I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO

GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA

¡HACIA LA EXCELENCIA… COMPROMISO DE TODOS…!

CÓDIGO: PA-01-01

VERSIÓN: 2.0

FECHA: 19-06-2013

PÁGINA: 1 de 8

Nombres y Apellidos del Estudiante: Grado: OCTAVO

Periodo: TERCERO - GUIA4

Docente: Duración:

5 horas

Área: Matemáticas

Asignatura: Matemáticas

ESTÁNDAR:

Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada

Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas

Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y proponer a prueba conjeturas

INDICADORES DE DESEMPEÑO: Factoriza Expresiones algebraicas

EJE(S) TEMÁTICO(S): FACTORIZACION DE BINOMIOS

MOMENTO DE REFLEXIÓN / CRECIMIENTO PERSONAL/ SEGÚN EL TEMA

“Las matemáticas son una gimnasia del espíritu y una preparación para la filosofía.” Isócrates

ORIENTACIONES

Lee atentamente la guía.

Sigue las instrucciones dadas por el docente.

Resuelve en el cuaderno las actividades propuestas en esta guía.

EXPLORACIÓN

CONCEPTUALIZACIÓN

El papiro de Rhind es considerado el primer documento histórico que da

muestra de la existencia de la matemática en la antigüedad; actualmente, es

una de las piezas de colección del Museo Británico. Está escrito en forma

de jeroglífico y en él se recopilan varios problemas que datan de Egipto.

La mayoría de los problemas propuestos eran de tipo aritmético y estaban

relaciona-dos con situaciones cotidianas. Sin embargo, también aparecían

algunos problemas que se podían clasificar como algebraicos y que estaban

relacionados con lo que hoy se conoce como la solución de una ecuación.

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1. DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

Expresiones como , - m

2n

2 son denominadas

diferencias de cuadrados perfectos, pues los términos que las forman tienen raíz cuadrada exacta.

Factorizar una diferencia de cuadrados perfectos es el proceso inverso a encontrar la suma por la diferencia de dos

cantidades.

EJERCICIO RESUELTO

Factorizar las siguientes expresiones.

a. 4a2b

2 - 9x

2y

4 b.

Solución

a. 4a2b

2 - 9x

2y

4

√ √ Se buscan las raíces cuadradas

( )( ) Se factoriza la expresión

De donde, 4a2b

2 - 9x

2y

4= ( )( )

Factorizar, como una diferencia de cuadrados, la expresión 2 – a

Aparentemente la expresión 2 - a no es una diferencia de cuadrados perfectos, pero si se dejan indicadas las raíces de

los números, sí lo es. Así,

√ √ (√ ) √ √ (√ )

Es decir, ( ) (√ √ )(√ √ )

Factorizar, como una diferencia de cuadrados, la expresión 9x2 – 5

√ √ √ Se calculan las raíces cuadradas

( √ )( √ ) Se factoriza la ecuación

De donde, ( √ )( √ )

2. SUMA O DIFERENCIAS DE CUBOS PERFECTOS

A partir del trabajo con cocientes notables (unidad 4) se sabe que:

La diferencia de cuadrados perfectos se factoriza como el producto de dos

binomios; uno con suma y el otro con resta. Los términos de estos binomios son

las raíces cuadradas de cada uno de los términos de la diferencia planteada

inicialmente.

x2 - y

2 = (x + y)(x - y) expresión factorizada

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Además, como las expresiones anteriores son cocientes exactos en cada una de ellas se verifica:

Es decir, la suma o la diferencia de cuadrados perfectos se pueden escribir como el producto de dos factores:

EJERCICIO RESUELTO

Factorizar la siguiente expresión.

Se buscan las raíces cubicas de cada termino. √

, √

Se factoriza y se resuelven las operaciones indicadas. Así,

( )[( ) ( )( ) ( ) ] ( )( )

Factorizar

Se buscan las raíces cubicas de cada termino √

√

Se factoriza y se resuelven las ecuaciones indicadas.

