Geometría Lineal

Geometría Lineal

Gerald Welters Dyhdalewicz

Índice general

Preludio 5¿Qué es esto? 5Lista de cosas pendientes (SOS) 7Contacto 8

Parte 1. Espacios y aplicaciones afines 9

Capítulo 1. Espacios afines 111.1. Espacios afines 111.2. Subespacios afines (o variedades lineales) 141.3. Coordenadas afines 191.4. Baricentros 26

Capítulo 2. Aplicaciones afines 312.1. Aplicaciones afines y afinidades 312.2. Ejemplos 342.3. Revisitando 1.3 & 1.4 382.4. Transporte de s-ea, puntos fijos y s-ea invariantes 41

Parte 2. Espacios euclídeos 45

Capítulo 3. Espacios vectoriales euclídeos 473.1. Producto escalar euclídeo 473.2. Normas 503.3. Ortogonalidad 51

Bibliografía 53

3

Preludio

Nada de lo aquí expuesto es necesario para iniciar el primer capitulo. Mihi ipsiscripsi.

¿Qué es esto?

“Dime y lo olvido,enséñame y lo recuerdo,involúcrame y lo aprendo.”Benjamin Franklin

Siguiendo el acertado consejo de Franklin, y dado que deseaba aprender amanejar LYX (interesante y muy recomendable editor WYSIWYM de TEX-LATEX, apesar de ciertas molestias), así como estudiar Geometría Lineal (puesto que la habíasuspendido con un 4’8, siendo este mi primer y único suspenso hasta la fecha;podría estar bien que fuera además el último), decidí matar dos pájaros de untiro transcribiendo los apuntes de la asignatura a partir de mis manuscritos y losde Arnau Moro Lozano (cursos 2011-12 y 2010-11 respectivamente; los primerosimpartidos para esta materia [en la UB] en el nuevo marco educativo dado por elEEES y su Proceso Bolonia, tengo entendido).

Así pues, si este texto contuviere errores o erratas (tipográficas, ortográficas,conceptuales o de cualquier otro tipo), imprecisiones varias o redacción confusa,edición pedestre o desordenada, etc., y se hubiere de culpar, en consecuencia, aalguien, ese seria yo: Marcos Salgado Corbillón. Yo asumo, digo, toda la responsa-bilidad a este respecto, en tanto en cuanto lo he redactado por gusto (y a mi gusto)e iniciativa propia lo mejor que he sabido, y, a la postre, en calidad de estudian-te/principiante, tanto en lo que se refiere a LYX (y LATEX y/o edición [matemáti-ca] en general), como en lo referente a la materia que nos ocupa (de otro modono la hubiese suspendido). Si lo difundo, por tanto, es simplemente porque creoque puede ser de utilidad a otras personas, si bien este socorro debe interpretarsesiempre como un daño colateral, ya que no era mi intención (no la primigenia, almenos).

Dicho esto, y si alguien creyese que puede hacerlo mejor (lo que no deberíaser difícil, pereza aparte) o, simplemente, tiene interés en ver las entrañas de estemonstruo, cedo al dominio publico (siempre y cuando me lo permita Welters, eldueño legitimo de estas notas) el archivo original en formato .lyx (fácil y fielmenteexportable a .tex y .pdf)1; gesto que, considero, debería volverse costumbre, entreesta clase de documentos (como viene promoviendo el movimiento OpenCour-seWare): querer proteger la autoría de este tipo de información (y el cómo se haprocesado, que no siempre es sencillo en LATEX) me parece absurdo, sin necesidadde entrar en diatribas del estilo “¿el conocimiento (y la matemática en particular)se crea/inventa/construye o se adquiere/descubre (y se redescubre [independien-temente] una y otra vez)?” y, por ende, preguntarse si tiene sentido hablar de la

1Preferiría esperar a completarlos, pero si a alguien le urge y me lo pide puedo adelantarselo.

5

http://es.wikipedia.org/wiki/WYSIWYM

http://es.wikipedia.org/wiki/Proceso_de_Bolonia

6 PRELUDIO

autoría del mismo2. Me parece absurdo, digo, ya que se trata de un conocimientoque en ocasiones viene perdurando y repitiéndose, casi literalmente, desde muyantiguo3, si bien, al menos en matemáticas y de un tiempo a esta parte, los concep-tos se reformulan en contextos más amplios a medida que los avances lo permiten.

Teniendo todo esto presente, me da la impresión, seguramente ingenua, deque lo ¿único? que se consigue con ese recelo y respeto hacia la noción de autores que los mismos resultados y temarios se deban reescribir desde cero una y otravez por diferentes autores para elaborar sus propios (aunque esencialmente losmismos) cursos (en lugar de, más rápido y simple, ensamblar bloques de resulta-dos4 y cambiar la nomenclatura con ctrl+F & remplazar para luego empezar unarevisión/personalización/aclimatación al contexto que se desee), ¿malgastando?su tiempo; un tiempo que podría invertirse mejor en investigación, por ejemplo.

No estoy diciendo, pese a todo, que esto, por sí mismo, sea algo negativo, yaque esta experiencia me ha permitido profundizar en lo que quería, interiorizarlo,así como valorar en la justa medida el gesto de Hunter S. Thompson, quien meca-nografío palabra por palabra El Gran Gatsby y Adiós a las armas para aprender delos estilos de sus autores, los cuales admiraba, por lo cual lo hizo con gusto. Es elabuso de esta actitud lo que me preocupa.

Pero sera mejor que deje estas cogitaciones para mis escritos personales y, co-mo es rigor en estos casos, insista en un punto anterior: aunque no podre pagarlos incentivadores 2,56$ por cada corrección, error encontrado o sugerencia útilremitida, como hace el bueno de Knuth (y ciertamente lo haría con gusto si pudie-ra), agradecería mucho que, de hallarlos, me los comunicaran. Todo sea por lograrsu (de Knuth, aunque no restrictivamente) ensoñado paraíso, en el cual “los pro-gramas deberían poder leerse junto a la chimenea, como las buenas novelas [...]Me emociona expresar un software de tal forma que pueda gustarle a una perso-na.”(fuente), si bien no tengo muy claro si es del todo legitimo llamar programa aun documento LYX(LATEX)5. Después de todo, no solo de literatura vive el hombre.

A todo esto, aprovecho la ocasión para ofrecerme (esta vez cobrando, eso sí)como ghostwriter, si alguien pudiese estar interesado. De hecho, podría decirse en

2Si alguien tuviese interés en que yo entrase en esta clase de diatribas y diese mi opinión y argu-mentos al respecto, bastaría redirigirle a: [en construcción, próximamente en mi blog: Sobre la bruma...]

3Pongamos un ejemplo clásico: si dejamos a un lado las traducciones y las extravagancias, no creoque este justificada la existencia de más de mil ediciones diferentes de los Elementos de Euclides,debidas más bien, creo, a las limitaciones de los medios de difusión y divulgación del conocimiento ya una tradición escolástica que forzaba a la exégesis en lugar de a la elaboración de nuevos manualescon diferentes estilos explicativos, preponderando así el significante sobre el significado (de ahí laqueja de Hilbert, entre muchos otros coetáneos suyos: “uno debería ser capaz de decir siempre, enlugar de puntos, líneas, rectas y planos; mesas, sillas y jarras de cerveza”); por no hablar de quienesse aprovechaban de la popularidad del magister para añadir material propio bajo su nombre, comoocurría con los libros XIV y XV, por ejemplo; supongo que era una manera practica de dar a conocersus ideas.

Parafraseando al califa Omar, “Si no contienen más (ni mejor) que lo que hay en los Elementos,son inútiles, y no es necesario publicarlas; si algo más contienen, son maliciosas (pues suplantan laidentidad de Euclides o tergiversan el original), y es necesario publicarlas bajo otro nombre”.

Lo que no significa que el remake, el remix o el apropiacionismo en general, per se, deba ser necesa-riamente fútil. Como suele decirse, con estas u otras palabras: se debe ser infiel al original si se le quiereser fiel (a su significado) y hacer así una buena adaptación (desde Lutero hasta Marianne Lederer pa-sando por Walter Benjamin, Octavio Paz, Foucault, Panero,... defendieron esta idea, cada uno con susrespectivos argumentos)

4Seria genial que existiese una tal base de resultados, cada uno de ellos con una lista de demos-traciones asociadas, clasificadas según el contexto y las herramientas utilizadas. ¿Sera ese el futuro deiniciativas como “Principia Mathematica” de Russell & Whitehead o “Elementos de matemática” deBourbaki?

5A las malas, sustitúyase “software” por “teorema”.

http://www.finanzas.com/xl-semanal/conocer/20110612/conocer-informatica-donald-knuthno-207.html

http://ghostwriter

http://prosa-msc.blogspot.com.es/

http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/byrne.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Argumento_ad_verecundiam#Magister_dixit

http://www.filmin.es/blog/21-remakes-que-si-merecen-la-pena

http://www.everythingisaremix.info/watch-the-series/

http://en.wikipedia.org/wiki/Template:Appropriation_in_the_Arts

LISTA DE COSAS PENDIENTES (SOS) 7

cierto sentido que una n-ésima razón (no podría [ni merecería la pena] revelarlastodas) por la cual me he tomado la molestia de escribirlo era para “engrosar micurrículum”, por ridiculo que parezca. La redacción no sera (como tampoco lo esesta) perfecta, obvio, pero puede servirle como base, al posible interesado. Ahí lodejo.

PS: Es posible que, debido a la frustración que me supuso suspender, hayaalargado en ciertas ocasiones (tal vez innecesariamente) las explicaciones (a me-nudo mediante múltiples notas al pie y referencias cruzadas) en pos de esclarecercualquier duda o detalle a MI mente, puesto que deseaba que hasta una idiota co-mo esa pudiese entenderlo incluso en la más ofuscada de sus noches. Así pues,disculpen si está “demasiado masticado”; creo que es parte de mi estilo, de todosmodos.

“Lo importante es entenderlo;aprobar es un corolario”José Luis Palacios

Lista de cosas pendientes (SOS)

Que Welters, el autor original e indiscutible de lo que son esencialmenteestos apuntes, le dé el visto bueno.Aunque no me preocupa especialmente, al ceder el archivo original .lyxeste documento es vulnerable a posibles vandalismos y similares. Por su-puesto que yo lo alojare en mi cuenta de Scribd, donde permanecerá in-corruptible, pero cualquiera podría descargarlo y boicotearlo (de maneramenos o más evidente) y difundir así una versión corrupta. Si alguien creetener alguna solución a este respecto, soy todo oídos.Solucionar los problemas con las referencias cruzadas: sobre ordenador nohay demasiados problemas, dado que clicando sobre ellas te llevan al lu-gar referenciado. Sin embargo, sobre papel, la lectura puede ser harto con-fusa, dado que el numero se corresponde con la numeración del entorno,sin distinguirlos. Además, aunque en la salida funcionan, en el documen-to LYX, dentro de las ecuaciones (que se correspondería con el texto escritoentre dolares en LATEX) aparece “??”.Otro inconveniente para una lectura sobre papel, si la impresión es enblanco y negro, es que pueden confundirse las marcas rojas de “nota alpie” con números inherentes a la ecuación.etc.

Si se busca SOS (ctrl+F: SOS; distinguir mayúsculas, coincidir solo palabras com-pletas), otros problemas menores serán explicados como comentarios LYX o TEXdonde correspondan.

Análogamente, indicare con INFO a los comentarios que crea convenientessobre cómo se ha redactado con LATEX, DUDA a las tribulaciones sobre la materia(que deberán tender a 0 gracias a las consultas que pueda hacerle a Welters), PEN-DIENTE a tareas inconclusas o que no sé si merece la pena hacer (como podría serla homogeneización de la nomenclatura). Por otra parte, la mayoría de las “notasLYX” que no tienen ninguna de esas “etiquetas” o títulos son “formulaciones al-ternativas” de lo mismo, sinónimos, reexpresiones equivalentes, explicitaciones,...;basura que preferí conservar momificada, esencialmente.

http://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Vandalismo

http://es.scribd.com/Sekioz/shelf

8 PRELUDIO

Contacto

[email protected]

“no sé si por vicio o por virtud, estoy dotado de un espíritu queno me permite aprovechar felizmente en disciplina alguna si ca-da precepto no se apoya en los antecedentes, siguiendo un ordenperpetuo y una cierta razón” Dedekind

6Los mensajes, por defecto, puede que vayan a “correo no deseado” (me pasaba con hotmail; vere-mos que ocurre con el e-mail de la UB). Si no respondiese, puede probarse suerte también en mi blog,Sobre la bruma..., o mi cuenta de Scribd, ambas bajo el alias “Sekioz (de Niafre)”.

http://prosa-msc.blogspot.com.es/

http://es.scribd.com/Sekioz/shelf

Parte 1

Espacios y aplicaciones afines7

7Se corresponde con el primer parcial.

Capítulo 1

Espacios afines

1.1. Espacios afines 1

Definición 1. Un espacio afín(ea) A de espacio director(ed) E sobre un cuerpo Kestá formado por:

Un conjunto A 6= ∅, cuyos elementos son los puntos del ea.Un espacio vectorial(ev) E sobre un cuerpo K (o, abreviadamente, un K-ev), cuyos elementos son los vectores del ed de A.Una aplicación

A× A α−−−−→ E

(p, q) −−−−→ −→pqp

q−→pq

tal que1. ∀p ∈ A, la aplicación γp : A→ E, con γp(x) = −→px, es biyectiva.2. ∀p, q, r ∈ A, −→pq +−→qr = −→pr (regla del paralelogramo).

Resumidamente, un K-ea o ea/K viene dado por la cuaterna (A, K, E, α), o, equi-valentemente, por la terna (A, K, E) en (o con) la aplicación α.

De esta definición se extraen fácilmente dos propiedades elementales:

Observación 1. ∀p, q ∈ A, −→pq = 0⇔ p = qDEMOSTRACIÓN.[⇐] −→pq =

hip.

−→pp =2

−→pp +−→pp⇒ −→pp = 0

[⇒]Supongamos que −→pq = 0Sabemos ya que −→pp = 0

}⇒ −→pq = −→pp⇒

1p = q 2 �

Observación 2. ∀p, q ∈ A, −→qp = −−→pq

DEMOSTRACIÓN. −→pq +−→qp =2

−→pp =1

0 �

Ejemplo 1. En R2 consideramos los subconjuntos:E = {(x, y) ∈ R2|x + y = 0} = 〈(1,−1)〉, A = {(x, y) ∈ R2|x + y = 2}.3

1Cf.:[R], 1.1–1.5 (pg. 21–26)[CL], IX.1–IX.2 (pg. 168–171)

2En realidad nos basta con la inyectividad de γp: γp(q) = γp(p)⇒ q = p3Quiero enfatizar que utilizare constantemente como abreviación la barra vertical, |, como sinóni-

mo de “tal que”, y no sólo para este contexto, entre llaves.

11

12 1. ESPACIOS AFINES

EA

Observamos que E es un R-ev, mientras que A es un R-ea de ed E en la apli-cación:

A× A α−−−−→ E((x1, y1) , (x2, y2)

)−−−−→ (x2 − x1, y2 − y1)

En efecto, la imagen cae en E, (x2 − x1)+ (y2 − y1) = (x2 + y2)− (x1 + y1)hip.=

2− 2 = 0, y, además, α cumple las dos propiedades exigidas para que A sea un ea:

Dado p = (x0, y0) ∈ A, la aplicación Aγp→ E

q = (x, y) → −→pq = (x− x0, y− y0)es biyectiva. Su inversa viene dada por: (z + x0, t + y0)← (u, v)Dados p = (x1, y1), q = (x2, y2), r = (x3, y3) ∈ A,−→pq +−→qr = (x2− x1, y2− y1) + (x3− x2, y3− y2) = (x3− x1, y3− y1) =

−→pr

Por un razonamiento análogo, es fácil ver que:

Ejercicio. (GENERALIZACIÓN) Sea K un cuerpo, n ∈ Z≥1En Kn = {(x1, . . . , xn)|xi ∈ K}, el conjunto A de las soluciones de un sistema

COMPATIBLE de ecuaciones lineales en x = (x1, . . . , xn) ∈ Kn:

A = {(x1, . . . , xn)|n

∑i=1

aji xi = bj, ∀j ∈ {1, . . . , m}}

es un K-ea de ed el conjunto E de las soluciones del sistema homogéneo asociado:

E = {(x1, . . . , xn)|n

∑i=1

aji xi = 0, ∀j ∈ {1, . . . , m}}

con la aplicación:

A× A α−−−−→ E

(x′, x′′) −−−−→ x′′ − x′

Nota. En el caso particular en el que, ∀i, j, aji = 0, bj = 0, tenemos que A =

Kn, E = Kn. Generalicemos ahora esta coincidencia:

Ejemplo 2. Sea E un K-ev. El conjunto A = E es un ea de ed E en la aplicación

A× A(E×E)

α−−−−→ E

(u, v) −−−−→ −→uv := v− u

1.1. ESPACIOS AFINES 13

Nota. Se pone de manifiesto la relevancia de este ejemplo, donde la noción de eaqueda en cierto modo desactivada por la presencia de un punto distinguido (elorigen), y sobre el riesgo que encierra la coincidencia aquí del conjunto A de lospuntos con el conjunto E de los vectores.

