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Geometrıa Analıtica

(Version preliminar, para evaluacion)

Curso de Admision

Facultad de Ciencias y Tecnologıa

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Indice general

1. Sistema de coordenadas rectangulares y graficas 7

1.1. El sistema de coordenadas rectangulares . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2. El plano coordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3. Coordenadas de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.4. Formula de la distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.5. Formula del punto medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.6. Punto que divide a un segmento en una relacion dada . . 13

1.2. Ecuaciones de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2. Pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.3. Ecuacion punto-pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.4. Ecuacion pendiente-interseccion-Ordenada al origen . . . 18

1.2.5. Rectas horizontales y verticales . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.6. Ecuacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.7. Rectas paralelas y perpendiculares . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.8. Interseccion de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.9. Distancia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.10. Desigualdades y regiones en el plano . . . . . . . . . . . . 23

1.3. Cırculos y sus graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.2. Terminologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.3. Cırculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.4. Completar el cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.5. Semicırculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3.6. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3.7. Graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.3.8. Intersecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.3.9. Simetrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3

4 INDICE GENERAL

2. Funciones y graficas 352.1. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3. Relacion Funcional o funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4. Terminologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5. Graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.6. Comportamiento en los extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.7. Prueba de la recta vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.8. Intersecciones con los ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.9. Simetrıa y transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.9.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.9.2. Funciones potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.9.3. Simetrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.9.4. Transformaciones rıgidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.9.5. Combinacion de desplazamientos . . . . . . . . . . . . . . 492.9.6. Transformaciones no rıgidas . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.10. Funciones definidas por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.10.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.10.2. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.10.3. Funcion valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.11. Combinacion de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.11.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.11.2. Combinaciones aritmeticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.11.3. Dominio de una combinacion aritmetica . . . . . . . . . . 552.11.4. Composicion de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.11.5. Dominio de una composicion . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.12. Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.12.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.12.2. Prueba de la recta horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . 582.12.3. Inversa de una funcion inyectiva y sobreyectiva . . . . . . 582.12.4. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.12.5. Graficas de f y f−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.12.6. Dominios restringidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3. Funciones polinomiales y racionales 633.1. Funciones polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.1.2. Terminologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.1.3. Graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.1.4. Graficas desplazadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.1.5. Simetrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1.6. Intersecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

INDICE GENERAL 5

3.2. Funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4. Apendice 77

6 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Sistema de coordenadas

rectangulares y graficas

1.1. El sistema de coordenadas rectangulares

1.1.1. Introduccion

De tus estudios de la Aritmetica has visto que cada numero real se puedeasociar con exactamente un punto de la recta numerica, o recta de coordenadas.Ahora examinaremos una correspondencia entre los puntos de un plano y lospares ordenados de numeros reales.

1.1.2. El plano coordenado

Un sistema coordenado rectangular se forma con dos rectas numericasperpendiculares que se intersecan en el punto correspondiente al numero 0 encada recta. El punto de interseccion se llama origen y se representa con elsımbolo O. Las rectas numericas horizontal y vertical se llaman eje x y eje y,respectivamente. Esos dos ejes dividen al plano en cuatro regiones llamadascuadrantes, que se enumeran como se indica en la figura 1.1. Como tambiense observa en la figura de la derecha las escalas en los ejes x y y no necesitanser iguales. Un plano que contiene un sistema de coordenadas rectangular sellama plano xy, plano coordenado o simplemente espacio bidimensional.Al sistema de coordenadas rectangulares y al plano coordenado xy se les llamatambien sistema de coordenadas cartesianas y plano cartesiano, en honorde Rene Descartes (1506− 1650), famoso matematico y filosofo frances.

7

8CAPITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES Y GRAFICAS

Figura 1.1: Plano coordenado

1.1.3. Coordenadas de un punto

Sea P un punto en el plano coordenado. Se asocia un par ordenado denumeros reales con P trazando una recta vertical desde P al eje x, y una rectahorizontal desde P al eje y. Si la recta vertical corta el eje x en a, y la recta hor-izontal interseca el eje y en el numero b, asociamos el par ordenado de numerosreales (a, b) con el punto. Al reves, a cada par ordenado (a, b) de numeros realescorresponde un punto P en el plano. Este punto esta en la interseccion de lalınea vertical que pasa por a en el eje x, y la lınea horizontal que pasa por b enel eje y. En adelante, a un par ordenado se le llamara un punto y se represen-tara por P (a, b) o bien por (a, b)1. El numero a es la abscisa o coordenada x

del punto, y el numero b es la ordenada, o coordenada y del punto, y se diceque P tiene las coordenadas (a, b). Por ejemplo, las coordenadas del origenson (0, 0) (Figura 1.2).Como un punto en el eje x tiene la forma (x, 0), la ecuacion que describe el

Figura 1.2: A la izquierda el punto con coordenadas (a, b). A la derecha, signoscalgebraicos de las coordenadas en los cuatro cuadrantes.

eje x es y = 0. De igual modo, un punto en el eje y tiene la forma (0, y), porlo que la ecuacion del eje y es x = 0. Cuando se ubica un punto en el plano

1Es la misma notacion que se usa para representar un intervalo abierto. Debe quedar claro,

por el contexto de la descripcion, si se esta considerando un punto (a, b) o un intervalo abierto

(a, b)

1.1. EL SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES 9

coordenado, que corresponde a un par ordenado de numeros, y se representausando un punto lleno, se dice que se grafica el punto.

EJEMPLO 1 Graficacion de puntos Grafica los puntos A(1, 2), (−4, 3),C(− 3

2 ,−2), D(0, 4) y E(3,5, 0). Especifica el cuadrante en el que esta cada uno.

Solucion Los cinco puntos se graficaron en el plano coordenado de la figura1.3. El punto A esta en el primer cuadrante (cuadrante I), B en el segundo(cuadrante II) y C en el tercero (cuadrante III). Los puntos D y E estan enlos ejes x y y, respectivamente, y no estan en cuadrante alguno.

Figura 1.3: Grafica de los cinco puntos del ejemplo 1

EJEMPLO 2 Graficacion de puntos Traza el conjunto de puntos (x, y)en el plano xy cuyas coordenadas satisfacen 0 ≤ x ≤ 2 y tambien que |y| = 1

Solucion Primero, recuerda que la ecuacion de valor absoluto |y| = 1 implicaque y = −1 o y = 1. En consecuencia, los puntos que satisfacen las condi-ciones dadas son aquellos cuyas coordenadas (x, y) satisfacen al mismo tiempolas siguientes condiciones: cada abscisa es un numero en el intervalo cerrado [0, 2]y cada ordenada es ya sea y = −1 o y = 1. Por ejemplo, algunos de los puntosque satisfacen las dos ecuaciones son (1, 1), ( 1

2 ,−1), (2,−1). En la figura 1.4 semuestra en forma grafica que el conjunto de todos los puntos que satisfacen lasdos condiciones son los que estan en los dos segmentos de recta paralelos.


Figura 1.4: Conjunto de puntos para el ejemplo 2

EJEMPLO 3 Regiones definidas por deisgualdades Traza el conjuntode puntos (x, y) en el plano (x, y) cuyas coordenadas satisfagan cada una de lascondiciones siguientes:

1. xy < 0

2. |y| ≥ 2

Solucion 1)Analizando los signos de los productos, vemos que un producto dedos numeros reales x y y es negativo cuando uno de ellos es positivo y el otroes negativo. Ası, xy < 0 cuando x > 0 y y < 0, o tambien cuandox < 0 y y > 0.En la figura 1.5 se ve que xy < 0 para todos los puntos (x, y) del segundo yel cuarto cuadrantes. Por consiguiente, se puede representar el conjunto de lospuntos para los que xy < 0 mediante las regiones representadas a la izquierda.Los ejes coordenados se muestran como lıneas interrumpidas, para indicar quelos puntos en esos ejes no se incluyen en el conjunto solucion.

2) |y| ≥ 2 quiere decir que y ≥ 2, o bien que y ≤ −2. Como x no tiene re-striccion alguna, puede ser cualquier numero real, por lo que los puntos (x, y)para los cuales

y ≥ 2 y −∞ < x < +∞ o bien y ≤ −2 y −∞ < x < +∞

se pueden representar por medio de las dos regiones sombreadas en la figura 1.5.Se usan lıneas solidas para representar las cotas y = −2 y y = 2 de la region, queindican que los puntos en esos lımites estan incluidos en el conjunto solucion.

1.1.4. Formula de la distancia

Supongamos que P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son dos puntos en el plano xy, queno estan en una recta vertical ni en una recta horizontal. En consecuencia P1,


Figura 1.5: Izquierda. Region que ssatisface la condicion a) del ejemplo 3.Derecha. Region que satisface la condicion b)

Figura 1.6: Distancia entre los puntos P1 y P2

P2 y P3(x1, y2) son vertices de un triangulo rectangulo, como se ve en la figura1.6. La longitud del lado P3P2 es |x2 − x1|, mientras que la longitud del ladoP1P3 es |y2 − y1|. Si representamos con d la longitud P1P2, entonces

d2 = |x2 − x1|2 − |y2 − y1|2 (1.1)

de acuerdo con el teorema de Pitagoras. Como el cuadrado de todo numero reales igual al cuadrado de su valor absoluto, se pueden reemplazar los signos devalor absoluto en la ecuacion 1.1.

Teorema Formula de la distancia

La distancia entre dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) cualesquiera en el planoxy se determina por

d(P1P2) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 (1.2)

Aunque esta formula fue deducida para dos puntos que no esten en una rectahorizontal o vertical, es valida tambien en esos casos. Tambien, como (x2−x1)2 =(x1 − x2)2, no importa que punto se use primero en la formula de la distancia;esto es, d(P1P2) = d(P2P1).

EJEMPLO 4 Distancia entre dos puntos

d(A,B) =√

(3− 8)2 + (7− (−5))2


1.7

Calcula la distancia entre los puntosA(8,−5) y B(3, 7).

Solucion De acuerdo con 1.2, siA y B son P1 y P2, respectivamente:

Figura 1.7: Distancia entre dos puntos del ejemplo 4

=√

(−5)2 + (12)2 = 13

EJEMPLO 5 Tres puntos forman un triangulo

Determina si los puntos P1(7, 1), P2(−4,−1) y P3(4, 5) son los vertices de untriangulo rectangulo.

Solucion Segun la geometrıa plana, untriangulo es rectangulo si y solo si lasuma de los cuadrados de las longitudesde dos de sus lados es igual al cuadradodel lado restante. Ahora bien, de acuer-do con la formula de la distancia 1.2:

Figura 1.8: Triangulo del ejemplo 5

d(P1P2) =√

(−4− 4)2 + (−1− 1)2=√

125,d(P2P3) =

√(4− (−4))2 + (5− (−1))2=

√100 = 10

d(P3P1) =√

(7− 4)2 + (1− 5)2=√

25 = 5Ya que

[d(P3P1)]2 + d(P2P3)]2 = 25 + 100 = 125 = [d(P1P2)]2

se llega a la conclusion de que P1,P2 y P3 son los vertices de un triangulorectangulo, y el angulo recto esta en P3

1.1.5. Formula del punto medio

Para encontrar en la recta numerica, el punto medio entre dos numeros a yb, calculamos el promedio (a+ b)/2. En el plano xy, cada coordenada del puntomedio M de un segmento de recta que une dos puntos P1 y P2, como se muestraen la figura 1.9 es el promedio de las coordenadas correspondientes a los extremos


de los intervalos [x1, x2] y [y1, y2]. Para demostrarlo, se ve en la figura1.9 que

Figura 1.9: M es el punto medio del segmento de recta que une P1 con P2

los triangulos P1CM y MDP2 son congruentes, porque los angulos correspon-dientes son iguales y d(P1M) = d(M,P2). Por consiguiente, d(P1C = d(M,D))o, y− y1 = y2− y. Al despejar y de la ultima ecuacion se obtiene y = y1+y2

2 . Deigual modo, d(C,M) = d(D,P2), y entonces x− x1 = x2 − x; por consiguiente,x = x1+x2

2 . Este resultado se resume como sigue:

Teorema Formula del punto medio

Las coordenadas del punto medio del segmento de recta que une los puntosP1(x1, y1) y P2(x2, y2) se determinan por medio de:

(x1 + x2

2,y1 + y2

2). (1.3)

EJEMPLO 6 Punto medio de un segmento de recta

Figura 1.10: Punto medio del segmentode recta del ejemplo 6

Calcula las coordenadas del puntomedio del segmento de recta que uneA(−2, 5) con B(4, 1)

Solucion De acuerdo con la formulade la distancia (ecuacion 1.3), lascoordenadas del punto medio son

(−2+42 , 5+1

2 ) o (1, 3)

Este punto se indica en la figura.

1.1.6. Punto que divide a un segmento en una relacion

dada

Consideremos los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y la recta que determinan.Sea P (x, y) un tercer punto que divida al segmento en la relacion P1P

PP2= r.

Como P1P y PP2 son del mismo sentido, dicha relacion es positiva. Si el punto


de division P (x, y) estuviera situado en la prolongacion del segmento, a uno uotro lado del mismo, la relacion P1P

PP2= r serıa negativa, ya que P1P y PP2

tendrıan sentidos opuestos.Teniendo en cuenta los triangulos semejantes de la figura, P1M

PN = x−x1x2−x = P1P

PP2=

r

Despejando x, x = x1+rx21+r . Analogamente y = y1+ry2

1+r .

Figura 1.11: El punto P divide al segmento P1P2 en la relacion r

TEOREMA Formula para el punto de division de un segmento

Tomemos r 6= −1. El punto

(x1 + rx2

1 + r,y1 + ry2

1 + r) (1.4)

es el unico punto que divide en la razon r al segmento P1P2, cuyos extremosson P1(x1, y1) y P2(x2, y2)

EJEMPLO 7 Punto de division en una razon dada Halla las coorde-nadas de un punto P (x, y) que divida al segmento determinado por P1(1, 7) yP2(6,−3) en la relacion r = 2/3

Solucion Como la relacion es positiva P1P y PP2 han de ser del mismo sentidoy, por tanto, el punto P (x, y) estara situado entre los puntos dados extremosdel segmento;

r = P1PPP2

= 23 x = x1+rx2

1+3 = 3, y = y1+ry21+3 = 3

El punto buscado es (3, 3).

1.2. ECUACIONES DE RECTAS 15

1.2. Ecuaciones de rectas

1.2.1. Introduccion

Dos puntos distintos cualesquiera en el plano xy determinan una lınea rectaunica. Nuestro objetivo en esta seccion es hallar ecuaciones de rectas. El con-cepto fundamental para plantear estas ecuaciones es la pendiente de una recta.

