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Carátula de Trabajo
Constante de Boltzmann Título del trabajo Gluones Pseudónimo de integrantes
Física Área Local Categoría Investigación Experimental Modalidad
8970255 Folio de Inscripción
1
Título:
CONSTANTE DE BOLTZMANN
Resumen.
Para el trabajo que se presenta a continuación, se elaboró una mezcla de agua
destilada y de microesferas de látex para que mediante un microscopio analizar el
movimiento “aleatorio” (este movimiento fue estudiado por el botánico Brown
aproximadamente en 1870, quien se preguntó la naturaleza del movimiento que
tenían las pequeñas partículas, tiempo después Einstein y el científico italiano …
retomaron la investigación con la cual comprobando la existencia del átomo) de las
partículas suspendidas en este medio, después de verlas con el mayor enfoque del
microscopio se grabó el movimiento de estas para poder analizar su trayectoria
mediante un software llamado “tracker” en el cual se marca la coordenada de la
partícula deseada. Se tomaron capturas de datos cada 20 fotogramas, gracias a
este programa se pueden realizar los cálculos del desplazamiento medio de cada
partícula, las cuales después de analizarlos, al graficarlos revelan un
comportamiento de difusión similar al de una gota de colorante que se disuelve en
agua. Después de esto se realizaron cálculos en una ecuación en la que se
demuestra que el movimiento browniano tiene dependencia con el tiempo, la
viscosidad, el tamaño y la temperatura, en la cual se utiliza la constante de
Boltzmann y de esa misma ecuación se despejara para así mismo verificar que
nuestros análisis hayan sido los correctos.
2
Introducción.
El presente proyecto tiene como bases los estudios de Einstein y Perrin sobre el
movimiento Browniano y la teoría cinética, los cuales permiten calcular distintas
variables como el número de Avogadro o en este caso calcular la constante de
Boltzmann.
Marco teórico.
Movimiento Browniano
A principios del siglo XIX, el botánico escoces Robert Brown descubrió una gota que se
encontraba atrapada en un fragmento de roca ígnea durante la solidificación de esta. El
agua, pensó Brown, debía haber permanecido inaccesible durante siglos al polen y las
esporas transportadas por el viento o la lluvia. Al enfocar dicha gota en el microscopio,
observo trazas de minúsculas partículas suspendidas en la misma que oscilaban sin cesar
un movimiento completamente irregular. Este movimiento le resultaba familiar a Brown:
había observado antes semejante tipo de oscilaciones en sus estudios de granos de polen
en el agua. El experimento ya mencionado invalidaba la explicación que hasta entonces se
había propuesto: “la vitalidad se mantiene por las moléculas (las “moléculas” de una planta)
largo tiempo después de la muerte de esta.” Brown concluyo con razón que la agitación
de las partículas atrapadas en el interior del cuarzo debía ser un fenómeno físico y
no biológico, pero no puedo llegar a mayores precisiones
El movimiento browniano es, por consiguiente, un efecto doblemente aleatorio: la
trayectoria de la partícula en suspensión deviene imprevisible debido a las
fluctuaciones arbitrarias de la velocidad de las moléculas circundantes. Por otro
lado, como el microscopio es esencialmente un filtro que solo pone manifiesto los
efectos de fluctuaciones de cierta magnitud en el entorno molecular local, el
movimiento observado solo insinúa la complejidad de la trayectoria real.
Albert Einstein profundizó más en este tema convirtiéndolo en un método de
observación concluyente para la confirmación de la teoría atómica de la materia.
además, Einstein demostró que la medición de ciertas propiedades del movimiento
browniano de las partículas sirve para determinar diversas constantes físicas de
importancia como por ejemplo el número de Avogadro, la masa de los átomos y las
moléculas. El movimiento browniano también ha contribuido a una comprensión
teórica mas honda de los principios de la termodinámica, formulados con
3
anterioridad sobre lo que resultaron ser generalizaciones empíricas simplificadas en
exceso.
