GEOMETRÍA MAT - 122

GEOMETRÍA ÍNDICE LECCIÓN PAGINA Las Funciones como modelos descriptivos 02 Dominio y Recorrido Modelos descriptivos FUNCIONES ELEMENTALES Función lineal 10 Función cuadrática 15 Función exponencial 27 Función logarítmica 35 TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA Ángulos y sistemas de medición angular 41 Razones trigonométricas en triángulos rectángulos Resolución de triángulos rectángulos Resolución de triángulos acutángulos y obtusángulos

Teorema del seno Teorema del coseno

50

Gráfica de funciones trigonométricas 55 Identidades trigonométricas 62 Ecuaciones trigonométricas 65 GEOMETRÍA ANALÍTICA Sistema de coordenadas

El punto en el plano Distancia entre puntos Punto medio

69

La ecuación de la recta 71 La circunferencia 78 La parábola 82 La elipse 89 La hipérbola 93

2

UNIDAD N ° 1

LAS FUNCIONES COMO MODELOS DESCRIPTIVOS CLASE 1

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Calculan imágenes y co imágenes de

funciones reales sencillas Determinan dominio y recorrido de

funciones reales. Modelan situaciones sencillas utilizando

funciones elementales

Definición de Función Real Evaluación de funciones reales Dominio y recorrido Las funciones como modelos descriptivos Funciones elementales

FUNCIONES, CONCEPTOS ELEMENTALES IDEA PRELIMINAR: en el siguiente diagrama se muestran dos conjuntos, el conjunto O, de los oficios de la Construcción, y el conjunto H, de herramientas de construcción. Mediante una flecha conecta el oficio con su respectiva herramienta de trabajo.

Lo que acabas de hacer es establecer una relación entre los elementos de dos conjuntos, el conjunto de salida O y el conjunto de llegada H. Una función es precisamente eso, una relación entre los elementos de dos conjuntos.

3

DEFINICIÓN: una función es una relación entre los elementos de dos conjuntos A y B llamados conjunto de partida y conjunto de llegada respectivamente, tales que, a cada elemento del conjunto A le corresponde uno y solamente uno del conjunto B. Al conjunto de partida A, se le denomina Dominio de la función Llamaremos:

Imágenes: a todos los elementos del conjunto de partida que están relacionados con algún elemento del conjunto de partida

Preimágenes: a todos los elementos del conjunto de partida que tienen imagen. Dominio: al conjunto de todas las preimágenes. Recorrido: al conjunto de todas las imágenes Codominio: al conjunto de llegada

Ejemplo: en el siguiente diagrama se representa una función

La imagen de 2 es 4 La preimagen de 9 es 3 El dominio es { }4,3,2,1== DomfA El recorrido es { }16,9,4,1Re =cf El Codominio es { }25,16,9,4,1== CodomfB

NOTACIÓN: denotaremos las funciones generalmente por las letras minúsculas f, g, h,…etc. Así leeremos la expresión )(xf como “f de x”, donde x puede ser cualquier número real

4

EVALUACIÓN DE FUNCIONES: evaluar una función consiste en reemplazar el valor de x dado en la “fórmula” de la función, por un número real dado. Ejemplo1: Dada la función 12)( += xxf , calcular )3(f Solución: en la fórmula de la función reemplazamos x por 3 y obtenemos

7132)3( =+⋅=f Ejemplo: Dada la función 23)( 2 −−= xxf , calcular )2(f Solución: en la fórmula de la función reemplazamos x por 2 y obtenemos

14212223)2( 2 −=−−=−⋅−=f

Ejemplo3: Dada la función 2

3)(−

=x

xf ,

a) calcular )5(f

Solución: 133

253)5( ==−

=f

b) calcular )4(−f

Solución: 5,06

324

3)4( −=−

=−−

=−f

c) Calcular )2(f Solución: Observemos que al reemplazar x por 2 en la función, esta “no funciona”, pues el denominador se hace cero (no está permitido dividir por cero)

???????03

223)2( =−

=f

El ejemplo anterior nos muestra que no siempre es posible evaluar una función en un valor dado. El que una función pueda ser evaluada en un número dado dependerá de si este número pertenece o no a su dominio

5

DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN DEFINICIÓN: llamaremos dominio de la función f y denotaremos Domf al conjunto de todos los números reales a los cuales es factible aplicar la función (es decir el conjunto de todos los números reales para los cuales la fórmula dada por f, FUNCIONA!!) EJEMPLO: Calcular el dominio de las siguientes funciones:

1. 32)( −= xxf Solución Observamos que esta función está siempre definida, es decir, la variable x puede ser sustituida por cualquier número real y el resultado será siempre un número real, por lo tanto IRDomf =

2. x

xf 1)( =

Solución: Se observa que esta función está definida para cualquier número real excepto el cero (en x = 0 no funciona), por lo tanto { }0−= IRDomf .

3. 4

)( 2 −=

xxxf

Solución: este tipo de funciones presenta problemas solamente en el denominador, éste nunca puede ser igual a cero. Entonces nos preguntamos ¿cuándo ?042 =−x

( )( )2y 2 cuandoes, esto

022entonces, ,042

−===+−=−

xxxxx

Por lo tanto { }2,2−−= IRDomf . 4. 1)( −= xxf Solución: Esta “fórmula” funciona sólo si la cantidad subradical es mayor o igual que cero.

En lenguaje matemático lo anterior se expresa

{ } { }1/01/ ≥∈=≥−∈= xIRxxIRxDomf , Es decir todos los números reales mayores iguales que 1 hacen que esta fórmula funcione.

6

EJERCICIOS: calcula el dominio de las siguientes funciones

a) 73)( −= xxf b) xxf 98)( −=

c) 172)( 2 +−= xxxf

d) 1

)(+

=x

xxf

e) xxxf

−−

=52)(

f) 2572)( 2 −

−=

xxxg

g) 64

12)( 2

2

−−

=x

xxg

h) 2113)(

xxxg−−

=

i) 10023)( 2 +

−=

xxxh

j) xxh =)(

k) 3)( += xxh

l) 42)( += xxh

m) xxh −= 7)(

DEFINICIÓN: llamaremos Recorrido de una función f, y denotaremos cfRe , al conjunto de todos los elementos del conjunto de llegada que tienen pre-imagen. CALCULO DEL RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN: Para calcular el recorrido de una función realizaremos los siguientes pasos

haremos )(xfy = En esta expresión despejaremos la variable x Luego nos preguntaremos ¿Qué valores podemos asignar a la variable y? el conjunto de todos

estos valores conformarán el recorrido de la función Ejemplos:

i) Calcular el recorrido de la función 32)( += xxf Solución:

Hacemos 32 += xy

Despejamos x, tendremos

xy=

−2

3

Nos preguntamos ¿qué valores pueden ser asignados a la variable y?

La respuesta es ¡Cualquier número real! Luego

IRcf =Re

7

ii) xxxf

−+

=32)(

Solución:

Hacemos:

xxy

−+

=32

Despejamos x, tendremos: ( )

( )

y? aasignar pueden le se no valores¿Qué osPreguntarn 123

Despejar x 123derecha la de miembro elen por x Factorizar 23

en x rrminosAgrupar té 23izquierda la de miembro elen ción multiplica laEfectuar 23

xyy

xyyxyxyxyxyxxy

=+−

+=−+=−+=−+=−

La respuesta es ¡ “y” debe ser distinto de -1! Luego

{ }1Re −−= IRcf

Observación: deberemos entender este resultado de la siguiente forma: No existe un número real en el conjunto de partida, es decir en el dominio, que al ser reemplazado por x en la fórmula de la función nos dé como resultado -1 En efecto, comprobemos lo dicho en el párrafo anterior. Si existe un número que satisfaga la igualdad

132

−=−+

xx

Entonces ( )

5023

32312

−=⇒−−=−⇒+−=+⇒−⋅−=+

xxxxxx

Pero este resultado es absurdo, luego, no existe un valor para x que reemplazado en la función de cómo resultado -1

iii) 1)( 2 += xxf

8

Solución: Hacemos 12 += xy

Despejamos x

1

1 2

−±=⇒

=−

yx

xy

Nos preguntamos ¿Qué valores pueden asignársele a la variable y?

Realizamos el análisis: 1−y tiene sentido solamente cuando la expresión bajo el

símbolo de la raíz es mayor o igual a cero, en lenguaje matemático:

101

≥⇒≥−

yy

Luego la respuesta es [ )+∞= ,1Recf EJERCICIOS: calcula el recorrido de las siguientes funciones 1) 73)( −= xxf 2) xxf 98)( −=

3) 1

)(+

=x

xxf

4) 3

2)(−+

=x

xxf

5) 32

2)(−

=x

xg

6) 2)( 2 −= xxg

7) 12)( 2 += xxg

8) 12)( 2 +−= xxg

9) 3)( += xxh

10) 42)( += xxh

11) xxh −= 7)(

9

LAS FUNCIONES COMO MODELOS DESCRIPTIVOS: la importancia de las funciones es que a partir de ellas se pueden establecer modelos que permiten describir situaciones de la vida real. Estos modelos se presentan como una “fórmula” que permite anticipar una respuesta a un problema dado Ejemplo:

1. Un jornal de la construcción gana $1500 por jornada diaria. Nos interesa establecer un modelo para determinar cuál será el salario del jornal al cabo de x días. Observa la siguiente tabla

Días

x Salario

S

1 1500 2 21500 ⋅ 3 31500 ⋅ x x⋅1500

Luego el modelo que describe esta situación es xxS 1500)( =

2. Se disponen de 200 metros de malla “tipo gallinero” para cercar un terreno rectangular de lado x. Establecer una función que nos permita calcular el área de dicho terreno.

Solución: se dispone de 200 metros, luego, como el largo a cubrir es de x metros (por dos lados), sobran 200 – 2x metros de malla, los que se deben dividir en dos ¿por qué? Luego los lados del rectángulo son como se muestran en la figura

El área la podemos expresar como:

( )2100

100)(xx

xxxA−=

−⋅=

Ejercicio: el valor por concepto de arriendo de una máquina para construcción es de $8,000 por hora. Y el valor por concepto de operario de la máquina de $3,000 por hora. Escribir una función V(t) que exprese el valor a cancelar por t horas por una máquina y un operario.

10

CLASE 2

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Identifican la función Lineal y la caracterizan

a través de sus parámetros Operan con la función lineal en forma

analítica y gráfica, relacionando su estudio a situaciones de la vida laboral.

Resuelven problemas de la especialidad aplicando la función lineal como modelo.

Función Lineal: ecuación, ceros y gráfica. Aplicaciones de la función lineal.

FUNCIONES ELEMENTALES Ciertas funciones se nos presentan con frecuencia en el estudio de la matemática y a partir de ellas se pueden modelar un sin número de fenómenos de la vida real, por lo que resulta sumamente necesario conocerlas y estudiarlas. Las funciones elementales que abordaremos son

La función Lineal La función cuadrática La función exponencial La función logarítmica

FUNCIÓN LINEAL

PROPIEDADES

• El dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales IR • El recorrido de toda función lineal es el conjunto de todos los números reales IR • La gráfica de esta función es una línea recta

11

TRAZADO DE LA GRÁFICA: Dado que la gráfica de una función lineal es una línea recta, para trazarla se requieren conocer dos puntos cualesquiera de ella EJEMPLO:

1. Trazar la gráfica de la función 32)( += xxf

Solución: todo punto que esté sobre la gráfica de esta función debe tener la forma ( ))(, xfx , buscamos dos puntos asignando valores a la variable x

x =)(xf ( ))(, xfx

0 3302 =+⋅ ( )3,0

1 5312 =+⋅ ( )5,1

Llevamos ahora estos puntos a un sistema de coordenadas cartesianas y por ellos hacemos pasar la recta pedida.

2. Trazar la gráfica de la función 13)( +−= xxf Solución: análogamente, buscamos dos puntos asignando valores a la variable x

x =)(xf ( ))(, xfx

0 1103 =+⋅− ( )1,0

1 2113 −=+⋅− ( )2,1 −

Llevamos ahora estos puntos a un sistema de coordenadas cartesianas y por ellos hacemos pasar la recta pedida.

12

Observación: en la expresión nmxxf +=)(

m recibe el nombre de pendiente de la recta, este número está relacionado con el ángulo de inclinación de la recta respecto de la horizontal. Al respecto

Si m>0 la función es creciente (ejemplo 1)

Si m<0, la función es decreciente (ejemplo 2)

n se denomina coeficiente de posición, indica el

punto donde la recta corta al eje vertical, este punto es ( )n,0

MODELANDO CON LA FUNCIÓN LINEAL Hasta el momento, las funciones lineales analizadas vienen dadas, esto en la práctica no ocurre, es decir, la forma de la función la debemos determinar Para conocer la forma de una función lineal que se ajusta a un conjunto de datos debemos conocer al menos dos puntos que pertenezcan a la grafica de dicha función.

