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GEOMETRIA BASICA
EL PUNTO es una figura geométrica adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo
dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de
un sistema de coordenadas preestablecidas.
». EL PUNTO, en la geometría clásica se basa en la idea de que era un concepto intuitivo, el ente
geométrico «sin dimensiones», y sólo era necesario asumir la noción de punto.
PUNTO es el objeto fundamental en geometría, el punto representa solo posición y no tiene
dimensión, es decir, largo cero, ancho cero y altura cero. Se representan por letras mayúsculas.
Punto Es la representación de una posición fija del espacio. No es un objeto físico, por lo tanto carece de forma y dimensiones.
ALGUNOS POSTULADOS Y TEOREMAS RELACIONADOS CON EL PUNTO
Postulados en geometría euclidiana
Por un punto pasan infinitas rectas y planos. Dos puntos determinan una recta y sólo una. Una recta contiene infinitos puntos. Un plano contiene infinitos puntos e infinitas rectas. El espacio contiene infinitos puntos, rectas y planos.
Estos postulados se pueden generalizar para espacios de n dimensiones.
LA LINEA: Recta tiene solo longitud, no tiene ancho ni altura ni grosor. Es un conjunto infinito de puntos que se extienden en una dimensión en ambas direcciones. Una recta se puede representar por:
Semirrecta la definimos como la porción de una recta que tiene principio pero no tiene fin. segmento de recta es una porción de la recta con principio y con fin, es decir sabemos donde empieza y donde termina por ende lo podemos medir. Plano tiene ancho y largo, sin altura ni grosor. Un plano es una superficie en dos dimensiones, se puede pensar como un conjunto de puntos infinitos en dos dimensiones.
EL ANGULO:
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de
origen o vértice.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el
grado centesimal.
Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano:
1. FORMA GEOMÉTRICA: Se le llama "ángulo" a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común.
2. FORMA TRIGONOMÉTRICA: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.
DEFINICIONES CLÁSICAS
Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclo, un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemo de Rodas, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpo de Antioquía, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.
Región angular
Se denomina región angular a cada una de las cuatro partes ilimitadas en que queda dividido un plano por dos rectas que se cortan. Estos ángulos se miden de acuerdo a su área similtudinal, es decir lo que mide realmente con Eudemo. Existen realmente diferentes ángulos llamados convexos y cóncavos se les llama así porque varia la medida del ángulo que se relacionan un poco con el ángulo recto, obtuso y sobre todo oblicuo.
Clasificación de ángulos
Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:
Las manillas de un reloj conforman distintos tipos de ángulos. En este caso, un ángulo agudo.
Tipo Descripción
Ángulo nulo
Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su
abertura es nula, o sea de 0°.
Ángulo agudo
Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0
rad y menor de rad.
Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100g (grados centesimales).
Ángulo recto
Un ángulo recto es de amplitud igual a rad
Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100g centesimales).
Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí. La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.
Ángulo obtuso Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a rad y menor a
rad
Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100g y menos de 200g centesimales).
Ángulo llano, extendido o
colineal
El ángulo llano tiene una amplitud de rad
Equivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales).
Ángulo oblicuo
Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto.
Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.
Ángulo completo
o perigonal
Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de rad
Equivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales).
Ángulos convexo y cóncavo[editar · editar código]
Ángulos relacionados[editar · editar código]
En función de su posición, se denominan:
ángulos adyacentes, los que tienen un vértice y un lado común, pero no tienen ningún punto interior común,
ángulos consecutivos, los que tienen un lado y el vértice común, ángulos opuestos por el vértice, aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas. ángulos correspondientes, formados por dos paralelas y una transversal.
En función de su amplitud, se denominan:
ángulos congruentes, aquellos que tienen la misma amplitud, es decir, que miden lo mismo,
ángulos complementarios, aquellos cuya suma de medidas es π/2 radianes o 90°, ángulos suplementarios, aquellos cuya suma de medidas es π radianes o 180°, ángulos conjugados, aquellos cuyas medidas suman 2π radianes o 360°.
Ángulos de un polígono[editar · editar código]
En función de su posición, se denominan:
ángulo interior o interno de un polígono, es el formado por lados adyacentes, interiormente.
ángulo exterior o externo de un polígono, es el conformado por un lado y la prolongación del adyacente.
Ejemplos de ángulos
360°
Los ángulos complementarios son aquellos ángulos cuyas medidas suman 90º (grados sexagesimales). Si dos ángulos complementarios son consecutivos, los lados no comunes de los dos forman un ángulo recto.
Los ángulos suplementarios son aquellos cuya suma de medidas es 180° (grados sexagesimales).
