GUA INTRODUCCIN A LA GEOMTRA DOCENTE: VERNICA PONCE

NGULOS

Un ngulo es la porcin de un plano limitada por dos semirrectas que

comparten un mismo origen llamado vrtice.

Los ngulos pueden nombrarse utilizando letras griegas. Por ejemplo:

TIPOS DE NGULOS: Los ngulos se clasifican segn su medida:

Bisectriz de un ngulo es la semirrecta que divide

a un ngulo en dos ngulos iguales.

ngulos complementarios Suman 90

ngulos suplementarios Suman 180

ngulos adyacentes son suplementarios y tienen un lado comn

NGULOS QUE SE FORMAN AL CORTAR RECTAS PARALELAS POR UNA SECANTE

RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ngulos

iguales. Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por l

pasa una y slo una perpendicular a dicha recta

El trazado de perpendiculares puede efectuarse de las siguientes formas:

- Con escuadra, por un punto perteneciente a la recta o exterior a la misma.

- Con comps, por un punto perteneciente a la recta o exterior a la misma.

RECTAS PARALELAS

Dos rectas son paralelas cuando no tienen ningn punto en comn, o cuando

son coincidentes.

NGULOS QUE SE FORMAN AL CORTAR RECTAS PARALELAS

a) Al intersecarse dos rectas en un plano puedes ver que se forman cuatro

ngulos. Todos estos ngulos tienen el mismo vrtice en comn.

b) Si observas detenidamente la figura te dars cuenta de que los lados

del ngulo 1 son la prolongacin de los lados del ngulo 4.

c) A su vez, para los ngulos 3 y 2 tambin se cumple lo mismo, es

decir, los lados del ngulo 3 son la prolongacin de los lados del ngulo 2.

A estos ngulos se les llama ngulos opuestos por el vrtice.

Dos ngulos son opuestos por el vrtice si los lados de uno son la

prolongacin de los lados del otro y siempre tienen la misma medida

Ejemplo:

Supongamos que el ngulo 1 mide 150.

Cunto mide el ngulo 2?

El ngulo 1 y el ngulo 2 son adyacentes, es decir la suma de sus amplitudes es 180. Por lo tanto,

Cunto mide el ngulo 4? El ngulo 2 y el ngulo 4 son adyacentes, por lo tanto:

es decir, los ngulos opuestos por el vrtice igual medida.

Puedes darle otras medidas al ngulo 1 y te dars cuenta de que esta relacin siempre se cumplir

CONGRUENCIA DE LOS NGULOS

Se dice que dos ngulos son congruentes cuando

tienen la misma medida.

La congruencia se indica con el signo

Cuando dos paralelas son cortadas por una recta transversal es posible identificar 8 ngulos.

Algunas relaciones entre ellos son:

- Los ngulos correspondientes son congruentes

- Los ngulos alternos internos son congruentes

- Los ngulos alternos son congruentes

- Los ngulos opuestos por el vrtice son congruentes

Si L1 // L2 entonces se tiene que:

- ngulos alternos internos: 2 y 5; 2 y 8

- ngulos alternos externos: 1 y 7; 4 y 6

- ngulos correspondientes: 1 y 5; 4 y 8; 2 y 6; 3 y 7

- ngulos opuestos por el

vrtice: 1 y 3; 2 y 4; 5 y 7; 6 y 8

1) Determina en cada una de las siguientes figuras el valor de los ngulos desconocidos

2) En cada caso uno de los ejercicios siguientes, determina el valor del ngulo desconocido. En todos

los casos, las rectas L cortadas por la transversal son paralelas.

1) a) = 45; = 45; = 135;b) = 130; = 50; = 130; c) = 90; = 90; = 90

2) a) = 145, = 145; b) = 135, = 135; c) = 85, = 95; d) = 20, = 20.

I. Encuentra el valor de x

II. Si R1 // R2, entonces el valor de x es:

III Si L // M, entonces el valor de x es:

POLGONOS

Un polgono es una figura plana cerrada delimitada por segmentos.

A estos segmentos se les llama lados.

El polgono ms pequeo es el tringulo, que tiene tres lados y tres ngulos

Elementos del polgono

a) Vrtice:

Es el punto de interseccin de dos segmentos contiguos.