13

FORMA DE LA FUNCIÓN LINEAL CONOCIDOS DOS PUNTOS DE ELLA. Si una recta pasa por los puntos ( ) ( )1100 ,y , yxQyxP , entonces la función lineal que modela la forma de esta función es

( ) 00 yxxm)x(f +−= Donde el valor de la pendiente m viene dado por la fórmula

01

01

xxyy

m−−

=

Ejemplos:

1. Sabiendo que f es una función lineal y que 13)4(y 5)2( == ff ¿Cuál es el valor de )10(f ? Solución: Los puntos sobre la recta tienen la forma ( ))(, xfx , luego los datos dados corresponden a dos puntos sobre la gráfica de la recta definida por la función f. Estos puntos son ( ) ( )13,4y 5,2 ¿Por qué? Comenzamos calculando la pendiente de la recta

428

24513

==−−

=m

Reemplazamos este valor de la pendiente y cualquiera de los puntos dados en la “formula de la función” para obtener

( ) 524)( +−= xxf , desarrollando y reduciendo se llega a

34)( −= xxf

2. Una recta pasa por los puntos A(-3,4) y B(4,-10) verifique que la función lineal que ellos definen tiene la forma 22)( −−= xxf

14

3. UN MODELO MATEMÁTICO: la relación entre grados Celsius, °C, y grados Fahrenheit, °F, es una relación lineal. Si se sabe que 0°C equivalen a 32°F y que 100°C equivalen a 212°F. Expresar la temperatura en grados Celsius como una función de los grados Fahrenheit.

Solución:

Si llamamos Y a los grados Celsius y X a los grados Fahrenheit entonces tenemos los puntos ( ) ( )100,212y 0,32 relacionados mediante una función lineal.

Calculamos en primer lugar la pendiente

95

180100

322120100

==−−

=m

La función tendrá la forma

( )

9160

95)(

bien o, 03295)(

−=

+−=

Xxf

Xxf

3.1 ¿A cuántos grados Celsius equivalen 90°F?

Solución: Remplazando X por 90 en la función obtenida se tiene CY °=−⋅= 2,329

1609095

Ejercicios: A) Traza la gráfica de las siguientes funciones

1. 63)( −= xxf 2. 42)( += xxf

3. 21

21)( += xxf

4. 3.05.0)( += xxf

5. 3.05.0)( +−= xxf

6. 3.05.0)( −= xxf 7. 3.05.0)( −−= xxf

8. 131)( +−= xxf

B) Escribe una función lineal que pase por los puntos a) ( ) ( )4,5y 3,2 − b) ( ) ( )6,2y 3,1 −− c) ( ) ( )60,20y 30,10 − C) La relación entre grados Kelvin, °K, y grados Celsius, °C, es una función lineal. Expresar los grados kelvin como una función de los grados Celsius sabiendo que 27°C corresponden a 300°K y 40°C corresponden a 313°K

15

CLASE 3

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Identifican la ecuación cuadrática y la

caracterizan a través de sus parámetros. Operan con la función cuadrática en forma

analítica y gráfica. Relacionando su estudio a situaciones de la vida laboral.

Resuelven problemas de la especialidad aplicando la función cuadrática como modelo

Función cuadrática: ecuación, parámetros, ceros y gráfica

Modelamiento matemático

FUNCIÓN CUADRÁTICA

GRAFICA: La gráfica de la función cuadrática recibe el nombre de Parábola y esta queda determinada si se conocen los siguientes elementos: Coordenadas del vértice ( )kh, Intersecciones con los ejes coordenados X e Y

16

ESTUDIO DE LA GRÁFICA: Para trazar la gráfica de una parábola seguiremos los siguientes pasos:

1. Reconocer los valores de a, b y c. 2. Reconocer hacia donde la parábola abre sus ramas

2.1 Si 0>a , la parábola abre sus ramas hacia arriba

2.2 Si 0<a , la parábola abre sus ramas hacia abajo

3. Determinación de las coordenadas del vértice. Estas se encuentran en el punto

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−a

bacabV

44,

2

2

4. Determinar las coordenadas del punto donde la parábola corta al eje Y. Este punto se encuentra en ( )c,0

5. Determinar las coordenadas donde la parábola corta al eje X.

Esto se consigue resolviendo la ecuación de segundo grado 02 =++ cbxax Esta ecuación puede ser resuelta por cualquiera de los métodos estudiados en Matemática Pueden suceder los siguientes casos:

5.1 La parábola corta al eje X en 2 puntos ( ) ( )0, , 0, 21 xQxP (La ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales y distintas

5.2 La ecuación cuadrática tiene solamente una solución real. La parábola corta en un solo punto al eje

X

5.3 La ecuación cuadrática no tiene soluciones reales. La parábola no corta al eje X

17

EJEMPLOS: Trazar la gráfica de las siguientes parábolas Caso 1: la parábola corta al eje X en 2 puntos

642)( 2 −+= xxxf Solución: 1. Reconocemos 6,4,2 −=== cba , como 0>a , la parábola abrirá sus ramas hacia arriba. 2. Determinamos las coordenadas del vértice

( )

( )8,1son vérticedel scoordenada las Luego,

8864

244624

44

1224

222

−−

−=−

=⋅

−−⋅⋅=

−

−=⋅−

=−

Va

bacab

3. Intersección con el eje Y. Como c = -6 la parábola cortará al eje Y en el punto ( )6,0 − 4. Buscamos ahora los puntos donde f corta al eje X, resolviendo la ecuación 0642 2 =−+ xx 5. Trazamos la gráfica

18

Caso 2: La parábola toca al eje X en un solo punto.

9124)( 2 −+−= xxxf Solución:

1. Reconocemos 9,12,4 −==−= cba , como 0<a , la parábola abrirá sus ramas hacia abajo. 2. Determinamos las coordenadas del vértice

( ) ( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=−⋅−−⋅−⋅

=−

=−⋅

−=

−

0,23son vérticedel scoordenada las Luego,

044

129444

423

4212

222

V

abac

ab

3. Intersección con el eje Y. Como c = -9 la parábola cortará al eje Y en el punto ( )9,0 − 4. Buscamos ahora los puntos donde f corta al eje X, resolviendo la ecuación

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=−−

=−⋅

−⋅−⋅−±−=

=−+−

0,23 punto elen x eje al

tocaparábola la luego real,solución única la es que ,23

812

429441212

obtiene se cuadrática fórmula la Utilizando09124

2

2

x

xx

5. Trazamos la gráfica

19

Caso 3: La parábola no corta al eje X Trazar la gráfica de la función 232)( 2 ++= xxxf Solución:

1. Reconocemos 2,3,2 === cba , como 0>a , la parábola abrirá sus ramas hacia arriba. 2. Determinamos las coordenadas del vértice

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

==⋅−⋅⋅

=−

−=−=⋅−

=−

87,

43son vérticedel scoordenada las Luego,

87

243224

44

75,043

223

222

V

abac

ab

3. Intersección con el eje Y. Como c = 2 la parábola cortará al eje Y en el punto ( )2,0 4. Verifiquemos que la gráfica no corta al eje X. Esto se logra apreciar al “tratar” de resolver la ecuación

0232 2 =++ xx . Verifique que esta ecuación NO TIENE RAÍCES REALES 5. Trazamos la gráfica

OBSERVACIÓN: recordará usted que la ecuación cuadrática

02 =++ cbxax Puede tener:

Dos soluciones reales, esto sucede cuando el discriminante

042 >−=Δ acb

20

Geométricamente esto indica que la gráfica de la cuadrática corta al eje X en dos puntos 1x y 2x

Una solución real: esto ocurre cuando el discriminante

042 =−=Δ acb

Geométricamente esto indica que la gráfica de la cuadrática toca al eje X en un solo punto

Ninguna solución real: esto sucede cuando el discriminante

042 <−=Δ acb

Geométricamente esto indica que la gráfica de la cuadrática no corta ni toca al eje X

21

UN CASO PARTICULAR: hasta el momento hemos analizado la gráfica de una función cuadrática dada su “fórmula” un caso interesante se presenta cuando queremos conocer la forma de la cuadrática cuando se conocen las coordenadas de su vértice y un punto cualquiera sobre ella Si en la expresión cbxaxxf ++= 2)( hacemos )(xfy = La ecuación de la parábola cuyo vértice está en el punto ),( kh tiene la forma

( ) ( )kyphx −=− 42

Donde x e y son variables y p es una constante real. Cabe señalar que:

Si p>0 la parábola abre sus ramas hacia arriba Si p<0 la parábola abre sus ramas hacia abajo

Ejemplo: Escribir la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el punto V(3,5) y pasa por el punto Q(7,9) Solución: modelaremos la situación escribiendo la ecuación de la parábola Como el punto Q(7,9) está sobre la parábola, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación dada, esto nos permitirá determinar el valor de p. Reemplacemos los datos para obtener

22

( ) ( )

1 despejamos 1616

reducimosy mosdesarrolla 59437 2

==

−=−

ppp

p

Ahora que conocemos el valor de p escribimos

( ) ( )

( ) ( )543

bien o5143

2

2

−=−

−⋅=−

yx

yx

PROBLEMAS DE MODELAMIENTO Lo estudiado en el apartado anterior permite modelar situaciones en las que interviene la función cuadrática. EJEMPLO 1: Suponga que una viga simplemente apoyada en sus dos extremos se flecta como indica la figura

SOLUCIÓN: si consideramos la parte inferior de la viga en el eje X tendremos los siguientes datos: Vértice ( ) ( )02,0,0100/2,0 −=− Pasa por ( )0,3 …………………………..¿por que? Luego el modelo que permite determinar la desviación a lo largo de la viga es:

( ) ( ) ( ) ( )

5,112 08,09

02,004034 22

=⇒=⇒

+=−⇒−=−

pp

pkyphx

Escribimos entonces la ecuación

23

( )( )

02,0450

sy tendremo despejamos si 0,02y450bien o 02,05,1124

2

2

2

−=

=+

+⋅=

xy

xyx

Esta expresión permite calcular la desviación de la viga respecto de la horizontal en cualquier punto de la viga. Por ejemplo la desviación a 1 metro del centro de la viga es

018,002,04501

−=−=y , es decir, 1.8 centímetros

EJEMPLO 2: Una losa es soportada por una estructura metálica cuya base es un arco de parábola, como indica la figura.

a) Con estas dimensiones modelar el arco de parábola Solución: consideramos la superficie del terreno en el eje X, luego disponemos de 2 datos: Vértice (0,4) = (h, k) La parábola pasa por (8,0) = (x, y) Con estos datos buscamos el valor de p en la expresión

( ) ( ) ( ) ( )

-4p -16p64

404084 22

=⇒=⇒

−=−⇒−=− pkyphx

Escribimos la ecuación que modela el arco de la estructura

( )

16-4

tienesey despejando 4162

2

xy

ypx

=

−−=

24

b) Calcula la altura del arco a 2 metros a la derecha del vértice. Solución: en la expresión anterior hacemos x = 2 para obtener

metros 75,31624

2

=−=y

c) Calcula la longitud del puntal a 6 metros a la derecha del vértice. Solución: la altura del puntal viene dada por la altura de la losa, 4 metros, menos la altura de la parábola a 6 metros a la derecha del vértice. Esta altura es

metros 75,11664

2

=−=y

Luego la longitud del puntal es metrosL 25,275,14 =−=

EJERCICIOS:

1. Utiliza la fórmula cuadrática para resolver las siguientes ecuaciones a) 0222 =−+ xx b) 0352 =++ xx c) 0352 2 =++ xx

d) 0123 2 =−+ xx e) 9124 2 −= xx f) 292530 xx −=+

2. Realiza un estudio de la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas indicando: abertura de sus

ramas; vértice; intersección con el eje Y; intersección con el eje X. Indica además los intervalos donde la función es creciente y decreciente.

a) xxxf 2)( 2 −=

b) 44)( 2 −−= xxf

c) 72)( 2 ++−= xxxf

d) 32)( 2 −−= xxxf

e) 722 ++−= xxy

f) 144 2 ++= xxy

g) 13 2 ++= xxy

3. Escribe la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto )0,0(V y que pasa por el punto

)3,2(P

4. Escribe la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto )1,2( −V y que pasa por el punto )3,4( −P

5. Escribe la ecuación de la parábola si se sabe que pasa por el punto )1,1(P y su vértice está en la

intersección de las rectas ;:1 xyL = 82 +−== xyL

25

6. Encuentra la intersección entre la parábola 2xy = y la recta 9=y

7. Encuentra la intersección entre la recta 2=+ yx y la parábola 22xy =

8. Encuentra la intersección entre la recta xy = y la parábola 2xy =

9. Encuentra la intersección entre la parábola 210 xxy −= y la recta 83 −= xy APLICACIONES

1. Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo coronada por un semicírculo. Determinar las dimensiones de modo que su área sea máxima con un perímetro de 3.6 metros.