Definición 2. dim A := dimK ERecta afín: ea de dimensión 1.Plano afín: ea de dimensión 2.Punto: ea de dimensión 0. 4

Definición 3. El ea ordinario de dim n sobre un cuerpo K, AnK, es el ea (A =

Kn, K, E = Kn, α), con α(u, v) = −→uv := v− u. AsíA1

K es la recta afín ordinaria sobre KA2

K es el plano afín ordinario sobre K

Ejemplo 3. 5Sean x, y, z, t ∈ A ea. Se tiene la equivalencia de las siguientes condi-ciones:

1. −→xy =−→zt

2. −→xz =−→yt

3.−→xt = −→xy +−→xz

DEMOSTRACIÓN. [1⇒ 2] −→xz = −→xy +−→yzhip.=−→zt +−→yz = −→yz +

−→zt =

−→yt

[2⇒ 1] Análogo.

[1, 2⇒ 3]−→xt = −→xy +

−→yt

hip.= −→xy +−→xz

[3⇒ 1] −→xy =−→xt −−→xz = −→zx +

−→xt =

−→zt �

Definición 4. Cuando se dan estas igualdades, decimos que x, y, t, z son los vérti-ces de un paralelogramo (“de diagonales xt, yz”).

Ejemplo 4. 6Sean p1, . . . , pn; q1, . . . , qn dos sistemas de puntos del ea A. Se tiene:

n

∑i=1

−→piqi =n

∑i=1

−−−→piq f (i)

con f : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} una permutación cualquiera del conjunto de índi-ces.

DEMOSTRACIÓN. Sea O ∈ A un punto arbitrario del ea. Tenemos:n

∑i=1

−→piqi =n

∑i=1

(−→piO +

−→Oqi

)=

n

∑i=1

−→piO +

n

∑i=1

−→Oqi

n

∑i=1

−−−→piq f (i) =n

∑i=1

(−→piO +

−−−→Oq f (i)

)=

n

∑i=1

−→piO +

n

∑i=1

−−−→Oq f (i)

que, por la conmutatividad de la suma, coinciden.7 �

4Si bien es verdad que se gasta esta nomenclatura, hay un abuso de notación implícito en esteúltimo caso, ya que:

dim A = 0⇔ dimK E = 0⇔ E = {0} ⇔ E tiene un solo vector⇔1 A tiene un solo punto

Pero A = {p} 6= p, ie, A es un ea con un único punto, pero no es, estrictamente hablando, un punto.5Cf. Ejercicio 1.5 de la lista de problemas.6Cf. Ejercicio 1.6 & 1.30 de la lista de problemas.7Se hace notar que en el asunto interviene algo más que una simple cuestión de notación. A saber,

que la suma de estos vectores no depende de qué punto pi se empareje con qué punto qj.


Definición 5. (SUMA “PUNTO+VECTOR”)La aplicación inversa de (1) es: p + u← u. Así, x = p + u⇔ u = −→px 8

Observamos que esto nos permite ahora redefinir equivalentemente ea:

Definición 6. (REVISITADA)Un K-ea de ed E es un conjunto A y un K-ev E con una aplicación

A× E α′−−−−→ A

(p, u) −−−−→ p + ucumpliendo:

1. ∀p ∈ A, la aplicación γ−1p : E→ A, con γ−1

p (u) = p + u, es biyectiva, pueses la inversa de (1), que era biyectiva.

2. ∀p ∈ A, ∀u, v ∈ E, (p + u) + v = p + (u + v)

Hemos visto que la propiedad (1) resulta de la (1) original. Veamos que ocurrelo mismo con (2):

DEMOSTRACIÓN. Sean dados p ∈ A, u, v ∈ E. Entonces:

x := p + u⇔5

u = −→px

y := (p + u) + v = x + v⇔ v = −→xy

}⇒ u+ v = −→px+−→xy =

2

−→py⇔5

y = p+(u+ v)

�

Observación 3. ∀p ∈ A, p + 0 = p, pues −→pp = 0

COMENTARIO. En este momento Welters suele introducir la noción de bari-centro (Prop.16), en parte, entiendo, por las demandas propias de las clases delaboratorio. Sin embargo, por cuestiones de orden y claridad, y dado que esta sóloaparecerá incidentalmente (como ejemplo) en Def.13 antes de llegar a la secciónque le correspondería, section §1.4, he decidido trasladarla allí sin mayores repa-ros.

1.2. Subespacios afines (o variedades lineales)9

Definición 7. Sea A un K-ea de ed E. Un subespacio afín (s-ea) de A es un sub-conjunto de A de la forma B = p + F, donde p ∈ A, F ⊆ E s-ev de E.

Nota. p + F := {p + u : u ∈ F} ⊆ A

Proposición 1. Con las notaciones anteriores:1. B = p + F ⇔ p ∈ B, luego el p de la definición es intercambiable por cualquier

otro punto de B.2. F = {−→xy : x, y,∈ B}, luego F está determinado unívocamente por B.3. B es un ea de ed F con la aplicación inducida β = α|B :

B× B⋂ β−−−−→ F⋂A× A α−−−−→ E

(x, y) −−−−→ −→xy

8Esto justifica (o es coherente con) la definición u = −→px := x− p9Cf.:

[R], 1.6–1.9 (pg. 27–36)[CL], IX.3–IX.4 (pg. 171–175)[QR], 3.13 (pg. 108–119)

1.2. SUBESPACIOS AFINES 15

DEMOSTRACIÓN.1. [⇒] A 3 p = (p + 0) ∈ (p + F) = B, ya que 0 ∈ F por ser F un s-ev.

[⇐] p′ ∈ B⇒ p′ = p + u, con u ∈ FEntonces: p′ + F = (p + u) + F = p + (u + F) = p + F = B 10

2. [⊆] ∀u ∈ F, u = −→pq, con p ∈ B, q := (p + u) ∈ (p + F) = B

[⊇] ∀x, y ∈ B,{

x := p + u, u ∈ F ⇔ u = −→pxy := p + v, v ∈ F ⇔ v = −→py , −→xy = −→xp+−→py = −−→px+−→py = (−u+ v) ∈ F

�

Ejemplo 5. Para λ ∈ R, el conjunto Bλ ={(x, y) ∈ R2|x + y = λ

}es un s-ea del

plano afín real ordinario A2R, Bλ = (λ, 0) + F, con F = B0

Ejercicio. (GENERALIZACIÓN) En Kn, el conjunto B de las soluciones de un sistemacompatible de ecuaciones lineales es un s-ea de An

K de ed el conjunto F de lassoluciones del sistema homogéneo asociado.11

Observación 4. dim B ≤ dim A

DEMOSTRACIÓN. dim B = dimk F ≤A.L.

dimk E = dim A �

Observación 5. dim A < ∞⇒ [dim B = dim A⇔ B = A]

DEMOSTRACIÓN. [⇐] Trivial

[⇒]dimk E = dim A < ∞ por hipotesis

F ⊆ E s-evdim B = dim A⇔ dimk F = dimk E

⇒ F = E⇒ B = p + F = p + E = A

�

Observación 6. Los s-ea de dim 0 de A son los simpletes {p}, con p ∈ A 12

DEMOSTRACIÓN. Si p ∈ A, {p} = p + {0}, con {0} ⊆ E s-ev de dim 0 �

Posición relativa de dos s-ea (de un ea).

Notación. Sea A un K-ea de ed E, Bi = pi + Fi s-ea de A, i ∈ {1, 2}

Proposición 2. (INCLUSIÓN)

B1 ⊆ B2(a)⇔{

p1 ∈ B2F1 ⊆ F2

(b)⇔{ −−→p2 p1 ∈ F2

F1 ⊆ F2DEMOSTRACIÓN.

b)[⇒] p1hip.∈ B2 ⇒

p2︷︸︸︷(p1 + u) ∈ B2, con u ∈ F2

5⇒ F2 3 (−u) = −−→p2 p1[⇐] p1 =

5(p2 +

−−→p2 p1) ∈−−→p2 p1∈F2

(p2 + F2) = B2

a)[⇒] p1 ∈ B1

hip.⊆ B2 ⇒

F1︷︸︸︷{−→xy : x, y ∈ B1} ⊆

F2︷︸︸︷{−→xy : x, y ∈ B2}

[⇐] p1 ∈ B2 ⇒ B2 = p1 + F2 ⊇F2⊇F1

p1 + F1 = B1 �

10Si se quiere ser más explicito:p′ + F = {p′ + v|v ∈ F} = {(p + u) + v|v ∈ F} = {p + (u + v)|v ∈ F} = p + F = B11Cf. Ejem.1 y su generalización; son completamente análogos.12Cf. footnote (4)


Proposición 3. (CRITERIO DE INTERSECCIÓN NO VACÍA)

B1 ∩ B2 6= ∅⇔ −−→p1 p2 ∈ (F1 + F2)

Nota. F1 + F2 = {u + v : u ∈ F1, v ∈ F2} ⊆ E s-ev.Nótese también que −−→p1 p2 ∈ (F1 + F2)⇔ 〈−−→p1 p2〉 ⊆ (F1 + F2)DEMOSTRACIÓN.[⇒] Sea x ∈ B1 ∩ B2, de modo que x = pi + ui, ui ∈ Fi ⇔ ui = −→pix, con

i ∈ {1, 2}. Entonces: −−→p1 p2 = −→p1x +−→xp2 = −→p1x−−→p2x = (u1 − u2) ∈ (F1 + F2)[⇐] Por hipótesis, ∃ui ∈ Fi|−−→p1 p2 = u1 + u2 ⇒⇒ p2 = p1 +

−−→p1 p2 = p1 + (u1 + u2) = (p1 + u1) + u2 ⇒⇒ B2 3 [p2 + (−u2)] = (p1 + u1) ∈ B1 ⇒ B1 ∩ B2 6= ∅

�

Paralelismo.

Definición 8. B1, B2 son s-ea paralelos (B1 ‖ B2) ssi13 F1 ⊆ F2 o bien14 F2 ⊆ F115

Proposición 4. B1 ‖ B2 & B1 ∩ B2 6= ∅⇔ B1 ⊆ B2 o bien B2 ⊆ B116

DEMOSTRACIÓN. [⇐] Trivial[⇒] Por hipótesis, ∃p ∈ B1 ∩ B2 ⇒ Bi = p + FiTambién por hipótesis, Fi ⊆ Fj, para algún i, j ∈ {1, 2}, i 6= jPor tanto, Bi ⊆ Bj �

Observación 7. B1 ∩ B2 = ∅ 6⇒ B1 ‖ B217

DEMOSTRACIÓN. (Por contraejemplo)Sean p, q ∈ A, p 6= q, y B1 = {p}, B2 = {q} s-ea de A.Entonces, en efecto, tenemos que B1 ∩ B2 = ∅ & F1 = {0} = F2 �

Sin embargo, existe un caso particular en el que ésto sí ocurre:

Definición 9. Sea dim A = n ∈ N (finita). Un hiperplano de A es un s-ea H ⊆ Ade dim(n− 1). Así, un hiperplano de...

...una recta afín es un punto.

...un plano afín es una recta.

...un ea de dim 3 es un plano.

Proposición 5. Sea H un hiperplano de un K-ea A de dimensión finita, y B ⊆ A un s-ea.Entonces: B ∩ H = ∅⇒ B ‖ H

DEMOSTRACIÓN. (Por contrareciproco)Sea E el ed de A, dim E = n; FH el ed de H, dim FH = n− 1; FB el ed de B.

Entonces: B ∦ H ⇒ FB 6*n−1FH ⊆

nE⇒ FB + FH = E

Así, por Prop.3, B∩ H 6= ∅, ya que cualquier vector formado por puntos de A(y por ende, de sus s-ea) pertenece a E = FB + FH

18, cf. Def.1 �

13ssi=si y sólo si14Disyunción lógica: P ∨Q = 0⇔ P = 0∧Q = 0, ie, admitimos el caso F1 = F215Abreviada (o alternativamente), B1 ‖ B2 ⇔ Fi ⊆ Fj, para algún i, j ∈ {1, 2}, i 6= j

También: B1 ‖ B2 ⇔ ∃i, j ∈ {1, 2}, i 6= j, tales que Fi ⊆ Fj16También podría formularse como: “Sean B1 ‖ B2. Entonces: B1 ∩ B2 6= ∅ ⇔ B1 ⊆ B2 o bien

B2 ⊆ B1”, ie, dos s-ea paralelos se cortaran ssi uno de ellos está incluido en el otro.Esto equivaldría a añadir, respecto de la versión demostrada, la hipótesis B1 ‖ B2 en [⇐]. Pero dado

que esta hipótesis se obtiene trivialmente de Prop.2 y Def.8, uno puede juzgar que ambas son igual degenerales, dejándose al gusto del consumidor su formulación.

17ie, si B1 ∩ B2 = ∅, no necesariamente( 6⇒) B1 ‖ B218Nótese que no es necesario exigir E 6= ∅ por ser E ev

1.2. SUBESPACIOS AFINES 17

Intersección de s-ea.

Proposición 6. Sea A un K-ea de ed E, {Bi}i∈I una familia de s-ea de A. Entonces:B =

⋂i∈I

Bi 6= ∅⇒ B es un s-ea de A de ed F =⋂i∈I

Fi, siendo Fi el ed de Bi ∀i ∈ I

DEMOSTRACIÓN. Sea p ∈ B⇔ p ∈ Bi, ∀i ∈ I ⇔ Bi = p + Fi, ∀i ∈ ITenemos, ∀x ∈ A,x ∈ B⇔ ∀i ∈ I, x ∈ Bi ⇔ ∀i ∈ I, −→px ∈ Fi ⇔ −→px ∈ F ⇔ x ∈ (p + F)Por tanto, B = p + F �

De este modo, se reduce el calculo del s-ea intersección al calculo del s-evintersección.

Suma de dos s-ea.

Observación 8. B1, B2 ⊆ A s-ea 6⇒ B1 ∪ B2 ⊆ A s-ea

DEMOSTRACIÓN. (Por contraejemplo y absurdo){x}x∈R es un s-ea de A1

R, pero {x} ∪ {y} = {x, y} ⊆ R no es un s-ea de A1R,

ya que entonces debería tenerse B = {x, y} = x + F = y + F ⇒ F = {0,−→xy,−→yx},pero

(y +−→xy

),(

x +−→yx)

/∈ B �

Por tanto, se ha de definir adecuadamente que entendemos por suma:

Proposición 7. (DEFINICIÓN)19

Sea A un K-ea de ed E, Bi = pi + Fi s-ea de A, con pi ∈ A, Fi ⊆ E s-ev.Entonces existe un (único) s-ea B0 de A mínimo entre todos los s-ea de A que con-

tienen a B1, B2 (ie, B0 contiene a B1, B2, y está contenido en cualquier s-ea B de A quecontenga a B1, B2; abreviadamente, B1, B2 ⊆ B0 ⊆ B ⊆ A s-ea, ∀B|B1, B2 ⊆ B).

Denotamos a este s-ea B0 por B1 ∨ B2, que denominaremos s-ea suma de B1, B2.Se tiene, además, que: B1 ∨ B2 = p1 +

(⟨−−→p1 p2⟩+ F1 + F2

)De este modo, se reduce el calculo del s-ea suma al calculo del s-ev suma.

DEMOSTRACIÓN. [∃] Escribamos B0 := p1 +(⟨−−→p1 p2

⟩+ F1 + F2

), y veamos

que cumple las propiedades requeridas.Sea B ⊆ A s-ea, B = p + F, F ⊆ E s-ev. Se tiene, por Prop.2:

B1 ⊆ BB2 ⊆ B

}⇔{

p1 ∈ B, F1 ⊆ Fp2 ∈ B, F2 ⊆ F ⇔ p1 ∈ B, −−→p1 p2 ∈ F, F1, F2 ⊆ F ⇔ p1 ∈

B,⟨−−→p1 p2

⟩, F1, F2 ⊆ F ⇔

A.L.p1 ∈ B,

⟨−−→p1 p2⟩+ F1 + F2 ⊆ F ⇔ p1 +

(⟨−−→p1 p2⟩+ F1 + F2

)︸︷︷︸B0

⊆

B[!] Obvio, por estar cada uno incluido en el otro, si B

′0, B

′′0 cumplen las propie-

dades requeridas. �

Ejemplo 6. {x} ∨ {y} = x +(⟨−→xy

⟩+ {0}+ {0}

)= A1

R

Nota. El abuso de notación {x} ∨ {y} ≡ x ∨ y sera frecuente. 20

19Para ser fiel a los apuntes originales habría que crear un nuevo entorno “Prop/Def”, pero porcuestiones de claridad y sencillez he preferido denotarlo así. Digo también de claridad porque Welterscomentó que algunos estudiantes invirtieron el orden de los términos en los exámenes, ie, escribieron“Def/Prop”. Sin embargo, basta concienciarse con el significado de esta nomenclatura para apreciar laincongruencia que ello conlleva, la importancia del orden: “proposición que nos conduce de maneranatural a una definición”. Es por ello que creo que el paréntesis, como anidación o matrioska, es másclaro en esta idea.

Sea como fuere, esta notación tampoco se gasta demasiado, creo: aparte de con Welters, sólo la hevuelto a encontrar aquí (ctrl+F:Proposición-Definición)

20Cf. footnote (4)

http://riemann.unizar.es/geotop/WebGeoTo/Profes/eartal/docencia/geolineal/curso0405.pdf


Formulas de Grassman.

