gradientes ejercicios

8/11/2019 gradientes ejercicios

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EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR PRESENTE Y UNA SERIE DE CUOTAS FIJAS VENCIDAS

La equivalencia entre un valor presente y una cuota fija se deduce de la frmulasimplemente reemplazando F porP(1+i)n, que es la frmula base de las MatemticasFinancieras.

i

iAiP

n11

)1(

n

n

ii

i

AP 1

11

De las frmulas se puede calcular el valor de la cuota fija de la siguiente forma:

11

1n

n

i

iiPA

A continuacin se tratan casos prcticos relacionados con las equivalencias expuestas anteriormente.

Ejemplo 1Doa Linda Reina recibi un prstamo del Banco de Bogot por diez millones de pesos para cancelar en 12cuotas mensuales iguales vencidas con una tasa del 3% mensual. Calcular el valor de las cuotas.

Grficamente se tendra la siguiente interpretacin del problema:

10.000.000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

A0 i = 3%

Al identificar los datos conocidos se puede determinar que se debe utilizar la frmula

11

1n

n

i

iiPA

P = Valor presente, es en este caso, el valor del prstamo o sea $ 10.000.000i = 3%n = 12 mesesTenemos las tres variables, por lo cual podemos calcular la cuota fija A

103,01

03,0103,010000000

12

12

A

A=1.004.620,85

Lo que significa que doa Linda Reina debe cancelar mensualmente una cuota fija igual a $1.004.620,85 durante12 meses.

TABLA DE AMORTIZCION

Per. n Cuota A Interes i Abono Saldo

0 10.000.000

1 1.004.621 300.000 704.621 9.295.379

2 1.004.621 278.861 725.759 8.569.620

3 1.004.621 257.089 747.532 7.822.087

4 1.004.621 234.663 769.958 7.052.129

5 1.004.621 211.564 793.057 6.259.072

6 1.004.621 187.772 816.849 5.442.223

7 1.004.621 163.267 841.354 4.600.869

8 1.004.621 138.026 866.595 3.734.275

9 1.004.621 112.028 892.593 2.841.682


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10 1.004.621 85.250 919.370 1.922.312

11 1.004.621 57.669 946.952 975.360

12 1.004.621 29.261 975.360 0

PRACTICA:

1. Sofa Vera recibi un prstamo del Banco Santander de $30 millones para cambiar de vehculo; si el plazo esde 5 aos y se debe pagar en cuotas mensuales vencidas, determinar:a. El valor de las cuotas si la tasa de inters es del 2,5% mensual,b. Cul es el saldo de la deuda despus de cancelar la cuota # 9?c. Cul es la composicin (capital e intereses) de la cuota # 13?

2. Natalia Pardo recibi un prstamo de $50 millones del Banco Popular para adquirir un nuevo apartamento; si elinters es del 2% mensual y el crdito se debe pagar en cuotas iguales mensuales anticipadas durante 7 aos,determinar el valor de cada cuota.

3. Beatriz Pinzn recibi un prstamo de $10 millones de su amiga Marcela Valencia para pagar en 3 aos, encuotas iguales mensuales, determinar el valor de la cuota si la tasa de inters es de 1,5%mensual:

GRADIENTE ARITMTICO CRECIENTE Y DECRECIENTE

En el gradiente aritmtico se presentan dos situaciones, la primera es cuando la cuota variable aumenta perodo aperodo en una cantidad fija y la segunda cuando es decreciente, en ambos casos se emplea la misma frmula,pero el planteamiento del problema se hace en forma diferente, como se explica a continuacin:

Si se recibe un prstamo de una entidad bancaria y ste debe ser cancelado en cuotas variables, las cuales seincrementan en la misma cantidad en cada perodo hasta terminar el plazo, se tendra un caso de gradientecreciente; su ilustracin mediante un ejemplo sera de la siguiente forma:

Linda Plata de Rico recibe un prstamo del Banco Santander por $5.000.000 el cual debe ser cancelado en 3 aosen cuotas variables semestrales con una tasa de inters del 5% semestral, e incrementos de $250.000 en cadauna de las cuotas; con base en la informacin anterior determinar el valor de la primera cuota.

