Grabitazioa Laburpena: Unitate honetan, ikasleek Jupiterren satelite galilearren orbitei behatuko diete, bai eta galaxiaren erdigunetik gertu dauden izarrei ere, eta Jupiterrek eta Esne Bide erdiko zulo beltzak zer masa duten kalkulatuko dute.

Edukiak: Kleperen hiru legeak eta Newtonen grabitazio-legea

1. Jupiterren sateliteei begira Sateliteak identifikatzea eta behatzea Behatutakoa aztertzea Jupiterrek zer masa duen kalkulatzea

2. Galaxiaren erdigunea Metodologia

Izarrei begiratzea Erdiguneko objektuak zer masa duen kalkulatzea

Maila: DBHko bigarren zikloa eta batxilergoa

Erreferentzia: L'astronomia a les aules. Manual didàctic per a educació primària i secundària

www.astronomia2009.cat/bin/view/Main/Recursos#Manual_did_ctic_L_astronomia_a_l

Agileak: Carme Jordi (Bartzelonako Unibertsitateko Astronomia eta Metereologia Saila)

Robert Estalella (Bartzelonako Unibertsitateko Astronomia eta Metereologia Saila)

“Con A de Astronomas”ohar-pedagogikoen koordinatzai lea Josefina F. Ling (Santiagoko Unibertsitatea)

Itzulpena:

Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Saila

Maketazioa: Surinye Olarte (Bartzelonako Unibertsitateko Astronomia eta Meteorologia Saila)

1

GRABITAZIOA Sarrera Newtonen grabitazio-legeak zeruko gorputzak nola higitzen diren azaltzen du (Erlatibitate Orokorraren ondorioak alde batera utzita). Planeten, sateliteen, kometen eta izarren higidurari behatuz, Kepleren ekuazio enpirikoak ondoriozta ditzakegu eta gorputz horiek zer masa duten kalkula dezakegu.

Unitate honen helburua da irakasleari materiala ematea, jardueren bidez, eguzki-sistemako eta Galaxia erdiguneko gorputzek zer masa duten kalkulatzeko. Irakasleak ikasleen mailaren arabera egokitu beharko ditu jarduerak.

Jupiter eta lau satelite galilearrak, teleskopio txiki batetik begiratuta.

2

Kleperen hiru legeak eta Newtonen grabitazio-legea

Johannes Kleper matematikari eta astronomoak, berak eta bere maisu Tycho Brahek egindako behaketetan oinarrituta, hiru lege ondorioztatu zituen planetak Eguzkiaren inguruan nola higitzen diren azaltzeko. Hauek dira hiru legeak:

1. Planetak orbita eliptikoetan higitzen dira Eguzkiaren inguruan eta Eguzkia foku batean dago (ikus 1. irudia).

1. irudia: planeta batek Eguzkiaren inguruan egiten duen orbita eliptikoa.

2. Planetatik Eguzkira doan irudizko lerroak azalera berdina estaltzen du denbora-tarte berdinean (azaleren kontserbazio legea, 2. irudia):

2. irudia: azaleren legearen irudikapena: azalera urdin guztiak berdinak dira.

3. Planetak Eguzkiaren inguruan orbita osatzeko behar duen periodoaren (P) karratua proportzionala da orbitaren ardatzerdi nagusiaren (d) kuboarekiko:

P 2 proportzionala da d 3-rekiko

3

Taula honetan, orbiten periodoak (P; urtetan adierazita) eta ardatzerdiak (d; Lurraren orbitaren ardatzerdiaren unitateetan adierazita) ikus ditzakezue: [Nabarmendu batezbesteko distantzien (d) artean eta urteen artean zer proportzio dagoen, eta eskatu ikasleei P2/d3 kalkulatzeko, zatidura guztiak berdinak direla egiazta dezaten. Lurra erreferentziatzat hartu beharrean, beste planeta bat erreferentziatzat hartuz (esate baterako, Marte), unitateak alda ditzakegu.]

Johannes Kepler, 1571-1630 Isaac Newton 1642-1727

Hainbat urte geroago, Isaac Newtonek honela adierazi zuen grabitazioaren legea:

→ → F = UUG M mUU r

r3

Lege horrek Kleperren lege enpirikoak jasotzen ditu. Horrez gainera, Newtonen legeak elkarrekiko grabitazio-erakarpena duten edozein bi gorputz masibori aplikatzen dizkie lege horiek; esate baterako, planeta eta satelite bati (naturala zein artifiziala), Eguzkiari eta kometa bati, eta bi izarri.

