Gráficos por Computadora

MSC J. Fco. Jafet Pérez L.

Conceptos Geométricos – Sistemas de Coordenadas

Sistema de coordenadas

Es un sistema que utiliza uno o másnúmeros (coordenadas) para determinarunívocamente la posición de un punto o deun objeto geométrico.

Weisstein, Eric W. "Coordinate System". MathWorld. Wolfram Research.

El orden en que se escriben lascoordenadas es significativo y a vecesse las identifica por su posición en unatupla ordenada.

Ejemplo: (x, y)

Sistema de coordenadas cartesianas

En un espacio euclídeo un sistema decoordenadas cartesianas se define pordos o tres ejes ortogonales igualmenteescalados, y puede ser un sistemabidimensional o tridimensional.

La denominación de 'cartesiano' seintrodujo en honor de René Descartes,quien lo utilizó de manera formal porprimera vez.

En matemáticas, el término ortogonalidad (del griego orthos —recto— y gonía —ángulo—) es una generalización de la nocióngeométrica de perpendicularidad. En el espacio euclídeoconvencional el término ortogonal y el término perpendicularson sinónimos.

El espacio euclídeo es un tipo de espacio geométrico donde sesatisfacen los axiomas de Euclides de la geometría. La rectareal, el plano euclídeo y el espacio tridimensional de lageometría euclidiana son casos especiales de espacioseuclídeos de dimensiones 1, 2 y 3 respectivamente. Elconcepto abstracto de espacio euclídeo generaliza esasconstrucciones a más dimensiones. Un espacio euclídeo es unespacio vectorial completo dotado de un producto interno (locual lo convierte además en un espacio normado, un espaciométrico y una variedad riemanniana al mismo tiempo).

El término euclídeo se utiliza para distinguir estos espacios delos espacios "curvos" de las geometrías no euclidianas y delespacio de la teoría de la relatividad de Einstein.

Las coordenadas cartesianas seutilizan para definir un sistemacartesiano o sistema de referenciarespecto ya sea a un solo eje (línearecta), respecto a dos ejes (un plano) orespecto a tres ejes (en el espacio)

Sistema de coordenadas cartesianas

Origen de coordenadas

El origen de coordenadas es el punto dereferencia de un sistema de coordenadas.En este punto, el valor de todas lascoordenadas del sistema es nulo.

Las coordenadas cartesianas

se definen como la distancia al origende las proyecciones ortogonales de unpunto dado sobre cada uno de los ejes.

Plano (2D)

Si el sistema es un sistema bidimensional,se denomina plano cartesiano. El puntode corte de las rectas se hace coincidircon el punto cero del plano y se conocecomo origen del sistema.

Espacio euclídeo (3D)

Si tenemos un sistema de referencia formado portres rectas perpendiculares entre sí (X, Y, Z), quese cortan en el origen (0, 0, 0), cada punto delespacio puede nombrarse mediante tres números:(x, y, z), denominados coordenadas del punto, queson las distancias ortogonales a los tres planosprincipales: los que contienen las parejas de ejesYZ, XZ e YX, respectivamente.

Sistema de coordenadas polares

En un sistema de coordenadas rectangulares ocartesiano se puede localizar un punto con una solapareja de puntos (x,y) estos valores son las distanciasdirigidas, partiendo del origen, desde losejes x e y respectivamente.

Otra forma de representar puntos en el planoes empleando coordenadas polares, en estesistema se necesitan un ángulo (q) y unadistancia (r).

Para medir q, en radianes, necesitamos unasemirrecta dirigida llamada eje polar y paramedir r, un punto fijo llamado polo.

Las coordenadas polares son un

sistema de coordenadas bidimensionalen el cual cada punto del plano sedetermina por un ángulo y unadistancia.

Esto es, en coordenadas polares

señalamos un punto diciendo ladistancia y el ángulo que se forma:

Conversiones entre sistemas decoordenadas.

Para convertir de un sistema a otro, seresuelve el triángulo:

De coordenadas cartesianas a polares

Ejemplo

Punto (12, 5) en coordenadas cartesianas a coordenadas polares:

Usamos el teorema de Pitágoras para calcular ellado largo (la hipotenusa):

Usamos la función tangente para calcular elángulo (tan(ang) = CO/CA):

Generalizando, las fórmulas paraconvertir coordenadascartesianas (x,y) a polares (r,θ)son:

De coordenadas polares a cartesianas

Ejemplo

Punto (13, 23°) en coordenadas polares a cartesianas:

Usamos la función coseno para x: cos( 23 °) = x / 13

Cambiamos de orden y resolvemos: x = 13 × cos( 23 °) = 13 × 0.921 = 11.98

Usamos la función seno para y: sin( 23 °) = y / 13

Cambiamos de orden y resolvemos: y = 13 × sin( 23 °) = 13 × 0.391 = 5.08

(x es el CA, y, es el CO)

Generalizando, las fórmulas paraconvertir coordenadas polares(r,θ) a cartesianas(x,y) son:

Sistema de coordenadas geográficas

Este tipo de coordenadascartográficas, se usa para definirpuntos sobre una superficie esférica.

Hay varios tipos de coordenadasgeográficas. El sistema más clásico yconocido es el que emplea la latitud yla longitud

Investigar

Estos son solo algunos tipos desistemas de coordenadas; existenmuchos más.

Investigar Sistemas de CoordenadasCilíndricas, Esféricas y Curvilíneas.