Geotecnia cimentaciones y estructuras de contención - problemas resueltos

GEOTECNIA

CIMENTACIONES Y ESTRUCTURAS DECONTENCIÓN.

PROBLEMAS RESUELTOS

Sebastià Olivella PastalléAlejandro Josa García-Tornel

Francisco Javier Valencia Vera

Prólogo

Esta publicación contiene una colección de problemas resueltos de estructuras de cimentación(superficiales y profundas) y de contención (muros). Estos problemas han sido propuestos enlos últimos años en los estudios de Ingeniería Técnica de Obras Públicas de la UPC (segundocuatrimestre de la asignatura de Geotecnia de 2o curso) para su resolución por parte de losalumnos. La colección no coincide exactamente con la utilizada en la actualidad en dichaasignatura ya que, en estos momentos, se proporcionan a los alumnos problemas procedentesfundamentalmente de exámenes que, en su mayoría, se resuelven en seminarios específicos.Esta publicación complementa con la publicada en 1997 (Mecánica de Suelos. Problemasresueltos, primer cuatrimestre de la asignatura de Geotecnia de 2o curso). Por otro ladotambién hay que hacer referencia a la publicación Geotecnia. Reconocimiento del Terrenoque es en especial útil en relación con la forma de determinar en el campo algunos parámetrosutilizados en la presente publicación.

La colección no ha sido concebida directamente para su publicación sino que se adapta a lamateria impartida en la asignatura. Además, no se trata de problemas planteados como uncaso real, sino que los problemas que se presentan pretenden conseguir que el estudiante sefamiliarice con los distintos métodos de cálculo estudiados en la asignatura.

El contenido de esta publicación está dividido en tres capítulos. El primero contieneproblemas de cimentaciones superficiales (zapatas). Básicamente se trata de realizar lascomprobaciones resistentes (hundimiento de la cimentación) y cálculo de asientos. Elsegundo capítulo contiene problemas de cimentaciones profundas (pilotes). En este caso serealizan principalmente cálculos destinados a las comprobaciones resistentes de lacimentación. En este capítulo se hace referencia repetidas veces a la publicaciónAcondicionamiento del Terreno. Cimentaciones (NTE) del MOPT que contiene una serie detablas para determinar cargas de hundimiento en función de parámetros como la resistencia ala penetración o la resistencia a la compresión simple. En el tercer capítulo se resuelvenproblemas de estructuras de contención (muros). Principalmente se realizan cálculos paradeterminar los empujes causados por el terreno completándose el cálculo con lascomprobaciones de estabilidad al vuelco y al deslizamiento del muro.

Los autores esperan que esta publicación resulte de interés no sólo para los alumnos de lasasignaturas Geotecnia y Estructuras de Cimentación de Ingeniería Técnica de Obras Públicasde la UPC, sino también para todas aquellas personas interesadas en el tema.

Barcelona, octubre de 1999

Índice 9

Índice

Página

Capítulo 1: Cimentaciones superficiales ………………………………………. 11

Capítulo 2: Cimentaciones profundas ………………………………………….. 49

Capítulo 3: Estructuras de contención ………………………………………… 77

Cimentaciones superficiales 11

Capítulo 1. Cimentaciones superficiales

PROBLEMA 1

a) Obtener la presión de hundimiento de una zapata superficial de ancho b para el caso nodrenado utilizando las hipótesis y el mecanismo de rotura global de Prandtl, y analizar laposibilidad de incluir el peso del terreno.

b) Interpretar los términos y parámetros de la expresión de Hanna (1981) para la presiónde hundimiento en condiciones drenadas en el caso de arena densa sobre arena suelta, ymodificarla para los casos de zapata circular y rectangular.

c) Obtener la expresión de Brown y Meyerhof (1969) para la presión de hundimiento encondiciones no drenadas en el caso de arcilla dura sobre arcilla blanda y zapatarectangular.

a) La condición de rotura en condiciones no drenadas puede interpretarse, en un plano (σ, τ)de tensiones totales, como una envolvente de tipo Mohr-Coulomb con c (cohesión) igual a cu

(resistencia al corte sin drenaje) y φφφφ (ángulo de rozamiento interno) nulo. Las envolventes derotura se producen en este caso a 45º con respecto a las direcciones principales vertical yhorizontal.

El mecanismo de rotura resultante bajo una cimentación corrida, según Prandtl, se idealizamediante dos triángulos y un sector circular (Fig. 1.1). Para obtener la presión de hundimientobajo esta cimentación se parte del esquema indicado en la Figura 1.1 que contiene el sectorcircular (II) y la mitad de los dos triángulos. Sobre este sistema de cuñas se pueden calcularlos diferentes esfuerzos sobre cada línea del contorno. Posteriormente, el equilibrio demomentos permitirá calcular la presión p capaz de provocar el movimiento y por tanto será lapresión de hundimiento.


Al existir simetría de las cuñas, no es necesario considerar el peso del terreno, ya que al tomarmomentos respecto al punto N, se compensarán las diferentes componentes del mismo.

Fig. 1.1 Mecanismo de Rotura y sistema de cuñas considerado

La tensión efectiva horizontal para los casos activo y pasivo de Rankine viene dada por lassiguientes expresiones:

Rotura en estado activo: Rotura en estado pasivo:

σσσσ σσσσππππ φφφφ ππππ φφφφ

σσσσ σσσσ

h v

h v a aK K

==== −−−−

−−−− −−−−

==== −−−−

tg tg 2

4 22

2

2

c

c

4σσσσ σσσσ

ππππ φφφφ ππππ φφφφ

σσσσ σσσσ

h v

h v pK

==== ++++

++++ ++++

==== ++++

tg tg2

44 22

2

2

c

c K p

donde a los coeficientes que multiplican a la tensión vertical (σσσσv) son el coeficiente de empujeactivo (Ka) y el coeficiente de empuje pasivo (Kp), respectivamente.

Para una envolvente de rotura en la que φφφφ = 0 (condiciones no drenadas), resulta:

Ka p====

==== ====

====tg tg2 2ππππ ππππ

41

41 K

b


Si se supone que la cuña I se encuentra en estado de rotura activo, la carga resultante (P) porunidad de longitud de zapata sobre la misma se obtendrá de la multiplicación de la longitudsobre la que se encuentra aplicada la carga resultante por la tensión horizontal resultante delestado activo de rotura. Siendo p la presión transmitida por la zapata, se obtiene que:

) 2(2

2

u

uhv

cpb

P

cpp

tensiónladoP

−−−−====

−−−−====σσσσ====σσσσ××××====

Por otro lado, la cuña II en el estado de rotura pasivo implicará que:

) 2(2 ucqb

Q ++++====

siendo q la tensión debida a la sobrecarga existente en la zona donde no está la zapata.

Por último, se toman momentos de las fuerzas calculadas con respecto al punto N. Losmomentos estabilizadores dan lugar a:

qb b

Qb

c R Ru212 2

12 2 2

×××× ××××

++++ ×××× ××××

++++ ×××× ××××

××××

ππππ

mientras que los desestabilizadores son:

pb b

Pb

212 2

12 2

×××× ××××

++++ ×××× ××××

Igualando dichos momentos, y después de simplificar algunos coeficientes, resulta:

q q p pu u u++++ ++++ ++++ ==== ++++ −−−−( ) ( )2 2 2 c c cππππ

que finalmente permite obtener:

p q c qu u==== ++++ ++++ ×××× ==== ++++( ) .ππππ 2 5 14 c

que es la presión de hundimiento en este caso.

Este mismo resultado se puede obtener de la expresión general de Brinch-Hansen para zapatacorrida apoyada en superficie y con cargas no inclinadas, haciendo 0→→→→φφφφ y ucc →→→→ .

En efecto, si se toma la expresión general:


p qs N cs b sq q c c==== ++++ ++++d i d i N d i Nq q c c y

12

γγγγ γγγγ γγγγ γγγγ

El factor que interviene en la sobrecarga q tiene la forma:

N e Nq q==== ++++

====→→→→

ππππ φφφφ ππππ φφφφφφφφ

tg tg lim2

4 21

0

El factor que interviene en el término de cohesión tiene la forma:

N N Ne

e e

c q c

( )

==== −−−− ====++++

−−−−

====

====++++

++++ ++++

++++ ++++

++++==== ++++

→→→→ →→→→

→→→→

++++

( )tg

lim limtg

tg

lim

tg tg

tg

tg

tg tgtg tg

11 4 2

1

4 2 4 21

4 212

12

0 0

0

1

2

2 2 2

2

2

φφφφ

ππππ φφφφ

φφφφ

ππππ φφφφ ππππ φφφφ ππππ φφφφ

φφφφππππ

φφφφ φφφφ

φφφφ

ππππ φφφφ

ππππ φφφφ


es decir, también resulta igual a lo que se había obtenido por equilibrio de cuñas.

Por último, el factor que interviene en el término de peso es:

N N Nqγγγγ γγγγφφφφφφφφ

==== ++++ ====→→→→

2 1 00

( ) tg lim

que tiende a cero, indicando que el peso del terreno no juega ningún papel en la rotura encondiciones no drenadas del terreno bajo una zapata. En realidad, este término que tiene quever con el peso (Nγ) no lo obtuvo Prandtl y lo que se ha usado es la expresión propuesta porBrinch-Hansen, usando N q y N c obtenidos por Prandtl y N γ propuesto por Terzaghi.


Con respecto a los coeficientes correctores que aparecen en la expresión general de Brinch-Hansen, se calculan a continuación:

Coeficientes correctores de forma s:

Lb

sLb

N

Ns

Lb

sc

qcq 4.01 1 tg1 −−−−====++++====φφφφ++++==== γγγγ

(condiciones drenadas)

Lb

N

N + = s = sc

qcq 1 1

(condiciones no drenadas)

que suponiendo zapata corrida, serán igual a 1.

Coeficientes correctores de profundidad d:

(((( )))) 1 1

sin121 2 ====φφφφ

−−−−−−−−====φφφφ−−−−φφφφ++++==== γγγγd

tgN

ddd

bD

tgdc

qqcq


bN

D+= d =d

ccq

21 1


que suponiendo zapata apoyada en superficie, estos coeficientes valdrán 1.

Coeficientes correctores de inclinación i:

iiN

ii=i

bLc+ VH

=i /q

c

qqcq

23

2

= tg

1

cotg 1 γγγγφφφφ

−−−−−−−−

φφφφ−−−−


cbLN

Hi i

uccq

21= 1= −−−−


La carga no se encuentra inclinada y, por tanto, los coeficientes valdrán 1.

Por lo tanto, la expresión se ve reducida a:

(((( ))))p q cu==== ++++ ++++ππππ 2

que coincide con la obtenida del equilibrio de cuñas planteado partiendo del mecanismo decolapso indicado en la Fig. 1.1.


b) Interpretación de los términos y parámetros de la expresión de por Hanna:

Se supone que A es el área de la zapata que tiene una cierta geometría (por ejemplo circular orectangular). Se considera el terreno seco, aunque en caso de estar saturado el desarrollo seríaanálogo pero en términos de tensiones efectivas. Las hipótesis realizadas por Hanna suponenque el estrato inferior rompe según un mecanismo de rotura global y su carga de hundimientose puede obtener según la expresión general de Brinch-Hansen, es decir:

p qs N cs b sh q q c c2 1

2==== ++++ ++++d i d i N d i Nq q c c yγγγγ γγγγ γγγγ γγγγ

donde, teniendo en cuenta que la carga no está inclinada y el estrato inferior está compuestopor una arena suelta y por lo tanto la cohesión en dicho estrato será considerada nula, setendrá lo siguiente:

γγγγγγγγγγγγ++++==== NsbNqsp qqh 212

en la que, en ausencia de sobrecargas exteriores, q=γγγγ1(d+h).

Fig. 1.2 Esquema para rotura por punzonamiento (φφφφ1>φφφφ2;γγγγ1>γγγγ2)

El equilibrio entre la presión transmitida por la zapata (ph) y las presiones debidas aresistencia del terreno se expresa como:

b


211 hhh pphp ++++====γγγγ++++

Si se despeja la presión de hundimiento total:

p p p hh h h==== ++++ −−−−1 21γγγγ

Puesto que ph es lo que se calcula y ph2 ya se ha definido, sólo queda por definir ph

1 . Elpunzonamiento del estrato 1 implica que se supera la resistencia al corte de la superficie queprolonga el perímetro de la cimentación hacia el estrato 2. Si se supone que se trata de unazapata circular, se tendrá un área:

A ====ππππ D 2

4

siendo D su diámetro. Si se toma K como el coeficiente que relaciona las tensioneshorizontales y las verticales en un punto, entonces:

σσσσ σσσσ ττττ σσσσ φφφφh vK ==== ==== h tg

donde se ha incluido también la condición de rotura para el cálculo de las tensiones de corte.

Por otro lado, la tensión vertical es:

σσσσ γγγγv d h z==== ++++ −−−−1( ) .

La integración de las tensiones tangenciales entre z = 0 y z = h, da lugar a:

ττττ σσσσ φφφφ γγγγ φφφφdz K dz K d hhh

v

h

01

01

2

12∫ ∫= = +

tg tg

Por último queda distribuir la fuerza resistente obtenida en la superficie de la zapata circular:

D h

h d KD

p

perímetroaresistenciáreap

h

h

ππππφφφφ

++++γγγγ====ππππ

××××====××××

1

2

1

21

1

tg 24

donde ha sido necesario multiplicar por el área y por el perímetro para igualar fuerzas ya que

ph1 se había tomado como una presión sobre la superficie de la zapata.


Finalmente se llega a la expresión:

p dhh

Dh1

1

214

2==== ++++

γγγγ

φφφφtg

Si se extrae fuera del paréntesis h2/2 como factor común, quedará:

p hh Dh

11

2 112

2==== ++++

γγγγ

φφφφ d K

tg

si se compara esta expresión con la zapata indefinida de ancho b propuesta inicialmente porHanna, se observa que el ancho es sustituido aquí por el diámetro y en esta expresión apareceun coeficiente multiplicador de valor 2. De la propia derivación se observa que K, coeficientede la expresión de Hanna, es un coeficiente de empuje lateral. Finalmente, la expresión globalsería:

p p hh D

hh h==== ++++ ++++

−−−−2

12 1

112

2γγγγφφφφ

γγγγ d

Ktg

siendo ph2 la carga de hundimiento de una zapata circular apoyada sobre el estrato 2 y D el

diámetro de la zapata.

Para zapata rectangular L×××× b se obtiene análogamente:

hbL

Khd

hpp hh 12

12 11

tg 2

1 γγγγ−−−−

++++φφφφ

++++γγγγ++++====

y para zapata corrida basta tomar: L→→→→ ∞∞∞∞.


c) Presión de hundimiento para terreno formado por una capa de arcilla dura sobre un estratode arcilla blanda (expresión de Brown-Meyerhof).

Fig. 1.3 Representación esquemática del terreno

El terreno arcilloso inferior tiene un peso específico natural γγγγ2 y una resistencia al corte cu2,mientras que la capa arcillosa superior, más resistente, está caracterizada análogamente por γγγγ1

y cu1. Se supone que se produce la rotura en condiciones no drenadas y que la zapata esrectangular de dimensiones L×××× b. De forma análoga al apartado b) la presión de hundimientose considera compuesta por los siguientes términos:

p p p hh h h==== ++++ −−−−1 21γγγγ

en la que ph2 es la presión de hundimiento por rotura global de la arcilla blanda (capa

inferior), mientras que ph1 es la presión de hundimiento por punzonamiento de la capa dura

superior. Es decir, se hace la hipótesis que el estrato superior tiene una rotura perimetral de labase (se hunde la zapata por el perímetro), mientras que la zapata y esta zona rota en elestrato superior se hunden en el estrato inferior mediante una rotura global. Por lo tanto, haydos contribuciones a la presión de hundimiento: la parte que aporta el punzonamiento delestrato superior y la parte que aporta la rotura global del estrato inferior.

La presión de hundimiento provocada por la rotura global del estrato inferior viene dada porla siguiente expresión:

qo


qoqcuch sqhdNscNp ))(( 122 ++++++++γγγγ++++====

en la que qo es una sobrecarga en el terreno y Nq=1, Nc=(ππππ+2) corresponden a condiciones nodrenadas.

Por otro lado, para calcular la presión de rotura por punzonamiento se han de hallarprimeramente las tensiones de corte:

(((( )))) φφφφγγγγ++++++++====ττττφφφφσσσσ++++====φφφφσσσσ++++====ττττ

tg

tgtg

1 Kzqc

Kcc

o

vh

donde q0 es la sobrecarga exterior aplicada en el terreno. Al estar trabajando en condicionesno drenadas, la condición de rotura en tensiones totales se corresponde con φφφφ nulo y c igual ala resistencia al corte sin drenaje, resultando:

uc====ττττ

Lo que interesa es calcular la fuerza resultante de la tensión resistente. Por lo tanto, se tomaráun diferencial dz y se calculará:

Perímetro

dzdF

perimetral ÁreaA

dAdF

p

p

:

:

1

1

ΓΓΓΓΓΓΓΓττττ====

ττττ====

Integrando:

hcdzcdFF u

hd

d

u

hd

d

ΓΓΓΓ====ΓΓΓΓ======== ∫∫∫∫∫∫∫∫++++++++

11

Por lo tanto, la presión de hundimiento debida al punzonamiento del estrato superior será:

bL

(b+L)hc

áreahperímetro

p uh

211 ====××××××××ττττ====

en la que la resistencia al corte que debe producirse en la zona de punzonamiento es igual a laresistencia al corte sin drenaje de la capa de arcilla superior. Al combinar las expresionesanteriores resulta:


(((( ))))(((( )))) hcbL

hLbsqhdNcsNp uqoqucch 1112

)(2 γγγγ−−−−++++++++++++++++γγγγ++++====

donde:

sbL

bL

sN

NbL

q

c

q

c

==== ++++ ==== ++++ ====

==== ++++

1 1 0 1

1

2tg tg ºφφφφ

Finalmente se obtiene:

112

)(2uoucch c

bLhLb

qdcsNp++++++++++++γγγγ++++====

Esta expresión puede escribirse alternativamente como:

bLhLb

csNN

qdcNp

uccm

oumh

)(22

*

11*

++++++++====

++++γγγγ++++====

Conviene remarcar que la sobrecarga qo corresponde a una sobrecarga externa y que los pesosde los espesores de terreno d y h se han considerado independientemente de la primera.

__________________________________________


PROBLEMA 2

En un terreno compuesto por 10 m de una arcilla media (φφφφ'=25º, c'= 3 t/m2, cu = 7 t/m2, γγγγsat

= 2 t/m3, Cc=0.1, e0=0.8) sobre una capa rígida con el nivel freático en superficie, se debecimentar una torre de comunicaciones que transmite una carga de 1000 t, inclinada 5ºrespecto a la vertical, con una excentricidad de 0.10 m en dirección arbitraria.Dimensionar una cimentación superficial adecuada para esta torre (a) suponiendodesconocidos los parámetros resistentes del suelo; b) con parámetros conocidos), y estimarlos asientos que se producirán.