P (urte) d(Lurra) P2/d3 Merkurio 0.24 0.387 1 Venus 0.615 0.723 1 Lurra 1 1 1 Marte 1.88 1.524 1 Jupiter 11.86 5.203 ~1 Saturno 29.457 9.539 ~1 Urano 84.36 19.24 1 Neptuno 165.5 30.14 1

4

Grabitazioaren legea aztertuz gero, hau ondoriozta dezakegu: m masa duen gorputz batek d ardatzerdia duen orbita eliptikoa osatzen badu M masa eta P periodoa duen gorputz baten inguruan:

G (M + m) = UU4π2 d3

P2

M masa m baino askoz handiagoa bada (esate baterako, Eguzkia planetak baino askoz handiagoa da), ez dugu m kontuan hartuko:

UUG MUU ~ UUd3

4π2 P2

Beraz, P2 periodoa d 3-rekiko proportzionala dela ondorioztatzen dugu; hori da Keplerren hirugarren legea, hain zuzen ere.

Metodologia: Hona hemen proposatzen ditugun jarduerak:

1. Jupiterren sateliteak nola higitzen diren aztertzea, Jupiterren masa eta Eguzkiarena erkatzeko.

2. Izarrek Galaxia erdiko zulo beltzaren inguruan nola higitzen diren aztertzea, zulo beltzak zer masa duen kalkulatzeko.

Lehenengo jarduera egiteko, teleskopioa erabiliko dugu. Teleskopiorik ez baduzue edo behaketa-saioa egin aurretik simulazio bat egin nahi baduzue, jo CLEA proiektuaren webgunera. Bertan, doako programa baliagarri bat aurkituko duzue (ingelesez). Nahi izanez gero, programa deskarga dezakezue. Hona hemen webgunea: UUhttp://www3.gettysburg.edu/~marschal/clea/juplab.html

5

1. Jupiterren sateliteei begira

Esperimentu honetan, XVI. mendean Jupiterren masa eta Eguzkiarena erkatzeko erabili zuten metodologia bera erabiliko dugu; hau da, behaketetan oinarritutako kalkuluak egingo ditugu.

1.1 Helburuak

• Jupiterren satelite galilearrei behatzea (Io, Europa, Ganimedes eta Kalisto) • Zer periodo duten kalkulatzea • Sateliteetatik planetara batez bestean zer distantzia dagoen kalkulatzea • Jupiterrek zer masa duen kalkulatzea

1.2 Materiala

• Teleskopioa • Eskalazko marrazkia egiteko papera (errazagoa da paper milimetratua edo

laukiduna erabiltzea); nahi izanez gero, erabili ordenagailu-programa grafikoak • Kalkulagailua

1.3 Sateliteak identifikatzea

Jarraian, algoritmo bat emango dizuegu, egun eta ordu jakin batean satelite galilear bakoitzak Jupiterrekiko zer elongazio duen jakiteko (Jupiterren erradioen unitateetan). Elongazioaren balioa positiboa bada, satelitea Jupiterren ekialdean dagoela esan nahi du; eta negatiboa bada, mendebaldean.

1.1 irudia: Jupiter eta 4 satelite galilearrak (inizialen bidez identifikatuta).

6

Algoritmoa:

Sarrera Kalkulua Datuak Urtea((>1988)

Hila(1-12)

Eguna

Ordua

Minutuak

A=Urtea – 1989 X=365*A + INT (A/4) X= X + M(Hila) (Taularen balioak) baldin eta (Hila>2 eta bisurtea) X = X + 1 X = X + Eguna X egun kopurua da,1989 urtarrilaren 0tik zenbatzen hasita T = X + Ordua/24 T = T + Min./1440

HILA M 1 0 2 31 3 59 4 90 5 120 6 151 7 181 8 212 9 243 10 273 11 304 12 334

Io sateliteari dagokion kalkulua

FASEA = 203.40586*(T+0.7448) (gradu)

E = 6.9*SIN(FASEA) (Jupiterren erradioak)

Europa sateliteari dagokion kalkulua

FASEA = 101.29163*(T+2.9205) (gradu) E = 9.4*SIN(FASEA) ( Jupiterren erradioak)

Ganimedes sateliteari dagokion kalkulua

FASEA = 50.234517*(T+5.5280) (gradu)

E = 15*SIN(FASE) (Jupiterren erradioak)

Kalisto satelitearei dagokion kalkulua

FASEA = 21.487980*(T+4.3926) (grados) E = 26*SIN(FASEA) (Jupiterren erradioak)

Ezin bada algoritmo hori erabili, jo CLEA proiektuaren webgunera. Bertan, Jupiterri buruzko atal bat dago, simulazioak egiteko balio duena. (HHUUhttp://www3.gettysburg.edu/~marschal/clea/juplab.htmlUUHH)

1.4 Sateliteei behatzea

Io eta Europa satelitei bi ordutik behin behatu behar zaie; Ganimedes sateliteari egunean hiru aldiz, lau egunez; eta Kalistos sateliteari egunean behin edo birritan, zortzi egunez, gutxienez.

