Embed Size (px)
Citation preview
TESIS DEFENDIDA POR
Gildardo Chaparro Magallanez
Y APROBADA POR EL SIGUIENTE COMITÉ
Dr. Josué Álvarez Borrego
Director del Comité
Dr. Héctor Manuel Escamilla Taylor Dr. Santiago Camacho López
Miembro del Comité Miembro del Comité
Dr. Héctor Alonso Echavarría Heras
Miembro del Comité
Dr. Pedro Negrete Regagnon Dr. David Hilario Covarrubias Rosales
Coordinador del programa de posgrado en ciencias en óptica
Director de Estudios de Posgrado
20 de octubre de 2011
CENTRO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA Y DE EDUCACIÓN SUPERIOR
DE ENSENADA
PROGRAMA DE POSGRADO EN CIENCIAS
EN ÓPTICA
Correlación invariante mediante el uso de firmas
unidimensionales
TESIS
que para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de MAESTRO EN CIENCIAS
Presenta:
GILDARDO CHAPARRO MAGALLANEZ
Ensenada, Baja California, México, octubre, 2011.
i
RESUMEN de la tesis de Gildardo Chaparro Magallanez, presentada como requisito parcial para la obtención del grado de MAESTRO EN CIENCIAS en Óptica con orientación en optoelectrónica. Ensenada, Baja California. Octubre, 2011.
CORRELACIÓN INVARIANTE MEDIANTE EL USO DE FIRMAS UNIDIMENSIONALES
Resumen aprobado por:
________________________________
Josué Álvarez Borrego Director de tesis
Se presenta un nuevo sistema de reconocimiento de imágenes usando correlaciones digitales no lineales, con invariancia a posición, rotación, escala y ruido. Son utilizadas firmas unidimensionales, generadas a partir de la información obtenida de filtros adaptativos binarios de anillos concéntricos. Se muestra la operación del sistema variando las opciones para la construcción de la máscara binaria de anillos concéntricos, usando tanto la parte real como imaginaria de la transformada de Fourier, así como también invirtiendo el estado binario de los anillos. Fue realizado un análisis estadístico para conocer el nivel de confianza de la correlación promedio. En la primera parte se obtienen resultados para simulaciones donde son usadas imágenes binarias que presentan variaciones de tamaño de ±30% y variaciones de rotación (1º - 360º). Posteriormente son usadas imágenes de diatomeas en escala de grises con variación de tamaño (90% - 107%) y variaciones de rotación (1º - 360º). Por último se presenta una discusión del desempeño del sistema de correlación donde imágenes de diatomeas en escala de grises son afectadas por ruido gaussiano y ruido impulsivo. Con base en los resultados de las simulaciones, se da a conocer el filtro con mejor desempeño en el sistema de reconocimiento, tanto para las imágenes binarias como en escala de grises, en presencia de distorsiones de posición, escala, rotación y ruido, caracterizándose así un sistema de reconocimiento de imágenes rápido y funcional.
Palabras Clave: reconocimiento de patrones, filtros de correlación, firmas.
ii
ABSTRACT of the thesis presented by Gildardo Chaparro Magallanez as a partial requirement to obtain the MASTER OF SCIENCE degree in Optics with orientation in optoelectronics. Ensenada, Baja California, México, October, 2011.
INVARIANT CORRELATION USING ONE-DIMENSIONAL SIGNATURES
A new system for image recognition using nonlinear digital correlations with position, scale, rotation and noise invariance is presented. One-dimensional signatures are used, these generated with information obtained from binary adaptative filters of concentric rings. Different options for building the binary mask of concentric rings are described. A statistical analysis was done to know the mean correlation confidence level. In the first part, results for simulations using binary images of letters B, E, F, H, P and T are obtained, with scale and rotation variances of ±30% and 1º to 360º respectively. In addition, diatom images in gray scale are used, with size variance (90% - 107%), and rotation variance (1º - 360º). Finally, a discussing about the performance of the correlation system where images of diatoms affected with Gaussian and impulsive noise is presented. Based on simulation results, it is shown the filter with better performance for binary and gray scale images recognition in presence of position, size, rotation and noise distortions, being characterized of this way a fast and functional image recognition system.
Keywords: pattern recognition, correlation filters, signatures.
iii
Dedicatorias A Esther Magallanez Martínez y Jesús María Chaparro Molina, mis padres.
iv
Agradecimientos
A mi director de tesis, Josué Álvarez Borrego, por el apoyo recibido, sus
consejos y su enorme paciencia. A los doctores Héctor Escamilla Taylor, Santiago
Camacho López y Héctor Echavarría Heras por su disposición en todo momento y
sugerencias. A cada uno de mis compañeros de generación, con quienes siempre
compartí un cálido compañerismo, y que sin duda me ayudó a continuar. A mis
padres, hermanos y sobrinos, quienes me motivaron siempre a seguir con mi
desarrollo profesional. A mis amigos, que directa o indirectamente fueron un apoyo
a lo largo de mis estudios me maestría.
Se agradece al Centro de Investigación Científica y de Educación Superior
de Ensenada (CICESE) y al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología
(CONACYT), por la beca que durante dos años me otorgó. Este trabajo fue
apoyado por el proyecto CONACYT titulado “Correlación invariante a posición,
rotación, escala, ruido e iluminación para identificación de organismos y
estructuras microscópicas y macroscópicas”, con número 102007.
Especialmente, y sobre todo, agradezco a Dios Único, que abre y cierra
puertas aún sin mi consentimiento, para sus propósitos y mi salvación.
v
CONTENIDO
Página
Resumen español…………………………………………………………… i
Resumen inglés……………………………………………………………… ii
Dedicatorias………………………………………………………………….. iii
Agradecimientos…………………………………………………………….. iv
Contenido…………………………………………………………………….. v
Lista de Figuras……………………………………………………………… vii
Lista de Tablas………………………………………………………………. ix
Capítulo I. Introducción……………………………………………………. 1
I.1 Sistemas de correlación………………………………….………………. 1
I.2 Sistemas de correlación digital empleados para reconocimiento…… 2
I.3 Justificación……………………………………………………………….. 3
I.4 Objetivos…………………………………………………………………… 4
-Objetivo general……………………………………………………………… 4
-Objetivos particulares……………………………………………………….. 4
I.5 Estructura de la tesis……………………………………………………… 5
Capítulo II. Fundamentos matemáticos…………………………………. 6
II.1 Introducción……………………………………………….………………. 6
II.2 Transformada de Fourier………………………………….…………….. 7
II.3 Transformada de Fourier inversa………………………….…………… 8
II.4 Transformada discreta y transformada discreta de Fourier inversa… 8
II.5 Transformada de Fourier discreta en dos dimensiones…….….……. 9
II.6 Propiedades de la transformada discreta de Fourier………….……… 10
vi
CONTENIDO (continuación)
II.7 Teorema de convolución…………………………………………..……. 11
II.8 Teorema de convolución en el tiempo…………………………………. 12
II.9 Teorema de convolución en la frecuencia……………….……………. 14
II.10 Teorema de correlación………………………………………………… 14
Capítulo III. Marco teórico……………………….…………………………. 15
III.1 Introducción………………………………………….…………………… 15
III.2 Filtros de correlación………………………………….…………………. 16
III.3 Imágenes con ruido………………………………….………………….. 20
Capítulo IV. Metodología…………………………………………………… 24
IV.1 La transformada de Fourier en las imágenes…………………….….. 24
IV.2 Obtención de la máscara binaria de anillos y alternativas……….… 25
IV.3 Obtención de las firmas unidimensionales………………….………. 29
IV.4 Correlaciones entre firmas de imágenes……….……………………. 33
Capítulo V. Resultados y discusión……………………….…………….. 34
V.1 Correlaciones con imágenes binarias……………….……………….. 35
V.2 Correlaciones con imágenes en escala de grises…………….…….. 46
V.3 Imágenes en presencia de ruido………………….…………………… 56
Capítulo VI. Conclusiones…………………………………………………. 61
Referencias…………………………………………………………………… 63
vii
LISTA DE FIGURAS
Figura
Página
1 Resolución de problemas con transformadas 6
2 Imágenes problema y objetivo 15
3 Representación polar 17
4 Distribución de Gauss 21
5 Imágenes con ruido gaussiano 21
6 Imágenes con ruido impulsivo 22
7 Transformada de Fourier de una imagen 24
8 Imagen original 25
9 Parte real de la transformada de Fourier 25
10 Corte de la parte real de la transformada de Fourier 26
11 Función binaria 27
12 Máscara binaria de anillos concéntricos 27
13 Obtención de la máscara para la imagen de la letra B 28
14 Selección óptima de la MBAC 28
15 Multiplicación punto a punto de matrices 29
16 Firma sencilla 30
17 Firma promedio 31
18 Módulo compuesto 32
19 Correlaciones solo de fase para la letra F 36
20 Correlaciones no lineales (k=0.1) para la letra F 37
21 Imágenes binarias utilizadas 39
22 Diferentes formas de hacer el filtro 40
23 Filtro de mejor desempeño 45
24 Imágenes de diatomeas en escala de grises utilizadas 46
25 Correlaciones utilizando como filtro la imagen A 47
viii
LISTA DE FIGURAS (CONTINUACIÓN)
26 Correlaciones utilizando como filtro la imagen B 47
27 Correlaciones utilizando como filtro la imagen C 48
28 Correlaciones utilizando como filtro la imagen D 48
29 Correlaciones utilizando como filtro la imagen E 49
30 Correlaciones utilizando como filtro la imagen F 49
31 CD del sistema agregando ruido gaussiano 57
32 CD del sistema agregando ruido impulsivo 57
33 CD del sistema agregando ambos ruidos, σ2=1 58
34 CD del sistema agregando ambos ruidos, σ2=2 58
35 CD del sistema agregando ambos ruidos, σ2=3 59
36 CD del sistema agregando ambos ruidos, σ2=4 59
ix
LISTA DE TABLAS
Tabla Página
I Correlaciones de filtros no lineales con diferente número
de imágenes
38
II Correlaciones de filtros solo de fase con diferente número
de imágenes
38
III Correlaciones usando la parte real de la TF 41
IV Correlaciones usando la parte real de la TF e invirtiendo
el anillo
42
V Correlaciones usando la parte imaginaria de la TF e
invirtiendo el anillo
43
VI Correlaciones usando la parte imaginaria de la TF 44
VII Correlaciones usando como filtro la diatomea A 50
VIII Correlaciones usando como filtro la diatomea B 51
IX Correlaciones usando como filtro la diatomea C 52
X Correlaciones usando como filtro la diatomea D 53
XI Correlaciones usando como filtro la diatomea E 54
XII Correlaciones usando como filtro la diatomea F 55
Capítulo I
Introducción
I.1 Sistemas de correlación.
