Gilberto Arenas Díaz Segundo semestre 2010matematicas.uis.edu.co/~garenasd/doc/EDss2010I.pdfIntroducción Ecuaciones diferenciales Notas de clase: Ecuaciones Diferenciales Gilberto

IntroducciónEcuaciones diferenciales

Notas de clase: Ecuaciones Diferenciales

Gilberto Arenas Díaz

Universidad Industrial de Santander

Segundo semestre 2010

Escuela de Matemáticas Ecuaciones Diferenciales

IntroducciónEcuaciones diferenciales Modelos matemáticos

Modelación por medio de ED

Suposiciones �! Expresar suposiciones

en término de ED�! Formulación

matemática

" #Si es necesario,

modi�car

las suposiciones

Resolución

de las ED

" #Veri�car las

predicciones � Presentar predicciones

através del modelo � obtención

de soluciones



Dinámica de poblaciones

Crecimiento de poblaciones: La velocidad de crecimiento de una población esproporcional al tamaño de la población.

P : población (variable dependiente)t : tiempo (variable independiente)k : constante de proporcionalidad (k > 0)

dPdt

∝ P () dPdt= kP Modelo matemático

Análisis cualitativo Análisis analítico Análisis numérico

�Una sola ecuación diferencial puede actuar como modelo matemático paramuchos fenómenos distintos�.

Decaimiento radiactivo. Interés compuesto.




Crecimiento de poblaciones: La velocidad de crecimiento de una población esproporcional al tamaño de la población.P : población (variable dependiente)t : tiempo (variable independiente)k : constante de proporcionalidad (k > 0)

dPdt









dPdt









dPdt


Análisis cualitativo

Análisis analítico Análisis numérico







dPdt


Análisis cualitativo Análisis analítico

Análisis numérico







dPdt









dPdt









dPdt







Ley de enfriamiento y calentamiento de Newton

De acuerdo con la ley empírica de enfriamiento de Newton (o calentamiento),la velocidad con que la temperatura de un cuerpo cambia es proporcional a ladiferencia que hay entre la temperatura del cuerpo y la del medio que lo rodea(temperatura ambiente).T (t): representa la temperatura de un cuerpo en el momento t,Tm: la temperatura ambiente ydT/dt: la velocidad a la que cambia la temperatura del cuerpo,la ley de Newton se traduce en el enunciado matemático:

dTdt

∝ T� Tm () dTdt= k (T� Tm) ,

donde k es una constante de proporcionalidad.

Calentamiento si Tm > T0. Enfriamiento si Tm < T0.





dTdt

∝ T� Tm () dTdt= k (T� Tm) ,







dTdt

∝ T� Tm () dTdt= k (T� Tm) ,





Difusión de una enfermedadUna enfermedad contagiosa -por ejemplo, un virus de gripe- se difunde en unacomunidad por medio del contacto físico entre las persona. Si x (t) indica elnúmero de personas que han tenido contacto con la enfermedad e y (t) elnúmero de personas que no han sido expuestas a ésta, parece razonable asumirque la razón de cambio dx/dt a la que se difunde la enfermedad es proporcionalal número de encuentros a interacciones entre estos dos grupos de gente. Sisuponemos que el número de interacciones es conjuntamente proporcional ax (t) e y (t), es decir, proporcional al producto xy, entonces

dxdt

∝ xy () dxdt= kxy,

donde k es una constante de proporcionalidad. Suponga una pequeñacomunidad que cuenta con una población �ja de N personas. Si una personainfectada se introduce en esta comunidad, entonces puede sostenerse que x (t)e y (t) se encuentran relacionadas por x+ y = N+ 1. Al utilizar esta últimaecuación se obtiene

dxdt= kx (N+ 1� x) .

Una condición inicial evidente que acompaña a la ecuación es x (0) = 1.




dxdt



Suponga una pequeñacomunidad que cuenta con una población �ja de N personas. Si una personainfectada se introduce en esta comunidad, entonces puede sostenerse que x (t)e y (t) se encuentran relacionadas por x+ y = N+ 1. Al utilizar esta últimaecuación se obtiene


Una condición inicial evidente que acompaña a la ecuación es x (0) = 1.




dxdt


donde k es una constante de proporcionalidad. Suponga una pequeñacomunidad que cuenta con una población �ja de N personas. Si una personainfectada se introduce en esta comunidad, entonces puede sostenerse que x (t)e y (t) se encuentran relacionadas por x+ y = N+ 1. Al utilizar esta últimaecuación se obtiene


Una condición inicial evidente que acompaña a la ecuación es x (0) = 1.Escuela de Matemáticas Ecuaciones Diferenciales


Otros modelos

Reacciones químicas:dXdt= k (α�X) (β�X) .