(

) [(

)

(

) ( ) ( ) ]

(

) (

)

La suma de dos cubos perfectos se factoriza como el producto de dos factores:

el primer factor es la suma de las raíces cúbicas.

el segundo factor es el cuadrado de la primera raíz menos, el producto de las

dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

La diferencia de cubos perfectos se factoriza como el producto de dos factores:

el primer factor es la diferencia de las raíces cúbicas.

el segundo factor es el cuadrado de la primera raíz, más el producto entre las

dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

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3. SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES

Antes de plantear una regla general para factorizar expresiones de la forma , es importante recordar algunas

conclusiones planteadas en la unidad 4 con respecto a los cocientes de la forma .

Es divisible entre x a, si y solo si n es impar

Es divisible entre para todo valor de n (par o impar)

Es divisible entre si y solo si n es par.

Las expresiones de la forma se pueden factorizar teniendo en cuenta las anteriores conclusiones y la

siguiente regla.

EJERCICIO RESUELTO

Factorizar

a. m5 + n

5 b. 243w

5 - 32z

5

a. m5 + n

5

Si se tienen en cuenta las condiciones anteriores m5 + n

5 no es divisible entre m – n Así, que m

5 + n

5 sólo es

divisible entre m + n. Por lo tanto,

(m5 + n

5) = (m + n)(m

4 - m

3n + m

2n

2 – mn

3 + n

4)

b. 243w5 - 32z

5 se puede escribir como 3

5w

5 - 2

5z

5= (3w)

5 - (2z)

5

Si xn ± a

n es divisible entre x ± a, entonces, x

n ± a

n se puede expresar como el producto de

dos factores. Así:

el primer factor es de la forma x ± a.

el segundo factor es un polinomio de n términos con las siguientes características

el primer termino es 𝑥𝑛 y el ultimo es 𝑎𝑛

los otros términos son productos d e x y a e n donde los exponentes de x dis-

minuyen de uno en uno a partir del primer término, y los exponentes de a aumentan

de uno en uno a partir del segundo término

si x - a es un factor de xn ± a

n, los signos del segundo factor son todos +

si x + a es un factor de xn ± a

n los signos del segundo factor se escriben alternados

……..

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(3w)5 - (2z)

5 es divisible entre 3w - 2z. . Por lo tanto,

(3w)5 - ( 2 z )

5 = (3w - 2z)[(3w)

4 + ( 3 w )

3(2 z ) + (3w)

2(2z)

2 + (3w)-(2z)

3 (2z)4]

= (3w - 2z)(81w4 + 54w

3z + 36w

2z

2 + 24wz

3 + 16z

4)

ACTIVIDADES DE APROPIACION

Marcar, entre las opciones, la raíz cuadrada que

corresponde a cada monomio.

a) b) 225z8m10 c)289b4xy12n 8xy2 15z4m5 17b2xy4n

4xy2 15z3 m10 17b2xy6n

4x4y5 15z16m20 17b4xy12n

d)

e) 0,0625x

16y

4n f) 36(w – y)

64

0,25x

8y

2n 18 (w – y)

8

0,25x

16y

2n 6 (w – y)

3 2

0,3125x

4 y

2n 6 (w – y)

8

Factorizar cada expresión.

a) t4 – 16 b) x

2 - 25 c) 4w

2 – 9 d) 36 – 49z

8

e) x2z

4 – 100 f) m

10 – 81n

12 g) 1 – 16x

2 h) x

4 – 1

i) w4n – z

8n j) 3 – x k) 9 – w l) s – 4

Escribir dos factores cuyo producto sea el indicado.

a)

b)

c)

d)

Responder si al cuadrado de la figura se le quitan

nueve cuadrados del lado B; ¿es cierto que el área

restante está dada por (A – 3B) (A + 3B)?