A principios de la década de los 60’s los sistemas de correlación adquirieron
un importante impacto en el desarrollo de diferentes campos de la ciencia. Los
avances tecnológicos conseguidos desde entonces hasta la fecha, utilizando
técnicas de correlación, van desde análisis vibracionales en sistemas mecánicos
hasta procesamiento de señales generadas por sistemas de magnitudes físicas de
órdenes cuánticos. Algunos otros ejemplos también muy significativos son los
conseguidos en algunas aplicaciones en actuales cámaras digitales y sistemas de
metrología de deformación de objetos.
La correlación busca establecer la medida de similitud entre dos funciones,
es decir, determina la medida de la dependencia de una función A sobre una
función B. Las técnicas de correlación son variadas dependiendo en gran medida
del problema presente. Con respecto al reconocimiento de imágenes, la
correlación óptica y digital en el dominio de Fourier (Solorza Calderón, S. y J.
Álvarez Borrego. (2010)) son técnicas muy útiles actualmente para el logro de un
buen desempeño y toma de decisiones en una gran cantidad de campos.
2
I.2 Sistemas de correlación digital empleados para
reconocimiento de imágenes.
El reconocimiento de patrones de imágenes es un problema común. Cada
día las personas de manera natural le dan solución de forma instantánea, lo
suficientemente rápido como para ser considerado un verdadero problema.
Utilizando las técnicas de correlación digital de imágenes es posible proponer
diversas soluciones a problemas donde las capacidades naturales humanas por sí
solas no serían suficientes para obtener una respuesta confiable.
La taxonomía nos da un ejemplo claro de cómo sus orígenes
metodológicos están fuertemente basados en el análisis meramente humano. De
esta manera, y con la necesidad de altos niveles de confianza, según sea el
problema en análisis, además de procesar cantidades de información fuera del
alcance de las capacidades humanas, los sistemas automáticos desempeñan un
papel fundamental en la tarea de relevar antiguas e innecesarias metodologías.
Recientes trabajos de investigación han probado con mucho éxito cómo los
sistemas de correlación digital de imágenes superan los requerimientos
establecidos para diferentes tareas taxonómicas. Pech-Pacheco, José Luis y
Josué Álvarez-Borrego (1998), muestran resultados concernientes al campo de la
taxonomía donde con un algoritmo computacional logra identificar diferentes
especies de fitoplancton en tiempos no posibles solo por análisis visual, además
de un alto nivel de confianza. En el campo de la acuicultura también se han
logrado mejorías en el diagnóstico de enfermedades en los cultivos mediante la
implementación de sistemas automáticos. Álvarez-Borrego Josué y María Cristina
Chávez Sánchez (2001), muestran la metodología necesaria para encontrar el
virus IHHN en el tejido de camarones con la ayuda de un sistema de correlación
de imagen de tejidos bajo análisis. De manera sostenidamente creciente el
impacto de los sistemas de correlación digital de imágenes ha desencadenado un
3
notable interés en la búsqueda de avances para diferentes campos de la ciencia y
tecnología tales como sistemas de seguridad, psicología, y biología general (Fájer
Ávila Emma Josefina y Josué Álvarez-Borrego, (2002)). Entre los avances
ingenieriles destacan reconocimiento automático de objetos en movimiento,
reconocimiento biométrico, reconocimiento de caracteres ópticos y sensado
remoto.
El diseño y uso de los algoritmos de correlación de reconocimiento de
patrones requiere de antemano conocimiento de algunas áreas como, por
ejemplo, el procesamiento digital de señales, teoría de sistemas lineales, procesos
y variables aleatorias, métodos matriciales y procesamiento óptico. La lista puede
ser muy larga dependiendo el sistema a desarrollar, ya que en la actualidad el
carácter multidisciplinario de la investigación va más lejos que el conocimiento de
solo una rama de la ciencia.
I.3 Justificación.
Desde sus inicios a fechas recientes, los sistemas de correlación de
imágenes preparan novedosas y eficientes soluciones a los problemas de
reconocimiento a pesar de requerir alto desempeño sin importar las distorsiones
presentes tales como tamaño, rotación, posición, ruido o combinación entre éstas.
Algunas consideraciones de diseño tales como la fuga de información en el
proceso, el costo computacional requerido, la complejidad del sistema y la
tecnología requerida son muy importantes para determinar la factibilidad del
sistema de correlación. El método que se propone es un sistema que emplea
correlación digital mediante transformada de Fourier usando dos filtros no lineales
con invariancia a rotación, escala, posición y ruido, además de ser un sistema
adaptativo basado en firmas unidimensionales, teniendo de esta forma la enorme
ventaja de un reconocimiento rápido y con alto nivel de confianza. De esta
manera, el costo computacional se reduce de manera significativa.
4
I.4 Objetivos.
Objetivo general.
Desarrollo de una nueva metodología de correlación digital unidimensional
invariante a rotación, escala, posición y ruido, mediante el uso de máscaras
binarias adaptativas y firmas unidimensionales.
Objetivos particulares.
1. Obtención de la máscara binaria adaptativa de un objeto a reconocer
utilizando la parte real de su transformada de Fourier (TF). Obtener la firma
unidimensional.
2. Obtención de la máscara binaria adaptativa de un objeto a reconocer
utilizando la parte imaginaria de su transformada de Fourier (TF). Obtener
la firma unidimensional.
3. Realizar un estudio profundo de la comparación de resultados de los
objetivos particulares de 1 y 2. Escoger la mejor máscara adaptativa con su
firma unidimensional.
4. Obtener una máscara adaptativa compuesta mediante imágenes de
entrenamiento con diferente escala.
5. Estudiar el desempeño de la firma compuesta obtenida, y determinar el
máximo número de imágenes de entrenamiento que puede soportar a un
nivel de confianza de al menos 90 %.
6. Encontrar el límite de los valores de escala con los cuales el sistema de
reconocimiento tenga un buen desempeño.
7. Estudiar el desempeño de las firmas unidimensionales en presencia de
diferentes tipos de ruido (gaussiano e impulsivo y ambos).
5
I.5 Estructura de la tesis.
Para una mejor organización, el contenido de la tesis está distribuido en una
extensión de seis capítulos. El capítulo I presenta una introducción a los sistemas
de correlación digital para reconocimiento de imágenes así como la descripción de
los objetivos perseguidos. El capítulo II muestra un análisis teórico de las
herramientas matemáticas necesarias en la materia, como la correlación y la
transformación de Fourier. Para el capítulo III se prepara una discusión acerca de
filtros lineales y no lineales, así como también la teoría relacionada con el ruido
utilizado para determinar la operación del sistema en su presencia. Los
procedimientos paso a paso en la generación de las firmas unidimensionales,
máscaras de anillos y opciones de elaboración (parte imaginaria o real de la TF y
selección de anillo) así como la obtención de las correlaciones entre las firmas
están dadas en el capítulo IV. El capítulo V muestra los resultados obtenidos en
las simulaciones, tablas de correlaciones y el análisis de desempeño del sistema
en presencia de ruido. Las conclusiones están reservadas al capítulo VI.
6
Capítulo II
Fundamentos matemáticos
II.1 Introducción.
Esta sección está destinada a mostrar lo relacionado a la base matemática
sobre la cual está sostenida la metodología en el desarrollo de la tesis,
fundamentalmente, la transformada de Fourier (TF). En matemáticas, la
transformación se refiere al replanteamiento o cambio de un sistema a una
dimensión diferente (figura 1). Esta reformulación permite una solución más ágil,
aun cuando es requerida una transformación inversa para expresar resultados en
la dimensión original. La TF es un recurso matemático ampliamente utilizado en
diversos campos científicos e ingenieriles. Mucho de lo que conocemos en materia
tecnológica ha sido diseñado con énfasis en las propiedades que tiene la TF, tales
como la correlación hecha por un simple ratón óptico de computadora, hasta un
sofisticado equipo militar de procesamiento de señales, espectroscopía, equipos
de radar o sonar, aplicaciones de biomedicina, análisis mecánico, análisis
geofísico y más.
Figura 1. Solución de problemas con transformadas.
7
Inicialmente es explicada la TF y la transformada de Fourier inversa (TFI)
para funciones continuas y discretas en una dimensión, así como el análisis de
sus principales propiedades. Posteriormente se trata con la transformada de
Fourier discreta en dos dimensiones.
Debido a la importancia de los teoremas de la convolución y correlación, se
prepara una discusión general de estos temas tanto en el caso continuo como en
el discreto y se muestran sus ventajas al ser usadas como propiedades de la
transformación de Fourier y el impacto que tienen en el reconocimiento de
imágenes.
II.2 La transformada de Fourier.
La integral de Fourier unidimensional de una función h t está definida por:
2 ,j ftH f h t e dt
(1)
donde 1j . Si la función h t es continua para cada valor de t en la integral,
entonces decimos que H f es la transformada de Fourier de la función h t . La
transformada de Fourier H f representa una cantidad compleja descrita por
,j fH f R f jI f H f e (2)
donde R f corresponde a una cantidad real, jI f es una cantidad imaginaria,
H f es la magnitud o módulo del espectro de Fourier y f es el ángulo de
fase de la TF. La ecuación (1) también se representa como
.H f h t (3)
8
II.3 La transformada de Fourier inversa.