APLICACIONES A LA TERMODINÁMICA DILATACIÓN TÉRMICA Una elevación de la temperatura aumenta la vibración de las moléculas de los cuerpos alrededor de sus posiciones de equilibrio, pero también desplaza la posición de equilibrio. Este fenómeno se denomina dilatación. DILATACIÓN SUPERFICIAL: Sea un rectángulo de área 0A (ver figura). Cuando la temperatura sube tΔ , las aristas originales 0a y 0b se transforman en

( )taa Δ⋅+= α10

( )tbb Δ⋅+= α10

( )220 21 ttAA Δ⋅+Δ⋅+= αα

2. ¿Cuál será el área de una placa de acero a 100º C si a 0º C mide 2100cm ? 3. Se tiene una placa de cobre de 15 cm. de largo por 12 cm. de ancho ¿Cuál es la variación del área al

pasar de 19º C a 80º C?

4. Una placa de acero tiene perforaciones circulares de 21cm a 20º C y se quieren introducir clavijas de área transversal 2012.1 cm . ¿Hasta qué temperatura se debe calentar la placa?

26

APLICACIONES EN INGENIERÍA Y CONSTRUCCIÓN 5. Un cable suspendido desde soportes con una altura de 50 metros, y que distan 240 metros entre sí,

cuelga en el centro 30 metros sobre un terreno nivelado. Si el cable tiene forma parabólica, encuentra la ecuación que modela la forma del cable.

6. En la figura se muestra una losa soportada por un arco de parábola. Se pide

a) Escribir la ecuación del arco de parábola. b) Calcular la altura a 10 metros a la derecha del vértice c) Calcular la longitud del puntal P2

PROYECTO INTEGRADO: El siguiente proyecto integra las dos funciones analizadas en profundidad hasta el momento: La Función Lineal y la Función Cuadrática con las Ciencias de la Ingeniería y Construcción

7. PUENTE COLGANTE: Estas estructuras se basan en que su peso se carga en torres sobre pilares firmemente anclados en las orillas del obstáculo a salvar. Esta transmisión del peso se consigue mediante tensores, que soportan los esfuerzos de tracción y los transmiten a los pilares. En la siguiente figura se muestra un puente colgante suspendido por tensores que unen la losa con un cable suspendido desde dos torres, en forma de parábola. Si el vértice de la parábola está a 5 metros sobre la losa y cada tensor está separado del otro por una distancia de 5 metros. Con estos datos y los de la figura se pide:

a) Escribir la ecuación del cable suspendido desde las torres (parábola) b) Escribir las ecuaciones de los cables que sostienen las torres a cada orilla. c) Cuantificar la longitud total de tensores, para esto, comience por calcular la longitud de los

tensores T1, T2, T3, T4 y T5 (deberá multiplicar sus resultados por 4)

27

CLASE 4: FUNCIÓN EXPONENCIAL

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Identifican la función exponencial de la

forma y = xba ⋅ , y la caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica.

Identifican el comportamiento de la función exponencial de la forma y = xba ⋅ , cuando

10 << b y cuando 1>b . Resuelven problemas contextualizados en

el mundo cotidiano y en la especialidad, aplicando el modelo exponencial.

Función exponencial: Ecuación Gráficos Aplicaciones

FUNCIÓN EXPONENCIAL

GRAFICA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL La gráfica de xbxf =)( , puede ser obtenida a partir de una tabla donde se incluyan algunos valores para la variable x y sus correspondientes valores para f. los siguientes ejemplos Ejemplo 1: Trazar la gráfica de las siguientes función exponencial.

xy 2= Solución: con ayuda de una calculadora científica completamos la siguiente tabla

x =)(xf

-3 0,125 -2 0,25 -1 0,5 0 1 1 2 2 4

28

Ahora traslada estos puntos a un sistema de coordenadas, obtendrás la siguiente gráfica

Ejemplo 2: Trazar la gráfica de las siguientes función exponencial

x

xf ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

31)(

Solución: con ayuda de una calculadora científica completamos la siguiente tabla

x =)(xf

-3 27 -2 9 -1 3 0 1 1 0,333 2 0,111

Ahora traslada estos puntos a un sistema de coordenadas, obtendrás la siguiente gráfica

29

PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL: De las gráficas obtenidas en los ejemplos anteriores podemos deducir las siguientes propiedades para la función exponencial

• El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales IR • El recorrido de la función es el conjunto de todos los números reales positivos +IR • La gráfica de f no intersecta al eje X • La gráfica de f intersecta al eje Y en el punto ( )1,0 • La función f es creciente si 1>b y decreciente si 10 << b

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y EL NÚMERO e

Consideremos la siguiente función x

xxf ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

11)( , con ayuda de una calculadora científica completa la

siguiente tabla

x )(xf

1 10 100 1000 10000 100.000 1.000.000

En cursos superiores se demuestra que a medida que x se hace cada vez más grande, el valor de f se aproxima al número irracional .......597282818284,2=e Este número juega un papel importante en matemática y es la base más importante de entre todas las funciones exponenciales. En tu calculadora científica realiza la siguiente operación:

30

Aparecerá el número ....,e 7282812= MODELANDO CON LA FUNCIÓN EXPONENCIAL: En los siguientes ejemplos se muestra un modelamiento en la que interfiere la función exponencial.

1. Supongamos que el valor de un bien raíz se incrementa en un 2.5% anual. Si inicialmente el valor del bien raíz es de $ 20 millones.

i) Hallar una expresión que permita calcular el valor V del bien raíz en un tiempo t

cualquiera, donde t se mide en años. Solución: Analicemos la siguiente tabla, en ella se observa el número de años trascurridos y el cálculo del correspondiente valor del bien raíz. Recuerda que una cantidad P incrementada en un 2,5%, equivale a calcular 025.1⋅P ¿Por qué?

t (años) V (t)=, (en millones de pesos) 0 20 1 025,120 ⋅

2 2025,120025,1025,120 ⋅=⋅⋅

3 32 025,120025,1025,120 ⋅=⋅⋅

4 43 025,120025,1025,120 ⋅=⋅⋅

Podemos observar que hay una relación directa entre el número de años transcurridos y el valor del bien raíz la que puede ser expresada como:

ttV 025,120)( ⋅=

El modelamiento de esta situación mediante una función exponencial nos permite anticipar el valor del bien raíz al cabo de un tiempo dado, por ejemplo ¿Cuál será el valor del bien raíz al cabo de 9 años? Solución: evaluando la función para t = 9 se tiene

millonesV 25025,120)9( 9 ≈⋅=

31

2. El valor de una retroexcavadora es de $40 millones, suponiendo que la máquina se deprecia en un 8% anualmente.

i) Escribir una función que permita calcular el valor V de la máquina al cabo de t años Solución:

Observemos que inicialmente la máquina tiene un valor

40)0( =V

Al cabo de un año la máquina costará el 92% de su valor inicial (¿Por qué?), es decir :

92,040)1( ⋅=V

Al cabo del segundo año este valor se reducirá nuevamente al 92%, es decir

292,04092,092,040)2( ⋅=⋅⋅=V

De modo que al cabo de t años el valor de la máquina será de

ttV 92,040)( ⋅=

ii) ¿Cuál será el valor de la máquina al cabo de 20 años? Solución: en el modelo hacemos t = 20 para obtener

millonesV 5,792,040)20( 20 =⋅= (Un precio muy conveniente)

32

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LA CONSTRUCCIÓN En cursos superiores se puede demostrar que la forma que adopta un cable que cuelga de dos soportes puede ser modelada mediante la función

2)(

// cxcx eecxf−+

⋅=

Donde c es una constante que depende de las características físicas del cable, entre otras: su constante de elasticidad La gráfica de ésta función recibe el nombre de catenaria. La fotografía adjunta muestra una catenaria invertida ECUACIONES EXPONENCIALES: Son aquellas que contienen incógnitas en el exponente de alguno de sus términos. Se distinguen dos casos: Caso 1, se pueden igualar las bases Caso 2: no se pueden igualar bases CASO 1: las bases pueden ser igualadas Estas ecuaciones se resuelve utilizando el siguiente principio: dados los números a, b, c entonces si

EJEMPLOS: las siguientes ecuaciones son exponenciales, iguala las bases para hallar su solución

a) 162 1 =+x Solución: escribimos todo en base 2

3x 4122 41

=⇒=+⇒=+ xx

b) 1332 93 −+ = xx

Solución: comenzamos por expresar todo en base 3

33

( )

45x

54 263233 13232

=⇒

−=−⇒−=+⇒= −+

xxxxx

c) xx 235 84 −− = Solución: Observemos que 8 no puede escribirse en base 4, sin embargo ambos números se pueden expresar en base 2

( ) ( ) ( ) ( )

8/19 198

6x-910-2x 2335222 23352

=⇒=⇒

=⇒−=−⇒= −−

xx

xxxx

d) xxxx −+++ =++ 2121 27333 Solución: escribimos

( )

144

36233

qué?¿Por 333362x

231

=⇒=⇒

−=+⇒=⇒

=⋅−+

−+

xx

xx

x

xx

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Traza la gráfica de las siguientes funciones exponenciales a) xxf 5)( =

b) xxf 2,0)( =

c) 12,1)( += xxf

d) 2)( −= xexf

e) 22)(x

xf =

f) xxf −= 2)(

g) xxf −−= 2)(

34

2. Con ayuda de una calculadora científica construye una tabla de valores y traza la gráfica de las siguientes catenarias.

2.1 2

)(xx eexf

−+= 2.1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

−

23)(

3/3/ xx eexf

3. En los siguientes problemas iguala bases y resuelve para x

a) 15 2 =−x b) xx 324 23 =−

c) 53221 −= x

d) 913 15 =−x

e) x−= 57491

f) 3581333 −=++ xxxx

g) 14

2213

1212

=+−

++

x

xx

h) 45555 2222 =+++ ++++ xxxx 4. Calcula el área de la región sombreada en la figura

35

CLASE 5: FUNCIÓN LOGARÍTMICA

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Identifican la función logarítmica de la forma y =

xlogba + , y la caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica. Resuelven problemas contextualizados en el mundo cotidiano y en la especialidad, aplicando el modelo logarítmico.

Función logarítmica: Gráficos Aplicaciones

FUNCIÓN LOGARÍTMICA Antes de definirlas procederemos a recordar la definición de logaritmo así como sus propiedades

EJEMPLOS: En cada uno de los siguientes problemas hallar el valor de x, para ello utiliza la definición de logaritmo a) x=8log2 Solución: de acuerdo a la definición

82 =x Escribamos 8 como una potencia de 2

322 =x , luego x = 3 …..¿Por qué? b) 4log3 =x Solución: de acuerdo a la definición

x=43 , luego x = 81………..¿Por qué? c) 3125log =x Solución: de acuerdo a la definición

1253 =x

36

Para despejar x aplicamos raíz cúbica…..¿Por qué?

51253 ==x PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS: Sean X e Y números reales positivos, entonces se cumple siempre que

LOGARITMOS DECIMALES Y NATURALES Si observas tu calculadora científica, encontrarás dos teclas que se relacionan con los logaritmos estas son

La primera de ellas trabaja con los logaritmos decimales o en base 10, mientra que la segunda con logaritmos naturales o en base el número e, estudiado en el capítulo anterior. LOGARITMOS DECIMALES: son aquellos cuya base es el número 10. Por “economía”, cuando se expresa un logaritmo decimal, la base no se escribe. En adelante a10log , se escribirá simplemente alog EJEMPLOS: 1. 01log = 2. 110log =

3. 21210log210log100log 2 =⋅===

4. 31310log310log1000log 3 =⋅=== 5. Con ayuda de la calculadora científica se obtiene que 23044.117log =

37

LOGARITMOS NATURALES: son aquellos que tienen por base el número e. En adelante denotaremos simplemente aae lnlog = EJEMPLOS: 1. 01ln = 2. 1ln =e 3. Con la ayuda de la calculadora científica se obtiene que ...6931,02ln =

GRAFICA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA Se construye una tabla de valores asignando valores a la variable x y con la ayuda de una calculadora científica se obtienen los correspondientes valores de f EJEMPLO: Trazar la gráfica de la siguiente función logarítmica

xxf log)( = Solución: con ayuda de una calculadora científica completamos la siguiente tabla

x xxf log)( =

0.5 -0,3 1 0 2 0,301 4 0,602 8 0,903

16 1,204 36 1,556

Traslademos ahora estos puntos a un sistema de coordenadas, obtendrás una gráfica similar a

38

PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

• El dominio de esta función es el conjunto de los números reales positivos, es decir, f está definida sólo si x > 0

• El recorrido de f es el conjunto de todos los números reales • La gráfica de f intersecta al eje X en x = 1 • La gráfica de f no intersecta al eje Y, es decir, el eje Y es una asuntota para la gráfica de f

MODELOS MATEMÁTICOS EN LOS QUE INTERVIENE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA 1) Charles Richter, sismólogo estadounidense, propuso una escala para comparar la fuerza de los diferentes terremotos. Esta escala hoy se conoce como Escala Richter u en ella la magnitud R de un terremoto viene dada por la expresión

BAR log=

En esta expresión A = mayor amplitud de la onda sísmica B = amplitud de referencia correspondiente a la magnitud R = 0

La magnitud del famoso terremoto de Valdivia el 22 de mayo de 1960 se ha calculado en 9.5 en la escala Richter. En 1985 un terremoto de magnitud 7.7 tuvo su epicentro al sur de la quinta región. ¿Cuántas veces más intenso fue el de 1960?

