Grup Hipernova - Fisiquim's Weblog · CAP ITOL 1. CINEMATICA S’acostuma a emprar el s mbol sper indicar la posici o a partir de l’origen de la traject oria. Es tracta d’una

FISICA1r Batxillerat

Grup HipernovaPep Forteza Ferrer (Coordinador)

Carlos Alonso AriasJosep Lluıs Borras Juan

Agustı Ceba HerreroLlucia Sancho de la Jordana

Versio: 3.0Darrera actualitzacio: 12/07/2016

Imatge de portada Tony Hisgett

Index

1 Cinematica 71.1 El punt material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Posicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Trajectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Sistema de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Desplacament . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Velocitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.1 Velocitat mitjana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.2 Velocitat instantania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Acceleracio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.1 Acceleracio mitjana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.2 Acceleracio instantania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.3 Components intrınseques de l’acceleracio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.4 Classificacio dels moviments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Moviments rectilinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.1 Moviment rectilini uniforme: MRU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.2 Moviment rectilini uniformement accelerat: MRUA . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6 Combinacio de moviments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6.1 Principi de superposicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6.2 Combinacio de dos MRU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6.3 Tir parabolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7 Moviments circulars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7.1 Moviment circular uniforme: MCU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7.2 Moviment circular uniformement accelerat: MCUA . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Dinamica 232.1 Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.1 La forca com a magnitud vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.2 Unitats de forca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.3 Mesura de les forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.4 Principi de superposicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 La forca com a interaccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.1 Interaccions fonamentals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Lleis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.1 Primera llei de Newton: llei d’inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.2 Segona llei de Newton: principi fonamental de la dinamica . . . . . . . . . . . . 262.3.3 Tercera llei de Newton: llei d’accio i reaccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Impuls mecanic i moment lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4.1 Quantitat de moviment o moment lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4.2 Impuls mecanic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4.3 Conservacio del moment lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 Tipus de forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5.1 Pes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5.2 Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5.3 Forca de friccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5.4 Forca d’Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3

INDEX

2.6 Dinamica del moviment circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.7 Resolucio de problemes de cos lliure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.8 Sistemes de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.8.1 Sistemes de referencia inercials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.8.2 Sistemes de referencia inercials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Energia 43

3.1 Treball mecanic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.1 Interpretacio grafica del treball . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1.2 Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2 Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Energia potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3.1 Forces conservatives i dissipatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3.2 Energia potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4 Principi de conservacio de l’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4.1 Llei de conservacio de l’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5 Fonts d’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5.1 Distribucio de les fonts d’energia a Espanya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5.2 Consum mundial d’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5.3 Impacte del consum energetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.5.4 Alternatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Moviment harmonic simple 57

4.1 Massa unida a una molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2 Energia del moviment harmonic simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3 Objecte penjant d’una molla vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4 Pendol simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5 Forca gravitatoria i electrostatica 67

5.1 Dinamica de rotacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1.1 Moment d’una forca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1.2 Moment angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.2 Lleis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.3 Llei de Newton de la gravitacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3.1 Demostracio de les lleis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.4 El pes dels cossos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.5 Moviment de satel·lits artificials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.5.1 Velocitat orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.5.2 Moment angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.6 Carrega electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.7 Llei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4

INDEX

A Sistemes de mesura 79A.1 Magnituds fonamentals i derivades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79A.2 Dimensions de les magnituds fısiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79A.3 El Sistema Internacional d’Unitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80A.4 Notacio cientıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80A.5 Xifres significatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81A.6 Ordre de magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82A.7 Mesures i errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

A.7.1 Imperfeccio dels instruments i sensibilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82A.7.2 Errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83A.7.3 Expressio dels errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83A.7.4 Dades experimentals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84A.7.5 Valor mes probable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

B Llibre d’estil 87

C Eines matematiques 89C.1 Calcul vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

C.1.1 Vectors unitaris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89C.1.2 Components cartesianes d’un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90C.1.3 Operacions amb vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90C.1.4 Producte escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91C.1.5 Producte vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

C.2 Calcul diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92C.2.1 Derivades de magnituds vectorials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

D Operadors matematics i alfabet grec 95D.1 Operadors i sımbols matematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95D.2 Alfabet grec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

E Solucions 97E.1 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97E.2 Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98E.3 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99E.4 Moviment harmonic simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99E.5 Forca gravitatoria i electrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

F Constants fısiques i valors numerics 101

5

1Cinematica

Estam familiaritzats amb els moviments ja que tot el que ens envolta esta en moviment: cotxes, atoms,galaxies, . . .

L’estudi dels moviments va neixer molt abans que es coneguessin les causes que els originaven, perexemple, la caiguda dels objectes o el moviment dels astres foren descrits a partir de diversos modelsmolt abans que Newton descobrıs la gravetat i la relaciones com a causa d’aquests moviments.

La cinematica es la branca de la fısica que estudia la descripcio del moviment sense tenir encompte les causes d’aquest (les quals estudiarem al proper tema), limitant-se essencialment, a estudiarla trajectoria dels mobils en funcio del temps.

1.1 El punt material

El principal objectiu de la cinematica es la descripcio del moviment d’un objecte.Si pensam en diferents cossos en moviments es facil comprovar com no tots els moviments son igual

de facils de descriure, per exemple, el moviment d’un bumerang es molt complexe degut a que a mesde desplacar-se presenta una rotacio. Per tal de facilitar la descripcio, comencarem considerant quetots els mobils es tracten com un punt material o partıcula puntual, es a dir, consideram l’objectecom si tota la massa es concentres en un punt situat en el centre de masses de l’objecte i, per tant,ignoram la forma i dimensions del cos.

Els motius de realitzar aquesta aproximacio son:

• Per simplificar l’estudi.

• Perque en alguns casos ens basta amb obtenir una descripcio aproximada.

• Perque el centre de masses d’un cos extens es mou com si es tractes d’un punt material concentraten aquest punt.

1.2 Posicio

Per tal de descriure el moviment d’una partıcula puntual, el primer que hem de fer es determinar ones troba. Per tal d’expressar la posicio d’un objecte de forma correcta i sense ambiguitats o podemfer a partir de la posicio al llarg de la seva trajectoria o a partir de les coordenades donat un sistemade referencia.

1.2.1 Trajectoria

La trajectoria es el conjunt de punts pels quals passa l’objecte.

7

CAPITOL 1. CINEMATICA

S’acostuma a emprar el sımbol s per indicar la posicio a partir de l’origen de la trajectoria. Estracta d’una magnitud escalar amb unitats de longitud.