La transformada de Fourier inversa la definimos de la siguiente manera:
2 ,j fth t H f e df
(4)
y es utilizada para expresar la función transformada H f en el dominio de la
función h t . De esta manera se dice que la función H f de la ecuación (1) y la
función h t de la ecuación (4) forman un par transformado de Fourier, tal y como
es expresado en la ecuación (3).
II.4 Transformada discreta y transformada discreta de Fourier
inversa.
Se entiende por una señal discreta como la representación discontinua de
una señal muestreada por un intervalo fijo de tiempo T de un número de muestras
N. La ecuación (5) muestra la transformada discreta de Fourier.
1
2 ,
0
Nj nk NH n T T h kT e
k
(5)
donde k es un número entero positivo que indica el período en el dominio de kT ,
n es el dominio en frecuencia de la función periódica H n T . De igual manera
podemos obtener la transformada discreta de Fourier inversa que está dada por la
expresión:
9
11 2 .
0
Nj nk Nh kT H n T e
N n
(6)
De esta forma sabemos entonces que la ecuación (5) y la ecuación (6) forman un
par de transformación de Fourier. Tanto el factor T en la ecuación (5) como 1 N en
la ecuación (6) son términos que compensan las modificaciones de escala que
sufren las funciones en el proceso de transformación.
II.5 Transformada discreta de Fourier y transformada discreta
de Fourier inversa en dos dimensiones.
La transformada de Fourier en dos dimensiones está representada por una
doble sumatoria en donde una función en el dominio espacial ,h pT qTx x mapea
una función bidimensional en la frecuencia ,H n Tx m Ty . Está dada por
1 1
2 2, ,,0 0
M Nj np N j mq MH n Tx m Ty h pT qT e ex y
q p
(7)
0,1,..., 1 0,1,..., 1
.0,1,..., 1 0,1,..., 1
p N n N
q M m M
(8)
La transformada discreta de Fourier inversa en dos dimensiones es
representada como
1 11 1 2 2, ,,0 0
M Nj np N j mq Mh pT qT H n Tx m Ty e ex y
M Nm n
(9)
0,1,..., 1 0,1,..., 1
.0,1,..., 1 0,1,..., 1
p N n N
q M m M
(10)
10
Entonces, entre ellas forman un par transformado de Fourier:
, .,h pT qT H n Tx m Tyx x (11)
II.6 Propiedades de la transformada de Fourier discreta.
A continuación se señalan las principales propiedades de la TF
unidimensional.
Linealidad
Si las funciones x k y y k tienen las transformaciones X n y Y n
respectivamente, entonces
.x k y k X n Y n (12)
Simetría.
Si x k y X n es un par transformado de Fourier discreto, entonces
1
.X k x nN
(13)
Desplazamiento en el espacio.
Si una función en el espacio es desplazada por un entero i , entonces
2 .j ni Nx k i X n e (14)
11
Desplazamiento en frecuencia.
2 .j ik Nx k e X n i (15)
Funciones pares.
Si x ke es una función real par, entonces la TF discreta también es una
función par y es real.
1
2cos .
0
Nnkx k R k x ke e e N
n
.
(16)
Funciones impares.
x k x ko o , entonces x ko es una función impar y su transformada
de Fourier Discreta es una impar e imaginaria, si x ko es real.
II.7 Teorema de convolución.
La convolución puede ser definida de manera sencilla como la propiedad
especial de la transformada de Fourier. Tanto la convolución como correlación de
dos funciones han tenido una importante utilidad en diversas áreas de la ciencia.
En esta sección se muestra de manera detallada el procedimiento en la obtención
de la convolución de dos funciones.
La ecuación que determina la convolución de dos funciones es llamada
integral de convolución y está representada por
* .y t x h t d x t h t
.
(17)
12
La ecuación (17) nos dice que para obtener la convolución y t de las
funciones x y h es necesario integrar el producto de ambas funciones, donde h
está en función de y además presenta un retardo t . Asimismo, podemos
obtener el mismo resultado de la convolución si hacemos una multiplicación de
ambas funciones si estas están en el dominio de la frecuencia,.
Existe una forma alternativa de presentar la integral de convolución, esta
nos dice que podemos intercambiar las posiciones de las funciones a
convolucionar; el resultado siempre es el mismo:
.y t h x t d
(18)
II.8 Teorema de convolución en el tiempo.
El teorema de convolución en el tiempo nos presenta mediante la
transformación de Fourier, una alternativa rápida en la solución de problemas
donde se requiere el espectro frecuencial del producto de dos funciones
espaciales, ahorrando de manera significativa tiempo y complejidad. El teorema de
convolución en el espacio nos dice que podemos obtener el producto de dos
funciones en el dominio de la frecuencia si únicamente obtenemos la transformada
de Fourier de la convolución de las funciones espaciales, ahorrándonos así la
tarea de obtener la transformación de cada función por separado. La ecuación (19)
muestra el teorema de convolución en el tiempo:
* .h t x t H f X f (19)
Para poder llegar a este resultado partimos de la ecuación (20) haciendo
uso de la integral de convolución de la ecuación (17) y posteriormente obteniendo
su transformada de Fourier:
13
2 2j ft j fty t e dt x h t d e dt
. (20)
Esta ecuación puede ser expresada de igual forma de la siguiente manera
2j ftY f x h t e dt d
. (21)
Si sustituimos t la ecuación se vuelve
2 2 2j f j f j fh e d e h e d
, (22)
2 2j f j fh e d e H f
. (23)
De esta forma la ecuación (21) puede ser escrita como
2j fY f x e H f d H f X f
. (24)
Obtenemos así el producto de las dos funciones en el dominio de la
frecuencia.
14
II.9 Teorema de Convolución en la frecuencia.
El teorema de la convolución en la frecuencia nos dice que a partir de ésta
podemos obtener un par transformado de Fourier que da como resultado una
multiplicación de las funciones en el dominio espacial.
*h t x t H f X f . (25)
De esta forma podemos decir que la convolución en el tiempo y en la
frecuencia son operaciones invertidas entre ellas, es decir, la convolución en un
dominio es la multiplicación en el otro.
II.10 Teorema de correlación.
Sin duda alguna tanto la correlación como la convolución son igualmente
importantes y de igual forma que la convolución, es también una propiedad más
de la transformada de Fourier. Hasta esta parte solo se ha hablado de la
convolución por razones que más tarde serán evidentes. La correlación entre dos
funciones es principalmente utilizada para obtener una referencia que puede ser
empleada en la medida de la similitud entre dos funciones. La función de la
correlación es expresada de la siguiente manera:
y t x h t d x t h t
. (26)
La función de correlación es muy similar a la función de convolución, solo
que en la correlación h t indica que no es necesaria una reflexión de esta
función para obtener un resultado. En el caso de la convolución para la función h
sí es necesaria esta operación. La ecuación (26) es de mucha importancia ya que
esta tesis está sustentada en gran medida en el teorema de correlación.
15
Capítulo III
Marco teórico
III.1 Introducción.
Los filtros de correlación son funciones matemáticas representadas por la
información de la imagen objetivo, que al ser correlacionadas con la función
descriptiva de la imagen problema, obtenemos un plano de correlación que nos
determina la similitud entre la imagen problema y la imagen objetivo (figura 2). Los
filtros de correlación han sido ampliamente utilizados desde hace algunas
décadas. Se atribuye a Vander Lugt (1964) la creación del primer filtro de
correlación. Posteriormente se diseñaron diferentes filtros para propósitos
similares al original, pero optimizados éstos con el propósito de obtener las
correlaciones invariantes a múltiples distorsiones que son siempre intrínsecas en
todos los sistemas. Entre estos filtros podemos mencionar el filtro de acoplamiento
clásico desarrollado por Vander Lugt, el filtro solo de fase, el filtro inverso y el filtro
no lineal. Cada uno de estos filtros posee características diferentes que pueden
ser usadas dependiendo de las distorsiones del sistema.
Figura 2. (a) Ejemplo de imagen problema. (b) Ejemplo de imagen objetivo.
(a) (b)
16
El principal reto que se tiene en los filtros de correlación se presenta cuando
deseamos obtener un pico de correlación alto, que sea claramente distinguible
cuando se busca localizar una imagen objetivo dentro de una imagen problema,
anulando de esta manera el valor que se obtiene en la correlación con objetos
diferentes a nuestra imagen objetivo.
III.2 Filtros de correlación
a. Filtro clásico.
Es también llamado filtro de acoplamiento clásico o CMF por sus siglas en
inglés (Classical Matched Filter), y fue desarrollado por Vander Lugt (1964). Su
principal ventaja sobre otros filtros es que brinda un alto nivel de correlación aun
cuando el sistema está siendo afectado por ruido blanco aditivo. Su desventaja es
que cuando existen distorsiones de rotación, escala o iluminación su capacidad
discriminatoria se reduce dramáticamente. Otro aspecto de mucha importancia es
que el pico máximo de correlación se presenta con lóbulos secundarios de fuertes
amplitudes. La ecuación (27) muestra la función que describe el filtro clásico:
* ,,
,n
SH
P
, (27)
donde y son variables en el dominio de la frecuencia, Pn(μ, ν) es la densidad
espectral de ruido y es una constante arbitraria; S*(μ, ν) es llamado el complejo
conjugado de la función ,S , que es la transformada de Fourier de la entrada
al sistema. Otra forma de representar esta ecuación se muestra en la ecuación
(28) si consideramos nula la afectación de la densidad espectral del ruido.
,, ,
iH A e
. (28)
17
En este caso ,A representa el módulo y , la fase de la función
,H . Debido a que la función ,H es compleja, podemos representarla de
forma polar tal y como se muestra en la figura 3:
Figura 3. Representación polar de un punto en la función ,H .
b. Filtro solo de fase.
En 1984 fue desarrollado el filtro solo de fase o POF por sus siglas en
inglés (Phase Only Filter) Joseph L. Horner and Peter D. Gianini, (1984) como una
nueva alternativa de filtraje que produce considerables ventajas respecto al filtro
de acoplamiento clásico (CMF). El filtro solo de fase es capaz de generar picos de
correlación mucho más estrechos que el filtro clásico.