Mezclas: Re = Vel. de entrada de sal; Rs = Vel. de salida de sal.

dAdt= Re � Rs

Re =(Concentración de sal del �ujo de entrada)�(vel. entrada de salmuera)Rs =(Concentración de sal en el tanque)�(vel. salida de salmuera)Drenado de un tanque. Ley de Torricelli

dhdt= �Ah

Aw

p2gh

Ah: área del ori�cio; Aw: área de la super�cie; V (t) = Awh; g: gravedad.Circuitos en serie: Segunda ley de Kirchho¤

Ld2qdt2 + R

dqdt+

1C

q = E (t) .

L: inductancia; C: capacitancia; R: resistencia; E (t): voltaje; q (t): carga.



Otros modelos



dAdt= Re � Rs

Re =(Concentración de sal del �ujo de entrada)�(vel. entrada de salmuera)Rs =(Concentración de sal en el tanque)�(vel. salida de salmuera)

Drenado de un tanque. Ley de Torricelli

dhdt= �Ah

Aw

p2gh


Ld2qdt2 + R

dqdt+

1C

q = E (t) .




Otros modelos



dAdt= Re � Rs


dhdt= �Ah

Aw

p2gh

Ah: área del ori�cio; Aw: área de la super�cie; V (t) = Awh; g: gravedad.

Circuitos en serie: Segunda ley de Kirchho¤

Ld2qdt2 + R

dqdt+

1C

q = E (t) .




Otros modelos



dAdt= Re � Rs


dhdt= �Ah

Aw

p2gh


Ld2qdt2 + R

dqdt+

1C

q = E (t) .

L: inductancia; C: capacitancia; R: resistencia; E (t): voltaje; q (t): carga.Escuela de Matemáticas Ecuaciones Diferenciales


Otros modelos

Caída libre: segunda ley de Newton

md2sdt2 = �mg

() d2sdt2 = �g

PVIWV d2s

dt2 = �g, s (0) = s0, s0 (0) = v0.

Caída de cuerpos y resistencia del aire:

mdvdt= mg� kv() m

d2sdt2 = mg� k

dsdt() m

d2sdt2 + k

dsdt= mg.

Modelo del aprendizaje de una tarea:

dydt=

2ppn

y3/2 (1� y)3/2 .

y: nivel de habilidad del estudiante;n, p: dependen del individuo y la naturaleza de la tarea.Ecuación de onda.Cadena deslizándose.Cable suspendidos.



Otros modelos


md2sdt2 = �mg

() d2sdt2 = �g

PVIWV d2s

dt2 = �g, s (0) = s0, s0 (0) = v0.


mdvdt= mg� kv() m

d2sdt2 = mg� k

dsdt() m

d2sdt2 + k

dsdt= mg.


dydt=

2ppn

y3/2 (1� y)3/2 .




Otros modelos


md2sdt2 = �mg() d2s

dt2 = �g

PVIWV d2s

dt2 = �g, s (0) = s0, s0 (0) = v0.


mdvdt= mg� kv() m

d2sdt2 = mg� k

dsdt() m

d2sdt2 + k

dsdt= mg.


dydt=

2ppn

y3/2 (1� y)3/2 .




Otros modelos



dt2 = �gPVIWV d2s

dt2 = �g, s (0) = s0, s0 (0) = v0.


mdvdt= mg� kv() m

d2sdt2 = mg� k

dsdt() m

d2sdt2 + k

dsdt= mg.


dydt=

2ppn

y3/2 (1� y)3/2 .




Otros modelos



dt2 = �gPVIWV d2s

dt2 = �g, s (0) = s0, s0 (0) = v0.


mdvdt= mg� kv

() md2sdt2 = mg� k

dsdt() m

d2sdt2 + k

dsdt= mg.


dydt=

2ppn

y3/2 (1� y)3/2 .