Así, para obtener el ángulo suplementario β de un determinado ángulo α comprendido entre [0,180º], se restará α a 180°, de manera que:
β = 180° – α
En otras unidades de medida del ángulo plano, 180 grados sexagesimales equivalen a π radianes, o 200 grados centesimales y 360 grados sexagesimales equivalen a 2π radianes, o 400 grados centesimales.
Ángulos conjugados
Ángulos conjugados se denomina a dos ángulos cuyas medidas suman 360º (grados sexagesimales).
Dos ángulos conjugados con vértices coincidentes, tendrán sus lados comunes. Así, para obtener el ángulo conjugado de α que tiene una amplitud de 250°, se restará α de 360°: β = 360° – 250º = 110º el ángulo β (beta) es el conjugado de α (alfa). 360 grados sexagesimales equivalen a 2π radianes, o 400 grados centesimales.
Relaciones posicionales entre ángulos:
Rectas paralelas cortadas por una secante
La relación entre dos rectas paralelas cortadas por una secante es un análisis clásico de la geometría euclidiana, que permite analizar una infinidad de problemas prácticos, así como definir algunos conceptos de interés en cuanto a congruencia y suplementaridad de ángulos.
Partiendo de dos rectas paralelas r y s, y una secante t que corta a ambas, da lugar a ocho ángulos1 , cuya posición relativa da lugar a su definición2 .
Denominación de los ángulos[editar · editar fuente]
Ángulos adyacentes: Si un lado en común y sus otros dos lados son semirrectas opuestas.
Son ángulos adyacentes los siguientes pares de ángulos: a,b; c,d; a,c; b,d; e,f; g,h; e,g; f,h.
Los ángulos adyacentes son suplementarios.
Ángulos opuestos por el vértice: Si los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro.
Son ángulos opuestos por el vértice los siguientes pares de ángulos: a,d; b,c; e,h; f,g.
Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
Ángulos alternos internos: Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de las rectas paralelas.
Son ángulos alternos internos los siguientes pares de ángulos: c,f; d,e.
Los ángulos alternos internos son congruentes.
Ángulos alternos externos: Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las rectas paralelas.
Son ángulos alternos externos los siguientes pares de ángulos: a,h; b,g.
Los ángulos alternos externos son congruentes.
Ángulos colaterales internos: que se encuentran del mismo lado de la secante y dentro de las rectas.
Son ángulos colaterales internos los siguientes pares de ángulos: c,e; d,f.
Los ángulos colaterales internos son suplementarios.
Ángulos colaterales externos: que se encuentran en uno y otro lado de la secante.
Son ángulos colaterales externos los siguientes pares de ángulos: a,g; b,h.
Los ángulos colaterales externos son suplementarios.
Ángulos correspondientes u homólogos: Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante, un ángulo en la parte interior y otro en el exterior de las paralelas.
Son ángulos correspondientes los siguientes pares de ángulos: a,e; b,f; c,g; d,h.
Los ángulos correspondientes son congruentes.
Ángulos adyacentes
Ángulos adyacentes son aquellos ángulos que tienen el vértice y un lado en común, al tiempo que sus otros dos lados son semirrectas opuestas. De allí resulta que los ángulos adyacentes son a la vez consecutivos y suplementarios, porque juntos equivalen a un ángulo llano (180°), sin poseer ningún punto interior en común.1 2 3
Propiedades
Los senos de los angulos adyacentes son los mismos, por ejemplo:
sin( 120° ) = sin( 60° )
sin( α° ) = sin( 180° - α° )
sin( α ) = sin( π - α )
Los cosenos de los ángulos adyacentes son de igual valor absoluto, pero de signo inverso, como muestran los siguientes ejemplos:
cos( 120° ) = - cos( 60° )
cos( α° ) = - cos( 180° - α° )
cos( α ) = - cos( π - α )
ÁNGULOS CONSECUTIVOS Los ángulos consecutivos son aquellos que poseen un mismo vértice y tienen un lado
común. Así, dados varios ángulos, serán consecutivos cuando cada uno de ellos esté ordenado de
forma que comparta un lado con el ángulo siguiente y todos tengan el mismo vértice. Son ángulos consecutivos los conjugados y los adyacentes.
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE En Geometría euclídea dadas dos rectas r y s, del plano, que se cortan en el punto P, dos
ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro.
En la figura los ángulos a, c y b, d son opuestos por el vértice. Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes
ÁNGULOS INTERIORES Y EXTERIORES
Un triángulo tiene tres ángulos interiores, denominados en la figura: α, β, γ.