Es possible donar una funcio s(t) (o e(t)) en la que s’expressa la posicio sobre la trajectoria delmobil donat el temps i, a partir d’aquesta es pot obtenir l’espai recorregut entre dos instants,∆s = s2 − s1.

1.2.2 Sistema de referencia

Un sistema de referencia ens proporciona una forma de situar el punt a l’espai respecte a puntanomenat origen de coordenades. El mes habitual es emprar un sistema de coordenades cartesianes(tres eixos rectes que apunten a les tres direccions de l’espai) tot i que existeixen altres tipus desistemes de coordenades que es fan servir en determinades situacions: polars, esferiques, cilındriques,. . .

Cal destacar que, a mes del sistema de coordenades, un sistema de referencia tambe ha d’estarformat per un eix temporal amb el corresponent origen. Moltes vegades es diu que un sistema dereferencia es un sistema de coordenades i un rellotge.

Durant aquest curs farem servir unicament sistemes de coordenades de dues dimensions (2D) jaque tots els moviments que estudiarem estan continguts en un pla.

Un cop definit el sistema de referencia, la posicio del mobil vendra marcada per un vector amborigen a l’origen de coordenades i final al punt que ocupa el mobil en un instant de temps determinat:r = xi + yj.

A partir de la posicio r(t) = x(t)i + y(t)j podem donar una equacio per a la trajectoria del mobil.La primera forma d’expressar-la es a partir de les equacions parametriques de la corba, que con-

sisteix en escriure la variacio de la coordenada x i y en funcio del temps:

x = x(t) y = y(t) 1.1

Una altra forma d’escriure la trajectoria es indicar la funcio y = f(x) que la descriu. Per fer aixocal aıllar el temps de l’equacio parametrica de la coordenada x i substituir-ho a l’equacio parametricade la coordenada y.

Exemple 1.1

El vector de posicio d’un mobil ve donat per l’equacio r = 4ti + 3t2j. Determina l’equacio de latrajectoria.

En primer lloc escriurem les equacions parametriques de la trajectoria:

x = 4t y = 3t2

A continuacio aıllam el temps de la coordenada x:

t = x/4

i substituım a l’equacio de la coordenada y

y = 3x2/16

1.2.3 Desplacament

El vector desplacament es la diferencia entre la posicio inicial i la posicio final:

∆r = rf − r0

1.2

8

1.3. VELOCITAT

Es important tenir en compte que el vector desplacament no ens dona cap informacio sobre latrajectoria que la partıcula segueix entre la seva posicio inicial i final. Per exemple, sempre que lesposicions inicial i final siguin la mateixa, el vector desplacament es zero. Pero aixo no significa que lapartıcula no s’hagi mogut.

El modul del vector desplacament nomes coincideix amb la distancia recorreguda si el mobil esmou en lınia recta sense retrocedir. La semblanca entre el desplacament i l’espai recorregut, en el casde moviments no rectilinis, augmenta amb la proximitat entre els dos punts. Aixo vol dir que per aintervals de temps molt petits es compleix que |∆r| = ∆s.

1.3 Velocitat

La velocitat es una magnitud que ens indica el ritme amb que varia la posicio d’un mobil en relacioal temps.

1.3.1 Velocitat mitjana

En ocasions no coneixem amb suficient detall el moviment d’un objecte, es a dir, no coneixem l’equaciode moviment. Nomes sabem que es trobava en certes posicions en certs instants. En aquests casospodem calcular la velocitat mitjana de l’objecte.

vm =∆r

∆t=

rf − r0

tf − t0

1.3

1.3.2 Velocitat instantania

Per tenir una descripcio detallada del moviment necessitam coneixer la velocitat a cada moment. Pertal de definir la velocitat instantania feim tendir a zero l’interval de temps considerat, es a dir, agafamcada cop intervals mes petits de temps, amb el que les posicions estan cada vegada mes proximes.Aquesta operacio matematica es la derivada, per tant, la velocitat instantania es pot definir comla derivada temporal de la posicio (derivada de la posicio respecte al temps):

v =dr

dt

1.4

9


El vector velocitat instantania es tangent a la trajectoria en cada punt i el seu modul es potanomenar celeritat o rapidesa.

1.4 Acceleracio

La velocitat no basta per descriure completament el moviment. La velocitat pot canviar, tant endireccio i sentit com en modul. Per tal de descriure els canvis en la velocitat necessitam l’acceleracio.

1.4.1 Acceleracio mitjana

L’acceleracio mitjana es defineix com la variacio de la velocitat respecte al temps.

am =∆v

∆t=

vf − v0

tf − t0

1.5

En el Sistema Internacional l’acceleracio es mesura en m/s2.

1.4.2 Acceleracio instantania

Seguint el mateix procediment que en el cas de la velocitat, podem definir l’acceleracio instantaniacom la derivada de la velocitat respecte al temps o com la segona derivada de la posicio respecte altemps:

a =dv

dt=d2r

dt2

1.6

1.4.3 Components intrınseques de l’acceleracio

Acabam de definir l’acceleracio com el canvi de la velocitat en el temps. Pero la velocitat pot canviarde dues maneres: pot variar el seu modul o pot variar la seva direccio.

Si descomposam el vector acceleracio en les direccions tangent i perpendicular al vector velo-citat obtindrem les components intrınseques de l’acceleracio: l’acceleracio tangencial i l’acceleraciocentrıpeta.

Acceleracio tangencial

L’acceleracio tangencial, at, es la component de l’acceleracio que es troba en la mateixa direccioque la velocitat i es la responsable de la variacio del modul de la velocitat.

Si el sentit de l’acceleracio tangencial coincideix amb el de la velocitat significa que el cos accelera,si tenen sentits diferents, indica que el cos esta frenant.

at =dv

dt

1.7

10

1.4. ACCELERACIO

Acceleracio normal o centrıpeta

L’acceleracio normal, an, o acceleracio centrıpeta, ac, es la component de l’acceleracio que estroba en la direccio perpendicular a la velocitat i es la responsable de la variacio de la direccio de lavelocitat.

L’acceleracio centrıpeta te la mateixa direccio que el radi de curvatura de la trajectoria i apuntasempre cap al centre de la corba descrita.