1.2.2. Pendiente

Si P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son dos puntos tales que x1 6= x2, entonces elnumero

m =y2 − y1

x2 − x1(1.5)

se denomina pendiente de la recta determinada por estos dos puntos. Se acos-tumbra decir que y2− y1 es el cambio en y o crecimiento de la recta; x2−x1

es el cambio en x o el recorrido de la recta. Por lo tanto, la pendiente 1.5 deuna recta es (figura 1.12)

m =crecimiento

recorrido(1.6)

Dos puntos cualesquiera de una recta determinan la misma pendiente. Para en-

Figura 1.12: Pendiente de una recta

tender por que sucede ası, considera los dos triangulos rectangulos semejantes dela figura 1.13 Puesto que sabemos que las razones de los lados correspondientesen triangulos semejantes son iguales, tenemos

y2−y1x2−x1

= y4−y3x4−x3

.

De ahı que la pendiente de una recta sea independiente de la seleccion de puntosen la recta.En la figura 1.14 comparamos las graficas de rectas con pendientes positiva,negativa, cero e indefinida. En la figura 1.14a) vemos, de izquierda a derecha,que una recta con pendiente positiva (m > 0) se eleva conforma x aumenta.En la figura 1.14b) se muestra que una recta con pendiente negativa (m < 0)desciende a medida que x aumenta. Si P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son puntos sobreuna recta horizontal, entonces y1 = y2 y por tanto su elevacion es y2 − y1 = 0.


Figura 1.13: Pendiente de una recta

En consecuencia, por 1.5 tenemos que la pendiente es cero (m = 0) figura 1.14cSi P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son puntos sobre una recta vertical, entonces x1 = x2,por ende, el recorrido es x2− x1 = 0. En este caso, decimos que la pendiente dela recta es indefinida o que la recta no tiene pendiente figura1.14d En general,

Figura 1.14: Rectas con pendiente a-c; recta sin pendiente d

puesto que

y2−y1x2−x1

= −(y1−y2)−(x1−x2)

= y1−y2x1−x2

no importa cual de los dos puntos se llame P1(x1, y1) y cual se llame P1(x1, y1)en 1.5.

EJEMPLO1 Grafica y pendiente

Determina la pendiente de la recta que pasa por los puntos (−2, 6) y (3,−4).Traza la recta.

SolucionSea (−2, 6) el punto P1(x1, y1) y (3,−4) el punto P2(x2, y2). La pen-diente de la recta que pasa por estos puntos es

m = y2−y1x2−x1

= −4−63−(−2) = −10

5 = −2

Ası, la pendiente es −2 y la recta que pasa por P1 y P2 se muestra en la figura1.15.


Figura 1.15: Recta para el ejemplo 1

1.2.3. Ecuacion punto-pendiente

Ahora estamos en condiciones de plantear la ecuacion de una recta L. Paraempezar, supon que L tiene pendiente m y que P1(x1, y1) esta en la recta. SiP (x, y) representa cualquier otro punto en L, entonces 1.5 da

m = y−y1x−x1

Al multiplicar ambos miembros de esta igualdad por x − x1 se obtiene unaecuacion importante.

TEOREMA Ecuacion punto-pendiente

La ecuacion punto-pendiente de la recta que pasa por P1(x1, y1) con pendi-ente m es

y − y1 = m(x− x1) (1.7)

EJEMPLO 2 Ecuacion punto-pendiente Encuentra la ecuacion de la rectaque pasa por (− 3

2 , 2) con pendiente 6.

Solucion Sea m = 6, x1 = − 12 y y1 = 2; a partir de 1.7 obtenemos

y − 2 = 6[x− (− 12 )].

Simplificamos y obtenemos

y − 2 = 6(x + 12 ) o y = 6x + 5.

EJEMPLO 3 Ecuacion punto-pendiente Halla la ecuacion de la recta quepasa por los puntos (4, 3) y (−2, 5)

Solucion Primero calculamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos.Segun 1.5,

m = 5−3−2−4 = 2

−6 = − 13


La ecuacion 1.7 da entonces

y − 3 = − 13 (x− 4) o y = − 1

3x + 133

1.2.4. Ecuacion pendiente-interseccion-Ordenada al origen

Toda recta con pendiente (es decir, cualquier recta que no sea vertical) debecruzar necesariamente el eje y. Si esta interseccion con el eje y es (0, b), y1 = b,la forma punto-pendiente 1.7 da y − b = m(x − 0). Esta ultima ecuacion sesimplifica al resultado presentado a continuacion.

TEOREMA Ecuacion pendiente-interseccion

La ecuacion pendiente-interseccion de la recta con pendiente m e inter-seccion con el eje y (0, b) es

y = mx + b (1.8)

Cuando b = 0 en 1.8, la ecuacion y = mx representa una familia de rectas quepasan por el origen (0, 0).

EJEMPLO 4 Regreso al ejemplo 3 Tambien podemos usar la forma pendiente-interseccion 1.8 para obtener una ecuacion de la recta que pasa por los dos puntosdel ejemplo 3. Igual que en ese ejemplo, para empezar calculamos la pendientem = − 1

3 . La ecuacion de la recta es y = − 13x + b. La sustitucion de las coorde-

nadas de cualquiera de los dos puntos (4, 3) o (−2, 5) en la ultima ecuacion nospermite determinar b. Si usamos x = 4 y y = 3, entonces 3 = − 1

3 · 4 + b y, enconsecuencia, b = 3 + 4

3 . La ecuacion de la recta es y = − 13x + 13

3

1.2.5. Rectas horizontales y verticales

En la figura 1.14c) vimos que una recta horizontal tiene pendiente m = 0. Laecuacion de una recta horizontal que pasa por un punto (a, b) puede obtenersea partir de 1.7, es decir, y − b = 0(x− a) o y = b.

TEOREMA Ecuacion de una recta horizontal

La ecuacion de una recta horizontal con interseccion con el eje y en (0, b)es

y = b (1.9)

Una recta vertical que pasa por (a, b) tiene pendiente indefinida y todos los pun-tos que la forman tienen la misma coordenada x. La ecuacion de una rectavertical es como se expone a continuacion.


TEOREMA Ecuacion de una recta vertical

La ecuacion de una recta vertical con interseccion con el eje x en (a, 0)es

x = a (1.10)

1.2.6. Ecuacion lineal

Las ecuaciones 1.7, 1.8, 1.9 y 1.10 son casos especiales de la ecuacion linealgeneral en dos variables x e y

Ax + By + C = 0 (1.11)

donde a y b son constantes reales y las dos no son cero al mismo tiempo. Lacaracterıstica por la que 1.11 se llama lineal es que las variables x y y aparecenelevadas solo a la primera potencia.

A partir de la ecuacion general de la recta si c 6= 0, podemos sumar su op-uesto a ambos miembros y luego dividir ambos miembros entre −c para obtener

Ax−C + By

−C = 1

Si ademas, a y b tambien son distintos de cero, podemos escribir la ecuacionanterior como

x−CA

+ y−CB

= 1

Llamando ahora a = −CA y b = −C

B podemos escribir

xa + y

b = 1

Esta forma de ecuacion se llama ecuacion simetrica de la recta y tiene la ventajade que podemos ver explıcitamente en ella lo puntos en los que la recta cortaa los dos ejes, en efecto, si hacemos x = 0, obtenemos y = b y con y = 0,obtenemos x = a, es decir, la recta corta al eje Y en y = b y corta al eje X enx = a. La recta corta a ambos ejes en puntos distintos del origen si y solo si ensu ecuacion en la forma general, A 6= 0, B 6= 0 y C 6= 0.EJEMPLO5 Grafica de una ecuacion lineal Grafica la ecuacion lineal3x− 2y + 8 = 0

Solucion No hay necesidad de reescribir la ecuacion lineal en la forma y =mx + b; simplemente buscamos las intersecciones con los ejes:

Interseccion con el eje y: se extablece x = 0 para obtener −2y + 8 = 0, 0y = 4. La interseccion con el eje y es (0, 4).


Interseccion con el eje x: se establece y = 0 para obtener 3x + 8 = 0, ox = − 8

3 . La interseccion con el eje x es (− 83 , 0)

Como se muestra en la figura 1.16 la recta se traza a traves de las dos intersec-ciones (0, 4) y (− 8

3 , 0).

Figura 1.16: Recta del ejemplo 5

1.2.7. Rectas paralelas y perpendiculares

Supon que L1 y L2 son dos rectas y ambas tienen pendiente. Este supuestoimplica que ni L1 no L2 son rectas verticales. Entonces, por necesidad, L1 y L2

son paralelas o se intersecan. Si se intersecan enangulo recto, se dice que sonperpendiculares. Para determinar si dos rectas son paralelas o perpendicularesse examinan sus pendientes.

TEOREMA Rectas paralelas y perpendiculares

Si L1 y L2 son rectas con pendientes m1 y m2, respectivamente, entonces

L1 es paralela a L2 si y solo si m1 = m2.

L1 es perpendicular a L2 si y solo si m1m2 = −1.

Hay varias formas de comprobar los incisos del teorema. La comprobacion de laprimera parte se obtiene usando triangulos semejantes, como en la figura 1.17, yel hecho de que las razones de los lados correspondientes de dichos triangulos soniguales. Dejo la demostracion de la segunda parte como ejercicio para el lector.Debes tener en cuenta que la condicion m1m2 = −1 implica que m2 = − 1

m1,

es decir, las pendientes son recıprocos negativos. Una recta horizontal y = b yuna recta vertical x = a son perpendiculares, pero la segunda es una recta sinpendiente.EJEMPLO 6 Rectas paralelas Las ecuaciones lineales 3x+y = 2 y 6x+2y =15 pueden reescribirse en las formas pendiente-interseccion

y = −3x + 2 y y = −3x + 152


Figura 1.17: Rectas paralelas

respectivamente. La pendiente de cada recta es −3. Por tanto, las rectas sonparalelas.

EJEMPLO 7 Rectas perpendiculares Obten la ecuacion de la recta quepasa por (0,−3) y es perpendicular a la grafica de 4x− 3y + 6 = 0.

Solucion Expresamos la ecuacion lineal dada en forma pendiente-interseccion:

4x− 3y + 6 = 0 implica que 3y = 4x + 6

Dividimos entre 3 para obtener y = 43x + 2. Esta recta, tiene pendiente 4

3 . Lapendiente de cualquier recta perpendicular a la primera es el recıproco negativode 4

3 , es decir, − 43 . Como (0,−3) es la interseccion con el eje y de la recta

requerida, podemos escribir la ecuacion en la forma pendiente-interseccion y =− 4

3x− 3. (Grafica y comprueba)

1.2.8. Interseccion de rectas

Dadas dos rectas en el plano sucede uno y solo uno de los siguientes hechos:

Se cortan en un solo punto

Son paralelas y distintas

Son la misma recta

Un punto en el plano esta en dos rectas si satisface las ecuaciones de ambasrectas. Si tenemos las ecuaciones de dos rectas y queremos encontrar su inter-seccion, lo que debemos hacer es resolver simultaneamente el sistema formadopor ambas ecuaciones. Se pueden esperar entonces uno y solo uno de los resul-tados siguientes:

Hay un solo punto (x, y) que satisface ambas ecuaciones. Este es el puntodonde se cortan las dos rectas

Ningun punto satisface ambas ecuaciones. Las rectas son paralelas.


Las ecuaciones son equivalentes y todos los puntos que satisfacen a una,tambien satisfacen a la otra. Las dos ecuaciones representan la mismarecta

1.2.9. Distancia de un punto a una recta

Consideremos una recta l cualquiera y un punto P (x1,y1) que no este en larecta. La distancia de la recta l al punto P se define como la distancia de P alpunto de l que este mas cercano a el. Construyamos una recta k paralela a l quepase por P y la recta j, perpendicular a l que pasa por el origen, ver la figura...

Figura 1.18: Distancia de un punto a una recta

La recta j corta a l y a k en Q y R respectivamente. Observa en la figura...que la distancia de P a l es la misma que la distancia de Q a R. Para encontrar ladistancia debemos encontrar las coordenadas de Q y de R y aplicar la formulade la distancia entre dos puntos. Para encontrar las coordenadas de Q y R,escribimos las ecuaciones de l, k y j:

l:Ax + By + C = 0

k:Ax + By + C ′ = 0

j:Bx−Ay = 0

En la ecuacion de k aparece una constante C ′ que determinaremos posteri-ormente. Resolviendo simultaneamente las ecuaciones de l y j, obtenemos lascoordenadas de Q

Q( −ACA2+B2 , −BC

A2+B2 )

Resolviendo simultaneamente las ecuaciones de k y j, obtenemos las coordenadasde P

P ( −AC′

A2+B2 , −BC′

A2+B2 )

Calculamos ahora el cuadrado de la distancia de P a Q:


d2 = (AC−AC′)2

(A2+B2)2 + (BC−BC′)2

(A2+B2)2 ,

d2 = (C−C′)2

A2+B2

Extrayendo raız cuadrada, encontramos

d = (C−C′)

±√

A2+B2

Para determinar C ′, usamos el hecho de que P (x1, y1) pertenece a k, ası que(x1, y1) satisface la ecuacion de k:

Ax1 + By1 + C ′ = 0,

de donde

C ′ = −Ax1 −By1.

Sustituyendo el valor de C ′ en la ecuacion de la distancia obtenemos

d =Ax1 + By1 + C

±√

A2 + B2. (1.12)

Como la distancia debe ser un numero no negativo, el signo de la raız se escogepara que d sea positiva.

1.2.10. Desigualdades y regiones en el plano

Consideremos una recta en el plano. La recta divide al plano en tres conjun-tos:

El conjunto de puntos que estan en la recta.

La region formada por el conjunto de puntos que estan a un lado de larecta.

La region formada por el conjunto de puntos que estan al otro lado de larecta.

Consideremos una recta no vertical cuya ecuacion es y = mx+ b, los puntos queestan en la recta son precisamente los que satisfacen su ecuacion. Consideremosahora un punto P (x, y), que este en la parte del plano que esta arriba de larecta, como se observa en la figura. Si trazamos las rectas paralelas a los ejesque pasan por P , estas cortan a los ejes X e Y en las coordenadas x e y de P .La paralela al eje y corta a la recta dada en un punto Q que tiene la mismaprimera coordenada que P . Al trazar una paralela al eje x desde Q, obtenemosla segunda coordenada de Q

Q(x, y1)

Puesto que Q esta en la recta, tenemos


y1 = mx + b

Ademas, como P esta arriba de la recta, la segunda coordenada de P es mayorque la de Q, es decir,

y > y1

Por lo tanto

y > mx + b

Como el punto P fue elegido de manera arbitraria, arriba de la recta, cualquierotro punto que este de ese mismo lado de la recta satisface la desigualdad. Sitomamos ahora un punto cualquiera que este debajo de la recta obtendremos ladesigualdad:

y < mx + b

Resumiendo, una recta con ecuacion y = mx+b divide al plano en tres conjuntos:

Los puntos que estan en la recta y que satisfacen la ecuacion y = mx + b.