Otros modelos



dt2 = �gPVIWV d2s

dt2 = �g, s (0) = s0, s0 (0) = v0.


mdvdt= mg� kv

() md2sdt2 = mg� k

dsdt() m

d2sdt2 + k

dsdt= mg.


dydt=

2ppn

y3/2 (1� y)3/2 .




Otros modelos



dt2 = �gPVIWV d2s

dt2 = �g, s (0) = s0, s0 (0) = v0.


mdvdt= mg� kv() m

d2sdt2 = mg� k

dsdt

() md2sdt2 + k

dsdt= mg.


dydt=

2ppn

y3/2 (1� y)3/2 .




Otros modelos



dt2 = �gPVIWV d2s

dt2 = �g, s (0) = s0, s0 (0) = v0.


mdvdt= mg� kv() m

d2sdt2 = mg� k

dsdt() m

d2sdt2 + k

dsdt= mg.


dydt=

2ppn

y3/2 (1� y)3/2 .




Otros modelos



dt2 = �gPVIWV d2s

dt2 = �g, s (0) = s0, s0 (0) = v0.


mdvdt= mg� kv() m

d2sdt2 = mg� k

dsdt() m

d2sdt2 + k

dsdt= mg.


dydt=

2ppn

y3/2 (1� y)3/2 .

y: nivel de habilidad del estudiante;n, p: dependen del individuo y la naturaleza de la tarea.

Ecuación de onda.Cadena deslizándose.Cable suspendidos.



Otros modelos



dt2 = �gPVIWV d2s

dt2 = �g, s (0) = s0, s0 (0) = v0.


mdvdt= mg� kv() m

d2sdt2 = mg� k

dsdt() m

d2sdt2 + k

dsdt= mg.


dydt=

2ppn

y3/2 (1� y)3/2 .

y: nivel de habilidad del estudiante;n, p: dependen del individuo y la naturaleza de la tarea.Ecuación de onda.

Cadena deslizándose.Cable suspendidos.



Otros modelos



dt2 = �gPVIWV d2s

dt2 = �g, s (0) = s0, s0 (0) = v0.


mdvdt= mg� kv() m

d2sdt2 = mg� k

dsdt() m

d2sdt2 + k

dsdt= mg.


dydt=

2ppn

y3/2 (1� y)3/2 .

y: nivel de habilidad del estudiante;n, p: dependen del individuo y la naturaleza de la tarea.Ecuación de onda.Cadena deslizándose.

Cable suspendidos.



Otros modelos



dt2 = �gPVIWV d2s

dt2 = �g, s (0) = s0, s0 (0) = v0.


mdvdt= mg� kv() m

d2sdt2 = mg� k

dsdt() m

d2sdt2 + k

dsdt= mg.


dydt=

2ppn

y3/2 (1� y)3/2 .




Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial

Clasi�cación

De�nición

Se dice que una ecuación diferencial (ED) es cualquier ecuación que contienelas derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o másvariables independientes.

Ecuaciones Diferenciales

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

TIPO

8<: parciales (EDP)

ordinarias (EDO)

ORDEN

GRADO

8<: lineales

no lineales

HOMOGENEIDAD

8<: Homogéneas

No homogéneas




Clasi�cación

De�nición



8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

TIPO

8<: parciales (EDP)

ordinarias (EDO)

ORDEN

GRADO

8<: lineales

no lineales

HOMOGENEIDAD

8<: Homogéneas

No homogéneas




Clasi�cación

De�nición



8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

TIPO

8<: parciales (EDP)

ordinarias (EDO)

ORDEN

GRADO

8<: lineales

no lineales

HOMOGENEIDAD

8<: Homogéneas

No homogéneas




Clasi�cación

De�nición



8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

TIPO

8<: parciales (EDP)

ordinarias (EDO)