39

Solución: de acuerdo a nuestro modelo

⇒==BA

BA log7,7y log5,9


3. Calcula cada uno de los siguientes logaritmos. a) =243log9

b) =361log6

c) =128log2 d) =16log8

e) =8log16

f) =49log

23

5. En cada una de las siguientes expresiones, determina el valor de x a) 6log2 =x b) 2log3 =x

c) x=16log2 d) x=125log5

6. Con ayuda de la calculadora científica calcula =5log b) =7log c) =2ln d) =7ln

7. Sabiendo que cba === 5log,3log,2log 666 expresar en términos de a, b y c

a) =10log6

b) =30log6

c) =25log6

d) =32log6

e) =25log6

f) =36log6 8. Aplica logaritmos para resolver las siguientes ecuaciones a) 73 =x b) 52 13 =−x c) xx 35 1 =+

d) 57 32 =+x e) 10010 23 =− x

APLICACIONES:

1. Debido a una depresión, cierta región económica tiene una población que decrece. En el año 2000, su población fue de 500.000 habitantes y de ahí en adelante su población se rigió por la fórmula:

teP 02000050 ,. −=

En donde t es el tiempo en años.

40

i) Calcule la población para el año 2.010. ii) ¿Después de cuantos años la población será de 52.000 habitantes?

2. Si cierta marca de retroexcavadora se compra por C pesos, su valor comercial )(tv al final de t

años, está dado por 185,078,0)( −⋅⋅= tCtv . Si el costo original es de $45.500.000, calcule el valor del automóvil después de tres años. ¿Después de cuantos años el valor será de $40.000.000?

3. Si el valor de los bienes raíces se incrementan a razón del 10% por año, entonces después de t

años, el valor de una casa comprada en P pesos, está dada por: tPtv 1,1)( ⋅= . Si una casa fue comprada en $40.000.000 en el año 2001. ¿Cuál será su precio en el año 2008?

4. El valor de una máquina adquirida hace 8 años por 10.000 dólares viene dado por la expresión:

V(t) = 10.000 e-0,3 t , donde t mide los años después de su adquisición.¿En cuanto tiempo la máquina tendrá un valor de 2.231,30 dólares ?

5. El número de bacterias presentes en un cultivo después de t minutos se da por N(t) =

(200)4t/2. Encuentre la cantidad inicial de bacterias. Luego, encuentre la cantidad existente después de 2 minutos, 4 minutos y 10 minutos. Con ayuda de una calculadora estime la cantidad existente después de una hora.

41

UNIDAD N ° 2

TRIGONOMETRÍA PLANA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA CLASE 6: TRIGONOMETRÍA DEL TRIANGULO RECTÁNGULO

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Expresan medidas angulares en grados

sexagesimales, radianes y grados centesimales.

Resuelven triángulos rectángulos aplicando las razones trigonométricas seno, coseno y tangente, incluyendo cálculo de lados y de ángulos medidos en distintas unidades.

Resuelven, contextualizados en la especialidad, problemas reducibles a la trigonometría de triángulos rectángulos, operando con razones trigonométricas seno, coseno y tangente y sus inversas, utilizando distintas medidas lineales y angulares.

Sistemas de medición de ángulos.

Razones trigonométricas de ángulos agudos en triángulos rectángulos.

Resolución de problemas reducibles a

trigonometría plana en el triángulo rectángulo.

ÁNGULOS Y SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS

Por convención, un ángulo se considerará positivo si es medida en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. SISTEMAS DE MEDIDA ANGULAR: Los sistemas comúnmente utilizados son: SISTEMA SEXAGESIMAL: considera una vuelta completa de circunferencia equivalente a 360º. En el sistema sexagesimal los ángulos se pueden medir en grados, minutos y segundos.

42

Ejemplo: 20º30´55”=20º + 30´ + 55”, se lee “20 grados 30 minutos 55 segundos” CONVERSIÓN DE GRADOS MINUTOS Y SEGUNDOS: El siguiente esquema muestra la relación que permite transformar grados, minutos y segundos

EJEMPLO:

3. Transformar a grados el ángulo "27´46º54

Solución: escribiremos =++=3600

276046º54"27´46º54

4. Transformar a minutos el ángulo "17´45º12

Solución: escribimos "28333,76560

4591760/17456012"17´4512"

≈=++⋅°

5. Trasformar a segundos el ángulo "43´32º23 Solución: escribimos "84763436032360023"43´3223 =+⋅+⋅=°

SISTEMA RADIAL Este sistema considera una vuelta completa de circunferencia equivalente a radianes 2π . La unidad en este sistema es el radian. Un radian es el ángulo central en una circunferencia que marca sobre ésta un arco de longitud igual al radio de la circunferencia

43

EQUIVALENCIA ENTRE EL SISTEMA SEXAGESIMAL Y RADIAL Puesto que una vuelta completa de circunferencia es rad 2º360 π↔ podemos establecer la siguiente equivalencia

EJEMPLOS:

1. Transformar a radianes el ángulo º150=α Solución: establecemos la proporción

rad 6

5180

150 Entonces

180ºrad

150ºrad

ππ

π

=⋅

=

=

x

x

2. Transformar a grados sexagesimales el ángulo rad 3

4πβ =

Solución: establecemos la proporción

44

240º1803

4 Entonces

180

34

=⋅=

=

ππ

ππ

x

x

SISTEMA CENTESIMAL

Este sistema considera una vuelta completa de circunferencia equivalente a c400 y la unidad en este sistema es el grado centesimal. El Taquímetro, es un instrumento topográfico que utiliza este sistema de medición angular. TRANSFORMACIÓN DEL SISTEMA CENTESIMAL A SEXAGESIMAL Y RADIAL Para transformar ángulos del sistema centesimal a sexagesimal y a radial (y viceversa) utilizamos las siguientes expresiones

EJERCICIOS: Expresar en grados los siguientes ángulos

a) 23°30´45” b) 56°33´26” c) 71°15´59” Expresar en minutos los siguientes ángulos

d) 33°30´15” e) 71°33´46” f) 37°15´19” Expresar en segundos los siguientes ángulos

g) 63°16´45” h) 16°33´28” i) 21°15´52”

45

Expresar en radianes cada uno de los siguientes ángulos:

a) 30° b) 135°

c) 45°36´ d) 54°27´37”

Expresar en grados, minutos y segundos cada uno de los siguientes ángulos

a) rad3π

b) rad6

5π

c) rad6

7π

d) rad3

4π

Expresar en grados centesimales los siguientes ángulos

a) 45° b) 60° c) 150° d) 135° e) 225°

f) rad3π

g) rad6

5π

h) rad6

7π

i) rad3

4π

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS En esta sección se definen seis relaciones trigonométricas seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente como una razón entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo

DEFINICIÓN: dado el triángulo rectángulo ABC, se definen las siguientes funciones trigonométricas

ab

ba

bchipotenusaec

cb

hipotenusa

achipotenusa

ca

hipotenusasen

====

====

====

opuesto cat.adyac cat.cosec

adyacento catetoopuesto catetotan

adyacente cat.cos adyacente catetocos

opuesto cat.sec opuesto cateto

αα

α

αα

46

En este apartado veremos la aplicación de la trigonometría a la resolución de triángulos rectángulos. Indicaremos cómo calcular los elementos desconocidos cuando se conoce uno de los lados y cualquier otro elemento. Lo anterior es fundamental cuando se desarrollan ciertos temas relacionados con la topografía y construcción. Un triangulo rectángulo puede ser resuelto si se conocen:

• Las longitudes de dos de sus lados, o bien • La longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo

APLICACIONES: En cursos superiores, como Física aplicada a la Construcción y Comportamiento Estructural, las relaciones trigonométricas juegan un rol fundamental. Como ejemplo veamos una aplicación a la descomposición de una fuerza en sus componentes horizontal y vertical. Dada una fuerza F hallar sus componentes horizontal y vertical Solución: En la figura 1 se muestra una fuerza F la que forma un ángulo α con la horizontal Esta fuerza, junto a sus componentes forma un triángulo de fuerzas

αα

αα

cos obtiene, se donde de ,cos

, obtiene se donde de,

FxFx

senFyFysen

==

⋅==

47

Ejemplo 2: Descomponer la fuerza dada en sus componentes horizontal y vertical

Solución: dibujamos el triángulo de fuerzas y buscamos el suplemento de 145°, este es 35°

En este caso 35,5735100

91,8135cos100

=⋅=

=⋅=

senx

y…….. ¿Por qué?

ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN Llamaremos: Angulo de Elevación: es el ángulo formado por la línea de visibilidad y la horizontal, por sobre ésta. Angulo de Depresión: es el ángulo formado por la línea de visibilidad y la horizontal, por debajo de ésta.

48

Ejemplo 1 En un punto situado a 452 metros de la base de un edificio se encuentra que el ángulo de elevación a la parte más alta de éste es 32º10´. ¿Cual es la altura del edificio? Solución: La siguiente figura nos muestra la situación planteada

Observamos que los elementos dados se relacionan mediante la tangente.

Por definición 452

`10º32tan h=

Entonces metrosh 284`10º32tan452 ≈×=

Ejemplo 2: Un tubo de desagüe se instala con un ángulo de depresión de 2º10`respecto de la horizontal en un terreno nivelado. En un punto, la excavación mide 0.68 metros de profundidad. ¿Qué profundidad tendrá la zanja a 76.2 metros de este punto? Solución: El siguiente diagrama muestra la situación

Nuevamente, ¡la tangente!!!

´102tan2.76 Entonces2.76

´102tan

≈°×=

=°

H

H

Ejercicios:

1. Un muro vertical de 6,35 metros de alto sirve como represa de un control de un canal cuya pendiente es constante. Cuando el agua ha alcanzado la altura máxima del muro; el espejo de agua tiene una longitud de 14.3 metros de largo. Calcula el ángulo de elevación del canal.

2. Se desea construir una rampa para dar acceso a un puente; el desnivel que se tiene que lograr con

dicha rampa es de 10 metros con un ángulo de elevación constante de 3º30' ¿A qué distancia de la orilla del puente debe empezarse la rampa?

49

3. Un estadio de fútbol se planea con un ángulo ascendente en las gradas de 18º20´ con la horizontal; si cada 0.76 metros horizontalmente puede haber una fila de asientos y se desean 24 filas ¿Qué altura debe tener el estadio?

4. Un tubo de desagüe se instala con un ángulo de 2º10´ con la horizontal en un terreno nivelado. En

un punto, la excavación mide 0.68 metros de profundidad. Se desea saber, ¿qué profundidad tendrá la zanja a 76.2 metros de este punto?

5. En un camino que tiene un ángulo de elevación de 5º40´ se coloca un instrumento de observación

nivelado sobre un trípode de 1.5 metros de alto. ¿A que distancia sobre la carretera podrá observarse a través de dicho instrumento?

6. Una playa tiene un ángulo de elevación de 13º10´. La diferencia de alturas entre la marea baja y la

marea alta es de 1,9 metros. ¿Qué distancia se extiende el agua sobre la playa entre la marea alta y la baja?

7. Una tubería de 286 metros de largo se extiende desde el fondo de un estanque situado en lo alto de

una colina a un valle, con un ángulo de pendiente constante de 22º 33' ¿Qué altura tiene el fondo del tanque respecto del valle?

8. La pluma de una torre grúa tiene 26.8 metros de largo. El manual de operación nos indica que la

torre no puede formar un ángulo menor que 45º50' ¿Cuál será la máxima distancia a la que podrá trabajar la grúa?

9. Una cabaña tipo A tiene 7.83 metros de altura máxima en el centro 12.35 metros de ancho en la

base. Calcular el ángulo que forma el techo con el piso.

10. El terreno en un lado de una carretera tiene un ángulo de depresión de 7º48´. Se planea construir un lote de estacionamiento nivelado junto a dicho camino. ¿Qué altura tendrá el terraplén a 7.87 metros de la orilla del camino medidos sobre el terreno inclinado?