Los puntos que estan arriba de la recta y que satisfacen la desigualdady > mx + b.

Los puntos que estan debajo de la recta y que satisfacen la desigualdady < mx + b.

1.3. Cırculos y sus graficas

1.3.1. Introduccion

Tanto en esta como en las secciones proximas estudiaremos ecuacionescon dos variables, digamos x y y. Una ecuacion de este tipo es sencillamenteuna proposicion matematica que afirma que las cantidades que implican estasvariables son iguales. En los campos de las ciencias fısicas, ingenierıa y comercio,las ecuaciones en dos (o mas) son un medio de comunicacion. Por ejemplo, siun fısico desea comunicar a otro la distancia que recorre una piedra que se

1.3. CIRCULOS Y SUS GRAFICAS 25

deja caer desde una gran altura durante cierto tiempo t, escribira s = 9,8t2.Un matematico vera s = 9,8t2 y de inmediato lo considerara como cierto tipode ecuacion. La clasificacion de una ecuacion conlleva informacion acerca depropiedades que comparten todas las ecuaciones de ese tipo. De ahora en mas,nos dedicaremos a examinar diversas clases de ecuaciones que contienen dos omas variables, y a estudiar sus propiedades. A continuacion presentamos unamuestra de las ecuaciones que veras:

x = 1, x2 + y2 = 1, y = x2, y =√

x

y = 5x− 1, y = x3 − 3x, y2 = x− 1,x2

4 + y2

9 = 1, 12x2 − y2 = 1

1.3.2. Terminologıa

Una solucion de una ecuacion con dos variables x y y es un par ordenadode numeros (a, b) que produce una proposicion cierta cuando x = a e y = b sesustituyen en la ecuacion. Por ejemplo (−2, 4) es una solucion de la ecuaciony = x2 porque:4 = (−2)2 es una proposicion cierta. Tambien se dice que lascoordenadas (−2, 4) satisfacen la ecuacion. El conjunto de todas las solucionesde una ecuacion se llama conjunto solucion. Se dice que dos ecuaciones sonequivalentes si tienen el mismo conjunto solucion. Por ejemplo, veremos (ejem-plo 4 de esta seccion) que la ecuacion x2 + y2 +10x− 2y +17 = 0 es equivalentea (x + 5)2 + (y − 1)2 = 32.En la lista de ecuaciones que dimos al inicio podras objetar que la primeraecuacion x = 1, no contiene dos variables. ¡Es asunto de interpretacion! Comono hay una dependencia explıcita de y en la ecuacion, se puede interpretar quex = 1 es el conjunto

{(x, y)|x = 1, yε<}

Las soluciones de x = 1 son los pares ordenados (1, y) donde se tiene la libertadde escoger y de forma arbitraria, mientras sea un numero real. Por ejemplo (1, 0)y (1, 3) son soluciones de la ecuacion x = 1. La grafica de una ecuacion es larepresentacion visual, en el plano coordenado, del conjunto cuyas coordenadas(a, b) satisfacen la ecuacion. La grafica de x = 1 es la recta vertical que semuestra en la figura 1.19

1.3.3. Cırculos

Se puede usar la formula de la distancia que presentamos en la seccion an-terior para definir un conjunto de puntos en el plano coordenado. Uno de esosmuy importantes conjuntos se define como sigue.DEFINICION Cırculo

Un cırculo es el conjunto de todos los puntos P (x, y) en el plano coordenado


Figura 1.19: Grafica de la ecuacion x = 1

que estan a determinada distancia fija r, llamada radio, de un punto fijo dadoC, llamado centro.Si las coordenadas del centro son C(h, k), entonces, de acuerdo con la definicionanterior, un punto P (x, y) esta en un cırculo de radio r si y solo si

d(P,C) = r o√

(x− h)2 + (y − k)2 = r

Ya que√

(x− h)2 + (y − k)2 = r siempre es no negativo, se obtiene una ecuacionequivalente si los dos lados se elevan al cuadrado. Llegamos a la conclusion deque un cırculo de radio r y centro C(h, k) tiene la ecuacion

(x− h)2 + (y − k)2 = r2 (1.13)

En la figura 1.20 hemos trazado una grafica tıpica de una ecuacion con la forma

Figura 1.20: Cırculo con radio r y centro en (h, k)

de la ecuacion 1.13. La ecuacion 1.13 se llama forma normal, estandar ocanonica de la ecuacion de un cırculo. Se ve que los sımbolos h y k en 1.13representan numeros reales, y como tales pueden ser positivos, cero o negativos.Cuando h = 0 y k = 0, se ve que la forma normal de la ecuacion de un cırculocon centro en el origen es (figura 1.21)

x2 + y2 = r2 (1.14)

Cuando r = 1 se dice que 1.13 o 1.14 es una ecuacion de un cırculo unitario.Por ejemplo x2 + y2 = 1 es una ecuacion de un cırculo unitario con centro en elorigen.


Figura 1.21: Cırculo con radio r y centro en (0, 0)

EJEMPLO 1 Centro y radio Determina el centro y el radio del cırculo cuyaecuacion es

(x− 8)2 + (y + 2)2 = 49

Solucion Para obtener la forma normal de la ecuacion se escribe como sigue:

(x− 8)2 + (y − (−2)2)2 = 49

Al comparar esta ultima forma se identifican h = 8, k = −2 y r = 7. Ası, elcırculo tiene su centro en (8,−2) y su radio es 7.EJEMPLO 2 Ecuacion de un cırculo Halla la ecuacion del cırculo cuyocentro es C(−5, 4) y cuyo radio es

√2.

Solucion Al sustituir h = −5, k = 4 y r =√

2 en la ecuacion del cırculo, seobtiene:

(x− (−5))2 + (y − 4)2 = (√

2)2o(x + 5)2 + (y − 4)2 = 2

EJEMPLO 3 Ecuacion de un cırculo Halla la ecuacion del cırculo cuyocentro es C(4, 3) y que pasa por P (1, 4).Solucion Con h = 4 y k = 3, podemos escribir

(x− 4)2 + (y − 3)2 = r2

Como el punto P (1, 4) esta en el cırculo, como se ve en la figura 1.22, suscoordenadas deben satisfacer la ecuacion del cırculo, esto es,

(1− 4)2 + (4− 3)2 = r2 o r = 10

Entonces, la ecuacion que se pide en forma normal es

(x− 4)2 + (y − 3)2 = 10

1.3.4. Completar el cuadrado

Si los terminos (x− h)2 + (y − k)2 se desarrollan y se agrupan sus terminossemejantes, una ecuacion de un cırculo en forma normal se puede reescribir como

x2 + y2 + ax + by + c = 0 (1.15)


Figura 1.22: Cırculo del ejemplo 3

Naturalmente, en esta forma no se observan el centro y el radio. Para invertir elproceso, en otras palabras, para pasar de 1.15 a la forma normal 1.13, se debecompletar el cuadrado en x y en y. Recuerda que, al sumar (a/2)2 a unaexpresion como x2 +ax, se obtiene x2 +ax+(a/2)2 que es el cuadrado perfecto(x + (a/2))2. Al reordenar los terminos en 1.15,

(x2 + ax) + (y2 + by) = −c

y despues sumar (a/2)2 y (b/2)2 a los dos miembros de la ultima ecuacion,

(x2 + ax + (a2 )2) + (y2 + by + ( b

2 )2) = (a2 )2 + ( b

2 )2 − c

y se obtiene la forma normal de la ecuacion de un cırculo:

(x + a2 )2 + (y + b

2 )2 = 14 (a2 + b2 − 4c)

No debes memorizar la ultima ecuacion. Te recomiendo sigas el proceso decompletar el cuadrado cada vez que se te presente.EJEMPLO 4 Completar el cuadrado Determina el centro y el radio delcırculo cuya ecuacion es

x2 + y2 + 10x− 2y + 17 = 0

Solucion Para determinar el centro y el radio, se debe reescribir la ecuacion enla forma normal 1.13. Primero, se reordenan los terminos,

(x2 + 10x) + (y2 − 2y) = −17.

A continuacion se completa el cuadrado en x y y sumando, respectivamente,(10/2)2 dentro del primer parentesis, y (−2/2)2 en el segundo. Se debe hacercon cuidado, porque esos numeros se deben sumar en ambos miembros de laecuacion:

[x2 + 10x + ( 102 )2] + [y2 − 2y + (−2

2 )2] = −17 + ( 102 )2 + (−2

2 )2

(x2 + 10x + 25) + (y2 − 2y + 1) = 9(x + 5)2 + (y − 1)2 = 32

De acuerdo con la ultima ecuacion, se ve que el cırculo esta centrado en (−5, 1)y tiene radio 3, (Figura 1.23 ) Es posible que una expresion para la que se debecompletar el cuadrado tenga un primer coeficiente distinto de 1. Por ejemplo:


Figura 1.23: Cırculo del ejemplo 4

3x2 + 3y2 − 18x + 6y + 2 = 0

es una ecuacion de un cırculo. Como en el ejemplo 4, se comienza reordenandola ecuacion:

(3x2 − 18x) + (3y2 + 6y) = −2.

Sin embargo, ahora se debe dar un paso adicional antes de tratar de completarel cuadrado; esto es, se deben dividir ambos miembros de la ecuacion entre 3para que los coeficientes de x2 y y2 sean 1:

(x2 − 6x) + (y2 + 2y) = − 23 .

En este momento ya se pueden sumar los numeros adecuados en cada conjuntode parentesis y tambien al miembro de recho de la igualdad. Comprueba que laforma normal que resulta es (x− 3)2 + (y + 1)2 = 28

3 .

1.3.5. Semicırculos

Si se despeja y de 1.14, el resultado es y2 = r2 − x2 o y = ±√

r2 − x2. Estaultima expresion equivale a dos ecuaciones, y = +

√r2 − x2 y y = −

√r2 − x2.

De igual manera, si se despeja de 1.14, se obtiene x = +√

r2 − y2 y x =−

√r2 − y2.

Por convencion, el sımbolo √ representa una cantidad no negativa; entonces, losvalores de y definidos por una ecuacion como y =

√r2 − x2 son no negativos.

Las graficas de las cuatro ecuaciones indicadas son, a su vez, la mitad superior,mitad inferior, mitad derecha y mitad izquierda del cırculo de la figura 1.21

1.3.6. Desigualdades

Un ultimo punto acerca de los cırculos: a veces se encuentran problemas enlos que se debe trazar el conjunto de puntos, en el plano xy, cuyas coordenadassatisfagan desigualdades como x2 + y2 < r2 o x2 + y2 ≥ r2 . La ecuacionx2 + y2 = r2 describe el conjunto de puntos (x, y) cuya distancia al origen (0, 0)es exactamente r. Por consiguiente, la desigualdad x2 + y2 < r2 describe elconjunto de puntos (x, y) cuya distancia al origen es menor que r. Dicho con


Figura 1.24: Semicırculos

otras palabras, los puntos (x, y) cuyas coordenadas satisfacen la desigualdadx2 + y2 < r2 estan en el interior del cırculo. En forma parecida, los puntos(x, y) cuyas coordenadas satisfacen x2 + y2 ≥ r2 estan ya sea en el cırculo, o enel exterior de el.

1.3.7. Graficas

Es dificil leer un periodico, o un texto cientıfico o comercial, navegar porinternet o hasta ver las noticias en TV sin observar representaciones graficasde datos. Hasta parece imposible ir mas alla de la primera pagina de un textode matematicas sin ver algun tipo de grafica. Hay tantas y diversas cantidadesrelacionadas por medio de ecuaciones, y tantas preguntas acerca del compor-tamiento de las cantidades relacionadas por la ecuacion que se pueden contestarmediante una grafica que la destreza de graficar ecuaciones con rapidez y ex-actitud, como la destreza para manejar el algebra con rapidez y exactitud, esmuy importante en la lista de conocimientos esenciales para el exito en un cursode matematicas. El resto de esta seccion hablaremos acerca de graficas en gen-eral, y en forma mas especıfica de dos aspectos importantes de las graficas deecuaciones.

1.3.8. Intersecciones

Puede ser util ubicar los puntos en los que la grafica de una ecuacion interse-ca los ejes coordenados cuando se traza a mano una grafica. Las intersecciones


con el eje x de la grafica de una ecuacion son los puntos en los que la graficacorta el eje x. Ya que todo punto del eje x tiene la ordenada (coordenada de y)0, las abscisas (coordenadas de x) de esos puntos, si las hay, se pueden determi-nar a partir de la ecuacion dada, haciendo y = 0 y despejando x. A su vez, lasintersecciones con el eje y de la grafica de una ecuacion son los puntos en losque su grafica corta el eje y. Las ordenadas de esos puntos pueden determinarseigualando x = 0 en la ecuacion y despejando a y (observa la figura 1.25)EJEMPLO 5 Intersecciones Determina las intersecciones con los ejes coor-

Figura 1.25: Intersecciones de una grafica con los ejes coordenados

denados de las graficas de las ecuaciones siguientes

a) x2 + y2 = 9 b) y = 2x2 + 5x− 12

Solucion a) Para determinar las intersecciones con el eje x se hace y = 0 y sedespeja x de la ecuacion resultante, x2 = 9:

x2 − 9 = 0 o (x− 3)(x + 3 = 0)

y se obtiene x = −3 y x = 3. Las intersecciones con el eje x de la grafica sonlos puntos (−3, 0) y (3, 0). Para calcular las intersecciones con el eje y se hacex = 0 y se resuelve −y2 = 9, o −y2 = −9. Como no hay numeros reales cuyocuadrado sea negativo, la conclusion es que la grafica de la ecuacion no corta eleje y.b) Si y = 0, se obtiene 2x2 + 5x − 12 = 0. Es una ecuacion cuadratica, y sepuede resolver factorizando o mediante la formula cuadratica. Con factorizacionse obtiene

(x + 4)(2x− 3) = 0

por lo que x = −4 y x = 32 . Las intersecciones con el eje x de la grafica son los

puntos (−4, 0) y ( 32 , 0). Ahora, si se hace x = 0 en la ecuacion y = 2x2 +5x−12,

de inmediato se obtiene y = −12. La interseccion con el eje y de la grafica es elpunto (0,−12).EJEMPLO 6 Regreso al ejemplo 4 Regresemos al cırculo del ejemplo 4,cuya ecuacion segun vimos es


x2 + y2 + 10x− 2y + 17 = 0

y determinemos las intersecciones con los ejes.Al hacer que y = 0 en x2 + y2 + 10x− 2y + 17 = 0, y usar la formula cuadraticapara resolver x2 + y2 + 10x + 17 = 0, se ve que las intersecciones con el eje x deeste cırculo son (−5− 2

√2, 0) y (−5 + 2

√2, 0). Si se hace x = 0, con la formula

cuadratica se ve que las raıces de la ecuacion y2 − 27 + 17 = 0 son numeroscomplejos. Como se ve en la figura 1.23, el cırculo no corta el eje y.