ORDEN

GRADO

8<: lineales

no lineales

HOMOGENEIDAD

8<: Homogéneas

No homogéneas




Ecuaciones diferenciales

F�

x, y, u (x, y) ,∂u∂x

,∂u∂y

,∂2u

∂x∂y,

∂2u∂x2 ,

∂2u∂y2 , � � � ,

∂nu∂xp∂yq

�= 0

uxx + uyy = 0;

utt = c2uxx;

ut = uxx + uyy;

utt = uxx + uyy + uzz

F�

x, y,dydx

,d2ydx2 , � � � ,

dnydxn

�= 0

F�

t, x,dxdt

,d2xdt2 , � � � ,

dnxdtn

�= 0





F�

x, y, u (x, y) ,∂u∂x

,∂u∂y

,∂2u

∂x∂y,

∂2u∂x2 ,

∂2u∂y2 , � � � ,

∂nu∂xp∂yq

�= 0

uxx + uyy = 0;

utt = c2uxx;

ut = uxx + uyy;


F�

x, y,dydx

,d2ydx2 , � � � ,

dnydxn

�= 0

F�

t, x,dxdt

,d2xdt2 , � � � ,

dnxdtn

�= 0





F�

x, y, u (x, y) ,∂u∂x

,∂u∂y

,∂2u

∂x∂y,

∂2u∂x2 ,

∂2u∂y2 , � � � ,

∂nu∂xp∂yq

�= 0

uxx + uyy = 0;

utt = c2uxx;

ut = uxx + uyy;


F�

x, y,dydx

,d2ydx2 , � � � ,

dnydxn

�= 0

F�

t, x,dxdt

,d2xdt2 , � � � ,

dnxdtn

�= 0





F�

x, y, u (x, y) ,∂u∂x

,∂u∂y

,∂2u

∂x∂y,

∂2u∂x2 ,

∂2u∂y2 , � � � ,

∂nu∂xp∂yq

�= 0

uxx + uyy = 0;

utt = c2uxx;

ut = uxx + uyy;


F�

x, y,dydx

,d2ydx2 , � � � ,

dnydxn

�= 0

F�

t, x,dxdt

,d2xdt2 , � � � ,

dnxdtn

�= 0




Ecuaciones diferenciales ordinarias

F�

x, y, y0, y00, � � � , y(n)�= 0() dny

dxn = f�

x, y, y0, y00, � � � , y(n�1)�

. (1)

dydx= f (x, y) ,

d2ydx2 = f

�x, y, y0

�.

Clasi�cación por linealidad

n

∑i=0

ai (x)diydxi = g (x) .

an (x)dnydxn + an�1 (x)

dn�1ydxn�1 + � � �+ a2 (x)

d2ydx2 + a1 (x)

dydx+ a0 (x) y = g (x) .

EDL de primer orden a1 (x)dydx+ a0 (x) y = g (x) .

EDL de segundo orden a2 (x)d2ydx2 + a1 (x)

dydx+ a0 (x) y = g (x) .





F�

x, y, y0, y00, � � � , y(n)�= 0() dny

dxn = f�

x, y, y0, y00, � � � , y(n�1)�

. (1)

dydx= f (x, y) ,

d2ydx2 = f

�x, y, y0

�.


n

∑i=0



dn�1ydxn�1 + � � �+ a2 (x)

d2ydx2 + a1 (x)

dydx+ a0 (x) y = g (x) .



dydx+ a0 (x) y = g (x) .





F�

x, y, y0, y00, � � � , y(n)�= 0() dny

dxn = f�

x, y, y0, y00, � � � , y(n�1)�

. (1)

dydx= f (x, y) ,

d2ydx2 = f

�x, y, y0

�.


n

∑i=0



dn�1ydxn�1 + � � �+ a2 (x)

d2ydx2 + a1 (x)

dydx+ a0 (x) y = g (x) .



dydx+ a0 (x) y = g (x) .





F�

x, y, y0, y00, � � � , y(n)�= 0() dny

dxn = f�

x, y, y0, y00, � � � , y(n�1)�

. (1)

dydx= f (x, y) ,

d2ydx2 = f

�x, y, y0

�.


n

∑i=0



dn�1ydxn�1 + � � �+ a2 (x)

d2ydx2 + a1 (x)

dydx+ a0 (x) y = g (x) .



dydx+ a0 (x) y = g (x) .





F�

x, y, y0, y00, � � � , y(n)�= 0() dny

dxn = f�

x, y, y0, y00, � � � , y(n�1)�

. (1)

dydx= f (x, y) ,

d2ydx2 = f

�x, y, y0

�.


n

∑i=0



dn�1ydxn�1 + � � �+ a2 (x)

d2ydx2 + a1 (x)

dydx+ a0 (x) y = g (x) .



dydx+ a0 (x) y = g (x) .




