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2. GRAFICACIÓN DE FUNCIONES
2.7. Graficación de funciones
La representación gráfica de una función aporta mucha más información que la simple
definición de la función, por cuanto permite visualizar la variación de la variable
dependiente, y, con respecto a la variable independiente, x; es decir, cuándo la función es
creciente o decreciente, cuándo se alcanza el punto máximo o el mínimo, entre otros
muchos aspectos.
Aunque la palabra curva puede tener varios significados, se debe entender como la
representación gráfica de una función en un sistema de ejes cartesianos, es decir, la
representación de todos los puntos de la forma (x, f(x)). Como, en general, este conjunto
de puntos es infinito, no se podrán señalizar uno a uno, por lo que habrá que conformarse
con una aproximación que, por otro lado, será tanto mejor cuanta más información se
tenga del comportamiento de la curva, que podrá ser muy variable.
2.8. Estudio particular de funciones
El estudio de las funciones, se enmarcan en el análisis de las siguientes características.
➢ Dominio y dominio de imágenes.
➢ Continuidad.
➢ Paridad o Simetrías.
➢ Asíntotas.
➢ Puntos de corte con los ejes. ➢ Signo de la función.
➢ Máximos y Mínimos relativos de la función.
➢ Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
➢ Intervalos de concavidad y convexidad.
➢ Puntos de inflexión.
Cada una de las características, proporcionan una idea más clara de cómo se comporta la
función, dando en conjunto una visión completa de la función.
2.8.1. Dominio y dominio de imágenes
En general el dominio y dominio de imagen de una función real de una variable real, es el
conjunto de los números reales ℝ, salvo que se tenga alguna restricción de una operación
no permitida.
Siendo 𝒑(𝒙) y 𝒒(𝒙) polinomios, utilizando las restricciones de operaciones no definidas
sobre el conjunto de los números reales, se obtiene:
➢ 𝑦 = 𝑝(𝑥) → 𝐷𝐹 = ℝ.
➢ ( )xpy = 𝐷𝑓 = {𝑥 ℝ/ 𝑝(𝑥) 0}.
➢
( )( )xq
xpy =
D f = {x ℝ / q(x) 0}.
➢ ( )( )xpy log= D f = {x ℝ / q(x) > 0}.
Funciones polinómicas.
Aquellas cuya expresión algebraica es un polinomio, es decir, las funciones polinómicas,
tienen como dominio todo el conjunto de los números reales ℝ, puesto que a partir de una
expresión polinómica, y sustituyendo el valor de x por el número real elegido se puede
calcular sin ningún problema el número real imagen y.
Ejemplos:
𝑓 (𝑥) = 3𝑥5 − 20𝑥 + 1
𝐷𝐹 = ℝ
𝑅𝐹 = ℝ
𝑓 (𝑥) = 2𝑥 + 3
𝐷𝐹 = ℝ
𝑅𝐹 = ℝ
ℎ (𝑥 ) = ½
𝐷𝐹 = ℝ
𝑅𝐹 = ℝ
2.8.1.1. Funciones racionales.
Si la función es racional, esto es que su expresión es un cociente de dos polinomios
𝑷(𝒙)/𝑸(𝒙), se plantea el problema de tener que excluir del dominio las raíces del polinomio
denominador. Así pues si el polinomio denominador es 𝑸(𝒙), se resuelve la ecuación 𝑸(𝒙) =
𝟎 y se calculan dichas raíces 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, . . ., 𝒙𝒏, y así se obtiene: 𝑫𝑭 = ℝ − {𝒙𝟏, 𝒙𝟐, . . ., 𝒙𝒏}.
Forman el dominio de la función todos los números reales salvo el conjunto A = {x1,
x2,..., xn}.
De manera análoga, para encontrar las exclusiones del dominio de imagen, en primer
lugar, se debe encontrar la función inversa f -1(x), y aplicar en forma similar a la función
original la resolución de la ecuación del polinomio denominador Q’(x)=0 de la función
inversa f -1(x).
Ejemplo: 𝑓(𝑥) =𝑥+2
𝑥−3
Se resuelve la ecuación x - 3 = 0; y se obtiene: 𝑥1 = 3.