1.3.9. Simetrıa

Una grafica tambien puede tener simetrıa. La grafica de la ecuacion y = x2

se llama parabola. En la figura 1.26 se muestra que la grafica de y = x2 essimetrica respecto al eje y, porque la parte de la grafica que esta en el segundocuadrante es la imagen especular (de espejo) o la reflexion respecto al eje y

de esa parte de la grafica en el primer cuadrante. En general, una grafica es

Figura 1.26: Grafica con simetrıa con respecto al eje y

simetrica respecto al eje y si siempre que (x, y) es un punto de la grafica,(−x, y) tambien es un punto de ella. Debes notar, en la figura 1.26 que los puntos(1, 1) y (2, 4) estan en la grafica. Como esta tiene simetrıa respecto del eje y,los puntos (−1, 1) y (−2, 4) deben estar tambien en la grafica. Se dice que unagrafica es simetrica respecto al eje x si siempre que (x, y) es un punto dela grafica, (x,−y) tambien es un punto de la grafica. Por ultimo, una grafica essimetrica con respecto al origen si cuando (x, y) esta en la grafica, (−x,−y)tambien es un punto de la grafica. En la figura 1.27 se ilustran estos tres tiposde simetrıa. Observa que la grafica del cırculo en la figura 1.21 tiene las tressimetrıas anteriores. En la practica deseamos saber si una grafica tiene algunasimetrıa antes de trazarla. Eso se puede saber aplicando las pruebas siguientesa la ecuacion que define la grafica.TEOREMA Pruebas de simetrıaLa grafica de una ecuacion es simetrica respecto a:

1. el eje y si al sustituir x por −x se obtiene una ecuacion equivalente;


Figura 1.27: Simetrıas en una grafica

2. el eje x si al sustituir y por −y se obtiene una ecuacion equivalente;

3. el origen si al sustituir x por −x y y por −y se obtiene una ecuacionequivalente.

La ventaja de usar simetrıas al graficar deberıa ser manifiesta. Por ejemplo, sila grafica de una ecuacion es simetrica respecto al eje x solo se necesita trazarla grafica para y ≥ 0, porque los puntos de la grafica para y < 0 se obtienencomo imagenes especulares con respecto al eje x de los puntos en el primero ysegundo cuadrantes.EJEMPLO 7 Prueba de simetrıa Reemplazando x por −x en la ecuaciony = x2 y usando (−x2) = x2 se ve que

y = (−x)2 es equivalente a y = x2

Esto demuestra lo que se observa en la figura 1.26: que la grafica de y = x2 essimetrica respecto al eje y.EJEMPLO 8 Intersecciones y simetrıa Determina las intersecciones conlos ejes y la simetrıa de la grafica de

x + y2 = 10

SolucionIntersecciones con el eje x: se hace y = 0 en la ecuacion dada y de inmediatose obtiene x = 10. La grafica de la ecuacion tiene una sola interseccion con eleje x, (10, 0). Cuando x = 0 se obtiene y2 = 10, lo que implica que y = −

√10 o

y =√

10. Entonces, hay dos intersecciones con el eje y, (0,−√

10) y (0,√

10).Simetrıa: si se sustituye x por −x en la ecuacion se obtiene −x2 +y2 = 10. Esteresultado no equivale a dicha ecuacion. Tambien debes verificar que al sustituirx y y por −x y −y no se obtiene una ecuacion equivalente. Sin embargo, si sesustituye y por −y, se encuentra que

x + (−y)2 = 10 es equivalente a x + y2 = 10


Entonces, la grafica de la ecuacion es simetrica respecto al eje x.Grafica: en la grafica de la ecuacion que se muestra en la figura 1.28, las inter-secciones se indican y debes notar la simetrıa con respecto al eje x

Figura 1.28: Simetrıas en una grafica

Capıtulo 2

Funciones y graficas

2.1. Producto cartesiano

Sin que esto sea una definicion, un par ordenado es un conjunto que tienedos elementos, es decir, es un par, y un criterio para decidir cual es el primerelemento del par y cual es el segundo elemento del par.Si los elementos del par ordenado son a y b y a es el primer elemento del par yb es el segundo elemento del par, escribiremos (a, b).Dos pares ordenados (a, b) y (c, d) son iguales si y solo si a = c y b = d.Definicion si A y B son dos conjuntos, el producto cartesiano de A y B es elconjunto A×B de los pares ordenados (a, b) con a en A y b en B. En sımbolos

A×B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}

Notemos que A×B 6= B ×A, si A 6= B, A 6= ∅ y B 6= ∅.Simbolizaremos por A2 el producto cartesiano de A×A.En el caso en que sea A = B = <, la correspondencia establecida entre el con-junto < de los numeros reales y los puntos de una recta, permite establecer unacorrespondencia entre los puntos de un plano y los elementos de <2. Por estacorrespondencia, cada punto del plano esta determinado por un par ordenado denumeros reales y cada punto del plano determina un par ordenado de numerosreales.

EJEMPLO Para A = {3, 6,−2} y B = {4, 2}, los elementos de A×B seran

A×B = {(3, 4), (3, 2), (6, 4), (6, 2), (−2, 4), (−2, 2)}

EJEMPLO Para A = {3, 6,−2} y B = {4, 2}, los elementos de B ×A seran

B ×A = {(4, 3), (4, 6), (4,−2), (2, 3), (2, 6), (2,−2)

Observacion Queda como ejercicio el que dibujes los puntos de ambos productosy atiendas a las diferencias entre ambos.

35

36 CAPITULO 2. FUNCIONES Y GRAFICAS

EJEMPLO Para A = {n ∈ Z|2 < n < 5} y B = {x, y, z}, encuentra A×B.Solucion Observamos que A = {3, 4}, entonces

A×B = {(3, x), (3, y), (3, z), (4, x), (4, y), (4, z)}

EJEMPLO Si A = {x, y, z} y B = {x, y} encuentra (A×B) ∩ (B ×A).Solucion

A×B = {(x, x), (x, y), (y, x), (y, y), (z, x), (z, y)}A×A = {(x, x), (x, y), (x, z), (y, x), (y, y), (y, z)}

Entonces

(A×B) ∩ (B ×A) = {(x, x), (x, y), (y, x), (y, y)}

2.2. Relaciones

Definicion Sean A y B dos conjuntos; todo subconjunto de A×B se llamarelacion de A en B.Si R es una relacion de A en A, diremos simplemente que R es una relacion enA.Si R ⊂ A×B, es decir, es una relacion de A en B y (a, b) es un elemento de R

escribiremos aRb.El dominio de definicion de R, o simplemente el dominio de R, es el conjuntode todos los elementos de A que son primeros elementos de los pares ordenadosde R. En sımbolos

D(R) = {a|(a, b) ∈ R}

El dominio de imagenes o rango de R es el conjunto de los elementos de B queson segundos elementos de los pares de R. En sımbolos,

I(R) = {b|(a, b) ∈ R}

Analizamos ahora los siguientes ejemplos.

1. Sea A el conjunto de todas las rectas de un plano α y sea R el conjuntode los pares (a, b) de A × A en que r1 es paralela a r2. En este caso eldominio y el rango de R es todo A.

2. Sea A el conjunto de los numeros naturales mayores que 1, y sea R elconjunto de pares (a, b) ∈ A×A, y tales que a es divisor de b. El dominiode R es todo A y el rango de R es el conjunto de los numeros que no sonprimos.

3. Sea S la relacion definida en el conjunto R de los numeros reales definidapor

2.2. RELACIONES 37

S = {(x, y)|x2 + y2 = 25}

El dominio y el rango de S es el intervalo [−5, 5]. La grafica de S es unacircunferencia con centro en el origen y radio 5.

4. Sea T la relacion definida en < por

T = {(x, y)|y ≤ 2x + 3}

El dominio y el rango de T es el conjunto <, y la grafica de T es el conjuntode todos los puntos de la recta y = 2x+3 y los puntos del plano que estanpor debajo de dicha recta.

5. Sea R la relacion definida en < por

R = {(x, y)|y = x2}

Entonces D(R) e I(R) = [0,+∞). La grafica de R es una parabola cuyo ejede simetrıa es el eje y y cuyo vertice es el origen del sistema de coordenadas.

DEFINICION Una relacion R definida en un conjunto A es reflexiva si y so-lamente si contiene a la diagonal de A×A, es decir, si y solo si xRx, cualquierasea x ∈ A.

Ejemplos

1. La relacion de igualdad es reflexiva.

2. La relacion de inclusion es reflexiva.

3. La relacion divide es reflexiva.

DEFINICION Una relacion R definida en un conjunto A es simetrica si siem-pre que (x, y) ∈ R, entonces (y, x) ∈ R, es decir, si xRy entonces yRx. Anal-izamos los ejemplos siguientes.

1. La relacion de paralelismo definida en el conjunto de rectas de un planoes una relacion simetrica.

2. La relacion de perpendicularidad definida en el conjunto de rectas de unplano α es simetrica.

3. la relacion es congruente con, definida en el conjunto de triangulos es unarelacion simetrica.

DEFINICION Una relacion R definida en un conjunto A se dice que es anti-simetrica si siempre que (x, y) ∈ R e (y, x) ∈ R, entonces x = y. Es decir xRy

e yRx entonces x = y. Veamos algunos ejemplos.


1. La relacion divide definida en ℵ es antisimetrica.

2. La relacion ≤ es antisimetrica.

DEFINICION Una relacion R definida en A es transitiva si (x, y) ∈ R e(y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R.

1. La relacion de paralelismo definida en el conjunto de rectas de un planoα es transitiva

2. La relacion divide definida en el conjunto Z es transitiva.

3. La relacion es multiplo de definida en Z es transitiva.

4. La relacion < es una relacion transitiva.

Existen varios tipos de relaciones que son de particular importancia. Estudiare-mos una en particular, debido a la gran importancia que reviste y es la relacionfuncional o funcion.

2.3. Relacion Funcional o funcion

.Definicion Sean A y B dos conjuntos y sea f una relacion de A en B;f es una funcion o aplicacion de A en B si y solamente si f cumple las doscondiciones siguientes:

1. Para todo x ∈ A, existe y ∈ B tal que (x, y) ∈ R.

2. Para todo x ∈ A, y ∈ B, si (x, y) ∈ f y (x, y′) ∈ f , entonces y = y′.

La primera condicion nos dice que el dominio de una funcion f de A en B estodo A, D(f) = A, y la segunda condicion nos dice que a ningun elemento deA le puede corresponder por f dos o mas elementos de B. Las dos condicioneslas podemos reunir en una sola diciendo:

Cualquiera sea x ∈ A existe un unico y ∈ B tal que (x, y) ∈ f .

Si f es una funcion de A en B, el conjunto A es el dominio y el conjuntoB el codominio de f .Si el par (x, y) ∈ f , diremos que f aplica x en y; el elemento y se llama imagende x por f y se simboliza por f(x), que se lee f de x ; la imagen de x por f

suele llamarse tambien el valor de la funcion f en x. Si y = f(x), x se llamapreimagen de y.Si X es un subconjunto de A, el dominio de una funcion f de A en B, la ima-gen de X simbolizada por f(X), es el conjunto de los elementos de B que sonimagenes de los elementos de X. En sımbolos:

2.4. TERMINOLOGIA 39

f(X) = {y ∈ B|∃x ∈ B, y = f(x)}

Con esta notacion, el rango de una funcion f de A en B lo podemos simbolizarpor f(A). Para indicar que f es una funcion de A en B, escribimos f : A −→ B.Notemos que desde un punto de vista no formal, una funcion de un conjunto A

en un conjunto B es una regla o coleccion de reglas, que hace corresponder acada elemento del conjunto A un unico elemento del conjunto B.Ejemplos.

1. Sea A el conjunto de alumnos que figuran en la lista para dar examende Algebra en la primera oportunidad, y B el conjunto cuyos elementosson la palabra ausente, y los numeros 1, 2, 3, 4, 5. La relacion que asignaa cada alumno que dio examen uno de los numeros 1, 2, 3, 4 0 5, y lapalabra ausente al alumno que no se presento al examen, es una funciondel conjunto A en el conjunto B. d(f) = A y f(A) = B.

2. Sea A el conjunto de seres humanos y B el conjunto de mujeres. La cor-respondencia que asigna su madre a cada elemento de A es una funcion.Notemos que en este caso f(A) 6= B.

3. Sea A el conjunto de clubes de la Asociacion Paraguaya de Futbol, y seaB el conjunto de los numeros naturales. La correspondencia que a cadaclub hace corresponder el numero de goles que han marcado hasta la fechaes una funcion. Notemos que en este caso f(A) 6= B.

4. Sea A = B el conjunto de los numeros enteros y hagamos corresponder acada elemento su triplo. La regla ası definida es una funcion.Notemos que la regla de asignacion en el ejemplo 4 puede ser dada poruna formula; tenemos que si x ∈ A, f(x) = 3x.

2.4. Terminologıa

Daremos a continuacion algunas nomenclaturas.Si f es una funcion cuyo dominio es un subconjunto de los numeros reales, f sellama funcion real de variable real.Si el codominio de una funcion f es el conjunto <, f se llama funcion de valoresreales, o mas sencillamente funcion real.Si f es una funcion real de variable real, la grafica de f es el conjunto de lospuntos del plano de coordenadas (x, f(x)).EJEMPLO 1 La funcion elevar al cuadradoLa regla para elevar al cuadrado un numero real es la ecuacion y = x2 o f(x) =x2. Los valores de f en x = −5 y x =

√7 se obtienen sustituyendo x, cada vez,

por los numeros −5 y x =√

7:


Figura 2.1: Dominio y rango de una funcion f

f(−5) = (−5)2 = 25 y f(√

7) = (√

7)2 = 7

EJEMPLO 2 Dominio y rangoEn el ejemplo 1, como todo numero real x se puede elevar al cuadrado, y elcuadrado x2 es otro numero real, f(x) = x2 es una funcion de R a R, esto es,f : R −→ R. En otras palabras, el dominio de f es el conjunto R de los numerosreales. Usando la notacion de intervalos, el dominio tambien se expresa como(−∞,∞). El rango de f es el conjunto de los numeros reales no negativos, o[0,∞); esto se debe a que x2 ≥ 0 para todo numero real x.