A partir de la seguent figura es pot deduır el modul (esquerra) i la direccio (dreta) de l’acceleraciocentrıpeta:

Podem escriure les expressions de les components cartesianes del vector velocitat:

vx = −v sin θ = −v yR

vy = v cos θ = vx

R

A continuacio calculam les components cartesianes de l’acceleracio a partir de la derivada temporalde les components de la velocitat:

ax =dvxdt

= − vR

dy

dt= − v

Rvy = −v

2

Rcos θ ay =

dvydt

=v

R

dx

dt=v

Rvx = −v

2

Rsin θ

Calculant el modul del vector acceleracio, a =√a2x + a2

y, obtenim una expressio pel modul de

l’acceleracio centrıpeta:

ac =v2

R

1.8

on R es el radi de curvatura.

1.4.4 Classificacio dels moviments

Segons els valors de les components intrınseques de l’acceleracio es pot realitzar una classificacio delsmoviments:

11


Per tant,

• MRU: v = constant, a = 0

• MRUA: at = constant, ac = 0

• MCU: at = 0, ac = constant

• MCUA: at = constant, ac 6= constant

1.5 Moviments rectilinis

Recordem que per tenir un moviment rectilini l’acceleracio normal ha de ser zero. En funcio del valorde l’acceleracio tangencial tendrem un moviment rectilini uniforme, si val zero, o un moviment rectiliniuniformement accelerat, si pren un valor constant diferent a zero.

En els casos en que s’estudien moviments rectilinis es possible elegir el sistema de referencia deforma que l’eix x coincideixi amb la direccio del moviment i d’aquesta manera ens evitam haverd’emprar vectors.

1.5.1 Moviment rectilini uniforme: MRU

El moviment mes senzill de tots es el moviment rectilini uniforme o MRU. En aquest cas, latrajectoria de l’objecte es una lınia recta i la seva velocitat es constant, ja que no te acceleracio.

12

1.5. MOVIMENTS RECTILINIS

Recordem que com que la velocitat es constant, la velocitat mitjana sera igual a la velocitatinstantania. Podem trobar l’equacio del MRU a partir de la definicio de la velocitat mitjana (Eq.[1.3]):

v =∆x

∆t−→ v =

x− x0

t− t0−→ x = x0 + v(t− t0)

1.9

Com que habitualment prenem el temps inicial t0 = 0, l’equacio del MRU queda com:

x = x0 + vt 1.10

on x0 es la posicio inicial de l’objecte a t = 0.A partir d’aquesta equacio veim que el moviment de l’objecte es produeix sempre sobre l’eix x.

Quan la velocitat es positiva, l’objecte es mou cap a la dreta, mentre que quan es negativa, el movimentsera cap a l’esquerra.

Podem representar graficament la posicio i la velocitat en funcio del temps d’un MRU:

El pendent de la grafica x-t equival a la velocitat de l’objecte i si volem coneixer l’espai recorreguten un cert interval de temps a partir de la corba v-t ho podem fer calculant l’area davall aquesta.

1.5.2 Moviment rectilini uniformement accelerat: MRUA

El moviment rectilini uniformement accelerat o MRUA ens permet descriure, entres altrescoses, la caiguda lliure d’objectes. Es tracta d’un moviment en que l’acceleracio unicament presentacomponent tangencial i aquesta es mante constant durant tot el moviment.

Com que l’acceleracio es constant, l’acceleracio mitjana sera igual a l’acceleracio instantania. Po-dem trobar com varia la velocitat amb el temps a partir de la definicio de l’acceleracio mitjana (Eq.[1.5]):

a =∆v

∆t−→ a =

v − v0

t− t0−→ v = v0 + a(t− t0)

1.11

Que considerant el temps inicial t0 = 0, obtenim:

v = v0 + at 1.12

Es pot obtenir l’equacio del MRUA que descriu la posicio del mobil en funcio del temps. La formames facil de realitzar aquesta deduccio es integrant l’acceleracio (concepte que veurem el curs seguent).Una forma alternativa de deduir-la a partir de la definicio de velocitat mitjana i l’Eq. (1.12):

vm =∆x

∆t−→ x = x0 + vmt vm =

v + v0

2=

2v0 + at

2= v0 +

1

2at

13


Substituint el valor de la velocitat mitjana obtenim l’equacio del moviment del MRUA:

x = x0 + v0t+1

2at2

1.13

Podem representar graficament la posicio, la velocitat i l’acceleracio en funcio del temps d’unMRUA:

Observam com la corba x-t te forma de parabola. En aquest cas, el pendent de la corba v-t esigual a l’acceleracio i l’area davall la corba v-t entre dos instants de temps equival a l’espai recorregut.

La velocitat a un instant determinat equival al pendent de la recta tangent al punt equivalent dela corba x-t, el que equival a la derivada de l’equacio del MRUA avaluada en aquest instant de temps.

Caiguda lliure

En el cas de realitzar estudi de moviments de caiguda lliure, l’acceleracio de l’objecte sera igual al’acceleracio de la gravetat a la superfıcie del planeta (sempre que no ens allunyem massa d’aquesta).Per tant, utilitzarem les equacions del MRUA i substituirem l’acceleracio per −g, on g = 9, 8 m/s2 enel cas de la Terra. El signe negatiu es per si prenem com a positiu el sentit cap a dalt.

En aquests casos tambe s’acostuma a fer coincidir la direccio del moviment amb l’eix y en lloc deamb l’eix x, tot i que aixo no afecta per res en el comportament del mobil.

y = y0 + v0t−1

2gt2 v = v0 − gt

1.14

1.6 Combinacio de moviments

1.6.1 Principi de superposicio

El principi de superposicio es el nom que rep el metode de resolucio quan una partıcula estasotmesa simultaniament a varis moviments elementals independents, el moviment resultant s’obtesumant vectorialment aquests moviments parcials.

Aquesta suma vectorial dels moviments parcials implica que hem de sumar les posicions, des-placaments, velocitats, . . .

Una de les principals aplicacions del principi de superposicio es dins la balıstica, ciencia queestudia el conjunt de tecniques i coneixements teorics encaminats a augmentar la precisio del tir d’unprojectil.

14

1.6. COMBINACIO DE MOVIMENTS

1.6.2 Combinacio de dos MRU

Es el cas, per exemple, d’intentar creuar un riu perpendicularment al corrent d’aquest. La trajectoria,al ser la combinacio de dos MRU, no sera perpendicular a la vorera del riu, sino que ens dura adesviar-nos d’aquesta perpendicular.

1.6.3 Tir parabolic

El tir parabolic es una composicio d’un MRU en l’eix horitzontal i un MRUA en l’eix vertical. Con-sisteix en disparar un projectil amb una velocitat inicial que forma un cert angle, anomenat angle detir o angle d’elevacio, amb l’horitzontal. El cas particular en que aquest angle val 0, s’anomena tirhoritzontal.