Como su nombre lo indica, el filtro solo de fase se vale únicamente de la
información de la fase obtenida por medio de la transformada de Fourier de la
imagen de referencia. La ecuación (29) muestra el filtro solo de fase:
*
( , )( , )( , )
( , )riT
H eT
.
(29)
18
Podemos observar que el filtro solo de fase se obtiene de igualar a uno el
módulo de la transformada de Fourier. Esto se obtiene del hecho de que si
consideramos su uso en un sistema óptico en donde no hay cambios en la
intensidad luminosa a través del sistema solo hay variaciones de la fase debido al
filtro. El filtro solo de fase (POF) presenta correlaciones mucho más estrechas con
respecto al filtro de acoplamiento clásico (CMF); esto quiere decir que los lóbulos
laterales al pico máximo de correlación no son tan grandes como en el filtro
clásico.
c. Filtro no lineal k.
El filtro no lineal está descrito por una función matemática que entrega a la
salida de un sistema una respuesta no lineal de energía con respecto a la entrada.
De igual manera que los filtros anteriores, el filtro no lineal también se obtiene de
de la transformación de Fourier. A partir de la ecuación (28) y utilizando las
variaciones de la constante k podemos obtener una no linealidad del sistema que
se describe tal como en la ecuación (30):
,, ,
ikH A e
. (30)
Esta expresión llamada ley k fue adoptada en 1990 por Kumar y
Hassebrook (B. V. K Vijaya Kumar and L. Hassebrook (1990)). Se ha determinado
bajo un análisis numérico el valor óptimo de k en donde se obtiene un mejor
desempeño del filtro; este mismo valor es utilizado en el algoritmo desarrollado en
este trabajo. Guerrero-Moreno R. E. y Álvarez-Borrego J. (2009) presentan un
estudio del desempeño de este filtro. Como ya se ha mencionado con anterioridad,
el filtro de acoplamiento clásico presenta grandes problemas cuando la imagen
problema está inmersa en ruido de diferentes naturalezas, además si a esto
agregamos distorsiones de rotación y escala, el problema se agrava. El filtro no
lineal presenta la característica de poder tratar estos problemas con buenos
19
resultados dando como salida niveles de correlación muy bien definidos y
angostos en un plano de salida aun menos ruidoso que el filtro solo de fase. En el
filtro solo de fase el módulo es igualado a uno mientras que en el filtro no lineal el
valor del módulo puede ser disminuido de manera que conservamos solo
información que está mayormente constituida por la fase de la transformada de
Fourier de la imagen de referencia.
d. Filtro no lineal compuesto.
Los filtros de correlación mediante transformada de Fourier, han
presentado problemas cuando se desea identificar un objetivo dentro de una
imagen problema cuando ésta presenta modificaciones en escala. Por ello se han
venido utilizando los denominados filtros compuestos como una alternativa muy
eficiente. Este trabajo presenta un método sencillo pero muy útil dentro de una
gran variedad de filtros compuestos que existen en diferente literatura. La
característica principal de los filtros compuestos es que, como su nombre lo indica,
están formados a partir de la unión de información colectada de diferentes
imágenes. Estas imágenes son denominadas imágenes de entrenamiento. La
ecuación (31) nos describe la forma en la que se obtiene un filtro compuesto.
,
1
, , , 0 1m
Nk i
mm
H A e k
. (31)
Esta clase de filtros podría ser una composición lineal de filtros de
acoplamiento clásicos. En el caso del presente trabajo es utilizada una sumatoria
de filtros no lineales donde N representa el número de imágenes de entrenamiento
con las que se elaborará el filtro.
20
III.3 Imágenes con ruido.
Es imposible encontrar un sistema de correlación ya sea óptico o digital en
el cual no exista la presencia de ruido; existe aun en sistemas robustos en donde
no se manifiesta un cambio significativo en la salida del sistema; en todo caso
existirá presentándose de diversas maneras. En el presente trabajo se considerará
la presencia de dos diferentes tipos de ruido bastante comunes para imágenes
digitales; estos son el ruido gaussiano aditivo y el ruido impulsivo. El origen del
ruido en las imágenes puede ser analizado desde diferentes puntos de vista; aun
se podría confundir el término cuando al capturar una imagen ésta incluye detalles
naturales no deseados. Consideramos ruido a la respuesta caótica de la circuitería
y demás dispositivos en la cámara fotográfica principalmente el CCD (Charge-
Coupled Device) que afecta la calidad de la exposición de la escena de entrada,
como por ejemplo, alteraciones en el brillo, el color o la aparición de “manchas” en
la imagen. La respuesta de los componentes electrónicos a diferente temperatura
se traduce también en una señal de ruido que afecta la calidad de la imagen. A
continuación se presenta una novel discusión acerca de estos ruidos con la
intención de resaltar su relevancia dentro del desarrollo de esta tesis.
a. Ruido gaussiano.
El ruido gaussiano es sin duda uno de los principales modelos de ruido que
se maneja en múltiples sistemas y la razón fundamental se debe a que según el
teorema del límite central aplicado a funciones de ruido, la suma de cada uno de
los ruidos introducidos a un sistema da como resultado una distribución de
probabilidad de Gauss. También es llamado ruido térmico o ruido Johnson-
Nyquist. La ecuación (32) nos muestra la manera en la que se representa
matemáticamente el ruido gaussiano:
21
2
221
2
x
gn x e
, (32)
donde x es una variable aleatoria, σ es la desviación estándar y μ es el promedio.
La figura 4 muestra la distribución de Gauss para cuatro diferentes valores de
desviación estándar y promedio igual a cero.
Figura 4. Distribución gaussiana para cuatro diferentes desviaciones estándar.
Es importante considerar la afectación del ruido gaussiano dentro de un
sistema de correlación usando filtros digitales. De esta manera se puede
caracterizar el funcionamiento en su presencia y determinar si será una opción
viable para emplearse en la tarea para la cual fue diseñado. A continuación se
muestra un par de ejemplos en los que algunas imágenes son afectadas por ruido
gaussiano.
Figura 5. a) Imagen sin ruido, b) ruido con σ =0.1 y c) ruido con σ =0.7.
a) b) c)
x
22
b. Ruido impulsivo.
También llamado ruido sal y pimienta es junto con el ruido gaussiano el más
comun dentro de la fotografía digital. El nombre sal y pimienta se deriva de los
puntos blancos o negros que se generan aleatoriamente en la imagen provocados
éstos en su mayoría por anomalías es el sistema de conversión de intensidad
luminosa de analógica a digital o bien por un CCD defectuoso. La característica
principal de este ruido es que son pixeles bien definidos que se dan a muy altos o
muy bajos niveles de intensidad. Puede compararse con el caso acústico en
donde se presenta como un sonido muy estridente y de enorme intensidad, con un
periodo de duración casi instantáneo. En la ecuación (33) se muestra la
representación del ruido impulsivo:
0
ia
i ib
n para x a
n x n para x b
otro caso
. (33)
En la figura 6 se observa un ejemplo con imágenes a las cuales se les
agregó ruido impulsivo. La medida de ruido está determinada por un índice de
densidad d que nos proporciona la información de pixeles afectados de la imagen
que va de 0 a 1, donde 1 equivale al caso donde la totalidad de pixeles están
dañados por ruido impulsivo y 0.5 representa la mitad de los pixeles siendo
afectados.
Figura 6. a) Imagen sin ruido, b) ruido con d=0.1, c) ruido con d=0.5.
a) b) c)
23
c. Capacidad de discriminación (DC).
Existen variadas métricas de desempeño de filtros de correlación para
conocer su efectividad sin o con presencia de ruido agregado. Una métrica sencilla
pero importante para caracterizar los filtros digitales bajo condiciones de ruido
gaussiano e impulsivo es utilizando la capacidad de discriminación (Discriminant
capacity), que nos muestra de manera clara hasta qué niveles de ruido nuestro
sistema tiene un funcionamiento considerablemente bueno sin importar que nos
alejemos del óptimo.
2
21
n
o
CDC
C
, (34)
donde Cn es el pico máximo en el plano de correlación para el área fuera del
objeto a reconocer que incluye todo el ruido; Co el pico máximo en el plano de
correlación del objeto a reconocer, incluido el ruido agregado.
La ecuación (34) nos dice que cuando DC es un valor positivo, nuestro
sistema es capaz de reconocer el objeto deseado inmerso en el ruido. A medida
que el ruido se incrementa, la relación de las correlaciones se va haciendo cada
vez mayor y de esta manera el coeficiente de discriminación se va reduciendo
hasta llegar a cero para posteriormente convertirse en un número negativo. A
partir de que el coeficiente es igual a cero el sistema de correlación digital deja de
operar correctamente.
24
Capítulo IV
Metodología
IV.1 La transformada de Fourier en las imágenes.
En el capítulo II se mostró la transformada de Fourier y sus propiedades. Se
empleó el programa computacional Matlab para elaborar el sistema de correlación.
En el apéndice A se muestra el algoritmo empleado para obtener la transformada
rápida de Fourier, popularizado por Cooley y Tukey en 1965 mientras trabajaban
en los laboratorios de IBM. Después de la elaboración de este algoritmo se
presentan notables avances en diferentes campos de la investigación y tecnología,
ya que hacer la computación de la integral de Fourier y la transformada de Fourier
inversa requería mucho tiempo de cómputo. En la figura 7 se muestra una imagen
y la composición de la transformada de Fourier.
Figura 7. a) Imagen antes de la transformación, b) parte real, c) Parte imaginaria, d) módulo, e) y fase de la TF.
a) b) c)
d) e)
25
IV.2 Obtención de la máscara binaria de anillos y alternativas.
Con el propósito de obtener invariancia a rotación dentro del sistema de
correlación, se desarrollan máscaras binarias de anillos concéntricos a partir de la
transformación de Fourier; estas máscaras son adaptativas, es decir, cada imagen
tiene su propia máscara binaria. El procedimiento en la obtención de la máscara
binaria se muestra a continuación.
Figura 8. Imagen original.