11. Un pintor tiene que pintar el exterior de una ventana que está a 4.78 metros de altura sobre el suelo

de un jardín. Al pie de la ventana hay un macizo de arbustos que impiden colocar el pie de la escalera a menos de 1.93 metros de la fachada. ¿Qué largo mínimo de escalera tendrá que emplear el pintor para realizar este trabajo?

12. Los planes de una nueva carretera especifican que tiene que pasar sobre un canal artificial

(alcantarilla) en un punto donde la dirección de la carretera es de este a oeste, la dirección del canal es de N65º30´O. si la carretera tiene 9.4 metros de ancho encuentre la longitud de la alcantarilla.

13. Las paredes de una zanja profunda se excavaron a una pendiente de 3 unidades horizontales por

una vertical. Se midió después la distancia de la parte superior al fondo de la zanja sobre la pared inclinada y se encontró que era de 53 metros. ¿Cuál es la profundidad de la excavación?

50

CLASE 7: TEOREMA DEL SENO Y TEOREMA DEL COSENO

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Identifican y operan con el teorema del

seno, calculando lados y ángulos en triángulos.

Resuelven problemas de la especialidad aplicando el teorema del seno, operando con distintas unidades lineales y angulares.

Identifican y operan con el teorema del

coseno, calculando lados y ángulos en triángulos.

Resuelven problemas de la especialidad aplicando el teorema del coseno, operando con distintas unidades lineales y angulares.

Teorema del seno Resolución de problemas con el teorema del seno.

Teorema del coseno Resolución de problemas con el teorema del coseno

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS ACUTÁNGULOS Y OBTUSÁNGULOS Dado el triángulo ABC de la figura. Si se conocen las longitudes de uno de los lados y dos de sus otros elementos, entonces, podemos determinar sus demás elementos aplicando el teorema del seno o bien el teorema del coseno. Pasamos a continuación a desarrollar cada uno de estos temas. TEOREMA DEL SENO: Dado el triángulo ABC con ángulos internos γβα ,, y lados opuestos a, b y c entonces se cumplen siempre las siguientes relaciones

Ejemplo: Resolver el triángulo dados 'º,'º,,a 17841048312 =γ=α= Solución: aplicando la segunda forma del teorema de los senos escribimos

51

43161048

1784312 entonces;

1048

3121784

,'ºsen

'ºsen,c

'ºsen,

'ºsenc

=×

=

=

Para obtener el ángulo β hacemos cuenta de que:

º180=++ γβα

Entonces `33º47`17º84`10º48º180 =−−=β Análogamente obtenemos el lado b escribiendo

18121048

sen47º33`12,3b entonces

1048312

3347

,`ºsen

`ºsen,

`ºsenb

=×

=

=

APLICACIÓN: Una masa cuelga desde dos tensores sujetos a dos apoyos fijos en el techo como indica la figura. Hallar la longitud de los tensores

Solución:

• El ángulo formado por los tensores T1 y T2 se obtiene por diferencia: 180°-37°-50° = 93°

• m

sensenT

sensenT

15.193

505.11 entonces

935.1

501

≈°°×

=

°=

°

• De igual forma se determina T2

52

EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Resolver los triángulos cuyos elementos se dan a continuación: 1.1 63.48´,3461´,1432 =°=°= aβα 1.2 35.88´,2844´,2283 =°=°= bβα 1.3 2.446´,851´,4677 =°=°= cγα 1.4 72250.0´,3.41112´,1.4637 =°=°= cγβ 2. La pendiente del terreno de una calle es de 6°10´ ascendente. Un constructor desea nivelar un terreno de 50 metros sobre dicha pendiente. Por razones de seguridad el corte posterior del terreno debe tener un ángulo de elevación de 26°40´. ¿A que distancia de la calle se extenderá la excavación, medida ésta sobre la pendiente actual? 3. Una ladera natural tiene un ángulo de elevación de 3°40´. El ángulo de depresión del borde de una presa es de 21°50´. La distancia medida según la pendiente del borde, desde el piso del canal a la parte superior es de 34,9 metros. ¿Cual es la altura de la pared superior de la presa sobre el piso del canal? 4. Una rampa de 15.9 metros de largo con un ángulo de elevación de 31°10´ se construyó desde el nivel del piso de una plataforma de embarque. Se necesitará reemplazar la rampa con una nueva que tenga un ángulo de elevación de 22°40´. ¿Cuál será la longitud de la nueva rampa? TEOREMA DEL COSENO: Este teorema es una generalización del Teorema de Pitágoras y plantea lo siguiente: Dado un triángulo ABC cualquiera entonces el cuadrado de la longitud de cualquiera de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos dos veces el producto de estas longitudes y el coseno del ángulo comprendido entre ellos El siguiente recuadro resume lo dicho anteriormente

53

EJEMPLO: Resolver el triángulo dado en la figura

Solución: Mediante el teorema del coseno se tiene.

8.17c Luego

317 98.982900400

35cos302023020 cos2

22

222

=

=−+=

⋅⋅⋅−+=

−+= γabbac

APLICACIÓN: Las piernas de una cercha forman un ángulo de 105º. Si la longitud de la pierna de la cercha es de 4 metros, hallar la longitud del tirante. Solución: Por el teorema del coseno tenemos que.

metros 34.6T Luego28.40

º105cos44244 222

==

⋅⋅−+=T

EJERCICIOS PROPUESTOS Resolver el triángulo dado los siguientes datos 1. º22,40,56 === βca 2. º27,62,44 === γba 3. º65,60,100 === αcb

54

4. rad 9

2,10,20 πβ === ca

5. rad 6

7,20,20 πγ === ba

En los siguientes problemas determinar los tres ángulos del triángulo 6. 51,48,45 === cba 7. 200,150,300 === cba 8. 625,550,600 === cba 9. 200,150,100 === cba 10. Un viejo canal corre hacia el norte 500 metros, luego se desvía N 16º 30´ E, 400 metros. ¿Qué longitud de tubería será necesaria para reemplazar el canal? 11. La ciudad A está a una distancia de 100 kilómetros de la ciudad B y a una distancia de 150 kilómetros de la ciudad C. Si las rectas que unen AB y AC forman un ángulo de 55º ¿Cuál es la distancia que separa a la ciudad C de la ciudad B? 12. De un depósito de agua salen dos tuberías, una de 100 metros y la otra de 150 metros que abastecen de agua a dos viviendas. Si las tuberías forman un ángulo de 110° hallar la distancia entre las viviendas. 13. Se pretende construir un puente entre dos puntos A y B para cruzar el estanque que los separa y queremos conocer la distancia entre ambos. Para ello nos situamos en un punto C que dista 30 metros de A y 45 metros de B. Un taquímetro indica que ángulo ACB = 80°. Calcular la distancia entre A y B.

55

CLASE 8: VARIACIONES GRÁFICAS DE SENO Y COSENO

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Reconocen los elementos característicos de una función trigonométrica. Identifican, grafican y caracterizan funciones seno, coseno y tangente. Determinan amplitud, período, ciclo, desplazamiento y dirección de funciones trigonométricas sencillas.

Elementos característicos de una función trigonométrica. Funciones seno, coseno. Amplitud, período, ciclo, desplazamiento y dirección de funciones trigonométricas sencillas.

GRAFICA DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA Un análisis exhaustivo de las funciones seno y coseno permite observar que ellas van variando dependiendo del intervalo en que se encuentre el ángulo θ al cual se le aplica la función VARIACIÓN DE θ Variación de Variación de Grados Radianes θseny = θcos=y

0 a 90 2

a 0 π 0 a 1 1 a 0

90 a 180 ππ a

2

1 a 0 0 a -1

180 a 270 2

3 a ππ 0 a -1 -1 a 0

270 a 360 ππ 2 a

23

-1 a 0 0 a 1

Se observa en la tabla que tanto seno como coseno están comprendidos entre -1 y 1, es decir:

θθ ángulo todopara 11 ≤≤− sen θθ ángulo todopara 1cos1 ≤≤−

56

FUNCIONES PERIÓDICAS

Si en la figura adjunta, aumentamos el ángulo θ en 360° o bien radπ2 , el rayo OP realiza una vuelta completa alrededor del origen y el punto P vuelve a su posición original, por lo tanto

( )( ) θθ

θθcos360cos

360=°+=°+ sensen

Esta propiedad se conoce como Periodicidad

TRAZADO DE LAS GRAFICAS DE SENO Y COSENO: Las funciones trigonométricas tienen aplicabilidad en las ciencias naturales. En ellas se analizan fenómenos periódicos como el movimiento ondulatorio, la corriente eléctrica alterna etc. En las aplicaciones de funciones trigonométricas asociadas a fenómenos que se repiten periódicamente se requiere que sus dominios sean conjuntos de números reales

DEFINICIÓN: se define y denota la función seno y como θsenxf =)( la que tiene las siguientes características:

Su dominio es IR Su recorrido es [ ]1,1− El periodo de senxxf =)( es π2 La gráfica de senxxf =)( intersecta al eje X en los puntos ( )0,πn para todo

número entero n El valor máximo de senx es 1 El valor mínimo de senx es -1

Para trazar la gráfica de θseny = , hacemos uso de la variación, periodicidad y cotas de θsen Con ayuda de una calculadora científica completamos la siguiente tabla y ubicamos los puntos sobre un sistema de coordenadas. Posteriormente trazamos la gráfica θ (en grados)

0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°

θ (en radianes)

0 4π

2π

43π

π 4

5π 4

6π 4

7π π2

)(θf 0 0,7 1 0,7 0 -0,7 -1 -0,7 0

57

FUNCIÓN COSENO

Definimos y denotamos la función coseno xy cos= como aquella que tiene las siguientes características:

Su dominio es IR Su recorrido es [ ]1,1− El periodo de xy cos= es π2 La función coseno es una función par, esto quiere decir que )()( xfxf =−

La gráfica de xxf cos)( = intersecta al eje X en los puntos ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + ππ n

2, para todo número entero

n El valor máximo de xcos es 1 y El l valor mínimo de xcos es -1

Para trazar la gráfica de θcos)( =xf , hacemos uso de la variación, periodicidad y cotas de θcos Con ayuda de una calculadora científica (en modalidad deg) completamos la siguiente tabla y ubicamos los puntos sobre un sistema de coordenadas y traza la gráfica θ (en grados)

0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°

θ (en radianes)

0 4π

2π

43π

π 4

5π 4

6π 4

7π π2

)(θf 1 0,7 0 -0,7 -1 -0,7 0 0,7 1

58

FUNCIONES SINUSOIDALES Tienen alguna de las siguientes formas

Un factor importante en el trazado de las gráficas de estas funciones es la periocidad GRAFICAS: Las gráficas de estas funciones se obtiene a partir de las gráficas de senx y xcos Y poseen las siguientes características.

AMPLITUD, A : Es el promedio entre la diferencia del máximo y el mínimo valor.

PERIODO

59

DESFASE, d: Corresponde a un desplazamiento horizontal de BC

− unidades:

Si C>0 la gráfica se desplaza BC

− unidades hacia la izquierda

Si C<0, la gráfica se desplaza BC

− unidades hacia la derecha

DESPLAZAMIENTO VERTICAL: Viene dado por un corrimiento en sentido vertical en D unidades.

Si D>0, la grafica se desplaza D unidades hacia arriba Si D<0, la gráfica se desplaza D unidades hacia abajo Los siguientes ejemplos muestran

EJEMPLO 1: Trazar la gráfica de la función ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

323 πxseny

SOLUCIÓN:

1. Comenzamos identificando 3

,2,3 π=== CBA

2. Amplitud: 3=A

3. Periodo: ππ==

22P

4. Desfase: 62

3/ ππ−=−=d <0, luego la gráfica se desplaza

6π unidades hacia la derecha.

5. Desplazamiento vertical: no hay, pues D = 0

Trazado de la gráfica: Para trazar la gráfica de este tipo de funciones utilizaremos la siguiente “estrategia”

Necesitamos conocer 5 puntos característicos de ésta:

60

Punto de inicio 1P , éste viene dado por el desfase, es decir 61π

=P

Punto de Término 5P , éste viene dado por el punto de inicio más el periodo, es decir,

67

65

15

πππ=+=

+=

P

PPP e

Los puntos intermedios

32

23/4

26/76/

251

3ππππ

==+

=+

=PP

P

125

23/26/

231

2πππ

=+

=+

=PP

P

253

4PP

P+

=

La gráfica de la función debe tener la

misma forma que senxxf =)( pero

desplazada 6π a la derecha

EJEMPLO 2: Trazar la gráfica de ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

63cos5.0 πxy

Solución: Amplitud : 5,05,0 =

61

Periodo : 3

2π=eP

Desfase : 183

6/ ππ==d

Calculamos

Punto de inicio de un periodo: 181π

−=P ¿Por qué?