La posicio inicial del mobil es r0 = (x0, y0) i la velocitat inicial v0 = (v0x, v0y) = (v0 cos θ, v0 sin θ).Les equacions que farem servir per resoldre aquest moviment son les equacions del MRU a l’eix x

i l’equacio del MRUA considerant una acceleracio a = −g a l’eix y:

x = x0 + v0xt = x0 + v0 cos θ t y = y0 + v0yt−1

2gt2 = y0 + v0 sin θ t− 1

2gt2

1.15

v = (vx, vy) = (v0x, v0y − gt) 1.16

En aquest tipus de moviments anomenam abast a la distancia recorreguda horitzontalment pelprojectil.

Quan la velocitat inicial unicament te component horitzontal s’anomena tir horitzontal, mentreque si forma un cert angle amb l’horitzontal tambe es coneix com tir oblicu.

Exemple 1.2

Llancam un projectil des de la torre d’un castell de 50 m d’altura formant un angle de 30 ambl’horitzontal. La velocitat de llancament es de 350 m/s. Si no tenim en compte el fregamentamb l’aire, calcula: (a) El temps que tarda a caure a terra. (b) L’abast maxim. (c) L’alturamaxima.

Es tracta d’un tir parabolic que no parteix de l’origen de coordenades, sino que ho fa des d’unay0 = 50 m.

15


Podem escriure les equacions del moviment: MRU per a l’eix horitzontal i MRUA per a l’eix vertical.

x = x0 + v0xt −→ x = v0 cos θ t

y = y0 + v0yt−1

2gt2 −→ y = y0 + v0 sin θ t− 1

2gt2

vy = v0y − gt −→ vy = v0 sin θ − gt

(a) Per calcular el temps que tarda a caure a terra partim de l’equacio de la posicio en l’eix y isubstituım la posicio final y = 0:

0 = 50 + 175t− 1

29, 8t2

De les dues solucions obtingudes prenem la positiva: t = 35, 9 s.(b) Per determinar l’abast, calculam la distancia horitzontal que ha avancat el projectil abans detocar terra, es a dir, la distancia horitzontal recorreguda en t = 35, 9 s:

x = 350

√3

235, 9 = 10 900 m

(c) L’altura maxima s’assoleix en el moment que la component vertical de la velocitat es fa zero(vy = 0):

0 = v0 sin θ − gt −→ t =v0 sin θ

g=

350 · 0, 59, 8

= 17, 8 s

Substituint aquest valor a l’equacio de posicio de l’eix y:

ymax = 50 + 175 · 17, 8− 1

29, 8 · (17, 8)2 = 1610 m

1.7 Moviments circulars

En els moviments circulars la trajectoria es sempre una circumferencia, per tant, com a mınim,l’acceleracio normal ha de ser diferent de zero.

Per estudiar aquests moviments es pot seguir emprant les mateixes magnitud cinematiques quehem utilitzat fins ara: posicio, velocitat i acceleracio. Aquestes son les magnituds lineals. Per facilitarla descripcio del moviment circular es mes facil emprar les magnituds angulars.

Posicio angular

Per indicar on es troba un punt, en el cas d’un moviment circular, el mes facil es donar la distancia al’eix de gir, R, i l’angle recorregut, θ, des de l’inici del moviment.

16

1.7. MOVIMENTS CIRCULARS

La unitat utilitzada per mesurar els angles es el radiant. Recorda: 2π rad = 360.L’angle mesurat en radiants es pot relacionar amb l’espai recorregut:

s = θR 1.17

Velocitat angular

La velocitat angular, ω, es la variacio de posicio angular respecte al temps:

ω =∆θ

∆t−→ ω =

dθ

dt

1.18

La seva unitat en el Sistema Internacional es el radiant per segon (rad/s), tot i que moltes vegadess’empren les revolucions per minut o rpm.

Com en el cas de l’angle, podem relacionar la velocitat angular amb la velocitat lineal:

v =∆s

∆t=

∆θ ·R∆t

= ωR 1.19

Acceleracio angular

L’acceleracio angular, α, es la variacio de la velocitat angular amb el temps:

α =∆ω

∆t−→ α =

dω

dt

1.20

En el Sistema Internacional es mesura en rad/s2.Podem relacionar-la amb l’acceleracio tangencial del cos:

at =∆v

∆t=

∆ω ·R∆t

= αR 1.21

1.7.1 Moviment circular uniforme: MCU

El moviment circular uniforme o MCU es molt important perque apareix en nombroses situacionsfısiques com ara el moviment d’una pedra fermada a una corda, un satel·lit que gira al voltant d’unplaneta, un proto que es mou al si d’un camp magnetic, . . .

Es important entendre que un MCU es un moviment accelerat: la velocitat canvia. La velocitatcanvia nomes en direccio i no en modul. Es a dir, l’objecte que descriu un MCU recorr el mateixnombre de voltes en cada segon, pero la velocitat canvia constantment per mantenir l’objecte sobrela trajectoria circular.

Si la velocitat del cos es constant, la velocitat angular tambe sera constant:

ω =∆θ

∆t=θ − θ0

t− t0−→ θ = θ0 + ω(t− t0)

Per tant, considerant t0 = 0, obtenim l’equacio per la MCU:

θ = θ0 + ωt 1.22

Com que aquest moviment presenta acceleracio centrıpeta, podem relacionar-la amb la velocitatangular:

ac =v2

R=ω2R2

R= ω2R

1.23

17


El MCU es un moviment periodic. La velocitat angular ens indica quan rapidament gira el mobil,tot i que existeixen dues maneres alternatives de transmetre la mateixa idea: el perıode i la frequencia.

El perıode, T , es el temps que tarda la partıcula en completar una volta sencera.

ω =2π

T−→ T =

2π

ω

1.24

La frequencia, ν, es el nombre de voltes que descriu la partıcula cada segon. Es mesura en s−1 querep el nom de hertz (Hz).

ν =1

T

1.25

1.7.2 Moviment circular uniformement accelerat: MCUA

El moviment circular uniformement accelerat o MCUA es aquell que recorr un mobil amb unatrajectoria circular i una acceleracio angular constant.

De l’Eq. (1.21) podem afirmar que si l’acceleracio angular es constant i estan descrivint una cir-cumferencia (radi constant), l’acceleracio tangencial tambe es constant. Pero com que la velocitatangular no es constant, tampoc ho sera l’acceleracio normal (Eq. [1.23]).