Fig. 2.1. Representación esquemática del terreno y cimentación

a) Determinación del tamaño de la cimentación suponiendo desconocidos los parámetrosresistentes del suelo, en concreto, su resistencia al corte sin drenaje.

Cuando el suelo es arcilloso, la presión de hundimiento (y, por tanto, la presión admisible)puede estimarse fácilmente si se conoce la resistencia al corte sin drenaje. En caso de noconocerla se podrían realizar los pasos que se indican a continuación.

En primer lugar, se estima para este suelo una presión admisible de:

22 mt 20 a 15cmkp0.2 a 5.1 ≡≡≡≡≅≅≅≅admp

Valores que indican una capacidad portante aceptable correspondiente a una arcilla media.


Entonces para una zapata cuadrada de lado B se realizan los siguientes cálculos:

pV

B

M

Bp

V

H

M V

adm==== ++++

==== ×××× ======== ×××× ======== ×××× ==== ××××

2 3

6

1000 5 996 2

1000 5 87 2

0 10 99 6

,

t cos t

t sin t

. m m t

p <

º .

º .

.

Al igualar la presión calculada con la presión admisible se obtiene la ecuación que permite eldimensionamiento de la zapata:

p p p BV M

BBV M

p

adm adm

adm

==== ==== ++++

====++++

B 3

3

6

6

Para padm= 15 t/m 2 resulta B = 8.43 m, mientras que para padm = 20 t/m 2 resulta B = 7.34 m.Como puede verse el resultado es sensible a la presión admisible considerada, la cual se haestimado.

b) Determinación del tamaño de la cimentación conocidos los parámetros resistentes del sueloy, en particular, la resistencia al corte sin drenaje.

En este caso es posible determinar el tamaño de la cimentación sin necesidad de estimar lapresión admisible.

Se parte de la expresión general de Brinch-Hansen:

γγγγγγγγγγγγγγγγγγγγ++++++++==== Nids BNidcsNidqsp ccccqqqqh 21

Suponiendo que la rotura se produce en condiciones no drenadas, lo cual es lo más probable altratarse de un suelo arcilloso, se puede obtener la presión de hundimiento trabajando entensiones totales haciendo: φφφφ= 0º, c = cu. Con lo cual resulta:

N γγγγ ππππ==== ==== ==== ++++ ====0 1 2 5 14, , . N Nq c

Se consideran dos casos para la profundidad de la zapata, que son D = 0 y D =2 m paraestudiar la influencia de esta variable en las dimensiones de la cimentación a construir.


Coeficientes de forma:

sBL

sN

NBL

q

c

q

c

==== ++++ ====

==== ++++ ==== ++++ ×××× ====

1 1

1 11

5 141 1 19

tg

..

φφφφ

Coeficientes de inclinación:

iH

V B c

i ii

N B c

q

c q

q

c u

==== −−−−++++

====

==== −−−−−−−−

==== −−−− ==== →→→→

1 1

11

20 93 0

2

2

2

cotg

tg. para

φφφφ

φφφφφφφφ

H

N c

Coeficientes de profundidad ( D / B < 1):

(((( ))))

dDB

d dd

Nd

DB

N B

q

c q

q

cc

c

==== ++++ −−−− ==== →→→→

==== −−−−−−−−

==== ++++−−−−

==== ++++ →→→→

1 2 1 0

1 21

20

2

tg (1 sin ) para

tg

tg 1 sin

tg para

2φφφφ φφφφ φφφφ

φφφφ

φφφφ φφφφ

φφφφφφφφ

DN c

Para los dos casos de empotramiento resulta:

a) Empotramiento nulo, D = 0:

d c ==== 1

b) Empotramiento de D = 2 m:

d B c B==== ++++ ≅≅≅≅1

0 781 1

.. para entre 7.43 y 8.43

Se realiza a continuación el cálculo de la presión de hundimiento.

Para D = 0, es decir, q = γγγγ ××××D = 0, la presión de hundimiento es:

p ch u==== ++++ ×××× ×××× ×××× ×××× ====0 1 19 1 0 93 5 14 39 8. . . . t m2


Y si se hace para D = 2 m, es decir, q = γγγγ ××××D = 2×××× 2 = 4 t m2 , la presión de hundimiento

resulta:

p ch u==== ×××× ×××× ×××× ++++ ×××× ×××× ×××× ×××× ====4 1 1 1 1 19 1 1 0 93 5 14 47 5. . . . . t m2

Una vez calculada la presión de hundimiento se pasará al dimensionamiento mediante lacondición de seguridad al hundimiento. El factor de seguridad al hundimiento viene definidocomo la relación existente entre la presión de hundimiento y la presión debida a las cargasverticales.

FSp

ph

hundimiento ====

siendo:

áreaticalfuerza ver

BV

p ========2

Sustituyendo esta última expresión en la fórmula del factor de seguridad, es posible despejarla dimensión de la zapata en función de las demás variables:

h

h

pFSV

B= BV

pFS

××××====2

Para un valor del factor de seguridad FS = 3 resulta:

p . B .

p . B .h

h

==== ⇒⇒⇒⇒ ====

==== ⇒⇒⇒⇒ ====39 8 8 65

47 5 7 95

t m m

t m m

2

2

Para tener en cuenta la excentricidad hay que añadir 2×0.10 m = 0.2 m al ancho obtenido. Enconclusión, B = 8.85 m cuando no se considera empotramiento de la zapata y B = 8.15 mcuando sí se considera empotramiento de la zapata (D = 2 m).

El ancho obtenido sin considerar el empotramiento (es decir, para D = 0) se puede compararcon el obtenido en el dimensionamiento usando la presión admisible (apartado a.). La similitudde ambos valores indica que la presión admisible elegida era adecuada, aunque probablementepodría haber sido un poco más baja. De hecho, para arcillas, la presión admisible puederelacionarse con la de hundimiento a través del factor de seguridad al hundimiento. En estecaso tendríamos:


pp

admh==== ==== ====

339 8

313 3

.. t m 2

Por otro lado, se realizará la comprobación estabilidad al deslizamiento. El factor deseguridad al deslizamiento se define, dependiendo de las condiciones de rotura, por:

FSV cB

Hc B

H

drenado

u

====++++

====

tg δδδδ 2

2

no drenadoFS

siendo δδδδ el ángulo de fricción terreno-zapata y c la cohesión entre terreno-zapata. Para

δδδδ φφφφ==== ==== ====23

16 6 0. º y c ,

resulta que:

FSdrenado ==== 3 42.

donde se supone que no hay cohesión. Mientras que en condiciones no drenadas y adoptandola resistencia el corte de 7 t/m2 resulta:

3.6drenado no ====FS

Por último se calcularán los asientos. Para dicho cálculo se usará B = 8.85 m que es el valorcorrespondiente a la cimentación apoyada en superficie. La presión de cálculo correspondientea esta dimensión es:

pV

B==== ==== ====2 2

996 278 3

12 7 . t

. m. t m 2

El asiento total se puede obtener como suma de dos componentes, un asiento instantáneo quese produce al aplicar la carga, y un asiento de consolidación que se produce de forma diferidaa medida que se disipan las presiones intersticiales generadas al aplicar la cimentación.

Asiento instantáneo: Se suponen condiciones no drenadas por tratarse de una arcilla. En estascondiciones, el módulo de Poisson, ya que no se produce cambio de volumen, es igual a νννν u =


0.5. El módulo de Young en condiciones no drenadas se puede estimar a partir de laresistencia al corte sin drenaje mediante:

Eu ≅≅≅≅ ==== ×××× ====500 500 7 3500 c u t m t m2 2

Si cu fuera variable con la profundidad, entonces Eu también variaría. La solución elásticapara zapata flexible permite obtener los asientos de un estrato sobre una base rígida sometidoa una carga rectangular mediante el método elástico:

22

mt 7.12 2 )1(q a 2 ============νννν−−−−==== pqBaK

Es

u

Si se calcula el asiento en el centro de la zapata, K= K0 donde K0 viene dado en función deh a y m, por ejemplo en el caso de zapata cuadrada se tienen los siguientes valores:

m = b/ah/a ττττ = 0 u = 0

0 0.0 0.0

0.2 0.10 0.08

0.5 0.26 0.21

1 0.51 0.44

2 0.77 0.72

3 0.88 0.84

5 0.98 0.95

7 1.02 1.00

10 1.05 1.04

∞ 1.12 1.12

Además la tabla anterior da las opciones de zapata lisa (ττττ = 0) y de zapata rugosa (u = 0). Elprimer caso (zapata lisa) da lugar a valores mayores que el segundo (zapata rugosa), con locual se quedará del lado de la seguridad, por lo que se supondrá que es el que se produce. Sepropone h a = 2.25 y b a =1 para quedar del lado de la seguridad.

h a

h a

==== →→→→ ======== →→→→ ====

⇒⇒⇒⇒ ==== ++++

−−−−−−−−

−−−−2 0 77

3 0 880 77

0 88 0 773 2

2 25 2 0 780

00

K

K K

.

..

. .( . ) = .

Luego:

s ====×××× ×××× ×××× −−−− ×××× ==== ====

2 4 425 12 73500

0 78 0 02. . )

. . m cm(1 0.5

22


Asiento diferido: Por tratarse del asiento de consolidación puede aplicarse el métodoedométrico para su cálculo. En dicho método supone que:

∆σ∆σ∆σ∆σ ∆σ∆σ∆σ∆σ'z z====

ya que los ∆∆∆∆u son nulos una vez se ha completado la consolidación. Para aplicar dicho métodoen condiciones bidimensionales se considera terreno estratificado de forma que se puede tenerel cuenta que la deformación varia con la profundidad. En este caso divide el estrato en capasde 2.5 m:

Fig. 2.2 Discretización del terreno para el cálculo de asientos de consolidación

Para calcular las tensiones verticles se recurre a la figura de Sovinc (Jiménez Salas, tomo II,ver Figura 2.3) que corresponde a una solución elástica en medio limitado inferiormente porbase rígida y zapata rectangular:

b aBB

==== ==== ==== ====22

110

4 4252 25

hb .

.

Al subdividir el estrato en 4 subestratos de 2.5 m cada uno (unidades t/m 2 ) resultan lastensiones de la siguiente tabla:

Estrato z z b ∆σ∆σ∆σ∆σ p ∆∆∆∆σσσσ σσσσ γγγγ z0 ==== σσσσ γγγγ' '0 ==== z

1 1.25 0.28 0.98 12.4 2.5 1.25

2 3.75 0.85 0.76 9.6 7.5 3.75

3 6.25 1.41 0.60 7.6 12.5 6.25

4 8.75 1.98 0.52 6.6 17.5 8.75


Fig. 2.3. Ábaco de Sovinc (1961)

Para calcular deformaciones verticales se usa el módulo edométrico que viene definido por:

(((( ))))

σσσσ

σσσσ∆∆∆∆++++σσσσ++++σσσσ∆∆∆∆====

0

0

0

'''

log

1'

c

m

C

eE

Los módulos obtenidos para los estratos 1, 2, 3 y 4 son:

E

E

m m

m m

1

10

2

10

3

10

4

12 4 1 0 80

0 11 25 12 4

1 25

215 09 6 1 0 80

0 13 75 9 6

3 75

313 4

7 6 1 0 80

0 16 25 7 6

6 25

375 86 6 1 0 80

0

====×××× ++++

××××++++

==== ====

×××× ++++

××××++++

====

====×××× ++++

××××++++

==== ====

×××× ++++

. ( . )

. log. .

.

. t m. ( . )

. log. .

.

. t m

. ( . )

. log. .

.

. t m. ( . )

2 2

2

E

E. log

. ..

. t m2

18 75 6 6

8 75

486 7

10××××++++

====


Finalmente el asiento diferido viene dado por la suma:

sh

E

s

mi

i

==== ==== ×××× ++++ ×××× ++++ ×××× ++++ ×××× ====

====

∑∑∑∑ ∆σ∆σ∆σ∆σ'.

..

..

..

..

..

. . m

. m cm

2 5215 0

12 42 5

313 49 6

2 5375 8

7 62 5

486 76 6 0 305

0 305 30 5= .

El asiento total vendrá dado por la suma del asiento instantáneo y el diferido:

cm 5.325.302 ====++++====++++==== difins sss

Este asiento corresponde al punto en el centro bajo la cimentación.

______________________________________

PROBLEMA 3

Obtener la presión de hundimiento de una zapata rectangular de 4 m × 6 m ante una cargavertical centrada, que corresponde una zapata apoyada a 1 m de profundidad en lossiguientes terrenos:

a) capa de 5 m de arena densa (φφφφ'=40º, γγγγn= 2 t/m3) sobre terreno granular (φφφφ'=30º, γγγγn= 1.8t/m3).

b) capa de 3 m de arena (φφφφ'=30º, γγγγn = 1.8 t/m3) sobre macizo rocoso.

c) capa de 3 m de arena (φφφφ'=40º, γγγγn= 2 t/m3) sobre terreno (cu=2 t/m3,γγγγn= 1.8 t/m3), con elnivel freático en el contacto entre ambas capas.

a) Se supondrá terreno seco.

Al tener una arena densa sobre una arena suelta, en principio, la hipótesis de rotura que sepropone es que se producirá punzonamiento en el estrato superior y rotura global del estratoinferior.

La fórmula de Hanna (1981) se desarrolló para este caso, aunque para zapata corrida. Parazapata rectangular resulta (ver problema 1):

p p h KL B

hh h s==== ++++ ++++

++++

−−−−

21

21 11

2 1 1γγγγ φφφφ γγγγ

dh

tg '


siendo ph2 la presión de hundimiento del estrato inferior, es decir:

p B N s d i q N s d ih q q q q2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

12

==== ++++γγγγ γγγγ γγγγ γγγγ γγγγ

teniendo en cuenta que el término de cohesión es nulo ya que c’ (la cohesión) es cero. Por otraparte, los coeficientes pueden calcularse como:

carga) la de ninclinació haber no (al 1i 1

38.1=º30 tg64

1' tg 1 4.182'

4tg

arena de superior estrato del Ancho :

mt 1025

2q2

22222

2

2312

' tg

========

++++====φφφφ++++========

φφφφ++++ππππ××××====

====××××====γγγγ××××====

φφφφππππ

q

qq

d

LB

seN

h

mtmhq

Fig. 3.1 Representación esquemática de la cimentación

El coeficiente de empotramiento en el cálculo de ph2

debe ser dq2 = 1 debido a que no hayempotramiento en la capa inferior, sino que el empotramiento está realmente en la capa 1:

N

sBL

d

γγγγ

γγγγ

γγγγ γγγγ

φφφφ2 2 2

2

2 2

2 1 2 18 4 1 30 22 4

1 0 4 1 0 446

0 73

1 1

==== ++++ ==== ×××× ++++ ====

==== −−−− ×××× ==== −−−− ×××× ====

==== ====

N

i

q( ) tg ' tg º .

. . . (coef. forma)

( . )


Como puede verse se ha supuesto que d γγγγ1 = 1 porque de hecho no hay empotramiento en la

capa inferior. Esto es una hipótesis que deja del lado de la seguridad.

Finalmente, la presión de hundimiento en la capa inferior vendrá dada por:

ph2 1

21 8 4 22 4 0 73 1 1 10 18 4 1 38 1 1 330==== ×××× ×××× ×××× ×××× ×××× ×××× ++++ ×××× ×××× ×××× ×××× ====. . . . . t m 2

Sustituyendo en la expresión de Hanna y utilizando Ks = 5.5 (que se obtiene del ábaco dado

por este autor, Fig 3.2):

ph ==== ++++ ×××× ×××× ++++××××

×××× ×××× ×××× ++++

−−−− ×××× ====

==== ++++ −−−− ====

330 2 4 12 1

45 5 40

16

14

2 4

330 92 8 414

2 . tg º

t m 2

Fig. 3.2 Ábaco de Hanna (1981).

Para ver que la hipótesis de rotura es correcta se realizan algunas comprobacionesadicionales. En primer lugar puede determinarse la profundidad de un hipotético mecanimsode rotura contenido exclusivamente en el estrato superior:


d

B

2

11

1

2

24 2

1 71 6 8====−−−−

++++

==== ====exp

' tg '

cos'

. . m

ππππ φφφφφφφφ

ππππ φφφφ4

B

puesto que 6.8 m > 4 m (que es el ancho restante entre el fondo de la zapata hasta la interfaseentre los dos estratos), este tipo de rotura no parece probable.. Sin embargo, la forma decomprobarlo con mayor seguridad es mediante la carga de hundimiento en el estrato superioren el caso en que pudiera desarrollarse la rotura en él:

p B N S d i q N S d ih q q q q1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

12

==== ++++γγγγ γγγγ γγγγ γγγγ γγγγ

siendo:

(((( ))))

q

s

sinDB

q

q

1 1 1 1

1 1

1 1

1 1 1

2

1 1

1 1 2 2 64 20 109 4

1 56 0 73

1 1

14 1 1 2 1

1 05 1

==== ×××× ==== ×××× ==== ==== ====

==== ====

==== ====

==== <<<< ==== ++++ −−−−

==== ====

γγγγ

φφφφ φφφφ

γγγγ

γγγγ

γγγγ

γγγγ

t m . .

. .

, tg ' '

.

2 N N

s

i i

Como DB d

d d

q

q

q

Por tanto dicha carga de hundimiento viene dada por:

ph1 1

22 4 109 4 0 73 1 1 2 64 2 1 56 1 05 1 530==== ×××× ×××× ×××× ×××× ×××× ×××× ++++ ×××× ×××× ×××× ×××× ====. . . . . t m 2

que es mayor que la obtenida por la fórmula de Hanna con lo que se confirma que no puededesarrollarse la superficie de rotura en esta capa de arena densa.

b) Se supone terreno seco.

Se tiene una arena suelta sobre un macizo rocoso.


Fig. 3.3 Representación esquemática del terreno y cimentación

Para esta situación se puede utilizar la expresión general de Brinch-Hansen pero afectada deunos coeficientes correctores ξξξξ q , ξξξξ c , ξξξξ γγγγ , que tienen en cuenta que el estrato rígido no

permite desarrollar el mecanismo de rotura teórico en estrato indefinido:

p qs d i N c s d i N B d i Nh q q q q q c c c c c==== ++++ ++++ξξξξ ξξξξ γγγγ ξξξξγγγγ γγγγ γγγγ γγγγ γγγγ'12

s

donde se ha tomado c' = 0. ξξξξ q , ξξξξ c , ξξξξ γγγγ son unos coeficientes correctores que han sido

obtenidos y transformados en ábacos por Mandel y Salençon (Figura 3.4). ξξξξ q y ξξξξ γγγγ se obtienen

en función de:

Bh==== ==== ==== ====

42

2 2 4 1 2 qξξξξ ξξξξ γγγγ. .

y por tanto la presión de hundimiento se calcula como:

ph ==== ×××× ×××× ×××× ×××× ×××× ++++ ×××× ×××× ××××

×××× ×××× ×××× ×××× ==== ++++ ====

1 1 8 1 38 1 07 18 4 2 412

1 8 4

0 73 1 22 4 1 2 117 71 118

. . . . . .