Hacia finales de siglo, diversos descubrimientos experimentales comenzaron
a sacar a la luz el origen molecular del movimiento browniano. Se había que cuanto
menor era el tamaño de la partícula, más rápido se desarrollaba el movimiento
browniano. Un aumento de la temperatura del fluido también parecía incrementar la
agitación de dicho movimiento. Se reconoció que tales efectos eran coherentes con
la teoría cinética de los gases, poco después de su elaboración por James Clerk
Maxwell y Ludwig Boltzmann en la década de 1870. Pero hubo que esperar hasta
1905 para que Einstein estableciera las primeras implicaciones cuantitativas de la
teoría cinética en el movimiento browniano.
Teoría cinética
La teoría cinética de los gases constituyó el primer intento afortunado a la hora de
explicar algunas propiedades conocidas de los gases, considerándolos efectos
macroscópicos de átomos en movimiento. se sabía que desde las investigaciones
4
de Robert Boyle en el siglo XVII que existía una relación inversa entre la presión y
el volumen de un gas. Manteniendo constante la temperatura, disminuye aumenta
la presión en una cantidad inversamente proporcional. si el volumen aumenta la
presión disminuye. según la teoría cinética, la presión es el resultado de un
bombardeo constante de las partículas contra las paredes del recipiente. La presión
aumenta al disminuir el volumen porque la tasa de bombardeo de las partículas es
mayor para un volumen pequeño que para otro grande.
Análogamente existe una relación directa entre presión y temperatura. Si la
temperatura de un gas aumenta sin que su volumen cambie, la presión aumenta
proporcionalmente. Si baja la temperatura, remite la presión. La teoría cinética
interpreta la temperatura como una medida de la energía cinética media de las
partículas. Una mayor temperatura equivale a un aumento de la energía media de
bombardeo, por lo que sube la presión del gas.
Para el gas llamado ideal, estas dos relaciones quedan resumidas en una ley
sencilla. dicha ley establece que, para un mol de un gas, el producto de la presión
por el volumen del gas dividido por su temperatura absoluta es igual a una
constante. esta se denomina constante universal de los gases y se designa
mediante la letra R, que vale 1.99 calorías por mol y por grado Celsius.
el progreso conceptual más importante de la teoría cinética fue la renuncia a
cualquier pretensión de dar una descripción detallada de los distintos movimientos
de las partículas. ofrecía una descripción estadística del movimiento ocurrido, que
resultaba plausible por el hecho de que un sistema constituido por muchas
partículas tiene muy poca probabilidad de desviarse significativamente de su
comportamiento promedio. Por ello, la teoría cinética se denomina muchas veces
mecánica estadística.
Termodinámica
Lo que he dicho hasta ahora sobre la teoría de Einstein del movimiento
browniano no lo hace aun justicia. No solo verifico la existencia física de los átomos,
sino que, además, su éxito espectacular estableció, la mecánica estadística como
la base sobre la cual deben hallar soporte o refutación las leyes de la
termodinámica.
5
Dado el valor del numero de Avogadro y lo diminuto del átomo, se explica por
que fue posible establece leyes termodinámicas fenomenológicas, o
macroscópicas, aproximadamente correctas antes incluso del desarrollo de la
mecánica estadística. Según la ley de los grandes números, las fluctuaciones o
desviaciones espectaculares del comportamiento medio han de constituir la
excepción en un sistema macroscópico de 1023 partículas. Otras fluctuaciones,
menor y mas comunes, predichas para tales sistemas se hurtaban a los
instrumentos de medida poco sensibles del siglo XIX. Sin embargo, la visión
estadística de la termodinámica exigió la revisión de sus leyes fenomenológicas.
Por ejemplo, el movimiento perpetuo de una partícula en el movimiento
browniano contradice la versión fenomenológica primitiva de a segunda ley de la
termodinámica. Según el enunciado fenomenológico de la segunda ley, en un
sistema cerrado la temperatura de todos los puntos tiende al mismo valor; cuando
se alcanza el equilibrio, no hay manera de transformar la energía térmica en energía
útil, o trabajo, en dicho sistema.
Ahora bien, la temperatura de una partícula browniana suspendida en agua
es la misma que la del agua, pero la energía cinética de su constante agitación ha
de provenir de la energía cinética de las moléculas del agua. Como la temperatura
es una forma de expresar la energía cinética translacional de as moléculas, la breve
transferencia de la energía cinética a la partícula browniana solo puede conseguirse
con un frotamiento local del agua. Así pues, el movimiento browniano muestra que
el estado de temperatura completamente uniforme que presupone la segunda ley
no se satisface nunca de un modo cabal en la naturaleza. La definición de equilibrio
termodinámico ha de tener en cuenta fluctuaciones aleatorias, pequeñas aunque
persistentes, en la temperatura del sistema.