Punto de término de un periodo: 18

113

2185

πππ=+−=P

Punto donde coseno alcanzará su mínimo valor 185

218/1118/

3πππ

=+−

=P

Puntos donde coseno cortará al eje horizontal

92

231

2π

=+

=PP

P

184

253

4π

=+

=PP

P

Trazado de la gráfica

EJERCICIOS: Para cada una de las siguientes funciones, determinar periodo, amplitud y construir el gráfico.

1. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

24cos2 πxy

2. ( )π−= xseny 321

3. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

325 πxseny

4. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

25cos5.0)( πxxf

5. ( )π+−= xsenxf 32)(

62

CLASE 9: IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Verifican identidades trigonométricas sencillas. - Resuelven ecuaciones trigonométricas sencillas.

Identidades trigonométricas Ecuaciones trigonométricas

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEFINICIÓN: Una identidad trigonométrica es una igualdad que se satisface para todos los valores de la variable FUNCIONES RECIPROCAS: Sabemos que las funciones trigonométricas pueden ser agrupadas en parejas, de modo Las siguientes relaciones son de gran utilidad

RELACIONES QUE IMPLICAN UNA RAZÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

63

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS PITAGÓRICAS En la figura adjunta se observa que en el triángulo OAP se cumple que

Si dividimos cada término de la igualdad por 2r tendremos

12

2

2

2

=+ry

rx

Pero αα cos , ==rysen

rx

De donde se infiere que

1cos 22 =+ xxsen De idéntica forma se puede deducir que

αα 22 tan1sec =− REDUCCIONES TRIGONOMÉTRICAS Frecuentemente se requiere convertir una expresión trigonométrica de una forma dada a otra forma. Generalmente el procedimiento consiste en realizar las operaciones algebraicas indicadas y luego aplicar una o mas relaciones fundamentales. EJEMPLO

1. Convertir ( ) αααα cos21 a cos 2 sensen ++ Solución: si en la primera expresión desarrollamos el cuadrado de binomio obtendremos ( )

¿Porqué? cos21 cos2cos

coscos2cos22

222

αααααα

αααααα

sensensen

sensensen

+=++=

++=+

ry 222 =+x

64

2. Demostrar que ( ) xx

xx cottan1

cot1tan2

2

=++

Solución: Conviene reducir la expresión del lado izquierdo de la igualdad

( ) ( )

( )3 identidad lasegún cot

cottanxcotx 5 identidad lasegún cottan

iónsimplificcpor costan

2y 1 identidads lassegún

cos1

1

tan

8y 7 sidentidade lasSegún sec

csctantan1

cot1tan

2

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

xxxsenxx

x

xsenx

xxx

xxx

===

⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

=++

EJERCICIOS PROPUESTOS: Demuestra que cada una de las siguientes igualdades es una identidad.

1. ( ) AsenAAA 2cosseccos =−

2. ( ) XXXX 2csccottancot =+

3. ( ) ZZZZ 2tancossecsec =−

4. ( )( ) xsenxsenx 2cos11 =+−

5. ( )( ) 1tansectansec =+− pppp

6. xsenx

senxsenx

xx

senxcos

1coscos

1 +=+

+

65

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS DEFINICIÓN: Una ecuación trigonométrica es una ecuación que contiene por lo menos una función trigonométrica de un ángulo. Una ecuación puede tener un número infinito de soluciones por comodidad determinaremos las soluciones en el intervalo [ ]π2,0 o bien en [ ]°° 360,0 SIGNO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: Dependiendo del cuadrante en que se encuentre el lado terminal de un ángulo α , las funciones trigonométricas aplicadas a el variarán de signo. ECUACIONES QUE CONTIENEN UNA SOLA FUNCIÓN Y UN SOLO ANGULO Se resuelven despejando en primer lugar la función y luego se determina el valor del ángulo con ayuda de una calculadora científica EJEMPLO

1. Resolver la ecuación 01cos2 =−x

Solución: escribimos 21cos =x , observemos que coseno es positiva, luego tendremos dos soluciones,

una en el primer cuadrante y la segunda en el cuarto Con la calculadora científica realiza las siguientes operaciones

Obtendremos la solución °= 601x , esta solución pertenece al primer cuadrante. La segunda solución, que pertenece al cuarto cuadrante se obtiene haciendo °=°−°= 300603602x

66

El resultado anterior se puede generalizar de acuerdo a lo que nos muestra el siguiente diagrama

2. Resolver la ecuación 8.05.02 −=− senxsenx 3. Solución: Reescribimos la ecuación agrupando términos

3.0entonces

5.08.02

−=

+−=−

senx

senxsenx

Observamos que seno es negativo luego sus soluciones están en el tercer y cuarto cuadrante. Averiguamos, con la calculadora, ¿cuando 3,0=senx ? Observa que no consideramos el signo pues el resultado es del primer cuadrante, luego aplicaremos este resultado para obtener nuestras soluciones. Con la calculadora hacemos

Tendremos que 46,17=x Luego

°=+°= 46,19746,171801x (en el tercer cuadrante) °=−°= 54,34246,173602x (en el cuarto cuadrante)

67

4. resolver la ecuación senxsenx 213 =−

Solución: reescribimos la ecuación agrupando términos

1 entonces

123

=

=−

senx

senxsenx

Observa que seno es positivo, luego, tendremos soluciones en el primer y segundo cuadrante Se encargará usted de verificar que °= 901x , es la única solución en [ ]°° 360,0 5. Resolver la ecuación 8.05.02 −=− senxsenx Solución: Reescribimos la ecuación agrupando términos

3.0entonces

5.08.02

−=

+−=−

senx

senxsenx

Observamos que seno es negativo luego sus soluciones están en el tercer y cuarto cuadrante. Averiguamos, con la calculadora, ¿cuando 3,0=senx ? Observa que no consideramos el signo pues el resultado es del primer cuadrante, luego aplicaremos este resultado para obtener nuestras soluciones. Con la calculadora hacemos

Tendremos que 46,17=x Luego

°=+°= 46,19746,171801x (en el tercer cuadrante) °=−°= 54,34246,173602x (en el cuarto cuadrante)

68

ECUACIONES EN LA QUE UN MIEMBRO ES CERO Y EL OTRO ES FACTORIZABLE. Si un miembro no es cero, primero la reescribimos como una ecuación equivalente en la que uno de los miembros es cero. Factorizamos el miembro diferente de cero, igualamos a cero cada factor y resolvemos Ejemplos:

1. Resolver la ecuación 0cos2 =− senxxsenx

Solución: factorizando el primer miembro obtendremos

( ) 01cos2 =−xsenx Igualando a cero cada factor se tiene

21cos y 0

decir es01cos2 y 0

==

=−=

xsenx

xsenx

Para 0=senx °=°= 360y 0 21 xx , ¿por qué? Para 2/1cos =x se tiene que °=°= 300y 60 43 xx ¿por qué? EJERCICIOS PROPUESTOS: Resuelve las siguientes ecuaciones 1. 032 =−senx

2. 03tan =−x 3. 012 =−senx 4. 01cos2 =+x 5. 012 =−xsen 6. 01cos2 =−x

7. 1cos2 2 −x 8. 0tan3tan 2 =+ xx 9. 0coscos4 3 =− yy

10. 0tan3tan3 =− AA

69

CLASE 10: SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS -Definen sistema de coordenadas. -Construyen sistemas de coordenadas.

Sistema de coordenadas

SISTEMAS DE COORDENADAS Un sistema de coordenadas cartesianas es un sistema de referencia formado por dos rectas perpendiculares entre sí, las cuales dividen al plano en cuatro cuadrantes los cuales se enumeran en sentido antihorario EL PUNTO EN EL PLANO: Un punto puede ser representado de manera única mediante un par ordenado de la forma ( )yx, DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: Dados los puntos ( ) ( )2211 ,y , yxQyxP la distancia entre ellos viene dada por la expresión

( ) ( ) ( )2122

12, yyxxPQQPd −+−== En efecto, en la figura adjunta se observa que el segmento PQ es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos ( )12 xx − y ( )12 yy − Aplicando El teorema de Pitágoras se tiene que

( ) ( )

( ) ( )221

221

221

221

2cuadrada raiz extraemos

yyxxPQ

yyxxPQ

−+−=

−+−=

70

Ejemplo: Calcular la distancia entre los puntos A(3,5) y B(4,7) Solución: aplicando la fórmula de la distancia se tiene que

( ) ( )

5

41

5734),( 22

=

+=

−+−=BAd

PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS Dados los puntos ( ) ( )2211 ,y , yxQyxP entonces las coordenadas del punto medio del segmento PQ

se obtienen mediante la expresión ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=2

,2

2121 yyxxM

Ejemplo: Determinar el punto medio del segmento cuyos extremos están en los puntos P(6,9) y Q(-4,3)

Solución: Aplicando la “fórmula” del punto medio obtenemos que ( )6,12

39,2

46=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+

=M

Ejercicios: En los siguientes problemas calcula la distancia entre los puntos dados

1. ( ) ( )2,5,3,2 −− BA 2. ( ) ( )9,12,8,4 −QP 3. ( ) ( ))7,5,2,3 −−−−T 4. Hallar el valor de k de modo que la distancia entre A(0,k) y B(1,-3) es 10

6. El centro de una circunferencia está en el punto ( )2,1−C y el punto ( )2,5P está sobre la

circunferencia. Determinar la longitud del radio y el área de la circunferencia 7. Calcula el punto medio entre a) ( ) ( )7,3,3,5 QP b) ( ) ( )3,8,7,2 −−− BA 8. El punto ( )5,3M está en el centro del segmento que une dos puntos A y B Si las coordenadas de

( )6,9−=A ¿Cuáles son las coordenadas del punto B?

71

CLASE 11: LA LÍNEA RECTA

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Escriben la ecuación de una recta que cumple con un conjunto de condiciones dadas. Determinan el punto de intersección de dos rectas dadas Aplican la ecuación de la recta a problemas de la especialidad

Ecuación de la Recta Ecuación Punto Pendiente Ecuación Punto – punto Rectas Paralelas Rectas Perpendiculares Intersección de rectas

LA LÍNEA RECTA

Ejemplos:

1. Dada la recta 53 : += xyL , verificar si los puntos A(2,11), B(-3,-4), C(1,9) pertenecen o no a la recta dada

Solución: 1.1. Para A(2,11), reemplazamos en la ecuación dada x = 2, y = 11 y verificamos si la igualdad se

cumple, en efecto 52311 +⋅= , luego el punto está sobre la recta. 1.2. Para B(-3,-4), reemplazamos en la ecuación dada x = -3, y = -4 y verificamos si la igualdad se

cumple, en efecto 5334 +−⋅=− , luego, el punto está sobre la recta.

1.3. Para C(1,9), reemplazamos en la ecuación dada x = 1, y = 9 y verificamos si la igualdad se cumple. En este caso 5139 +⋅≠ , por lo tanto el punto no está sobre la línea recta

72

DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA RECTA La ecuación de una recta queda completamente determinada si se conocen

1. Un punto y la pendiente 2. Dos puntos

ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE La ecuación de la recta que pasa por el punto ),( 00 yxP y tiene pendiente m tiene la forma

( ) 00 yxxmy +−=

Ejemplo: hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -3 y pasa por el punto ( )3,5 −A Solución: reemplazando el valor de la pendiente y las coordenadas del punto en la ecuación dada se tiene

( )

123Reduciendo 3153

ndoDesarrolla 353

+−=−+−=−+−−=

xyxyxy

ECUACIÓN PUNTO – PUNTO La ecuación de la recta que pasa por los puntos ( ) ( )1100 ,y , yxQyxP tiene la forma

( ) 00 yxxmy +−=

Donde

01

01

xxyy

m−−

=

Ejemplo: Escribir la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2,3) y B(4,-9) Solución: Si hacemos ( ) ( ) ( ) ( )9,4,y 3,2, 1100 −== yxyx tendremos que

Calculo de la pendiente….. 62

122439

−=−=−−−

=m

Ecuación pedida…

( )156

reduciendoy ndodesarrolla 326+−=

+−−=xyxy

73

POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS RECTAS RECTAS PARALELAS

Dos rectas 21 y LL son paralelas si tienen la misma pendiente, es decir,

2121 // mmLL =⇔

Ejemplos:

1. Escribir la ecuación de la recta 1L que pasa por el punto A(2,3) y es paralela a la recta 53: 2 −= xyL

Solución: la pendiente de la recta 2L es 3, luego la recta pedida tiene por ecuación

( )33

reduciendoy ndodesarrolla 323 :1

−=+−=

xyxyL

2. Escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto Q(5,-4) y es paralela a la recta 2L que pasa

por los puntos A(3,5) y B(5,9)

Solución: La solución es evidente, la escribirá usted

74

RECTAS PERPENDICULARES Dos rectas 21 y LL son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1, es decir

12121 −=⋅⇔⊥ mmLL

Ejemplo:

3. Escribir la ecuación de la recta 1L que pasa por el punto A(2,3) y es perpendicular a la recta 53: 2 −= xyL

Solución: como

31

qué?¿por 13 1

1

1

2121

−=⇒

−=⋅⇒−=⋅⇒⊥

m

mmmLL

Luego la ecuación de 1L es ( ) 3231

+−−= xy ……desarrolle y reduzca!!!