Para ejemplificar utilizamos la letra P en una imagen binaria, cuadrada de
256 pixeles (figura 8). A partir de esta imagen se obtiene la transformada discreta
de Fourier, y utilizando su parte real graficamos, obteniendo como resultado el
gráfico tridimensional mostrado en la figura 9, al que le llamamos fr(x,y), donde
(x,y) representan las posiciones de un pixel. Como se mostrará más adelante, es
posible también utilizar la parte imaginaria de la TF.
Figura 9. Parte real de la TF.
f r(x
,y)
26
Figura 10. Corte de la parte real de la TF.
De la función fr(x,y), que es parte real de la TF mostrada en la figura 9,
obtenemos un corte (figura 10). De acuerdo a las dimensiones de la imagen
original, las coordenadas de donde es extraído este corte corresponden al punto
medio del espectro en el eje x al que llamaremos Cx, y el eje completo y, es decir
fr(Cx,y).
Posteriormente es aplicado el criterio de estados binarios para elaborar la
máscara de anillos, creando así una nueva función llamada Z(y). La ecuación (35)
dice que todos los valores de la función fr(Cx,y) mayores a cero nos dan el estado
binario igual a uno, en todos los demás casos es igual a cero, es decir, cuando
fr(Cx,y) sea menor o igual a 0.
si ( , ) 01,
( )0, si no es así
f C yr xZ y
.
(35)
También podemos invertir los estados binarios de la máscara como en la ecuación
(36); de esta forma obtenemos una máscara binaria de anillos concéntricos
invertida.
f r(1
29
,y)
y
27
si ( , ) 00,
( )1, si no es así
f C yr xZ y
.
(36)
Figura 11. Función binaria.
Una vez definida, la función z(y) es rotada 360 grados en un plano de
iguales dimensiones que el de la imagen original, dando como resultado la
máscara binaria de anillos concéntricos. En la figura 12 se observa la máscara
binaria de anillos concéntricos correspondiente a la letra P, utilizando la parte real
de la TF y la ecuación (35).
Figura 12. Máscara binaria de anillos concéntricos.
z(y)
y
28
Un ejemplo más para la letra B sería el siguiente:
Figura 13. Obtención de MBAC para la letra B utilizando la parte real de la TF.
Existen diferentes maneras para construir la máscara binaria de anillos
concéntricos. Una selección puede ser si empleamos ya sea la parte real o
imaginaria de la transformada discreta de Fourier o si la condición binaria puede
ser invertida. En la figura 14 se muestra las posibles opciones para la construcción
de la máscara binaria de anillos concéntricos.
Figura 14. Selección óptima de la máscara binaria
Parte real de TDF MBAC fr(Cx,y) Z(y)
Imagen original
29
IV.3 Obtención de las firmas unidimensionales.
Podemos llamarle firma a la información que puede ser extraída de un
objeto para representarlo de manera única, evitando así ser confundida con otra
firma obtenida bajo el mismo procedimiento. Es necesario obtener la firma de la
imagen objetivo o imagen de referencia y la firma de la imagen problema o escena
de entrada, para así obtener la similitud entre éstas y determinar el grado de
semejanza que presentan entre sí. La firma del objeto constituye el elemento
fundamental en este método de reconocimiento digital de imágenes.
Una vez obtenida la máscara binaria de anillos concéntricos se necesita
emplear la información del módulo de la transformada de Fourier de la imagen
para después hacer una multiplicación punto a punto entre ellas; así obtenemos
una función bidimensional diferente (figura 15). De esta manera la máscara binaria
de anillos concéntricos nos sirve para fraccionar la información del módulo de la
transformada de Fourier de la imagen, descartando los elementos nulos de la
máscara, es decir, solo nos quedaremos con la información del módulo en las
áreas donde el valor del anillo sea igual a uno.
Figura 15. a) Imagen original, b) módulo de la TF de la imagen, c) máscara binaria,
d) resultado de la multiplicación punto a punto de b) y c).
a) b)
d) c)
30
La firma de la imagen se obtiene sumando los valores en cada anillo. De esta
forma se crea un vector que está constituido por la suma de cada uno de estos
valores. Si la máscara tiene ocho anillos, entonces la firma está hecha por un
vector de ocho valores diferentes.
a) La firma sencilla.
Le llamamos firma sencilla a aquella que está formada a partir de una sola
imagen, es decir, no se tiene la información de una misma imagen a más de una
sola rotación. A pesar de utilizar la máscara binaria de anillos concéntricos para
obtener invariancia a rotación, puede mejorarse como adelante se dará a conocer.
Mediante esta firma podemos obtener un sistema de correlación digital invariante
a posición y rotación. La siguiente figura muestra un ejemplo de firma sencilla para
la letra P utilizando la parte real de la TF.
Figura 16. Firma sencilla.
Módulo
de la T
F
Índice de anillo
31
b) La firma promedio.
Una firma promedio es obtenida a partir de las imágenes de entrenamiento
a diferentes rotaciones; una vez que son obtenidas las firmas de cada una de las
diferentes rotaciones, éstas son promediadas.
Un aspecto interesante en la obtención de las firmas promedio es que las
variaciones en la rotación de la imagen de entrenamiento provocan cambios más
significativos en las altas frecuencias cuando es transformada la imagen al
dominio de Fourier; de esta forma, al obtener el promedio de todas las firmas de
entrenamiento se consigue corregir un poco este problema. Estas variaciones en
las altas frecuencias con cada imagen rotada se debe al siempre famoso efecto
sierra que toda imagen digital tiene; esto debido a la naturaleza de los pixeles que
la conforman. En la figura 17 se muestra cómo en un conjunto de firmas
sobrepuestas, las altas frecuencias contenidas en los últimos elementos de las
firmas presentan las variaciones ya mencionadas.
Figura 17. Firma promedio de la letra P rotada grado a grado.
Módulo
de la T
F
Índice de anillo
32
En la figura de arriba se muestra en un color más intenso la firma promedio.
Es por esto que le llamamos filtro promedio. Uno de los métodos propuestos para
ayudar en la corrección del problema del efecto sierra se muestra en Ángel
Coronel-Beltrán y Josué Álvarez-Borrego (2010).
c) La firma compuesta.
Generar una firma compuesta es una manera sencilla pero eficiente para lograr un
sistema de correlación digital invariante a escalamiento. Como se ha mostrado en
el capítulo tercero, un filtro compuesto se obtiene a partir de la información de más
de una imagen de entrenamiento, estando éstas a diferente escala pero también a
diferente rotación. Se desea tener un filtro promediado pero al mismo tiempo
entrenado para ser capaz de reconocer imágenes tanto como de diferente escala,
rotación y también posición.
Figura 18. Suma del módulo de cada imagen para obtener la firma compuesta.
ΙFTI 90% B letter
Nuevo plano del módulo con imágenes
ΙFTI 100% B letter
33
IV.4 Correlaciones entre firmas de imágenes.
Una vez obtenidas las firmas tanto de la imagen problema como la imagen
objetivo, se procede a hacer una correlación entre éstas, para obtener la similitud
que existe entre ellas y poder compararse entre un conjunto de correlaciones que
al final nos determina si nuestra imagen objetivo se encuentra en nuestra imagen
problema.
34
Capítulo V
Resultados y discusión
En el presente capítulo se muestran los resultados obtenidos del sistema
digital de correlación invariante a posición, rotación y escala. En la primera parte
se expone la operación del sistema utilizando imágenes binarias de letras, de
256x256 pixeles. Se muestran los resultados para las diferentes alternativas en la
construcción de la máscara binaria adaptativa, ya sea utilizando la parte real o
imaginaria de la transformada de Fourier, o también si se invierte la condición del
estado binario de la máscara de anillos (MBAC). De esta forma se elige la mejor
para emplearse posteriormente al elaborar filtros compuestos, esto, para obtener
invariancia a escala.
En la segunda parte se presentan los resultados para imágenes en escala
de grises, con las mismas dimensiones a las utilizadas para imágenes binarias. Se
emplean los criterios en la fabricación de la máscara binaria que mejor resultado
mostró en las imágenes en blanco y negro. Son utilizadas imágenes de diatomeas,
que son una especie de algas unicelulares microscópicas y que constituyen una
parte muy importante en la cadena alimenticia marina. Estos organismos son
estudiados principalmente en el lecho marino y dulceacuícola, pero existen
también en tierra, en ambientes húmedos indistintamente a la salinidad del agua o
la temperatura ambiental natural. La importancia en la identificación de estos
organismos radica en el monitoreo de la calidad del agua así como en la vigilancia
de las condiciones medioambientales.
35
En la tercera parte son mostrados los resultados que ponen a prueba el
sistema de correlación digital agregándole ruido; primero ruido gaussiano y
después ruido impulsivo. Se presentan los coeficientes de la capacidad de
discriminación (DC) que determina el nivel de ruido soportado por el sistema. Fue
utilizada una computadora con un procesador Intel Pentium Dual CPU T2330 a
1.60 GHz de velocidad de reloj y 533 MHz de velocidad de bus. Además se utilizó
el programa computacional MATLAB versión R2008a para generar los códigos. El
programa STATISTICA 6 fue utilizado para la representación y orden de la gran
cantidad de datos adquiridos por las correlaciones hechas por el algoritmo.
V.1 Correlaciones con imágenes binarias.
Se ha realizado un experimento elaborando firmas promedio donde se
utilizaron imágenes de letras del abecedario en Arial, cuadradas de 256x256
pixeles. Se elaboraron correlaciones con todas las letras del abecedario y los
resultados fueron que las imágenes con mayores problemas fueron las imágenes
que contenían las letras B, E, F, H, P y T. Esto por la gran similitud que existe
entre ellas; estas imágenes son las que se utilizaron en la búsqueda del mejor
filtro en la siguiente sección. Se utilizaron correlaciones no lineales.
Considerando la densidad de probabilidad gaussiana, podemos obtener el
nivel de confianza para cada filtro mediante la cercanía de cada conjunto de
correlaciones para cada letra. Es decir, se obtienen 360 diferentes correlaciones
para cada filtro. El promedio de estos valores es representado por el cuadro chico.
A un error estándar tenemos un nivel de confianza de 68.3%, esto es
representado en la gráfica con la caja. A dos errores estándar obtenemos un nivel
de confianza del 95.4%; esto es representado con las barras; de esta forma, si las
correlaciones no se traslapan, entonces se tiene un nivel de confianza del 100%.