Proposición 8. Si B1, B2 son s-ea de un K-ea de dimensión finita, F1, F2 sus ed respecti-vos:

1. B1 ∩ B2 6= ∅⇒ dim(B1 ∨ B2) + dim(B1 ∩ B2) = dim B1 + dim B22. B1 ∩ B2 = ∅⇒ dim(B1 ∨ B2) + dim(F1 ∩ F2) = dim B1 + dim B2 + 1

DEMOSTRACIÓN. Por Prop.3:1.⟨−−→p1 p2

⟩+ F1 + F2 = F1 + F2 ⇒ dim(B1 ∨ B2) = dim(F1 + F2) =

=A.L.

dim F1 + dim F2 − dim(F1 ∩ F2) = dim B1 + dim B2 − dim(B1 ∩ B2)21

2.⟨−−→p1 p2

⟩+ F1 + F2 =

⟨−−→p1 p2⟩⊕ (F1 + F2)⇒ dim(B1 ∨ B2) = dim

(⟨−−→p1 p2⟩)

+dim(F1 + F2) =

A.L.1 + dim F1 + dim F2 − dim(F1 ∩ F2) = 1 + dim B1 +

dim B2 − dim(F1 ∩ F2)22

�

Corolario 1. B ⊆ A s-ea, dim A = n < ∞, x ∈ A \ B ⇒ B ∩ {x} = ∅ ⇒

dim (B ∨ {x}) = dim B+��: 0

dim{x}−��

��: 0

dim (F ∩ {0})+ 1 = dim B+ 1, con B = p+ F,{x} = x + {0}, cf. Obs.6.

Corolario 2. B ⊆ A s-ea, dim A = n < ∞, H ⊆ A hiperplano tal que B ∦ H 5⇒ B ∩H 6= ∅ ⇒ dim(B ∩ H) = dim B + dim H − dim(H ∨ B) =

5dim B + (n− 1)− n =

dim B− 1. 23

Generalización de la suma de dos s-ea.

Proposición 9. (DEFINICIÓN) Sea (A, K, E) ea, ∅ 6= X ⊆ A subsconjunto. Entoncesexiste un (único) mínimo s-ea de A que contiene a X: el s-ea generado por (o engendradoen) el subconjunto no vacío X,

B0 :=⋂

B⊆A s-ea

B⊇X

B

DEMOSTRACIÓN. ∅ 6= X ⊆ B0 ⇒ B0 6= ∅ 6⇒ B0 es un s-ea. El ser el mínimo yel único es inherente a la definición. �

Ejemplo 7. Sea {Bi}i∈I una familia de s-ea de A, I = {1, . . . , r}. Entonces:X = B1 ∪ B2 ⇒ B0 = B1 ∨ B2 (visto en Prop.7) 24

21Una demostración alternativa se tendría de calcular explícitamente, por las dos propiedades an-teriores, los s-ea suma e intersección, tomando p1 = p2 = p ∈ B1 ∩ B2. Pero dado que la dimensióndepende únicamente del ed, esto no es necesario.

22Nótese que la intersección de s-ev nunca esta vacía, ya que todos ellos contienen al vector 0. Noocurre así, sin embargo, con la intersección de s-ea, ya que no tenemos un tal punto distinguido.

Recordamos también que una suma entre K-ev es directa ssi su intersección es {0}, denotándolapor ⊕. En este sentido, alguien podría quejarse diciendo que la Prop.3 sólo nos garantiza

⟨−−→p1 p2⟩*

(F1 + F2), y no necesariamente⟨−−→p1 p2

⟩∩ (F1 + F2) = {0}, dado que podría darse

⟨−−→p1 p2⟩! (F1 + F2).

No obstante, en este caso la dim (F1 + F2) = 0⇒ F1 + F2 = {0} ⇒⟨−−→p1 p2

⟩∩ (F1 + F2) = {0}

23En Prop.5 ya vimos que, con estas condiciones, FB + FH = E, por lo que directamente dim(H ∨B) := dim

(⟨−−→p1 p2⟩+ FB + FH

)= dim E =: dim A = n.

Sin embargo, también podemos optar por la siguiente vía alternativa, que viene a repetir los argu-mentos de Prop.5:

n−1H ⊆ (B ∨ H) ⊆

nA⇒ B ∨ H = H ó B ∨ H = A

Pero B ∦ H ⇒ B * H ⇒ B ∨ H 6= HPese a todo, preferí la primera opción por lo ya comentado en footnote (21)

24Contener B1 ∪ B2 equivale a contener B1 & B2.

1.3. COORDENADAS AFINES 19

Caso particular del anterior, iterando:X =

⋃i∈I

Bi ⇒ B0 =∨i∈I

Bi = (. . . ((B1 ∨ B2) ∨ B3) ∨ . . . ) ∨ Br

En particular, tomando Bi = {pi}:p1, . . . , pr ∈ A⇒ p1 ∨ · · · ∨ pr = p1 +

⟨−−→p1 p2, . . . ,−−→p1 pr⟩ 25

1.3. Coordenadas afines26

Definición 10. Una referencia (afín), en adelante ref, de un ea (A, K, E) de dim nestá formada por:

Un punto O ∈ A (origen de la ref).Una base e1, . . . , en del ed E (base de la ref).

Definición 11. Dado x ∈ A, llamamos coordenadas (afines), en adelante coord,de x respecto de una referencia O; e1, . . . , en del K-ea A, a los únicos xi ∈ K|−→Ox =

∑ni=1 xiei, ie, a las componentes del vector

−→Ox ∈ E en la base e1, . . . , en.

Observación 9. Dada una ref O; e1, . . . , en de A, tenemos una biyección

Abiy.−−−−→ Kn

x sus coord−−−−−→ (x1, . . . , xn)

O + ∑ni=1 xiei ←−−−− (x1, . . . , xn)

DEMOSTRACIÓN. La inversa se obtiene, por Def.5, así:

Kn −−−−→ Ebiy.−−−−→ A

(x1, . . . , xn) −−−−→ ∑ni=1 xiei =

−→Ox −−−−→ O +

−→Ox = x

�

Nota. Amparados en esta ultima observación, a menudo (siempre y cuando nohaya peligro de confusión) cometeremos el abuso de notación consistente en iden-tificar un punto con sus coord y un vector por sus componentes. Así, por ejemplo,si (x1, x2) son las coord de x, diremos que x = (x1, x2), como puede apreciarse enel ejemplo siguiente:

25Si bien es verdad que definimos B1 ∨ B2 = p1 +(⟨−−→p1 p2

⟩+ F1 + F2

), hubiese sido igualmen-

te valido decir B1 ∨ B2 = p2 +(⟨−−→p1 p2

⟩+ F1 + F2

). Bajo esta definición alternativa, tendríamos

ahora que: (. . . ((p1 ∨ p2) ∨ p3) ∨ . . . ) ∨ pr =(. . .((

p2 +(⟨−−→p1 p2

⟩+ {0}+ {0}

))∨ p3

)∨ . . .

)∨ pr =(

. . .((

p3 +(⟨−−→p1 p2

⟩+⟨−−→p2 p3

⟩))∨ p4

)∨ . . .

)∨ pr = · · · = pr +

⟨−−→p1 p2, . . . ,−−−→pr−1 pr⟩

De hecho, en cada paso podríamos haber escogido un punto u otro sin mayores reparos, o tomar enúltima instancia un punto cualquiera de ellos, dado que, como vimos en Prop.1, B = p + F ⇔ p ∈ B.

26Cf.:[R], 1.10–1.11 (pg. 37–48) & 1.13–1.14 (pg. 49–57)[CL], IX.5 (pg. 175–177) & IX.8–IX.10 (pg. 183-191)[X], 4.3–4.7


Ejemplo 8. Con n = 2

O

O + x1e1 O +−→Ox = x = (x1, x2)

O + x2e2

x1e1

x2e2

∑ni=1 x ie i =

−→Ox

e1

e2

∑ni=1 e i

Problema. Sea (A, K, E, α) un ea. Dados x, y en coord, ¿cómo se describirá α(x, y)en coord?

Proposición 10. (RESPUESTA)1. Para la primera definición de ea, Def.1: Sean x, y ∈ A de coord respectivas

(x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn) en la ref de A.27 Entonces el vector α(x, y) = −→xy ∈ Etiene por componentes (y1 − x1, . . . , yn − xn).28

2. Para la segunda definición de ea, Def.6: Sea x como antes, u∈E de componentes(u1, . . . , un) en la base e1, . . . , en de la ref. Entonces el punto α(x, u) = x + u ∈A tiene por coord (x1 + u1, . . . , xn + un).

DEMOSTRACIÓN.

1.−→Ox = ∑n

i=1 xiei−→Oy = ∑n

i=1 yiei

}⇒ −→xy =

−→xO +

−→Oy = −−→Ox +

−→Oy = ∑n

i=1(yi − xi)ei

2.−→Ox = ∑n

i=1 xieiu = ∑n

i=1 uiei

}⇒ x + u =

(O +−→Ox)+ u = O + ∑n

i=1(xi + ui)ei

�

Descripción de los puntos de un s-ea mediante coord.1.Forma parametrica (o explicita).

Suposición. Sea (A, K, E) ea de dim n, O; e1, . . . , en ref de A, B = p + F s-ea de A,(b1, . . . , bn) coord de p. Si dim B = r, F = 〈v1, . . . , vr〉 s-ev de E generado por r VectoresLinealmente Independientes(VLI)29 vi de E dados por sus componentes (a1

i , . . . , ani ) en la

base e1, . . . , en, ie, vi = ∑nj=1 aj

iej. Por tanto, cualquier vector de F sera una combinaciónlineal de {v1, . . . , vr}.Conclusión. x ∈ B⇔ x = p + ∑r

i=1 λivi, con λi ∈ K, i ∈ {1, . . . , r}.Así, xj = (p + ∑r

i=1 λivi)j = bj + ∑ri=1 λia

ji , con j ∈ {1, . . . , n}.

Resumida/esquemáticamente: (x1, . . . , xn) = (b1, . . . , bn) + ∑ri=1 λi(a1

i , . . . , ani ).

30

27O simplemente, por la nota anterior, x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ A28O simplemente, por la nota anterior, −→xy = y− x. Esto pone de manifiesto lo natural que resulta el

susodicho abuso de notación.29Por analogía usare también las abreviaciones VLD, PLI, PLD, donde D=dependientes, P=puntos.30Para no redundar con tantas letras, y si no hay peligro de confusión, podría haberse denotado,

quizá más cómoda o naturalmente, como (x1, . . . , xn) = (p1, . . . , pn) + ∑ri=1 λi(v1

i , . . . , vni ).


Ejemplo 9. Sea B = p ∨ q = p +⟨−→pq

⟩, con p = (1, 1,−1), q = (2, 1, 3) ⇒ −→pq =

(1, 0, 4). Entonces B 3 x = (1, 1,−1) + λ(1, 0, 4) = (1 + λ, 1,−1 + 4λ) es el puntogenérico de la recta p ∨ q.

2.Forma implícita (o mediante [sistemas de] ecuaciones)31.

Proposición 11. Sea (A, K, E) un ea, O; e1, . . . , en una ref de A. Sea (1) ={

∑ni=1 aj

i xi = bj, ∀j ∈ {1, . . . , m}}

un sistema compatible en x ∈ Kn, (2) su sistema homogéneo32. Entonces, en la referen-cia/base dada:

B = {x ∈ A|sus coord son solución de (1)}F = {v ∈ E|sus componentes son solución de (2)}

}⇔ B s-ea de A de ed F

(motivo por el cual los s-ea se llaman también variedades lineales)Se tiene, además, que dim B := dim F = dim (n− rg (2)) = dim (n− rg (1)).

DEMOSTRACIÓN. [⇒] Por A.L. sabemos que F es un s-ev de E de dim (n− rg (2)).33

Por otra parte, si p = (p1, . . . , pn) ∈ B, x = (x1, . . . , xn) ∈ A, se tiene:x ∈ B⇔ (x1, . . . , xn) es solucion de (1)⇔ (x1− p1, . . . , xn− pn) es solucion de (2)⇔

−→px ∈ F ⇔ x ∈ p + FPor tanto, B = p + F, con p ∈ B ⊆ A, F ⊆ E s-ev; ie, B es un s-ea de A de ed F

de dim (n− rg (1)).[⇐] Sea B = p + F un s-ea de A, con p = (p1, . . . , pn) ∈ B, F ⊆ E s-ev.Por A.L. podemos hallar un sistema (2) cuyas soluciones sean las componentes

de los vectores del s-ev F, describiéndolo como queríamos.Queremos hallar ahora un sistema (1) tal que sus soluciones sean las coord

de los puntos de B; el sistema{

bj = ∑ni=1 aj

i pi, j ∈ {1, . . . , m}}

cumple esto trivial-mente. �

Ejemplo 10. Caracterización analítica del alineamiento de tres puntos en un planoafín: dim (A ∨ B ∨ C) ≤ 1⇔ A, B, C alineados

DEMOSTRACIÓN. dim (A ∨ B ∨ C) = dimK

⟨−→AB,−→AC⟩≤ 1⇔ −→AB,

−→AC VLD

⇔∣∣∣∣

−→AB

−→AC

b1 − a1 c1 − a1b2 − a2 c2 − a2

∣∣∣∣ = 0⇔a1 b1 − a1 c1 − a1a2 b2 − a2 c2 − a2

1 0 0=

∣∣∣∣∣∣a1 b1 c1a2 b2 c21 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 0 34

lo que nos da una ecuación con la que describir la recta A ∨ B ∨ C. �

Este último ejemplo nos conduce de manera natural al siguiente apartado, queaclarara y generalizara estas nociones:

Independencia lineal de puntos.

Observación 10. Sean qo, . . . , qr un sistema de puntos (no necesariamente distin-tos) de un ea (A, K, E). Se tiene: dim (q0 ∨ · · · ∨ qr) = dimK

⟨−−→q0q1, . . . ,−−→q0qr⟩≤ r

(por A.L., la igualdad se tiene ssi −−→q0q1, . . . ,−−→q0qr VLI).

Por otra parte, entiéndase bien lo que esto significa, ie, apréciese que se está haciendo uso del si-guiente abuso de notación: ∑r

i=1 λi(a1i , . . . , an

i ) := (∑ri=1 λia1

i , . . . , ∑ri=1 λian

i )31También conocido como método euclídeo.32Cf. Generalización Ejem.1.133dim E = dim (ker A) + rg A, donde ker A = F & A = (aj

i) ∈ Mm×n (K) la matriz asociada (noampliada) al sistema (1). De ahí el abuso de notación rg(1) := rg A =: rg(2).

34Nótese que∣∣∣∣ b1 − a1 c1 − a1

b2 − a2 c2 − a2

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣

x1 b1 − a1 c1 − a1x2 b2 − a2 c2 − a21 0 0

∣∣∣∣∣∣ para cualquier par x1, x2 ∈ K, ie,

no necesariamente xi = ai , si bien tomar las coord del punto A es, como acabamos de ver, lo máspractico/cómodo/natural.


Por tanto, parece legitimo decir que:

Definición 12. El sistema de puntos qo, . . . , qr es un sistema de PLI ssi dim (q0 ∨ · · · ∨ qr) =r, ie, ssi los −−→q0q1, . . . ,−−→q0qr VLI. Así, qo, . . . , qr son PLI ssi no se hallan sobre ningúns-ea de dim < r. En caso contrario, diremos que se trata de un sistema de PLD.Ejemplo 11.

En r = 0, q0 es un sistema de PLI.En r = 1, q0, q1 es un sistema de PLI ssi −−→q0q1 6= 0, ie, ssi q0 6= q1.En r = 2, q0, q1, q2 es un sistema de PLD ssi q0, q1, q2 están alineados.En r = 3, q0, q1, q2, q3 es un sistema de PLD q0, q1, q2, q3 son coplanarios.

Observación 11. El número máximo de puntos de un sistema de PLI, con dim A =n, es (n + 1), y es un sistema formado por (n + 1) PLI de A, qo, . . . , qn, que equiva-len a dar una ref de A: O = q0; e1 = −−→q0q1, . . . , en = −−→q0qn.

Ejemplo 12. Para n = 2,

q0 = O

q2 = O + e2

e2

q1 = O + e1e1

Proposición 12. Sean qo, . . . , qn ∈ A ea de dim n, qi = (q1i , . . . , qn

i ). Entonces:

qo, . . . , qn PLI ⇔

∣∣∣∣∣∣∣∣∣q1

0 q11 . . . q1

n...

......

qn0 qn

1 · · · qnn

1 1 . . . 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0

DEMOSTRACIÓN.∣∣∣∣∣∣∣∣∣q1

0 q11 . . . q1

n...

......

qn0 qn

1 · · · qnn

1 1 . . . 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣∣

q10 q1

1 − q10 . . . q1

n − q10

......

...qn

0 qn1 − qn

0 · · · qnn − qn

01 0 . . . 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = ±∣∣∣∣∣∣∣

q11 − q1

0 . . . q1n − q1

0...

...qn

1 − qn0 · · · qn

n − qn0

∣∣∣∣∣∣∣ 6=0⇔ −−→q0q1, . . . ,−−→q0qn VLI ⇔ qo, . . . , qn PLI.35 �

Corolario 3. (APLICACIÓN) Sea el sistema de PLI qo, . . . , qn−1 ∈ A ea de dim n, qi =(q1

i , . . . , qni ) en una ref dada, H = qo ∨ · · · ∨ qn−1 hiperplano de A. El hiperplano H tiene

por ecuación, en la ref dada:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣q1

0 q11 . . . q1

n−1 x1...