. . . t m 2

donde γγγγγγγγ NsNs qq ,, y se han tomado del apartado anterior, y los coeficientes de profundidad

se han calculado como:

d D Bq ==== ++++ −−−− ×××× ==== ==== ==== <<<<

====

1 2 30 1 3014

1 07 1 4 0 25 1

1

2 º ( º )tg sin . ( . )

d γγγγ


Fig. 3.4 Ábacos de Mandel y Salençon (ξq y ξγ, respectivamente en función de B/H )

c) Se tiene el nivel freático en la interfase entre capas, y por tanto el terreno superior seco.

Para las dimensiones del estrato y zapata, h = 2 m, B = 4m, se obtiene una relación:

hB==== ==== <<<<

24

0 5. 1.5

Esta condición indica que no será probable la rotura generalizada en el estrato superior. Portratarse de un material tipo arena compacta sobre un material arcilloso blando, la presión dehundimiento puede ser obtenida por la solución dada por Tcheng (1957):

pp

hh====

−−−− −−−− −−−− −−−−

2

112

12

hB

tg ' ( sin ' ) exp ' tg 'φφφφ φφφφππππ

φφφφ φφφφ1 1 1



Substituyendo para φφφφ1 = 40º, resulta:

pp

hh====

2

0 856.

Tan solo queda obtener ph2, que se calculará en condiciones no drenadas, es decir, con φφφφ’2

igual a cero:

2

22

222c22

2

22222

2222222222

mt 6.20856.0

6.17

mt 6.17214.51113.16111

mt 623q 14.5N 1

13.164

14.51

11 1

========

====××××××××××××××××++++××××××××××××====

====××××================

====××××++++====++++================

++++====

h

h

cc

c

qcqqq

ccccuqqqqh

p

p

id

LB

N

Nsids

idsNcidsNqp

Es preciso remarcar que la presión de hundimiento determinada por esta solución (Tcheng,1957), alternativamente puede calcularse mediante una solución del tipo Hanna teniendo encuenta que el estrato inferior es, en este caso, un suelo arcilloso.

________________________________________


PROBLEMA 4

Se va a construir un depósito circular de 28 m de diámetro y 3400 t de peso en la superficiede un terreno con el nivel freático en superficie compuesto por 4 m de arcilla blanda (cu=3t/m2, γγγγn= 1.9 t/m3, Cc=0.15, e0=0.9) sobre una arcilla dura (cu=12 t/m2, γγγγn= 2 t/m3,Cc=0.08, e0=0.8). Estimar el factor de seguridad al hundimiento de esta cimentación y elasiento previsible que se producirá, suponiendo que a 29 m de la superficie existe una caparígida que puede considerarse indeformable.


Se trata de una capa más blanda apoyada sobre una capa más dura. La presión dehundimiento puede obtenerse por:

qNcp muh ++++==== 1

donde N m ha sido tabulado por Vesic (1970) para diferentes tipologías de carga y en función

de (cu2/cu

1) y (B/H):

B/Hc2/ c1 4 8 12 16 20 40 ∞∞∞∞

11.52345

10∞

6.176.176.176.176.176.176.176.17

6.176.346.466.636.736.806.967.17

6.176.496.737.057.267.407.748.17

6.176.636.987.457.757.978.499.17

6.176.767.207.828.238.519.22

10.17

6.177.258.109.36

10.2410.8812.5815.17

6.179.25

12.3418.5124.6830.8561.70∞

donde B es el diámetro de la carga y H la distancia entre la base de la zapata y la superficiede contacto entre las dos capas. En el caso planteado:


=123

= 4 c

c

BH

u

u

2

1

284

7 y ==== ====

Según la tabla dada por Vesic, para B H ==== 4 se tiene:

N m = 6 17.

y para B H ==== 8 se tiene:

= 6.73N m

Se interpolará para encontrar el valor de B H ==== 7 :

N m ==== ++++−−−−−−−−

×××× −−−− ====6 17

6 73 6 178 4

7 4 6 59.. .

( ) .

y substituyendo se obtiene la presión de hundimiento:

p N c qh m u==== ++++ ==== ×××× ++++ ====6 59 3 0 19 8. . t m2

Luego, frente al hundimiento el factor de seguridad es:

6.3)14(3400

8.192

====ππππ

========p

pFS h

El factor de seguridad al hundimiento es suficiente al ser superior a 3. Si fuese FS < 3 habríaque cambiar el diseño. Dos posibles soluciones consisten en aumentar el empotramiento o enaumentar la superficie de la base.

Para el cálculo de asientos se procede a su descomposición en una contribución instantáneamás una contribución diferida.

Asientos instantáneos: Se usará el método aproximado de Steinbrenner porque no hay soluciónelástica analítica para este caso al estar el terreno compuesto por dos capas de diferentenaturaleza. Por otro lado, puesto que para dicho método se dispone de ábacos para cargarectangular, conviene convertir el círculo en cuadrado de forma que ambas formas tenganáreas equivalentes, es decir:

m 4.122' m 8.24''14 22 ================××××ππππ BBB B


donde B' es el lado del cuadrado equivalente al depósito, mientras que B es el lado de loscuatro cuadrados en los que se divide el cuadrado grande para poder utilizar los asientos en laesquina y obtener el asiento total en el centro, es decir: scentro=4xsesquina; usando B = 12.4 mpara calcular sesquina. Por otro lado, el asiento instantáneo se producirá en condiciones nodrenadas y por tanto se toma ννννu = 0.5 y Eu≈ 500 cu .

Fig.4.2. Ábaco para cálculo de asientos mediante el método de Steinbrenner

sq B ( I I

sq B ( I I

I f n m

mzB

f

m

m

esquina

esquina

ui i

1 2 11

2 3 22

1

1 1

2 22

3 3

0 5

1 2 01

012 4

0 1 0 0

412 4

0 32 0 04 0 04 1 0 5

2912 4

2 34 0 32 0 32 1 0

====−−−−

====−−−−

====−−−− ====

⇒⇒⇒⇒ ==== −−−− ==== ====

==== ==== ==== ⇒⇒⇒⇒ ==== ====

==== ==== ⇒⇒⇒⇒ ==== ⇒⇒⇒⇒ ==== ×××× −−−−

==== ==== ⇒⇒⇒⇒ ==== ⇒⇒⇒⇒ ==== ×××× −−−−

) estrato 1

) estrato 2

.( ) ( , )

. porque ( , )

.. . . .

.. . . .

E

E

nLB

I

f I

f I

u

u

1

1

1

1

0

( ) = 0.03

(

uu2νννν

νννννννν

5 2 ) = 0.24

Para el cálculo de Ii se ha empleado simplemente la primera parte, al ser la segunda nula (νννν =0.5).


Finalmente, el asiento en el centro de la cimentación se obtendrá como:

scentro ==== ×××××××× ×××× ++++

×××× ×××× −−−−

==== ====4

5 5 12 4 0 031500

5 5 12 4 0 24 0 036000

0 015. . . . . ( . . )

. m 1.5 cm

Asientos diferidos: Se calcularán mediante el método edométrico. Cuando se calculan asientosdebidos a deformación drenada (en este caso diferidos por tratarse de unas arcillas) por elmétodo edomérico, conviene subdividir el estrato para tener en cuenta así la variación delmódulo de deformación con la profundidad provocada por la variación del estado tensional.En este caso se propone la siguiente subdivisión en subestratos:

Fig. 4.3 División del terreno en subestratos para el cálculo de asientos

Para la aplicación de dicho método edométrico se require una ley de variación de tensionesverticales bajo la cimentación. En este caso se han propuesto dos alternativas para las cualesse ha determinado el estado tensional.

Carga circular sobre semiespacio indefinido (Foster y Alvin, 1954). Solución analítica dadapor:

σσσσ z

q a z==== −−−−

++++

11

1 2

3 2

( )

que es la ley de tensiones verticales bajo el centro de la cimentación.

Carga circular sobre estrato de espesor finito (Milovic, 1970). Solución en forma de ábaco:


ha==== ==== ====

2914

2 0 3 ( . )νννν

Fig. 4.4. Ábaco de Milovic (1970) para el cálculo de tensiones verticales bajo carga circularflexible.

Los resultados obtenidos en uno y otro caso se muestran en la siguiente tabla:

Estratos z (m) z/a

FOSTER Y ALVIN

∆∆∆∆σσσσ/q ∆∆∆∆σσσσMILOVIC

∆∆∆∆σσσσ/q ∆∆∆∆σσσσ σσσσ0 σσσσ0'

1 1 0.07 1.00 5.5 1.00 5.5 1.9 0.9

2 3 0.21 0.99 5.4 0.98 5.4 5.7 2.7

3 6.5 0.46 0.92 5.1 0.90 4.9 12.6 6.1

4 11.5 0.82 0.74 4.1 0.80 4.4 22.6 11.1

5 16.5 1.18 0.56 3.1 0.65 3.6 32.6 16.1

6 21.5 1.54 0.41 2.2 0.55 3.0 42.6 21.1

7 26.5 1.89 0.31 1.7 0.42 2.3 52.6 26.1

Se adoptan las tensiones de la opción b) (estrato de espesor finito) porque representa mejor lasituación y son más desfavorables. Se supondrá que ∆∆∆∆σσσσ'z = ∆∆∆∆σσσσz , al no haber ∆∆∆∆u, y secalcularán asientos como si las condiciones fuesen edométricas en cada estrato.

A continuación se calcularán los módulos de deformación secantes que vienen dados por lasiguiente expresión:


Ee

Cm

c

====++++++++

∆σ∆σ∆σ∆σ∆σ∆σ∆σ∆σ

'

' '

'

( )

log

1 0

0

010

σσσσσσσσ

que aplicada a cada uno de los subestratos da lugar a:

Estratos 1 2 3 4 5 6 7

Em( )t m2 82 143 431 683 924 1169 1411

Por último basta calcular el asiento por integración (en este caso suma) de las deformaciones:

sh

Ei

mi

==== ==== ×××× ++++ ×××× ++++ ×××× ++++ ×××× ++++

++++ ×××× ++++ ×××× ++++ ×××× ====

∑∑∑∑ ∆σ∆σ∆σ∆σ'i i2

825 5

2143

5 45

4314 9

5683

4 4

5924

3 65

11693 0

51411

2 3 0 340

. . . .

. . . . m

El asiento total se obtiene como:

s s stotal instantaneo diferido==== ++++ = 1.5 + 34.0 = 34.5 cm.

El asiento puede ser inadmisible según el tipo de depósito a construir. Para reducirlo, unaprimera medida es profundizar, empotrando la estructura en el terreno. Nótese queprofundizando 2 m se reduce el asiento aproximadamente en:

cm 4.13m14t3400

mt82m2

222====

××××ππππ××××

ya que la parte superior del terreno es más deformable y el incremento de tensión es mayor.Esta estimación debería corroborarse mediante un nuevo cálculo de los asientos con el estadotensional correspondiente a la carga apoyada a cierta profundidad. Otra opción muy razonablepara reducir los asientos es la realización de una precarga que consolide el suelo y que al serexcavada deje éste sobreconsolidado.

________________________________________

PROBLEMA 5

Tenemos un terreno compuesto por 6 m de una arena densa (φφφφ'=38º, γγγγn = 2 t/m3) sobre 7 mde una arena media (φφφφ'=32º, γγγγn = 1.8 t/m3), a su vez apoyada en un macizo rocoso. Se va aproyectar una cimentación superficial de 5 m de anchura empotrada a 1 m de profundidad,


para soportar una carga de 1500 t y un momento de 100 t×m. Predimensionar estacimentación y estimar sus asientos suponiendo que el módulo de la arena densa aumentalinealmente desde 50 MPa a 1m de profundidad hasta 140 MPa a 6 m de profundidad y queel de la arena media aumenta también linealmente desde 70 MPa a 6 m de profundidadhasta 100 MPa a 13 m de profundidad.


Se supone que el vector momento actúa perpendicularmente al lado de longitud L que sesupone mayor que B.

Las tensiones σσσσ 1 yσσσσ 2 , máxima y mínima para una sección rectangular sometida a una carga

centrada y un momento en la dirección indicada, vienen dadas por:

σσσσ

σσσσ

1 2

2 2

6

6

====××××

++++××××

====××××

−−−−××××

VB L B L

VB L B L

M

M

Se ha confeccionado una tabla para diferentes valores de la longitud L de la cimentación (B =

5 m se encuentra fijada) (tensiones en t/m 2 ):

L σσσσ 1 σσσσ 2

5 64.8 55.2

10 31.2 28.8

15 20.5 19.5

20 15.3 14.7

También se puede despejar L en función deσσσσ 1 , resultando:


LV V B

B====

++++ ++++21

1

4 6

2

M

σσσσσσσσ

que para σσσσ 1 = 40 t/m 2 (arena densa sobre arena media) da lugar a L = 7.9 m.

Se elige L = 8 m y se calcula la carga de hundimiento según Hanna, aunque no se trataexactamente de la misma situación que en el esquema propuesto por este autor, ya que existeuna base rocosa indeformable. Sin embargo, en el problema 1 ya se vio lo que representabanlos términos de la solución de Hanna y se ve posible su aplicación para el caso rectangularañadiendo solamente coeficientes para tener en cuenta la presencia de la base indeformable.La presión de hundimiento calculada según el esquema propuesto por Hanna es:

p p h KL B

hh h s==== ++++ ++++

++++

−−−−

21

21 11

2 1 1γγγγ φφφφ γγγγ

dh

'tg

siendo:

1 y 1 1.39=º32 85

1' tg1

2.232'

4tg )' tg ( exp mt 126

21

2222

2222

212

22222222222

========××××++++====φφφφ++++====

====

φφφφ++++ππππφφφφππππ========γγγγ××××====

γγγγ++++==== γγγγγγγγγγγγγγγγ

qqq

q

qqqqh

idtgLB

s

Nq

idsNBidsNqp

y con respecto a los coeficientes del término de peso, éstos son:

1 y 1 75.04.01 2.30' tg )1( 2 222222 ============××××−−−−========φφφφ++++==== γγγγγγγγγγγγ qq idLB

sNN

Al ser B H = 5/7 = 0.7 menor que 1, las figuras de Mandel y Salençon (ver ábacos en

Problema 3) dan lugar a ξξξξ q = ξξξξ γγγγ = 1, lo que significa que la base rígida no afecta

prácticamente al desarrollo de las superficies de rotura. Por tanto:

ph2 1

21 8 5 30 2 0 75 1 1 12 23 2 1 39 1 1 489==== ×××× ×××× ×××× ×××× ×××× ×××× ++++ ×××× ×××× ×××× ×××× ====. . . . . t m 2

y substituyendo en la expresión de ph resulta ( Ks = 6, según el ábaco de Hanna, Problema 3):


2

2

mt 58610107489

5251

81

º38 tg65

12152489

====−−−−++++====

××××−−−−

++++××××××××××××

××××++++××××××××++++====

h

h

p

p

Esta ph es muy elevada, e implica unas hipótesis de rotura del estrato inferior ypunzonamiento del superior. Otra posibilidad de rotura, sería rotura generalizada del estratosuperior sin efectos en el inferior. Para comprobar que la hipótesis de rotura es correcta secalculará:

a) Profundidad necesaria de la capa superior para desarrollar la superficie de rotura(generalizada) en ella, como en el apartado primero del ejercicio anterior:

d

B

2

11

1

2

24 2

1 63 8 13====−−−−

++++

==== ==== exp

'tg '

cos '

. . m


ππππ φφφφ4

B

puesto que 8.13 m > 5 m (espesor de dicha capa), en principio no se desarrollará en ella larotura global.

b) Carga de hundimiento del estrato superior suponiendo que pudiera desarrollarse la roturaen él:

22

2

mt 4.4388.1456.292

1149.193.4821175.003.7850.221

====++++====

××××××××××××××××++++××××××××××××××××××××××××====

h

h

p

p

en la que se han usado los siguientes coeficientes:

q

d i i

q

q q

1 1 2 1

1 1 1 1 1 1

1 2 48 93 158

38 1 49

1 78 03 0 75 1

==== ×××× ==== ==== ==== ++++ ×××× ====

==== ==== ==== ==== ==== ====

γγγγ

γγγγ γγγγ γγγγ γγγγ

º .t m . tg

. .

2 N S

N S d

q

En este caso, a pesar de que la profundidad no es suficiente para la rotura generalizada en elestrato superior, su carga de hundimiento suponiéndolo indefinido es menor (ph

1<ph Hanna), por

tanto, por seguridad se tomaría este valor (438 t/m 2 ) como carga de hundimiento aunqueaparentemente no es probable el desarrollo de este mecanismo de rotura.


Sin embargo, los elevados valores de presión de hundimiento tanto en un cálculo como en otroincan que la problemática de esta cimentación no será el hundimiento, lo que se debe a que elterreno es de tipo granular.

Por otro lado se realizará el cálculo de asientos. Para ello debe calcularse la expresión delmódulo de deformación en cada estrato.

Módulo de deformación del estrato superior:

E z z==== ++++−−−−−−−−

×××× −−−− ==== ++++ ×××× −−−− ==== ++++5000

14000 50006 1

1 5000 1800 1 5000 1800( ) ( )' ' z

Modulo de deformación del estrato inferior:

E z z z==== ++++−−−−−−−−

×××× −−−− ==== ++++ ×××× −−−− ==== ++++ ×××× −−−−700010000 7000

13 66 7000 429 6 7000 429 5( ) ( ) ( )' '

Dada la variabilidad de los módulos de deformación, una alternativa sencilla para el cálculode los asientos es la discretización en subestratos según el siguiente esquema:

Fig. 5.2 Discretización en subestratos para el cálculo de asientos

El siguiente paso es calcular el estado de tensiones verticales en función de la profundidad:

Estrato z z/(L/2) ∆σ∆σ∆σ∆σ z q ∆σ∆σ∆σ∆σ z E

1 1.25 0.31 0.94 35.25 7250

2 3.75 0.94 0.64 24.00 11750

3 6.75 1.69 0.46 17.25 7751

4 10.25 2.56 0.30 11.25 11397


Donde ∆∆∆∆σσσσ / q se ha obtenido con la figura dada por Sovinc (1961) (ver Problema 2) yutilizando:

34

124

6.15.2

4

2

2 mt 5.3758

1500 2 ========================××××==== hB

L

ab

q

El asiento se obtiene finalmente como:

mm 21=m 021.0002.0006.0004.0009.0

743.0/1139725.115.3

743.0/775125.175.3

743.0/11750245.2

743.0/725025.355.2

' i

====++++++++++++====

====××××++++××××++++××××++++××××====σσσσ∆∆∆∆==== ∑∑∑∑ imi

i

Eh

s

Según la metodología seguida, el cálculo de este asiento debe hacerse usando el módulo dedeformación edométrico puesto que en la expresión para el cálculo del asiento se ha tomadosolo en términos de variaciones verticales de tensión. El módulo elástico se ha transformado enedométrico utilizando ν=0.3 en la expresión:

νννν−−−−νννν−−−−

12

12m

E= E

Alternativamente al método usado aquí puede determinarse el asiento mediante la mismaestratificación en el método de Steinbrener, en este caso con los módulos elásticos (E).