Dominio de una funcion Como se vio antes, en general no se especifica eldominio de una funcion y = f(x) que se define por una formula. A menos quese indique o este implıcito lo contrario, se sobreentiende que:El dominio de una funcion f es el mayor subconjunto del conjunto de numerosreales para los que f(x) es un numero real.A este conjunto se le llama a veces dominio natural o dominio implıcitode la funcion. Por ejemplo, no se puede calcular f(0) de la funcion recıprocaf(x) = 1/x, ya que 1/0 no esta definido. En este caso se dice que f esta in-definida en x = 0. Como todo numero real distinto de cero tiene un recıproco,el dominio de f(x) = 1/x es el conjunto de los numeros reales excepto 0. Conel mismo razonamiento se ve que la funcion g(x) = 1/(x2 − 4) no esta definidaen x = −2 o en x = 2, por lo que su dominio es el conjunto de los numerosreales, excepto −2 y 2. La funcion raız cuadrada h(x) =

√x no esta definida en

x = −1, porque√−1 no es un numero real. Para que h(x) =

√x este definido

en el sistema de los numeros reales, se requiere que el radicando, que en estecaso simplemente es x sea no negativo. En la desigualdad x ≥ 0 se ve que eldominio de la funcion h es el intervalo [0,∞).EJEMPLO 3 Dominio y rangoDetermina el dominio y el rango de f(x) = 4 +

√x− 3

Solucion El radicando x − 3 debe ser no negativo. Al resolver la desigualdadx − 3 ≥ 0 se obtiene x ≥ 3, por lo que el dominio de f es [3,∞). Ahora, comoel sımbolo √ representa la raız cuadrada principal de un numero,

√x− 3 ≥ 0

para x ≥ 3y, en consecuencia, 4 +√

x− 3 ≥ 4. El valor mınimo de f(x) esta enx = 3, y es f(3) = 4 +

√0 = 4. Ademas, debido a que x − 3 y

√x− 3 crecen

2.5. GRAFICAS 41

cuando x toma valores cada vez mayores, llegamos a la conclusion de que y ≥ 4.En consecuencia, el rango de f es [4,∞).EJEMPLO 4 Dominio de f

Determina el dominio de f(x) =√

x2 + 2x− 15Solucion Como en el ejemplo 3, la expresion bajo el signo radical, el radicando,debe ser no negativa, esto es, el dominio de f es el conjunto de los numerosreales x apra los cuales x2 + 2x− 15 ≥ 0 o (x− 3)(x + 5) ≥ 0. Resolviendo estadesigualdad vemos que su conjunto solucion esta dado por (−∞,−5] ∪ [3,∞)que es el dominio de f .EJEMPLO 5 Dominios de dos funcionesDetermina el dominio de a)g(x) = 1√

x2+2x−15y b)h(x) = 5x

x2−3x−4

Solucion Una funcion representada por una expresion fraccionaria no esta defini-da en los valores de x para los cuales su denominador es igual a 0a) La expresion bajo el radical es la misma que la del ejemplo 4, como x2+2x−15esta en el denominador, entonces x2+2x−15 6= 0. Esto excluye a x = −5 y x = 3.Por anadidura x2 + 2x− 15 ≥ 0 para todos los demas valores de x. Entonces, eldominio de la funcion g es la union de dos intervalos abiertos (−∞,−5)∪(3,∞).b) Como el denominador de h(x)sepuedefactorizar

x2 − 3x− 4 = (x + 1)(x− 4)

se ve que (x + 1)(x− 4) = 0 para x = −1 y x = 4. En contraste con la funciondel inciso a) estos son los unicos numeros para los que h no esta definida. Porconsiguiente, el dominio de la funcion h es el conjunto de los numeros reales,excepto a x = −1 y x = 4.Con la notacion de intervalos, el dominio de h en el inciso b) del ejemplo sepuede escribir como sigue:

(−∞,−1) ∪ (1, 4) ∪ (4,∞).

Como alternativa para esta complicada union de intervalos disjuntos, tambiense puede expresar este dominio en notacion de conjuntos como {x|x un numeroreal, x 6= −1 y x 6= 4}.

2.5. Graficas

Con frecuencia se usa una funcion para describir fenomenos en ciencias, in-genierıa y comercio. Para interpretar y utilizar datos se aconseja mostrarlos enforma de una grafica. La grafica de una funcion f es la grafica del conjunto depares ordenados (x, f(x)), donde x esta en el dominio de f . En el plano xy, unpar ordenado (x, f(x)) es un punto, y entonces la grafica de una ecuacion es unconjunto de puntos. Si una funcion esta definida por una ecuacion y = f(x),entonces la grafica de f es la grafica de la ecuacion. Para obtener puntos de la


grafica de una ecuacion y = f(x) se escogen numeros adecuados x1, x2, x3, ...

en su dominio, se calculan f(x1), f(x2), f(x3), ... se grafican los puntos corre-spondientes (x1, f(x1)), (x2, f(x2)), (x3, f(x3)), ..., y a continuacion se unen esospuntos con una curva (figura 2.2). Debes tener en cuenta que:

un valor de x es una distancia dirigida desde el eje y

un valor de funcion f(x) es una distancia dirigida desde el eje x

Figura 2.2: Puntos en la grafica de una ecuacion y = f(x)

2.6. Comportamiento en los extremos

Cabe aclarar algo acerca de las figuras. Con pocas excepciones, en general noes posible mostrar la grafica completa de una funcion, y entonces se muestransolo las caractarısticas mas importantes de ella. En la figura 2.3 debes notarque la grafica baja en sus lados izquierdo y derecho. A menos que se indique locontrario, podremos suponer que no hay sorpresas mas alla de las que hemosmostrado, y que la grafica solo continua en la forma indicada. La grafica de lafigura 2.3a) indica el llamado comportamiento en los extremos, o compor-tamiento global de la funcion: para un punto (x, y) en la grafica, los valoresde la coordenada y se vuelven infinitos en magnitud en la direccion descendenteo negativa a medida que la coordenada x se vuelve infinita en magnitud tantoen la direccion negativa como en la direccion positiva en la recta numerica. Esconveniente describir este comportamiento en los extremos mediante los sımbo-los

y −→ −∞ cuando x −→ −∞y

y −→ −∞ cuando x −→∞

El sımbolo −→ se lee tiende a. Ası, por ejemplo, y −→ −∞ cuando x −→∞ selee ası: y tiende al infinito por la izquierda cuando x se acerca al infinito.

2.7. PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL 43

Figura 2.3: Prueba de la recta vertical

2.7. Prueba de la recta vertical

De acuerdo con la definicion de funcion, sabemos que a cada x del dominiode f corresponde solo un valor f(x) del rango. Eso quiere decir que una rectavertical que corte la grafica de una funcion y = f(x) (equivale a escoger unax) solo lo puede hacer una vez. Al reves, si cada recta vertical que corta unagrafica de una ecuacion lo hace cuando mucho en un punto, entonces la graficaes de una funcion. A esta ultima proposicion se le llama prueba de la rectavertical de una funcion (figura 2.3a). Por otra parte, si alguna recta vertricalinterseca una grafica de una ecuacion mas de una vez, la grafica no es la de unafuncion (figura 2.3b y 2.3c). Cuando una recta vertical interseca una grafica envarios puntos, el mismo numero x corresponde a diferentes valores de y, lo quecontradice la definicion de funcion.Si se tiene una grafica precisa de una funcion y = f(x), con frecuencia es posiblever el dominio y el rango de f . En la figura 2.4 se supone que la curva es lagrafica completa de una funcion f . El dominio de f es, entonces, el intervalo[a, b] en el eje x y el rango es el intervalo [c, d] en el eje y. acerca al infinito.

Figura 2.4: Interpretacion grafica del dominio y rango

EJEMPLO 6 Regreso al ejemplo 3En la grafica de f(x) = 4+

√x− 3, de la figura..., se ve que el dominio y el rango

de f son, respectivamente [3,∞) y [4,∞). Esto concuerda con los resultados delejemplo 3.


Figura 2.5: Grafica de la funcion del ejemplo 6

Como se vio en la figura 2.3b, un cırculo no es la grafica de una funcion. En reali-dad, una ecuacion como x2+y2 = 9 define (al menos) dos funciones de x. Si estaecuacion se resuelve para y en funcion de x, se obtiene y = ±

√9− x2. Debido

a la convencion del valor unico del signo √, ambas ecuaciones, y =√

9− x2

y y = −√

9− x2, definen funciones. Como vimos anteriormente, la primeraecuacion define un semicırculo superior, y la segunda define a un semicırculo in-ferior. De las graficas que se muestran en la figura 2.6, el dominio de y =

√9− x2

es [−3, 3] y el rango es [0, 3]; el dominio y el rango de y = −√

9− x2 son [−3, 3]y [−3, 0], respectivamente.

Figura 2.6: Estos semicırculos son graficas de funciones

2.8. Intersecciones con los ejes

A fin de graficar una funcion definida por una ecuacion y = f(x), se sueleaconsejar que primero se determine si la grafica de f interseca los ejes. Recuerdaque todos los puntos del eje y tienen la forma (0, y). Ası, si 0 esta en el dominiode una funcion f , la interseccion con el eje y es el punto cuya ordenadaes f(0); en otras palabras, es (0, f(0)) (figura 2.7) De igual modo, todos lospuntos en el eje x tienen la forma (x, 0). Eso quiere decir que para determinarlas intersecciones con el eje x de la grafica de y = f(x) se determinan los valoresde x que hacen y = 0. Esto es, se debe despejar x de la ecuacion f(x) = 0. Unnumero c para el cual

2.8. INTERSECCIONES CON LOS EJES 45

f(c) = 0

se llama cero de la funcion f , o raız (o solucion) de la ecuacion f(x) = 0.Los ceros reales de una funcion f son las coordenadas x de las interseccionescon el eje x de la grafica de f . En la figura...b hemos ilustrado una funcionque tiene tres ceros, x1, x2 y x3, porque f(x1) = 0,f(x2) = 0 y f(x3) = 0.Las tres correspondientes intersecciones con el eje x, (x1, 0), (x2, 0) y (x3, 0).Naturalmente, la grafica de una funcion puede no tener intersecciones con losejes, lo cual se ve en la figura 2.5 Una grafica no necesariamente tiene que

Figura 2.7: Intersecciones de la grafica de una funcion f

cortar un eje coordenado en una interseccion. La grafica podrıa ser simplementetangente al eje, es decir, podrıa tocarlo. En la grafica 2.7c, la grafica de y = f(x)es tangente al eje x en (x1, 0). Tambien, la grafica de una funcion f puede tenercuando mucho una interseccion con el eje y ya que, si 0 esta en el dominio def , solo puede corresponderle un valor de y, que serıa y = f(0).


EJEMPLO 7 Intersecciones con los ejesDetermina las intersecciones con los ejes coordenados de la funcion indicada.

a) f(x) = x2 + 2x− 2 b) x2−2x−3x

Solucion Ejercicio para el lector. Comprueba que, para la parte a) la intersec-cion con x es el punto (0, 2). Con el eje y, los puntos (1−

√3, 0) y (1 +

√3, 0).

Para la parte b) la grafica no tiene interseccion con el eje y. Con el eje x lasintersecciones son los puntos de coordenadas (−1, 0) y (3, 0).

2.9. Simetrıa y transformaciones

2.9.1. Introduccion

Vamos a describir ahora dos ayudas para trazar graficas de funcion en formarapida y exacta. Si determinas antes que la grafica de una funcion tiene algunasimetrıa, entonces puedes disminuir el trabajo a la mitad. Ademas, el trazo deuna grafica de una funcion aparentemente complicada se acelera si se reconoceque en realidad la grafica que se pide es una transformacion de la graficade unafuncion mas sencilla.

2.9.2. Funciones potencia

Una funcion que tenga la forma

f(x) = xn

donde n representa un numero real, se llama funcion potencia. El dominiode una funcion potencia depende de la potencia n. Por ejemplo, ya hemos vistoque para n = 2, n = 1

2 y n = −1, respectivamente, que:

El dominio de f(x) = x2 es el conjunto R de los numeros reales, o sea(−∞,∞),

el dominio de f(x) = x1/2 =√

x es [0,∞),

el dominio de f(x) = x−1 = 1/x es el conjunto R de los numeros reales,excepto x = 0.

Las funciones sencillas de potencia, o las versiones modificadas de esas funcionesse presentan con tanta frecuencia en los problemas que te sugiero analices yaprendas el breve catalogo de graficas de funciones potencia de la figura 2.8.Probablemente ya sepas que la grafica del inciso a) de la figura es una recta yque la grafica del inciso b) se llama parabola.

2.9. SIMETRIA Y TRANSFORMACIONES 47

Figura 2.8: Breve catalogo de la funcion potencia f(x) = xn, para varias n

2.9.3. Simetrıa

Anteriormente describimos la simetrıa de una grafica respecto al eje y, al ejex y al origen. De esos tres tipos de simetrıas, la grafica de una funcion puedeser simetrica respecto al eje y o al origen, pero la grafica de una funcion distintade cero no puede ser simetrica respecto al eje x (¿porque? ) Si la grafica de unafuncion es simetrica respecto al eje y entonces, coo sabemos, los puntos (x, y) y(−x, y) estan incluidos en la grafica de f . Del mismo modo, si la grafica de unafuncion es simetrica respecto al origen, los puntos (x, y) y (−x,−y) aparecen enla grafica. Para las funciones, las dos siguientes pruebas de simetrıa son equiv-alentes a las vistas anteriormente.

DEFINICION Funciones pares e imparesSuponga que por cada x en el dominio de una funcion f , −x tambien esta in-cluida en su dominio. Se dice que:

1. Una funcion f es par si f(−x) = f(x).


2. Una funcion f es impar si f(−x) = −f(x).

En la figura 2.9 observa que si f es una funcion par y

(x, y) es un punto en su grafica, entonces necesariamente (−x, y)

tambien esta en su grafica. De igual modo, en la figura 2.10 se ve que si f es

Figura 2.9: Funcion par; la grafica tiene simetrıa con respecto al eje y

una funcion impar y

(x, y) es un punto en su grafica, entonces (−x,−y)

esta en su grafica. Hemos demostrado el teorema siguiente.