En termodinámica estadística, la definición de entropía recibe una
modificación sutil. Según la teoría atómica, todos los microestados de un sistema,
o estados observables macroscópicamente, incluido el equilibrio, manifiestan las
diversas configuraciones de átomos y moléculas. Dichas configuraciones se
denominan microestados. En todo sistema aislado, cada microestado compatible
con un macroestado dado es igualmente probable. De donde resulta razonable
6
suponer que el estado de equilibrio identificado por la segunda ley de su versión
fenomenológica es el macroestado para el cual existe un mayor número de
microestados.
El cambio estriba en que, en termodinámica estadística, la segunda ley no
puede tomarse ya como una verdad absoluta. Por ser igualmente todos los
microestados del sistema, hay probabilidad, pequeña, aunque no nula, de
fluctuaciones que lleven a un macroestado muy ordenado. Dicho de forma mas
precisa, la probabilidad de que una fluctuación espontanea produzca una
disminución de entropía es proporcional a e, la base de los logaritmos naturales,
elevada a un exponente igual a dicha variación de entropía cambiada de signo y
dividida por la constante de Boltzmann. Por ejemplo, la probabilidad de un descenso
espontaneo de entropía de un mol de helio a cero grados Celsius es del orden de
10-19. Es posible, aunque extraordinariamente improbable, que todas las moléculas
de aire de una habitación se congreguen de forma espontanea en un rincón,
dejando el vacío en el resto de la habitación.
La validez de la termodinámica fenomenológica refleja, pues, el hecho
siguiente: con respecto a los patones ordinarios, la constante de Boltzmann es un
numero extraordinariamente pequeño. ¿Podríamos sobrevivir en un mundo donde
la constante de Boltzmann alcanzara un valor superior, de lejos, a la cifra actual?
Probablemente no. En ese mundo el incremento de energía cinética de cada átomo
para un aumento dado de temperatura seria mucho mayor que en nuestro universo.
Crecería la probabilidad de fluctuaciones que disminuyeran la entropía, la aparición
espontanea de sistemas físicos ordenados seria, también, mucho mas frecuente a
escala macroscópica.
Constante de Boltzmann
La constante de Boltzmann que se escribe como KB la cual en pocas palabras se
describe como el factor de conversión adecuado para pasar la temperatura de
grados (el que sea), que es una medida “antinatural”, a unas unidades de energía
como los Julios por poner un ejemplo.
7
La constante de Boltzmann vale: 1.380 6488(13)×10−23 J/K (en el sistema
internacional y con la escala absoluta de temperaturas).
Como se dijo antes la constante de Boltzmann es simplemente un factor de
proporcionalidad entre la temperatura medida en unidades “de temperatura” y
unidades de energía. Es decir, que dicha constante en realidad lo que hace es
corregir el malentendido de las unidades que le asignamos a la temperatura. Si
midiéramos la temperatura en unidades de energía la constante de Boltzmann
valdría 1 sin unidades.
Con esto hemos querido poner de manifiesto que en nuestra opinión la constante
de Boltzmann no es una constante universal en el sentido de revelar una
característica general del universo como la velocidad de la luz o la constante de
Planck. Esta constante únicamente es un artefacto de una mala elección de
unidades para la temperatura.
Con esto se llega a que las velocidades de las pequeñas partículas suspendidas en
un fluido debido a las colisiones con moléculas obedecen una distribución de
velocidad Maxwelliana. Este movimiento aleatorio fue observado por primera vez
por Ingenhousz en 1785 y posteriormente fue redescubierto por Brown en 1828
Einstein utilizó la teoría cinética para derivar la constante de difusión en términos de
los parámetros fundamentales de las partículas y el líquido; esta relación fue
utilizada posteriormente por Perrin para determinar el número de Avogadro.
la trayectoria Browniana es aleatorio e irregular. Siguiendo esto derivamos una
cantidad físicamente medible, el desplazamiento cuadrático medio, que comienza
con la fórmula de Langevin y el flujo de Stokes para una esfera dada por las
ecuaciones. Respectivamente,1,2
𝑚𝑑𝑣
𝑑𝑡= 𝛼𝑣 + 𝐹(𝑡),
(1)
Donde m es la masa de la partícula, v es su velocidad,
8
𝛼 = 6𝜋𝜂𝑎,
(2)
α es la constante de amortiguación, η es la viscosidad dinámica, a es el radio de la
esfera y F(t) es una fuerza que fluctúa al azar debido a las colisiones moleculares.