______________________________________


Cimentaciones Profundas 49

Capítulo 2. Cimentaciones profundas

PROBLEMA 6

Un terreno está compuesto por 15 m de una arena suelta sobre una arena compacta. Paracimentar cargas de 100 t se opta por hincar pilotes de hormigón (tras la hinca puedesuponerse que la arena media suelta alcanza un φφφφ' = 32º). Estudiar la posibilidad de dejarun pilote flotante en la capa superior. En caso de descartarse esta posibilidad dimensionarun pilote que penetre en la capa de apoyo (φφφφ' = 38º). En esta última hipótesis dimensionarun grupo de pilotes 3×3 para soportar una carga total de 600 t (excentricidad máxima de10 cm) de forma que ningún pilote supere la carga admisible de 100 t, y estimar losasientos que se producirán. Realizar el dimensionamiento tanto en base a la NTE como porcálculos estáticos. Para realizar el dimensionamiento a partir de resistencias a lapenetración se pueden tomar los siguientes valores: Rp= 600 t/m2 y Rp=1200 t/m2,respectivamente, para la capa superior y de apoyo.



a) En primer lugar se dimensiona un pilote para 100 t siguiendo la metodología de la NTE(Acondicionamiento del Terreno. Cimentaciones. MOPT). Se supone que se trata de un piloteprefabricado y se recurre a las diferentes tablas de dicha norma.

Para una carga de 100 t (Q = 100 t) y 1 pilote (n = 1) resulta un diámetro de φ = 42.5 cm. Pootro lado, al no haber momento, la carga equivalente es igual a la carga vertical, es decir: E =Q = 100 t.

Para 1 pilote (n = 1) y terreno granular el coeficiente c es igual a 0.33. Y para una resistenciaa la penetración estática del terreno Rp= 600 t/m2= 60 kp/cm2 (se considera primero el estratosuperior solamente), juntamente con el diámetro elegido de φφφφ = 42.5 cm resultan las cargas dehundimiento por punta y por fuste siguientes:

tabla 3 (NTE) tabla 6 (NTE)

P = Q p = 85.1 t F = Q f = 6.8 t/m

Una vez se dispone de los valores de estas cargas de hundimiento, se sustituye en lainecuación siguiente:

E ≤≤≤≤ c (P ++++F)

100 ≤≤≤≤ 0.33 (85.1 ++++ 6.8 l)

de la que resulta la longitud del pilote:

l ≥≥≥≥ 31.6 m >>>> 15 m

Por tanto la capa superior no es suficientemente profunda para soportar el pilote y resultanecesario recalcular dicha longitud al no haber tenido en cuenta la presencia del estratoinferior de terreno.

En la capa inferior se tiene que Rp = 1200 t/m2= 120 kp/cm2, que juntamente con el diámetroelegido de φ = 42.5 cm da lugar a:

P = Q p = 170.2 t F = Q f = 10.2 t/m

Si se tiene en cuenta que la punta estará en el estrato inferior pero el fuste tiene colaboraciónde ambos estratos, se tiene:

221

2

15

)2.10158.62.170(33.0100

)(

llll

l

FPc E

++++====++++====++++××××++++≤≤≤≤

++++≤≤≤≤


y por tanto l2 ≥ 3.0 m, es decir, l = 15 + 3 = 18 m. Se trata pues, de pilotes de longitud totaligual a 18 m, longitud a la que puede añadirse una longitud de empotramiento que puedetomarse entre 3 a 6 veces el diámetro del pilote.

b) La segunda alternativa de cálculo es mediante cálculos estáticos.

Como tope estructural para pilote prefabricado puede tomarse:

T B Ae b a==== ++++0 25 0 40. .σσσσ σσσσ

con :

22 cmkp 300 ó cmkp 7525.0 ≤≤≤≤σσσσ≤≤≤≤σσσσ bb

siendo: σa, la tensión máxima en el acero, σb, la tensión máxima en el hormigón, A el area deacero y B el área de hormigón. Esta expresión tiene en cuenta la contribución a la resistencia ala compresión del pilote de cada material (hormigón y acero) y también incluye unoscoeficientes de minoración (0.25 y 0.40) que pueden interpretarse como factores de seguridadrespecto a la rotura del pilote a compresión (4 y 2.5, respectivamente). Se ha supuestomáximo trabajo del hormigón y se desprecia la contribución del acero (A pequeño comparadocon B):

m 42.0 4

750=t 100

mt 75025.02

2

====φφφφφφφφππππ

====σσσσ==== BT be

y, por tanto, se tomará φ = 0.425 m = 42.5 cm que corresponde a uno de los diámetros tipo enla norma NTE para pilotes prefabricados.

La carga de hundimiento se calculará como:

Q Q Q p Ah p f p p

l= + = + ∫2

0 rππππ ττττ(z) dz

donde se adoptarán las siguientes expresiones teóricas para la resistencia por punta:

qqqqp Nids qp ====

siendo:

62.1º32 tg11

1' tg1 ====++++====φφφφ++++====γγγγ====LB

slq q


Ahora, teniendo en cuenta que D/B >1 ( l / φφφφ >1) , obtendremos el resto de coeficientes:

t 81.434

425.0309

mt 3094.792.162.12

4.791010

)BD si 5.1)/(arctg(

2.15.1)º32 sin1(º32 1 arctg)' sin1(' tg 21d

2

2

32º tg 04.3' tg 04.3

22q

====××××ππππ××××××××====

××××====××××××××××××××××====

============>>>>>>>>≈≈≈≈

≅≅≅≅××××−−−−++++≅≅≅≅φφφφ−−−−φφφφ++++====

φφφφ

lQ

llp

N

BD

tgBD

p

p

q

Se considera la limitación a la resistencia por punta que no permite que ésta aumente enprofundidad indefinidamente. Esta limitación es:

2max

2q

max

mt 248=º32 tg4.795

)mt en ( ' tgN 5

××××××××====

φφφφ====

p

p

p

p

y por tanto, resulta:

Qpmax ==== ××××

××××====248

0 4254

35 22ππππ .

. t

Por otro lado, la resistencia por fuste se calculará como:

ττττ σσσσ δδδδ( ) ( ) tg z zh====

donde se puede tomar como δδδδ=2/3φ, y la tensión horizontal calcularse como:

σσσσ σσσσh K ==== v

con K = 1 que puede ser razonable para arenas sueltas. La tensión vertical σσσσ v es igual a (se

supone terreno seco):

σσσσ γγγγ

γγγγv

( )

t m

profundidad

2

z z

z

n====

========

n 2

Sustituyendo, resulta la variación con la profundidad de la resistencia por fuste:


ττττ φφφφ( ) tg ' . t m 2z z==== ×××× ××××

×××× ====2 1 0 78

23

z

También se debe limitar la resistencia por fuste porque no puede aumentar indefinidamente enprofundidad debido a que las tensiones verticales se estabilizan. Para un pilote hincado enarena suelta, la limitación es:

ττττmax = 4 t/m2

Igualando 0.78 z = 4 resulta z = 5.13 m, que es la profundidad a partir de la cual la resistenciapor fuste es superior a 4 t/m2. Por tanto, la resistencia por fuste para un pilote que alcance unaprofundidad l ≥ 5.13 m se calculará como:

)13.5> (donde 7.1334.54.2734.57.13

)13.5(42425.0

2213.5

78.02425.0

2

)13.5(4278.02

2

13.5

0

ll l

l

lr dzz r Q f

−=−+=

=−×××+×××=

=−××+= ∫ππππππππ

ππππππππ

Para un FS = 3 se puede calcular la longitud necesaria de los pilotes como:

Q Q Q

Q FS Q

l

h p f

h

==== ++++ ==== ++++ −−−−

==== ×××× ==== ×××× ==== ==== ++++ −−−−≥≥≥≥

35 2 5 34 13 7

3 100 300 35 2 5 34 13 7

52

. . .

. . .

l

l t t

m > 15 m (espesor de la arena suelta)

Como puede observarse resulta necesario empotrar en la capa inferior ya que la longitudobtenida supera el espesor del estrato, y por tanto hay que rehacer el cálculo. En este caso lacarga de hundimiento se obtendrá como:

Q Q Q p A z zh p f p p

l= + = + +∫ ∫2 21

0

15

20

r dz r dzππππ ττττ ππππ ττττ( ) ( )

siendo:

qqqqp Nids qp ====

donde:

78.1=º38 tg11

1' tg1 l ++++====φφφφ++++====γγγγ====LB

sq q


y teniendo en cuenta que D/B >1 (l /φφφφ >1), se tiene:

d ' 'q ==== ++++ −−−− ≅≅≅≅ ++++ ×××× −−−− ×××× ≅≅≅≅1 2 tg (1 sin ) arctg 1 tg 38º (1 sin 38º ) 1.5 1.352 2φφφφ φφφφDB

en la que se ha aproximado arctg(D/B)≅1.5, que corresponde a D>>B. Además Nq es igual:

N q ==== ==== ====10 10 237 23 04 3 04. tg . tg . ' 38ºφφφφ

Sustituyendo y teniendo en cuenta que iq=1 (carga no inclinada) resulta:

p l

Q p A l

p

p p p

==== ×××× ×××× ×××× ×××× ====

==== ==== ×××× ×××× ====

2 1 78 1 35 237 2 1139

11390 425

4162

2

. . . t m

.

2 l

l

ππππ

Teniendo en cuenta la limitación a la resistencia por punta:

p

p

pmax

pmax

====

==== ×××× ××××

5

5 237 2 38 927

N 'q tg

. tg t m 2

φφφφ

º =

resulta:

Q A ppmax

p pmax==== ==== 131 t

La resistencia por fuste tiene dos componentes debido a la diferente naturaleza de los estratos.En el superior se obtiene (para l = 15 m):

Q f1 5 34 15 13 7 66 4==== ×××× −−−− ====. . . t

En el inferior se tiene ττττ ττττ( ) t m 2z max==== ==== 10 para pilote hincado en arena densa (se toma

directamente el máximo al ser z > 15 m):

Q l lf2 2 10 15 13 4 15==== ×××× ×××× −−−− ==== ×××× −−−− rππππ ( ) . ( )

Finalmente se obtiene la longitud para seguridad al hundimiento con FS = 3:

Q FS Q Q Q Q

l

h p f f==== ×××× ==== ×××× ==== ==== ++++ ++++

==== ++++ ++++ ×××× −−−−

3 100 300

300 131 66 4 13 4 15

1 2

t

. . ( )


es decir:

l ≥≥≥≥ 22 7. m

Como puede observarse, mediante cálculos estáticos se obtiene una longitud de pilote mayorque utilizando la normativa. Esta metodología es poco aconsejable en la práctica porque sebasa en relaciones que utilizan parámetros del suelo que no suelen estar disponibles para elcálculo de una cimentación profunda y a veces quedan en exceso del lado de seguridad(demasiado conservadores). En la práctica es más fácil realizar ensayos de penetración yestimar las cargas resistentes por punta y fuste en base a los resultados de dichos ensayos. Lanorma NTE proporciona tablas de gran utilidad para estimar Qp y Qf para pilotes hincados oprefabricados de diferentes diámetros y diferente naturaleza del terreno donde se va acimentar.

A continuación se realiza el dimensionamiento de un grupo de pilotes 3×3 para una carga totalde 600 t y una excentricidad máxima emax= 1 m. Además se requiere que en cada pilote lacarga máxima no supere (Pi ≤ 100 t).

La carga sobre el pilote más cargado viene dada por (se supone que todos los pilotes soniguales):

PP

n

M y M xi

t x i y i

i

==== ++++ ++++ΣΣΣΣ ΣΣΣΣ y xi

2 2

Fig. 6.2 Esquema del grupo de pilotes

Para un ángulo θθθθ cualquiera: θθθθ==== cos ePM tx , θθθθ==== sin ePM ty . Además, se escribirá la

expresión para un pilote de esquina que es el que se encuentra más alejado, es decir:


)sin(cos10

7.66

33sin1.0600

33cos1.0600

9600

2222

θθθθ++++θθθθ××××++++====

××××++++××××××××θθθθ××××××××++++

××××++++××××××××θθθθ××××××××++++====

sP

sss

sss

P

i

i

Se trata ahora de hallar un máximo para θθθθ; es decir, lo que se ha de hacer es la derivadaparcial respecto θθθθ e igualar a cero:

0)cossin(10

P i ====θθθθ++++θθθθ−−−−××××====θθθθ∂∂∂∂

∂∂∂∂s

De lo que resulta:

cos sinθθθθ θθθθ====

θθθθ ==== 45º

y substituyendo para este ángulo resulta:

10041.110

7.66 ≤≤≤≤

××××++++====

sPi

condición que permite establecer que la separación sea:

cm 5.42m 425.0s ====≥≥≥≥

Para ver si hay tracciones basta cambiar a signo negativo los términos de momento, es decir:

0>t 1.33425.0

41.1107.66 ====

××××−−−−====iP

La separación resultante para que Pi<100 t ha resultado ser del mismo orden que el tamaño delos pilotes. Por tanto, bastará tomar s/φφφφ = 2.5 a 3.5 lo que reducirá todavía más la cargasobre el pilote más cargado.

A continuación se realizará una estimación de los asientos mediante expresiones de tipoempírico. En arenas puede usarse la siguiente expresión para estimar al asiento:

sQ

Qtt

r

====φφφφ30

siendo:


) (en Diámetro

pilote del aResistenci Q

trabajode Carga Q

r

t

cm:

:

:

φφφφ

Para un solo pilote Qt = 100 t (primer caso), mientras que para un grupo de 3×3: Qt =66.7 t

(segundo caso).

Q

s

s

r b

t

t

==== ×××××××× ==== ××××

×××× ====

==== ×××× ====

==== ×××× ====

σσσσππππ ππππ0 425

47500 25

0 4254

426

100426

42 530

0 33

66 7426

42 530

0 22

2 2..

. t

.. cm

. .. cm

Para considerar que es un grupo; se corrige el asiento mediante un factor multiplicativo segúnla siguiente tabla:

B/φ 1 5 10 20 40 60

αg 1 3.5 5 7.5 10 12

s sg ttg ==== αααα siendo αααα g = 3.5 para b/φφφφ = 5, resultando un asiento total de:

cm 77.022.05.3 ====××××====tgs

Estas fórmulas solamente sirven para estimar o acotar los asientos y puesto que no tienen encuenta parámetros de deformabilidad del suelo son poco fiables.

___________________________________________

PROBLEMA 7

Tras realizar una campaña de ensayos penetrométricos estáticos se modela el perfiltransversal de un terreno con dos estratos, uno superior coherente de 5 m con Rp crecientelinealmente con la profundidad desde 10 t/m2 hasta 20 t/m2, y otro inferior granular, degran potencia, con Rp así mismo creciente linealmente con la profundidad desde 80 t/m2

hasta 800 t/m2a 30 m de la superficie. Dimensionar en este terreno una cimentaciónprofunda 2× 2 para soportar una carga de 400 t inclinada 2.5º con la vertical, y unmomento de 150 t× m. Comentar el método constructivo a utilizar y estudiar cómo variaráel coeficiente de seguridad al hundimiento si tras aplicar en superficie del terreno una


carga extensa de 2 t× m2 la capa superior consolida. Indicar, en este último caso, el estadotensional de los pilotes.


En primer lugar, se obtendrá la variación de Rp con la profundidad:

R z z

R z

p

p

==== ++++−−−−−−−−

×××× −−−− ==== ++++ <<<< <<<<

==== ++++−−−−−−−−

×××× −−−− ==== −−−− ≥≥≥≥

1020 105 0

0 10 2 0 5

80800 80

30 55 28 8 64 5

( )

( ) .

z

z z

El proceso constructivo podría ser por extracción en capa coherente y, en cambio, hincado enla capa granular (ya sea mediante un pilote prefabricado, o uno ejecutado in situ mediante unazuche o tapón de gravas). Sin embargo, por ser la capa coherente de espesor moderado,podrían realizarse por hinca en todo el terreno.


La carga vertical y momento de proyecto son mayores que los máximos que considera lanorma (NTE) y por tanto no es posible usar dicha norma directamente para el cálculo delgrupo de pilotes. Se realizará el cálculo del grupo utilizando la distribución teórica de cargasen un grupo de pilotes iguales (basada en una distribución lineal de tensiones), el topeestructural y se tomarán las cargas de hundimiento de dicha norma.

A continuación se realiza la determinación del diámetro φφφφ y la separación s. La disposiciónpropuesta es de 2×2 pilotes y se supone la misma separación en cada dirección ya que no seindica en que dirección actúa el momento. Las cargas de proyecto son:


05.004.06.399

4.17

t 4.17º5.2 sin400 t 4006.399º5.2 cos400

<<<<========

====××××====≅≅≅≅====××××====

VH

HV

No es necesario considerar H ya que puede considerarse resistido por el terreno puesto que secumple que H/V < 0.05.

La carga vertical y el momento de proyecto son: V = 400 t, M = 150 mt, y la norma NTE, noconsidera valores tan altos del momento. Por tanto, como se ha indicado, el dimensionamientose realizará utilizando explícitamente las condiciones de que no se supere el tope estructural enel pilote y la condición de seguridad al hundimiento en lugar de hacerlo indirectamente através de la norma.

El tope estructural de un pilote "in situ" se puede calcular como:

T B A e b a b==== ++++ ≤≤≤≤0 25 0 40 0 25 600. . . t m 2σσσσ σσσσ σσσσ

siendo: σa, la tensión máxima en el acero, σb, la tensión máxima en el hormigón, A el area deacero y B el área de hormigón (ver problema 6). Se adopta Te = 600 t/m2B, y se deprecia la

contribución del acero resultando:

4600

2πφπφπφπφ====eT

siendo φφφφ el diámetro del pilote.

A continuación se calculará la carga en el pilote más desfavorable para la disposiciónadoptada. Si se supone que el momento solamente puede actuar en una dirección que sea eje,es decir Mx ó M y , pero no en una dirección arbitraria, se tiene:

ss

s

Pi

75100

24

2150

4400

2±±±±====

±±±±====

Otra posibilidad sería suponer que el momento pudiera actuar en cualquier dirección en cuyocaso, la situación más desfavorable sería a 45º:


ss

s

Pi

752100

22

4

22

150

4400

2±±±±====

±±±±====

En ambos casos el signo + corresponde al pilote más cargado y el signo - al menos cargado.