......

...qn

0 qn1 · · · qn

n−1 xn1 1 . . . 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

DEMOSTRACIÓN. Un punto x ∈ A de coord (x1, . . . , xn) pertenece a H ssiqo, . . . , qn−1, x PLD.36 Aplicando ahora la proposición anterior, ya habremos ter-minado. �

35Cf. Ejem.10 (caso n = 2).36Si se quiere ser más explícito, basta observar que qo , . . . , qn−1︸︷︷︸

PLI

, x PLD⇔ −−→qoq1, . . . ,−−−→q0qn−1︸︷︷︸VLI

,−→q0x VLD

⇔ −→q0x ∈⟨−−→q0q1, . . . ,−−−→q0qn−1

⟩⇔ x ∈ q0 +

⟨−−→q0q1, . . . ,−−−→q0qn−1⟩= q0 ∨ · · · ∨ qn−1 = H. En particular,

deducimos que x ∈ H ⇒ H ∨ x = H (la otra implicación es trivial), ya que −→q0x ∈⟨−−→q0q1, . . . ,−−−→q0qn−1

⟩.


Problema. Sea A un K-ea, B un s-ea de A dado por (1) ={

∑ni=1 aj

i xi = bj, ∀j ∈ {1, . . . , m}}

.¿Cual es la expresión general de la ecuación de los hiperplanos H de A que con-tienen a B?

Proposición 13. (RESPUESTA) La ecuación de H es una combinación lineal de (1), ie, esuna ecuación de la forma: ∑m

j=1 ρj

(∑n

i=1 aji xi − bj

)= 0

DEMOSTRACIÓN. Sea (2) = {∑ni=1 aixi = b|ai, b ∈ K} la ecuación de un hi-

perplano H de A. Se tiene: B ⊆ H ⇔ H ∩ B = B ⇔

(H ∩ B) 6= ∅dim(H ∩ B) = dim B(H ∩ B) ⊆ B

⇔

el sistema{

(1)(2) que describe H ∩ B es compatible (ya que es no vacío, ie, tiene

soluciones) y estas son las de B, ie, las de (1). Es decir, (2) es una combinaciónlineal de (1). �

Ejemplo 13. En un R-ea de dim 3 se da, en cierta ref, la recta L de ecuaciones:

L{

x− y + z = 1x + 2y = 0

Queremos hallar la ecuación del plano π = L ∨ p, con p = (1, 1, 0) en la ref dada.Para ello, como acabamos de ver, tomamos una combinación lineal de L, πλ,µ :

λ(x − y + z − 1) + µ(x + 2y) = 0, con λ, µ ∈ R. Imponiendo ahora p ∈ πλ,µ :λ(1− 1 + 0− 1) + µ(1 + 2) ⇒ −λ + 3µ = 0 ⇒ λ = 3µ. Por tanto, como µ 6= 0(de otro modo, π : 0 = 0 no seria un plano), podemos simplificar, quedandoπ : 3(x− y + z− 1) + (x + 2y) = 0⇔ π : 4x− y + 3z = 3

Razón simple (de una terna ordenada de puntos alineados en un ea).

Definición 13. Sea (A, K, E) un ea, P, Q, R ∈ A (puntos) alineados, Q 6= R. Enton-ces: ∃!λ ∈ K|−→PR = λ

−→QR en el ed E de A al que llamamos “la razón simple de la

terna ordenada (P, Q, R)” y denotamos por (P, Q, R).P RQ −→

QR−→PR

En particular,

P = R⇔ (P, Q, R) = 0P = Q⇔ (P, Q, R) = 1bar(P, Q) = R⇔ (P, Q, R) = −1 37 P QR~v −~v

Problema. Supongamos que P, Q, R son 2 a 2 distintos, de modo que (P, Q, R) :=λ /∈ {0, 1}, ie, (λ − 1), (1 − λ), λ ∈ K \ {0}, ie, son invertibles. ¿Cómo variaraentonces la razón simple al permutar sus puntos?

Proposición 14. (RESPUESTA) Hay 3! = 6 permutaciones:

1. (P, Q, R) = λ1 , la identidad.

2. (Q, P, R) = 1λ

3. (P, R, Q) = 1−λ1

4. (Q, R, P) = λ−1λ

5. (R, P, Q) = 11−λ

37Cf. Obs.12


6. (R, Q, P) = λλ−1

38

DEMOSTRACIÓN.

1. (P, Q, R) = λ⇔ −→PR = λ−→QR por definición.

2. (Q, P, R) = µ ⇔ −→QR = µ−→PR ⇔ µ−1−→QR = µ−1µ

−→PR ⇔ −→PR = µ−1−→QR ⇔

(P, Q, R) := λ = µ−1 ⇔ µ = 1λ

3.−→PR = λ

−→QR

−→PR =

−→PQ +

−→QR

}⇒ −→PQ +

−→QR = λ

−→QR ⇔ −→PQ = (λ − 1)

−→QR = (1−

λ)−→RQ⇔ (P, R, Q) = (1− λ)

Llamemos σ a la transposición39 que permuta las posiciones 1ª y 2ª, ie, σ(P, Q, R) =(Q, P, R) = 1

λ , τ a la transposición que permuta las posiciones 2ª y 3ª, ie, τ(P, Q, R) =(P, R, Q) = 1− λ. Entonces:

4. τ (σ (P, Q, R)) = τ (Q, P, R) = (Q, R, P), con τ (σ (λ)) = τ(

1λ

)= 1 −

1λ = λ−1

λ

5. σ (τ (P, Q, R)) = σ (P, R, Q) = (R, P, Q), con σ (τ (λ)) = σ (1− λ) = 11−λ

6. σ (τ (σ (P, Q, R))) = σ (Q, R, P) = (R, Q, P), con σ (τ (σ (λ))) = σ(

λ−1λ

)=

λλ−1

�

Nota. En la bibliografía referenciada pueden encontrarse diferentes acepcionespara el termino “razón simple” según que permutación se tome como la inicial.Así,

λ′ = (P, Q, R)CL = λλ−1 = (R, Q, P) en [CL, X].

λ′′ = (P, Q, R)R = 1λ′ =

λ−1λ = (Q, R, P) en [R].

Por otra parte, también podemos encontrarnos con el abuso de notación o herejía

practica: “λ =−→PR−→QR

”

Proposición 15. (TEOREMA DE THALES) En un plano afín con r, s, t rectas paralelascortando a l, l′ en los puntos R, S, T & R′, S′, T′ respectivamente, se tiene:

(R, S, T) =(

R′, S′, T′)

38Curiosidad: 2, 4, 6 se obtienen intercambiando 1por←→ λ en, respectivamente, 1, 3, 5. Se hace saber

también que estos seis elementos reaparecerán en un estudio análogo a este pero respecto de la razóndoble en el curso de geometría proyectiva y, posteriormente, respecto del j-invariante de Klein paracurvas elípticas en el curso de geometría algebraica (cf. class 47 de “Foundations of algebraic geometry2007-08” de Ravi Vakil), con la consecuente importancia en aritmética.

39Ciclo de longitud 2, ie, permutación que intercambia dos elementos y fija los restantes. Estasnociones se estudian en la asignatura de Estructuras Algebraicas (grupos).

http://math.stanford.edu/~vakil/0708-216/216class47.pdf


R′

r s t

Rl

l′

S

S′

T

T′u

v

DEMOSTRACIÓN. Sea

{λ = (R, S, T)⇔ −→RT = λ

−→ST

λ′ = (R′, S′, T′)⇔−−→R′T′ = λ′

−−→S′T′

Queremos ver que λ = λ′.Sea u el vector director de l, ie, 〈u〉 ed de la recta l.Sea v el vector director común de r, s, t, ie, 〈v〉 ed común de r, s, t.Tenemos que u, v son VLI, ie, 〈u〉 6= 〈v〉.Por tanto, u, v son base del ed E del plano, ie, E = 〈u〉 ⊕ 〈v〉.Por otra parte:

−−→R′T′ =

−→R′R +

−→RT′ =

−→R′R +

−→RT +

−→TT′ = λ

−→ST︸︷︷︸∈〈u〉

+(−→

R′R +−→TT′

)︸︷︷︸

∈〈v〉

−−→R′T′ = λ′

−−→S′T′ = λ′

(−→S′S +

−→ST +

−→TT′

)=

︷︸︸︷λ′−→ST +

︷︸︸︷(−→S′S +

−→TT′

)λ′

Como u, v son VLI, necesariamente

{λ−→ST = λ′

−→ST ⇒ (λ− λ′)

−→ST = 0

−→R′R +

−→TT′ = λ′

(−→S′S +

−→TT′

)De la primera ecuación deducimos el Teorema de Thales propiamente dicho:

como por hipótesis S 6= T (por ser s 6= t), ie,−→ST 6= 0, podemos concluir que

(λ− λ′) = 0, ie, λ = λ′.De la segunda ecuación obtenemos el siguiente corolario: �

Corolario 4. En el caso particular T = T′, ie,−→TT′ = 0 , tenemos que

−→R′R = λ′

−→S′S 40

R′

r s

R

l

l′

S

S′

T = T′

Juntando ambos resultados, podemos escribir ahora, a modo meramente in-tuitivo:

40Una demostración alternativa, que no requiere del resultado anterior, seria, con las mismas nota-ciones:−→

RR′ =−→RT +

−→TR′ =

−→RT −

−−→R′T′ = λ

(−→ST +

−−→S′T′

)= λ

(−→ST +

−→TS′)= λ−→SS′


”−→RR′−→SS′

=

−→RT−→ST

=

−−→R′T′−−→S′T′

”

Ejercicio. Escribir los teoremas de Menelao y Ceva.41

1.4. Baricentros42

Nota. Para evitar car K = 0 43, impondremos que Z ⊂ K 44 o, si se prefiere y paraconcretar, K = R.

Proposición 16. (DEFINICIÓN) Sea p1, . . . , pn un sistema de puntos de un ea (A, K, E).Entonces: ∃!p ∈ A|∑n

i=1−→ppi = 0, al que llamamos “baricentro del sistema” y denotamos

bar(p1, . . . , pn) .

DEMOSTRACIÓN. [∃] (Calculo explicito) Tomemos q ∈ A punto auxiliar, p ∈A|0 = ∑n

i=1−→ppi = ∑n

i=1(−→pq +−→qpi

)= ∑n

i=1−→pq + ∑n

i=1−→qpi = n−→pq + ∑n

i=1−→qpi ⇔

n−→pq = −∑ni=1−→qpi ⇔ n−→qp = ∑n

i=1−→qpi ⇔ −→qp = n−1 ∑n

i=1−→qpi ⇔ p = q+∑n

i=1 n−1−→qpi

[!] Por analogía, sea p′ ∈ A|0 = ∑ni=1−→p′pi = n

−→p′p +

n

∑i=1

−→ppi︸︷︷︸0

⇔ n−→p′p = 0 ⇔

−→p′p = 0⇔ p′ = p �

Observación 12. El punto medio de dos puntos P, Q puede escribirse como 12 P +

12 Q := bar(P, Q)

Observación 13. Se puede dar un significado coherente a expresiones como ∑ni=1 λi pi, pi ∈

A, λi ∈ K:

∑ni=1 λi 6= 0⇒ el resultado es un punto.

∑ni=1 λi = 0⇒ el resultado es un vector.45

Proposición 17. (DEFINICIÓN) Sea p1, . . . , pn un sistema de puntos de un ea (A, K, E),λ1, . . . , λn ∈ K|∑n

i=1 λi = 1 . Entonces: ∀q ∈ A, el punto q + ∑ni=1 λi

−→qpi es siempre elmismo (ie, no depende de q): es el “baricentro de p1, . . . , pn con pesos respecto λ1, . . . , λn”,denotado ∑n

i=1 λi pi.

DEMOSTRACIÓN. Si q, q′ ∈ A,

41Cf.:[R], pg 54–55[CL], pg 188–19942Cf.:

[R], 1.12 (pg. 48–51)[CL], IX.6 (pg. 177–182)[QR], 3.11 (pg. 95–98)

43La característica de un cuerpo K (o, más en general, un anillo A), se define como el menor numero

n para el cual se cumple que 1 +n

. . . + 1 = 0 . Decimos que la caracteristica de K es cero si no existe taln.

Estas nociones se estudian en la asignatura de Estructuras Algebraicas (anillos).44De hecho, esto ocurrirá ssi Q ⊂ K.45Posible justificación: ∑n

i=1 λi = 0 ⇔ λn = −∑n−1i=1 λi ⇔ ∑n

i=1 λi pi = ∑n−1i=1 λi pi − ∑n−1

i=1 λi pn =

∑n−1i=1 λi(pi − pn) = ∑n

i=1 λi−−→pn pi

De todos modos esto es meramente un adelanto. Ambas implicaciones quedaran completamenteconsolidadas al terminar la sección, con las proposiciones 20 y 21.

1.4. BARICENTROS 27

q + ∑ni=1 λi

−→qpi = q + ∑ni=1 λi

(−→qq′ +

−→q′pi

)= q +

−→qq′

n

∑i=1

λi︸︷︷︸1︸︷︷︸

q′

+ ∑ni=1 λi

−→q′pi �

Observación 14. La unicidad de Prop.16 puede deducirse de Prop.17 tomandoλi = 1

n , ∀i ∈ {1, . . . , n}, pesos (en efecto, ∑ni=1

1n = 1). En este caso particular,

el “baricentro de p1, . . . , pn con pesos respecto λ1, . . . , λn” se corresponde con el“baricentro (ordinario) de p1, . . . , pn ”.

Proposición 18. Sean p0, . . . , pr ∈ A ea. Se tiene:

p0 ∨ · · · ∨ pr =

{r

∑i=0

λi pi|λi ∈ K,r

∑i=0

λi = 1

}

DEMOSTRACIÓN. [⊇] ∑ri=0 λi pi = p0 + ∑r

i=0 λi−−→p0 pi =

1p0 + ∑r

i=1 λi−−→p0 pi ∈(

p0 +⟨−−→p0 p1, . . . ,−−→p0 pr

⟩)= p0 ∨ · · · ∨ pr

[⊆] Sea p ∈ p0 ∨ · · · ∨ pr ⇔ p = p0 + ∑ri=1 λi

−−→p0 pi.Sea λ0|λ0 + ∑r

i=1 λi = 1, ie, λ0 = 1−∑ri=1 λi.

Entonces p = p0 + ∑ri=0 λi

−−→p0 pi = ∑ri=0 λi pi baricentro de p0, . . . , pr con pesos

respecto λ0, . . . , λr. �

Observación 15. (DEFINICIÓN) En particular, p0, . . . , pr PLI ⇒ ∀x ∈ p0 ∨ · · · ∨pr, x = ∑r

i=0 λi pi|λi ∈ K, ∑ λi = 1 se escribe de manera única, puesto que−−→q0q1, . . . ,−−→q0qr

son VLI. Si además r = n = dim A & p0, . . . , pn es una ref de A46, entonces todopunto de A = p0 ∨ · · · ∨ pn se escribe de forma única así. Llamamos a (λ0, . . . , λn)coordenadas baricentricas del punto ∑n

i=0 λi pi de A en la ref dada.

Proposición 19. (DISTRIBUTIVA) Sean{{

xij

}i∈I

}j∈J

, con I = {1, . . . , m}, J = {1, . . . , ni},

m sistemas de, respectivamente, ni puntos de A ea47, y pesos{{

µij

}i∈I

}j∈J

. Sean tam-

bién λ0, . . . , λm pesos, p0, . . . , pm puntos de A, con pi = ∑nij=1 µij xij , ∀i ∈ I. Entonces:

∑i∈I

λi pi := ∑i∈I

λi

(∑j∈J

µij xij

)= ∑

i∈Ij∈J

(λiµij)xij

DEMOSTRACIÓN. Si tenemos en cuenta que el producto es distributivo res-pecto de la suma, basta demostrar que

{{λiµij

}i∈I

}j∈J

son sistemas de pesos, ie,

46Recuérdese Obs.1147Es decir, x11 , . . . , x1n1

, que podríamos denotar más comodamente por a1, . . . , aa′ , con a′ = n1,seria un sistema de puntos; x21 , . . . , x2n2

, que podríamos denotar más comodamente por b1, . . . , bb′ , conb′ = n2, seria otro sistema de puntos; etc.

Aunque pueda parecer obvio, lo comento porque es algo que a mi siempre me había confundidoterriblemente; y en verdad me resulta una notación un tanto engorrosa y sobrecargada, si bien escritade manera compacta (como queda expresada en la proposición) parece algo más intuitiva.