Por consiguiente: 𝐷𝐹 = ℝ− {3}
La función inversa correspondiente es: 𝑓−1(𝑥) =3𝑥+2
𝑥−1
Se resuelve la ecuación 𝑦1 − 1 = 0 x - 1 = 0; y se obtiene: 𝑦1 = 1.
Por consiguiente: 𝑅𝐹 = ℝ − {1}.
𝑓(𝑥) =𝑥 + 2
𝑥 − 3
𝐷𝐹 = ℝ− {3}
𝑓−1(𝑥) =3𝑥 + 2
𝑥 − 1
𝑅𝐹 = ℝ− {1}
𝑓(𝑥) =4
𝑥2+1
Resolviendo la ecuación x2 + 1 = 0; se encuentra que no tiene solución, con lo que no se
ha encontrado valores que anulen el denominador y por lo tanto no hay ninguna restricción
en el dominio.
Por consiguiente: 𝐷𝐹 = ℝ.
La función inversa correspondiente es: 𝑓−1(𝑥) = √4+𝑥
𝑥
Se resuelve la inecuación: 4+𝑥
𝑥≥ 0, y se obtiene: 𝑅𝑓 = ] 0, +∞ [
𝑓(𝑥) =4
𝑥2 + 1
𝐷𝐹 = ℝ
𝑓−1(𝑥) = √4 + 𝑥
𝑥
𝑅𝐹 = ℝ+
2.8.1.2. Funciones irracionales.
Las funciones irracionales son las que vienen expresadas a través de un radical que lleve
en su radicando la variable independiente.
Si el radical tiene índice impar, entonces el dominio será todo el conjunto de los números
reales porque al elegir cualquier valor de x siempre se puede calcular la raíz de índice
impar de la expresión que se tenga en el radicando.
Si el radical tiene índice par, para los valores de x que hagan el radicando negativo no
existirá la raíz y por tanto no tendrán imagen produciéndose la correspondiente restricción
de operación.
Por definición de función, solo se considera la raíz positiva o negativa, pero no ambas, por
consiguiente, el dominio de imágenes será ℝ+ ∪ {0} ó ℝ− ∪ {0}
Ejemplos: 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1
Resolviendo la inecuación 𝑥 + 1 > 0, se obtiene: 𝑥 > −1.
𝐷𝐹 = {𝑥 ℝ/ 𝑥 > −1}.
La función inversa correspondiente es: 𝑓−1(𝑥) = 𝑥2 − 1
Y su dominio de imágenes:
𝑅𝐹 = {𝑥 ℝ/ 𝑥 > 0}.
𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1
𝐷𝐹 = {𝑥 ℝ/ 𝑥 > −1}
𝑓−1(𝑥) = 𝑥2 − 1
𝑅𝐹 = {𝑥 ℝ/ 𝑥 > 0}.
𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 254
Resolviendo la inecuación 𝑥2 − 25 ≥ 0, se obtiene:
𝑥 ≥ 5 y 𝑥 ≤ −5.
𝐷𝐹 = {𝑥 ℝ/ 𝑥 ≥ 5 ∨ 𝑥 ≤ −5}.
La función inversa correspondiente es: 𝑓−1(𝑥) = √𝑥4 + 25
Y su dominio de imágenes:
𝑅𝐹 = {𝑥 ℝ/ 𝑥 ≥ 0}
𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 254
𝐷𝐹 = {𝑥 ℝ/ 𝑥 ≥ 5 ∨ 𝑥 ≤ −5}
𝑓−1(𝑥) = √𝑥4 + 25
𝑅𝐹 = {𝑥 ℝ/ 𝑥 ≥ 0}
𝑓(𝑥) =1
√𝑥2−2𝑥−8
Resolviendo la inecuación x2 – 2x - 8 >0, se obtienen los conjuntos de intervalos:
𝑥 − 4 > 0 (+) → 𝑥 > 4𝑥 + 2 > 0 (+) → 𝑥 > −2
} ] 4, ∞ [
𝑥 − 4 > 0 (+) → 𝑥 > 4𝑥 + 2 < 0 (−) → 𝑥 < −2
} Ø
𝑥 − 4 < 0 (−) → 𝑥 < 4𝑥 + 2 > 0 (+) → 𝑥 > −2
} Ø
𝑥 − 4 < 0 (−) → 𝑥 < 4𝑥 + 2 < 0 (−) → 𝑥 < −2
} ] − ∞, −2 [}
] 4, ∞ [ ∪ ] − ∞, −2 [ → 𝐷𝐹 = {𝑥 ℝ/ 𝑥 <
− 2 𝑥 > 4}.