Jarri teleskopioa Jupiterri eta haren satelitei begira, eta erabili algoritmoarekin egindako kalkuluak sateliteak identifikatzeko. Marraztu paper milimetratuan (edo ordenagailuan zuzenean) non dauden sateliteak Jupiterrekiko. Neurtu planetatik zer distantziara dauden, Jupiterren erradioen unitatetan, eta idatzi taula honetan zer behatu duzuen eta noiz:

7

Satelitetik Jupiterren erdigunera dagoen distantzia, Jupiterren erradioetan adierazita.

Eguna Ordua Io Europa Ganimedes Kalisto

8

1.5 Behatutakoa aztertzea Marraztu grafiko batean kalkulatutako distantziak, behatzen jardun dugun denboraren arabera, eta esan zer distantzia maximo dagoen satelitetik Jupiterrera (r 0).

Hartu antzemandako bi puntu, maximoaren bi muturretakoak, sateliteak egiten duen kurban, eta idatzi zer distantzia dagoen puntu horietatik Jupiterrera, Jupiterren erradioetan (r 1 eta r 2), eta noiz egin ditugun behaketak (t 1 eta t 2) (ikus 1.2 irudia).

1.2 irudia: satelite batek Jupiterren inguruan egiten duen orbita zirkularra.

Irudia oinarri hartuta, hau ondoriozta dezakegu:

Demagun sateliteak orbita zirkularra duela. Honela kalkulatuko dugu periodoa:

P (egunak) = 360º t2− t1θ 2− θ1

Denbora egunetan eta ordutan adierazi behar dugu. Hauxe izando da sateliteak

9

Jupiterren inguruan egiten duen orbitaren erradioa: d (Km.) = R· r 0

R =Jupiterren erradioa, kilometrotan adierazita (71400 Km.), eta r0 = kalkulatu dugun distantzia maximoa, Jupiterren erradioetan adierazita. Beheko taulako lehenengo bi zutabeetan emaitzak daude, irakasleok erreferentziatzat erabil ditzazuen (r0-rekin edo d-rekin egin ditzakezue eragiketak).

P(egunak) r0 (RJupiter) P2/r03 Io 1.769 5.91 ~66 Europa 3.551 9.40 ~66 Ganimedes 7.155 15.0 ~66 kalisto 16.69 26.4 ~66

Eskatu P 2/ r 03 egiteko eta jabearazi emaitza ere konstante bat dela; izan ere, Kleperren hirugarren legea indarrean da. Sateliteetatik Jupiterrera dagoen distantzia begiz kalkulatzen dugunean, batzuek behar baino distantzia handiago kalkulatzeko joera dute, eta beste batzuek behar baino distantzia txikiagoa kalkulatzekoa. Komeni da esperimentua hainbat ikaslek egitea, nahikoa neurketa izateko eta ikasleek egindako erroreak gutxitzeko. Egoki irudituz gero, irakasleak estatistikei buruzko oinarrizko zer den, ikasleek kalkulatutako balioak nola sakabanatzen diren eta zergatik baztertzen diren bat ez datozen neurketak. 1.6 Jupiterrek zer masa duen kalkulatzea Jarri P periodoa urtetan (urte 1 = 365,2422 egun) eta d erradioa unitate astronomikoetan (UA) (1 UA =149,6·106 km.) Adierazpen honen bidez, Jupiterren masa kalkula dezakegu:

P²d³=M

M–ren emaitza eguzki-masatan egongo da. Sateliteen masak kalkulatu ditugunez, kalkulatu orain masa horien batez bestekoa.

1.7 Galderak

• Keplerek hainbat lege egin zituen planeten higidurari buruz. Lege horietako zein erabili ditugu? Satelite galilearren masari eta orbitari buruzko zer beste hipotesi hartu ditugu kortuan?

• Sateliteetatik Jupiterrea zer distanzia dagoen kalkulatzean, zer errore egin dituzte ikasleek?