Se adopta s/φφφφ = 2.5 y se impone P Ti e==== en ambos casos para calcular el diámetro. En el

primer caso la ecuación que se plantea es:

24.471

30 100

30 100 24.471

2.5mt 75

t 1004

600

3

3

2

++++φφφφ====φφφφ

++++φφφφ====φφφφφφφφ

++++====πφπφπφπφ

de lo que resulta un diámetro:

φφφφ = 0.569 m

Y si vamos al segundo caso la ecuación que se obtiene es:

589

4.42 100

4.42 100 24.471

2.5mt 275

t 1004

600

3

3

2

++++φφφφ====φφφφ

++++φφφφ====φφφφφφφφ

++++====πφπφπφπφ

y resulta el diámetro:

φφφφ = 0.602 m

Se adoptará φφφφ = 0.65 m y por tanto, s = 2.5 φφφφ = 1.625 m que es suficiente incluso si elmomento actúa diagonalmente. Para comprobar que no hay tracciones en el pilote menoscargado se calcula:

0>t 73.3475

2100 ====−−−−====s

Pi


Una vez determinados el diámetro y la separación del grupo de pilotes tan sólo quedadeterminar su longitud. Ésta se puede obtener aplicando la condición de hundimiento para uncierto factor de seguridad. Para ello es necesario determinar las resistencias por punta y fusteen el terreno y calcular la carga de hundimiento.

Resistencia por fuste en arcilla (capa superior), según tabla 9 (NTE) para un diámetro de 65cm:

R

R

p

p

==== ====

==== ====

0 75 1 0

2 25 3 0

. kp cm . t m

. kp cm . t m

2

2

Q

Q

f

f

Al ser la variación de Rp lineal puede aproximarse la carga por fuste en la capa superiorutilizando el valor de un punto medio del estrato. En este caso, si z = 2.5 m:

Rp ==== ++++ ×××× ====

====

==== ×××× ====

10 2 2 5 15

2 0

2 0 51

. t m

. t m

. t m m 10.0 t

2

Q

Q

f

f

Resistencia por fuste en capa de arena (capa inferior) según tabla 7 (NTE) para un diámetrode 65 cm:

R

R

p

p

==== ====

==== ====

20 6 1

80 12 2

kp cm . t m

kp cm . t m

2

2

Q

Q

f

f

interpolando linealmente y para Rp en t/m2, resulta:

Q R

Q R

f p

f p

==== ++++−−−−−−−−

×××× −−−−

==== ++++ ×××× −−−−

6 112 2 6 1800 200

200

6 1 0 010167 200

.. .

( )

. . ( )

Sustituyendo la ley de variación de la resistencia a la penetración resulta:

R

Q

Q

p

f

f

==== −−−−

==== ++++ ×××× −−−− −−−−

==== ++++

28 8 64

6 1 0 010167 28 8 64 200

3 416 0 2928

.

. . ( . )

. .

z

z

z

integrando para un longitud l del pilote:


74.20416.31464.0

2)5(2928.0)5(416.3)2928.0416.3(

2

22

5 5

2

−−−−++++====

====−−−−××××++++−−−−××××====++++======== ∫∫∫∫ ∫∫∫∫l l

lldzz dzQQl l

ff

Para estimar la resistencia por punta se tomaran los valores siguientes:

l=8.8 m Rp=19 kp/cm2 Qp=37.3 t

l=28.3 m Rp=75 kp/cm2 Qp=149.3 t

según la tabla de resistencias por punta en terreno coherente de la NTE. De esta forma sepuede calcular:

t 2.137.5)8.83.28()3.373.149(

)8.8(3.37 −−−−====−−−−−−−−××××−−−−++++==== l lQp

Finalmente:

9.331.91464.00.10 221 −−−−++++++++====++++++++==== ll QQQQ pffh

donde no se ha considerado el efecto del grupo por tratarse de un suelo arenosoprincipalmente. Tomando la carga en el pilote más desfavorable como (momento en diagonal):

Pi ==== ++++××××

====10075 2

2 5165 27

..

φφφφ t

y para un factor de seguridad al hundimiento de 3, resulta:

m 361464.02

3.3041.9119

081.4959.231.90.1464

t 81.49527.1653

2

2

====××××

++++±±±±−−−−≥≥≥≥

≥≥≥≥−−−−−−−−++++

====××××====××××≥≥≥≥

. l

l l

PFSQ ih

Mientras que la alternativa con el momento paralelo a un eje da lugar a:

m 33

m 46.43815.1463

t 15.1465.2

75100

≥≥≥≥====××××====

====φφφφ

++++====

l

Q

P

h

i


Si se quisiera reducir su longitud habría que cambiar el grupo. Un cálculo simple para ungrupo de 3x3 conduce a:

Ps

s ss

Q FS P

i

h i

==== ++++××××

××××==== ++++ ==== ====

≥≥≥≥ ×××× ==== ×××× ====

4009

1506

44 4425

59 83 1 625

3 59 83 179 49

2 . . .

. .

t ( m)

t

Con lo que resulta:

l ≥≥≥≥ 17.5 m

Se ha tomado los valores de diámetro y separación determinados para la geometría anterior de2×2 para hacer este tanteo y por tanto no es necesario hacer de nuevo la comprobación de topeestructural.

Por último se realizarán las comprobaciones en el caso de que se produjese fricción negativade la capa de arcilla superior. Para ello, se toma l = 33 m y Pi = 146.15 t y se trata de ver si

el pilote es de tipo flotante o de tipo columna en primer lugar:

t1752.13337.5

t251.4=t74.2033416.3331464.0

t0.1022

1

Q

Q Q

Q

p

f

f

f

====−−−−××××====

====−−−−××××++++××××====

====

y que como se puede observar:

Q Qp f<<<< 3

por lo que se trata de un pilote flotante o trabajando principalmente por fuste según el criteriode la NTE.

Esto implica que en el factor de seguridad, la resistencia por fuste del primer estrato se calculasegún la tabla 12 de dicha norma, es decir:

8.215.146

1754.241m 5t/m 1

22

====++++++++××××−−−−====

====++++++++−−−−

========i

pf

i

h

P

QQR

PQ

FS


Al tomar la fricción en la capa de arcilla como negativa (contraria a Qh ) se reduce el FS,

pero en este caso solo desciende ligeramente de 3 a 2.8, lo que puede considerarse aceptable.Con respecto al estado tensional, la sección de pilote más cargada se encontraría en la parteinferior del estrato que provoca rozamiento negativo. La carga en esa sección sería:

t 169.6t 3.17015 5.2

275100 ≅≅≅≅====××××++++

φφφφ××××++++====iP

aunque ligeramente superado el tope estructural, se puede afirmar que a pesar de que se puedaproducir el rozamiento negativo, el hormigón es todavía capaz de resistir la carga más elefecto del mismo (debe notarse que el tope estructural ya está afectado de unos factores deminoración).

____________________________________

PROBLEMA 8

Dimensionar un grupo de pilotes 3× 2 para soportar unas acciones exteriores de 1375 t y200 t×m, en un terreno compuesto por 12 m de una arcilla blanda con bolos (Rp=5 kp/cm2)sobre 10 m de una arcilla arenosa (Rp= 20 kp/cm2), a su vez apoyada sobre un estrato degran potencia arenoso (Rp= 150 kp/cm2). Estimar los asientos que se producirán e indicarel procedimiento constructivo a utilizar.

En primer lugar se determinarán s y φφφφ mediante la aplicación de la condición de que no sesupere la carga admisible del hormigón. El tope estructural del pilote, tal como se ha indicadoen los problemas anteriores, se calcula como:

T B Ae b a==== ++++ ==== ××××××××

0 25 0 40 6004

2

. .σσσσ σσσσππππ φφφφ

donde se ha tomado 0.25σb=600 t/m2 por tratarse, como se indicará, de pilotes a ejecutar insitu, lo que está motivado por las características del terreno. Por otro lado, la carga en elpilote más desfavorable para una disposición de 3×2 se obtiene como:

Ps

i ==== ++++××××1375

6200

4 2 s

suponiendo que el momento actúa en la dirección de los 3 pilotes, es decir, se han dispuesto 3pilotes en la dirección más desfavorable. En caso de que el momento pueda variar de direcciónentonces habría que determinar la orientación más desfavorable de forma parecida a como seha hecho en el problema 7.


Si se adopta s = 2.5 φφφφ, igualando el tope estructural con la carga que soporta el pilote mássolicitado, resulta la siguiente ecuación:

6004

13756

2004 2 5

471 24 229 2 20

229 2 20471 24

2

3

3

×××××××× ==== ++++

××××

==== ++++

====++++


φφφφ φφφφ

φφφφφφφφ

.

. .

..


que permite determinar el diámetro de pilotes necesario:

φφφφ = 0.737 m

En principio se tomaría un diámetro de 75 cm, sin embargo, dado que la NTE no lo consideraen su gama de diámetros para pilotes ejecutados in situ, parece más adecuado tomar φφφφ = 0.85m del que resultan: s = 2.125 m y Pi = 252.7 t. Con este cálculo quedan determinados el


diámetro y la separación del grupo de pilotes. El diámetro de los pilotes a construir puedeestar condicionado por la maquinaria disponible.

Para determinar la longitud se utilizará la condición de que no se produzca hundimiento paraun cierto factor de seguridad. Para calcular las cargas de hundimiento es preciso determinarlas resistencias por punta y por fuste para el diámetro adoptado.

En primer lugar se determinará la resistencia por fuste en la capa de arcilla superior para eldiámetro de 85 cm. Se tiene en esta capa que Rp=5.0 kg/cm2. Pero ese valor no está en lastablas de la NTE, por lo que será necesario interpolar en las mismas. Los valores siguientes seobtienen en las tablas:

Rp ==== 4 0 2. kg cm Q f1 6 1==== . t m

Rp ==== 6 0 2. kg cm Q f1 8 0==== . t m

Si se interpola para Rp=5.0 kg/cm2 resulta:

Q

Q

f

f

1

1

6 1 8 0 2 7 05

7 05 12 84 6

==== ++++ ====

==== ×××× ====

( . . ) / . t m

. . t

En segundo lugar se determinará la resistencia por fuste en la capa de arcilla arenosa para eldiámetro de 85 cm. En esta capa se tiene Rp=20.0 kg/cm2, valor para el que es precisotambién interpolar. Los valores siguientes se obtienen en las tablas:

Rp ==== 18 5 2. kg cm Q f2 12 9==== . t m

Rp ==== 22 5 2. kg cm Q f2 14 0==== . t m

Si ahora se interpola, para Rp=20.0 kg/cm2 resulta:

Q

Q

f

f

2

2

12 9 14 0 2 13 45

13 45 10 134 5

==== ++++ ====

==== ×××× ====

( . . ) . t m

. . t

En tercer lugar se determinará la resistencia por fuste en la capa de arena para el diámetro de85 cm. En esta capa se tiene Rp=150.0 kg/cm2 para el que también se tendrá que interpolar.Los valores siguientes se obtienen en las tablas de la NTE:

2cmkg 0.140====pR Q f3 22 7==== . t m

Rp ==== 160 0 2. kg cm Q f3 24 3==== . t m

Si se interpola para estos dos valores resulta para Rp=150.0 kg/cm2:


Q

Q l l

f

f

3

3

22 7 24 3) 2 23 5

23 5 10 12)) 23 5 22)

==== ++++ ====

==== ×××× −−−− ++++ ==== ×××× −−−−

( . . . t m

. ( ( . (

En cuarto lugar se determinará la resistencia por punta en la capa de arena para el diámetro de85 cm. Los valores siguientes se obtienen de las tablas de la NTE:

2cmkg 0.140====pR Q p3 541 9==== . t

Rp ==== 160 0 2. kg cm Qp3 588 0==== . t

Si se interpola para Rp=150.0 kg/cm2 resulta:

Qp3 541 9 588 0 2 564 95==== ++++ ====( . . ) / . t

Por último se calculará la longitud necesaria de los pilotes para obtener un FS = 3 alhundimiento:

Q FS Ph i≤≤≤≤ ==== ×××× ====3 252 7 758 1. . t

Q Q Q Q Q lh f f f p==== ++++ ++++ ++++ ==== ++++ ++++ ×××× −−−− ++++ ≥≥≥≥1 2 3 3 84 6 134 5 23 5 22) 564 95 758 1. . . ( . .

Con esto resulta que basta con que la longitud de los pilotes sea de l=22 m para que se cumplala condición de hundimiento. Por supuesto, dado que se trata de pilotes en los que se confía enla contribución por punta será necesario garantizar un empotramiento suficiente en la capagranular (del orden de 6φ).

En la cimentación considerada, la reducción en la carga de hundimiento causada por el efectode grupo se puede estimar como:

[[[[ ]]]][[[[ ]]]]

68.023

1222213)7.0(1

)1)(1(2)1()1(1

====××××

××××××××++++××××++++××××ππππ

−−−−====

====−−−−−−−−++++−−−−++++−−−−

ππππββββ−−−−====ηηηη

arctg

mnnmmnnm

en el que se ha tenido en cuenta que se trata de un grupo con m=3 y n=2, y que β=arctg(B/(2s))=arctg((0.85+2.5x0.85)/(2x2.5x0.85))=arctg(0.7). Dicho coeficiente se aplicaríaprincipalmente a los estratos arcillosos que es donde se producen reducciones a la resistenciaal hundimiento, y en este caso, la longitud de pilotes vendría dada por:


1.75895.564)22(5.23)5.1346.84(68.0

)(68.0 3321

≥≥≥≥++++−−−−××××++++++++××××====

++++++++++++××××====

lQ

QQQQQ

h

pfffh

que conduce a una longitud necesaria de 24 m en lugar de 22 m que se había obtenido en casode no considerar el coeficiente de reducción de grupo.

Para completar los cálculos de este grupo de pilotes, se realizará una estimación de losasientos. Por tratarse de pilotes apoyados en un terreno arenoso puede utilizarse las siguientesexpresiones para estimar dicho asiento:

sQ

Q

Q

s

tt

rt

r b

t

==== ====

==== ××××××××

==== ××××××××

====

==== ×××× ====

φφφφ

σσσσππππ φφφφ ππππ

30252 7

46000 25

0 854

1362

252 71362

8530

0 52

2 2

Q . t

..

t

.. cm

para considerar que es un grupo:

s sg ttg ==== αααα

Como 5.3====φφφφB , el coeficiente de grupo 3====αααα g (ver problema 7). Por lo tanto:

cm 6.152.03 ≅≅≅≅××××====tgs

En este caso se produce prácticamente toda la construcción en materiales arcillosos (10+12m), por tanto no es aconsejable la hinca mediante uso de azuche o tapón de gravas, teniendoen cuenta además que al haber bolos, la hinca puede ser dificil por problemas de desviacióndurante la misma. Se aconseja por tanto la ejecución in situ mediante extracción. Unaposibilidad es excavar con cuchara, y si se encuentran niveles más duros (los bolos) utilizar eltrépano, y sostener las paredes con una camisa recuperable o lodos bentoníticos.

_________________________________________


PROBLEMA 9

La figura adjunta (Fig. 9.1) es el resultado de un ensayo de penetración estática sobre unterreno compuesto por una capa superior cohesiva y otra inferior, de gran espesor,granular. Dimensionar la cimentación profunda a construir para soportar unas accionesexteriores de 250 t y 20 t×m.

Fig. 9.1 Resultados ensayos de penetración


La figura del resultado del ensayo de penetración estática permite obtener la representaciónidealizada siguiente:


Los picos e irregularidades del diagrama indican heterogeneidades del terreno, o posiblementeirregularidades en el proceso de ejecución de los ensayos. El tipo de pilotes que se elegiría eneste caso es la siguiente: en la capa de arcilla pueden ejecutarse los pilotes in situ, porejemplo, por extracción con recuperación de camisa o con lodos bentoníticos. Al tener unmaterial duro en profundidad, el diseño deberá dar lugar a un pilote tipo columna apoyado enla capa de arena. En este caso hay que tener cuidado con el rozamiento negativo que puedeproducirse por consolidación de la capa arcillosa.

La norma NTE (Acondicionamiento del Terreno. Cimentationes) da recomendaciones paralas soluciones a adoptar en situaciones determinadas. En este caso, por tratarse de una capacohesiva de espesor considerable se puede eligir el pilotaje in situ, tipo CPI (la ejecución insitu en materiales coherentes mejora el comportamiento a fricción).

Siguiendo las recomentaciones de dicha norma NTE, se supondrá que P <<<< 3F; caso 3º:"Granular de gravas o arenas compactas a profundidad entre 10 y 20 m" se obtinene lamáxima puntuación que es de 4 y que, según dicha norma, lleva a elegir los tipos CPI-2 óCPI-3. Dichos tipos de pilotes se describen a continuación como:


CPI-2: desplazamiento con azuche

CPI-3 desplazamiento con tapón de gravas

Se elige tipo CPI-2 en el que las características de los materiales a emplear son hormigón H-175, acero AE-42 (para barras corrugadas) y acero AE-221 (para barras lisas). Según lametodología de la NTE, las comprobaciones a realizar son:

E ≤≤≤≤ c ( P ++++ F )

E ≤≤≤≤ c'T

(siendo T la resistencia estructural del pilote).

Las variables que intervienen en estas comprobaciones son:

E que se determina en la tabla 1,

c que se determina en la tabla 2,

P que se determina en las tablas 3 a 6,

F que se determina en las tablas 7 a 9,

c' que se determina en la tabla 15 (no se trata de la cohesión),

T que se determina en la tabla 16,

s (separación entre pilotes), que se determina en la tabla 17.

Si se produce rozamiento negativo para P >>>> 3F debe comprobarse adicionalmente que:

E ≤≤≤≤ c ( P ++++ F −−−− R1 )

E ≤≤≤≤ c'(T −−−− 0.4 R1 )

siendo R1 el rozamiento negativo que se determina según las tablas 10 y 12.

Finalmente puede hacerse una estimación de asientos según las tablas 13 y 14.

A continuación se procede al cálculo de acuerdo con la metodología propuesta en la normaNTE, llevandose a cabo en primer lugar un predimensionado a partir de las solicitacionessiguientes: Q = 250 t y M = 20 t×m.

Puesto que Q = 250 t y M ≠≠≠≠ 0 entonces es necesario que n >>>> 1 (más de 1 pilote). Se elige,según dicha norma:


n = 4 D = 55 cm

Si se desconoce la orientación del momento se descompone como:

M M M M

M M M

x y

x y

====

==== ++++

=cos y sinθθθθ θθθθ2 2 2

Según la norma, el momento de cálculo obtiene como la suma de Mx y M y :

)sin(cos θθθθ++++θθθθ====++++==== MMMM yxcálculo

cuyo valor máximo se obtiene de:

0)cossin(

====θθθθ++++θθθθ−−−−====θθθθ∂∂∂∂

∂∂∂∂M

M cálculo

donde:

º45

cos=sin

====θθθθθθθθθθθθ

luego el momento de cálculo es:

mt 28.284142.12022

22 ====××××====

++++××××==== MM cálculo

Como se ha indicado, la tabla 1 permite obtener E (carga axil equivalente). Sin embargo, paraD = 55 cm, M = 28.3 m××××t y Q = 250 t no es posible encontrar una carga axil equivalente endicha tabla lo que indica que el diámetro adoptado es insuficiente. Se tomará por tanto undiámetro superior D = 65 cm con el que resulta E = 295 t. Es decir, se ha aumentado eldiámetro del pilote por la presencia del momento.