Figura 2.10: Funcion par; la grafica tiene simetrıa con respecto al origen

TEOREMA Simetrıa

1. Una funcion f es par si y solo si su grafica es simetrica respecto al eje y.

2. Una funcion f es impar si y solo si su grafica es simetrica respecto alorigen.

En el examen de las figuras 2.9 y 2.10 muestra que las graficas son simetricasrespecto al eje y y al origen, respectivamente. La funcion cuya grafica se presentaen la figura 2.11 no es par ni impar, por tanto, su grafica no tiene simetrıarespecto al eje y o al origen. En vista a lo analizado podemos determinar lasimetrıa de la grafica de una funcion en forma algebraica.


Figura 2.11: La funcion no es par ni impar: no hay simetrıa respecto al eje y nial origen

2.9.4. Transformaciones rıgidas

Una transformacion rıgida de una grafica es aquella que solo cambia laposicion de la grafica en el plano xy, pero no su forma. Por ejemplo, el cıfculo(x − 2)2 + (y − 3)2 = 1 con centro en (2, 3) y radio r = 1 tiene exactamentela misma forma que el cırculo x2 + y2 = 1, con centro en el origen. Se puedeimaginar que la grafica de (x − 2)2 + (y − 3)2 = 1 es la de x2 + y2 = 1, perodesplazada dos unidades horizontalmente a la derecha, y despues desplazadatres unidades verticalmente hacia arriba. En el caso de la grafica de una funciony = f(x), examinaremos cuatro clases de desplazamientos o traslaciones.

TEOREMA Desplazamientos horizontales y verticalesSupongamos que y = f(x) es una funcion y que c es una constante positiva.Entonces, la grafica de

1. y = f(x) + c es la grafica de f desplazada c unidades verticalmente haciaarriba.

2. y = f(x)− c es la grafica de f desplazada c unidades verticalmente haciaabajo.

3. y = f(x + c) es la grafica de f desplazada c unidades horizontalmentehacia la izquierda.

4. y = f(x − c) es la grafica de f desplazada c unidades horizontalmentehacia la derecha.

2.9.5. Combinacion de desplazamientos

En general, la grafica de una funcion

y = f(x± c1)± c2


Figura 2.12: Desplazamientos verticales y horizontales de la grafica de y = f(x),por una cantidad c > 0

Figura 2.13: Graficas desplazadas

donde c1 y c2 son constantes positivas, combina un desplazamiento horizontal(hacia la izquierda o derecha) con desplazamiento vertical (hacia arriba o haciaabajo). Por ejemplo, la grafica de y = f(x − c1 + c2 es la grafica de y = f(x)desplazada c1 unidades hacia la derecha, y despues c2 unidades hacia arriba.

EJEMPLO 3 Desplazamiento horizontal y vertical de una graficaGrafica y = (x + 1)2 − 1Solucion De acuerdo a lo anterior se ve que la funcion es de la forma y =f(x+c1)−c2, con c1 = 1 y c2 = 1. Ası la grafica de y = (x+1)2−1 es la graficade f(x) = x2 desplazada 1 unidad hacia la izquierda, seguida de un desplaza-miento de 1 unidad hacia abajo. En la grafica 2.14 se observa de inmediato queel rango de la funcion y = (x + 1)2 − 1 = x2 + 2x es el intervalo [−1,∞) del ejey. Tambien observa que la grafica tiene las intersecciones con el eje x en (0, 0)


Figura 2.14: Grafica desplazada del ejemplo 3

y (−2, 0); comprueba resolviendo x2 + 2x = 0.Otra forma de transformar rıgidamente la grafica de una funcion es con unareflexion respecto a un eje coordenado.

TEOREMA ReflexionesSupongamos que y = f(x) es una funcion. Entonces, la grafica de

1. y = −f(x) es la grafica de f reflejada en el eje x,

2. y = f(−x) es la grafica de f reflejada en el eje y.

Si una funcion f es par, entonces f(−x) = f(x) demuestra que una reflexion enel eje y serıa exactamente la misma grafica. Si una funcion es impar, entonces,f(−x) = −f(x) se ve que una reflexion de la grafica de f en el eje y es identicaa la grafica de f reflejada en el eje x.

2.9.6. Transformaciones no rıgidas

Si una funcion f se multiplica por una constante c > 0, cambia la forma dela grafica, pero se conserva aproximadamente, su forma original. La grafica dey = cf(x) es la de y = f(x) deformada de manera vertical’la grafica de f seestira (o se alarga, o se elonga) verticalmente, o se comprime (o se aplana) demanera vertical, lo cual depende del valor de c. El estiramiento o compresion deuna grafica son ejemplos de transformaciones rıgidas.

TEOREMA Estiramientos y compresiones verticalesSupongamos que y = f(x) es una funcion y que c es una constante positiva.Entonces, la grafica de y = cf(x) es la grafica de f

1. estirada verrticalmente por un factor de c unidades, si c > 1,

2. comprimida verticalmente por un factor de c unidades, si 0 < c < 1.


2.10. Funciones definidas por partes

2.10.1. Introduccion

Una funcion f puede contener dos o mas expresiones o formulas, cada unade ellas definida para diferentes partes del dominio de f . Una funcion definidade esta manera se llama funcion definida por partes. Por ejemplo,

g(x) =

{x2, x < 0

x + 1 x ≥ 0

no son dos funciones, sino una sola en la que la regla de correspondencia esta endos partes. En este caso,una parte se usa para los numeros reales negativos(x < 0) y la otra para los numeros no negativos (x ≥ 0); el dominio de f es launion de las partes (−∞, 0)∪ [0,∞) = (−∞,∞). Por ejemplo, como −4 < 0, laregla indica que se eleve al cuadrado el numero:

f(−4) = (−4)2 = 16;

pero, por otra parte, como 6 ≥ 0, se suma 1 al numero:

f(6) = 6 + 1 = 7.

EJEMPLO 1 Grafica de una funcion definida por partesGrafica la funcion definida por partes

f(x) =

−1 x < 0,

0 x = 0,

x + 1 x > 0.

Solucion Aunque el dominio de f consiste en todos los numeros reales (−∞,∞),cada parte de la funcion se define en una parte diferente de su dominio. Trazare-mos

la recta horizontal y = −1, para x < 0,

el punto (0, 0) para x = 0, y

la recta y = x + 1 para x > 0.

La grafica se muestra en la figura 2.15 El punto lleno en el origen de la figura 2.15indica que la funcion esta definida en x = 0 solo por f(0) = 0; los puntos vacıosindican que las formulas correspondientes a x < 0 y a x > 0 no definen f enx = 0. Como estamos construyendo funciones vamos a considerar la definicion:

g(x) =

{−1 x < 0,

x + 1 x > 0.

La grafica de g que se ve en la figura 2.16 se parece mucho a la grafica de lafuncion del ejemplo 1, pero no son la misma funcion porque f(0) = 0, perog(0) = −1

2.10. FUNCIONES DEFINIDAS POR PARTES 53

Figura 2.15: Grafica de la funcion definida por partes del ejemplo 1

Figura 2.16: Grafica de la funcion g

2.10.2. Funciones continuas

La grafica de una funcion continua no tiene agujeros, espacios vacıos fini-tos ni interrupciones infinitas. Si bien la definicion formal de continuidad deuna funcion es un tema importante de discusion en calculo, en este curso bas-ta imaginarla en terminos informales. Con frecuencia, una funcion continua secaracteriza al decir que su grafica puede trazarse sin levantar el lapiz del papel.Los incisos a a c de la figura... ilustran funciones que no son continuas, es decir,son discontinuas, en x = 2. La funcion

f(x) = x2−4x−2 = x + 2 con x 6= 2,

de la figura 2.17 a tiene un agujero en la grafica (no esta el punto (2, f(2)));la funcion f(x) = |x−2|

x−2 de la figura 2.17b tiene un hueco o salto finito en sugrafica, en x = 2; la funcion f(x) = 1

x−2 en la figura 2.17c tiene una interrup-cion infinita en su grafica, en x = 2. La funcion f(x) = x3 − 3x + 2 es continua;su grafica se ve en la figura 2.17d ; no tiene agujeros, huecos ni interrupcionesinfinitas.Debes tener en cuenta que las funciones constantes, lineales y cuadraticas soncontinuas. Las funciones definidas por partes pueden ser continuas o discontin-uas. Las funciones analizadas en el ejemplo 1 son discontinuas.


Figura 2.17: Funciones discontinuas a a c; funcion continua d

2.10.3. Funcion valor absoluto

A la funcion y = |x| se le llama funcion valor absoluto. Para obtener sugrafica se trazan sus dos partes, que consisten en semirrectas perpendiculares.Ejercicio para el lector, graficar la funcion valor absoluto.

y = |x| =

{−x x < 0,

x x ≥ 0.

Como y ≥ 0 para toda x, una forma de graficar esta funcion es tan solo trazarla recta y = x y reflejar en el eje x la parte de la recta que esta debajo de el.El dominio es el conjunto de los numeros reales, la funcion valor absoluto esuna funcion par, decreciente en el intervalo (−∞, 0) y creciente en el intervalo(0,∞); ademas, es continua.

2.11. Combinacion de funciones


Se pueden combinar dos funciones, f y g, de varias maneras para crear nuevasfunciones. En esta seccion examinaremos dos de esas maneras de combinar:mediante operaciones aritmeticas y por medio de la operacion de composicionde funciones.

2.11.2. Combinaciones aritmeticas

Dos funciones se pueden combinar mediante las cuatro conocidas operacionesaritmeticas de suma, resta, multiplicacion y division.

DEFINICION Combinaciones aritmeticasSi f y g son dos funciones, entonces la suma f + g, la diferencia f − g, elproducto fg y el cociente f/g se definen como sigue

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

2.11. COMBINACION DE FUNCIONES 55

(f − g)(x) = f(x)− g(x)

(fg)(x) = f(x)g(x)

( fg )(x) = f(x)

g(x) , siempre que g(x) 6= 0

EJEMPLO 1 Suma, diferencia, producto y cociente de funcionesSe tienen las funciones f(x) = x2 + 4x y g(x) = x2 − 9. De acuerdo con lasecuaciones 2.11.2 a 2.11.2 de la definicion anterior se pueden producir cuatrofunciones:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = 2x2 + 4x− 9,

(f − g)(x) = f(x)− g(x) = 4x + 9,

(fg)(x) = f(x)g(x) = x4 + 4x3 − 9x2 − 36x,

(f/g) = f(x)/g(x) = x2+4xx2−9 .

2.11.3. Dominio de una combinacion aritmetica

Al combinar aritmeticamente dos funciones es necesario que f y g estendefinidas en un mismo numero x. Por consiguiente, el dominio de las funcionesf +g, f −g, y fg es el conjunto de los numeros reales que son comunes a ambosdominios; esto es, el dominio es la interseccion del dominio de f y g. En el casodel cociente f/g, el dominio tambien es la interseccion de los dominios, perotambien se deben excluir todos los valores de x que hagan que el denominadorg(x) sea cero. En el ejemplo 1, el dominio de f y el dominio de g es el conjuntode los numeros reales (−∞,∞), por lo que el dominio de f + g y f − g y fg

tambien es (−∞,∞). Sin embargo, puesto que g(−3) = 0 y g(3) = 0, el dominiodel cociente (f/g)(x) es (−∞,∞) excepto x = −3 y x = 3; en otras palabras,es (−∞,−3) ∪ (−3, 3) ∪ (3,∞). En resumen, si el dominio de f es el conjuntoX1 y el dominio de g es el conjunto X2, entonces:

el dominio de f + g, f − g y fg es la interseccion X1 ∩X2, y

el dominio de f/g es el conjunto {x|X1 ∩X2, g(x) 6= 0}.

2.11.4. Composicion de funciones

Otro metodo para combinar las funciones f y g se llama composicion defunciones. Para ilustrar el concepto supongamos que para una x dada en eldominio de g, el valor de la funcion g(x) es un numero en el dominio de lafuncion f . Eso quiere decir que se puede evaluar f en g(x); en otras palabras,se puede evaluar f(g(x)). Supongamos que f(x) = x2 y que g(x) = x + 2.Entonces, cuando x = 1, g(1) = 3, y como 3 esta en el dominio de f , podemosescribir f(g(1)) = f(3) = 32 = 9. En realidad sucede que en el caso de estas


dos funciones en particular podemos evaluar f en cualquier valor de la gunciong(x), esto es,

f(g(x)) = f(x + 2) = (x + 2)2.

La funcion que resulta, llamada composicion de f y g, se define a continuacion.

DEFINICION Composicion de funcionesSi f y g son dos funciones, la composicion de f y g, representada por f ◦ g, esla funcion definida por

(f ◦ g) = f(g(x)).

La composicion de g y f , representada por g ◦ f , es la funcion definida por

(g ◦ f)(x) = g(f(x)).

Cuando se calcula una composicion como (f ◦ g)(x) = f(g(x)), no olvides susti-tuir g(x) cada vez que aparezca x en f(x). Analizamos el ejemplo siguiente.EJEMPLO 2 Dos composicionessi f(x) = x3 + 3x− 1 y g(x) = 2x2 + 1, halla a (f ◦ g)(x) y b (g ◦ f)(x).Soluciona)(f ◦ g)(x) = 4x4 + 10x2 + 3b) (g ◦ f)(x) = 2x4 + 12x3 + 14x2 − 12x + 3.Los incisos a) y b) del ejemplo ilustran que la composicion de funciones no esconmutativa. Esto es, en general

f ◦ g 6= g ◦ f .

2.11.5. Dominio de una composicion

Como vimos al inicio de esta seccion, para evaluar la composicion (f◦g)(x) =f(g(x)), el numero g(x) debe estar en el dominio de f . Por citar un caso, el do-minio f(x) =

√x es x ≥ 0, y el dominio de g(x) = x − 2 es el conjunto de los

numeros reales (−∞,∞). Ten en cuenta que no se puede evaluar f(g(1)), porqueg(1) = −1 y −1 no esta en el dominio de f . La funcion g(x) debe sarisfacer ladesigualdad que define el dominio de f , que es g(x) ≥ 0, para poder sustituirg(x) en f(x). Esta desigualdad es igual que x− 2 ≥ 0, o sea x ≥ 2. El dominiode la composicion f(g(x)) =

√g(x) =

√x− 2 es [2,∞), que solo es una parte

del dominio original, (−∞,∞), de g. En general,

El dominio de la composicion f ◦ g esta formado por los numeros

x en el dominio de g tales que g(x) este en el dominio de f .EJEMPLO 5 Dominio de una composicionExaminemos la funcion f(x) =

√x− 3. De acuerdo con el requisito que x−3 ≥ 0,

2.12. FUNCIONES INVERSAS 57

se ve que cualquier numero x que se sustituya en f debe satisfacer x ≥ 3. Aho-ra, supongamos que g(x) = x2 + 2, y que se desea evaluar f(g(x)). Aunque eldominio de g es el conjunto de los numeros reales, para sustituir a g(x) en f(x)se requiere que x sea un numero en ese dominio tal que g(x) ≥ 3. En la figura2.18 se observa que esta ultima desigualdad se satisface siempre que x ≤ −1 ox ≥ 1. En otras palabras, el dominio de la composicion

f(g(x)) = f(x2 + 2 =√

(x2 + 2)− 3 =√

x2 − 1

es (−∞,−1] ∪ [1,∞).