PARA PENSAR. Factorizar las fracciones que sean

cuadrados perfectos.

a) ( ) b) ( )

c) d) ( )

d)

e)

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Completa la tabla.

Factorizar cada binomio.

a) 1 + w 3 b) 1 – x

3 c) m

3 + n

3 d) z

3 – 1 e) x

6 + 8 f) 64 – a

12 g)8p

3 – 1

h)1 – 27z6

i) -216z9 + 1 j)x

3y

6z

12 – 512 k)27a

6 + 343b

9 l)125 – w

18 z

36 m) w

3 – 0,008t

3n

6

n) 0,001x6 – 1.000q

3 o)0,027x

9- 8 p)4,913m

15+8w

9z

21 q) 64+0,125y

9

r) 0,027k9 – 0,064t

12 s)3,375 – a

15 t) 8x

6 – 0,064m

9

Término 27x9y 21 -729w21p15 0,216x54

Raíz Cúbica 2m3n4q 0,1m2w5 -

Escribir que le hace falta a cada expresión para ser

factorizada como una suma o una diferencia de

cubos. Luego, acomodar condiciones y factorizarlas.

a) 68 + 27x6

b) y2 – 8w

3

c) 1 + 4n12

d) -214z6 + 1

e) (a + b)4 – 9x

3 f) (x – y)

4 – (x + y)

5

g)

h)

i)

j) 18m

3

k)

l)

Factorizar como una suma o una diferencia de cubos

perfectos cada expresión.

a) 1 – a b) a – 1 c) 1 + a

d) x3 – 2 e) 2 - x

3 f) 8 – x

g) x – 8 h) 8 + x

PARA PENSAR. Marcar con una x las dimensiones correspondientes de cada terreno.

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

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(

) (

√

√

)

(

) (

)

(

) (

)

Factorizar cada binomio.

a) w5+1 i) z

5 – 1

b)w7+x

7 j)t

9 + 1

c)c5+a

15 k)m

6 – x

36

d)n7+128 l)64 – x

6

e)1-10.000x8

m)243b5 + 1

f)1 – 16n4 n)512p

9+a

27

g)a21

b7+2.187c

7 o)0,008t

9 + z

3

h)0.0001w8 – z

4 p)b

15y

10 – 0,00243p

5

Expresar cada binomio como el producto de dos

factores.

a)

e)

b)

f)

c)

g)

d)

h)

Escribir V, si la expresión es verdadera, o F, si es

falsa. Justificar tu respuesta.

a) Uno de los factores de t10

+32 tiene cuatro

términos.

b) Uno de los factores de 5y5

– 3.125 es 5.

c) n4 – 1 = (n

2+1) (n+1) (n – 1)

d) w4 – x

4 = (w

2 – x

2)2

e) La expresión 3z5 – 729 se descompone en tres

factores.

f) 2(w – 2)(w5 + 2w

4 + 4w

3+8w

2+16w+32) = 2w

6 –

128

PARA PENSAR. Factorizar si es posible cada

binomio.

a) c)

b)

d)

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SOCIALIZACIÓN

Resolver en el aula los ejercicios con la finalidad de aclarar las dudas presentadas y posteriormente presentar la

evaluación del tema en las fechas establecidas.

COMPROMISO

Resolver Todos los ejercicios de la guía en el cuaderno y entregarlo una vez se termine la guía según las fechas

determinadas por el docente.

ELABORÓ REVISÓ APROBÓ

NOMBRES

Yaira Lizet Rincón R Alexandra Uribe Rozo

CARGO Docentes de Área Jefe de Área

19 06 2014 19 06 2014

*

*Para factorizar un polimonio por agrupación de términos es

necesario que el número de términos que la componen no sea

primo.

*Los diferentes tipos de binomios se factorizan así:

a2 – b

2 = (a + b) (a – b)

a3 – b

3 = (a – b) (a

2 + ab + b

2)