Ejemplos

Clasi�quen las siguientes ecuaciones diferenciales

d3ydx3 + y3 dy

dx+ y = x2 + 1

d4ydx4 + x

d2ydx2 � x2y = cos x

x5 d2ydx2 + x3 dy

dx+ y3 = tan x

d2xdt2 + tx2 = t+ 1

d7xdt7 + x

dxdt+ tx = sin x

No lineal, 3er orden.

Lineal, 4to orden.

No lineal, 2do orden.


No lineal, 7o orden.




Ejemplos


d3ydx3 + y3 dy

dx+ y = x2 + 1

d4ydx4 + x


x5 d2ydx2 + x3 dy

dx+ y3 = tan x

d2xdt2 + tx2 = t+ 1

d7xdt7 + x

dxdt+ tx = sin x


Lineal, 4to orden.







Ejemplos


d3ydx3 + y3 dy

dx+ y = x2 + 1

d4ydx4 + x


x5 d2ydx2 + x3 dy

dx+ y3 = tan x

d2xdt2 + tx2 = t+ 1

d7xdt7 + x

dxdt+ tx = sin x


Lineal, 4to orden.







Ejemplos


d3ydx3 + y3 dy

dx+ y = x2 + 1

d4ydx4 + x


x5 d2ydx2 + x3 dy

dx+ y3 = tan x

d2xdt2 + tx2 = t+ 1

d7xdt7 + x

dxdt+ tx = sin x


Lineal, 4to orden.







Ejemplos


d3ydx3 + y3 dy

dx+ y = x2 + 1

d4ydx4 + x


x5 d2ydx2 + x3 dy

dx+ y3 = tan x

d2xdt2 + tx2 = t+ 1

d7xdt7 + x

dxdt+ tx = sin x


Lineal, 4to orden.







Ejemplos


d3ydx3 + y3 dy

dx+ y = x2 + 1

d4ydx4 + x


x5 d2ydx2 + x3 dy

dx+ y3 = tan x

d2xdt2 + tx2 = t+ 1

d7xdt7 + x

dxdt+ tx = sin x


Lineal, 4to orden.







Ejemplos


d3ydx3 + y3 dy

dx+ y = x2 + 1

d4ydx4 + x


x5 d2ydx2 + x3 dy

dx+ y3 = tan x

d2xdt2 + tx2 = t+ 1

d7xdt7 + x

dxdt+ tx = sin x


Lineal, 4to orden.







Ejemplos


d3ydx3 + y3 dy

dx+ y = x2 + 1

d4ydx4 + x


x5 d2ydx2 + x3 dy

dx+ y3 = tan x

d2xdt2 + tx2 = t+ 1

d7xdt7 + x

dxdt+ tx = sin x


Lineal, 4to orden.







Ejemplos


d3ydx3 + y3 dy

dx+ y = x2 + 1

d4ydx4 + x


x5 d2ydx2 + x3 dy

dx+ y3 = tan x

d2xdt2 + tx2 = t+ 1

d7xdt7 + x

dxdt+ tx = sin x


Lineal, 4to orden.







Ejemplos


d3ydx3 + y3 dy

dx+ y = x2 + 1

d4ydx4 + x


x5 d2ydx2 + x3 dy

dx+ y3 = tan x

d2xdt2 + tx2 = t+ 1

d7xdt7 + x

dxdt+ tx = sin x


Lineal, 4to orden.







Solución de una EDO

De�nición

Una función ψ (x), de�nida sobre un intervalo I y que posea al menos nderivadas continuas sobre I, y que al ser sustituida en una EDO (1) la satisfacepara toda x 2 I, se dice que es una solución explícita de la ecuación en elintervalo I.

No es posible considerar una solución de una EDO sin pensar al mismo tiempoen un intervalo. El intervalo I de la de�nición se denomina de diversas maneras:intervalo de de�nición, intervalo de existencia, intervalo de validez odominio de la solución y puede ser un intervalo abierto (a, b), un intervalocerrado [a, b], un intervalo in�nito (a, ∞), etcétera.

Ejemplo

Las siguientes funciones son solución en (�∞, ∞) de la EDO respectiva.

ψ (x) = sin x+ x2 ��! d2ydx2 + y = x2 + 2.