Figura 2.18: Dominio de (f ◦ g)(x) en el ejemplo 5

2.12. Funciones inversas


Recordemos que una funcion f es una regla de correspondencia que asigna acada valor x en su dominio X, un solo valor, o valor unico, y, en su rango. Estaregla no excluye que el mismo numero y este asociado con varios valores de x.Por citar un caso, para f(x) = x2 + 1, el valor y = 5 se presenta con x = −2,o bien con x = 2. Por otra parte, para la funcion g(x) = x3, el valor y = 64solo se presenta cuando x = 4. En realidad, para cada valor de y en el rango deg(x) = x3, solo corresponde un valor de x en el dominio. A las funciones de estaultima clase se les asigna un nombre especial.

DEFINICION Funcion inyectivaSe dice que una funcion f es inyectiva o uno a uno si cumple que:

x1 6= x2, entonces f(X1) 6= f(x2).

O lo que es equivalente,

Si f(x1) = f(x2) entonces x1 = x2


2.12.2. Prueba de la recta horizontal

Para funciones reales de variable real, esto significa geometricamente quecualquier recta horizontal corta a la grafica de la funcion en a lo mas un punto.Una funcion f : A 7−→ B se llama sobreyectiva si el conjunto de imagenes,

Figura 2.19: Prueba de la recta horizontal

llamado tambien rango y el codominio son el mismo conjunto, es decir, f(A) =B.Para que una funcion f : A 7−→ B sea invertible es necesario y suficiente quesea inyectiva y sobreyectiva, lo que comunmente se conoce como biyectiva.EJEMPLO 6 Funciones inyectivas¿Es inyectiva la funcion f(x) = 6x− 8?.Solucion Debemos probar que

si x1 6= x2, entonces f(x1 6= f(x2)

Lo que, como sabemos, equivale a probar que,

si f(x1 = f(x2), entonces x1 = x2.

Y esto se cumple en este caso, como puede verse de las siguientes igualdades

f(x1) = f(x2)

6x1 − 8 = 6x2 − 8

6x1 = 6x2

x1 = x2.

Por tanto, la funcion sı es inyectiva.EJEMPLO 7 Funciones inyectivasDecir si la grafica siguiente corresponde a una funcion inyectiva.Solucion Si trazamos la recta, por ejemplo, y = 10, observamos que corta a

la grafica en dos puntos: La grafica no corresponde a una funcion inyectiva.

2.12.3. Inversa de una funcion inyectiva y sobreyectiva

Supongamos que f es una funcion inyectiva y sobreyectiva cuyo dominio es X

y rango Y . Como todo numero y en Y corresponde precisamente a un numero x


Figura 2.20: Grafica del ejemplo 7

en X, la funcion f en realidad debe determinar una funcion ”inversa”f−1, cuyodominio es Y y rango es X. Como se ve en la figura.... f y f−1 deben satisfacer

f(x) = y y f−1(y) = x.

En realidad las ecuaciones 2.12.3 son las composiciones de f y f−1.

f(f−1(y)) = y y f−1(f(x)) = x.

A la funcion f−1 se le llama inversa de f , o funcion inversa de f . De acuerdocon la convencion que cada elemento del dominio se represente con el sımbolox, la primera ecuacion 2.12.3 se reacomoda en la forma f(f−1(x)) = x.

DEFINICION Funcion inversaSea f una funcion inyectiva y sobreyectiva con dominio X y rango Y . La in-versade f es la funcion f−1 cuyo dominio es Y y rango es X, para los cuales

f(f−1(x)) = x para toda x en Y

f−1(f(x)) = x para toda x en X.

Naturalmente, si una funcion f no es inyectiva y sobreyectiva, es decir, si f noes biyectiva no tiene inversa.

2.12.4. Propiedades

Mencionamos ahora algunas propiedades importantes de f y f−1.Propiedades de las funciones inversas

1. Dominio de f−1 = rango de f


2. Rango de f−1 = dominio de f

3. y = f(x) equivale a x = f−1(y)

4. Una funcion inversa f−1 es biyectiva

5. La inversa de f−1 es f , esto es, (f−1)−1 = f

6. La inversa de f es unica.

2.12.5. Graficas de f y f−1

Supon que (a, b) representa cualquier punto en la grafica de una funcionbiyectiva. Entonces, f(a) = b y

f−1(b) = f−1(f(a)) = a

implica que (b, a) es un punto en la grafica de f−1. Los puntos (a, b) y (b, a) sonreflexiones uno del otro, en la recta y = x. Eso quiere decir que la recta y = x esla mediatriz del segmento de recta que va de (a, b) a (b, a). Como cada punto enuna grafica es la reflexion de un punto correspondiente en la otra, las graficasde f−1 y f son reflexiones uno del otro en la recta y = x. Tambien se dice quelas graficas de f−1 jy f son simetricas respecto a la recta y = x.

Figura 2.21: Las graficas de f y f−1 son reflexiones en la recta y = x

2.12.6. Dominios restringidos

En el caso de una funcion f que no es biyectiva, se puede restringir sudominio de tal manera que la nueva funcion, que consista en f definida en estedominio restringido, sea biyectiva, y entonces tenga inversa. En la mayor partede los casos se quiere restringir el dominio para que la nueva funcion conservesu rango original. En el ejemplo siguiente ilustramos este concepto.EJEMPLO 8 Dominio restringidoLa funcion f(x) = x2 + 1 no es biyectiva (¿por que?). El dominio de f es


(−∞,∞), y como se observa en la figura 2.22 izquierda, el rango es [1,∞).Ahora bien, si f(x) = x2 + 1 solo se define en el intervalo [0,∞), se ven doscosas en la figura 2.22 centro: el rango de f se conserva, y f(x) = x2 + 1se confina al dominio [0,∞) y pasa la prueba de la recta horizontal; en otraspalabras, es biyectiva. La inversa de esta nueva funcion biyectiva se obtiene enla forma acostumbrada. Cuando se resuelve y = x2 + 1 se ve que

x2 = y − 1 y x = ±√

y − 1 y entonces y = ±√

x− 1.

El signo algebraico adecuado en la ultima ecuacion se determina a partir delhecho de que el dominio y el rango de f−1 son [1,∞) y [0,∞), respectivamente.Esto lleva a seleccionar a f−1(x) =

√x− 1 como inversa de f (figura 2.22

derecha).

Figura 2.22: Funcion inversa del ejemplo 8


Capıtulo 3

Funciones polinomiales y

racionales

3.1. Funciones polinomiales

3.1.1. Introduccion

Anteriormente graficamos diversas funciones como y = 3, y = 2x − 1,y = 5x2 − 2x + 4 y y = x3. Esas funciones, en las que la variable x esta elevadaa una potencia entera no negativa, son ejemplos de un tipo mas general de fun-cion, llamado funcion polinomial. En esta seccion, nuestra meta es presentaralgunas reglas generales para graficar esas funciones. Primero presentaremos ladefinicion formal de una funcion polinomial.DEFINICION Funcion polinomialUna funcion polinomial y = f(x) es una funcion que tiene la forma

f(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a2x

2 + a1x + a0 (3.1)

donde los coeficientes an, an−1, ...a2, a1 y a0 son constantes reales y n es unentero no negativo.El dominio de toda funcion polinomial f es el conjunto de todos los numerosreales (−∞,∞). Las siguientes funciones no son polinomiales:

y = 5x2 − 3x−1

y = 2x1/2 − 4

¿Por que?.La funcion

y = 8x5 − 14x4 − 10x3 + 7x2 + 6x + 4

63

64 CAPITULO 3. FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES

es polinomial, y en ella se interpreta que el numero 4 es el coeficiente de x0.Como 0 es un entero no negativo, una funcion constante como y = 3 es unpolinomio, porque es lo mismo que y = 3x0.

3.1.2. Terminologıa

Las funciones polinomiales se clasifican por su grado. La mayor potencia dex de un polinomio se llama grado. Entonces, si an 6= 0, se dice que f(x) en laecuacion 3.1 tiene el grado n-esimo. El numero an en 3.1 se llama coeficienteprincipal y a0 se llama termino constante de la funcion polinomial.

3.1.3. Graficas

Recordemos que la grafica de una funcion constante f(x) = x0 es una rectahorizontal; la grafica de una funcion f(x) = a1x + a0, con a1 6= 0 es unarecta con pendiente m = a1, y la grafica de una funcion cuadratica f(x) =a2x

2 + a1x + a0, con a2 6= 0 es una parabola. Esas declaraciones descriptivasno existen para graficas de funciones polinomiales de grado mayor. ¿Cual es laforma de la grafica de una funcion polinomial de quinto grado? Sucede que lagrafica de una funcion polinomial de grado n ≥ 3 puede tener varias formas.En general, para graficar una funcion polinomial f de grado n ≥ 3 se necesitael calculo, o bien usar una herramienta graficadora. Sin embargo, veremos en ladescripcion siguiente que al determinar

desplazamiento,

simetrıa,

intersecciones con los ejes

de la funcion, en algunos casos se puede bosquejar rapidamente una graficarazonable de una funcion polinomial de mayor grado, y al mismo tiempo reducirel graficado de puntos.

3.1.4. Graficas desplazadas

Anteriormente hemos visto que para c > 0, las graficas de las funcionespolinomiales de la forma

y = axn + c, y = axn − c

y = a(x + c)n, y = a(x− c)n

se pueden obtener con desplazamientos verticales y horizontales de la graficade y = axn. Tambien, si el coeficiente principal a es positivo, la grafica dey = axn es un estiramiento vertical de la grafica del polinomio basico de un

3.1. FUNCIONES POLINOMIALES 65

solo termino f(x) = xn, o bien una compresion vertical de ella. Cuando a esnegativo, tambien se produce una reflexion en el eje x.EJEMPLO 1 Graficas de funciones polinomiales desplazadasLa grafica de y = −(x+2)3 es la de f(x) = x3 reflejada en el eje x, desplazada 2unidades hacia la izquierda y despues desplazada verticalmente 1 unidad haciaabajo. Analiza la figura 3.1

Figura 3.1: Grafica reflejada y desplazada del ejemplo 1

3.1.5. Simetrıa

Es facil indicar, por inspeccion, las funciones polinomiales cuyas graficastienen simetrıa con respecto al eje y o al origen. Las palabras par e imparen las funciones tienen un significado especial para las funciones polinomiales.Recuerda que una funcion par es aquella en la cual f(−x) = f(x), y que unafuncion impar es una en la que f(−x) = −f(x). De lo expuesto concluimos queuna funcion par es simetrica con respecto al eje y, y una funcion impar lo es conrespecto al origen.

3.1.6. Intersecciones

La grafica de toda funcion polinomial f cruza el eje y, porque x = 0 esta enel dominio de la funcion. El punto de cruce con el eje y es (0, f(0)). Recuerdaque un numero c es una raız de una funcion f si f(c) = 0. En esta descripcionsupondremos que c es una reiz real. Si x − c es un factor de una funcion poli-nomial f , es decir, si f(x) = (x− c)q(x) donde q(x) es otro polinomio, entonceses claro que f(c) = 0 y que el punto correspondiente de la grafica es (c, 0).Entonces, las raıces reales de una funcion polinomial son las coordenadas x delas intersecciones con el eje x de su grafica con el eje x. Si (c− c)m es un factorde f , donde m > 1 es un entero positivo, y si (x−c)m+1 no es un factor de f , sedice entonces que es una raız repetida, o con mayor propiedad, una raız demultiplicidad m . Por ejemplo, f(x) = x2−10x+25 equivale a f(x) = (x−5)2.Por consiguiente, 5 es una raız repetida, o una raız de multiplicidad 2. Cuan-do m = 1 , c es una raız simple. Por ejemplo − 1

3 y 12 son raıces simples de


f(x) = 6x2 − x− 1, porque f se puede expresar como f(x) = 6(x + 13 )(x− 1

2 ).El comportamiento de la grafica de f en un cruce con el eje x (c, 0), dependede que c sea una raız simple o una raız de multiplicidad m > 1, donde m es unentero par o impar.

3.2. Funciones racionales

Una funcion f es una funcion racional si

f(x) = g(x)h(x) ,

donde g(x) y h(x) son polinomios. El dominio de f esta formado por todos losnumeros reales, excepto los ceros del denominador h(x).EJEMPLO 2 Funciones racionales y sus dominios

1. f(x) = 1x−2 ; dominio: toda x excepto x = 2

2. f(x) = 5xx2−9 dominio: toda x excepto x = ±3

3. f(x) = x3−8x2+4 dominio: todos los numeros reales x

Del Algebra sabemos que podemos simplificar expresiones racionales como sigue:

x2−4x−2 = (x+2)(x−2)

x−2 = x+21 = x + 2

Si hacemos f(x) = x2−4x−2 y g(x) = x + 2, entonces el dominio de f es toda x

excepto x = 2 y el dominio de g son todos los numeros reales. Estos dominiosy la simplificacion anterior sugieren que las graficas de f y g son las mismas,excepto para x = 2. ¿Que ocurre a la grafica de f en x = 2? En la grafica hayun hueco (o discontinuidad); es decir, falta un solo punto. Para hallar el valor y

del hueco, podemos sustituir 2 por x en la funcion reducida, que es simplementeg(2) = 4. En la figura 3.2 se muestra la grafica de f Ahora vamos a estudiar

Figura 3.2:

las funciones racionales que carecen de un factor comun en el numerador y en

3.2. FUNCIONES RACIONALES 67

el denominador. Al trazar la grafica de una funcion racional f , es importanteresponder a estas dos preguntas:

Pregunta 1: ¿Que puede decirse de los valores de la funcion f(x) cuandox es casi (pero no igual a) un cero del denominador?