Reescribimos la ecuación para obtener
𝑚𝑥𝑑𝑣
𝑑𝑡= 𝑚 [
𝑑(𝑥𝑣)
𝑑𝑡− 𝑣2] = −𝛼𝑥𝑣 + 𝑥𝐹(𝑡).
(3)
El tiempo promedio de la ecuación es
𝑚 ⟨𝑑(𝑥𝑣)
𝑑𝑡⟩ = 𝑚
𝑑⟨𝑥𝑣⟩
𝑑𝑡= 𝑚⟨𝑣2⟩ − 𝛼⟨𝑥𝑣⟩ + ⟨𝑥𝐹(𝑡)⟩.
(4)
Debido a que F(t) varía aleatoriamente (independientemente de la velocidad o
posición de la partícula) tenemos que
⟨𝑥𝐹(𝑡)⟩ = ⟨𝑥⟩⟨𝐹(𝑡)⟩ = 0
(5)
Y a su vez nos da
1
2𝑚⟨𝑣2⟩ = 𝑘𝑇,
(6)
donde k es la constante de Boltzmann y T es la temperatura. Si sustituimos en las
ecuaciones anteriores, obtenemos
𝑚𝑑⟨𝑥𝑣⟩
𝑑𝑡= 𝑘𝑇 − 𝛼⟨𝑥𝑣⟩,
(7)
9
Entonces
1
2𝑚
𝑑2⟨𝑥2⟩
𝑑𝑡2+
𝛼
2
𝑑⟨𝑥2⟩
𝑑𝑡= 𝑘𝑇.
(8)
Nos da
𝑑⟨𝑥2⟩
𝑑𝑡= 𝑤,
(9)
Y obtenemos
𝑑𝑤
𝑑𝑡+
𝛼
𝑚𝑤 =
2𝑘𝑇
𝑚.
(10)
Si escribimos que γ=α/m, tenemos
𝑑𝑤
𝑑𝑡+ 𝛾𝑤 =
2𝑘𝑇
𝑚.
(11)
Nos da
𝑤 =2𝑘𝑇
𝛼+ 𝑐𝑒𝛾𝑡,
(12)
Y junto el producto de la ecuación 11 da
𝑑𝑤
𝑑𝑡+ 𝛾𝑤 = −𝑐𝛾𝑒−𝛾𝑡 +
2𝑘𝑇𝛾
𝛼+ 𝛾𝑐𝑒−𝛾𝑡 =
2𝑘𝑇
𝛼(
𝛼
𝑚) =
2𝑘𝑇
𝑚,
(13)
10
la ecuación 12 es una solución particular de ecuación 11. En todo caso, el tiempo t es
grande en minutos y la masa de las partículas m es pequeña. Estas condiciones reducen
la solución ecuación 12 a
𝑤 =2𝑘𝑇
𝛼.
Usando la ecuación 9 y 14 se obtiene
𝑑⟨𝑥2⟩
𝑑𝑡=
2𝑘𝑇
𝛼.
Esto da
⟨𝑥2⟩ =2𝑘𝑇
𝛼𝑡.
Si usamos la ecuación 2 en la 16 tenemos que
⟨𝑥2⟩ =2𝑘𝑇
𝛼𝑡 =
2𝑘𝑇
6𝜋𝜂𝑎𝑡 =
𝑘𝑇
3𝜋𝜂𝑎𝑡.
Si témenos ⟨𝑟2⟩ = 2⟨𝑥2⟩ en dos dimensiones, tenemos
⟨𝑟2⟩ =2𝑘𝑇
3𝜋𝜂𝑎𝑡.
Objetivos.
Verificar la existencia del movimiento browniano y que por medio de este se puede
calcular la constante de Boltzmann.