Para continuar, se supone que P >>>> 3F y para n = 4 resulta c = 1.33, que se usaráposteriormente en las comprobaciones.

Con objeto de establecer la condición de hundimiento se calcula en primer lugar la resistenciapor punta recurriendo a la tabla 4. Suponiendo que el pilote se apoya en las arenas (para locual será necesario realizar una cierta penetración en ellas que puede ser del orden de 6φφφφ ):

Para D = 65 cm y Rp ==== 120 2 kp cm resulta P = 309.2 t (=Qp).


Por otro lado se determina la resistencia por fuste que, para terreno coherente (tabla 9) y

teniendo en cuenta D = 65 cm y Rp ==== 5 2 kp cm resulta:

( ). .

. t mFi arcilla ====++++ ====

4 6 6 12

5 3

En el terreno granular (tabla 7) para D = 65 cm y Rp ==== 120 2 kp cm resulta:

( ) . t mFi arena ==== 15 7

Con los valores anteriores se procede a la comprobación al hundimiento:

E ≤≤≤≤ c ( P ++++ F )

Es decir,

295 1 33 309 2 5 35 16 15 7 6 0 65

295 606 5

≤≤≤≤ ×××× ++++ ×××× ++++ ×××× ××××≤≤≤≤

. ( . . . . )

. t t

Al haber calculado las resistencias por punta y por fuste puede comprobarse que la hipótesisadoptada de P > 3F no se cumple lo que implica que se debe realizar un recálculo. Por tantose parte ahora de la nueva hipótesis P <<<< 3F lo que implica c = 1.14 (que no modifica laconclusión obtenida) pero que implica cambiar el tipo de pilote a CPI-3 en lugar del CPI-2elegido anteriormente.

Para determinar la separación entre pilotes se recurre a la tabla 17:

P F D

L s

L

s

<<<< ==== ==== ×××× ============

==== ++++−−−−−−−−

×××× −−−− ≅≅≅≅

3 65 16 6 0 65

16 7

36 7

170210 17036 7 16 7

20 16 7 177

cm m

. m cm

. m cm

. .( . ) cm

L

s

+ . 20

= 170

= 210

que se ha calculado interpolando entre los valores disponibles y que da lugar a una relacións/D=2.7 que se encuentra dentro del intervalo habitual de 2.5 a 3.5.

Una vez determinados el diámetro, el número y la separación de pilotes se procede también ala comprobación estructural del mismo. En la tabla 16 para D = 65 cm se obtiene un topeestructural del pilote:

T = 132.7 t


para hormigonado en seco y

T = 116.1 t

para hormigonado en agua. Por otro lado, en la tabla 15 para n = 4 pilotes se obtiene elsiguiente coeficiente:

c' = 4

con los que se debe comprobar que:

E ≤≤≤≤ c'T

295 ≤≤≤≤ 4 ×××× 132.7 = 530.8 t (en seco)

295 ≤≤≤≤ 4 ×××× 116.1 = 464.4 t (en agua)

que como se observa se cumplen sobradamente en ambos casos.

Puesto que se pilotará en un terreno en el que existe un estrato arcilloso importante que puedeconsolidar, también es necesario comprobar que en caso de haber rozamiento negativo sesigue manteniendo un comportamiento aceptable. Para ello y por ser P <<<< 3F debecomprobarse:

E ≤≤≤≤ c ( P ++++ F −−−− R2 )

E ≤≤≤≤ c'(T −−−− 0.4 R2 )

con R2 obtenido en la tabla 12. En este caso, D = 65 cm y Rp = 5 kp/cm 2 no hay valor y se

opta por extrapolar, lo cual no es aconsejable en general, pero como hay valores cercanos seconsidera admisible en este caso:

R2 2 342 34 1 93

4 35 4 2 75==== ++++

−−−−−−−−

×××× −−−− ====.

. .( ) . t m

sustituyendo en las anteriores resulta:

295 1 14 309 2 5 35 16 15 7 6 0 65 2 75 16

295

≤≤≤≤ ×××× ++++ ×××× ++++ ×××× ×××× −−−− ××××≤≤≤≤

. ( . . . . . )

t t 470

y


295 4 (116.1 - 0.4 2.75 16)

t

≤≤≤≤ ×××× ×××× ××××≤≤≤≤295 394 t

que se cumple igualmente.

En todas las comprobaciones se observa que el diseño es sobrado. Probablemente el diámetrode 55 cm sería suficiente, sin embargo en este problema ha sido conveniente (para permaneceren los rangos de variación de la NTE) adoptar el de 65 cm ya que el momento de diseñoresultaba excesivo comparado con los valores de la tabla 1 (NTE) que permite obtener lacarga axil equivalente.

___________________________________________


Estructuras de Contención 77

Capítulo 3. Estructuras de Contención

PROBLEMA 10

Dimensionar un muro de gravedad para salvar un desnivel de 6 m en un terreno de granextensión (c = 1 t/m2, φφφφ = 30º, γγγγn=2.2 t/m2, FS al vuelco y al deslizamiento = 2) con unapendiente en superficie de 6º. Estudiar la influencia que tendría sobre su estabilidad laeventual subida del NF en el trasdós y la existencia de una carga concentrada de 100 t a 8m del muro.

En primer lugar se realizará el predimensionado del muro de acuerdo con valores habitualesde esbelteces, es decir, de relaciones entre las diferentes dimensiones de dicho muro. Acontinuación se calcularán los empujes sobre el muro. Finalmente se realizarán lascomprobaciones de estabilidad.

A continuación se establecen las diferentes dimensiones a partir de la altura h1=6 m del muro(ver Fig. 10.1) para el predimensionado del muro:

bh h

11 1

2 33 2∼∼∼∼ ∼∼∼∼a a m Se elige b1 2 5==== . m

13233

2 6

a8

hhhhh

h ====++++∼∼∼∼

De las dos condiciones anterioresse deduce:

hh h h h

21 2

21 2

8 6====

−−−−====

−−−− ha ⇔ h

h2

1 1

9 70 67 0 86∼∼∼∼ ∼∼∼∼a

h. a .

Que permite establecer: m 75.02 ====h

bh

32

220 375 0 75∼∼∼∼ ∼∼∼∼ h a . a .

b3 0 6==== . m


y se toma:

bh

21

220 3∼∼∼∼ ≥≥≥≥ b y . m

y se toma: b2 0 4==== . m

Fig. 10.1. Representación esquemática del muro de gravedad

Una vez establecidas las dimensiones de muro se pasa al cálculo de empujes para el que seproponen varios métodos alternativos.

a) Método de Rankine aplicado gráficamente

Con objeto de determinar los círculos de Mohr que permitirán determinar los empujes sobre elmuro, en primer lugar se calculan las tensiones sobre un plano que tiene la misma inclinaciónque el terreno, es decir, 6º:

zz

zzo

n

nn

21.06cosº6sin

98.1º6cos 2

====γγγγ====ττττ

====γγγγ====σσσσ


donde se ha supuesto que el terreno se encuentra seco. Con estas expresiones se calculandichas tensiones para diferentes profundidades. Los resultados se resumen en la siguientetabla:

z 1 2 3 4 5 6 m

σσσσ n 1.98 3.96 5.94 7.92 9.90 11.88 t m 2

τ 0.21 0.42 0.63 0.84 1.05 1.26 t m 2

Fig. 10.2. Círculo de Mohr para z = 3 m

El punto A en la Fig. 10.2 corresponde al estado tensional para z = 3 m en un plano paralelo ala superficie del terreno. Trazando un círculo de Mohr en rotura que pase por A ydeterminando el polo P (intersección entre el círculo y el plano que forma 6º) se obtiene elestado tensional (punto B en dicha figura) en un plano vertical al trazar la vertical por P. Paraesta profundidad los empujes por unidad de área obtenidos son aproximadamente:

e

e

n

t

≅≅≅≅

≅≅≅≅

0 99

0 20

2

2

. t m

. t m

Realizando este cálculo para cada profundidad z, con este método se obtendría una ley nolineal de empujes en la que se produce una zona de tracciones debido a que paraprofundidades bajas las tensiones normales resultan negativas. La integración de esta ley daríala resultante de dichos empujes. Al haber incluido la cohesión del terreno en el cálculo deempujes la ley resultante debe integrarse en forma discreta (sumatorio de valores en cadaincremento de z) por tratarse de una ley no lineal. Además, la integración de tensiones deberealizarse solamente en la zona de compresiones para tener en cuenta que el suelo no puede


soportar tracciones. Puesto que habitualmente se prescinde de la cohesión, lo que deja del ladode la seguridad, la ley de empujes será lineal y, por tanto, fácilmente integrable.

b) Método de Rankine utilizando una solución analítica:

Como se ha indicado, con objeto de simplificar el cálculo de empujes quedando al mismotiempo de lado de la seguridad, puede despreciarse la cohesión del terreno. En la situación derotura activa, la solución analítica del empuje en función de la profundidad para terrenoinclinado (ββββ ≠ 0) y cohesión nula (c = 0) es:

azKzz coscoscos

coscos-coscos )(e

22

22

γγγγ====φφφφ−−−−ββββ++++ββββ

φφφφ−−−−ββββββββββββγγγγ====

que, introduciendo los datos de este problema:

ββββ = 6º y φφφφ = 30º

da lugar a:

Ka ==== 0 3389.

y resulta por tanto la siguiente ley de empujes:

e z z( ) . . ( t m )==== ×××× ×××× ====2 0 3389 0 6778 2 z

El empuje resultante (E) se obtiene integrando en la vertical, es decir:

/mt2.123389.02621

21

)(

2

2

00

====××××××××××××====

γγγγ====γγγγ======== ∫∫∫∫∫∫∫∫E

KHdzKzdzzeE a

H

a

H

Un dato de referencia que muestra el efecto de la inclinación del terreno en Ka, puedeobtenerse mediante:

ββββ = 0 y φφφφ = 30º

resulta:

Ka= 0.333


Esta solución dada por Rankine implica que δδδδ = ββββ y por lo tanto en este caso la soluciónobtenida es con δδδδ = 6º, valor que puede considerarse aceptable por ser bajo, lo que deja dellado de la seguridad en la estabilidad del muro. Debe recordarse además que tanto el empujeunitario (e(z)) como el total (E) están orientados según este ángulo respecto a la horizontal.

c) Método de Coulomb aplicado analíticamente

Por último, y también despreciando el efecto de la cohesión (c=0 implica empujes mayoresque c>0) puede calcularse el empuje mediante la solución dada por Coulomb. Del equilibriode cuñas planteado por Coulomb se deriva que el empuje total:

E Ka====12

2γγγγ H

con:

2

2

2

)(sin )(sin)(sin )(sin

1)(sin sin

)(sin

ββββ++++φφφφδδδδ−−−−ααααββββ−−−−φφφφδδδδ++++φφφφ++++δδδδ−−−−αααααααα

φφφφ++++αααα====aK

En principio es posible estimar el ángulo de rozamiento entre el terreno y el muro como:

φφφφ====δδδδ32

a 31

Con carácter de comprobación y para remarcar que en algunos casos particulares la soluciónde Rankine y de Coulomb coinciden se va a tomar en este caso δδδδ = ββββ, lo que da lugar a:

3389.0

9945.09945.04067.05878.0

19945.01

75.02====

××××××××++++××××

====aK

que como puede verse es equivalente al obtenido mediante la solución analítica de Rankineporque se ha tomado δδδδ = ββββ. En caso de haber utilizado δδδδ > ββββ el coeficiente de empuje habríaresultado menor.

Una vez calculado el empuje sobre el muro puede pasarse a realizar las comprobaciones deestabilidad al vuelco y al deslizamiento.

Las diferentes componentes del peso del muro son (Fig. 10.4):


88.175.05.2

94.32

)75.06(5.1

1.2)75.06(4.0

3

2

1

bb

bb

bb

W

W

W

γγγγ====γγγγ××××××××====

γγγγ====γγγγ××××−−−−××××====

γγγγ====γγγγ××××−−−−××××====

y el peso total:

t/m 4.17 91.7321 ====γγγγ====++++++++==== bWWWW

Fig. 10.4. Esfuerzos sobre el muro

Para determinar el punto de aplicación de la resultante de pesos (x) pueden tomarse, porejemplo, momentos respecto al punto A, lo que da lugar a:

2 1 0 2 3 9413

1 5 0 4 1 88 1 25 7 91

6 3167 91

0 798 0 8

. . . . . . . .

.. . m

×××× ×××× ++++ ×××× ×××× ×××× ××××

++++ ×××× ×××× ====

====×××× ==== ≈≈≈≈

γγγγ γγγγ γγγγ γγγγb b b b x

x

Las resultantes de esfuerzos verticales y horizontales (peso más empujes) se pueden obtenercomo:

/mt1.12º6cos2.12cos

/mt7.18º6sin2.124.17sin

====××××====ββββ========××××++++====ββββ++++====

ER

EWR

h

v

La resultante vertical se encuentra aplicada a una distancia y del punto A, distancia que puededeterminarse tomando momentos respecto a A:

B


R R y W E E

y

h v×××× ++++ ×××× ==== ×××× ++++ ×××× ×××× ++++ ××××

====×××× ++++ ×××× ====

0 0 813

6 0

17 4 0 8 12 1 218 7

2 04

. cos sin

. . ..

. m

ββββ ββββ

Al ser la base de ancho b = 2.5, su núcleo central se encuentra entre 0.83 (1/3b) y 1.67 (2/3b)desde A. Debido a que la resultante vertical pasa a 2.04 m desde el punto A, dicha resultantese encuentra fuera del núcleo central. Esto implica que la ley de tensiones normales producidapor dicha resultante contendría tracciones en caso de considerar un comportamiento elásticodel suelo. Sin embargo, en la realidad, se produce una redistribución de tensiones bajo el murodebido al comportamiento no elastico del suelo.

El factor de seguridad al vuelco se calculará como:

FSvuelco

vuelco

h v

FSW x

E E

====

====×××× −−−−

×××× ×××× −−−− ××××====

×××× −−−−×××× ×××× −−−− ×××× ××××

====

∑∑∑∑∑∑∑∑momentos estabilizadores

momentos volcadores

( . )

.

. ( . . ). cos º . sin º .

.2 5

13

6 2 5

17 4 2 5 0 812 2 6 2 12 2 6 2 5

1 4

Donde como puede verse se han tomado momentos respecto al punto de posible vuelco (B). Elvalor del factor de seguridad al vuelco obtenido es insuficiente con respecto al valor requeridoen el enunciado del problema (FS = 2).

Para determinar el factor de seguridad al deslizamiento es preciso calcular el esfuerzotangencial máximo que puede producirse en la base del muro, es decir, en su contacto con elterreno. Suponiendo que se trata de hormigón rugoso sobre suelo granular cohesivo, laadherencia y el ángulo de fricción terreno-muro pueden calcularse como:

φφφφ====δδδδ====

95.0

80.0 ca

que son valores muy elevados, es decir, poco conservadores.

Para que se produzca la rotura en la base deben alcanzarse las máximas tensiones o elmáximo esfuerzo que, suponiendo una envolvente de rotura de Mohr-Coulomb, son:

ττττ σσσσ δδδδδδδδ

==== ++++==== ×××× ×××× ++++

a

T a Rn

v

tg (en tensiones)

. tg (en esfuerzos)

2 5 1

donde Rv es la resultante vertical de esfuerzos.


FSdeslizamiento

deslizamientoh

FSTR

====

==== ====×××× ×××× ++++ ×××× ====

∑∑∑∑∑∑∑∑

esfuerxos resistentes al deslizamiento

esfuerzos horizontales desestabilizadores

. . . tg( . ).

.0 80 2 5 1 18 7 28 5

12 11 0

siendo Rh la resultante horizontal que se ha calculado anteriormente. Como puede verse el

factor de seguridad obtenido es inaceptable.

A la vista de los factores de seguridad obtenidos es evidente que debe cambiarse la geometriadel muro. Para ello van a tomarse los siguientes valores:

t/m 1.12 ,/mt7.21

m99.1 m,15.1

/mt8.2573.11

m85.0

m 8.0 ,7.0 ,5.3

2

321

====================γγγγ××××====

================

hv

b

RR

yx

W

h

bbb

que dan lugar a los siguientes factores de seguridad:

FSW x

E E

FS

vuelco

h v

deslizamiento

====×××× −−−−

×××× ×××× −−−− ××××====

×××× −−−−×××× ×××× −−−− ×××× ××××

====

====×××× ×××× ++++ ×××× ====

( . )

.

. ( . . ). cos º . sin º .

.

. . . tg( . º ).

.

3 513

6 3 5

25 8 3 5 1 1512 2 6 2 12 2 6 3 5

3 06

0 8 3 5 1 27 1 28 512 1

1 45

Dado que el factor de seguridad al deslizamiento es todavía insuficiente, puede considerarsetambién la colaboración del empuje pasivo que pueda producirse en el pie de la base:

E Kpasivo p==== ==== ×××× ×××× ×××× ====12

12

2 0 85 3 2 172 2γγγγ H . .

sin reducirlo; y teniendo en cuenta que para φφφφ' = 30º:

K p ==== 3

el factor de seguridad al deslizamiento es:

FSdeslizamiento ====×××× ×××× ++++ ×××× ++++ ====

0 80 3 5 1 27 1 28 5 2 1712 1

1 63. . . tg( . º ) .

..


que puede verse da lugar solamente a un ligero aumento del factor de seguridad.

Entre otras, puede plantearse las siguientes soluciones para mejorar la resistencia aldeslizamiento: cambiar dimensiones (se ha hecho), hacer base quebrada o inclinar la base.

Por último hay que decir, que mientras en el primer diseño, la resultante de esfuerzosverticales no estaba contenida en el interior del núcleo central, sí lo está en el diseñomodificado (la nueva posición de la resultante es 1.99 m respecto al trasdós, mientras que enel primer cálculo se encontraba a 2.04 m).

Otras comprobaciones a realizar en el muro son: seguridad al hundimiento (comprobación quedebe realizarse en base a lo explicado relativo a cimentaciones superficiales), estabilidadgeneral (superficie de rotura exterior al muro) y cálculo del muro como estructura dehormigón armado.

A continuación va a analizarse la posible influencia de la subida del nivel freático en eltrasdós del muro. La Fig. 10.5 muestra las leyes de empujes causadas por el agua y por elterreno.