La función inversa correspondiente es: 25)( 41 +=− xxf
Y su dominio de imágenes:
𝑅𝐹 = {𝑥 ℝ/ 𝑥 > 0}
Problemas: Hallar el 𝐷𝐹 y 𝑅𝐹 de las siguientes funciones, y graficarlas.
a) 62
)(2
+=
x
xxf b)
82
2)(
2 −−
−=
xx
xxf c) xxy 62 −=
d) 82
22
2
+
−=
x
xxy e)
6
1)(
2
2
−−
−=
xx
xxg f) 3)( −= xxh
g) 155
1)(
−=
xxf h) 7)( += xxg i)
16
3)(
2
2
−=
x
xxh
j) 12 += xy k) 322 ++−= xxy l) xxxf 6)( 2 −=
Hallar el 𝐷𝐹 y 𝑅𝐹 de la siguiente función.
𝑓(𝑥) =𝑥2−1
𝑥2+𝑥−6
2.8.2. Continuidad
Una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es
decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x I, está constituida de un solo segmento,
en el sentido de que se puede dibujarla sin levantar el lápiz.
De una manera más rigurosa se dice que una función f es continua en un punto a si y sólo
si el límite de f(x) cuando x tiende hacia a es f(a):
Las funciones polinomiales, las racionales, trigonométricas y sus recíprocas, las funciones
raíces, las exponenciales y los logaritmos son continuas en sus respectivos dominios de
definición.
Sorprendentemente el error más común, cuando se habla de función discontinua, es pensar
en la función inversa, relacionándola con la función 𝒇(𝒙) = 𝟏/𝒙 cuya curva es una hipérbola,
compuesta por dos segmentos (para x < 0 y para x > 0).
Lo mismo sucede con las funciones racionales, los puntos de aparente discontinuidad
corresponden a valores de la variable que no pertenecen al dominio de definición de la
función.
La función discontinua más sencilla es la función (mayor entero menor o igual a x), que se
define:
𝑓: ℝ → ℝ
𝑓(𝑥) = [𝑥] = 𝑛
𝑛 𝑥 < 𝑛 + 1
La expresión [x] se lee: "mayor entero que no supera a x".
Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Esta función no
es continua en los reales, pues los límites a la izquierda y a la derecha difieren de uno del
otro, pero es continua en los segmentos abiertos (n; n+1) donde es constante.
Muchas de las funciones que se definen por partes son discontinuas.
2.8.3. Paridad o Simetrías
Sea L una recta dada y P un punto dado. El punto P’ tal que L es la mediatriz del segmento
rectilíneo [P, P’’], P’’ se denomina imagen refleja de P con respecto a la recta L.
Si E es un conjunto de puntos en ℝ y L es una recta dada, decimos que el conjunto E es
simétrico con respecto a la recta L si, para todo punto Q E, su imagen refleja con respecto
a Q es también un punto de E.
En particular, en las simetrías respecto a los ejes de coordenadas. Si P = (x, y) es un
punto cualquiera en el plano, entonces el punto P’ = (- x, y) es la imagen de P con
respecto al eje Y (eje de coordenadas), mientras que P’ = (x, - y) es la imagen de P con
respecto al eje X (eje de abscisas).
El conjunto E es simétrico con respecto al eje Y si, f (x) = f (- x) donde f(x) se denomina
función par, análogamente, el conjunto E es simétrico con respecto al eje X si, f (-x) =- f
(x) donde f(x) se denomina función impar.
.f es continua en a )()(lim afxfax
=→
En las funciones pares al cambiar x por − x se obtiene la misma expresión total.
En las funciones impares al cambiar x por − x la expresión total cambia de signo.