Problema
Muchas veces se nos ha dicho que todo está compuesto por átomos y moléculas y
que estos están constante movimiento, pero los métodos para observarlo son
demasiado sofisticados para la mayoría, en este caso pretendemos observarlo con
11
un simple microscopio con ayuda del movimiento Browniano y con esto calcular la
constante de Boltzmann.
Hipótesis
Debido a que la teoría cinética nos dice que la temperatura no es más que una
medición del promedio de la energía cinética de las partículas podemos pensar que
al estar suspendidas las microesferas en el fluido las moléculas de agua golpean a
estas con una energía proporcional a la temperatura y al ser muchas moléculas se
obtiene una fuerza resultante que mueve a las microesferas y que se ve frenada por
la viscosidad del fluido por lo que el movimiento Browniano es un testigo de el
movimiento de las moléculas del fluido o su temperatura, de esta forma a través de
su análisis se puede obtener información del fluido a través de este y con ello
calcular la constante de Boltzmann.
Desarrollo
Preparamos una mezcla de agua destilada y microesferas de látex para mediante
la ayuda de un microscopio, un sensor de temperatura y una cámara capturar el
movimiento de las partículas y todos los datos necesarios para posteriormente
realizar los cálculos que nos llevaron a los resultados de la investigación
experimental, algunos de los materiales principales fueron:
• Microscopio óptico.
• Agua destilada.
• Microesferas de látex (de 1.040 micras de diámetro según el fabricante).
• Cámara con objetivo para microscopio.
• Sensor de temperatura.
El montaje del experimento fue el siguiente:
12
• Se preparó una mezcla de agua destilada con microesferas de látex.
• Se colocó una gota de esta mezcla en el portaobjetos para poder ser
analizada en el microscopio.
• Se fue enfocado y subiendo gradualmente cada aumento del microscopio
hasta llegar al máximo de 40x.
• Se coloca el sensor de temperatura lo más cerca posible de la muestra con
ayuda de un soporte universal como se muestra en la figura 1.
• Se coloca la cámara en su compartimento y se grabó el movimiento de las
partículas por 3 min.
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El video obtenido se transfirió a una computadora para ser analizado con el software
“tracker”.
Con ayuda del software, se colocó un marco de referencia usando la medida del
diámetro de una microesfera proporcionado por el fabricante, y midió la posición de
30 partículas cada 20 fotogramas por 420 fotogramas.
Resultados
Mediante el análisis por software del video, se obtuvieron tablas de las posiciones
de las partículas cada 20 fotogramas para las 30 partículas, y gracias a la mecánica
estadística sabemos que el desplazamiento en “x” de las partículas es
estadísticamente igual al desplazamiento en “y” por lo que tomamos el
desplazamiento en “x“ como una partícula y el desplazamiento en “y” como otra
partícula.
14
Después restamos a todos los datos de cada tabla el primer dato de esta para que
todas las partículas partieran de un mismo punto de origen.
15
Los datos obtenidos se elevaron al cuadrado puesto que lo que nos interesa saber
es el desplazamiento cuadrático medio de las partículas.
Posteriormente se calculó el promedio de las magnitudes del desplazamiento al
cuadrado en cada tiempo, obteniendo los siguientes datos:
Promedio
Tiempo <r^2>
0.00E+00 0
1.00E+00 6.524762485
2.00E+00 8.884591679
3.00E+00 11.36671652
4.00E+00 13.70363281
5.00E+00 26.72260987
6.00E+00 31.72959353
7.00E+00 27.7790001
8.00E+00 30.57473252
9.00E+00 30.15426901
1.00E+01 37.43548065
1.10E+01 37.49165778
1.20E+01 44.72672363
1.30E+01 52.14738229
1.40E+01 52.12913335
1.50E+01 64.31181351
1.60E+01 59.52836277
1.80E+01 74.38447569
1.90E+01 67.25070064
2.00E+01 75.70379293
16
Que al graficarlos revelan un claro comportamiento lineal como ocurre en los
procesos de difusión.
La ecuación para esta gráfica proporcionada por Excel es la siguiente:
y = 3.7083x + 1.8419
La temperatura medida durante todo el experimento fue de 24.5°C o 297.65 K
La pendiente de la ecuación a partir de ahora llamada está directamente relacionada
con el desplazamiento cuadrático medio por la siguiente ecuación.