36
Filtro solo de fase (F)
Mean
±SE
±2*SE
Outliers
Extremes
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Filtros de imágenes problema
40000
60000
80000
1E5
1.2E5
1.4E5
1.6E5
1.8E5
2E5
2.2E5
2.4E5
Va
lor
rela
tiv
o d
e c
orr
ela
ció
n
Figura 19. Correlaciones con filtro sólo de fase para la letra F.
En la figura 19 de muestran los valores de correlación para la letra F
utilizando un filtro solo de fase. Claramente se mira cómo podría confundirse con
las letras de D y M debido a la cercanía que tiene con éstas.
En la figura 20 se muestran las correlaciones para la letra F utilizando un
filtro no lineal con k=0.1. Se nota como estas correlaciones están más separadas
del resto de las que se obtienen con el filtro sólo de fase; existe un problema
únicamente con los extremos de las correlaciones de la letra Y. Así se obtiene
como máximo un nivel de confianza de 95.4%.
Promedio ±EE ±2*EE Outliers Extremos
37
Filtro no lineal (F)
Mean
±SE
±2*SE
Outliers
Extremes
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Filtros de imágenes problema
4
5
6
7
8
9
10
Va
lor
rela
tiv
o d
e c
orr
ela
ció
n
Figur
a 20. Correlaciones no lineales (k=0.1) para la letra F.
Se realizaron filtros promedios para las seis diferentes letras (B, E, F, H, P y
T) y usando también diferente número de imágenes utilizando la variable ∆θ, que
es el incremento en grados a los que se rota la imagen. De esta manera un ∆θ=1
nos dice que la imagen es rotada de grado en grado obteniéndose un total de 360
imágenes; de esta forma se obtienen 360 firmas diferentes que serán
promediadas. Las tablas I y II muestran los niveles de correlación para dos filtros
no lineales, usando las letras (B, E, F, H, P y T) y con diferente número de
imágenes.
Promedio ±EE ±2*EE Outliers Extremos
38
Tabla I. Niveles de confiabilidad de correlación de filtros no lineales para las letras (B, E, F, H, P y T) con diferente número de imágenes.
FILTRO NO LINEAL (k=0.1)
f1 ∆θ=360
f8 ∆θ=45
f18 ∆θ=20
f30 ∆θ=12
f40 ∆θ=9
f60 ∆θ=6
f360 ∆θ=1
B 100% 100% SIN Y
100% 100% SIN Y
95% 100% 95.4%
E 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100%
F 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100%
H 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100%
P 100% 100% 100% 100% SIN Y
100% SIN Y
100% 100%
T 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100%
Tabla II. Niveles de correlación de filtros solo de fase para las letras (B, E, F, H, P y T) con diferente número de imágenes.
FILTRO SOLO DE FASE
f1 ∆θ=360
f8 ∆θ=45
f18 ∆θ=20
f30 ∆θ=12
f40 ∆θ=9
f60 ∆θ=6
f360 ∆θ=1
B 100%
100% SIN W
100%
95.4%
100%
100%
68.3%
E 100%
100% SIN R
95.4%
100%
95.4%
100% SIN R
100% SIN R,W
F 100%
100% SIN D,M
100% SIN D,M
68.3% SIN M
68.3% SIN M
100% SIN D,M
X
H 100%
100%
100%
100%
100%
100%
100% SIN A,O
P 100%
100% SIN W
95.4%
95.4% SIN W
100%
100% SIN W
100%
T 100%
100%
100%
100%
100%
100%
100%
Se muestra en la celda a la derecha de la casilla del porcentaje de
confianza las imágenes para las que el sistema presenta deficiencias. Para el filtro
no lineal (k=0.1), la única letra con la que tuvo problemas el filtro fue con la Y, y
sólo en pocos casos. De esta forma se comprueba que el filtro sólo de fase tiene
menor desempeño.
39
Selección del mejor filtro considerando variaciones de escala.
En esta sección se presentan los resultados de las correlaciones también
para imágenes binarias, pero considerando ahora una variación de escala de 70%
hasta 130%. Usando únicamente las imágenes con las letras B, E, F, H, P, y T
(figura 21), se procede a encontrar el mejor filtro compuesto no lineal utilizando los
criterios mostrados en la figura 22. Se hacen experimentos usando ya sea la parte
real o imaginaria de la transformada de Fourier y se elige de entre dos diferentes
maneras de construir la máscara binaria de anillos concéntricos (MBAC)
invirtiendo su estado binario.
Figura 21. Imágenes binarias utilizadas.
40
Figura 22. Diferentes formas de hacer el filtro.
Los resultados generados con las combinaciones de la figura 22, para
construir las firmas, se muestran en las siguientes cuatro tablas, donde la marca x
indica que el sistema no es capaz de exhibir un buen desempeño para ese caso
en particular. La casilla a la derecha del porcentaje de confianza muestra la
imagen y el tamaño en donde existe un traslape de información, esto es, indica la
imagen y el porcentaje con el cual puede ser confundida nuestra imagen de
referencia.
41
Tabla III. Correlaciones utilizando la parte real de la TF.
B FILTRO
70% 80% 90% 100% 110% 120% 130%
CO
RR
ELA
CIO
NES
70% X
100.00 P80 X
100.00 H90
80% 68.30
100.00
X
100.00
90% 100.00
100.00
68.30
100.00
100% 100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00 E110
110%
100.00
100.00
100.00
100.00
120%
100.00
95.40
100.00
X
130%
X
X
X
X
E FILTRO
70% 80% 90% 100% 110% 120% 130%
CO
RR
ELA
CIO
NES
70% 100.00
100.00
95.40
X F90
80% 100.00
100.00
X B100 100.00
90% X
95.40
68.30 F80 100.00
100% 100.00
100.00 B100 100.00
100.00
100.00 B110 100.00 P100 100.00
110%
100.00
100.00
100.00
100.00
120%
100.00 F110 X
95.40
100.00 B100
130%
X
X
X
65.40
F FILTRO
70% 80% 90% 100% 110% 120% 130%
CO
RR
ELA
CIO
NES
70% X E90 X
100.00
100.00
80% 100.00
100.00
68.30
100.00
90% 100.00
100.00
100.00
100.00
100% 100.00
100.00
100.00
100.00
100.00 P110 100.00
100.00
110%
X
100.00 P110 100.00
X
120%
X
100.00
X
X
130%
X
X
X
X
H FILTRO
70% 80% 90% 100% 110% 120% 130%
CO
RR
ELA
CIO
NES
70% X
100.00
68.30 B90 100.00
80% 100.00
100.00
X T70 100.00
90% X
X
X
95.40
100% X T,P X T,P 100.00 B90 100.00
95.40
100.00
100.00
110%
68.30
95.40
100.00
100.00
120%
68.30
100.00 F100 X
100.00
130%
100.00
100.00 E130 95.40
100.00
P FILTRO
70% 80% 90% 100% 110% 120% 130%
CO
RR
ELA
CIO
NES
70% X
X B80 X
X
80% 95.40
95.40
X
68.30
90% 100.00
100.00
100.00
100.00
100% 100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
110%
100.00
100.00
100.00
100.00
120%
100.00
100.00 E130 100.00
100.00
130%
100.00
100.00 E130 100.00
100.00
T FILTRO
70% 80% 90% 100% 110% 120% 130%
CO
RR
ELA
CIO
NES
70% 100.00
100.00
100.00
100.0
80% 100.00
100.00
100.00
100.00
90% 100.00
100.00
100.00
100.00
100% 100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
110%
100.00
100.00
100.00
100.00
120%
100.00
100.00
100.00
100.00
130%
100.00
100.00
100.00
100.00
42
Tabla IV. Correlaciones utilizando la parte real de la TF e invirtiendo el anillo.
B FILTRO
70% 80% 90% 100% 110% 120% 130%
CO
RR
ELA
CIO
NES
70% 100.00 E100 X E X
X E90
80% 100.00
100.00
100.00
100.00
90% 100.00
100.00
100.00
100.00
100% 100.00
100.00
100.00
95.40
X
X
X
110%
100.00
100.00
100.00
100.00
120%
100.00
100.00
100.00
100.00
130%
X E,F X
100.00
100.00
E FILTRO
70% 80% 90% 100% 110% 120% 130%
CO
RR
ELA
CIO
NES
70% 100.00
100.00
100.00
100.00
80% 100.00 B 100.00 B X
100.00
90% 100.00 B 100.00 B 100.00 B X B,F
100% 100.00 B 100.00 B 95.40
X B,F X
X
X
110%
X
X
X
X
120%
X
100.00
X
X
130%
X
X
X
X
F FILTRO
70% 80% 90% 100% 110% 120% 130%
CO
RR
ELA
CIO
NES
70% 100.00
68.30 E100 X B100 100.00
80% 100.00
100.00
100.00
100.00
90% 100.00
100.00
100.00
100.00
100% 100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
110%
100.00
100.00
100.00
100.00
120%
100.00
100.00
100.00
100.00
130%
100.00
100.00
100.00
100.00
H FILTRO
70% 80% 90% 100% 110% 120% 130%
CO
RR
ELA
CIO
NES
70% 100.00
100.00
100.00
100.00
80% 100.00
100.00
100.00
100.00
90% 100.00
100.00
100.00
100.00
100% 100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
110%
100.00
100.00
100.00
100.00
120%
68.30 E70 68.30 E70 100.00
100.00
130%
100.00
100.00
100.00
100.00
P FILTRO
70% 80% 90% 100% 110% 120% 130%
CO
RR
ELA
CIO
NES
70% X B,E X B,E,F 100.00
100.00
80% 100.00
100.00
100.00 B100 100.00 E,90
90% 100.00
100.00
100.00
100.00 B100
100% 100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
110%
100.00 H120 68.30
X
X
120%
100.00
X
100.00
X
130%
X
X
X
X
T FILTRO
70% 80% 90% 100% 110% 120% 130%
CO
RR
ELA
CIO
NES
70% 100.00
100.00 F90 68.30 F80 100.00 F80
80% 100.00
100.00
100.00
100.00
90% 100.00
100.00
100.00
100.00
100% 100.00
100.00
100.00
100.00
X
X
X
110%
X
X
X
X
120%
X
X
X
X
130%
X
X
X
X
43
Tabla V. Correlaciones utilizando la parte imaginaria de la TF e invirtiendo anillo.