Ejemplo: Determinar si las siguientes funciones son pares o impares
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1
Función par
f (− x) = (− x) 2 −1 = x2 −1 = f (x)
𝑔(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥
𝑔(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥
Función impar
g (− x) = (− x)3 + (− x) = −x3 − x = −(x3 + x) = − g (x)
Una función y = f(x), se define como par si f (x) = f (− x)
Una función y = f(x), se define como impar si f (-x) = − f (x)
h (x) = x2 + x
Esta función no
es ni par ni
impar.
h (− x) = (− x) 2 + (− x) = x2 − x h (x)
h (− x) − h (x)
La gráfica de una función par es simétrica respecto del eje vertical y la gráfica de una
función impar es simétrica respecto del origen de coordenadas.
2.8.4. Asíntotas
Son las rectas tangentes a la gráfica en el infinito.
Si un punto (x, y) se desplaza continuamente por una función y = f(x) de tal forma que,
por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre
ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota
de la función.
El conocimiento de las asíntotas y cómo se trazan apropiadamente es de gran valor para
el trazo apropiado de una gráfica curva en el plano cartesiano, por ejemplo, las asíntotas
de una hipérbola son las líneas guía de esta curva.
Pueden ser de tres tipos:
➢ Asíntotas verticales
➢ Asíntotas horizontales
➢ Asíntotas oblicuas
2.8.4.1. Asíntotas verticales (paralelas al eje de ordenadas OY)
Las asíntotas verticales corresponden a aquellos valores de la variable independiente que
indefinen la función con una división entre cero.
Por tanto, para averiguar las asíntotas verticales de una función, basta igualar a cero el
denominador. Las soluciones de la ecuación resultante serán asíntotas verticales, si no se
anula también el numerador.
Si existe un número “a” tal, que: 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = ±∞
A la recta x = a se la denomina asíntota vertical.
𝑓(𝑥)
=𝑥2 + 𝑥 − 5
𝑥2 − 1
Asíntotas:
x = 1
x = -1
2.8.4.2. Asíntotas horizontales (paralelas al eje de abscisas OX)
Las asíntotas horizontales corresponden a aquellos valores de la variable dependiente y =
f(x) a los que se aproxima la gráfica de la función conforme los valores de la variable
independiente x se aproximan a más infinito y/o a menos infinito respectivamente. Si el
primer límite es un número finito b, la recta y = b es asíntota horizontal en la parte derecha
de la curva, si el segundo límite es un número finito b, la recta y = b es asíntota horizontal
en la parte izquierda de la curva. Si ocurren las dos cosas, simplemente se dice que y = b
es una asíntota horizontal de la curva.
Si existe el límite: 𝑙𝑖𝑚𝑥 → ∞
𝑓(𝑥) = 𝑏
En las fracciones es necesario además distinguir entre el comportamiento por la derecha y
por la izquierda de la asíntota. (2𝑥2 − 5𝑥 + 3)/(𝑥2 − 2𝑥 − 3)
𝑓(𝑥) =2𝑥2 − 5𝑥 + 3
𝑥2 + 2𝑥 − 3
Asíntota: y = 2
2.8.4.3. Asíntotas oblicuas (inclinadas)
Cuando la función f(x) es el cociente de dos polinomios, y el grado del numerador supera
en 1 al del denominador, entonces la curva y = f(x) tiene una asíntota oblicua cuya
ecuación es y = mx + b, siendo mx + b el cociente entero de los dos polinomios, donde
m es la pendiente y b la ordenada en el origen, por lo que para calcularlas se halla:
𝑚 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
=𝑓(𝑥)
𝑥
𝑏 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
(𝑓(𝑥) −𝑚𝑥)
Ejemplo: 𝑓(𝑥) =𝑥3
(𝑥−1)2
𝑚 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑥= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑥3
𝑥(𝑥−1)2= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑥3
𝑥3−2𝑥2+𝑥= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑥3
𝑥3−2𝑥2+𝑥
𝑚 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
1
1−2𝑥−1+𝑥−2= 1
𝑏 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
(𝑥3
𝑥2−2𝑥+1− 𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞(𝑥3−𝑥3+2𝑥2−𝑥
𝑥2−2𝑥+1) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞(
2𝑥2−𝑥
𝑥2−2𝑥+1)
𝑏 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
(2−𝑥−1
1−𝑥−1+𝑥−2) = 2
Asíntota
oblicua
2+= xy
Otra forma para el cálculo de las asíntotas oblicuas, sin la utilización de usar límites sigue
los siguientes pasos:
a) Se sustituye y por mx + b.