De la mateixa manera que s’han deduit les equacions del MRUA es poden obtenir les del MCUA.Aquestes equacions son:

ω = ω0 + αt θ = θ0 + ω0t+1

2αt2

1.26

Activitats

1. L’equacio d’un determinat moviment ve do-nada per l’expressio e = 5 + 3t + t2. Cal-culau: (a) L’espai recorregut en 2 s. (b) Lavelocitat al cap de 2 s.

2. Un objecte es mou al llarg de la seva tra-jectoria segons l’equacio: e = 25 + 40t− 5t2

(e, posicio en metres i t en segons). (a) Qui-na distancia haura recorregut als 5 s? (b) Ials 6 s?

3. Les coordenades cartesianes d’un punt ma-terial les podem expressar de la seguent ma-nera: x = 4t − 5, y = t2 − 2t, z = 5t − 1.Calculau el vector posicio, la velocitat i l’ac-celeracio al cap de 3 s.

4. Donades les equacions que defineixen un mo-viment curvilini: x = 2− t; y = t2 − 3, cal-culau per a t = 2 s: (a) la velocitat; (b)l’acceleracio; (c) l’equacio de la trajectoria.

5. Un objecte es mou al llarg de la trajectoria

adjunta passant pels punts A i B. Es de-mana: (a) Expressau grafica i analıticamentels vectors de posicio rA i rB i dibuixau elvector desplacament ∆r. (b) S’han mesu-rat les distancies sobre la trajectoria a unpunt O de la mateixa, obtenint eA = 1 m ieB = 10 m. Trobau ∆e.

6. La posicio d’un mobil en qualsevol instant vedonada per: r = 3t2i + 4j. Calculau l’equa-cio de la velocitat, la velocitat instantania iel seu modul en l’instant t = 2 s.

18


7. Serieu capacos de determinar l’acceleracioinstantania a partir de l’equacio de posi-cio d’un cos? Intentau-ho per t = 3 s,si l’equacio de posicio (en una direccio) esx = 3t2 + 2t m.

8. En una contrarellotge, un ciclista recorr elsprimers 10 km a una velocitat constant de40 km/h i els seguents 10 km a una veloci-tat constant de 50 km/h. Quina ha estat,globalment, la velocitat mitjana?

9. L’equacio de posicio d’un mobil ve donadaper: r = 3t2i + 6j + 2k m. (a) En quinadireccio es mou? (b) Quant s’ha desplacaten els primers 10 segons? (c) Quina ha es-tat la seva velocitat mitjana en aquests 10 s?(d) Quina velocitat porta als 5 s? (e) Quantval l’acceleracio? Es constant o variable?(f) Com es denomina el moviment que por-ta aquest cos?

10. Pot canviar el sentit de la velocitat d’un cossi la seva acceleracio es constant?

11. Un cos es mou en la direccio x segons l’e-quacio de trajectoria x = 2 + 2t+ t2 m. Re-presentau les grafiques x− t, v− t i a− t pera un interval de 3 s. Determinau la velocitatmitjana en els tres primers segons. Calculaules velocitats instantanies a t = 0 i t = 3 s.

12. Un cos descriu cercles de 10 m de radi des-placant-se a 3 m/s. (a) Quant val la seva ac-celeracio tangencial? (b) I l’acceleracio nor-mal? (c) I l’acceleracio total? (d) Dibuixauaquestes magnituds.

13. Classificau els seguents moviments:

(a) Un estudiant corr una cursa de 100 m.

(b) Un satel·lit artificial gira al voltant dela Terra en una orbita perfectament cir-cular a velocitat constant, fent una vol-ta sencera cada 11 hores.

(c) Una estudiant dona set voltes a ritmeconstant a una pista d’atletisme.

(d) Un professor va cada dia a treballaramb tren, recorrent 35 km en 30 mi-nuts.

(e) Un autobus recorre un tram recte d’au-topista a 90 km/h.

(f) Moviment d’un punt del tambor d’unarentadora quan comenca a centrifugar.

14. Per que un moviment en lınia recta es potconsiderar sempre com un moviment al llargde l’eix x?

15. Baix quines condicions es igual la velocitatmitjana a la velocitat instantania?

16. Quina direccio te l’acceleracio d’un cos quees mou en una circumferencia amb el modulde la velocitat constant?

17. Es possible que un cos tengui velocitat zeroi acceleracio diferent de zero? I al contrari?Posau exemples on es donin aquestes situa-cions.

18. Com es un moviment en el qual nomes hi haacceleracio tangencial? Pista: en aquest cas,v, que es un vector, nomes canvia en modul,no en direccio. Quines caracterıstiques d’a-quest vector queden constants?

19. Na Xisca diu que ha vist un avio que es mo-via en lınia recta a 980 km/h. En Toni,per la seva banda, assegura que l’avio estavaimmobil. Es possible que parlin del mateixavio? Com pot ser?

20. Des de dalt d’un mastil d’un vaixell, queper a simplificar suposarem que es mou enlınia recta amb velocitat constant sobre lasuperfıcie d’un mar tranquil es deixa caureuna pedra. Suposant menyspreable el frega-ment amb l’aire dibuixau la trajectoria quetindra la pedra quan un segon observadorsituat a un punt de la coberta d’un vaixell isegons un altre observador que es troba enun punt de la platja.

21. Un excursionista va constantment a 2 m/sper terreny pla. Sabent que al cap d’u-na hora es troba 7, 3 km del punt de par-tida. (a) Trobau l’equacio de moviment.(b)Representau-la graficament.

22. Dos vehicles (A i B) parteixen un a l’en-contre de l’altre des de dues localitats quedisten entre si 400 km. El vehicle A viat-ja a 100 km/h, mentre que el B, que iniciael viatge un quart d’hora mes tard, ho faa 120 km/h. Quant de temps passa des de

19


que A parteix fins que es produeix la tro-bada? Quina distancia ha recorregut aquestvehicle? Resoleu la questio numericament irepresentau-la en una grafica posicio-temps.

23. Deduıu l’equacio v2 = v20 +2a(x−x0) a par-

tir de les equacions de l’espai i la velocitatd’un MRUA.

24. Es deixen caure dues boles d’acer de massa5 kg i 20 kg respectivament. (a) Quina arri-bara abans a terra? (b) Quina arribara ambuna velocitat mes gran?