Se designan con una letra mayscula A, B, C, D...

b) Lados:

Es cada uno de los segmentos de recta que forman el polgono.

Se designa con dos letras maysculas ubicadas en sus extremos,

o con una letra minscula en correspondencia con el vrtice

opuesto: AB=d, BC= e, CD=a, DE=b, EA=c

c) ngulo interior:

Es el ngulo formado por dos lados del polgono.

El ngulo interior se designa con una letra griega o con las tres letras maysculas de los vrtices que

correspondan.

d) ngulo exterior:

Es el ngulo formado por un lado y la prolongacin de otro contiguo

hacia la regin exterior.

Generalmente se designa con la letra griega del ngulo interior

Adyacente acompaada de un subndice

TRINGULO

Tringulo es un tipo de polgono (o figura plana y cerrada) que tiene tres lados.

El tringulo ilustrado en la figura indica:

Tringulo ABC : ABC

Lados :

ngulos :

Elementos primarios del tringulo

Vrtice : A , B , C

Lados : a , b , c

ngulos :

CLASIFICACIN DE LOS TRINGULOS

- Segn la medida de sus lados (equiltero, issceles y escaleno)

- Segn la medida de sus ngulos (acutngulos, rectngulo y obtusngulo)

a) Segn la medida de sus lados

Tringulo equiltero: Es el que tiene sus tres lados de igual medida

y sus tres ngulos de igual medida, cada uno de los cuales mide 60.

Los lados a, b y c tienen igual medida.

Esto se puede escribir tambin de la siguiente manera:

AB = BC = CA

Los ngulos tienen igual medida, es decir:

ABC = BCA = CAB = 60

Tringulo issceles: Es el que tiene dos lados de igual medida, por lo tanto,

tiene dos ngulos de igual medida.

trazo AB = trazo AC

ABC = BCA

Tringulo escaleno: Es el que tiene todos sus lados de distinta medida

y, por lo tanto, sus ngulos tambin son de distinta medida.

b) Segn la medida de sus ngulos

Tringulo acutngulo: Es el que tiene sus tres ngulos agudos;

es decir, sus ngulos miden ms de 0 y menos de 90

Tringulo rectngulo: Es el que tiene un ngulo recto; es decir,

un ngulo mide 90

CAB = 90

Tringulo obtusngulo: Es el que tiene un ngulo obtuso;

o sea, un ngulo que mide ms de 90 y menos de 180.

CAB obtuso (mayor que 90 y menor que 180)

TIPOS DE NGULOS DE LOS TRINGULOS

a) ngulos interiores que se encuentran en el interior de la figura

b) ngulos exteriores, producto de las prolongaciones de los lados.

En el tringulo ABC, si extendemos el lado AC hasta el punto P y el lado BC hasta el punto O y trazamos una

recta FG paralela a AB, entonces:

A partir de la demostracin anterior podemos decir que los ngulos interiores de un tringulo suman 180. Y

si adems determinamos que el:

Por ser opuestos por el vrtice, podemos decir que un ngulo exterior es igual a la suma de los ngulos

interiores no adyacentes, es decir:

Si hacemos la misma operacin en todos los vrtices del tringulo y tenemos

en cuenta todos los ngulos que son correspondientes y los que son opuestos

por el vrtice, tenemos:

Dejemos marcados solo los colores de los ngulos que conforman cada

uno de los ngulos exteriores. Nos damos cuenta, entonces, de que la

suma de los ngulos exteriores puede calcularse:

A partir de la demostracin anterior, podemos decir que los ngulos

exteriores de un tringulo suman 360

EJERCICIOS

1) Dados los siguientes tringulos determina la medida de los ngulos desconocidos

CUADRILTEROS

Los cuadrilteros son figuras geomtricas que tienen cuatro lados y cuatro ngulos.

Se clasifican en:

a) Paralelogramos: Tienen 2 pares de lados paralelos (Cuadrado, rectngulo, rombo y romboide)

b) Trapecios: Son cuadrilteros que tiene solamente un par de lados paralelos

c) Trapezoides: Son aquellos cuadrilteros que no tienen lados paralelos

REAS Y PERMETROS FIGURAS GEOMTRICAS

El permetro de un polgono cualquiera es la longitud de su contorno.