b) Se pasa el denominador de la función a multiplicar, y se realizan las operaciones respectivas.
c) Se pasan todos los valores del segundo termino y se factoriza en las potencias de
x (agrupan).
d) Se extraen los coeficientes de las dos mayores potencias de x, y se igualan los dos coeficientes a cero obteniéndose dos ecuaciones y se resuelve el sistema de
ecuaciones para m y b.
Ejemplo: Hallar la asíntota oblicua para: 𝑦 =2𝑥2
𝑥−1
𝑎) 𝑦 =2𝑥2
𝑥−1 → 𝑚𝑥 + 𝑏 =
2𝑥2
𝑥−1
𝑏) (𝑚𝑥 + 𝑏) ⋅ (𝑥 − 1) = 2𝑥2 → 𝑚𝑥2 −𝑚𝑥 + 𝑏𝑥 − 𝑏 = 2𝑥2
𝑐) 𝑚𝑥2 −𝑚𝑥 + 𝑏𝑥 − 𝑏 − 2𝑥2 = 0 → (𝑚 − 2) ⋅ 𝑥2 + (𝑏 − 𝑚) ⋅ 𝑥 − 𝑏 = 0
𝑑) 𝑚 − 2 = 0𝑏 − 𝑚 = 0
} → 𝑚 = 2𝑏 = 𝑚
} → 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝑜𝑡𝑎 𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑎 𝑦 = 2𝑥 + 2
Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas,
implica la no existencia de las otras.
Ejercicios: Hallar las asíntotas de las siguientes funciones.
a) 1
222
−
++−=
x
xxy b)
1
232
2
+
+−=
x
xxy c)
1
222
−
++−=
x
xxy
d) x
xy
13 −= e)
2
132 2
+
+−=
x
xxy f)
12
3
+=
x
xy
g) 1
13
−
−=
x
xy h)
2
2
25
3
x
xy
−= i)
2
2
−=
x
xy
j) 1
222
−
+−=
x
xxy k)
2
13
+
−=
x
xy l)
12
2
−=
x
xy
m) xx
xy
2
12
2
−
−= n)
xx
xy
52
3
−= ñ)
1
12
2
−
+=
x
xy
o) 2
13
−
−=
x
xy p)
+
−=
xx
xy
3
12
2
2
q)
−
+−−=
xx
xxy
2
13
2
2
2.8.5. Puntos de corte con los ejes (intersecciones)
Los primeros puntos de la gráfica que se pueden hallar son los puntos de la función que
pertenecen a los ejes coordenados, es decir que la cortan.
Para hallar el punto donde la función corta al eje de ordenadas se resuelve el sistema:
=
=
0
)(
x
xfy
Para hallar los puntos donde la función corta al eje de abscisas se resuelve el sistema:
=
=
0
)(
y
xfy
Ejemplo: Hallar los puntos de corte de la función:
𝑓(𝑥) = 𝑥3– 3𝑥2– 𝑥 + 3.
Ordenada: 𝑓(0) = 03– 3 ∙ 02– 0 + 3 = 3
y = 3
Abscisa: 𝑓(𝑥) = 𝑥3– 3𝑥2– 𝑥 + 3 = 0
(𝑥– 1)(𝑥 − 3)(𝑥 + 2) = 0
𝑥 = 1, 𝑥 = 3, 𝑥 = −2
Ordenada: y
= 3
Abscisa: x
= 1
x
= 3,
x
= -2
2.8.6. Signo de la función
El signo de la función, corresponde a calcular, para qué puntos del dominio la función es
positiva, cero y negativa:
➢ f (x) > 0 La función es estrictamente positiva.
➢ f (x) = 0 La función es nula. Son los puntos de corte con el eje de abscisas.
➢ f (x) < 0 La función es estrictamente negativa.