El punto de partida de este problema sera la elaboracin del grfico correspondiente

Semestres0 1 2 3 4 5 6

AA +250.000A+ 500.000A+ 750.000A+1.000.000A+1.250.000

Como se haba explicado anteriormente las cuotas variables tienen un componente fijo que para el problema sellama "A"; la variable seria el gradiente de $250.000 que es el incremento semestral del pago, por lo que el valordel prstamo sera.

igual al valor presente de la parte fija ms el valor presente del componente variable.P1 = Valor presente parte fijaP2 = Valor presente parte variable,Valor del prstamo = P1+ P2Tasa de inters = i = 5% semestral; n = 6

6

6

05,0105,0

105,01

1

111 A

ii

iAP

n

n


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P1=A (5,075692067221)

666

05,01

6

05,0105,0

105,01

05,0

000.250

11

112

nn

n

i

n

ii

i

i

gP

P2=2.991.998.44Si P1 +P2 = 5.000.000 Reemplazamos

A (5,075692067221)+2.991.998.44 = 5.000.000Despejando A se tendra:

A( 5,07569206721) = 5.000.000 - 2.991.998,44A( 5,07569206721 ) = 2.008.001,56

0756920672,5

56,001.008.2A

A=395.611,38

El resultado anterior quiere decir que el valor de la primera cuota es de $ 395.611,38 el de la segunda es esteltimo valor adicionado en $250.000 que es el gradiente, lo que genera un valor de $ 645.611,38 y assucesivamente hasta el perodo sexto que es el plazo convenido; en la siguiente tabla se detalla la amortizacindel prstamo, con una tasa de inters del 5% semestral

TABLA DE AMORTIZACION DEL PRESTAMO

PRACTICA

1- Luis Prez recibe un prstamo del Banco de Bogot por $7.000.000 el cual debe ser cancelado en 3 aos

en cuotas variables semestrales con una tasa de inters del 4,5% semestral, e incrementos de $300.000en cada una de las cuotas; con base en la informacin anterior determinar el valor de la primera cuota y latabla de amortizacin.

2- Luis Prez recibe un prstamo del Banco de Bogot por $10.000.000 el cual debe ser cancelado en 2aos en cuotas variables semestrales con una tasa de inters del 1,5% trimestral, e incrementos de$500.000 en cada una de las cuotas; con base en la informacin anterior determinar el valor de la primeracuota y la tabla de amortizacin.

GRADIENTE ARITMTICO DECRECIENTE

En este caso el valor de la cuota variable disminuye una cantidad igual g con respecto al periodo anterior.

Grficamente se expresara de la siguiente forma

0 1 2 3 4 5 n

A A-g A-2g A-3g A-4g A-(n-1) g

En este caso se toma la cuota de mayor valor y se considera como constante, y se calcula su valor presente;posteriormente se determina el valor presente del gradiente. Como se tom la de mayor valor como constante, se

SEMESTRE SALDOINICIAL INTERESES CUOTA ABONO A CAPITAL SALDOFINAL

1 5.000.000,00 250.000,00 395.611,38 145.611,38 4.854.388,62

2 4.854.388,62 242.719,43 645.611,38 402.891,95 4.451.496,67

3 4.451.496,67 222.574,83 895.611,38 673.036,55 3.778.460,12

4 3.778.460,12 188.923,01 1.145.611,38 956.688,37 2.821.771,75

5 2.821.771,75 141.088,59 1.395.611,38 1.254.522,79 1.567.248,96

6 1.567.248,96 78.362,45 1.645.611,38 1.567.248,93 0,00


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calcula la diferencia entre el valor presente de la parte constante y la del gradiente o parte variable. Un ejemploque ilustra el concepto anterior se detalla a continuacin:

Juan Prez recibi un prstamo de $2.000.000 para pagar en 6 bimestres en cuotas variables, con disminucionesde $30.000 en el valor de cada cuota. Si la tasa de inters es del 2% bimestral, calcular el valor de la primeracuota.

El diagrama sera el siguiente:

0 1 2 3 4 5 n

A A-30.000 A-60.000 A-90.000 A-120.000 A-150.000

6

6

02,0102,0

102,01

1

111 A

ii

iAP

n

n

P1=A (5,6014308)

66

6

02,01

6

02,0102,0

102,01

02,0

000.30

11

112

nn

n

i

n

ii

i

i

gP

P2 = $ 410.403,90

Finalmente, se calcula el valor de AP1-P2= $ 2.000.000

A[5,6014308] - 410.403,90 = $ 2.000.000A[5,6014308] = 2.410.403,90A = $ 430.319,31

El valor de la segunda cuota sera $ 430,319.31 - $ 30,000 = $ 400,319.31 y as sucesivamente hasta el perodo 6.

TABLA DE AMORTIZACION

SEMESTRE SALDO INICIAL INTERESES CUOTA

ABONO A

CAPITAL SALDO FINAL

1 2000000 40000 430319,314 $ 390.319,31 $ 1.609.680,69

2 1609680,686 32193,6137 400319,314 $ 368.125,70 $ 1.241.554,99

3 1241554,986 24831,0997 370319,314 $ 345.488,21 $ 896.066,77

4 896066,7725 17921,3354 340319,314 $ 322.397,98 $ 573.668,79

5 573668,7943 11473,3759 310319,314 $ 298.845,94 $ 274.822,86

6 274822,8565 5496,45713 280319,314 $ 274.822,86 ($ 0,00)

PRACTICA

1- Luis Prez recibi un prstamo de $3.000.000 para pagar en 6 bimestres en cuotas variables, condisminuciones de $35.000 en el valor de cada cuota. Si la tasa de inters es del 2,5% bimestral, calcular elvalor de la primera cuota.