En Geometría , un ángulo interior o ángulo interno es un ángulo formado por dos lados de
un polígono que compartiendo un extremo común, está contenido dentro del polígono. Un polígono simple tiene sólo un ángulo interno por cada vértice y está situado del lado opuesto del polígono.
Si todos los ángulos interiores de un polígono no superan los 180 grados sexagesimales o radianes, se clasifican como polígonos convexos. Si existe por lo menos un ángulo
superior a 180 grados o radianes, se trata de un polígono cóncavo. Si todos los ángulos interiores de un polígono convexo son iguales y todos sus lados tienen
la misma longitud, se trata de un polígono regular. En caso contrario, se trata de un polígono irregular
Relaciones posicionales entre ángulos:
Ángulos adyacentes Ángulos consecutivos Ángulos interiores y exteriores
Determinados por dos paralelas y una transversal
Ángulos correspondientes Ángulos alternos
ÁNGULOS DETERMINADOS POR RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE
Observa en el dibujo que dos rectas paralelas cortadas una recta transversal crea 8 ángulos que reciben distintos nombres según la posición que ocupan:
Las recta r corta a las rectas paralelas m y n:
Los nombres de los ángulos según el lugar que ocupan reciben los nombres:
Interiores o internos:
En azul, son los que se encuentran entre las rectas paralelas.
Ángulos exteriores o externos:
Los ángulos exteriores o externos en color violeta, son los que hallan en la zona exterior de las paralelas.
Ángulos correspondientes: Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante, un ángulo en la parte interior y otro en el exterior de las paralelas.
Los ángulos del mismo color son correspondientes: El ángulo a se corresponde con el ángulo a’ El ángulo b se corresponde con el ángulo b’ El ángulo c se corresponde con el ángulo c’ El ángulo d se corresponde con el ángulo d’
Teniendo en cuenta lo dicho hasta aquí y fijándonos en la figura podemos afirmar que los ángulos correspondientes son iguales entre sí.
Ángulos alternos internos
Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de las rectas paralelas:
Los ángulos internos son d’, c, b y a’. Si los tomamos alternadamente, tendríamos, por un lado, los ángulos d’ y b, y por otro, c y a’ y comprobarás que los alternos internos son iguales entre sí.
Ángulos alternos externos:
Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las rectas paralelas:
Los ángulos externos son: a, b’, c’ y d que tomándolos alternadamente tendremos, por un lado los ángulos a y c’, y por otro, los ángulos b’ y d. Comprobarás que los ángulos alternos externos son iguales entre sí.
15.55 Observa la figura siguiente y después, contesta a las preguntas siguientes:
1. ¿Cómo son los ángulos 1 y 2? 2. ¿Cómo podemos llamar a los ángulos 1 y 4? 3. ¿Son suplementarios los ángulos 2 y 4? 4. ¿Son iguales los ángulos 2 y 3? ¿Por qué? 5. ¿Son correspondientes los ángulos 3 y 7? 6. ¿Cómo son los ángulos 4 y 6? 7. ¿Es el ángulo 6 correspondiente al ángulo 3? 8. ¿Son iguales los ángulos 5 y 8? ¿Por qué? 9. ¿Cómo puedes llamarles a los ángulos 1 y 8? 10. ¿Son alternos internos los ángulos 5 y 6?
Respuestas:
1. Adyacentes y suplementarios. 2. Opuestos por el vértice. Uno es externo y el otro interno. 3. Sí, juntos valen 180º. 4. Sí, por ser opuestos por el vértice. 5. Sí por encontrarse en el mismo lado de la secante, siendo uno un ángulo interior
y el otro un ángulo exterior. 6. No porque aunque se encuentren en el mismo lado de la secante los dos son
ángulos interiores. 7. No porque no están situados al mismo lado de la secante y además, los dos son
interiores. 8. Sí por estar opuestos por el vértice. 9. Son ángulos alternos externos ya que se encuentran a distinto lado de la secante
y en la parte exterior de las paralelas. 10. No porque no son alternos y además, los alternos internos son iguales entre sí.
En matemáticas, dos figuras de puntos son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño (o también, están relacionados por un movimiento) si existe una isometría que los relaciona: una transformación que es de translaciones, rotaciones y reflexiones. Por así decirlo, dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes.
Un ejemplo de movimiento o congruencia.semejante a ellas. La última no es ninguna de las dos cosas. Nótese que los movimientos cambian propiedades de las figuras como la posición de estas, pero dejan inalteradas otras como las distancias y los ángulos.
Los ángulos opuestos por el vértice son un ejemplo de ángulos congruentes. Las diagonales de un paralelogramo configuran ángulos opuestos por el vértice congruentes.