75

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Calcula la distancia entre los siguientes puntos a) ( )7,5),5,2( BA b) ( )1,5),4,3( −−− BA c) ( )7,4),6,9( −BA 2. Los lados de un terreno rectangular están sobre las rectas 50,2 == xx , 25,1 == yy

a) En un sistema de coordenadas cartesianas realiza un bosquejo del terreno b) Calcula el perímetro del terreno c) Calcula el área del terreno

3. San Pedro de la Costa y Coronel están unidas por una carretera recta. Si San Pedro está en un punto de coordenadas S(1,2) y Coronel en el punto de coordenadas C(2,18)

a) Escribe la ecuación de la recta que une San Pedro y Coronel b) Calcula la distancia aproximada entre estas dos ciudades

4. La K-10000 es la grúa de torre más grande del mundo, tan descomunal como desconocida. Es capaz de levantar pesos de 132 toneladas de carga máxima y 91 toneladas a una distancia máxima de 100 metros. Fabricada por la marca Danesa Kroll, una vez fijada al suelo resiste vientos de 240 Km./h a pesar de tener 120 metros de altura. Da una idea de su formidable resistencia estructural, en parte gracias a 3 grupos de contrapesos que suman 223 toneladas.

a) Escribe las coordenadas del punto B en el extremo derecho de la “pluma”

b) Si la longitud del contrapeso es 50 metros, escribe las coordenadas del punto C.

c) Escribe la ecuación de la recta que pasa por la Torre (vertical)

d) Escribe la ecuación de la recta de la pluma

e) Escribe la ecuación de la recta que pasa por A y B

f) Escribe la ecuación de la recta que pasa por B y es perpendicular a AB

5. Se tiene un terreno como el de la figura, calcula a) Perímetro b) Área (indicación: utiliza el teorema de Heron para el área de un triángulo) c) La ecuación de la recta que une el punto A y el B d) El punto de intersección entre la recta que pasa por AC y la recta que pasa por BE e) La ecuación de la recta que pasa por E y es paralela a la recta que pasa por AD f) La ecuación de la recta que pasa por C y es perpendicular a la recta que pasa por B y D

76

6. Dado el detalle de trabajo de la siguiente retroexcavadora

a) Longitud AB b) Escribe la ecuación de la

recta que pasa por A y B c) Longitud BC d) Los puntos A y D

muestran las máximas distancias a las que la máquina puede trabajar. Calcula la distancia recta AD.

e) Escribe la ecuación de la recta que pasa por B y es paralela a la recta que pasa por A y C

7. En la siguiente figura se muestra una cámara tipo A en la cual convergen dos tuberías de PVC

mm110=φ . Basándose en estos antecedentes determinar

1. El puntos A en la salida de la cámara 2. El B en el extremo derecho de la tubería 3. La longitud de la tubería 4. La ecuación de la recta asociada a la tubería.

77

Indicación: recuerde que la pendiente puede ser positiva o negativa

8. En la siguiente figura se muestra una cercha. Determine

a) La longitud del tirante AC b) La altura BD de la cercha c) La longitud AB de la pierna de la cercha d) Si el pendolín DE es paralelo a la pierna BC escribe su ecuación y calcula su longitud

78

CLASE 12: LA CIRCUNFERENCIA

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Escriben la ecuación de una recta que cumple con un conjunto de condiciones dadas. Determinan el punto de intersección de dos rectas dadas Aplican la ecuación de la recta a problemas de la especialidad

Ecuación de la Circunferencia Ecuación Punto Pendiente Ecuación Punto – punto Rectas Paralelas Rectas Perpendiculares Intersección de rectas

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA: Dado que todos los puntos equidistan del centro, sea P(x, y) un punto sobre la circunferencia, entonces su distancia al centro (h, k) es

222 )()( Rkyhx =−+− Si elevamos al cuadrado ambos miembros de esta ecuación tendremos

222 )()( Rkyhx =−+−

Esta es la ecuación de la circunferencia con centro (h, k) y radio R.

Si hacemos coincidir el centro con el origen del sistema de coordenadas (0,0) obtendremos:

79

222 Ryx =+

Los problemas asociados a la circunferencia pueden ser de dos tipos:

1. Escribir su ecuación a partir de un conjunto de datos (su centro y su radio) 2. A partir de su ecuación, determinar su centro y su radio.

Ejemplos:

1. Escribir la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P(2,3) y cuyo radio es r = 4

Solución: Reemplazando en la ecuación de la circunferencia tendremos

( ) ( )

( ) ( ) 1632

bien o432

22

222

=−+−

=−+−

yx

yx

2. Hallar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es 0342 22 =−−++ yyxx

Solución: comenzaremos escribiendo la ecuación en la forma

342binomio de cuadradocompletar

2

binomio de cuadradocompletar

2 =−++4342143421 yyxx

Tendremos entonces

( ) ( ) 821

qué?¿por 4134412

22

reducircuadradoun comoescribir

2

cuadradoun comoescribir

2

=−++

++=+−+++

yx

yyxx 434214342143421

Luego el centro de la circunferencia es el punto (-1,2) y su radio 8 ¿por qué?

80


1. Hallar la ecuación de la circunferencia dados los siguientes conjuntos de datos 1.1 El centro coincide con el origen de coordenadas y su radio es R = 5 1.2 El centro coincide con el punto (-2,3) y su radio es R = 7 1.3 La circunferencia pasa por el origen de coordenadas y su centro es el punto (6,-2) 1.4 La circunferencia pasa por el punto (5,4) y su centro está en el punto (-1,-2) 1.5 Los extremos de uno de los diámetros de la circunferencia se encuentran sobre los puntos (6,5) y

(9,12) 1.6 El centro coincide con el origen de coordenadas y la recta 02043 =+− yx es tangente a la

circunferencia 2. La ecuación de una circunferencia es (x - 3)2 + (y + 4)2 = 36. Verifica que el punto A(2, -5) es interior

a la circunferencia y que el punto B(-4, 1) es exterior a ella. 3. Una cuerda de la circunferencia x2 + y2 = 25 está sobre la recta cuya ecuación es x – 7y + 25 = 0.

a) Hállese la longitud de la cuerda. b) Encuentre la ecuación de la mediatriz (simetral) de la cuerda y demuestre que pasa por el

centro de la circunferencia. 4. Hállese la ecuación de la tangente a la circunferencia:

a) (x + 2)2 + (y - 3)2 = 5 y que pasa por el punto (3, 3). b) x2 + y2 + 4x – 10y + 21 = 0, que es paralela a la recta

5x – 5y + 31 = 0.

5. La ecuación de una circunferencia es 4x2 + 4y2 – 16x + 20y + 25 = 0. Encuentre la ecuación de la circunferencia concéntrica que es tangente a la recta 5x – 12y = 1.

6. Hállese la ecuación de la circunferencia inscrita y circunscrita al triángulo cuyos lados son: 4x – 3y = 0; 4x + 3y – 8 = 0; y = 0. Determine el centro y radio. 7. Determine el perímetro y el área del triángulo que se forma al unir los centros de las circunferencias: x2 + y2+ 4x – 6y = 3; 4x2 + 4y2 – 16x + 20y + 25 = 0 y el punto (2, 2). 8. Si la distancia de P(x, y) al punto (6, 0) es el doble de su distancia al punto (0, 3), pruebe que el lugar descrito por P es una circunferencia. Encuentre el centro y el radio. 9. Considere la circunferencia C1: x2 + y2 – 2x – 4y + 1 = 0.

a) Determine la ecuación de la circunferencia C2 de centro (4, 6) y que es tangente a C1. b) Determine la ecuación de la circunferencia C3 de centro (6, 6) y tangente a C2. c) Determine el punto de intersección de C3 y C2. d) Determine el área del triángulo que se forma al unir los centros de C1, C2 y C3. e) Determine las ecuaciones de los lados del triángulo hallado en d).

81

10. Hállese la ecuación de la circunferencia:

a) que pasa por el punto A(5, 9) y es tangente a la recta x + 2y – 3 = 0 en el punto B(1, 1), b) de radio 5 es tangente a la recta 3x – 4y – 1 = 0, en el punto (3, 2).

APLICACIONES 1. La fundación de un silo para almacenamiento de cemento es interior a la circunferencia

100184922 =+ yx y exterior a la circunferencia 1622 =+ yx , donde los radios vienen medidos en

metros. Si el alto de la fundación es de 0.6 metros ¿Cuál es el volumen de la fundación? 2. La altura libre de un pilar cilíndrico es de 2,8 metros si su contorno se encuentra sobre la

circunferencia 100

922 =+ yx , donde el radio se mide en metros. Hallar el volumen del pilar.

3. Una ventana colonial es tal que su parte inferior es un cuadrado, coronado por una semicircunferencia

cuya ecuación es 4122 =+ yx , donde el radio se mide en metros. ¿Cuál debe ser el área del vano

destinado en el paramento que recibirá dicho marco de ventana?

4. Una probeta de hormigón cilíndrica de 30 centímetros de alto tiene un volumen de 3

2509 m . Escribir

la ecuación del contorno de la probeta.

82

CLASE 13: LA PARÁBOLA

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Escriben la ecuación de una elipse que cumple con un conjunto de condiciones dadas. Aplican la ecuación de la elipse a problemas de la especialidad

La Parábola Ecuación de la parábola

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA: Distinguiremos dos casos

1. El eje de la parábola es vertical. 2. El eje de la parábola es horizontal

83

PARÁBOLA CON EJE EN EL EJE VERTICAL: La ecuación de la parábola cuyo vértice se encuentra en el origen y cuyo eje es el eje Y tiene la forma:

pyx 42 =

Siendo p la distancia desde el vértice al foco (o del vértice a la directriz) Al respecto, cabe señalar que si:

p>0, la parábola abrirá sus ramas hacia arriba

p<0, la parábola abrirá sus ramas hacia abajo

Vértice (0,0)

Foco ( )p,0

Directriz : py −= EJEMPLOS:

a) Escribir la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el punto (0,0) y foco en el punto (0,4) Solución: dado que p = 4 ¿por qué? La ecuación de la parábola será

yx

yx

16

442

2

=

⋅=

b) La ecuación de una parábola es yx 82 −= , hallar foco, vértice y directriz Solución: En esta ecuación observamos que

284−=⇒

−=p

p

Como p es negativo la parábola abre sus

ramas hacia abajo de modo que su foco es (0,-4).