B FILTRO
70% 80% 90% 100% 110% 120% 130%
CO
RR
ELA
CIO
NES
70% 100.00 100.00 100.00 100.00
80% 100.00 100.00 100.00 100.00 F80
90% 100.00 100.00 E90 100.00 68.30
100% 100.00 100.00 E100 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 P130
110% 100.00 E130 100.00 E130 95.40 100.00
120% 68.30 F100 100.00 E130 X X
130% 100.00 100.00 X 68.30
E FILTRO
70% 80% 90% 100% 110% 120% 130%
CO
RR
ELA
CIO
NES
70% 95.40 F90 100.00 100.00 100.00
80% 100.00 100.00 100.00 100.00
90% 100.00 100.00 100.00 100.00 P100
100% 100.00 100.00 100.00 100.00 68.30 100.00 100.00
110% 100.00 P120 100.00 100.00 100.00
120% 100.00 P120 100.00 X 68.30
130% 100.00 100.00 100.00 100.00
F FILTRO
70% 80% 90% 100% 110% 120% 130%
CO
RR
ELA
CIO
NES
70% 100.00 100.00 100.00 100.00
80% X P100 100.00 P90 100.00 68.30 P90
90% 100.00 100.00 100.00 100.00
100% 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 E110 100.00
110% 100.00 68.30 100.00 95.40
120% 100.00 100.00 100.00 100.00
130% 100.00 100.00 X X
H FILTRO
70% 80% 90% 100% 110% 120% 130%
CO
RR
ELA
CIO
NES
70% 100.00 100.00 100.00 100.00
80% 100.00 100.00 100.00 100.00
90% 100.00 100.00 100.00 100.00
100% 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00
110% 100.00 100.00 100.00 100.00
120% 100.00 100.00 100.00 100.00
130% X X X X
P FILTRO
70% 80% 90% 100% 110% 120% 130%
CO
RR
ELA
CIO
NES
70% X X X X
80% 95.40 E100 100.00 100.00 100.00
90% 100.00 100.00 100.00 100.00
100% 100.00 100.00 100.00 100.00 95.40 100.00 68.30
110% 100.00 E130 100.00 100.00 E110 100.00
120% 100.00 100.00 100.00 100.00
130% 100.00 100.00 100.00 100.00
T FILTRO
70% 80% 90% 100% 110% 120% 130%
CO
RR
ELA
CIO
NES
70% X X X X
80% X X X X
90% 100.00 F100 100.00 F100 100.00 100.00
100% 100.00 F100 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 68.30 F110
110% 100.00 E110 100.00 100.00 95.40 F110
120% 100.00 95.40 68.30 X
130% X X X X
44
Tabla VI. Correlaciones utilizando la parte imaginaria de la TF.
B FILTRO
70% 80% 90% 100% 110% 120% 130%
CO
RR
ELA
CIO
NES
70% X X 100.00 X
80% X X X 100.00
90% X 100.00 X 100.00
100% X 68.30 E80 100.00 100.00 100.00 X X
110% 100.00 100.00 X X
120% 68.30 P100 X 95.40 100.00
130% X X X X
E FILTRO
70% 80% 90% 100% 110% 120% 130%
CO
RR
ELA
CIO
NES
70% X 100.00 X 100.00
80% X X X X
90% X 100.00 100.00 100.00
100% X X 100.00 100.00 100.00 P100 100.00 X
110% 100.00 95.40 X X
120% X X X 100.00
130% X X 100.00 X
F FILTRO
70% 80% 90% 100% 110% 120% 130%
CO
RR
ELA
CIO
NES
70% 100.00 100.00 X 100.00
80% X 100.00 100.00 SIN H90 100.00
90% X 100.00 100.00 100.00
100% 100.00 100.00 X 100.00 P110 100.00 P100 95.40 X
110% 100.00 100.00 B100 100.00 X
120% X X X X
130% X X X X
H FILTRO
70% 80% 90% 100% 110% 120% 130%
CO
RR
ELA
CIO
NES
70% 95.40 100.00 X X
80% 68.30 X X X
90% X X X 68.30
100% 95.40 X X 100.00 SIN P90 100.00 100.00 68.30
110% 95.40 100.00 100.00 68.30
120% 100.00 X X 100.00
130% 100.00 X 100.00 X
P FILTRO
70% 80% 90% 100% 110% 120% 130%
CO
RR
ELA
CIO
NES
70% 100.00 100.00 100.00 X
80% 100.00 SIN H80 X 100.00 SIN H80 68.30 L
90% 100.00 SIN B 100.00 100.00 SIN F80 100.00
100% 100.00 100.00 95.40 SIN B 100.00 X X X
110% X X X
120% X X X
130% X X X
T FILTRO
70% 80% 90% 100% 110% 120% 130%
CO
RR
ELA
CIO
NES
70% 100.00 100.00 100.00 100.0
80% 100.00 100.00 100.00 100.00
90% 100.00 100.00 100.00 100.00
100% 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00
110% 100.00 100.00 100.00 100.00
120% 100.00 100.00 100.00 100.00
130% 100.00 100.00 100.00 100.00
45
Las tablas III, IV, V y VI muestran todos los niveles de correlación para las
seis diferentes letras y diferentes opciones en la construcción de la firma. Después
de un simple análisis en éstas, se puede notar de manera clara cómo los
porcentajes en los niveles de confianza son mucho mayores en el caso donde se
utiliza la parte imaginaria de la transformada de Fourier, además de usarse una
inversión del estado binario de los anillos. Esto quiere decir que el mejor
desempeño se observo al utilizar la ecuación (37), explicada en el capítulo IV.
si ( , ) 00,
( )1, si no es así
f C yi xZ y
(37)
Figura 23. Filtro de mejor desempeño en imágenes binarias y utilizado en imágenes en
escala de grises.
46
V.2 Correlaciones con imágenes en escala de grises.
Figura 24. Imágenes de diatomeas en escala de grises utilizadas.
La figura 24 muestra las imágenes en escala de grises utilizadas en el
sistema de correlación digital. Se emplea el filtro de mejor desempeño utilizado en
las imágenes binarias y se realizan las correlaciones para cada una de las
imágenes con una variación de escala que va desde el 90% hasta el 107%. Se
presentan las gráficas de las correlaciones de los filtros de cada una de las
imágenes. En la figura 27 se aprecia como las correlaciones que van desde el
91% al 97% para la diatomea etiquetada con la letra C se traslapan con la
correlación de la imagen que contiene la diatomea D en la escala del 107%. Del
mismo modo, el filtro generado con la imagen de la diatomea D, una vez que es
correlacionado con cada una de las imágenes, presenta problemas desde 104% al
106%, tal y como se puede ver en la figura 28, debido a que en esos valores de
escala el sistema las confunde con la diatomea A.
47
Figura 25. correlaciones usando como filtro la imagen de la diatomea A.
Figura 26. Correlaciones usando como filtro la imagen de la diatomea B.
Promedio
±EE
±2*EE
Promedio ±EE
±2*EE
48
Figur
a 27. Correlaciones usando como filtro la imagen de la diatomea C.
Figura 28. Correlaciones usando como filtro la imagen de la diatomea D.
Promedio ±EE
±2*EE
Promedio ±EE
±2*EE
49
Figura 29. Correlaciones usando como filtro la imagen de la diatomea E.
Figura 30. Correlaciones usando como filtro la imagen de la diatomea F.
Promedio ±EE ±2*EE
Promedio ±EE ±2*EE
50
Tabla VII. Correlaciones usando como filtro la diatomea A.
A FILTRO
90%
91%
92%
93%
94%
95%
96%
97%
98%
99%
100%
101%
102%
103%
104%
105%
106%
107%
CO
RR
ELA
CIO
NES
90% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
91% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
92% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
93% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
94% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
95% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
96% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
97% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
98% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
99% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
101% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
102% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
103% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
104% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
105% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
106% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
107% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
51
Tabla VIII. Correlaciones usando como filtro la diatomea B.
B FILTRO
90%
91%
92%
93%
94%
95%
96%
97%
98%
99%
100%
101%
102%
103%
104%
105%
106%
107%
CO
RR
ELA
CIO
NES
90% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
91% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
92% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
93% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
94% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
95% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
96% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
97% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
98% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
99% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
101% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
102% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
103% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
104% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
105% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
106% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
107% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
52
Tabla IX. Correlaciones usando como filtro la diatomea C.
C FILTRO
90%
91%
92%
93%
94%
95%
96%
97%
98%
99%
100%
101%
102%
103%
104%
105%
106%
107%
CO
RR
ELA
CIO
NES
90% 100 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
91% 100 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
SIN D107%
92% 100 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
93% 100 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
94% 100 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
95% 100 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
96% 100 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
97% 100 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
98% 100 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
99% 100 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100% 100 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
101% 100 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
102% 100 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
103% 100 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
104% 100 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
105% 100 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
106% 100 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
107% 100 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
53
Tabla X. Correlaciones usando como filtro la diatomea D.
D FILTRO
90%
91%
92%
93%
94%
95%
96%
97%
98%
99%
100%
101%
102%
103%
104%
105%
106%
107%
CO
RR
ELA
CIO
NES
90% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
91% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
92% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
93% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
94% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
95% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
96% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
97% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
98% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
99% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
101% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
102% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
103% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
104% 100 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
SIN A
105% 100 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
106% 100 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
107% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
54
Tabla XI. Correlaciones usando como filtro la diatomea E.
E FILTRO
90%
91%
92%
93%
94%
95%
96%
97%
98%
99%
100%
101%
102%
103%
104%
105%
106%
107%
CO
RR
ELA
CIO
NES
90% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
91% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
92% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
93% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
94% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
95% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
96% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
97% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
98% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
99% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
101% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
102% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
103% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
104% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
105% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
106% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
107% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
55
Tabla XII. Correlaciones usando como filtro la diatomea F.