Aun así, si no hubiese consenso sobre la misma y no hubiese peligro de confusión con la utilizada en,por ejemplo, footnote (30), la denotaría quizá de esa manera, o buscaría alguna otra de más apropiada,aunque admito que es cuestión de acostumbrarse.


que ∑i,j λiµij = ∑i∈I λi

(∑j∈J

µij

)︸︷︷︸

1

= 1 por ser ambos sistemas de pesos. Así, queda

demostrada la “propiedad distributiva para los baricentros con pesos”. �

Ejemplo 14. Las medianas48 de un triangulo coinciden (se cruzan) en el baricentrode los vértices.

p0 p1

p2

bar(p1, p2)

bar(p0, p1)

bar(p0, p2)

G

DEMOSTRACIÓN.bar(p0, p1, p2) = ∑3

i=113 pi =

13 p0 +

23

(12 p1 +

12 p2

)= 1

3 p1 +23

(12 p0 +

12 p2

)= 1

3 p2 +23

(12 p0 +

12 p1

)Es decir, bar(p0, p1, p2) = 1

3 pi +23 bar(pj, pk) ∈

18

(pi ∨ bar(pj, pk)

)mediana,

con i, j, k ∈ {1, 2, 3} dos a dos distintos. �

Nota. De los cuatro teoremas clásicos de la geometría elemental sobre concurren-cia de rectas distinguidas asociadas a un triangulo (medianas, mediatrices, alturasy bisectrices) éste es el único que es puramente afín; los otros tres son euclídeos.

Observación 16. (APLICACIÓN) Sean p1, . . . , pn; q1, . . . , qm dos sistemas de puntosdel ea A. Se tiene:

bar(p1, . . . , pn, q1, . . . , qm) ∈ P∨Q, con P = bar(p1, . . . , pn), Q = bar(q1, . . . , qm)

DEMOSTRACIÓN. bar(p1, . . . , pn, q1, . . . , qm) = ∑ni=1

1n+m pi + ∑m

i=11

n+m qi =19

nn+m

(n

∑i=1

1n

pi

)︸︷︷︸

P

+ mn+m

(m

∑i=1

1m

qi

)︸︷︷︸

Q

�

Problema. Dados dos puntos, ¿cómo se calcula el punto medio? Es decir, ¿cómose construye gráficamente en el plano afín real (regla y escuadra o cartabón)?

Conclusión. Trazar dos rectas por P, diferentes de la recta P ∨Q. Trazar las para-lelas a estas dos rectas por el punto Q. Unir los dos vértices restantes del paralelo-gramo así obtenido, y cortar la recta resultante con la recta P ∨Q.

Ejercicio. Obtención gráfica de:

Multiplicación del vector determinado por dos puntos dados por un nu-mero entero.

48Rectas que unen cada vértice del triángulo con el centro del lado opuesto.

1.4. BARICENTROS 29

División del vector determinado por dos puntos dados por un numeroentero no nulo.49

El baricentro de un sistema finito de puntos.50

Calculo de baricentros con coord.

Proposición 20. Sean p1, . . . , pn ∈ A ea de dim n, con pi = (p1i , . . . , pn

i ) en una ref da-da, y λ1, . . . , λn pesos. Entonces las coord de p = ∑n

i=1 λi pi serán ∑ni=1 λi(p1

i , . . . , pni ) :=

(∑ni=1 λi p1

i , . . . , ∑ni=1 λi pn

i ).51

DEMOSTRACIÓN. Sea O; e1, . . . , en la ref fijada de A, de modo que−→Opi =

∑nj=1 pj

iej. Entonces: p := ∑ni=1 λi pi =

17O+∑n

i=1 λi−→Opi ⇒

(∑n

i=1 λi−→Opi

)j= ∑n

i=1 λi

(∑n

j=1 pjiej

)es la coord j-ésima de p. �

Por otra parte, si p1, . . . , pn ∈ A, y λ1, . . . , λn son tales que ∑ni=1 λi = 0, en-

tonces ∑ni=1 λi pi se puede definir de manera natural como un vector de E ed de

A:

Proposición 21. Sean p1, . . . , pn ∈ A, y λ1, . . . , λn tales que ∑ni=1 λi = 0. Se tiene:

∀p ∈ A, el vector ∑ni=1 λi

−→ppi ∈ E no depende del punto p enunciado. Lo denotamos∑n

i=1 λi pi ∈ E.

DEMOSTRACIÓN. Sea p′ ∈ A otro punto. Tenemos: ∑ni=1 λi

−→ppi = ∑ni=1 λi

(−→pp′ +

−→p′pi

)=

−→pp′ ∑n

i=1 λi + ∑ni=1 λi

−→p′pi =

hip.∑n

i=1 λi−→p′pi. �

Ejemplo 15. q− p = −→pq, con p, q ∈ A, −1, 1 ∈ K|(−1) + 1 = 0.DEMOSTRACIÓN.q− p = 1q + (−1)p =

211−→pq + (−1)−→pp = −→pq

= 1−→qq + (−1)−→qp = −→pq�

Ejemplo 16.−−−−−−−−−→(p + u)(q + v) = q + v− p− u = (q− p) + v− u = −→pq + v− u, con

p, q ∈ A, u, v ∈ E.

Ejemplo 17. Sean A, B, C, D vértices de un paralelogramo de diagonales AD,BC:

A B

DC

G

Entonces:−→AB =

−→CD ⇔ bar(B, C) = bar(A, D).

DEMOSTRACIÓN. 12 B + 1

2 C = 12 A + 1

2 D ⇔ 12 B− 1

2 A = 12 D− 1

2 C ⇔ B− A =

D− C ⇔ −→AB =−→CD. �

49Pista: podemos “copiar” vectores uno detrás de otro, a pesar de que nuestra regla (afín) no esténumerada.

50Pista: expresar el baricentro de n puntos en función del baricentro de n− 1, y aplicar entonces laProp/Def.17

51Más generalmente, algunos autores definen: ∑ni=1 λi pi = ∑n

i=1

(λi

∑nj=1 λj

)pi en la ref dada. En

efecto, como ∑nj=1 λj = 1,

{λi

∑nj=1 λj

}i∈I

es un sistema de pesos por serlo {λi}i∈I , con I = {1, . . . , n}, y

obviamente λi∑n

j=1 λj= λi

Capítulo 2

Aplicaciones afines

COMENTARIO. A lo largo de este capitulo veremos cuatro ejemplos basicosde aplicaciones afines, a saber: traslaciones, homotecias, simetrías y proyecciones.Sin embargo, por cuestiones de orden y claridad, se agruparan en una secciónindependiente, section §2.2, a modo de anexo, haciendo referencia a ellos cuandose crea conveniente.

2.1. Aplicaciones afines y afinidades 1

ADVERTENCIA. Algunos autores de la bibliografía toman “aplicación afín=afinidad”.En este curso NO.

Definición 14. Sean A1, A2 K-ea de ed E1, E2 respectivos. Un aplicación afín deA1 en A2, f : A1 → A2, es una aplicación entre conjuntos tal que ∃ϕ : E1 → E2

morfismo de ev2 tal que ∀x, y ∈ A1,−−−−−→f (x) f (y) = ϕ(−→xy).

Nota. La condición se expresa equivalentemente: ∀x, y ∈ A1, f (y) = f (x)+ ϕ(−→xy)O también, poniendo y = x+ u⇔

5u = −→xy, con u ∈ E1: f (x+ u) = f (x)+ ϕ(u)

Observación 17. (DEFINICIÓN) Si existe un tal morfismo ϕ, es único. Por tanto,resulta legitimo llamar a ϕ el morfismo director de la aplicación f , denotado ϕ f .

DEMOSTRACIÓN. ∀x ∈ A1, resulta que ∀u ∈ E1, ϕ(u) =−−−−−−−−→f (x) f (x + u).3 �

Ejemplo 18. Véase section 2.2.1.

Aspectos elementales.

Proposición 22. Sea f : A1 → A2 una aplicación afin de morfismo director ϕ f : E1 →

E2. Entonces: finyectiva monomorfismo de evexhaustiva ssi ϕ f epimorfismo de evbiyectiva isomorfismo de ev

respectivamente.

DEMOSTRACIÓN. Sea p ∈ A1. Entonces el siguiente diagrama es conmutati-vo:

A1

≡

f // A2

E1

γ−1p

OO

ϕ f// E2

γ−1f (p)

OO

1Cf.:[R], 2.1–2.4 (pg. 71–78)[CL], X.1 (pg. 197–200) & X.5 (pg. 211–213)[QR], 2.10 (pg. 93–95) & 3.15–3.19 (pg.128–142)

2La coletilla “de ev” indica que ϕ es una aplicación lineal, ie, que ϕ (∑ λivi) = ∑ λi ϕ(vi), conλi ∈ K, vi ∈ E1.

3Así, ϕ queda completamente determinado, dado que lo está ∀x, y ∈ A1, con y = x + u, de modoque si invocásemos a un segundo morfismo, ϕ′, cumpliendo lo exigido, necesariamente coincidirían.

31

32 2. APLICACIONES AFINES

con γ−1p (u) = p+u biyectiva4. En efecto:

f(

γ−1p (u)

)= f (p + u) = f (p) + ϕ f (u)

γ−1f (p)

(ϕ f (u)

)= f (p) + ϕ f (u)

Por tanto, f , ϕ f son conjugadas y, por ende, sus propiedades coinciden. �

Proposición 23. La composición de aplicaciones afines es una aplicación afín con morfis-mo director la composición de los morfismos directores de estas.

DEMOSTRACIÓN. Sea

A1

h:=g◦ f

%%f // A2g // A3

E1ϕ f // E2

ϕg // E3

con f , g aplicaciones afines. Entonces, ∀x, y ∈ A1,−−−−−→h(x)h(y) =

−−−−−−−−−−−→g ( f (x)) g ( f (y)) =

ϕg

(−−−−−−→f (x) f (y)

)= ϕg

(ϕ f(−→xy

))=(

ϕg ◦ ϕ f

) (−→xy)⇒ ϕh = ϕg ◦ ϕ f es el morfis-

mo director de h, luego es afín. �

Proposición 24. f = 1A identidad de un ea A⇒ f es una aplicación afín con ϕ f = 1E.

DEMOSTRACIÓN. Caso particular de Prop.27: 1A = τ0. �

Afinidades.

Definición 15. Una afinidad (o isomorfismo de ea) es una aplicación afín f : A1 →A2 tal que ∃g : A2 → A1 aplicación afín cumpliendo g ◦ f = 1A1 , f ◦ g = 1A2 .

Nota. En consecuencia, g también es una afinidad.

Observación 18. Toda aplicación afín que tenga una inversa afín es una afinidad.

Proposición 25. Una aplicación afín f : A1 → A2 es una afinidad ssi es biyectiva, ie, ssiϕ f es un isomorfismo de ev.5

DEMOSTRACIÓN. [⇒] f : A1 → A2 afinidad⇒ ∃g : A2 → A1 aplicación afín

cumpliendo: g ◦ f = 1A1 ⇒ f inyectivaf ◦ g = 1A2 ⇒ f exhaustiva

}⇒ f biyectiva.

[⇐] Sea f : A1 → A2 aplicación afín biyectiva, de modo que ∃g := f−1 : A2 →A1 aplicación inversa (como aplicación de conjuntos, ie, no sabemos si es afín, ie,si tiene morfismo director).

Sean x′, y′ ∈ A2 tales que{

x′ = f (x)y′ = f (y)

biy.⇔{

g(x′) = xg(y′) = y

Entonces:−→x′y′ =

−−−−−−→f (x) f (y) = ϕ f

(−→xy) iso⇔

22ϕ−1

f

(−→x′y′

)= −→xy

Como además −→xy =−−−−−−−→g (x′) g (y′), nos queda

−−−−−−−→g (x′) g (y′) = ϕ−1

f

(−→x′y′

), siendo

así g una aplicación afín de morfismo director ϕg = ϕ−1f .

Por último, f es una afinidad por Obs.18. �

4Cf. Def.6.5De aquí que llamemos también isomorfismos de ea a las afinidades.

Por otra parte, conviene recordar, en la practica, que ϕ f sera un isomorfismo ssi det ϕ f 6= 0.

2.1. APLICACIONES AFINES Y AFINIDADES 33

Construcción de aplicaciones afines (1/2).

Proposición 26. Sean (A1, K, E1), (A2, K, E2) ea, p ∈ A1, q ∈ A2, ϕ : E1 → E2 unmorfismo de K-ev. Entonces: ∃! f : A1 → A2 aplicación afín tal que:

1. f (p) = q2. ϕ f = ϕ

DEMOSTRACIÓN. [!] Supongamos que tenemos una tal f . Entonces, ∀x ∈ A1,

f (x) 14= f (p) + ϕ f (

−→px)hip.= q + ϕ(−→px), luego f queda completamente determinada

por las hipótesis.[∃] Consideremos, por definición ahora, la aplicación de conjuntos f : A1 →

A2, con f (x) := q + ϕ(−→px).6 Veamos que esta f cumple (1)&(2) y, por ende, es afín:

1. f (p) = q + ϕ(−→pp) = q + 0 = q.

2.−−−−−→f (x) f (y) =

−−−→f (x)q +

−−−→q f (y) 6

= −ϕ(−→px) + ϕ(−→py) = ϕ(−→xp +−→py) = ϕ(−→xy) 17⇒ϕ = ϕ f .7

�

Aplicación (teoría de grupos)8.

Lema 1. Sea (A, K, E) ea. El conjunto A f (A) := { f : A → A afinidad} es un grupocon la composición (no conmutativo si dim A ≥ 1)9.

DEMOSTRACIÓN.1. g ◦ f ∈ A f (A), con g, f ∈ A f (A), por Prop.23 y la biyectividad de la

composición de aplicaciones biyectivas.2. h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f por la asociatividad de las aplicaciones con la com-

posición.3. Por Prop.24, la identidad es una afinidad.4. En Prop.25 construimos explícitamente la inversa afín de una afinidad,

que obviamente es también una afinidad, luego existe.�

Observación 19. Tenemos una aplicación natural entre los automorfismos del K-ea, A f (A), y los automorfismos del K-ev, GL(E)10, que envía cada afinidad a su

morfismo director,A f (A)

Φ−−−−→ GL(E)

f −−−−→ ϕ f

, cumpliéndose que Φ( f ◦ g) := ϕg◦ f23=

ϕg ◦ ϕ f , de modo que Φ resulta ser un morfismo de grupos.

Observación 20. Por la Prop.26, Φ es exhaustiva, puesto que ∀ϕ ∈ GL(E), ∃ f ∈A f (A)|Φ( f ) := ϕ f = ϕ. De hecho, dado que no hemos especificado el valor def (p), la f no es necesariamente única.

6De ello se deduce que: ϕ(−→px) = f (x)− q =−−−→q f (x)⇒ −ϕ(−→px) =

−−−→f (x)q.

7Desarrollo alternativo, sin footnote (6):−−−−−→f (x) f (y) =

−−−−−−−−−−−−−−−−−→(q + ϕ

(−→px)) (

q + ϕ(−→py

))=(q + ϕ

(−→py))−(

q + ϕ(−→px

))= ϕ(−→py)− ϕ(−→px).

8Si existiese alguien a estas alturas que todavía se preguntase “¿Qué interés puede tener la geo-metría en la teoría de grupos?”, le redirigiría encarecidamente hacia el Programa de Erlangen, sobreel cual no nos pronunciaremos en esta asignatura; de hecho, las demostraciones de esta y la siguientesubsección no son examinables: esto no es un curso sobre teoría de grupos.

9dim A = 0⇒ A f (A) = {1A}.En cuanto a su conmutatividad para dimensiones mayores, en las homotecias encontraremos un

contraejemplo.10También conocido como grupo Lineal General.


Lema 2. T(A) := {traslaciones de A} es un subgrupo normal de A f (A), ie, T(A) CA f (A).

DEMOSTRACIÓN.1. τv ◦ τ−1

u = τv−u ∈ T(A), luego T(A) ⊆ A f (A) subgrupo.2. ϕ f ◦ 1E ◦ ϕ f−1 = ϕ f ◦ ϕ f−1 = Φ(1A) = 1E, luego por Prop.27, ∀ f ∈ A f (A),

f ◦ T(A) ◦ f−1 ⊆ T(A), ie, T(A) C A f (A).�

Observación 21. ker Φ = { f ∈ A f (A)|ϕ f = 1E}27= T(A), de modo que, por el

primer teorema de isomorfia (de grupos), A f (A)/T(A) ∼= GL(E).

Teorema afín.

Nota. Véase section 2.2.2 antes.

Lema 3. La composición de homotecias es una homotecia o una traslación. Por tanto,HT(A) := T(A) ∪ H(A) =

{f ∈ A f (A)|ϕ f = λ · 1E, λ ∈ K

}es cerrado por la com-

posición. De hecho, es un subgrupo de A f (A).

DEMOSTRACIÓN. Sea f una homotecia de centro p y razón λ /∈ {0, 1}, g unahomotecia de centro q y razón µ /∈ {0, 1}. Entonces, la inversa de g, g−1, es unahomotecia de centro q y razón µ−1, y su composición con f , f ◦ g−1, es una ho-motecia de centro p + λ−→pq y razón λµ−1, ya que f

(g−1 (x)

)= f

(q + µ−1−→qx

)=

f (q) + ϕ f (µ−1−→qx) =

(p + λ−→pq

)+ λµ−1−→qx , bajo la salvedad λµ−1 = 1, en cuyo

caso estaremos hablando de una traslación; τ0, de hecho. �

Observación 22. {λ · 1E|λ ∈ K∗} ∼= K∗, que es obviamente un subgrupo, pues es elsubconjunto de K formado por sus elementos invertibles. Así, podemos considerarel siguiente morfismo de anillos inducido por Φ:

HT(A)⋂Φ|HT(A)−−−−→ K∗⋂

A f (A)Φ−−−−→ GL(E)

f −−−−→ ϕ f

Observación 23. dim A = dimK E = 1 ⇒ HT(A) = A f (A), pues GL(E) ={λ · 1E|λ ∈ K} cuando dimK E = 1.