ϕ (t) = cos t+ sin t ��! x00 � x0 = �2 cos t.φ (x) = e�x + e2x ��! y00 � y0 � 2y = 0.





De�nición



Ejemplo


ψ (x) = sin x+ x2 ��! d2ydx2 + y = x2 + 2.






De�nición



Ejemplo


ψ (x) = sin x+ x2 ��! d2ydx2 + y = x2 + 2.






De�nición



Ejemplo


ψ (x) = sin x+ x2 ��! d2ydx2 + y = x2 + 2.

ϕ (t) = cos t+ sin t ��! x00 � x0 = �2 cos t.

φ (x) = e�x + e2x ��! y00 � y0 � 2y = 0.





De�nición



Ejemplo


ψ (x) = sin x+ x2 ��! d2ydx2 + y = x2 + 2.





Solución implicita

De�nición

Se dice que una relación G (x, y) = 0 es una solución implícita de la EDO enintervalo I si de�ne una o más soluciones explícita en I.

EjemploLas siguientes relaciones son solución implícita de la EDO respectiva.

x+ y+ exy = 0 ��! (1+ xexy) y0 + 1+ yexy = 0.x2 = y2 + c ��! yy0 = x.

Ejemplo

d2xdt2 = a =) dx

dt= at+ c1 =) x (t) = a

2 t2 + c1t+ c2 (dos constantes).

dAdt= �kA =) A (t) = Ce�kt (una constante).

d4ydx4 = a =) y (x) =

a24

x4 + c1x3 + c2x2 + c3x+ c4 (cuatro constantes).




Solución implicita

De�nición



x+ y+ exy = 0 ��! (1+ xexy) y0 + 1+ yexy = 0.

x2 = y2 + c ��! yy0 = x.

Ejemplo

d2xdt2 = a =) dx

dt= at+ c1 =) x (t) = a



d4ydx4 = a =) y (x) =

a24





Solución implicita

De�nición




Ejemplo

d2xdt2 = a =) dx

dt= at+ c1 =) x (t) = a



d4ydx4 = a =) y (x) =

a24





Solución implicita

De�nición




Ejemplo

d2xdt2 = a =) dx

dt= at+ c1 =) x (t) = a



d4ydx4 = a =) y (x) =

a24





Solución implicita

De�nición




Ejemplo

d2xdt2 = a =) dx

dt= at+ c1 =) x (t) = a



d4ydx4 = a =) y (x) =

a24





Solución implicita

De�nición




Ejemplo

d2xdt2 = a =) dx

dt= at+ c1 =) x (t) = a



d4ydx4 = a =) y (x) =

a24





Solución implicita

De�nición




Ejemplo

d2xdt2 = a =) dx

dt= at+ c1 =) x (t) = a



d4ydx4 = a =) y (x) =

a24





Problema de valor inicial

De�nición

Se entiende como un problema de valor inicial (PVI) para una ecuacióndiferencial de orden n, como hallar una solución de la ED en un intervalo I quesatisface en x0 las n condiciones iniciales

y (x0) = y0, y0 (x0) = y1, y00 (x0) = y2, . . . , y(n�1) (x0) = yn�1

donde x0 2 I e y0, y1, y2, . . . , yn�1 son constantes dadas.

PVI (primer orden).( dydx= f (x, y)