Ángulos congruentes
Los ángulos α y β son congruentes y opuestos por el vértice.
Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes. En esta imagen podemos ver que están marcados por el mismo color.
Ángulos alternos ALTERNOS EXTERNOS Las parejas de ángulos: <1 y <7; <2 y <8 se llaman ángulos alternos externos, y son congruentes (figura 1)son los que están afuera de las paralelas. ALTERNOS INTERNOS Las parejas de ángulos: <4 y <6; <3 y <5 se llaman ángulos alternos internos, y son congruentes (figura 1).son los que están dentro de las paralelas.
Ángulos congruentes entre paralelas
Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, de modo que, de los ocho ángulos formados entre dos paralelas y una transversal, hay únicamente dos distintos, que son adyacentes
Figura 2: Rectas paralelas a y b, tranversal t, ángulos adyacentes β y θ.
Teoremas y resultados relacionados
La noción de ángulos correspondientes es la base de numerosos ejemplos y teoremas fundamentales de la geometría,1 presente en los cursos de enseñanza media de las matemáticas.[Ver: Bibliografía] Es un resultado geométrico intuitivo conocido y manejado desde la antigüedad, de manera tanto práctica como teórica,2 si bien es la ciencia griega, y en particular Euclides, en los Elementos (siglo III a.C.), quienes formalizan los conceptos y las nociones de un modo que ha permanecido casi sin variaciones hasta nuestros días.
Según cuenta la leyenda, el filósofo Tales de Mileto utilizó esta propiedad para medir la altura de
las pirámides de Guiza, alrededor del año 500 a.C.
WEBGRAFIA
http://www.aulafacil.com/matematicas-basicas/geometria/curso/Lecc-14.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo
http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/geometria_part1/geometria_part1_home.html
POLÍGONOS Un polígono es una figura plana cerrada que está formada por tres o más segmentos de recta que se unen en sus puntos extremos. Los segmentos de recta que forman un polígono solo se intersectan en sus puntos extremos. Los polígonos se nombran de acuerdo al número de lados que están formados.
Triángulo: polígono de 3 lados Cuádrilatero: polígono de 4 lados Pentagono: polígono de 5 lados Hexágono: polígono de 6 lados Heptágono: polígono de 7 lados
Octágono: polígono de 8 lados Nonágono: polígono de 9 lados Decágono: polígono de 10 lados Dodecágono: polígono de 12 lados n - ágono: polígono de n lados
Las partes de un polígono son:
Vértices: puntos finales de los segmentos que forma el polígono, en la figura: A, B, C, D, E. Lados: segmentos de recta que unen dos vértices consecutivos del polígono, en la figura los lados son: AB, Lados consecutivos: cualquier par de lados que comparten un vértice, en la figura: AB y BC, BC y CD, Diagonal: un segmento de recta que une dos vértices no consecutivos, en la figura: AC. Apotema: de un polígono regular es la menor distancia entre el centro y cualquiera de sus lados. Es un segmento cuyos extremos son el centro de un polígono regular y el punto medio de uno cualquiera de sus lados, y es siempre perpendicular a dicho lado. CÍRCULOS
El círculo es una figura plana que consiste de todos los puntos que están sobre una curva cerrada y de los puntos interiores de ella, en la cual cada punto sobre la curva tiene la misma distancia al centro del círculo.
El radio de un círculo es la distancia entre el centro y cualquier punto de la curva y tiene longitud r. El diámetro de un círculo es la distancia entre dos puntos cualesquiera de la curva cerrada y que pasa por el centro y tiene longitud d = 2r y divide a un círculo en dos partes iguales. La Circunferencia es la línea curva cerrada y plana cuyos puntos están a la misma distancia (radio) de un punto (centro). El centro no es parte de la circunferencia. El área de un círculo, es la medida de la superficie limitada por la circunferencia del círculo dado. En la siguiente aplicación mueve los deslizadores y luego: Compara las superficies del polígono inscrito en la circunferencia y la del círculo delimitado por la misma. Aumenta el número de lados y cambia la longitud del radio ¿Qué harías para que la superficie del polígono fuese lo más parecida posible a la del círculo? Activa las casillas "Datos del polígono" y "Radio". Repite las actividades uno y dos. Comprueba que la respuesta que has dado en la actividad dos es la correcta. Activa las casillas "Área del polígono" y "Área del círculo". Comprueba si la respuesta dada en la actividad dos es acorde con los datos de las áreas.
PERIMETRO:
AREA:
WEBGRAFIA
http://www.aulafacil.com/matematicas-basicas/geometria/curso/Lecc-14.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo
http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/geometria_part1/geometria_part1_home.html