Pregunta 2: ¿Que puede decirse de los valores de la funcion f(x) cuandox es grande positiva o x es grande negativa?

Segun veremos, si a es un cero del denominador, con frecuencia se presenta unade varias situaciones. Estas se grafican en la figura..., donde hemos usado lassiguientes notaciones:

Notacion Terminologıax −→ a− x se aproxima a a desde la izquierta (a traves de valores menores que a

x −→ a+ x se aproxima a a desde la derecha (a traves de valores mayores que a

f(x) −→∞ x aumenta sin cota (se puede hacer tan grande positiva como se desee)f(x) −→ −∞ x disminuye sin cota (se puede hacer tan grande negativa como se desee)

Figura 3.3: Asıntota vertical

Los sımbolos ∞ (infinito) y −∞ (menos infinito) no representan numeros reales;solo especifican ciertos tipos de comportamiento de funciones y variables. Larecta punteada x = a de la figura 3.3 se llama asıntota vertical, igual que enesta definicion.DEFINICION Asıntota verticalLa recta x = a es una asıntota vertical para la grafica de una funcion f si

f(x) −→∞ o f(x) −→ −∞

a medida que x se aproxima a a ya sea desde la izquierda o la derecha.

Ası la respuesta a la pregunta 1 es que si a es un cero del denominador deuna funcion racional, la grafica de f puede tener una asıntota vertical x = a.Hay funciones racionales donde este no es el caso como en la figura 3.2. Si elnumerador y el denominador no tienen factor comun, entonces f debe tener una


asıntota vertical en x = a. Consideremos ahora la pregunta 2. Para x grandepositiva ogrande negativa, la grafica de una funcion racional puede parecer comouna de las de la figura 3.4, donde la notacion

f(x) −→ c cuando x −→∞

se lee f(x) se aproxima a c a medida que x aumenta sin lımite y la notacion

f(x) −→ c cuando x −→ −∞

se lee f(x) se aproxima a c a medida que x disminuye sin lımite.La recta punteada de la figura 3.4 recibe el nombre de asıntota horizontal, como

Figura 3.4: Asıntota horizontal

en la siguiente definicion.DEFINICIONAsıntota horizontalLa recta y = c es una asıntota horizontal para la grafica de una funcion f si

f(x) −→ c cuando x −→∞ o cuando x −→ −∞.

De esta forma, la respuesta a la pregunta 2 es que f(x) puede ser muy cercanaa algun numero c cuando x es grande positiva o grande negativa; esto es, lagrafica de f puede tener una asıntota horizontal y = c. Hay funciones racionalesdonde este no es el caso, como veremos enseguida en los ejemplos. Observa que,al igual que en los dibujos segundo y cuarto de la figura 3.4, la grafica de f

puede cruzar una asıntota horizontal. En el ejemplo siguiente encontramos lasasıntotas de la grafica de una funcion racional sencilla.EJEMPLO 3 Trazado de la grafica de una funcion racionalTraza la grafica de f si

f(x) = 1x−2 .

Solucion Comencemos por considerar la pregunta 1, planteada al principio dela seccion. El denominador x− 2 es cero en x = 2. Si x es cercana a 2 y x > 2,entonces f(x) es grande positiva, segun se muestra en la siguiente tabla.

x 1x−2

2,1 102,01 1002,001 10002,0001 100002,00001 100000


Puesto que es factible aumentar 1/(x − 2) tanto como se quiera tomando x

cercana a 2 (yx > 2), vemos que

f(x) −→∞ cuando x −→ 2+.

Si f(x) es carcana a 2 y x < 2, entonces f(x) es grande y negativa; por ejemplo,f(1,9999) = −10000 y f(1,99999) = −100000; ası pues,

f(x) −→ −∞ cuando x −→ 2−.

La recta x = 2 es una asıntota vertical para la grafica de f , segun observamosen la figura 3.5 A continuacion consideramos la pregunta 2. La tabla que sigueenumera algunos valores aproximados para f(x) cuando x es grande y positiva.

x 1x−2 (aprox)

100 0,011000 0,00110000 0.0001100000 0,000011000000 0,000001

Figura 3.5: Asıntota horizontal

Se puede describir este comportamiento de f(x) escribiendo

f(x) −→ 0 cuando x −→∞.

En forma analoga, f(x) es cercana a 0 cuando x es grande negativa; por ejemplo,f(−100000) ' −0,00001; ası pues,

f(x) −→ 0 cuando x −→ −∞.

La recta y = 0 (el eje x) es una asıntota horizontal. (Figura 3.5). La funcionconsiderada en el ejemplo 3, f(x) = 1/(x − 2), es similar a una de las fun-ciones racionales mas sencillas, la funcion recıproca. La funcion recıprocatiene ecuacion f(x) = 1/x, asıntota vertical x = 0 (eje y) y la asıntota hori-zontal y = 0. La grafica de la funcion recıproca es la grafica de una hiperbola.Observaras que es posible obtener la grafica de y = 1/(x − 2) desplazando dos


unidades a la derecha de y = 1/x. El teorema siguiente ayuda a encontrar laasıntota horizontal para la grafica de una funcion racional.TEOREMA Asıntotas horizontales

Sea f(x) = anxn+an−1xn−1+···+a1x+a0bkxk+bk−1xx−1+···+b1x+b0

, donde an 6= 0 y bk 6= 0.

1. Si n < k, entonces el eje x (la recta y = 0) es la asıntota horizontal parala grafica de f .

2. Si n = k, entonces la recta y = an/bk (cociente entre coeficientes iniciales)es la asıntota horizontal para la grafica de f .

3. Si n > k, la grafica de f carece de asıntota horizontal. En lugar de ellof(x) −→ ∞ o bien f(x) −→ −∞ a medida que x −→ ∞ o conformex −→ −∞.

Las demostraciones para cada parte del teorema pueden ajustarse a las solu-ciones del ejemplo que sigue. En relacion con el inciso (3), si q(x) es el cocienteobtenido al dividir el numerador entre el denominador, entonces f(x) −→∞ siq(x) −→∞ o bien f(x) −→ −∞ si q(x) −→ −∞EJEMPLO 4 Determinacion de asıntotas horizontalesEncuentra la asıntota horizontal para la grafica de f , si existe.

1. f(x) = 3x−1x2−x−6

2. f(x) = 5x2+13x2−4

3. f(x) = 2x4−3x2+5x2+1

Solucion1. El grado del numerador, 1, es menor que el grado del denominador, 2, ası quepor el inciso (1) del teorema, el eje x es una asıntota horizontal. Para comprobaresto directamente, dividimos el numerador y el denominador del cociente entrex2 (ya que es la potencia mas alta en x en el denominador) con lo que resulta

f(x) =3x−1

x2x2−x−6

x2

=3x−

1x2

1− 1x−

6x2

para x 6= 0.

Si x es grande positiva o grande negativa, entonces 3/x, a/x2, 1/x y 6/x2 soncercanos a 0 y por tanto,

f(x) ' 0−11−0−0 = 0

1 = 0

En consecuencia,

f(x) −→ 0 a medida que x −→∞ o conforma x −→ −∞.


Dado que f(x) es la coordenada y de un punto de la grafica, la ultima expresionsignifica que la recta y = 0 (esto es, el eje x) es una asıntota horizontal.

2. Si f(x) = (5x2 + 1)/3x2− 4, el numerador y el denominador tienen el mismogrado, 2, y los coeficientes iniciales son 5 y 3, respectivamente. En concecuencia,por el inciso (2) del teorema sobre asıntotas horizontales, la recta y = 5/3 es laasıntota horizontal. Tambien podrıamos demostrar que y = 5/3 es la asıntotahorizontal al dividir el numerador y el denominador de f(x) entre x2, como enel inciso (a).

3. El grado del numerador, 4 es mayor que el grado del denominador, 2 ası que,por el inciso (3) del teorema sobre asıntotas horizontales,la grafica carece deasıntota horizontal. Si usamos la division de polinomios tenemos

f(x) = 2x2 − 5 + 10x2+1 .

A medida que x −→ ∞ o x −→ −∞, el cociente 2x2 − 5 aumenta sin lımite y10/(x2 + 1) −→ 0. Por tanto, f(x) −→ ∞ conforme x −→ ∞ o a medida quex −→ −∞.

A continuacion damos algunas guıas para trazar la grafica de una funcionracional. Su uso se ilustra en los ejemplos 5, 6 y 8.Guıa para trazar la grafica de una funcion racionalSupongamos que f(x) = g(x)

h(x) , donde g(x) y h(x) son polinomios sin factorcomun.

1. Encontrar las intersecciones en x -esto es, los ceros reales del numeradorg(x)- y trazar los puntos correspondientes en el eje x.

2. Hallar los ceros reales del denominador h(x). Para cada cero real a, trazarla asıntota vertical x = a con lınea punteada.

3. Determinar la interseccion en y f(0), si existe, y trazar el punto (0, f(0))en el eje y.

4. Aplicar el teorema sobre asıntotas horizontales. Si hay una asıntota hori-zontal y = c, trazarla con lınea punteada.

5. Si hay asıntota horizontal y = c, determinar si corta la grafica. Las co-ordenadas x de los puntos de interseccion son soluciones de la ecuacionf(x) = c. Trazar estos puntos, si existen.

6. Trazar la grafica de f en cada una de las regiones del plano xy definidopor las asıntotas verticales. Si es necesario, usar el signo de valores defuncion especıficos a fin de senalar si la grafica esta arriba o abajo del eje


x o de la asıntota horizontal.Decidir si la grafica se aproxima a la asıntotahorizontal desde arriba o desde abajo.

En los siguientes ejemplos, nuestro objetivo principal es establecer la formageneral de la grafica, poniendo especial atencion en la forma en que la graficase aproxima a sus asıntotas. Trazaremos solo unos cuantos puntos, como loscorrespondientes a las intersecciones en x e intersecciones en y o a la interseccionde la grafica con una asıntota horizontal.EJEMPLO 5 Trazado de la grafica de una funcion racionalTraza la grafica de f si

f(x) = 3x+42x−5 .

Solucion Analizamos.(1) Para encontrar las intersecciones en x determinaremos los ceros del numer-ador. Al resolver 3x+4 = 0 obtenemos x = − 4

3 , y trazamos el punto (− 43 , 0) en

el eje x.(2) El cero del denominador es 5

2 , por lo que la recta x = 52 es una asıntota

vertical. Esta recta la dibujamos con lınea punteada.(3) La interseccion en y es f(0) = − 4

5 , y trazamos el punto (0,− 45 ).

(4) El numerador y el denominador de f(x) tienen el mismo grado, 1. Los co-eficientes principales son 3 y 2, de modo que por el inciso (2) del teorema deasıntotas horizontales, la recta y = 3/2 es una asıntota horizontal.(5) Las coordenadas x de los puntos en que la grafica corta a la asıntota horizon-tal y = 3/2 son soluciones de la ecuacion f(x) = 3

2 . Esta ecuacion la resolvemoscomo sigue:

3x+42x−5 = 3

2

2(3x + 4) = 3(2x− 5)6x + 8 = 6x− 15

8 = −15

Dado que 8 6= −15 para cualquier valor x, este resultado indica que la grafica def no corta a la asıntota horizontal. Como ayuda para el trazado, ahora podemospensar que la asıntota horizontal es una frontera que no puede cruzarse.(6) La asıntota vertical divide el plano xy en dos regiones:

R1: a la izquierda de x = 52

R2: a la derecha de x = 52

Para R1 tenemos los dos puntos (− 43 , 0) y (0,− 4

5 ) por los que debe pasar lagrafica de f , ası como las dos asıntotas a las que debe acercarse la grafica. ParaR2, la grafica nuevamente debe acercarse a las dos asıntotas. Dado que la graficano puede cruzar el eje x (¿Por que?) debe estar arriba de la asıntota horizontal,como mostramos en la figura ??.



EJEMPLO 6 Trazado de una grafica que tiene un huecoTraza la grafica de f si

f(x) = (3x+4)(x−1)(2x−5)(x−1)

Solucion El dominio de g son todos los numeros reales excepto 5/2 y 1. Si sereduce g, obtenemos la funcion del ejemplo previo. La unica diferencia entre lasgraficas de f y g es que g tiene un hueco en x = 1. Dado que f(1) = −7/3 solonecesitamos hacer un hueco en la grafica de la figura 3.6 para obtener la graficade g en la figura 3.7.



Una asıntota oblicua para una grafica es una recta y = ax + b, con a 6= 0,tal que la grafica se aproxima a esta recta a medida que x −→ ∞ o conformex −→ −∞. (Si la grafica es una recta, la consideramos como su propia asıntota.)Si la funcion racional f(x) = g(x)/h(x) para polinomios g(x) y h(x), y si el gradode g(x) es mayor en uno que el grado de h(x),la grafica de f tiene una asıntotaoblicua. Para hallar esta asıntota oblicua podemos usar la division de polinomiospara expresar f(x) en la forma

f(x) = g(x)h(x) = (ax + b) + r(x)

h(x)

donde r(x) = 0 o el grado de r(x) es menor que el grado de h(x), del inciso (1)del teorema de asıntotas horizontales sabemos que

r(x)h(x) −→ 0 cuando x −→∞ o cuando x −→ −∞.

En consecuencia, f(x) se aproxima a la recta y = ax+b a medida que x aumentao disminuye sin lımite; esto es, y = ax + b es una asıntota oblicua.


EJEMPLO 7 Determinacion de una asıntota oblicuaEncuentra las asıntotas y traza la grafica de f si

f(x) = x2−92x−4

Solucion Una asıntota vertical se presenta en 2x− 4 = 0 (o sea, si x = 2).El grado del numerador de f es mayor que el grado del denominador; por tanto,segun (3) del teorema sobre asıntotas horizontales, no hay asıntota horizontal ;pero como el grado de numerador, 2 es ungrado mayor que el grado del denom-inador, 1, la grafica tiene una asıntota oblicua. Efectuamos la division entre lospolinomios numerador y denominador obteniendo

x2−92x−4 = (1

2x + 1)− 52x−4

Segun indicamos en el estudio anterior a este ejemplo, la recta y = 12x + 1 es

una asıntota oblicua. Esta recta y la asıntota vertical x = 2 aparecen punteadasen la figura 3.8Las intersecciones en x de la grafica son soluciones de x2 − 9 = 0, por lo cualson 3 y −3. La interseccion en y es f(0) = 9

4 . Ahora podemos demostrar que lagrafica tiene la forma indicada en la figura 3.8



Capıtulo 4

Apendice

En este apendice encontraras las guıas de trabajo correspondientes a cadaunidad, que te ayudaran a fijar los conceptos aprendidos en clase.

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