Para calcularlo se deben sumar las medidas de cada uno de sus lados.

EJERCITACIN

1) Si el permetro de un cuadrado es 49 cm, cunto miden sus lados?

2) Resuelve

a) Si a = 170 mm y b = 12 cm, cul es el permetro del rectngulo?

b) Si a = 18 m y el permetro del rectngulo es 60 m, cul es la medida de b?

c) Si a = 50 mm y b = 2a, cul es el permetro del rectngulo?

3) Resuelve

a) El permetro de un terreno cuadrado mide 100 m, cunto miden sus lados?

b) Calcula el permetro de una mesa cuadrada cuyos lados miden 1,4 m.

c) Se quiere cercar un terreno de forma rectangular de 50 m de ancho y 75 m de largo. Si se debe

dejar un portn de 4 m de ancho, cuntos metros de malla se necesitan para cercar todo el terreno?

d) Si la medida del lado de un cuadrado se duplica, el permetro tambin se duplica?

Justifica tu respuesta con un ejemplo.

4) Resuelve

a) El permetro de un tringulo equiltero es igual al permetro de un cuadrado.

Si este es igual a 36 cm, cul es la medida de los lados del tringulo equiltero y del cuadrado?

b) El permetro de un cuadrado es 16 cm. Si el ancho de un rectngulo mide lo mismo que el lado

del cuadrado y su permetro es 34 cm, cunto mide el largo del rectngulo?

Respuestas 1) Cada lado mide 12,25 cm 3) a) 25 m b) 5,6 m c) 246 m d) S

4) a) El lado del tringulo equiltero mide 12 cm y el del cuadrado mide 9 cm.

b) 13 cm. c) c1) mximo 88 m, mnimo 70 m c2) 352 m 5) 13,1 m 6)50 m

c) Las canchas de bsquetbol tienen dimensiones mximas de 29 m de largo y 15 m de ancho;

y dimensiones mnimas de 22 m de largo y 13 m de ancho.

c1) Cul es el mximo y mnimo permetro que puede tener la cancha?

c2) Si en la etapa de calentamiento un jugador debe dar 4 vueltas alrededor de la cancha,

qu distancia recorre si esta cancha tiene las dimensiones mximas?

5) En un restaurant se desea colocar guardapolvo en la cocina

(molduras de madera que se ponen en la parte baja de las paredes).

Cunto debe comprar si la cocina tiene las siguientes dimensiones?

6) El seor Jimnez tiene un terreno con la forma que

se muestra en el siguiente plano, y va a rodearlo con

una malla para que no se lo invadan. Cunto tendr

que comprar de malla?

CIRCUNFERENCIA

Una circunferencia est formada por todos los puntos cuya distancia a un punto llamado centro es la misma.

El segmento que va desde cualquier punto de una circunferencia a su centro, es el radio de la circunferencia

El punto interior (A) es equidistante de todos los puntos de la circunferencia

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

Radio: segmento que une cualquier punto de la circunferencia con el centro.

Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

Dimetro: cuerda que une dos puntos de la circunferencia, pasando por el centro. Es la cuerda de mayor longitud en la

circunferencia. En toda circunferencia se tiene que la medida

del dimetro corresponde al doble de la medida del radio.

Arco: parte de circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.

Secante a una circunferencia: recta que interseca a la circunferencia en dos puntos.

Tangente a una circunferencia: recta que interseca en un

nico punto a la circunferencia.

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA

1 2

3 4

Nmero y su relacin con la circunferencia

El valor de la razn entre la longitud de una circunferencia y su dimetro es un nmero constante

que llamamos nmero .

Este nmero es decimal infinito no peridico, que truncado a sus primeras cifras es:

= 3,1415926535, este valor se representa con la letra griega , y se pronuncia nmero pi.

= 3,14.., es la cantidad de veces que se debe repetir la medida del dimetro para que de la longitud de la circunferencia

Longitud de la

circunferencia

(el radio es la mitad del dimetro, por eso se multiplica por 2)

CRCULO

El crculo es la superficie encerrada por una circunferencia

1 2

3 4

El rea de un crculo es igual al producto de por su radio al cuadrado (r 2)

Es decir, r2

Corona circular: Una corona circular, tambin llamada anillo, es la regin

entre dos crculos concntricos. Su rea equivale a la diferencia de reas de

estos dos crculos concntricos, (R2-r

2), en la que R y r son los radios del

crculo mayor y menor, respectivamente.