• Ezagutzen ditugun izarretatik masa gutxien dutenek Eguzkiaren laurden

10

baten masa dute. Zer tamaina izan beharko luke Jupiterrek izar baten antzera distira egiteko?

1.8 Jarduera osagarriak

• Jarri Jupiterren masa Kilogramotan. Erkatu Jupiterren masa Lurraren masarekin jakinik MEguzkia= 1,99·1030 Kg. Y=332,932 MLurra.

• Erkatu Jupiterren azaleko grabitatea Lurraren azalekoarekin eta Eguzkiaren azalekoarekin, bai eta eguzki-sistemako beste edozein planetaren zein ilargiren azaleko grabitatearekin ere, nahi izanez gero. Informazioa nahi izanez gero, jo webgune honetara: “Nine Planets” HHUUhttp://www.nineplanets.org/UU

• Erkatu Eguzkiak Lurrarekiko duen erakarpen-indarra eta Jupiterrekiko duena.

• Hartu kometa baten orbita eta kalkulatu Eguzkiak zer erakarpen-indar eragiten duen perihelioan eta afelioan.

11

2. Galaxiaren erdigunea Gure galaxian 100 mila milioi izar daude, bai eta gasa eta hautsa ere. Horrek guztiak bira egiten du galaxiaren erdigunearen inguruan. Berriro ere Keplerren hirugarren legea, grabitazioaren legea, erabiliko dugu, galaxiaren erdigunean dagoen objektuaren masa kalkulatzeko.

2.1 Helburuak

• Erdigunean dagoen objektuak zer masa duen kalkulatzea • Zulo beltz bat dela ondorioztatzea

2.2 Metodologia

• Galaxiaren erdigunetik gertu dauden izarren irudiak eskuratzea • Izar horien higidura aztertzea • Kleperren hirugarren legea aplikatzea

2.3 Izarrei begira Eskura izan ditugun teleskopioekin ezin da galaxiaren erdigunea bereizmen handiz ikusi. Horretarako, diametro handiko teleskopio bereziak behar ditugu. Hori dela eta, galaxiaren erdiguneko irudiak eskuratzeko, sarera joko dugu. Esate batera, webgune honetan, 2002an Europa Hegoaldeko Behatokiko (ESO) zientzialariek argitaratutako lehenengo irudiak eskura ditzakegu: HHUUhttp://www.eso.org/public/outreach/press-rel/pr-2002/pr-17-02.htmlUUHH. 2.1 irudia behatoki horretan hartutakoa da. Ezkerraldeko irudian, erdigunetik gertu dauden izarrak ageri dira. S2 deritzon izarrak marka bat du. Eskuinaldeko irudian, izarrak hamar urtetan nola higitu diren ikus dezakegu.

2.4 Erdiguneko objektuak zer masa duen kalkulatzea Orbita eliptikoa da, Eguzkiaren inguruan bira egiten duten planeten orbitaren antzekoa. Kalkuluen arabera, orbitak 15,73 urteko periodoa du.

• Kalkulatu zenbat neurtzen duen orbitaren diametroerdiak, irudian ageri den eskala kontuan izanda ( argiak 2 egunetan egiten duen ibilbidearen baliokidea da geziaren neurria; argiaren abiadura = 300.000 Km/s)

• Aplikatu Kleperren hirugarren legea Erdiguneari eta S2 izarrari; hain zuzen, Eguzkiari eta Jupiterri aplikatu diogun bezalaxe.

12

• Kalkulatu zer masa duen galaxiaren erdiguneko objektuak.

2.5 Jarduera osagarriak

2.1 irudia: galaxiaren erdiguneko izarrak eta S2 izarraren orbita.

Erdiguneko objektua oso handia da; hala ere, ez du gure Eguzkiak baino milioika aldiz argi gehiago egiten. Berez, 2.1 irudian (ezkerraldean), izarrak soilik ikusten dira. Erdiguneko objektua oso handia eta trinkoa delako gertatzen da hori; zulo beltz bat da.

• Kalkulatu zulo beltzetik zer distantziara diren berdinak ihes-abiadura eta argiaren abiadura.

• Erkatu distantzia horretan dagoen grabitatea eta lurrazaleko edo Eguzkiaren azaleko grabitatea.

Eguzkiak orbita ia zirkular bat egiten du galaxiaren erdigunearen inguruan. Orbita horrek 28.000 argi-urteko erradioa du eta 250 milioi urteko periodoa.

• Kalkulatu zer abiadura lineal duen Eguzkiak • Galaxiaren erdigunean dagoen masa jakin batek Eguzkia abiadura horretan

higiarazten du. Zer da masa hori?