25. S’empeny un cos sobre una superfıcie ho-ritzontal fins que assoleix una velocitat de5 m/s i despres es deixa anar. A partir d’a-quest moment, l’unica forca que actua sobreseu es la forca de fregament, que el frenaamb una acceleracio de 0, 5 m/s2. Calcu-lau: (a) l’espai que recorr fins que s’atura;(b) la velocitat despres d’haver recorregut9 m, comptant des que es va deixar d’im-pulsar el cos.

26. El transbordador Columbia porta una velo-citat de 720 km/h en el moment de l’ater-ratge. Quan entra en contacte amb el ter-ra, desplega els paracaigudes de frenat que,juntament amb els propis frens de la nau,fan que aquesta s’aturi totalment en 20 s.(a) Quina ha estat l’acceleracio, suposant-laconstant, de frenat? (b) Quina longitud depista mınima necessita per realitzar l’ater-ratge?

27. Es llanca des de terra una pilota amb v =40 m/s. (a) Determinau l’equacio del movi-ment. (b) Calculau la velocitat quan estiguia una altura de 20 m. (c) Calculau l’altura ala qual es troba quan ascendeix amb una ve-locitat de 5 m/s. (d) Quina altura maximaassoleix? (e) Quan tarda en arribar a terra?Amb quina velocitat arriba?

28. Es deixa caure una pilota des d’una alturade 50 m i al mateix temps es llanca vertical-ment cap amunt, des del terra, altra pilotaamb una velocitat , v = 30 m/s. (a) Quande temps passa fins que es troben? (b) Aquina altura es troben?

29. Com podem calcular la profunditat d’unpou que no podem veure el fons si al deixarcaure una pedra escoltam l’impacte al capde 3 s? (velocitat del so a l’aire = 340 m/s.)

30. Si pegam una cossa a una pilota a 1 m d’al-tura sobre el terra, aquesta surt disparadaverticalment. Al cap de 5 segons la pilotaarriba al terra. Calculau la velocitat amb laque surt disparada la pilota, l’altura maximaque assoleix al cap de quant de temps tornaa passar per l’altura inicial d’un metre.

31. Dos cossos es deixen caure des de la mateixaalcada, pero el segon amb un retard ∆t se-gons respecte al primer. Es mante constantla distancia entre ambdos a l’aire?

32. Una persona que esta a una certa altura so-bre el terra tira una pilota cap a dalt ambuna velocitat v0 i despres en tira una capavall amb velocitat –v0. Quina de les duespilotes tindra major velocitat quan arribina terra?

33. Un pescador vol travessar amb la seva bar-ca un riu de 100 m d’ample amb una barcael motor de la qual produeix una velocitatde 4 m/s perpendicular al corrent del riuque te una velocitat de 3 m/s. Calculau:(a) El temps que tarda en travessar el riu.(b) La velocitat resultant de la barca. (c) Ladistancia corrent avall del punt de partidaon arriba la barca. (d) La distancia que re-corr la barca.

34. Una nadadora vol creuar un riu de 200 md’ample. Per aixo nada perpendicularmental corrent amb una velocitat de 1, 5 m/s. Sila velocitat del corrent es de 0, 5 m/s, calcu-lau: (a) La velocitat de la nadadora i l’angleque forma respecte la vora. (b) El temps quetarda en arribar a l’altra vora i la distanciacorrent avall del punt de partida. (c) L’e-quacio de la trajectoria.

35. Es deixa caure un cos des d’una altura h almateix temps que se’n llanca un altre des delmateix punt amb una velocitat horitzontalv0. (a) Quin dels dos arribara abans a lasuperfıcie de la Terra? (b) Feis-ne un esque-ma.

20


36. Des d’una finestra situada a 30 m del ter-ra es llanca horitzontalment una pilota ambuna velocitat de 15 m/s. Calculau: (a) Eltemps que tarda en arribar a terra. (b) L’a-bast. (c) El modul de la velocitat en arribara terra.

37. Des de dalt d’un penya-segat es llanca uncos horitzontalment que tarda 3 s en arribara l’aigua en un punt que esta a 60 m de labase del penya-segat. Calculau: (a) L’alturadel penya-segat. (b) La velocitat amb que esllanca el projectil. (c) La velocitat amb quearriba el projectil a l’aigua.

38. Un objecte de 5 kg de massa es deixa cauredes d’una certa altura. A la vegada, i des dela mateixa altura, dos objectes, de 3 i 10 kg,son llancats horitzontalment amb velocitatde 5 i 15 m/s, respectivament. En quin or-dre arriben a terra?

39. Un avio en vol horitzontal amb una velocitatv llanca un objecte cap enrere amb veloci-tat horitzontal –v. Explicau el movimentd’aquest objecte vist per un observador queviatja dins l’avio i per un altre en repos aterra.

40. Que ha de fer un jugador de basquet per es-tar el maxim temps possible a l’aire? Corrermolt de pressa abans de saltar?

41. Volem clavar un dard en una diana el cen-tre de la qual esta per sobre de la nostra maquan llancem. Hem d’apuntar directamental blanc, mes amunt o mes avall? Per que?

42. Una jugadora de golf llanca una pilota desde la gespa amb un angle de 60 i amb unavelocitat de 60 m/s. Calculau: (a) La ve-locitat de la pilota en el punt mes alt de latrajectoria. (b) L’altura maxima que arriba.(c) L’abast.

43. Un atleta vol batre el record de llancamentde pes que es 23 m. Sap que l’abast maxims’assoleix llancant amb un angle de 45. Siel llancament ho realitza des d’una alturad’1, 75 m: (a) Amb quina velocitat mınimaha de llancar el pes? (b) Quant de tempsesta el pes en l’aire fins que cau a terra?

44. Una pedra descansa sobre un barranc, rellis-ca i surt llancada des d’una altura de 400 msobre el fons, amb una velocitat de 50 m/si formant un angle de 60 amb l’horitzon-tal. (a) A quina distancia caura la pedra?(b) Quina sera la velocitat en el moment delxoc?

45. Quina marca hauria aconseguit el mıtic BobBeamon si el seu bot s’hagues realitzat alsarids i pedregosos deserts marcians? (Da-des: la marca de Bob Beamon a Mexic al1968 va ser de 8, 90 m i l’acceleracio dela gravetat a la superfıcie de Mart es de3, 6 m/s2.)

46. Amb quin angle haurıem de botar per talque l’alcada i l’abast siguin iguals?

47. Un intrepid motorista preten botar una fi-la de camions disposats al llarg de 45 m.La rampa d’enlairament es de 20 i aterraen una rampa similar de la mateixa altura.Si en el moment de l’enlairament el seu ve-locımetre marca 90 km/h, quin es el futurimmediat del motorista: la gloria o l’hospi-tal? Demostra-ho.