Se trata de encontrar las zonas en las que la función tiene signo positivo o negativo. Para
determinar estas zonas o intervalos se debe de tener en cuenta, dentro del dominio de la
función, los puntos en que la curva atraviesa al eje de abscisas.
Para ver el signo en cada uno de estos intervalos basta con sustituir en la función el valor
de x por el de algún punto del intervalo a estudiar.
Ejemplo: Hallar los signos de la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 − 4𝑥3– 12𝑥2 + 2, en los puntos: {-2, -
1, 0, 2, 4}.
➢ 𝑓(−2) = 34, la función es positiva.
➢ 𝑓(−1) = −3, la función es negativa.
➢ 𝑓(0) = 2, la función es positiva.
➢ 𝑓(2) = −30, la función es negativa.
➢ 𝑓(4) = 322, la función es positiva.
Positiva:
{-2, 0, 4}
Negativa:
{-1, 2}
2.8.7. Máximos y Mínimos relativos de la función
Los máximos son los puntos en que la función pasa de crecer a decrecer.
Los mínimos son los puntos en que la función pasa de decrecer a crecer.
Analizando las gráficas, se observa que en ambos casos hay una cosa común, la pendiente
de la recta tangente es 0.
Se resuelve 0)(' =xf y si existen máximos o mínimos, se obtienen uno o varios puntos
x1, x2, ……. , xn. Estos son los posibles máximos o mínimos.
Máximo Mínimo
Para determinar si es máximo o mínimo se deriva otra vez y sustituye en los valores xi
obtenidos para el máximo o mínimo.
Si ii xxf 0)(" , es mínimo.
Si ii xxf 0)(" es máximo
Ejemplo: Encontrar los puntos máximos y mínimos relativos de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥4 −
10𝑥2 + 9.
La derivada de la función es: f‘(x) = 4x3 -20x, igualando a cero se obtienen los puntos
críticos de la función:
{ 5− , 0, 5 }
Encontrando la segunda derivada: f‘’(x) = 12x2 - 20, y remplazando en los puntos críticos
se obtiene:
Igualando a cero los puntos críticos:
➢ f‘’( 5− ) = 16 mínimo relativo.
➢ f‘’(0) = 9 máximo relativo.
➢ f‘’( 5 ) = 16 mínimo relativo.
Máximo relativo en:
{0}
Mínimos relativos
en:
{ 5− , 5 }
2.8.8. Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Si la curva de una función, sube de izquierda a derecha esta es creciente.
La función es creciente en
el intervalo (a, b) si se
cumple siempre.
)()( 2121 xfxfxx
Si la curva de una función, baja de izquierda a derecha esta es decreciente.
La función es decreciente
en el intervalo (a, b) si se
cumple siempre.
)()( 2121 xfxfxx
La función f es creciente en el intervalo (a, b), si para todo par de números x e y
pertenecientes a (a, b) que satisfacen x < y, se cumple que f (x) < f (y).
De la misma manera, f es decreciente en el intervalo (a, b) si para todo par de números
x e y que satisfacen que x < y, se cumple que f (x) > f (y)
Los puntos en los que una función pasa de crecer a decrecer o viceversa son los máximos,
mínimos y las asíntotas verticales, para estudiar el crecimiento, se considera el dominio
dividido en intervalos por estos puntos, solo falta ver el comportamiento de la función en
un punto de cada uno de estos intervalos, lo que se cumpla en un punto lo hará en todo el
intervalo.
La derivada de una función en un punto dado, es la pendiente de la recta tangente a la
curva en ese punto xo.
Sea f (x) una función derivable en el punto x0.
Si 0)(' 0xf la función es estrictamente creciente en xo.
Si 0)(' 0xf la función es estrictamente decreciente en xo.
Ejemplos: Determinar el crecimiento o decrecimiento de la función: 𝑓(𝑥) = 1 +6
𝑥−3 en los
intervalos: ] − , 3[, ]3,[.
Derivando la función, se obtiene: 𝑓′(𝑥) = −6
(𝑥−3)2
En el intervalo: ] − , 3[, utilizando x0 = 0, f ’ (0) = -1/6, la función es estrictamente
decreciente en el intervalo.
