra la ecuacin de una recta que pase por el punto (4; -2) y sea paralela a la recta que pasa por los puntos (-1; 4) y (2; 3). 17. Escribe la ecuacin de una recta que pase por el punto (2; -3) y sea perpendicular a la recta 4y - x = 20. 18. Escribe la ecuacin de una recta que pase por el punto (-1; 2) y sea perpendicular a la recta 7x 8y = 24.

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Geometra AnalticaEJERCICIOS 19. Encuentra la ecuacin de la recta que pase por el punto de interseccin de las rectas: L1: 6x 2y + 8 = 0 con L2: 4x 6y + 3 = 0, y que sea perpendicular a L3: 5x + 2y + 6 = 0. 20. Encuentra la ecuacin de la recta que pasa por el punto P(17; 12) y es perpendicular a la recta de L: 5x + 12y 60 = 0. Determina las coordenadas del punto de interseccin de estas lneas y halla la distancia de P a dicha recta.

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