48. Un expert en tirar faltes es disposa a execu-tar el seu llancament des d’una distancia de20 m de la porteria. La barrera de jugadorscontraris esta a 9 m i la seva altura mitjanaes de 1, 80 m. La velocitat de sortida de lapilota es de 90 km/h, formant 15 amb elterra en direccio a la porta. Sera gol? I siels de la barrera s’acosten?

49. Una persona es tira en caiguda lliure desd’un helicopter que vola a 90 km/h i a30 metres d’altura. Ha de caure sobre unsmatalassos que estan a bord d’un vaixell queviatja a 54 km/h en el mateix sentit. A qui-na distancia horitzontal ha d’estar el vaixellen el moment del bot?

50. Dos equips de basquet es troben empatats apunts; queden breus instants per a que fina-litzi el partit i de sobte un jugador llanca lapilota a cistella amb una velocitat inicial de8 m/s i formant un angle amb l’horitzontalde 30. La cistella es troba a 3 m d’altu-ra sobre un punt que dista del jugador 5 m.

21


Indicau si el seu equip ha guanyat el par-tit, sabent que el jugador, amb els bracosestirats, llanca la pilota des d’una altura de2, 71 m.

51. En els tractors el radi de les rodes de da-vant es menor que els de les rodes de darre-re. Quan es mou un tractor, son iguals lesvelocitats de les rodes de davant que les dedarrere? Explicau-ho, segons consideris lavelocitat lineal o la velocitat angular.

52. Determinau si les afirmacions seguents soncertes o falses:

(a) La velocitat angular es mesura enrad/s.

(b) La velocitat lineal d’un punt de la cir-cumferencia es pot mesurar amb l’anglerecorregut per unitat de temps.

(c) Tots els punt del radi d’una roda debicicleta tenen la mateixa velocitat an-gular.

(d) Tots els radis d’una roda de bicicletatenen la mateixa velocitat angular.

53. En un moviment circular de 5 m de radi, unmobil descriu un arc de 2 m. Determinaul’angle descrit.

54. Un disc de microsurc (LP) gira a 45 rpm.Calculau les velocitat lineal i angular delspunts del disc que disten 2 cm de l’eix derotacio.

55. Calculau els valors de la velocitat i l’acce-leracio centrıpeta amb que es mou el Sol atraves de la Via Lactia sabent que el radi del’orbita Solar es 2, 4 × 1020 m i el perıode6, 3× 1015 s.

56. Un disc de 40 cm de radi gira a 33 rpm.Calculau: (a) La velocitat angular en rad/s.(b) La velocitat angular en rad/s en un puntsituat a 20 cm del centre. (c) El nombre devoltes per minut.

57. El disc dur d’un ordenador gira a 800 rpm ite un radi de 10 cm. Calculau: (a) La velo-citat angular en rad/s i la velocitat lineal enla periferia. (b) L’acceleracio normal. (c) El

perıode i la frequencia. (d) En un temps de20 s, l’angle descrit i les voltes que ha donat.

58. Dos nins han pujat a dos cavalls que girensolidariament amb la plataforma d’uns ca-vallets amb ω = 4 rpm. Si la distancia delscavalls a l’eix de gir es de 2 i 3 m, calcu-lau: (a) La velocitat angular en rad/s. (b)El nombre de voltes que fan els nins en mit-ja hora. (c) L’espai recorregut per cadascunen aquest temps. (d) Quin nin es mou ambmes acceleracio total?

59. Dos mobils surten des d’un mateix punt d’u-na pista circular amb sentit contrari. El pri-mer amb velocitat constant de 108 km/h iel segon amb velocitat angular constant de1/2 volta cada minut. La pista te 1200 m deradi. (a) On es trobaran? (b) Quant tempsha transcorregut?

60. Si la velocitat angular d’un cos que gi-ra es triplica, que li passa a l’acceleraciocentrıpeta?

61. Una roda de 0, 5 m de radi te una accele-racio centrıpeta de 20 m/s2. Determinau elperıode d’aquesta roda i les voltes que hauradonat en un minut.

62. Un satel·lit orbita a 500 km d’altura sobrela superfıcie terrestre. Si tarda 17, 5 h endonar una volta completa a la Terra, deter-minau: la seva velocitat angular, la velocitatlineal i l’acceleracio centrıpeta a la que estasotmes. Dades: radi de la Terra = 6370 km.

63. Un ciclista marxa amb la seva bicicleta demuntanya, les rodes de la qual tenen undiametre de 26 polsades, a una velocitat de25 km/h. (a) Quantes voltes hauran do-nat les rodes en 15 minuts? (b) Quin esel radi de les rodes? (c) Quina velocitat an-gular porten? (d) Quin es el perıode i lafrequencia mentre giren d’aquesta manera?(1 polzada = 2, 54 cm).

64. Un disc de vinil gira a 33 rpm. Quan des-connectam el tocadiscs, el disc triga 5 s enaturar-se. (a) Quina ha estat l’acceleracioangular de frenada? (b) Quantes voltes hadonat fins a aturar-se?

22

2Dinamica

La part de la Fısica que estudia el moviment dels cossos en relacio amb les forces que el produeixen esla dinamica. Els tres principis fonamentals de la dinamica van ser enunciats per Newton (1642-1727)en la seva obra Philosophiae naturalis principia mathematica, mes coneguts com Principia, publicadaa Londres per la Royal Society el 1687. Gracies a aquestes lleis podem predir el moviment d’un cos sien coneixem el seu estat actual i les forces que actuen sobre ell.

2.1 Forces

El concepte fısic de forca es defineix en funcio dels efectes que produeix: una forca es tota accio capacde canviar l’estat de repos o moviment d’un cos, o de produir en ell una deformacio.

2.1.1 La forca com a magnitud vectorial

Els efectes d’una forca depenen de la seva intensitat o modul, direccio, sentit i punt d’aplicacio. Peraquest motiu, direm que les forces son magnituds vectorials. Les forces, a mes, son vectors lliscants,es a dir, el punt d’aplicacio pot estar en qualsevol punt de la recta que el conte sense que l’efecte dela forca variı.

• Modul: Es el valor de la intensitat de la forca i es representa per la llargada del vector.

• Direccio: Es la recta que conte el vector.

• Sentit: Indica l’orientacio de la forca i es representa mitjancant la punta d’una fletxa.

• Punt d’aplicacio: Es el punt on s’aplica la forca.