Por lo tanto, tenemos en particular una clasificación de las afinidades de unarecta afín.

2.2. Ejemplos11

2.2.1. Traslaciones.

Definición 16. Sea (A, K, E) ea, v ∈ E fijado. La traslación de A de vector v es laaplicación:

11Cf.:[R], 2.8 (pg. 89–96)[CL], X.2 (pg. 200–204)[QR], 3.20–3.23 (pg.143–149)El titulo original de la subsección era “algunos tipos: traslaciones, homotecias, siemetrias y proyeccio-nes”

2.2. EJEMPLOS 35

τv :A −−−−→ A

x −−−−→ x + vx

x + vv

Proposición 27. Sea (A, K, E) ea. Entonces: f es una traslación ssi f es una aplica-ción afín de morfismo director la identidad de E, ϕ f = 1E, de modo que ∀x, y ∈ A,−−−−−−→τv(x)τv(y) = 1E(

−→xy).

DEMOSTRACIÓN. [⇒] ∀x, y ∈ A,−−−−−−→τv(x)τv(y) =

−−−→τv(x)x +−→xy +

−−−→yτv(y) = −v +

−→xy + v = −→xy = 1E(−→xy).12

x y

y + vx + v

−→xy

v

−→xy

v

[⇐] (Constructiva) Sea p ∈ A. Entonces, ∀x ∈ A, f (x) = f (p) + ϕ f (−→px) =

hip.

f (p) +−→px = f (p) +(−−−→

p f (p) +−−−→f (p)x

)=(

f (p) +−−−→f (p)x

)︸︷︷︸

x

+−−−→p f (p)︸︷︷︸

v

⇒ f = τv �

2.2.2. Homotecias.

Definición 17. Sea (A, K, E) ea, f : A→ A una aplicación afín. Decimos que x ∈ Aes un punto fijo de f ssi f (x) = x.

Nota. Si p = (x, y) ∈ A1 plano afín, denotaremos usualmente f (p) ∈ A2 como(x∗, y∗). Así, p sera un punto fijo de f ssi (x, y) = (x∗, y∗).13

Proposición 28. Sea (A, K, E) ea, f : A → A una aplicación afín tal que ϕ f = λ · 1E,λ ∈ K \ {1}. Entonces f tiene un único punto fijo, ie, ∃!x ∈ A| f (x) = x.

DEMOSTRACIÓN. ∀x, q ∈ A, f (x) = f (q)+ ϕ f (−→qx)

hip.= f (q)+λ−→qx =

(q +−−−→q f (q)

)+

λ−→qx. Por lo tanto,

f (x) = xx=q+−→qx⇐⇒

−−−→q f (q)+λ−→qx = −→qx ⇔

−−−→q f (q) = (1−λ)−→qx

λ 6=1⇔ −→qx = 11−λ

−−−→q f (q)⇔

x = q + 11−λ

−−−→q f (q)

Así pues, existe, es único14 y calculable.�

Definición 18. Sean λ ∈ K \ {1}, p ∈ A. La homotecia de A de centro p y razón λ

es la única15 aplicación afín f : A→ A tal que1. f (p) = p2. ϕ f = λ · 1E

Así, ∀x ∈ A, f (x) = f (p) + ϕ f (−→px) = p + λ−→px

12También podríamos haber hecho directamente:−−−−−−→τv(x)τv(y) :=

−−−−−−−−−→(x + v)(y + v) = y + v− (x + v) =

−→xy13Profundizaremos sobre estas cuestiones con dos proposiciones en section 2.4.2.14Nótese que habíamos tomado q arbitrario, por lo que no dependerá de q.15Por Prop.26


p

f (y)

λ−→py

f (x)λ−→px

Nota.1. λ = 0 ⇒ ∀x ∈ A, f (x) = p, ie, f =cte. Por tanto, si la dim A ≥ 1, f no es

una afinidad.2. λ 6= 0⇒ ϕ f = λ · 1E es un isomorfismo y, por Prop.22, f es una afinidad.3. λ = 1 ⇒ f (x) = p + −→px = x, ∀x ∈ A ⇒ f = 1A = τ0, ie, f es una

traslación.Por convenio16, diremos que 1A es una homotecia de razón 1 y centro cual-quier punto de A, o, análogamente, que f tiene todos los puntos de A fijos.

4. λ 6= 1⇒28∃!x ∈ A| f (x) = x ⇒ x = p

5. Para el caso particular λ = −1, supondremos siempre que la car(K) 6= 2.17

Resumidamente, con H(A) := {homotecias de A de razón no nula} =={

f ∈ A f (A)|ϕ f = λ · 1E, λ ∈ K \ {1}}

18,

λ tipo de afinidad f : A→ A con ϕ f = λ · 1E puntos fijos

1 1A todosT(A) \ {1A} ninguno

K \ {0, 1} H(A) \ {1A} uno

2.2.3. Simetrías.

Definición 19. Sea (A, K, E) ea con car K 6= 2, f : A→ A aplicación afín. Entonces:f es una simetría ssi f 2 := f ◦ f = 1A.

Nota. En particular, f es una afinidad.

Observación 24. f simetría⇒ f tiene puntos fijos.

DEMOSTRACIÓN. Sea x ∈ A. Entonces y := 12 x + 1

2 f (x) = bar (x, f (x)) es

un punto fijo. En efecto: f (y) = f(

12 x + 1

2 f (x))

31= 1

2 f (x) + 12 f 2(x) = 1

2 f (x) +12 1A(x) = 1

2 f (x) + 12 x = y. �

Observación 25. f 2 = 1A ⇒ ϕ2f = 1E ⇒ ϕ2

f − 1E = 0 ⇒ E = ker(

ϕ2f − 1

)=

ker(

ϕ f − 1)⊕ ker

(ϕ f + 1

)=: E1 + E−1 puesto que P(T) = T2 − 1 = (T −

1)(T + 1) ∈ K[T] anula el endomorfismo ϕ f : E → E, P(ϕ f ) = 0, y, por tanto,es el polinomio mínimo de ϕ f (ya que no puede ser “más mínimo” dado que es-tá factorizado en polinomios de grado 1), pudiéndose aplicar así el “teorema dedescomposición primaria de una transformación lineal en suma directa de subes-pacios invariantes” (o simplemente “teorema de la descomposición prima”).19

Veamos, pues, que ocurre en los casos extremos, ie, cuando alguno de los dossubespacios invariantes es {0}:Caso 1. E1 = {0} ⇔ E = E−1 ⇔ ϕ f = −1E ⇔ f es una homotecia de razón -1

(decimos que f es una simetría central de centro su único punto fijo)

16Recuérdese que habíamos definido hometecia para λ 6= 1.17De otro modo, 1− λ = 0 no seria invertible.18No es necesario imponer λ 6= 0 porque en ese caso f /∈ A f (A).19La implicación f 2 = 1A ⇒ ϕ2

f = 1E es rutinaria y se deja como ejercicio.

2.2. EJEMPLOS 37

Caso 2. E−1 = {0} ⇔ E = E1 ⇔ ϕ f = 1E ⇔ f = 1A

En el caso general, E−1, E1 6= {0}, E = E−1 ⊕ E1:Sea B = {x ∈ A| f (x) = x} 6= ∅, de modo que ∃p ∈ B. Entonces, por Prop.35,

B = p + E1.Así, ∀x ∈ A, tenemos que f (x) = f (p) + ϕ f

(−→px)= p + ϕ f (u+ + u−) =

p + ϕ f (u+) + ϕ f (u−) = p + u+ − u−, con u+ ∈ E1, u− ∈ E−1.20

Por tanto, para obtener la imagen de x tomamos primero x0 =(x + E−1) ∩(

p + E1) = p + u+, que es un punto fijo de f , y luego tomamos la imagen de x enx + E−1 respecto x0, f (x) = f (x0) + ϕ f (

−→x0x) = x0 −−→x0x = x0 − u−

p

u−

x0u+

x + E−1

x

f (x)

p + E−1

p + E1

dim A = 2

Decimos que f es la simetría de centro B y dirección E−1. Para dar una talsimetría necesitaremos, pues, un s-ea B y un s-ev suplementario21 de su ed.

Observación 26. Si dim B = 0, B = {p}, entonces f sera una homotecia de razón-1 y centro p (o lo que es lo mismo, una simetría central de centro p).

2.2.4. Proyecciones.

Definición 20. Sea (A, K, E) ea, f : A→ A aplicación afín. Entonces: f proyecciónssi f 2 = f .

Observación 27. f proyección⇒ f tiene puntos fijos. En concreto, B = {x ∈ A| f (x) = x} =Im( f ).

DEMOSTRACIÓN. [⊇] Sea x ∈ Im( f ), ie, x := f (y) para algún y ∈ A. Enton-

ces: f (x) = f 2(y)hip= f (y) =: x, ie, x ∈ B.

[⊆] x ∈ B⇒ x = f (x)⇒ x ∈ Im( f ). �

Observación 28. f 2 = f ⇒ ϕ2f = ϕ f ⇒ ϕ2

f − ϕ f = 0 ⇒ E = ker(

ϕ2f − ϕ f

)=

ker(

ϕ f

)⊕ker

(ϕ f − 1

)=: E0 + E1 puesto que P(T) = T2− T = T(T− 1) ∈ K[T]

anula el endomorfismo ϕ f : E → E, P(ϕ f ) = 0, y, por tanto, es el polinomiomínimo de ϕ f (ya que no puede ser “más mínimo” dado que está factorizado enpolinomios de grado 1), pudiéndose aplicar así el “teorema de descomposiciónprima”.

Casos extremos:Caso 1. E0 = {0} ⇔ E = E1 ⇔ ϕ f = 1E ⇔ f es una traslación con puntos fijos,

ie, f = 1A.Caso 2. E1 = {0} ⇔ E = E0 ⇔ ϕ f = 0 ⇔ f = cte, puesto que, ∀x ∈ A, f (x) =

f (p) + ϕ f (−→px) = f (p) + 0(−→px) = f (p). En particular, dim (Im ( f )) = 0,

Im ( f ) = {p}.

20Recordamos que podemos operar de este modo por ser E = E−1 ⊕ E1.21F, G ⊆ E s-ev son suplementarios ssi F⊕ G = E


Caso general:Sea B = {x ∈ A| f (x) = x} 6= ∅, de modo que ∃p ∈ B. Entonces, por Prop.35,

B = p + E1.Así, ∀x ∈ A, tenemos que f (x) = f (p)+ ϕ f

(−→px)= p+ ϕ f (u1 + u0) = p+ u1,

con u1 ∈ E1, u0 ∈ E0.Además, si {x0} =

(x + E0) ∩ (p + E1), entonces: f (x) = f (x0) + ϕ f (

−→x0x) =x0.

Por tanto, dado x ∈ A|{ f (x)} =(x + E0) ∩ (p + E1), diremos que f es la

proyección sobre el s-ea B en la dirección E0 (suplementario del ed de B).

p

u0

x0u1

x + E0

x

p + E0

p + E1 = B = Im( f )

Ejemplo 19. (REVISITADo)22 Sean r, s, t rectas paralelas cortando a l, l′ en los pun-tos R, S, T & R′, S′, T′ en un plano afín π y F el ev común de estas tres rectas.Sea también f : r′ → r la proyección del plano afín π sobre la recta r en la di-

rección F. Entonces f (R′) = R, f (S′) = S, f (T′) = T y, por ende, (R′, S′, T′) 30=

( f (R′), f (S′), f (T′)) = (R, S, T′).

2.3. Revisitando 1.3 & 1.423

2.3.1. Expresión de una aplicación afín en coord.

Notación. Sean (A1, K, E1) , (A2, K, E2) ea de dimensión finita con ref respectivasp; e1, . . . , en & q; u1, . . . , um. Sea f : A1 → A2 una aplicación afín de morfismodirector ϕ f : E1 → E2. Sean (b1, . . . , bm) las coord del punto f (p) ∈ A2 en la ref

de A2,(

aji

)i∈Ij∈J

la matriz de ϕ f en las bases e1, . . . , en de E1 & u1, . . . , um de E2, con

I = {1, . . . , m}, J = {1, . . . , n}.

Proposición 29. Si x ∈ A1 tiene coord (x1, . . . , xn)24, el punto y = f (x) ∈ A2 de coord

(y1, . . . , ym) se obtiene así: y1...

ym

=

a11 · · · a1

n...

...am

1 · · · amn

x1

...xn

+

b1...

bm

DEMOSTRACIÓN. Tenemos que f (x) = f (p)+ ϕ f (

−→px), con ϕ f (−→px) = ϕ f (∑

ni=1 xiei) =

∑ni=1 xi ϕ f (ei) = ∑n

i=1 xi

(∑m

j=1 ajiuj

).25

Así, ∀j ∈ J, yj = ( f (x))j = ( f (p))j +(

ϕ f(−→px

))j= bj + ∑n

i=1 aji xi �

22Cf. Prop.15, Teorema de Thales.23Cf.:

[R], 2.6 (pg. 80–85)[CL], X.3–X.5 (pg. 204–211)El titulo original de la subsección era “Relación con ref, coord, razón simple y (calculo de) baricentros”.

24Recordamos que esto significa que −→px = ∑ni=1 xiei , cf. Def.11

25Sirva esto de repaso al cambio de base de las coord de un vector.

2.3. REVISITANDO 1.3 & 1.4 39

Nota. Esta formula también puede encontrarse escrita, de manera más compacta,como:

y1...

ym1

=

a1

1 · · · a1n b1

......

...am

1 · · · amn bm

0 · · · 0 1

x1...

xn1

En función de esto se encontrara escrita, de hecho, la matriz reducida en la

tabla de desplazamientos.

Observación 29. Si f es una afinidad, podemos obtener su inversa a partir deesta formula, aislando x en función de y. Además, imponiendo y = x, tambiénpodremos encontrar un punto fijo de f .26

2.3.2. Aplicaciones afines y razón simple.

Proposición 30. Sea f : A1 → A2 una aplicación afín, P, Q, R ∈ A1 puntos alineados.Entonces:

1. f (P), f (Q), f (R) ∈ A2 están alineados.2. f (Q) 6= f (R) & Q 6= R⇒ (P, Q, R) = ( f (P) , f (Q) , f (R)).

DEMOSTRACIÓN.1. P, Q, R alineados⇒ ∃L ⊇ {P, Q, R} recta⇒ f (L) ⊇ { f (P) , f (Q) , f (R)}.

Como dim f (L) ≤ dim L = 127, necesariamente f (P) , f (Q) , f (R) estánalineados.

2. Por hipótesis, ∃λ = (P, Q, R) |−→PR = λ−→QR ⇒ ϕ f

(−→PR)= λϕ f

(−→QR)⇔

−−−−−−→f (P) f (R) = λ

−−−−−−−→f (Q) f (R)⇔ ( f (P) , f (Q) , f (R)) = λ.28

�

Nota. Una continuación natural a esto se encuentra en section 2.2.4. En concreto,en la Ejem.19.

2.3.3. Aplicaciones afines y baricentros.

Proposición 31. Sea f : A1 → A2 una aplicación afín sobre K de morfismo directorϕ f : E1 → E2. Sean p1, . . . , pn ∈ A1, λ1, . . . , λn ∈ K. Entonces:

1. ∑ni=1 λi = 1⇒ f (∑n

i=1 λi pi) = ∑ni=1 λi f (pi) ∈ A2

2. ∑ni=1 λi = 0⇒ ϕ f (∑

ni=1 λi pi) = ∑n

i=1 λi f (pi) ∈ E2

DEMOSTRACIÓN. Sea q ∈ A1,

1. f (∑ni=1 λi pi)

17= f

(q + ∑n

i=1 λi−→qpi)= f (q) + ϕ f

(∑n

i=1 λi−→qpi)= f (q) +

∑ni=1 λi ϕ f

(−→qpi)= f (q) + ∑n

i=1 λi−−−−−−→f (q) f (pi) = ∑n

i=1 λi f (pi) ∈ A2

2. ϕ f (∑ni=1 λi pi)

21= ϕ f

(∑n

i=1 λi−→qpi)= ∑n

i=1 λi ϕ f(−→qpi

)= ∑n

i=1 λi−−−−−−→f (q) f (pi) =

∑ni=1 λi f (pi) ∈ E2

26El resto los obtendremos resolviendo ker(

ϕ f − 1), cf. Prop.35.

27Cf. Obs.30. Dado el carácter anacrónico de esta referencia (debido a la omisión o reorganización,por cuestiones de orden y claridad, de los adelantos que iba dando Welters para las clases de laborato-rio), la sugerencia hecha en footnote (28) de obviar esta demostración en favor de la siguiente (que laengloba) resulta harto interesante.

28Nótese que esto implica 1 (pues−−−−−−→f (P) f (R) = λ

−−−−−−−→f (Q) f (R)⇒ f (P) , f (Q) , f (R) alineados) salvo

en el caso Q = R, ie, f (Q) = f (R), en el que trivialmente f (P) , f (Q) , f (R) están alineados. Por tanto,la demostración de 1 puede obviarse en favor de la 2 siempre y cuando se haga notar este detalledistinguiendo casos.