y (x0) = y0

PVI (segundo orden).8<: d2ydx2 = f (x, y, y0)y (x0) = y0, y0 (x0) = y1





De�nición


y (x0) = y0, y0 (x0) = y1, y00 (x0) = y2, . . . , y(n�1) (x0) = yn�1



y (x0) = y0






De�nición


y (x0) = y0, y0 (x0) = y1, y00 (x0) = y2, . . . , y(n�1) (x0) = yn�1



y (x0) = y0





Ejemplos de PVI

( dPdt= kP

P (0) = 1000

8<: d2ydx2 = �9, 8 m/s2

y (0) = 100 m, y0 (0) = 20 m/s

x00 = t2 � 9, x (0) = 1, x0 (0) = 3

y00 = sin x� cos x, y (π/2) = 0, y0 (π/2) = 1

y00 + y = 0, y (0) = π, y0 (0) = 2




Ejemplos de PVI

( dPdt= kP

P (0) = 1000

8<: d2ydx2 = �9, 8 m/s2

y (0) = 100 m, y0 (0) = 20 m/s

x00 = t2 � 9, x (0) = 1, x0 (0) = 3

y00 = sin x� cos x, y (π/2) = 0, y0 (π/2) = 1

y00 + y = 0, y (0) = π, y0 (0) = 2




Ejemplos de PVI

( dPdt= kP

P (0) = 1000

8<: d2ydx2 = �9, 8 m/s2

y (0) = 100 m, y0 (0) = 20 m/s

x00 = t2 � 9, x (0) = 1, x0 (0) = 3

y00 = sin x� cos x, y (π/2) = 0, y0 (π/2) = 1

y00 + y = 0, y (0) = π, y0 (0) = 2




Ejemplos de PVI

( dPdt= kP

P (0) = 1000

8<: d2ydx2 = �9, 8 m/s2

y (0) = 100 m, y0 (0) = 20 m/s

x00 = t2 � 9, x (0) = 1, x0 (0) = 3

y00 = sin x� cos x, y (π/2) = 0, y0 (π/2) = 1

y00 + y = 0, y (0) = π, y0 (0) = 2




Ejemplos de PVI

( dPdt= kP

P (0) = 1000

8<: d2ydx2 = �9, 8 m/s2

y (0) = 100 m, y0 (0) = 20 m/s

x00 = t2 � 9, x (0) = 1, x0 (0) = 3

y00 = sin x� cos x, y (π/2) = 0, y0 (π/2) = 1

y00 + y = 0, y (0) = π, y0 (0) = 2




Existencia y unicidad

Al considerar un problema de valor inicial surgen dos preguntas importantes:

¿Existe solución del problema? Si existe una solución, ¿es única?

Para un PVI como el de

( dydx= f (x, y)

y (x0) = y0

nos preguntamos:

Existencia(¿La ecuación diferencial

dydx= f (x, y) cuenta con soluciones?

¿Alguna de las curvas de solución atraviesan el punto (x0, y0) ?

Unicidad�¿En qué momento podemos estar seguros de que existen precisamenteuna curva de solución atravesando el punto (x0, y0) ?








( dydx= f (x, y)

y (x0) = y0

nos preguntamos:












( dydx= f (x, y)

y (x0) = y0

nos preguntamos:












( dydx= f (x, y)

y (x0) = y0

nos preguntamos:








Teorema de Existencia y unicidad

Teorema (Existencia de unasolución única)

Considerese a R como una regiónrectangular en el plano xyde�nida porf(x, y) : x 2 [a, b] , y 2 [c, d]g, lacual contiene al punto (x0, y0). Sif (x, y) y ∂f /dy son continuas enR, entonces existe cierto intervaloI = [x0 � δ, x0 + δ], δ > 0,contenido en [a, b], y una funciónúnica ϕ (x) de�nida en I querepresenta una solución del PVI( dy

dx= f (x, y) ,

y (x0) = y0.




Teorema de Existencia y unicidad

Teorema (Existencia de unasolución única)

Considerese a R como una regiónrectangular en el plano xyde�nida porf(x, y) : x 2 [a, b] , y 2 [c, d]g, lacual contiene al punto (x0, y0). Sif (x, y) y ∂f /dy son continuas enR, entonces existe cierto intervaloI = [x0 � δ, x0 + δ], δ > 0,contenido en [a, b], y una funciónúnica ϕ (x) de�nida en I querepresenta una solución del PVI( dy

dx= f (x, y) ,

y (x0) = y0.




Ejercicios

1 Determine la forma general de una región del plano en la cual la ecuacióndiferencial �

y2 � x�

y0 = y2 + x

tenga una única solución por cada punto (x0, y0) de la región.2 El problema de valor inicial� �

x2 � 4�

y0 + y2/3 = 0,y (2) = 0,

cumple las condiciones del teorema de existencia y unicidad?, ¿por qué?3 El problema de valor inicial

(y� x) y0 = y+ x, y (0) = 0,

satisface las condiciones del teorema de existencia y unicidad?


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Gilberto Arenas Díaz Segundo semestre 2010matematicas.uis.edu.co/~garenasd/doc/EDss2010I.pdfIntroducción Ecuaciones diferenciales Notas de clase: Ecuaciones Diferenciales Gilberto