El rea de una corona circular es igual al rea del

crculo mayor menos el rea del crculo menor.

CRCULO

CIRCUNFERENCIA

EJERCITACIN CIRCUNFERENCIA Y CRCULO

1) Completa la siguiente tabla, redondeando tus resultados a los centsimos. Considera = 3,14

2) Determina la longitud y el rea de las siguientes figuras. Considerar = 3,14

3) Determina el rea y el permetro de la siguiente corona circular, sabiendo

que la circunferencia menor tiene un dimetro que mide 7 cm, y el dimetro

de la mayor mide el doble que el dimetro de la menor.

4) El radio de la circunferencia que se muestra a continuacin mide 19 cm.

Si est inscrita en el cuadrado, cul es el valor del rea sombreada?

5) Determina la longitud de la circunferencia inscrita en el cuadrado,

si el permetro de dicho polgono es 80 cm.

6) La longitud de una semicircunferencia es 131,88 m. Cunto mide su radio?

7) La longitud de una circunferencia es 28,26 cm. Determina la medida de su dimetro.

8) Adriana est decorando un saln de eventos y lo ltimo que le falta

es adornar 100 manteles circulares con encaje. El dimetro de cada mantel

es de 1,7m. Cuntos metros de encaje utilizar por mantel?

9) El dueo de un saln de t quiere preparar la terraza para el verano, por lo tanto, va a construir

en el jardn una fuente circular con un dimetro de 2.5 m, el albail le pregunta que para cuntos metros

compra material. Qu debe contestar el dueo del saln de al albail?

10) Se necesita pintar de color caf el contorno de una

ventana con la forma que se indica en el dibujo.

Cuntos metros quedarn de color caf?

11) Se va a cubrir con alfombra un cuarto

que tiene la forma que se indica en el croquis.

Qu cantidad de alfombra se necesita?

RESPUESTAS

1)

2) a) L = 71,96 cm; A = 307,72 cm2,

b) L = 19,02 cm; A = 21,49 cm2

c) L = 32,13 cm; A = 63,59 cm2,

d) L = 26,84 cm; A = 37,68 cm2

3) P = 65,94 cm; A = 115,4 cm2

4) A = 310,46 cm2

5) L = 62,8 cm

6) r = 42 m

7) d = 9 cm

8) 160 m

9) 11.200 cm 112 m

10) 78,5 m

11) 785 cm 7,85 m

RADIO LONGITUD DE LA

CIRCUNFERENCIA

REA DEL CRCULO

7 cm 43,96 cm 153,86 cm2

5,4 cm 33,91 m 91,56 m2

3 mm 18,84 mm 28,26 mm2

4,3 cm 27 cm 58,06 cm2

6 m 37,68 m 113,04 m2

CUERPOS GEOMTRICOS

Corresponde a una figura geomtrica tridimensional, es decir, que se proyecta en tres dimensiones:

largo, ancho y alto

Debido a esta caracterstica existen en el espacio pero se hallan limitados por una o varias superficies

Poliedros: Cuerpos geomtricos que todas las superficies que lo limitan son planas y de contorno poligonal

Cuerpos redondos o de revolucin: Son los cuerpos limitados, parcial o totalmente, por superficies curvas.

Elementos de un cuerpo geomtrico

Caras

Son las superficies planas que limitan el cuerpo geomtrico.

Estas superficies planas son figuras geomtricas.

Las caras basales son las que sirven para apoyar el cuerpo en

el plano. Las dems caras son llamadas laterales.

Aristas Son las lneas que se forman cuando se juntan dos caras.

Se puede decir tambin, que son los lados de las figuras

geomtricas que forman los lados del cuerpo.

Vrtices Son los puntos donde se juntan tres o ms caras.

POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS (REVOLUCIN)

POLIEDRO

CUERPOS REDONDOS O CUERPOS DE REVOLUCIN

Los cuerpos redondos o de revolucin son aquellos cuyas superficies laterales son curvas

REA DE UN PRISMA RECTO

Un prisma es un poliedro que tienen dos caras paralelas e iguales llamadas bases y sus caras laterales

son paralelogramos

A partir del desarrollo del prisma recto podemos calcular su rea. Distinguimos dos partes:

rea lateral

Es la suma de las reas de sus caras.