�

Corolario 5. En particular, la imagen por f de un baricentro es baricentro, ie, f(∑n

i=1 n−1 pi)=

∑ni=1 n−1 f (pi), con K = R.29

2.3.4. Aplicaciones afines y ref.

Proposición 32. Sean (A1, K, E1) , (A2, K, E2) ea, dim A1 = n, p0, . . . , pn una ref deA1

30. Sean también q0, . . . , qn ∈ A2. Entonces:

1. ∃! f : A1 → A2 aplicación afín tal que f (pi) = qi, ∀i ∈ I, con I = {0, . . . , n}.

2. finyectiva son PLI de A2exhaustiva ssi q0, . . . , qn generan A2biyectiva ref de A2

respectivamente.

DEMOSTRACIÓN.

1. Si existiese una tal f , podríamos caracterizarla equivalentemente así:a) f (p0) = q0.b) ϕ f (ei) = ϕ f

(−−→p0 pi)=−−−−−−−→f (p0) f (pi) =

−→q0qi.31

Dado que e1, . . . , en es una base de E1, tenemos que, ∀v = (λ1, . . . , λn) ∈ E1,ϕ f (v) = ∑n

i=1 λi−→q0qi, luego ϕ f queda completamente determinada32 y, por Prop.26,

f existe y es única.33

2.a) f inyectiva 22⇔ ϕ f monomorfismo ⇔ ϕ f (e1), . . . , ϕ f (en) VLI de E2 ⇔

q0, . . . , qn PLI de A2.34

b) f exhaustiva 22⇔ ϕ f epimorfismo ⇔ ϕ f (e1), . . . , ϕ f (en) generan E2 ⇔⟨−−→q0q1, . . . ,−−→q0qn⟩= E2 = ϕ f (E1) ⇔ f (A1) = f (p0) + ϕ f (E1) = q0 +⟨−−→q0q1, . . . ,−−→q0qn

⟩= q0 ∨ · · · ∨ qn = A2.

c) f biyectiva ssi f exhaustiva & inyectiva ssi q0, . . . , qn ref de A2.

�

Ejemplo 20. Tomemos una ref de π plano afín, p0, p1, p2 ←→ p0; e1 = −−→p0 p1, e2 =−−→p0 p2. Entonces, los puntos q0 = p1, q1 = p2, q2 = p0 son también una ref de π.Además, por Prop.32, existe una y solo una afinidad f de π cumpliendo:

29Después de todo, recordamos que el baricentro ordinario es un caso particular del baricentro conpesos, cf. Obs.14.

30Recuérdese Obs.1131La vuelta se obtiene así: f (pi) = f (p0) + ϕ(−−→p0 pi) = q0 + ϕ(ei) = q0 +

−→q0qi = qi .32Este ultimo comentario es un tanto superfluo (aunque me lo permito para clarificar ideas): al haber

determinado las imágenes de los vectores de la base, no puede existir otro morfismo cumpliendo (b)que no sea el dado.

33Formulación alternativa:

Por Prop.26, ∃! f : A1 → A2 tal que1. f (p0) = q02. ϕ f = ϕ

Tomemos ϕ : E1 → E2 determinada por ϕ(ei) =−→q0qi y veamos que entonces la f

resultante es la deseada, ie, que ∀i ∈ I, f (pi) = f (p0) + ϕ(−−→p0 pi) = q0 + ϕ(ei) =q0 +

−→q0qi = qi

Otra posible formulación vendría de distinguir la demostración de la unicidad de la de existencia (quees esencialmente la que se acaba de ofrecer), lo que seguramente haría la asunción ϕ(ei) = −→q0qi másnatural.

34Porque ϕ(ei) =−→q0qi

2.4. TRANSPORTE DE S-EA, PUNTOS FIJOS Y S-EA INVARIANTES 41

(0,0)p0y f

q0(1,0)

(1,0)p1yq1(0,1)

(0,1)p2

fyq2(0,0)

¡Hallémosla! Por section 2.3.1, si (x, y) es un punto genérico de A1, su imagense obtiene como sigue:

(x∗

y∗

)=

( ϕ f (e1) ϕ f (e2)

∗ ∗∗ ∗

)(xy

)+

( f (p0)

∗∗

)Averigüemos, pues, los valores que nos faltan:

f (p0) = q0 = p1 = (1, 0)

ϕ f (e1) = ϕ f(−−→p0 p1

)=−−−−−−−→f (p0) f (p1) = −−→q0q1 = −−→p1 p2 = p2 − p1 = (0, 1) −

(1, 0) = (−1, 1)ϕ f (e2) = ϕ f

(−−→p0 p2)= −−→p1 p0 = (−1, 0)

Por tanto, las ecuaciones de la afinidad f en las ref dadas son:

(x∗

y∗

)=

( ϕ f (e1) ϕ f (e2)

−1 −11 0

)(xy

)+

( f (p0)

10

)Ejercicio. Si una aplicación afín f : A → A de un espacio afín A en sí mismocumple que existe un subconjunto finito X ⊂ A tal que f (X) ⊂ X, entonces ftiene algún punto fijo.

2.4. Transporte de s-ea, puntos fijos y s-ea invariantes35

2.4.1. Transporte de s-ea.

Proposición 33. Sea f : A1 → A2 una aplicación afín de morfismo director ϕ f : E1 →E2. Entonces: B1 = p1 + F1 s-ea de A1 ⇒ f (B1) = f (p1) + ϕ f (F1) es un s-ea de A2.

DEMOSTRACIÓN. B1 = {p1 + u|u ∈ F1}, f (B1) = { f (p1) + ϕ f (u)|u ∈ F1} =f (p1) + ϕ f (F1). �

Observación 30. dim f (B1) := dim ϕ f (F1) ≤ dim F1 =: dim B1.36 En particular,f afinidad ⇒ ϕ f isomorfismo ⇒ dim f (B1) = dim B1.

Observación 31. Sean B, B′ s-ea de A de ed respectivos F, F′, p ∈ B∩ B′. Entonces:

f afinidad ⇒ f(

B ∩ B′)

= f (B) ∩ f(

B′)

35Cf.:[R], 2.5 (pg. 78–79) & 2.7 (pg. 86–88)[CL], X.6 (pg. 214–216)

36Recordamos queE1

ϕ f−−−−−→ E2

F1 −−−−−→ ϕ f (F1)

es exhaustiva por construcción (mientras la dimensión sea

finita) y, por tanto, dim ϕ f (F1) ≤ dim F1.


DEMOSTRACIÓN. F∩ F′ ⊆ F, F

′ ⇒ ϕ f

(F ∩ F

′)⊆ ϕ f (F) , ϕ f

(F′)⇒ ϕ f

(F ∩ F

′)⊆

ϕ f (F)∩ ϕ f

(F′)⇒ f

(B ∩ B

′)= f (p)+ ϕ f

(F ∩ F

′)⊆ f (p)+ ϕ f (F)∩ ϕ f

(F′)=

f (B)∩ f(

B′)

. Como además, por Obs.30, tienen la misma dimensión, ya está. �

Observación 32. Sean B, B′ s-ea de A de ed respectivos F, F′, p ∈ B, p′ ∈ B′.Entonces: con f aplicación afín, f (B ∨ B′) = f (B) ∨ f (B′).

DEMOSTRACIÓN. Inmediata: basta escribir que es cada cosa. �

Proposición 34. B2 = p2 + F2 s-ea de A2 ⇒ f−1(B2) = ∅ o bien f−1(B2) es un s-eade A1 de ed ϕ f−1(F2) ⊆ E1, con f aplicación afín.

DEMOSTRACIÓN. Observamos que f−1(B2) = ∅ se da, en efecto, en algúncaso, pues si A1 A2 s-ea, ∃b2 ∈ A2 \ A1 de modo que 1−1

A ({b2}) = ∅.37

Supongamos ahora que f−1(B2) 6= ∅, de modo que ∃b1 ∈ f−1(B2) ⊆ A1.Entonces f (b1) ∈ B2 y, por ende, B2 = f (b1) + F2.

Tenemos, además, que, ∀x ∈ A1,

x ∈ f−1(B2) ⇔ f (x) ∈ B2 ⇔−−−−−−→f (b1) f (x) ∈ F2 ⇔ ϕ f (

−→b1x) ∈ F2 ⇔

−→b1x ∈

ϕ f−1(F2) ⊆ E1 ⇔ x ∈ b1 + ϕ f−1(F2)

Por tanto, f−1(B2) = b1 + ϕ f−1(F2) s-ea. �

2.4.2. Puntos fijos.

Proposición 35. Sea (A, K, E) ea, f : A → A una aplicación afín de morfismo directorϕ f : E → E . El conjunto B = {x ∈ A| f (x) = x} de los puntos fijos de f o está vacío38

o es un s-ea de A de ed E1 := ker(ϕ f − 1) = {s-ev de los VEP de VAP 1 de ϕ f } ⊆ E,con Eλ := ker(ϕ f − λ) = {e ∈ E|ϕ f (e) = λe}.39

DEMOSTRACIÓN. Supongamos que B 6= ∅ y, por ende, ∃p ∈ B. Tenemos,∀x ∈ A, que f (x) = f (p) + ϕ f (

−→px) = p + ϕ f (−→px) & x = p +−→px. Entonces:

x ∈ B⇔ f (x) = x ⇔ ϕ f (−→px) = −→px ⇔ ϕ f (

−→px)− 1E(−→px) = 0⇔

(ϕ f − 1

) (−→px)=

0⇔ −→px ∈ ker(

ϕ f − 1)= E1 ⇔ x ∈ p + E1

Por tanto, B = p + E1. �

Ejemplo 21. (REVISITADO)40 Por la Prop.35, las traslaciones de vector u ∈ E, τu,o bien no tienen puntos fijos, o bien todos sus puntos son fijos, pues, como ϕ f =

37Cf. Prop.24.38Recordamos que T(A) \ {1A} no tienen puntos fijos, por ejemplo.39En los apuntes originales esto se denota Eλ. Sin embargo, para evitar posibles confusiones (y

permitir, si fuera necesario, ciertas combinaciones, como Eλi := ker(ϕ f − 1) del endomorfismo ϕ f :

Ei → Ei), reservare los subindices para la numeración de los ev, como se ha venido haciendo hastaahora.

No obstante, mantendré el frecuente abuso de notación consistente en obviar la identidad. Así, porejemplo, donde he escrito ker(ϕ f − λ), una mente más estricta hubiese puesto ker(ϕ f − λ · 1E) = {e ∈E|(

ϕ f − λ · 1E)(e) = 0}, si bien debería poderse omitir por contexto, dado que no tiene sentido operar

morfismos con escalares.Por ultimo, recuerdo que los vectores propios (VEP) de valores propios (VAP) λ de una aplicación

F : E → E son aquellos que cumplen: F(v) = λv ⇔ (F− λ) (v) = 0, con v ∈ E \ {0}; los VAPs, a suvez, son las raíces del polinomio característico de F,PF(t) = det (F− t). Esto viene a justificar de nuevolo cómodo del susodicho abuso de notación.

40Cf. Def.18

2.4. TRANSPORTE DE S-EA, PUNTOS FIJOS Y S-EA INVARIANTES 43

1E41, E1 := ker(ϕ f − 1) = ker ({0}) = {e ∈ E|0 (e) = 0} = E, de modo que si∃p ∈ A ∩ B, A = B42. En efecto:{

u 6= 0⇒ τu no tiene puntos fijos.u = 0⇒ τu = 1A ⇒ ∃p|1A(p) = p⇒ todos sus puntos son fijos.

Proposición 36. Sea (A, K, E) ea de dimensión finita43, f : A→ A una aplicación afín.Entonces: f tiene un único punto fijo ssi 1 ∈ K no es VAP de ϕ f , ie, ssi E1 = {0}.

DEMOSTRACIÓN. [⇒] B = {x ∈ A| f (x) = x}hip.= {p} 35

= p + E1 ⇒ E1 = {0}.[⇐] Por hipótesis, E1 = {0}, ie, ϕ f − 1 : E → E es un monomorfismo y, como

dim E < ∞, por la formula de las dimensiones44, es de hecho un isomorfismo,luego tiene inverso (ϕ f − 1)−1 : E→ E.

Por otra parte, ∀x, q ∈ A, f (x) = f (q) + ϕ f (−→qx) =

(q +−−−→q f (q)

)+ ϕ f (

−→qx). Porlo tanto,

f (x) = xx=q+−→qx⇐⇒

−−−→q f (q) + ϕ f (

−→qx) = −→qx ⇔−−−→q f (q) = (1− ϕ f )

(−→qx)⇔ −

−−−→q f (q) =

(ϕ f − 1)(−→qx

) iso⇔ −→qx =(

ϕ f − 1)−1 (

−−−−→q f (q)

)⇔ x = q −

(ϕ f − 1

)−1 (−−−→q f (q)

).�

Ejemplo 22. (REVISITADO)45 Sea f : A → A una homotecia de razón λ ∈ K \ {1}.Tenemos que ϕ f = λ · 1E, ie, E1 = ker (λ− 1) = {0} 36⇒ ∃!x ∈ A| f (x) = x.

2.4.3. S-ea invariantes.

Definición 21. Sea (A, K, E) ea, f : A→ A una aplicación afín. Diremos que un s-ea B = p + F de A es estable o invariante por f ssi el s-ea f (p) + ϕ f (F) =: f (B) ⊆B.

Nota. Si f es una afinidad, f (B) ⊆ B⇔ f (B) = B.

Proposición 37. Con las notaciones anteriores:

f (B) ⊆ B 2⇔{

f (p) ∈ Bϕ f (F) ⊆ F ⇔

{ −−−→p f (p) ∈ Fϕ f (F) ⊆ F

Ejemplo 23. Caso particular: dim B := dim F = 1⇒ B es una recta y F = 〈e〉, cone ∈ E \ {0}. Por tanto, ϕ f (F) ⊆ F ⇔ ϕ f (〈e〉) =

⟨ϕ f (e)

⟩⊆ 〈e〉 ⇔ e VEP de ϕ f .

Hecho. Sea (A, K, E) ea, f : A→ A una afinidad que en una ref dada tiene matriz:y1...

ym1

=

a1

1 · · · a1n b1

......

...am

1 · · · amn bm

0 · · · 0 1

x1...

xn1

41Cf. Prop.27.42A, B como antes.43La condición sobre la dimensión finita de A no puede obviarse, en general.44dim E = dim

(ker

(ϕ f − 1

))+dim

(Im(

ϕ f − 1))

, corolario del primer teorema de isomorfia (paraev).

45Cf. Prop.28, corolario de Prop.36, tomando(

ϕ f − 1)−1

= 1λ−1 · 1E ⇔ ϕ f = λ · 1E, con λ 6= 1.

No en vano, hay paralelismos evidentes entre las demostraciones de ambas proposiciones.


Entonces, el hiperplano ∑ni=1 cixi + c = 0 de A es invariante por f ssi

c1...

cnc

es un VEP de

a1

1 · · · a1n b1

......

...am

1 · · · amn bm

0 · · · 0 1

t

Nota. Welters, así como otros autores, denota la transpuesta a la izquierda de lamatriz para evitar posibles confusiones con la exponenciación. Yo, al menos enestos apuntes, no; no me ha parecido necesario.

Parte 2

Espacios euclídeos46

46Se corresponde con el segundo parcial.

Capítulo 3

Espacios vectoriales euclídeos

AVISO. Aún en construcción.

Nota. K = R

3.1. Producto escalar euclídeo1

Definición 22. Sea K un cuerpo, E un K-ev. Una forma bilineal de E es una aplica-ción φ : E× E→ K tal que, ∀u, u′, u′′, v, v′, v′′ ∈ E, ∀c ∈ K,

Es lineal por la izquierda2:• φ (u′ + u′′, v) = φ (u′, v) + φ (u′′, v)• φ (cu, v) = cφ (u, v)

Es lineal por la derecha:• φ (u, v′ + v′′) = φ (u, v′) + φ (u, v′′)• φ (u, cv) = cφ (u, v)

Nota. Una forma lineal de E es una aplicación lineal E→ K.

Definición 23. (MATRIZ DE UNA FORMA BILINEAL EN UNA BASE DADA)Sea φ : E× E → K una forma bilineal, e1, . . . , en una base de E (dim E = n).

Entonces, la matriz G = (gji) ∈ Mn×n (K) de φ en esta base viene definida por

gji = φ(ej, ei). Más explícitamente:

G =

φ(e1, e1) · · · φ(e1, en)...

...φ(en, ei) · · · φ(en, en)

Proposición 38. Con las notaciones anteriores: Sean u, v ∈ E, de modo que los podemosescribir como combinación lineal de los vectores de la base de E: u = ∑n

j=1 xjej, v =

∑ni=1 yiei, con xj, yi ∈ K. Entonces: φ(u, v) = xtGy, con x =

x1...

xn

, y =

y1...

yn

.

DEMOSTRACIÓN. φ(u, v) = φ(

∑nj=1 xjej, ∑n

i=1 yiei

)= ∑i,j xjyiφ

(ej, ei

)= ∑i,j xjyig

ji =

∑i,j xjgji yi = ∑j xj

(∑i gj

i yi

)=(

x1 · · · xn)

G

y1...

yn

= xtGy �

1Cf.:[R], A.1–A.3 (pg. 349–356)[CL], XI.1–XI.2 (pg. 225–231)

2ie, más formalmente, que φ(−, v) : E→ K es lineal.