La ecuación de la directriz viene dada por 4=y

84

PARÁBOLA CON EJE PARALELO AL EJE HORIZONTAL La ecuación de la parábola cuyo vértice se encuentra en el origen y cuyo eje es el eje y tiene la forma:

pxy 42 = En esta ecuación, si:

p>0, la parábola abrirá sus ramas hacia la derecha

p<0, la parábola abrirá sus

ramas hacia la izquierda

Vértice (0,0)

Foco (-p,0)

Directriz px = EJEMPLOS:

1. Escribir la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el punto (0,0) y su directriz es la recta x = 2 Solución:

La parábola abre sus ramas hacia la izquierda ¿Por qué? p = -2 (pues desde el vértice a la directriz hay dos unidades) La ecuación pedida será xy 82 −=

2. Hallar el vértice, el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es 0212 =− xy

Solución:

Escribimos la ecuación en la forma xy212 =

Determinamos el valor de p, hacemos 81

214 =⇒= pp

85

Vértice (0,0), Foco ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=− 0,

810,p

Directriz: la dado que 81

=p , la ecuación de la directriz es 81

=x

TABLA RESUMEN: La siguiente tabla resume los resultados expresados anteriormente

ECUACIÓN

VÉRTICE

EJE

FOCO

DIRECTRIZ

LA PARÁBOLA

ABRE SUS RAMAS

pyx 42 =

( )0,0

0=x

( )p,0

py −=

Hacia arriba si p>0 Hacia abajo si p<0

pxy 42 =

( )0,0

0=y

( )0,p

px −=

Hacia la derecha si p>0 Hacia la izquierda si p<0

EL VÉRTICE DE LA PARÁBOLA ESTÁ EN EL PUNTO ( )kh, Si el eje de la parábola se traslada paralelo al eje Y Su ecuación toma la forma

( ) ( )kyphx −=− 42

Para esta ecuación tendremos que

Vértice: ( )kh, Foco: ( )pkh +, Directriz: pky −=

86

EJEMPLOS:

a) Escribir la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el punto V(2,3) y su foco en el punto F(2,7)

Solución: En este caso 5=p ¿por qué? Luego la ecuación tiene la forma

( ) ( )( ) ( )3282

37422

2

−=−

−⋅=−

yx

yx

La figura muestra la gráfica b) La ecuación de una parábola es 064122 2 =+−+− yxx . Determinar el vértice, foco,

ecuación de la directriz y del eje: Solución: escribamos la ecuación como

64122 2 −=+− yxx

Si en el miembro de la izquierda factorizamos por 3 se tiene

( ) 6462 2 −=−− yxx

En el polinomio cuadrático completamos un cuadrado

( )( )

( )( ) ( )623

1223

24432

1864962

2

2

2

2

−−=−⇒

+−=−⇒

−=−−⇒

−−=+−−

yx

yx

yx

yxx

En esta última expresión se deduce que el vértice está en V(3,6)

87

2124 −

=⇒−= pp , esto indica que la parábola se abre hacia abajo

El foco tiene sus coordenadas en

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+

211,3

216,3, pkh

La figura adjunta muestra la gráfica

EL VÉRTICE DE LA PARÁBOLA ESTÁ EN EL PUNTO ( )kh, Si el eje de la parábola se traslada paralelamente al eje X su ecuación toma la forma

( ) ( )hxpky −=− 42

88

La siguiente tabla resume los resultados anteriores

ECUACIÓN

VÉRTICE

EJE

FOCO

DIRECTRIZ

LA PARÁBOLA ABRE SUS

RAMAS ( ) )(42 kyphx −=−

( )kh,

hx =

( )pkh +,

pky −=

Hacia arriba si p>0 Hacia abajo si p<0

( ) )(42 hxpky −=−

( )kh,

ky =

( )kph ,+

phx −=

Hacia la derecha si p>0 Hacia la izquierda si p<0

Ejercicios: Para cada ecuación de parábola determinar el vértice, foco, directriz y eje a) yx 122 =

b) yx 162 −=

c) xy 202 =

d) xy 82 −=

e) ( ) yx 41 2 −+

f) ( ) 242 2 +=− yx

g) ( ) ( )142 2 −=+ yy

h) 082 =+− yxx

i) 012182 =+−+ yxx

j) 0522 =−−− xyy

k) 06183 2 =+−− xyy

En los siguientes problemas hallar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas a) Foco (5,0), directriz x = -2 b) Foco (0,-3), directriz y = 2 c) Foco (2,3) , vértice (5,3) d) Foco (-1,-2), vértice (-1,1) e) Vértice (0,0), directriz x = 3 f ) Vértice (0,0), directriz y = -4 g) Foco (1,6), vértice (1,3) h) Foco (0,5), vértice (0,3)

89

CLASE 14: LA ELIPSE

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Escriben la ecuación de una elipse que cumple con un conjunto de condiciones dadas. Aplican la ecuación de la elipse a problemas de la especialidad

Ecuación de elipse centrada en el origen Ecuación de la elipse centrada en un punto

cualquiera

ECUACIÓN DE LA ELIPSE

ELEMENTOS DE LA ELIPSE

Centro: en la figura se observa que el centro de la elipse coincide con el origen del sistema de coordenadas (0,0)

Focos: los puntos fijos se encuentran a

una distancia c del centro, luego las coordenadas de los focos son

( ) ( )0,,0, 21 cFcF −

Vértices: en la figura observarás 4 vértices, Dos en el eje mayor (-a,0) y (a,0) Dos en el eje menor (0,-b) y (0,b)

Eje Mayor: es el segmento de recta que une los vértices (-a,0) y (a,0), su longitud es 2a

Eje Menor: es el segmento que une los vértices (0,-b) y (0,b), su longitud es 2b

90

ECUACIÓN DE LA ELIPSE: La ecuación de la elipse de centro en (0,0) y focos ( ) ( )0,,0, 21 cFcF − (el eje mayor se encuentra en el eje X) tiene la forma

12

2

2

2

=+by

ax

De igual forma La ecuación de la elipse de centro en (0,0) y focos ( ) ( )cFcF ,0,,0 21 − (el eje mayor se encuentra en el eje Y) tiene la forma

12

2

2

2

=+bx

ay

El siguiente cuadro se muestra un resumen de lo expuesto anteriormente ECUACIÓN CENTRO FOCOS EJE MAYOR VÉRTICES EN

EL EJE MAYOR

VÉRTICES EN EL EJE MENOR

12

2

2

2

=+by

ax

(0,0) ( )0,c± Sobre el eje X ( )0,a± ( )0,b±

12

2

2

2

=+ay

bx

(0,0) ( )c±,0 Sobre el eje Y ( )a±,0 ( )b±,0

Importante: En cada una de estas ecuaciones se cumple que

ba >

222 cba +=

Ejemplo: Escribir la ecuación de la elipse cuyo centro está en (0,0) eje mayor en el eje x. Longitud del eje mayor 16 y longitud del eje mayor 10 Solución: Longitud eje mayor 8162 =⇒= aa

91

Longitud eje menor 5102 =⇒= bb

Luego la ecuación es 12564

22

=+yx

ELIPSE CENTRADA EN EL PUNTO (h, k) Si el centro de una elipse se encuentra situado en el punto (h, k) con eje mayor paralelo al eje X entonces su ecuación está dada en la forma

Los vértices de esta elipse se encuentran sobre los puntos

( ) ( )kahVkahV ,, , 21 +− Los focos de esta elipse se encuentran en los puntos

( ) ( )kchFkchF ,, , 21 +− De igual forma, la ecuación de la elipse centrada en el punto ( )kh, y focos en los puntos

( ) ( )ckhckk +− ,y , .tiene la forma

( ) ( ) 12

2

2

2

=−

+−

bky

ahx

( ) ( ) 12

2

2

2

=−

+−

aky

bhx

92

EJEMPLOS 1. Hallar los focos y los vértices de la elipse 0189105 22 =++− yyxx Solución: Factorizamos los términos en x e y respectivamente por su

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 141915 entonces

95129125 entonces02925 entonces

0189105

22

22

22

22

=++−

+=++++−

=++−

=++−

yx

yyxxyyxx

yyxx

EJERCICIOS En los siguientes problemas determinar centro, focos y vértices de la elipse dada. Trazar su gráfica

a) 11625

22

=+yx

b) 148

22

=+yx

c) 116

22

=+ yx

d) 1925

22

=+yx

e) 1254 22 =+ yx

f) 4035 22 =+ yx

g) ( ) ( ) 125

291 22

=−

+− yx

h) ( ) ( ) 116

143 22

=+

++ yx

i) 072363216 22 =++− yyxx

j) 031181095 22 =−+−+ yxyx

k) 01424412 22 =+−++ xyxy

APLICACIONES 1. Suponga que una cámara susurrante se construye sobre su base elíptica haciendo rotar una semielipse 180º sobre su eje mayor. Si la altura de la elipse es de 18 pies y su longitud es de 42 pies, hallar la ubicación del susurro y el lugar donde se escuchará. 2. El arco de un puente es semielíptico con su eje mayor horizontal. Si la base del arco abarca los 20 metros de ancho de la carretera y la parte mas alta está 8 metros por sobre ésta, determinar la altura del arco a 4 metros del centro de la carretera. 3. Un carpintero desea cortar una pieza de madera rectangular en forma elíptica para construir una mesa de comedor. Si la plataforma se construirá con una plancha de terciado marino de 1.22 x 2.44 metros y desea utilizar toda la longitud y todo el ancho disponible. ¿Cuál debería ser la longitud de la cuerda y donde debería situar las tachuelas para dibujar la elipse?

93

CLASE 15: LA HIPÉRBOLA

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Escriben la ecuación de la hipérbola que

satisface un conjunto de condiciones dadas Determinan elementos característicos de la

hipérbola a partir de la ecuación general

La Hipérbola Ecuación de la Hipérbola

ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA

la hipérbola presenta dos ramas las que se abren en sentidos opuestos

Vértices: en la figura se muestran

Focos : en la figura se muestra

Eje trasverso: segmento de recta que une

los vértices, en la figura vienen dados por ( ) ( )0,y 0, 21 aVaV −

Eje conjugado:

Asíntotas:

ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA Dependiendo de la orientación del eje transverso la ecuación de la hipérbola puede tener las siguientes formas

94

ECUACIÓN

CENTRO

FOCOS

VÉRTICES

EJE TRANSVERSO

ASÍNTOTAS

12

2

2

2

=−by

ax

)0,0(

( )0,c±

( )0,a±

Horizontal coincide con el eje X x

aby

xaby

−=

=

12

2

2

2

=−bx

ay

)0,0(

),0( c±

( )a±,0

Vertical coincide con el eje Y x

bay

xbay

−=

=

EJEMPLOS:

a) De la siguiente ecuación deduzca el centro, vértices, focos y asíntotas

1836 22 =− xy Solución: escribamos la ecuación en la forma estándar (dividiendo cada término por 18)

Tendremos 193

22

=−xy

De esta ecuación se deduce que

321212

3933

222

2

2

==⇒=+=

=⇒=

=⇒=

cbac

bbaa

Por lo tanto Centro ( )0,0

Focos ( )32,0 ± Asíntotas

xyxy33 ;

33

−==

La figura adjunta muestra la gráfica

95

HIPÉRBOLA CENTRADA EN EL PUNTO ( )kh,

Si el eje transverso es paralelo al eje X, entonces la ecuación de la hipérbola toma la siguiente forma

( ) ( ) 12

2

2

2

=−

−−

bky

ahx

Si el eje transverso es paralelo al eje Y, entonces la ecuación de la hipérbola toma la forma

( ) ( ) 12

2

2

2

=−

−−

bhx

aky

96

Las propiedades de éstas hipérbolas se resumen en la siguiente tabla

ECUACIÓN

CENTRO

FOCOS

VÉRTICES

EJE TRANSVERSO

( ) ( ) 12

2

2

2

=−

−−

bky

ahx

),( kh

( )kch ,±

( )kah ,±

Horizontal

( ) ( ) 12

2

2

2

=−

−−

bhx

aky

),( kh

),( ckh ±

( )akh ±,

Vertical

EJEMPLO 1: Determinar el centro, los vértices, focos de la hipérbola 496432 22 =++− yxyx

Solución: comenzamos agrupando términos en x e y

1.

De la ecuación obtenida se deduce que

Centro ( )1,1− Observamos que el eje transverso es paralelo al eje X ¿Por qué? Determinamos a, b y c

1024040

416622424

222

2

2

==⇒=+=

=⇒=

==⇒=

cbac

bbaa

A partir de estos valores obtenemos

Vértices: ( ) ( )1,621, ±−⇒± VkahV

Focos: ( ) ( )1,1021, ±−⇒± FkchF

A partir de los datos anteriormente obtenidos ¡TRACE LA GRAFICA!

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 1

161

241x

48por dividimos 481312

cuadradoun como polinomio cada escribimos 3249123122cuadrados scompletamo 492322

osfactorizam 496342

22

22

22

22

22

=−

−+

=−−+

−+=+−−++

=−−+

=+−+

y

yx

yyxxyyxx

yyxx

97

EJERCICIOS En los siguientes problemas determinar: el centro, vértices, focos y asíntotas de las hipérbolas. Trazar su gráfica

1. 12516

22

=−yx

2. 1416

22

=−xy

3. 199

22

=−yx

4. 64164 22 =− yx

5. 100425 22 =− yx

6. 1863 22 =− xy

7. 07289 22 =+− yx

9. ( ) ( ) 1

252

363 2

=+

−− xy

10. ( ) ( ) 1

121

243 22

=+

−+ yx

11. ( ) ( ) 10022514 22 =−−− yx

12. 496432 22 =++− yxyx

13. 04684 22 =−−+− xyxy

14: 11864 22 =+−− yxyx

En los siguientes problemas hallar la ecuación de la hipérbola que satisface las condiciones dadas 1. Focos ( )0,5± , a = 1 2. Focos ( )0,3± , b = 2 3. Focos ( )8,0 ± un vértice en ( )4,0 4. Focos ( )0,5± longitud eje transverso 8 5. Centro ( )0,0 , un vértice en (3,0), un foco en (5,0) 6. Centro (3,2), un foco en (3,0), un vértice en (3,3)

98

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA: Texto Autor Editorial Algebra y trigonometría Zill, Dennis McGraw - Hill SITIOS WEB RELACIONADOS CON MATEMÁTICAS

www.matematicas.net/

www.terra.es/personal/sverab/

www.sectormatematica.cl/

http://www.matematicas.net/

http://www.terra.es/personal/sverab/

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GEOMETRÍA MAT - 122