En el intervalo: ] 3,[, utilizando x0 = 6, f ’ (0) = -1/6, la función es estrictamente
decreciente en el intervalo.
En los intervalos:
] - , 3[, ] 3, [
Estrictamente
creciente
Determinar el crecimiento o decrecimiento de la función: 127
12 +−
=xx
y en los
intervalos: ] - , 3[, ] 3; 3,5[, ] 3,5; 4 [, ] 4; ∞[.
Derivando la función, se obtiene: ( )22 )127(
27'
+−
−=
xx
xxf
En el intervalo: ] − ∞, 3[, para 𝑥0 = 0, 𝑓’(0) = 7/144, la función es estrictamente creciente
en el intervalo.
En el intervalo: ] 3; 3,5[, para 𝑥0 = 3,1, 𝑓’(3,1) = 3,5, la función es estrictamente creciente
en el intervalo.
En el intervalo: ] 3,5; 4 [, para x0 = 3.6, f ’ (0) = -3,5, la función es estrictamente
decreciente en el intervalo.
En intervalo: ] 4, ∞[, para 𝑥0 = 4,5; f ’ (0) = -3,5, la función es estrictamente decreciente
en el intervalo.
• En los intervalos:
] − ∞, 3[, ] 3; 3,5[
Estrictamente
creciente
• En el intervalo:
] 3,5; 4[, ] 4;∞[
Estrictamente
decreciente
2.8.9. Intervalos de concavidad y convexidad
Se dice que una función es convexa si la recta que une dos puntos cualesquiera de la curva
están por encima de la curva.
Se dice que una función es cóncava si la recta que une dos puntos cualesquiera de la curva
están por debajo de la curva.
Dentro de una función puede haber intervalos cóncavos y convexos.
Una curva puede cambiar la concavidad dentro de su dominio siempre que halla un punto
de inflexión o una asíntota vertical, por lo que para determinar los intervalos de concavidad
y de convexidad de una función se considera su dominio dividido en intervalos separados
por los puntos anteriores y se estudia sus comportamientos en un punto de cada uno de
estos intervalos, lo que acontezca en dicho punto se cumplirá en todo el intervalo.
Para estudiar la concavidad o convexidad en un punto se calcula la segunda derivada:
Si 0)(" ixf la función es cóncava en xi.
Si 0)(" ixf ( ) 0ixf la función es convexa en xi.
Ejemplo: Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de la función: f (x) = x4
- 4x3 - 4x2 + 16x.
Igualando a cero, se obtiene los puntos críticos de la función: {-2, 0, 2, 4}
La derivada de la función es: f ‘(x) = 4x3 - 12x2 - 8x + 16.
La segunda derivada de la función es: f “(x) = 12x2 - 24x - 8.
En el intervalo [-2, 0], para x0 = -1, f “(-1) = 28, la función es cóncava en el
intervalo.
En el intervalo [0, 2], para x0 = 1, f “(1) = -20, la función es convexa en el
intervalo.
En el intervalo [-2, 4], para x0 = 3, f “(-1) = 28, la función es cóncava en el
intervalo.
Cóncava en los
intervalos:
[-2, 0], [-2, 4]
Convexa en el
intervalo:
[0, 2]
2.8.10. Puntos de inflexión
Son los puntos en los cuales la función pasa de ser cóncava a ser convexa o viceversa.
Una condición necesaria para que un punto sea de inflexión es que la segunda derivada se
anule en él.
Para encontrar los puntos de inflexión, se calcula la segunda derivada de la función y se
iguala a cero. Si las soluciones de la ecuación 𝑓″(𝑥) = 0 están en el dominio de la función,
dicha solución es un punto de inflexión. Es decir, si 𝑓" (𝑥𝑖) = 0 ⇒ [𝑥𝑖 , 𝑓(𝑥𝑖)].
Ejemplo: Hallar el punto de inflexión de la función:
f (x) = -x3 + 6x2 – 12x + 12.
Encontrando la segunda derivada de la función se obtiene:
f “(x) = -6x + 12, e igualando a cero, se determina, x = 2 como punto de
inflexión.
Punto de
inflexión:
X= 2