Fig. 10.5. Empujes por unidad de área del terreno y del agua

Dichas leyes de empujes por unidad de área pueden escribirse como:

(z ≤≤≤≤ x)

δδδδγγγγ====δδδδ====δδδδγγγγ====δδδδ====

sin sin)()(

cos cos)()(

1

1

ant

ann

Kzzeze

Kzzeze

(z > x)

δδδδ====++++δδδδ====

sin)()(

)(cos)()(

1

21

zeze

zezeze

t

n


donde e z1 ( ) , que es el empuje por unidad de área causado por el terreno tiene una inclinación

de valor δδδδ respecto a la normal al muro debido al rozamiento entre terreno y muro, mientrasque e z2 ( ) , que es el empuje causado por el agua, es perpendicular a la pared del muro. Para z

>>>> x estas leyes son:

)()(

')(3389.0 6778.0

)())(()(

2

1

xzze

KKzxzz

KxzzKKxzzze

w

awa

awanawn

−−−−γγγγ====

γγγγ++++γγγγ====−−−−−−−−========−−−−γγγγ−−−−γγγγ====−−−−γγγγ−−−−γγγγ====

Con objeto de simplificar el cálculo de los empujes totales puede realizarse el siguienteplanteamiento (Fig. 10.6):

e z K

e z x K

e z x

n a

w a

w

1

2

3

======== −−−−==== −−−−

γγγγγγγγγγγγ

( )

( )

de forma que el empuje causado por el terreno se ha descompuesto en dos leyes triangularescuya diferencia da lugar a la ley calculada anteriormente.

Fig. 10.6. Descomposición alternativa de empujes

En este caso los empujes horizontales son:


223

222

1

)6(5.0)6(21

)6(1685.0º6cos)6(21

º6cos

/mt1.12º6cos2.12º6cos

xxE

xxKE

E

w

aw

−−−−====−−−−γγγγ====

−−−−−−−−====−−−−γγγγ−−−−====−−−−

========

mientras que los empujes verticales resultan:

222

1

)6(018.0º6sin)6(21

º6sin

/mt28.1º6sin2.12º6sin

xxKE

E

aw −−−−−−−−====−−−−γγγγ−−−−====−−−−

========

Por otro lado, el peso propio del muro es W = 25.8 t/m que se encuentra aplicado a 1.15 mdesde el trasdós del mismo, como se ha calculado anteriormente.

Al producirse la subida del nivel freático en el trasdós dará lugar también a una subpresión enla base del muro que se supondrá con variación lineal desde el trasdós (extremo inferior) hastala zona delantera del muro donde la presión de agua se supone nula:

E x xs w==== −−−− ×××× ==== −−−−12

6 3 5 1 75 6γγγγ ( ) . . ( )

Con estos empujes el factor de seguridad al vuelco se calculará como:

FSW

E E x E x E E Evuelco

s

==== ×××× −−−−

−−−− −−−− ++++ −−−− −−−− −−−− ++++

( . . )

cos º cos º sin º ( ) ( ) ( sin º sin º ) . .

3 5 1 15

613

6 6 613

613

6 6 6 3 523

3 51 2 3 1 2

que para diferentes valores de x da lugar a:

x 6 5 4

FS vuelco 3.06 2.53 1.63

El valor de x = 6 m se corresponde con el caso de ausencia de NF y por tanto el resultado escoincidente. El factor de seguridad al deslizamiento se calculará como:

FSR

Rdeslizamientov

h

====×××× ×××× ++++ ××××0 80 3 5 1 28 5. . tg( . º )

y las nuevas resultante son:


)6(75.1))6(018.028.1(8.25

E)º6sinº6sin(2

21

xx

EEWR sv

−−−−−−−−−−−−−−−−++++====

====−−−−−−−−++++====

)6(5.0))6(1685.01.12(

E)º6cosº6cos(2

321

xx

EERh

−−−−++++−−−−−−−−====

====++++−−−−====

y sustituyendo para diferentes valores de x da lugar a:

x 6 5 4

FS deslizamiento 1.45 1.33 1.25

Debido a que para el caso de terreno seco el factor de seguridad al deslizamiento ya era muybajo al subir el NF se estaría en una situación muy precaria. Se deberían adoptar algunas delas soluciones ya indicadas con anterioridad para aumentar este factor de seguridad.

Por último se va a analizar la influencia de una carga concentrada en una zona del trasdós:

Fig. 10.7. Carga concentrada

Una posible forma de calcular el empuje es usar la solución elástica de Bousinesq encoordenadas cilíndricas. Para ello se debe suponer que el trasdós del muro es un plano desimetría de dos cargas puntuales iguales. Al superponer el efecto de ambas cargas dicho planode simetría no experimentaría movimientos fuera del mismo. En este caso las tensiones sobredicho plano serían igual a las causadas por una sola carga multiplicadas por 2. Puesto que en


la realidad el trasdós del muro no se está perfectamente inmóvil, las tensiones obtenidas parauna carga se multiplican por 1.5 para considerar así que la situación real es intermedia. Lasolución elástica a usar en este caso es:

[[[[ ]]]]

σσσσππππ

ψψψψ ψψψψ γγγγψψψψψψψψ

νννν

ττττππππ

ψψψψ ψψψψ

r

rz

Q

z

Q

z

==== −−−− −−−−++++

====

====

23 1 2

10 3

3

2

22 2

2

24

cos sin ( )cos

cos( . )

cos sin

Por otro lado, al estar estas tensiones contenidas en un plano perpendicular al muro pasandopor la carga, hay que hacer alguna hipótesis para tener en cuenta que se trata de una cargaconcentrada y que solamente actúa en una zona del muro. Puede tomarse, por ejemplo, unvalor constante de tensión sobre una cierta área. Además habrá que ver si hay juntas, en cuyocaso la longitud de aplicación de la carga vendría condicionada por las mismas. Finalmente seintegraría σσσσ r y ττττ rz para hallar el sobreempuje y su punto de aplicación.

_________________________________

PROBLEMA 11

Dimensionar un muro en L con trasdós vertical, talón de 5 m y sin zarpa, para salvar undesnivel de 8 m en un terreno saturado con 5º de pendiente en superficie (φφφφ’ = 30º, γγγγsat = 2.0t/m3, γγγγb = 2.4 t/m3).

Las tensiones en un plano paralelo a la superficie del terreno y a profundidad z en un terrenoinclinado pueden calcularse como:

σσσσ γγγγττττ γγγγ

n z

z

======== ====

z

z

cos

sin cos

2 5

0 17

º = 1.98

5º 5º .

donde se ha supuesto que el terreno se encuentra seco. Sin embargo, si el nivel freático sesupone horizontal y en superficie, entonces:

σσσσ σσσσ γγγγ' . .n n wu z==== −−−− ==== −−−− ====1 98 0 98 z z

Para z = 4 m (punto A) se tiene:

σσσσττττ

' .

.n ========

3 92

0 68


En la Fig. 11.1 se representa el círculo de Mohr correspondiente a esta profundidad de 4 m yse determina la inclinación del plano de rotura (aprox. 67º). Al no haber cohesión cualquierprofundidad z daría la misma inclinación del plano de rotura ya que las líneas de rotura sonrectas. Como trasdós ficticio del muro se tomará un plano de 67º de inclinación que pase porel extremo del talón.

Fig. 11.1 Esquema del muro y círculos de Mohr

El cálculo del empuje del terreno puede hacerse mediante la integración de las tensionesnormales y tangenciales que proporciona el círculo de Mohr en cada profundidad. Puesto queen este caso las leyes son lineales dicha integración se puede hacer con relativa simplicidad.Alternativamente puede utilizarse el método de Coulomb, que parece más simple en este casopor ser el trasdós inclinado. En este último caso, el empuje causado por el terreno valdría:

E Ka121

2==== γγγγ H

siendo:


Ka ====++++

−−−− ++++++++ −−−−−−−− ++++

sin

sin sinsin sinsin sin

2

2

( ' )

( ) 1( ' ) ( ' )( ) ( ' )

2

αααα φφφφ

αααα αααα δδδδφφφφ δδδδ φφφφ ββββαααα δδδδ φφφφ ββββ

Expresiones que, tomando los datos del problema, dan lugar a:

αααα φφφφ δδδδ φφφφ ββββ

γγγγ

==== ==== ==== ==== ====

====

×××× ×××× ++++××××××××

====

==== ==== ×××× ×××× ×××× ====

º º º º

.

. .. .. .

67 30 30 5

0 9851

0 8473 0 6018 10 866 0 4220 602 0 951

0 60

12

12

1 9 0 60 24 3

2

12 2

' '

K

E H K

a

sum a

.

. . t

Se considera esta expresión porque el NF está en superficie, si estuviera más bajo habría quedescomponer en dos zonas con pesos específicos diferentes.

Por otro lado, al empuje causado por el agua se puede obtener como:

t 0.44sin

9121

sin21

sin

22

2

00 22

====αααα

××××××××====αααα

γγγγ====

ααααγγγγ======== ∫∫∫∫∫∫∫∫

HE

dzzdaeE

w

H

w

H

cuya dirección es normal al trasdós ficticio del muro.

Por último, si el nivel freático se encuentra elevado en el trasdós del muro, es lógico suponerque se producirá una cierta subpresión en la base del muro. Para estimarla se supone unavariación lineal entre los extremos de la base, es decir:

E w3

9 5

222 5====

×××× ××××====

γγγγ. t

Las componentes horizontales de los empujes son:

E E

E E

h

h

1 1

2 2

24 3 0 602 14 6

44 0 9205

==== −−−− ==== ×××× ====

==== ==== ××××

sin . . t

sin . = 40.5

( ) .

t

αααα δδδδ

αααα

y las verticales:


E E

E E

v

v

1 1

2 2

24 3 0 7986 19 4

44 0 3907 17 19

==== −−−− ==== ×××× ====

==== ==== ×××× ====

cos t

cos t

( ) . . .

. .

αααα δδδδ

αααα

Por otro lado, el peso del muro (incluyendo la parte de terreno sobre el talón) es (Fig 11.2):

W x x x x x

W x x

W x x x xx x

W x x x

b

b

n

n

12 2

1

2 2

3 3

4 4

9 2 4 9 2

5 12 2 5

5 9 67 95 9 67

2

9 67 912

523

9 67

==== −−−− ==== ×××× −−−− ⇒⇒⇒⇒ ======== ==== ⇒⇒⇒⇒ ====

==== −−−− −−−− −−−− −−−− ⇒⇒⇒⇒ ==== ++++−−−− −−−− −−−−

==== −−−− −−−− ⇒⇒⇒⇒ ==== −−−− ×××× −−−−

γγγγγγγγ

γγγγ

γγγγ

( ) . ( ) /

.

(( ) ( ) tg )( ) ( ) tg

( ) tg ) ( ) / tg

x

x

x

x

º)( º

º ( º

donde además se han dado las distancias desde el punto de aplicación hasta A (Fig. 11.2).

Fig. 11.2 Esquema para el cálculo de las componentes del peso

Los puntos de aplicación de los empujes horizontales y verticales son (también en distanciasrespecto al punto A de la Fig 11.2):

E E

E E x

E

h h

v v

v

1 2

1 2

3

13

9 3

513

9 67

23

5

,

, ( ) tg

:

:

:

×××× ====

−−−− ×××× −−−−

××××

º

2

3

4

1

A

9

x


Una vez obtenidas las distintas contribuciones el factor de seguridad al vuelco es:

FSW x W x W x W x

E E E E E xvuelco

h h h v v

====++++ ++++ ++++

++++ ×××× ++++ ×××× ×××× −−−− ++++ −−−− ×××× −−−−

1 1 2 2 3 3 4 4

1 2 3 1 2323

5 513

9 67( ) ( ) tg( ) º

que toma los siguientes valores en función del espesor (x) de hormigón:

x 0.5 0.75

FSvuelco 1.10 1.19

Por otro lado, el factor de seguridad al deslizamiento vendrá dado por:

FSW W W W E E E

E Edeslizamiento

v v v

h h====

++++ ++++ ++++ ++++ ++++ −−−−++++

( ) tg1 2 3 4 1 2 3

1 2

δδδδ

para el que se puede suponer un buen rozamiento entre el hormigón y el suelo en la base, esdecir, δδδδ = 0.95 φφφφ

x 0.5 0.75

FSdeslizamiento 0.75 0.78

Como puede verse el muro es incapaz de resistir los empujes horizontales. Este hecho lleva ala necesidad de cambiar el diseño propuesto. La Fig. 11.3 muestra el nuevo diseño adoptadopara el muro en el que como se observa se ha introducido una zarpa además de haberaumentado el talón de 5 a 6 m.


Fig. 11.2 Esquema del nuevo diseño del muro

Con esta nueva geometría, los empujes E1 y E2 son los mismos, mientras que E3

(subpresión) adopta el siguiente valor:

/mt 5.312

7193 ====××××××××====E

En este nuevo caso los pesos del muro (incluido el terreno sobre el talón) son:

/mt 88.28=0.22

)75.0-9(5.3=

/mt 88.28=0.2)75.0-9()5.3-75.0-6(=

/mt 6.124.275.07

/mt 85.14)75.075.09(4.2

4

3

2

21

××××××××××××××××

====××××××××========−−−−××××××××====

W

W

W

W

Los puntos de aplicación de los esfuerzos E1 son:

E

E

h

v

1

1

13

9 3

23

1 75 1 75 5 83

: y

: x

==== ×××× ====

==== ×××× ++++ ++++ ====

m

. . . m3.5

Los puntos de aplicación de los esfuerzos E2 son:


E

E

h

v

2

2

1323

3 5 1 75 1 75 5 83

: y

: x

==== ××××

==== ×××× ++++ ++++ ====

9 = 3 m

. . . . m

El punto de aplicación E3 es:

E3

23

7 4 67: x ==== ×××× ==== . m

Por último los puntos de aplicación de las diferentes partes en que hemos dividido el muroson:

W

W

W

W

1

2

3

4

10 75

21 375

72

3 5

1 751 75

2

1 75 213

: x

: x

: x

: x .

==== ++++ ====

==== ====

==== ++++

==== ×××× ++++ ××××

.. m

. m

..

m

m

= 2.625

3.5

Factor de seguridad al vuelco:

FSvuelco ====×××× ++++ ×××× ++++ ×××× ++++ ××××

×××× ++++ ×××× ++++ ×××× −−−− ++++ ××××====

14 85 1 375 12 6 3 5 28 8 2 625 28 8 4 6714 6 3 40 5 3 22 5 4 67 19 4 17 19 5 83

4 8. . . . . . . .. . . . ( . . ) .

.

Factor de seguridad al deslizamiento:

98.05.406.14

tg )5.2219.174.19)8.288.286.1285.14(( ====++++

δδδδ−−−−++++++++++++++++++++====ntodeslizamieFS

Como puede observarse la nueva geometria mejora significativamente la estabilidad al vuelcopero no al deslizamiento. Esto podría llevar quizás a proponer un talón más profundo. Sinembargo, habría que buscar otras alternativas para conseguir mayor estabilidad aldeslizamiento como por ejemplo la de inclinar la base unos pocos grados (≤ 5º).

Por otro lado, el resultado obtenido de hecho cuestiona en gran medida que deba proyectarseun muro para salvar este desnivel incluyendo la posibilidad de subida del nivel freático hastacoronación. Desde un punto de vista económico, sería probablemente mejor proyectar unabuena solución para evitar el empuje del agua y concebir el muro para sostener el terreno sinagua.


____________________________________

PROBLEMA 12

Obtener los empujes a considerar en un muro de gravedad de 10 m de altura con trasdós entalud (10º) situado en un terreno con superficie horizontal compuesto por tres estratos de 3m (φφφφ'=30º, γγγγn=1.8 t/m3), 5 m (φφφφ'=34º, γγγγn=1.9 t/m3) y 4 m (φφφφ'=32º, γγγγn=2.0 t/m3)respectivamente, y NF a 6 m de profundidad.

Fig. 12.1 Esquema del muro y terreno.

Una opción para el cálculo de empujes es utilizar el método de Rankine gráficamente para locual se discretiza en subestratos y se calcula el empuje en cada profundidad a partir de latensión efectiva vertical. Alternativamente, podria utilizarse el método de Coulomb aunquetambién seria necesario considerar la estratificación mediante sucesivas cuñas de rotura que seirian substituyendo por sobrecargas.

Las tensiones efectivas verticales para distintas profundidades vienen dadas (ver Fig 12.2) por(t/m2):


108 4.9=)6(0.1)8(0.259.138.1)(' )4

86 z 9.07.5)6(1)3(9.138.1)(' )3

63 3.0 9.1)3(9.138.1)( )2

30 z 8.1)( )1

v

v

v

v

≤≤≤≤<<<<++++−−−−××××−−−−−−−−××××++++××××++++××××====σσσσ≤≤≤≤<<<<++++====−−−−××××−−−−−−−−××××++++××××====σσσσ≤≤≤≤<<<<−−−−====−−−−××××++++××××====σσσσ≤≤≤≤<<<<====γγγγ====σσσσ

zzzzz

zzzz

zzzz

zzz n

Fig. 12.2 Ley de tensiones verticales (totales, z<6; y efectivas, z>6).

Se adopta una discretización de 1 m = ∆∆∆∆z y se calculan las tensiones efectivas verticales en elcentro de cada intervalo. Éstas resultan ser:

φφφφ = 30º φφφφ = 32º φφφφ’ = 32º φφφφ’ = 34º

z 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5Tensiónvertical 0.9 2.7 4.5 6.35 8.25 10.15 11.55 12.45 13.4 14.4

Una vez obtenidas las tensiones verticales (totales en el terreno seco y efectivas en el saturado)hay que calcular el empuje en rotura (σσσσn’ y ττττ) sobre un plano de inclinación αααα. Esto se harápara cada profundidad z, teniendo en cuenta que la envolvente de rotura cambia según el tipode terreno (φφφφ = 30º,34º,32º). De forma implícita, cuando se calculen las para cadaprofundidad se estará suponiendo que los estratos de terreno por encima de diferentenaturaleza se substituyen por una carga repartida. La resolución alternativa mediante elmétodo de Coulomb para terreno estratificado se basa de hecho en substituir los estratos porcargas repartidas una vez se ha determinado el empuje que provocan.


Fig. 12.3 Círculos de Mohr en estrato 1 (φφφφ' = 30o)

Con los tres círculos de Mohr de la Figura 12.3 se obtiene:

φφφφ = 30o

z 0.5 1.5 2.5

nσσσσ 0.31 0.9 1.5

ττττ 0.12 0.3 0.45

Haciendo círculos tangentes a envolventes con ángulos de rozamiento de 34º y con 32ºrespectivamente se obtiene también:

φφφφ = 34º φφφφ' = 34º φφφφ' = 32ºz 3.5 4.5 5.5 z 6.5 7.5 z 8.5 9.5

nσσσσ 1.8 2.4 3.0 σσσσ'n 3.4 3.8 σσσσ'n 4.0 4.5

ττττ 0.9 1.0 1.2 ττττ 1.4 1.6 ττττ 1.8 2.0

Finalmente es posible calcular los empujes totales En y Et , normal y tangencial al muro

mediante la integración de las tensiones normales y tangenciales. Por otro lado, debeobservarse que al ser las leyes de tensiones lineales a tramos, de hecho, podría reducirse elnúmero de puntos de cálculo a dos por estrato. La ventaja de hacerlo tomando varios puntoses que facilita el cálculo de empujes reduciéndolo a un sumatorio en lugar de una integral.