< 𝑟2 >= 𝑡 Ecuación 1.
Así mismo el desplazamiento cuadrático medio está relacionado con la temperatura,
la densidad del fluido, el tamaño, la constante de Boltzmann y el tiempo por la
siguiente ecuación.
< 𝑟2 >=2𝑘𝑇3𝑎
3𝜋𝜂𝑎𝑡 Ecuación 2.
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A partir de la ecuación 1 y la ecuación 2 obtenemos la siguiente ecuación.
𝛼 =2𝑘𝑇
3𝜋𝜂𝑎
Despejamos k (constante de Boltzmann).
𝑘 =𝛼3𝜋𝜂𝑎
2𝑇 Ecuación 3.
Recordemos los datos conocidos y calculados.
=3.7083 m2/s las unidades están dadas por la del marco de referencia usado.
=3.7083x10-12 m2/s
T=297.65K
=0.000933kg(m)(s)
a=0.00000052 m
Sustituimos los datos en la ecuación tres y resolvemos.
𝑘 =(𝟑. 𝟕𝟎𝟖𝟑𝒙𝟏𝟎 − 𝟏𝟐)𝟑(0.000933)(0.00000052)
2(297.65)
k=2.84836x10-23
A continuación, se analizan las unidades.
[[𝑚2
𝑠 ][𝑘𝑔
(𝑚)(𝑠)][
𝑚1 ]
𝐾] = [
[𝑚2
𝑠2 ][𝑘𝑔1 ]
𝐾] = [
𝐽
𝐾].
.Análisis e interpretación de resultados
A partir de la gráfica y conociendo que Excel usa el método de regresión lineal por
mínimos cuadrados para calcular la gráfica que más se ajuste a nuestros datos
18
podemos calcular el margen de error de nuestro resultado gracias a la siguiente
ecuación.
Donde:
Sustituimos y resolvemos:
∆𝛼 = ±0.24
Así mismo a partir del valor de “k” calculado (2.84836x10-23JK) podemos calcular
el error porcentual para ver qué tan preciso ha sido nuestro resultado.
Usamos la forma común de calcular la precisión de una medición a partir de la
siguiente relación:
Donde:
19
Que el porcentaje sea alto puede deberse a muchos motivos, como pueden ser que
las microesferas no midan lo que marca el fabricante, contaminación en la muestra,
alguna corriente de aire, que la dificultad de seguir el desplazamiento de las
partículas, etc. pero, aunque el por porcentaje es alto se llega al mismo orden de
magnitud que el del valor real por lo que no es un mal resultado.
Conclusiones
• Existe un movimiento de carácter físico producto de la colisión continua de
las moléculas sobre las microesferas.
• A través del análisis del movimiento Browniano podemos conocer
propiedades del fluido en el que ocurren.
• El método usado para calcular la constante de Boltzmann nos permitió
obtener resultados, que nos dicen que se logró el objetivo.
• Estamos seguros de que este experimento es una buena alternativa para
calcular la constante de Boltzmann e incluso otras constantes como el
número de Avogadro por medio de otras relaciones de manera interesante y
no demasiado compleja.
• Este experimento sin duda sirve para la observación de fenómenos de
mecánica estadística.
• El experimento resulta útil para presentar de una forma empírica la existencia
de los átomos y moléculas.
20
Fuentes de información
1 S.c. Grag, R. M. Bansal, and C. K. Ghosh, Thermal Physics (Tata McGraw-Hill,
New Delhi, 1993), pp. 53-59.
2 F. Reif, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics (McGraw-hill, New
York, 1965), pp. 560-567
3 Lavenda B.. (-). El movimiento browniano. Marzo 08, 2019, de - Sitio web:
www.lanais.famaf.unc.edu.ar/QuantumSimposium2005/MB.pdf
4 Braun, E.. (2003). Un movimiento en zigzag. México: Fondo de cultura.
5Robert Brown, The World of the Atom, edited by H. Boorse and L. Motz Basic
Books, New York, 1966, pp. 206–212.
6Albert Einstein, Investigations on the Theory of the Brownian Movement (Dover,
New York, 1956).
7W. Ebeling and F. Schweitzer, “Self-organization, active Brownain dynamics and
biological applications,” Nova Acta Leopold. 88, 169–188 (2003).