47

48 3. ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS

Observación 33. El reciproco también es cierto. Es decir, φ(u, v) := xtGy es nece-sariamente bilineal. Por tanto: φ bilineal ⇔ φ(u, v) = xtGy. De ahí que llamemosa G matriz de una forma bilineal, y no simplemente matriz asociada a una aplica-ción φ : E× E→ K.

DEMOSTRACIÓN. Inmediata: basta comprobar las cuatro condiciones exigi-das en Def.22. Hagamos la primera como ejemplo: φ (u′ + u′′, v) = (u′ + u′′)t Gv =

(u′)t Gv + (u′′)t Gv = φ (u′, v) + φ (u′′, v). �

Ejemplo 24. Sea K cuerpo, E = K2. Entonces

K2 × K2 φ−−−−→ K

((x1, x2) , (y1, y2)) −−−−→ x1y2 + x2y1

es bilineal, pues es lineal fijando tanto x como y.Tomemos ahora la base “canónica” de K2: e1 = (1, 0) , e2 = (0, 1). Entonces:

φ(e1, e1) = 1 · 0 + 0 · 1 = 0φ(e1, e2) = 1 · 1 + 0 · 0 = 1φ(e2, e1) = 1φ(e2, e2) = 0

Por tanto: G =

(0 11 0

)En efecto, comprobamos que φ(u, v) = xtGy =

(x1 x2

) ( 0 11 0

)(y1y2

)=(

x1 x2) ( y2

y1

)= x1y2 + x2y1

Proposición 39. (CAMBIO DE BASE)Sea φ : E × E → K bilineal, e1, . . . , en & e′1, . . . , e′n bases de E (dim E = n). Si

G =(

gji

)es la matriz de φ en la base e1, . . . , en, G′ =

(g′ji)

la matriz de φ en la base

e′1, . . . , e′n, M =(

mji

)3 la matriz de paso (de la base e1, . . . , en a la e′1, . . . , e′n), se tiene:

G′ = MtGM.4

DEMOSTRACIÓN. g′ji = φ(

e′j, e′i)= φ

(∑n

k=1 mkj ek, ∑n

l=1 mliel

)= ∑k,l mk

j mliφ (ek, el) =

∑k,l mkj ml

i gkl = ∑k,l mj

kgkl ml

i =(

MtGM)j

i �

Definición 24. Una forma bilineal φ : E× E → K se llama simétrica ssi ∀u, v ∈ E,φ(u, v) = φ(v, u).

Observación 34. Si G es la matriz de φ en una base e1, . . . , en de E, φ es simétricassi G es simétrica, ie, ssi Gt = G.

DEMOSTRACIÓN. [⇒] gji = φ

(ej, ei

) hip.= φ

(ei, ej

)= gi

j

[⇐] φ(u, v) = xtGy =(

xtGy)t

= ytGtxtt = ytGtxhip.= ytGx = φ(v, u), con u, v

como en Prop.38.5 �

3Por tanto, denotaremos Mt =(

mij

)a su transpuesta. Dicho esto, recordamos lo ventajo-

so/intuitivo de esta notación: el producto de matrices AB = C = (cik) está definido si el numero

de columnas de A = (aij) coincide con el numero de filas de B = (bl

k), ie, si l = j (o, más formalmen-

te, si ambos recorren el mismo conjunto de índices), de modo que ∑nj=1 ai

jbjk = ci

k , lo que sugiere untentador “se tachan las j”.

4Cf. “cambio de bases en la matriz de una aplicación lineal” del A.L.: A′ = M−1 AM5Nótese que xtGy ∈ M1×1, luego coincide con su transpuesta.

3.1. PRODUCTO ESCALAR EUCLÍDEO 49

Definición 25. Una forma bilineal φ : E × E → K es definida positiva ssi ∀u ∈E \ {0}, φ(u, u) > 0.

Nota. Por analogía, diremos que la matriz G asociada a φ es definida positiva ssi∀u ∈ E \ {0}, φ(u, u) > 0, ie, ssi ∀u ∈ E \ {0}, xtGx > 0, con u como en Prop.38.

Observación 35. ∀v ∈ E, φ(v, 0) = 0 = φ(0, v) por la bilinealidad (sacando elescalar 0). En particular, φ(0, 0) = 0.

Definición 26. Sea E un R-ev de dimensión finita. Un producto escalar en E esuna forma bilineal simétrica (fbs, en adelante) φ : E× E→ K definida positiva.

Notación. Si φ es un producto escalar, φ(u, v) se escribe u · v.

Definición 27. Un ev euclídeo (eve, en adelante) es un R-ev E de dimensión finita6

con un producto escalar fijado. Lo denotamos por (E, ·)

Ejemplo 25. Eve estándar de dim n, (Rn, ·):

Rn ×Rn ·−−−−→ R

((x1, . . . , xn) , (y1, . . . , yn)) −−−−→ ∑ni=1 xiyi

es una forma bilineal (inmediato).es simétrica (por la conmutativa del producto).es definida positiva: (x1, . . . , xn) 6= (0, . . . , 0)⇒ ∃i|xi 6= 0, luego φ(x, x) =∑n

i=1 x2i > 0, puesto que, ∀i, x2

i ≥ 0.

Definición 28. Sea (E, ·) un eve. La matriz asociada al producto escalar en unabase de E7 se conoce como matriz de Gram.

Proposición 40. (CRITERIO DE SYLVESTER) Sea E un R-ev de dim n, e1, . . . , en unabase de E. Sea G ∈ Mn×n(R) simétrica, φ : E× E → R la forma bilineal de E definidapor esta matriz (en la base dada). Entonces: φ es producto escalar ssi todos los menoresprincipales de G son positivos, ie, ssi ∀i ∈ {1, . . . , n}, det Gi > 0, siendo Gi la matrizdeducida de G por intersección de las primeras i filas y las primeras i columnas.

DEMOSTRACIÓN. No la veremos. Quien tenga curiosidad, que acuda al finalde XI.2 en [CL]. �

Ejemplo 26. La matriz 2× 2 real(

1 22 1

)no define un producto escalar, pues,

por ejemplo, para el vector de componentes(

1 −1)

se tiene:(

1 −1) ( 1 2

2 1

)(1−1

)=(

1 −1) ( −1

1

)= −2 < 0, luego no es definida positiva.

Ejemplo 27. La matriz 2× 2 real(

2 11 2

)sí define un producto escalar, pues,

∀v = (x, y) ∈ E \ {0},(

x y) ( 2 1

1 2

)(xy

)=(

x y) ( 2x + y

x + 2y

)=

2x2 + 2xy + 2y2 = x2 + (x + y)2 + y2 = 0⇔ (x, y) = (0, 0)⇔ v = 0

6En el caso infinito esto se conoce como espacio prehilbert.7Cf. Prop.38.


3.2. Normas8

Definición 29. Sea (E, ·) un eve. ∀u ∈ E, ‖u‖ :=√

u · u ∈ R es la norma de u.

Ejemplo 28. En el eve estandar, ‖(x1, . . . , xn)‖ =√

∑ni=1 x2

i

Definición 30. Un vector u ∈ E se llama unitario ssi ‖u‖ = 1.

Ejemplo 29. Si e ∈ E \ {0}, el vector u := 1‖e‖ e es unitario: ‖u‖ =

∣∣∣ 1‖e‖

∣∣∣ ‖e‖ =1‖e‖ ‖e‖ = 1. De hecho, hay exactamente dos vectores unitarios en el s-ev 〈e〉 de E:

± 1‖e‖

Propiedades.

Proposición 41. ∀u ∈ E, ‖u‖ ≥ 0, ‖u‖ = 0⇔ u = 0.

DEMOSTRACIÓN. u 6= 0⇒ u · u25> 0⇒ ‖u‖ > 0.

u = 0⇔ u · u = 0⇔ ‖u‖ = 0. �

Proposición 42. ∀u ∈ E, ∀a ∈ R, ‖au‖ = |a| ‖u‖

DEMOSTRACIÓN. ‖au‖ =√(au) · (au) 22

=√

a2(u · u) =√

a2√

u · u = |a| ‖u‖.9�

Proposición 43. (DESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ). Las siguientes formulacio-nes son equivalentes: ∀u, v ∈ E,

1. u · v ≤ ‖u‖ ‖v‖.2. |u · v| ≤ ‖u‖ ‖v‖.10

3. (u · v)2 ≤ (u · u)(v · v).11

4. Si G es la matriz de Gram, det G ≥ 0.12

DEMOSTRACIÓN. Veamos que ∀u, v ∈ E, (u · v)2 ≤ (u · u)(v · v):Caso 1. v = 0⇒ 0 ≤ 0Caso 2. v 6= 0 ⇒ v · v 6= 0 ⇒ 0 ≤

∥∥u− u·vv·v v

∥∥2=(u− u·v

v·v v)·(u− u·v

v·v v)=

(u · u) + (u·v)2

(v·v)�2��(v · v)− 2 u·v

v·v (u · v) = (u · u)− (u·v)2

v·v

Como (v · v) > 0, la desigualdad se conservara al multiplicar por él,obteniendo: 0 ≤ (u · u) (v · v)− (u · v)2 ⇔ (u · v)2 ≤ (u · u)(v · v).

�

Corolario 6. ∀u, v ∈ E, (u · v)2 = (u · u)(v · v)⇔ u, v son VLD

8Cf.:[R], A.3 (pg. 355–357)[CL], XI.3(pg. 231–233)

9Cuando se trabaja con la norma de un eve es habitual no operar directamente con ella sino másbien con su cuadrado para evitar cargar con las raíces. Así, una posible vía alternativa sería:

‖au‖2 = (au) · (au) 22= a2 ‖u‖2

(|a| ‖u‖)2 = |a|2 ‖u‖2 = a2 ‖u‖2

}⇒ ‖au‖ = |a| ‖u‖

10A priori uno podría pensar que esta es más fuerte que la anterior, pues la vuelta es trivial: u · v ≤|u · v| ≤ ‖u‖ ‖v‖. Sin embargo, como |u · v| = max{u · v, (−u) · v}, distinguiendo casos podremosobtener fácilmente la ida:Caso 1. Si |u · v| = u · v, por hipótesis, u · v ≤ ‖u‖ ‖v‖.Caso 2. Si |u · v| = (−u) · v, por hipótesis, (−u) · v ≤ ‖−u‖ ‖v‖ = |−1| ‖u‖ ‖v‖ = ‖u‖ ‖v‖.

11Se obtiene de elevar al cuadrado la anterior, proceso que es reversible.12Operando, se comprueba que (4) es equivalente a (3).

3.3. ORTOGONALIDAD 51

DEMOSTRACIÓN. [⇒] Supongamos v 6= 0 (en caso contrario, el resultado estrivial). Entonces, por la demostración de la Prop.43,

∥∥u− u·vv·v v

∥∥ = 0, luego (porProp.41) u = u·v

v·v v.[⇐] Sean u, v ∈ E, u = λv con λ ∈ R, G la matriz de Gram. Entonces:{

(u · u)(v · v) =(utGu

) (vtGv

)= utG (λv) vtGv = λutGvvtGv

(u · v)2 =(utGv

) (utGv

)= utGv (λv)t Gv = λutGvvtGv

�

Proposición 44. (DESIGUALDAD TRIANGULAR) ∀u, v ∈ E, ‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖.

DEMOSTRACIÓN. ‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖ ⇔ ‖u + v‖2 = (u + v) · (u + v) ≤(‖u‖+ ‖v‖)2 ⇔ ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2u · v ≤ ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2 ‖u‖ ‖v‖ ⇔ u · v ≤‖u‖ ‖v‖, lo que es cierto por Prop.43. �

Corolario 7. ‖u + v‖ = ‖u‖+ ‖v‖ ⇔ u = λv ó v = λu, con λ ∈ R>0

DEMOSTRACIÓN. Por la demostración de la Prop.44, ‖u + v‖ = ‖u‖+ ‖v‖ ⇔u · v = ‖u‖ ‖v‖, lo que por el Cor.6 equivale a decir que u, v son VLD. �

3.3. Ortogonalidad13

3.3.1. Subespacio ortogonal.

Definición 31. Sea E un eve. Dados u, v ∈ E, decimos que u, v son (mutuamente)ortogonales (u ⊥ v) ssi u · v = 0.

Observación 36. u = 0⇔ u ⊥ v, ∀v ∈ E.

DEMOSTRACIÓN. [⇒] 0 ∈ E es ortogonal a todo vector v ∈ E pues 0 · v = 0[⇐] Si u ∈ E es ortogonal a todo vector v ∈ E, en particular lo es para v = u,

luego u · u = 0⇒ u = 0 �

Proposición 45. (DEFINICIÓN) Sea E un eve, F ⊆ E un s-ev. Entonces el conjuntoF⊥ := {u ∈ E|u ⊥ F} es un s-ev de E, que llamamos s-ev ortogonal de F.14

Nota. u ⊥ F ssi u ⊥ v, ∀v ∈ F.DEMOSTRACIÓN.

0 ∈ F⊥, pues 0 · v = 0, ∀v ∈ F.

u ∈ F⊥, a ∈ R⇒ au ∈ F⊥, pues ∀v ∈ F, (au) · v = a(u · v) hip= 0.

u′, u′′ ∈ F⊥ ⇒ u′ + u′′ ∈ F⊥, pues ∀v ∈ F, (u′ + u′′) · v = u′ · v + u′′ · v hip=

0.

�

Proposición 46. E = F⊕ F⊥, ∀F s-ev de E.15 En particular, dim F+dim F⊥ = dim E.DEMOSTRACIÓN.

1. F ∩ F⊥ = {0}, pues ∀u ∈ F ∩ F⊥, como u ∈ F & u ∈ F⊥, u · u = 0, luegou = 0.

13Cf.:[R], A.3 (pg. 357–359) & A.5 (pg. 361–362)[CL], XI.2(228–231) & XI.4–XI.5 (pg. 233–234)

14No confundir con F⊥ ⊆ E∗, F⊥ = {w ∈ E∗|w(x) = 0, ∀x ∈ E}.15Así, ∀e ∈ E, e = eF + eF⊥ , con eF ∈ F, eF⊥ ∈ F⊥.


2. F, F⊥ ⊆ E s-ev ⇒ F + F⊥ ⊆ E s-ev⇒dim(

F⊕ F⊥)= dim F +dim F⊥ ≤

dim E. Por tanto, para tener la igualdad, bastara ver que dim F+dim F⊥ ≥dim E. Consideremos, pues, la aplicación

E λ−−−−→ F∗

u −−−−→ F −−−−→ R

v −−−−→ u · vComo λ es lineal16, tenemos, por la formula del rango de A.L., que dim E =

dim (ker λ) + dim (Im λ). Por tanto, dado que ker λ = dim F⊥,17 Im λ ⊆F∗, dim F∗ = dim F, nos queda que dim E ≤ dim F⊥ + dim F.

�

Observación 37. dim E = dim F⊥+dim F∗ ⇒ Im λ = F∗ ⇒ λ es un epimorfismo.Por otra parte, si F = E obtenemos que λ es un isomorfismo canónico, pues

dim (ker λ) = dim F∗ = 0.

Proposición 47. Si F, F1, F2 son s-ev del eve E, entonces:

1. F = F⊥⊥ :=(

F⊥)⊥

= {u ∈ E|u ⊥ F⊥}2. (F1 + F2)

⊥ = F⊥1 ∩ F⊥23. (F1 ∩ F2)

⊥ = F⊥1 + F⊥2DEMOSTRACIÓN.1. F ⊆ F⊥⊥ pues ∀u ∈ F ⊆ E, ∀v ∈ F⊥, u · v = 0. Por otra parte, dim F =

dim F⊥⊥, pues dim F + dim F⊥ = dim E = dim F⊥ + dim F⊥⊥.2. Ejercicio para el lector.

3. (F1 ∩ F2)⊥ =

(F⊥⊥1 ∩ F⊥⊥2

)⊥=((

F⊥1 + F⊥2)⊥)⊥

= F⊥1 + F⊥2�

16Recordamos que el espacio dual de F, F∗, es el espacio vectorial de todas las formas lineales de

F, L(F, R). Así, tenemos que la aplicaciónλ(u + w) :F −−−−−→ R

v −−−−−→ (u + w) · ves igual a la suma de las

aplicaciones λ(u), λ(w), pues, ∀v ∈ E, λ(u + w)(v) = (u + w) · v = u · v + w · v = λ(u)(v) + λ(w)(v)por la bilinealidad del producto escalar. Análogamente, si a ∈ R, λ(au)(v) = (au) · v = a(u · v) =aλ(u)v, ∀v ∈ E.

17u ∈ ker(λ)⇔ u · v = 0, ∀v ∈ F ⇔ u ∈ F⊥

Bibliografía

[CL] Castellet, M. ; Llerena, I. Álgebra lineal y geometría. 2ª ed., Bellaterra: Publicacions UAB, 1994.[R] REVENTÓS, A. ; Afinitats, moviments i quàdriques. Bellaterra : Universitat Autònoma de Barce-

lona. Servei de Publicacions, 2008.[QR] Queysanne, M. ; Revuz , A. Geometría . Barcelona : Compañía Editorial Continental, 1976.[X] Xambó, S. Álgebra lineal y geometrías lineales. 2 vols. Barcelona: Eunibar 1977.

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