El elemento diferencial de área sobre la superficie del trasdós del muro puede escribirse enfunción del diferencial de z como:


∆∆∆∆∆∆∆∆

a z==== ====

sin. m

αααα1 015

y los empujes totales son el sumatorio de tensiones normales:

E

E

n n

t

==== ×××× ==== ++++ ++++ ++++ ++++ ×××× ====

==== ×××× ==== ++++ ++++ ++++ ++++ ×××× ====

∑∑∑∑∑∑∑∑

σσσσ

ττττ

' a

a

∆∆∆∆

∆∆∆∆

( . . . . . . . ) . t

( . . . . . . . ) . t

0 3 0 9 1 5 4 5 1 015 26

0 12 0 3 0 45 2 0 1 015 11

En cada punto puede calcularse el rozamiento terreno-muro que el método de Rankine impone,que vendrá dado por:

δδδδττττσσσσ

====

arctg

'n

Mientras que globalmente, el rozamiento terreno-muro será:

δδδδ ====

====arctg º

E

Et

n

23

El punto de aplicación de En se obtiene tomando momentos respecto el extremo inferior del

trasdós, es decir:

m 56.3

2651.0015.15.4...63.8015.19.065.9015.13.0

) ('

========××××××××++++++++××××××××++++××××××××

====∆∆∆∆σσσσ∑∑∑∑

x

x

xEaa nn

siendo a la distancia desde cada punto al extremo inferior del trasdós. El empuje causado porel agua en la zona por debajo del nivel freático se calcula como:

/mt12.8º80sin

421

sin

4

0

2

====γγγγ====αααα

γγγγ==== ∫∫∫∫ www

dzzE

Este empuje es normal a la superficie del muro y se encuentra aplicado a una distancia delextremo inferior del trasdós igual a:

13

480

1 35×××× ====sin º

. m

Por último, puesto que en el trasdós existe una elevación del nivel freático, será lógicoconsiderar (como se hizo en problemas anteriores) que en la base del muro se producirá una


subpresión. Dicha subpresión da lugar a un empuje que puede estimarse suponiendo una leytriangular entre el pie del trasdós y el pie del intradós.

____________________________________

PROBLEMA 13

Obtener los factores de seguridad de un muro de tierra armada para el sostenimiento de unterreno con φφφφ' =36º y γγγγn=2.0 t/m3, dispuesto para crear un desnivel de 12 m de alturasuponiendo una tensión de rotura de las pletinas de acero de 36500 t/m2, unas dimensionesde las pletinas de 3 mm× 10 cm× 8 m, una separación entre pletinas (tanto horizontal comoverticalmente) de 0.75 m, y un ángulo de rozamiento pletinas-terreno de 2/3 de φφφφ'. Calcular,así mismo, estos coeficientes de seguridad si el nivel freático sube hasta 1 m desde la basedel muro.

Fig. 13.1 Representación esquemática del muro de tierra armada

La Fig. 13.1 muestra el esquema del muro de tierra armada que se debe calcular. Este tipo demuros se basan en el sostenimiento de unos elementos de hormigón (dovelas) medianteanclajes (pletinas). Dichos anclajes pueden ser arrancados del terreno por el empuje de éstesobre las dovelas. Por ello, se realiza la comprobación de estabilidad al arrancamiento de estosanclajes, comprobándo además la seguridad a la rotura por tracción del acero.Adicionalmente, es se comprueba también la estabilidad al vuelco y al deslizamiento del muroglobalmente.

La máxima tracción que puede producirse en una pletina se puede obtener mediante el cálculodel empuje sobre los elementos de hormigón:


) t ( 2925.075.026.02

º36 para 26.0' sin1' sin1

K

) s (z

2

a

i

zzT

bKT

ii

ai

====××××××××××××====

====φφφφ++++φφφφ−−−−====

γγγγ====

Fig. 13.2 Representación esquemática de las pletinas y de las dovelas.

Para dimensionar la pletina se calcula el factor de seguridad a la rotura del acero como:

i

ffs

T

tbfFS ====1

siendo fs la tensión de rotura de acero. Sustituyendo se obtiene:

z 2925.095.10

75.026.0z 10.0003.0365002

i1 ====

××××××××γγγγ××××××××====FS

Si se considera que se desarrolla una cuña de rotura que forma un ángulo de (π/4+φ’/2)respecto a la horizontal (Fig. 13.3), la longitud de anclaje vendrá dada por:

φφφφ−−−−−−−−−−−−====

2'

45 tg )12(8i iA zL

donde se tiene en cuenta que hay una zona activa de anclaje que no incluye la zona de terrenoque se encuentra en el interior de dicha cuña de rotura.

El factor de seguridad al deslizamiento de cada pletina se calculará como:


FSz b L

Tn i f A

i2 ==== ====

tension tangencial en zona anclajetraccion

tg )γγγγ δδδδ (2 i

Fig. 13.3 Esquema anclajes

En la tabla siguiente se resumen los resultados obtenidos para diferentes profundidades.

z Ti FS1 LA FS2

0.375 0.11 >10 2.07 1.261.125 0.33 >10 2.45 1.491.875 0.55 >10 2.84 1.722.625 0.77 >10 ... ...3.375 0.99 11.1 ... ...

... ... ... ... ...11.625 3.40 3.22 7.81 4.75

Para estimar el factor de seguridad global de la estructura puede utilizarse la siguienteexpresión:

FSb

K h SL b n

nn b i

a

N

2 22

1

445

21

245

2==== −−−− −−−−

++++ ++++ −−−−

∑∑∑∑

b f tgtg

'tg

'

δδδδ φφφφ φφφφ

siendo b, s la anchura y altura de la dovela, bf la anchura de la pletina, n el número de hilerasde anclajes, h la altura del muro, y δδδδ el ángulo de rozamiento terreno-anclaje. En este caso n= 16 (que resulta de: 12 m / 0.75 m/anclaje=16).

Sustituyendo los valores en este caso resulta:


FS2 2

2

4 0 1 0 75

0 26 12 0 758 0 75

216

16 12

16

0 752

1496 3 94

3 94

====×××× ×××× ××××

×××× ××××−−−− ×××× −−−−

××××

××××

++++ ×××× ++++

++++ ×××× −−−−

××××

====

====

. tg .

. .. tg

'

. tg'

.

.

45

45

δδδδ φφφφ

φφφφ

FS

siendo:

ii

n2 2 2 2 21 2 3 16 1496∑∑∑∑ ==== ++++ ++++ ++++ ++++ ====. . .

Se observa que el FS2 global puede ser aceptable mientras algunos elementos tienen FS2 que

no llega a 1.5, como se ha visto en la tabla anterior.

Por otro lado, la estabilidad al vuelco del muro se puede calculas mediante:

FSb

K h SL n n b

nn

L i b i

a

n n

3

2

32

2

1

3

1

12

21

2

22 4 2

==== −−−− −−−−

−−−− ++++

++++ −−−−

−−−−

−−−− −−−−

∑∑∑∑ ∑∑∑∑

b

n b '

f tgtg

'

'tg

4

tg 4

δδδδ ππππ φφφφ


siendo en este caso (n=16): ii

n3 18496∑∑∑∑ ==== . Sustituyendo con los valores del problema resulta

FS3 = 2.57.

A continuación se analiza la influencia de la posible subida del nivel freático. En este caso, latracción sobre cada elemento se verá afectada por dicha subida:

T K ui v a==== ++++( ' )σσσσ b s

siendo u la presión de agua, y si se introducen las correspondientes leyes:

[[[[ ]]]]T z z x K z xi n w a w==== −−−− −−−− ++++ −−−−( ( ) ( )γγγγ γγγγ γγγγ b s

siendo x la altura que sube el NF respecto a la base del muro. Para x = 1 m resulta enz=11.625 m (anclaje inferior), el factor de seguridad al arrancamiento del anclaje es FS2=3.96frente a 4.75 que se había obtenido anteriormente.

_____________________________


PROBLEMA 14

Se debe proyectar un muro de gravedad ( γγγγ b = 2.5 t/m 3 ) para salvar un desnivel de 5 m en

un terreno limo-arcilloso ( γγγγ n = 2 t/m 3 ) con superficie horizontal. Se idealiza el muro con

una forma triangular, trasdós vertical y base de ancho 1.5 m. Se prevé un sistema dedrenaje para evitar el empuje del agua. Para estudiar la seguridad de esta estructura seplantean dos hipótesis de cálculo; rotura en condiciones drenadas a largo plazo con el

terreno seco (c = 0.1 kp/cm 2 , φφφφ' = 30º) y rotura en condiciones drenadas a corto plazo con

el terreno saturado ( cu = 0.2 kp/cm 2 ). Obtener y dibujar la ley de empujes activos en el

trasdós del muro, calcular la magnitud del empuje total, su posición y los factores deseguridad al vuelco y al deslizamiento considerando estas dos hipótesis. Estudiar lainfluencia de los valores de c y cu en los factores de seguridad y particularizarlo para

varios valores representativos (c ± 0.1 kp/cm 2 y cu ± 0.1 kp/cm 2 ).

Para tener en cuenta que cu puede no ser constante con la profundidad, se decide estudiar

el efecto de su posible variación en los empujes producidos y en los factores de seguridadcorrespondientes. Para estimar la variación de cu con la profundidad se toma c' = c y φφφφ' =

φφφφ y se obtiene la ley cu = 0.079 + 0.045z (z = 0 en superficie del terreno y positiva en

profundidad; cu en kp/cm 2 y z en m). Obtener y dibujar la ley de empujes activos en el

trasdós del muro, calcular la magnitud del empuje total, su posición y calcular los factoresde seguridad al vuelco y al deslizamiento en este último caso.

Fig. 14.1. Esquema del muro y terreno.


Cálculo de empujes en la hipótesis 1: terreno seco.

Si se dispone un sistema de drenaje para evitar el empuje del agua, en el trasdós, la ley deempuje activos puede expresarse como:

e z zK c K K c K

K

n a a a a

a

( ) ( ' ' )

tg' sin

sin

==== −−−− ==== −−−−

==== −−−−

====

−−−−++++

γγγγ σσσσ σσσσ

ππππ φφφφ φφφφφφφφ

2 2

4 211

3 1

2

''

Para γγγγ n = 2 t/m3, c = 1 t/m 2 y φφφφ = 30º (que implica Ka = 0.33 = 1/3) resulta:

e z z z( ) (t m==== −−−− ×××× ×××× ==== −−−−23

2 11

3

23

2

32 )

Puesto que c ≠ 0, existe una zona de tracciones cuya profundidad se puede calcularimponiendo:

e(z) = 0

de lo que resulta:

zc K

Ka

n a0

22 1

1

3

213

1 73==== ====×××× ××××

××××====

γγγγ. m

Cálculo de empujes en la hipótesis 2: terreno saturado y condiciones no drenadas

En la situación inicial, cuando el terreno todavía no ha drenado, el empuje activo viene dadopor:

e z z cn u( ) ==== −−−−γγγγ 2

(expresión que corresponde a φφφφ → 0 y c → cu , y K Ka p==== ==== 1 )

En este caso, para γγγγ n = 2 t/m 3 y cu =2 t/m 2 , resulta:

e z z( ) ( t m )==== −−−−2 4 2


y la zona de tracciones, imponiendo:

e(z) = 0

resulta:

zcu

n0

2 2 22

2==== ====×××× ====

γγγγ m

Fig. 14.2. Hipótesis 1 (terreno seco) Fig. 14.3. Hipótesis 2 (condiciones nodrenadas)

El empuje total o esfuerzo de empuje se obtiene integrando la zona de compresiones, es decir:

E e zz

H= ∫ ( ) dz

0

En la Hipótesis 1 se tiene:

E zK c K Kz

c K z K H z c K H zn a n a a

H

n a a

H

zz

= − = −

= − − −∫ ( ) ( ) ( )γγγγ γγγγ γγγγ2

22

12

22

0

202

00

dz

y para γγγγ n = 2 3t m , Ka =13

, H = 5 m y z0 1 73= . m resulta:

E = × × − − × × − =12

213

5 1 73 2 11

35 1 73 3 562 2( . ) ( . ) . (t m)

En la Hipótesis 2 se tiene:


E cz

c z H z c H zu n u

H

n u

H

zz

= − −

= − − −∫ ( z ) dz =nγγγγ γγγγ γγγγ2

22

12

22

0

202

00

( ) ( )

y para γγγγ n = 2 3t m , H = 5 m, z0 2= m y cu = 2 2t m resulta:

E ==== ×××× ×××× −−−− −−−− ×××× ×××× −−−− ====12

2 5 2 2 2 5 2 92 2( ) ( ) t m

A continuación se realizan las comprobaciones de estabilidad al vuelco y al deslizamiento,para lo cual primero se calcula el peso del muro:

W

a H z

b

b==== ×××××××× ====

==== −−−−

==== ×××× ====

γγγγ1 5 5

29 4

1323

1 5 1

0

.. t m

( )

. m

siendo a y b las distancias indicadas en la Fig. 14.4.

Fig. 14.4. Esquema de los esfuerzos sobre el muro

El factor de seguridad la vuelco será en este caso:

FSvuelcoWbEa

A

A==== ====

∑∑∑∑∑∑∑∑momentos estabilizadores ( )

momentos volcadores ( )

y que aplicado en las condiciones de la Hipótesis 1 da lugar a:


FSvuelco ====××××××××

====9 4 1

3 56 1 092 42

.. .

.

Este cálculo se ha repetido para c = 0 y c ==== 2 2t m

Para c = 0 resulta:

z0

2

0

12

213

5 8 33

9 4 18 33 1 67

0 68

====

==== ×××× ×××× ×××× ====

====××××××××

====

E

vuelco

. t m

.. .

.FS

Para c ==== 2 2t m resulta:

z0

2 2

3 46

12

213

5 3 46 2 21

35 3 46 0 79

9 4 10 79 0 51

23

====

==== ×××× ×××× ×××× −−−− −−−− ×××× ×××× −−−− ====

====××××××××

====

.

( . ) ( . ) . t m

.. .

E

vuelcoFS

Si calculamos el factor de seguridad al deslizamiento:

FS

FS

deslizamiento

deslizamiento

W aE

c

====++++ ×××× ====

====×××× ++++ ×××× ====

∑∑∑∑∑∑∑∑

tg . fuerzas resistentes

empujes horizontales

. tg( . ) ( . ) ..

.

δδδδ

φφφφ

1 5

9 4 0 95 0 80 1 53 56

1 73

Se ha tomado δδδδ = 0.95φφφφ y a = 0.80 c considerando un hormigón rugoso apoyado sobre suelogranular cohesivo.

Análogamente, para c = 0 es:

FSdeslizamiento ====×××× ====

9 4 0 958 33

0 61. tg( . )

..

φφφφ

y para c ==== 2 2t m :

FSdeslizamiento ====×××× ++++ ×××× ×××× ====

9 4 0 95 0 80 2 1 50 79

9 5. tg( . ) . .

..

φφφφ


Para la Hpótesis 1 (terreno seco) resultan finalmente los siguientes valores de factores deseguridad en función de la cohesión:

c 0 1 2 t m2

FSvuelco 0.68 2.42 23 (−−−−)

FSdeslizamiento 0.61 1.73 9.5 (−−−−)

que muestra el efecto de la cohesión en la estabilidad al vuelco y deslizamiento del muro. Esevidente que la gran diferencia que se obtiene está relacionada con la cohesión utilizadarespecto a la altura del muro. Basta para ello observar que para la cohesión de 2 t/m2 resultaque la zona de tracciones alcanza 3.46 m de profundidad mientras que la altura de muroconsiderada es de 5 m y por tanto la magnitud del empuje total se ve fuertemente reducida conrespecto al caso de cohesión nula. Esto provoca un aumente del factor de seguridad muyimportante y de hecho pone de manifiesto que para realizar un cálculo en el que se tenga encuenta la cohesión del suelo es preciso tener un grado de confianza elevado en el valor que seutilice.

Por otro lado se realizarán los mismos cálculos de estabilidad al vuelco y deslizamiento en laHipótesis 2 (condiciones no drenadas):

FSvuelco ====××××××××

====9 4 19 1

1 04.

.

Este cálculo se ha repetido para 1====uc y cu ==== 3 2t m .

Para cu ==== 1 2t m :

z

E =

0

2 2

1

12

2 5 1 2 1 5 1 16

9 4 116 1 33

0 44

====

×××× ×××× −−−− −−−− ×××× ×××× −−−− ====

====××××

××××====

m

( ) ( )

..

.FSvuelco

Y para cu ==== 3 2t m , resulta:

z

E

FSvuelco

0

2 2

3

12

2 5 3 2 3 5 3 4

9 4 14 0 67

3 5

====

×××× ×××× −−−− −−−− ×××× ×××× −−−− ====

====××××

××××====

= ( ) ( )

..

.


Con respecto al factor de seguridad al deslizamiento:

FSdeslizamiento ====×××× ××××

====×××× ×××× ====

0 80 15 0 80 2 1 59

0 27. . . .

.c

Eu

que se puede calcular para distintos valores de la resistencia al corte sin drenaje:

Para cu ==== 1 2t m :

FSdeslizamiento ====×××× ×××× ====

0 80 1 1 516

0 08. .

.

Para cu ==== 3 2t m :

FSdeslizamiento ====×××× ×××× ====

0 80 3 1 516

0 9. .

.

Como se deduce de los cálculos en condiciones no drenadas, el muro podría fallar a cortoplazo en caso de estar apoyado sobre el terreno natural. Para evitar esta situación de peligrose podría disponer una base granular para evitar el apoyo directo del muro sobre el terrenonatural. Sin embargo, este muro es idealizado y su diseño posterior (zapata) mejoraría esteaspecto.

Para la hipótesis 2 resulta finalmente:

cu 1 2 3 t m2

FSvuelco 0.44 1.04 3.5 (−)

FSdeslizamiento 0.08 0.27 0.9 (−)

Por último, y según lo indicado en el enunciado, se realiza el cálculo en condiciones nodrenadas pero con una resistencia al corte sin drenaje variable con la profundidad (z) según:

c zu ==== ++++0 79 0 45. .

donde cu se da en t/m 2 y z en m.

El empuje activo en condiciones no drenadas viene dado por:

e z z c z zn u( ) ( . . )==== −−−− ==== −−−− ++++γγγγ 2 2 2 0 79 0 45

o sea:


e z z( ) . . t m==== −−−−1 1 1 58 2

La zona de tracciones se determina, imponiendo:

e(z) = 0

de lo que se obtiene dicha profundidad:

z0

1 11 58

1 44==== ====.

.. m

Finalmente, el empuje total viene dado por la integración de dicha ley como:

E e z z z z

H z H z

z z z

H

n

H H= = − + = − =

= × × − − − = ≅

∫ ∫ ∫( ) ( ( . . )) .

. ( ) . ( ) . t m

0 0 0

202

0

2 0 79 0 45 1 58

12

1 1 1 58 6 98 7

γγγγ dz dz(1.1 )

Fig. 14.5. Esquema de las zonas de tracción y compresión.

Y los factores de seguridad son:

FS

FS

vuelco

deslizamiento

=×

×=

= × + × × =

9 4 17 1 19

1 13

0 80 0 79 0 45 5 1 57

0 52

..

.

. ( . . ) ..


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Geotecnia cimentaciones y estructuras de contención - problemas resueltos