F FILTRO
90%
91%
92%
93%
94%
95%
96%
97%
98%
99%
100%
101%
102%
103%
104%
105%
106%
107%
CO
RR
ELA
CIO
NES
90% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
91% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
92% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
93% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
94% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
95% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
96% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
97% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
98% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
99% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
101% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
102% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
103% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
104% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
105% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
106% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
107% 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
56
V.3 Imágenes en presencia de ruido
Con la finalidad de poner a prueba el buen funcionamiento del sistema se
utilizó la métrica de desempeño de la capacidad de discriminación (DC). Para esto
se agregó ruido gaussiano primeramente; posteriormente se analizó su
funcionamiento con ruido impulsivo, y por último, se obtuvo la gráfica de
funcionamiento del sistema en presencia de la combinación de ambos ruidos. Se
propone una tolerancia de ±5% del promedio obtenido de 16 diferentes
realizaciones de una imagen afectada con la misma desviación estándar de ruido.
Para los próximos ejercicios se utiliza la imagen que contiene la diatomea
etiquetada con la letra C (Nitzchia Praereinholdii-schrader). Las gráficas nos
muestran la capacidad que tiene el sistema para reconocer la imagen del filtro y es
muy fácil de entender, puesto que si la capacidad de discriminación alcanza el
valor de cero, entonces el sistema de correlación deja de funcionar. La figura 31
nos muestra como el sistema soporta una varianza de cuatro (σ2=4), donde el
sistema deja de operar.
57
DC de imagen con ruido gaussiano
+95%
Promedio
-95%0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Desviación estándar del ruido
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
Ca
pa
cid
ad
de
dis
cri
min
ac
ión
DC
Figura 31. Capacidad de discriminación de sistema agregando ruido gaussiano.
DC de imagen con ruido sal y pimienta
+95%
Promedio
-95%0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Densidad de ruido impulsivo
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
Ca
pa
cid
ad
de
dis
cri
min
ac
ión
DC
Fi
gura 32. Capacidad de discriminación de sistema agregando ruido impulsivo.
Varianza del ruido
Cap
ac
ida
d d
e d
isc
rim
ina
ció
n D
C p
rom
ed
io
Cap
ac
ida
d d
e d
isc
rim
ina
ció
n D
C p
rom
ed
io
58
DC de imagen con ruido gaussiano e impulsivo
+95%
Promedio
-95%0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
Densidad de ruido impulsivo
-0.10
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
Ca
pa
cid
ad
de
Dis
cri
min
ac
ión
DC
Figura 33. Capacidad de discriminación de sistema agregando ruido gaussiano (σ2=1) y
ruido impulsivo.
DC de imagen con ruido gaussiano e impulsivo
+95%
Promedio
-95%
0
0.025
0.05
0.075
0.1
0.125
0.150
0.175
0.2
0.225
0.25
0.275
0.3
0.325
0.35
0.375
0.4
0.425
0.45
0.475
0.5
0.525
0.55
0.575
0.6
Densidad de ruido impulsivo
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Ca
pa
cid
ad
de
dis
cri
min
ac
ión
DC
Figura 34. Capacidad de discriminación de sistema agregando ruido gaussiano (σ2=2) y
Cap
ac
ida
d d
e d
isc
rim
ina
ció
n D
C p
rom
ed
io
Cap
ac
ida
d d
e d
isc
rim
ina
ció
n D
C p
rom
ed
io
59
ruido impulsivo.
DC de imagen con ruido gaussiano e impulsivo
+95%
Promedio
-95%
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
2.75
3
3.25
3.5
3.75
4
4.25
4.5
4.75
5
5.25
5.5
5.75
6
Densidad de ruido impulsivo
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
0.22
0.24C
ap
ac
ida
d d
e d
isc
rim
ina
ció
n D
C
Figura 35. Capacidad de discriminación de sistema agregando ruido gaussiano (σ2=3) y
ruido impulsivo.
DC de imagen con ruido gaussiano e impulsivo
+95%
Promedio
-95%
0.0
10
.02
0.0
30
.04
0.0
50
.06
0.0
70
.08
0.0
90
.10
.11
0.1
20
.13
0.1
40
.15
0.1
60
.17
0.1
80
.19
0.2
0.2
10
.22
0.2
30
.24
0.2
50
.26
0.2
70
.28
0.2
90
.3
Densidad de ruido impulsivo
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
Ca
pa
cid
ad
de
dis
cri
min
ac
ión
DC
Figura 36. Capacidad de discriminación de sistema agregando ruido gaussiano (σ2=4) y
ruido impulsivo.
Cap
ac
ida
d d
e d
isc
rim
ina
ció
n D
C p
rom
ed
io
Cap
ac
ida
d d
e d
isc
rim
ina
ció
n D
C p
rom
ed
io
60
La figura 32 muestra el excelente desempeño del sistema en presencia de
ruido impulsivo únicamente, llegando a una densidad de ruido igual a 0.9. A partir
de la figura 33 se agrega ruido gaussiano e impulsivo a las imágenes; el ruido
gaussiano se mantiene constante excepto en el valor inicial para cada una de las
gráficas, donde la imagen no presenta ruido agregado. Se varía la densidad de
ruido impulsivo. En la figura 33 el ruido gaussiano se mantiene con una σ2=1 y el
ruido impulsivo se modifica llegando hasta una densidad de 0.4 como límite de
operación máximo; en la figura 34 σ2=2 y el límite de operación para ruido
impulsivo es de 0.275. En la figura 35 σ2=3 y el límite de operación de ruido
impulsivo es de 0.175; en la figura 36 donde σ2=4, la capacidad de discriminación
cae drásticamente a cero desde la primera iteración con ruido, tal y como se
esperaría, debido a que con el ruido gaussiano, únicamente para en el mismo
valor de desviación estándar, el sistema deja de operar correctamente.
61
Capítulo VI
Conclusiones
El presente trabajo es una contribución al campo del procesamiento digital
de imágenes con énfasis en el reconocimiento de patrones, en donde se
aprovecha de las propiedades de las transformadas integrales para elaborar el
algoritmo de un sistema de correlación digital con invariancia a posición, rotación y
escala.
Se han obtenido resultados muy favorables cumpliendo con los
requerimientos necesarios para un sistema de correlación digital funcional. En
base a la transformación de Fourier se logró implementar la construcción de
máscaras binarias de anillos concéntricos adaptativas con el propósito de generar
firmas de las imágenes, que pudieran ser invariantes a rotación y posición.
Se elaboró un método sencillo pero eficiente para generar filtros
compuestos capaces de identificar imágenes aun cuando existen variaciones de
tamaño. Se ha hecho además una comparación entre la eficiencia de un filtro no
lineal contra un filtro lineal (filtro solo de fase) dejando como resultado la evidencia
de la superioridad de los filtros no lineales en la tarea de reconocimiento de
imágenes, siendo éste el empleado para obtener los resultados de mayor
confianza.
62
Se realizó un experimento con imágenes binarias (blanco y negro) de las
letras B, E, F, H, P, y T con variaciones de escala desde 70% hasta 130% y
variaciones de rotación de 360 grados, donde se encontró el mejor diseño del filtro
de correlación, siendo éste el generado a partir de la parte imaginaria de la
transformada de Fourier y utilizando anillos de binario invertido. Una vez
encontrado el mejor filtro, se obtuvieron excelentes resultados al utilizar imágenes
de diatomeas en escala de grises con variaciones de escala desde 90% hasta
107% y variaciones de rotación de 360 grados.
Se logró obtener un sistema de correlación digital capaz de tolerar altos
niveles de ruido gaussiano e impulsivo. Se encontró que el sistema tiene un buen
funcionamiento aun cuando la imagen problema se encuentra inmersa en ruido
gaussiano con varianza σ2=4. Con respecto al ruido impulsivo, el sistema es capaz
de operar con un límite máximo de densidad de d=0.9. Agregando ambos ruidos a
las imágenes se tiene que con una combinación de ruido gaussiano con σ2=3 y
densidad de ruido impulsivo d=0.175, el sistema aún es capaz de dar resultados
positivos.
El sistema de correlación digital propuesto en esta tesis presenta un
excelente funcionamiento, y además ha cumplido con los objetivos establecidos
desde el inicio del proyecto, siendo capaz de operar utilizando imágenes binarias
(blanco y negro), así como también demostrar perfectos niveles de confianza para
imágenes en escala de grises; se agrega además los altos niveles de tolerancia a
ruido gaussiano e impulsivo.
63
Referencias
Alvarez Borrego J. y Chávez Sánchez M. 2001. Detection of IHHN virus in shrimp tissue by digital color correlation. Aquaculture. 194. (CPOPA20011-2001). Pág. 1-9.
Fájer Ávila E. J. y Alvarez Borrego J. 2002. Invariant digital color correlation for the identification of worm parasites from bullseye pufferfish. The International Symposium on Optical Science and Technology. 4790. Pág. 511-517.
Guerrero Moreno R. E. y Álvarez Borrego J. 2009. Nonlinear composite filter performance. Opt. Eng. 48(6). (067201-1).
Horner J. L. y Gianini P. D. 1984. Phase-only matched filtering. Appl. Opt. 23. Pág. 812-816.
Pech Pacheco J. L. y Álvarez Borrego J. 1998. Optical-digital processing applied to the identification of five phytoplankton species. Mar. Biol. 132. (3). Pág. 357-365.
Solorza Calderón S. y Álvarez Borrego J. 2010. Digital system of invariant correlation to position and rotation. Opt. Commun. 283. Pág. 3613-3630.
Vander Lugt A. 1964. Signal detection by complex filters. IEEE Trans. If. Theory. IT-10. Pág. 139-145.
Vijaya Kumar B. y Hassebrook L. 1990. Performance measures for correlation filters. Appl. Opt. 29. Pág. 2997-3006.
![Flora a Normal Del Cuerpo Human1 Dr. Gildardo[1]](https://img.pdfslide.es/doc/110x75/5571f33349795947648da748/flora-a-normal-del-cuerpo-human1-dr-gildardo1.jpg)