2- Alberto Daz recibi un prstamo de $4.000.000 para pagar en 6 bimestres en cuotas variables, condisminuciones de $40.000 en el valor de cada cuota. Si la tasa de inters es del 2% bimestral, calcular elvalor de la primera cuota.


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Ejemplo 3El seor Armando Casasbuenas recibi un prstamo de $5.000.000 del Banco Sudameris que debepagar en 6 cuotas mensuales iguales vencidas. Si la tasa de inters es del 2% para los tres primerosmeses y de 3% para los tres siguientes, calcular el valor de la cuota y elaborar la tabla de amortizacincorrespondiente.

Grficamente el problema se representa de la siguiente forma:

0 1 2 3 4 5 6 Meses

2% 3%

El planteamiento matemtico se hara de la siguiente forma: como se trata de cuotas las vencidas lafrmula a emplear sera:

11

11

n

n

i

iiAP

i

ii

iiAP

n

n

1

1

112

5.000.000

1 2 3 4 5 6 Meses

2% 3%

11

1

000.000.5 n

n

i

ii

A

n

n

n

i

ii

iiA

1

111

3

3

02,0102,0

102,01000.000.5 A

3

3

3

02,01

03,0103,0

103,01A


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Abono a capital cuota # 1 = A( 1i )n-1Para el ejemplo que se est analizando, los abonos a capital se calcularan de la siguiente forma:El abono a capital de la cuota # 6 que es la ltima cuota es igual a A o sea $2.134.202,95 puesto que los interesesfueron pagados anticipadamente en la # 5El abono a capital de la cuota #5 = = 2.134.202,95(1- 0,10) = $1.920.782,65El abono a capital de la cuota #4 = = 2.134.202,95(1- 0,10)2 = $1.728.704,39El abono a capital de la cuota #3 = = 2.134.202,95(1- 0,10)3 = $1.555.833,95El abono a capital de la cuota #2 = = 2.134.202,95(1- 0,10)4 = $1.400.250,56El abono a capital de la cuota #1 = = 2.134.202,95(1- 0,10)5 = $1.260.225,50Los intereses de cada perodo seran la diferencia entre la cuota y el abono a capital calculado anteriormente.Intereses = Cuota - Abono a CapitalLa tabla de amortizacin para el caso analizado sera la siguiente:Prstamo: $10.000.000Inters:.... 10% semestralPlazo:...... 6 semestres

EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR PRESENTE Y UN GRADIENTE GEOMTRICO

La cuota variable que se incrementa un porcentaje fijo j respecto a la anterior, recibe el nombre de gradientegeomtrico y grficamente se expresara de la siguiente forma:

0 1 2 3 4K n periodos

K (1+0,04) 4

K (1+J) K (1+J)2 K (1+J) 3 K (1+J)4 La equivalencia de estas cuotas variables que se incrementan un % j en cada perodo, y un valor presente estdada por:

P=K

n

nn

iji

ji

1

11 Para i diferente a j

P= ikn

1

Los conceptos anteriores se ilustran con un ejemplo:Pedro Rodrguez recibi un prstamo de $5 millones del Banco de Bogot que debe pagar en 6 cuotastrimestrales con incrementos del 4% trimestral; si la tasa de inters es del 7% trimestral, hallar: a) el valor de laprimera cuota y b) el valor de la primera cuota si i=3% y j = 3% trimestral.

Grficamente el problema se planteara as: n perodos

Si i es diferente de j

5.000.000 1 2 3 4 5 6 Semestres

K


8/8

K (1+0, 04) K (1+0, 04) 2 K (1+0, 04) 3 K (1+0, 04) 4 (1+0, 04) 5

=K

n

nn

iji

ji

1

11=5.000.000=K

6

66

07,0104,007,0

04,0107,01

$ 5.000.000 = K [5, 22881704586]

K = $ 956.239,23

Si i es igual a j; i = 3% trimestral; j = 3% trimestral

P= ikn

1= 5.000.000=

03,016*

k

K=

6

000.000.503,1=

K = $ 858.333,33

PRACTICA:

Juan Prez recibi un prstamo de $6 millones del Banco de Bogot que debe pagar en 8 cuotas trimestrales conincrementos del 3,5% trimestral; si la tasa de inters es del 6% trimestral, hallar: a) el valor de la primera cuota y b)el valor de la primera cuota si i=2,5% y j = 2,5% trimestral

Luis vila recibi un prstamo de $7 millones del Banco de Bogot que debe pagar en 10 cuotas trimestrales conincrementos del 5% trimestral; si la tasa de inters es del 8% trimestral, hallar: a) el valor de la primera cuota y b)el valor de la primera cuota si i=4% y j = 4% trimestral

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