Su desarrollo es siempre un rectngulo.

Uno de los lados del rectngulo coincide con el permetro de la base, y el otro, con la

altura del prisma.

rea de las bases

Las bases del prisma son polgonos regulares.

El prisma tiene 2 bases iguales.

El rea de un polgono es:

EJEMPLO

Calcula el rea total de un prisma de base pentagonal, sabiendo que su altura es 7 dm, el lado de la base

mide 3 dm y la apotema del polgono de las bases mide 2 dm.

REA DE UNA PIRMIDE

A partir del desarrollo de la pirmide recta podemos calcular su rea. Distinguimos dos partes:

rea lateral

Es la suma de las reas de las caras.

Sus caras son tringulos issceles iguales, por lo que el rea lateral es la suma de las

reas de los tringulos.

AL= n ATringulo

Siendo n el nmero de tringulos

de la pirmide

rea de la bases

Es el rea de un polgono regular.

El rea de un polgono es:

REA TOTAL DE LA PIRMIDE

EJEMPLO

Calcula el rea total de una pirmide de base pentagonal, si la apotema de la base mide 4,13 cm, el lado de la

base es 6 cm y la altura de cada uno de los tringulos de las caras es 9 cm.

CILINDRO:

Un cilindro se obtiene al rotar un rectngulo de lados r y h alrededor de

uno de sus lados.

Los lados no paralelos al eje de giro determinan crculos llamados bases.

REA TOTAL DE UN CILINDRO

CONO

El cono se obtiene al rotar un tringulo rectngulo de catetos r y h alrededor de uno de sus catetos.

El otro cateto determina un crculo llamado base

REA TOTAL DE UN CONO

Para calcular el rea del cono, sumamos el rea de la base y el rea del sector circular.

Si r es el radio de la base, su rea es:

A = r 2 Si g es la generatriz, el rea del sector circular es:

Asc = r g

Por lo tanto, el rea total del cono es:

A = rea base + rea sector circular = ( r 2) + ( r g)

ESFERA

La esfera es un cuerpo redondo que no tiene caras, ya que est formado por una nica superficie curva.

Se obtiene al girar un semicrculo sobre un eje que es su dimetro

REA TOTAL DE LA ESFERA

El rea de una esfera corresponde al rea de la nica cara que la constituye.

rea esfera = 4r2

EJEMPLO REA DE LA SUPERFICIE DE LA ESFERA

Encontrar el rea superficial. Redondear a la unidad ms cercana

rea esfera = 4r2

= 4(5)2=4(25)

= 100

= 314 cm2

VOLUMEN

Cuando hablamos de volumen nos referimos a la medida que ocupa un cuerpo en el espacio

Volumen Prisma

Para calcular el volumen de un prisma recto de base rectangular, puedes utilizar la siguiente frmula:

Volumen = rea basal altura

Volumen de pirmides

Para encontrar una frmula general que nos permita calcular el

volumen de una pirmide, observa que, en este caso, se puede

formar un prisma que contiene a la pirmide.

El volumen de la pirmide es equivalente a la tercera parte del

volumen del prisma. Es decir:

Para el prisma de base rectangular de la figura

rea de la base es: a b Altura es h,

Por lo tanto el volumen es: V = a b h.

Calcula el rea total y volumen de los siguientes cilindros y conos rectos (considera = 3,14).

RESPUESTAS

a) rea = 172,7 cm2 y Volumen = 166,81 cm3. b) rea = 129,67 cm2 y Volumen = 94,95 cm3.

c) rea = 185,5 cm2 y Volumen = 167,47 cm3. d) rea = 229,85 cm2 y Volumen = 204,73 cm3.

e) rea = 967,12 cm2 y Volumen = 2307,9 cm3. f) rea = 678,24 cm2 y Volumen = 1017,36 cm3.

g) rea = 1022,32 cm2 y Volumen = 2509,96 cm3. h) rea = 2128,92 cm2 y Volumen = 5369,4 cm3.

i) rea = 234,14 cm2 y Volumen = 237,38 cm3. j) rea = 2543,4 cm2 y Volumen = 8478 cm3.