2.1.2 Unitats de forca

La unitat de forca al Sistema Internacional es el newton (N). Aquesta unitat es defineix a partir delsefectes que produeixen les forces sobre els cossos.

Un newton es la forca que, aplicada sobre un cos d’1 kg de massa, li comunica una acceleracio de1 m/s2: 1 N = 1 kg · 1 m/s

2.

Una altra unitat de forca emprada amb frequencia al Sistema Tecnic, es el quilopond (kp). Elquilopond es la forca amb la que la Terra atrau a un cos d’1 kg de massa situat sobre la superfıcieterrestre, per aixo tambe rep el nom de quilogram-forca. La seva equivalencia amb el newton es:1 kp = 9, 8 N.

23

CAPITOL 2. DINAMICA

2.1.3 Mesura de les forces

En general, per a mesurar una magnitud fısica, cal trobar un fenomen fısic facilment reproduıble alla onla causa productora, en aquest cas la magnitud forca, sigui proporcional a l’efecte mesurat. Els cossospresenten diversos comportaments davant les forces que els deformen. Es denominen elastics els querecuperen la forma inicial al cessar la forca, com les molles, i plastics els que romanen deformats, comla plastilina. Per a mesurar forces, s’aprofita la regularitat observada en els cossos elastics i expressadaper la llei de Hooke.

La llei de Hooke estableix que la deformacio (variacio de longitud) ∆L o ∆x, experimentada peruna molla es directament proporcional a la forca aplicada:

F = −k∆L −→ F = k|∆L| = k|L− L0| 2.1

La constant elastica, k, es caracterıstica de cada molla i representa la forca necessaria per allargar-la una unitat de longitud. El seu valor representa el pendent de la recta del grafic F −∆L i la sevaunitat al Sistema Internacional es el newton per metre (N/m).

Els cossos elastics tenen un lımit d’elasticitat dins els que es compleix la llei de Hooke. Si es superaaquest lımit, el cos no compleix la llei de Hooke i les deformacions poden arribar a ser permanents.

El dinamometre es un instrument emprat per mesurar la intensitat de les forces que es fonamentaen la llei de Hooke. Consisteix en un tub dins el que hi ha una molla. El valor de la forca es llegeix auna escala graduada incorporada a l’aparell.

2.1.4 Principi de superposicio

Quan, sobre un cos, actuen alhora diverses forces aplicades en un mateix punt, l’efecte de totes aquestesforces es equivalent al d’una sola, anomenada forca resultant, FR o FT, que obtenim com a sumavectorial de les anteriors:

FR =∑i

Fi

2.2

El concepte de forca resultant s’aplica nomes a solids rıgids, als que el conjunt de forces tendeix amodificar l’estat de repos o moviment del cos, pero no a deformar-lo.

El calcul de la resultant del sistema de forces que actua sobre un solid rıgid es denomina composiciode forces.

24

2.2. LA FORCA COM A INTERACCIO

Les forces concurrents son les aplicades sobre rectes que es tallen en un punt. Quan calculamla forca resultant d’un sistema de forces concurrents, suposam que totes les forces s’apliquen sobre unmateix punt del solid.

2.2 La forca com a interaccio

Com ja s’ha vist abans, la interaccio entre dos cossos rep el nom de forca. La forca mesura laintensitat de la interaccio que es produeix entre els dos cossos. El moviment d’un cos es el resultat deles interaccions que es produeixen entre aquest cos i els cossos que l’envolten.

Algunes interaccions es produeixen per contacte entre els cossos; per exemple una raqueta quecolpeja una pilota. Pero altres vegades son interaccions a distancia; per exemple, entre la Lluna i laTerra o entre un clau i un imant.

2.2.1 Interaccions fonamentals

La gran varietat de fenomens existents a l’Univers es poden descriure mitjancant quatre tipus de forces,ja que nomes existeixen quatre interaccions fonamentals: nuclear forta, electromagnetica, nuclear feblei gravitatoria.

Interaccio nuclear forta: es la mes intensa, pero d’un abast molt curt, nomes s’aprecia a l’interiordel nucli dels atoms. Els protons, per la seva carrega electrica positiva, es repel·leixen entre si. Lainteraccio nuclear forta es una forca molt intensa que mante units els protons i els neutrons quecomponen el nucli dels atoms. Tambe es la responsable de mantenir units els quarks que formen elsprotons i neutrons.

Interaccio electromagnetica: es la segona en intensitat, aproximadament cent vegades mes petitaque la interaccio forta. Actua sobre les partıcules carregades electricament. Pot ser d’atraccio o derepulsio, segons el signe de les carregues. Es la responsable que les molecules, els atoms (la materiaen general) estiguin units i del funcionament d’un imant. La majoria de fenomens macroscopics sondeguts a la interaccio electromagnetica: forca de friccio, forca elastica, . . .

Interaccio nuclear feble: es d’un abast molt curt, nomes s’aprecia a l’interior del nucli dels atoms.Es molt feble (la seva intensitat es 10−5 vegades la de la interaccio nuclear forta) i es la responsabled’alguns fenomens radioactius com la desintegracio del neutro (decaıment β).

Interaccio gravitatoria: es la mes feble de totes (la seva intensitat es aproximadament 10−39

vegades la de la interaccio forta). Es sempre d’atraccio entre totes les masses i d’abast il·limitat. Esla responsable de l’estructura general de l’Univers.

2.3 Lleis de Newton

2.3.1 Primera llei de Newton: llei d’inercia

La inercia es la tendencia dels cossos a mantenir l’estat de repos o moviment. Es tracta d’unapropietat inherent de la materia.

La primera llei de Newton es pot enunciar de la seguent forma: si sobre un cos no hi actua capforca, o la resultant de totes les forces que hi actuen es zero, el cos esta en repos o es mou ambmoviment rectilini i uniforme.

25

CAPITOL 2. DINAMICA

La primera part de la llei sembla evident: si un cos esta en repos i no hi actua cap forca, roman enrepos; en canvi, la segona part sembla que no es compleix, ja que qualsevol cos que es mogui a propde la Terra s’acaba aturant. La causa es l’existencia de forces de fregament. Una nau espacial prouallunyada de la Terra o d’altres planetes, com que esta lliure d’interaccions, es mou indefinidamentamb moviment rectilini i uniforme.

Un cos lliure o aıllat es un cos que no esta sotmes a cap interaccio, es a dir, un cos lliure no estasotmes a forces exteriors. Realment no hi ha cap cos lliure a l’Univers, ja que tots estan subjectes ainteraccions amb els altres cossos. No obstant aixo, un cos es considera lliure quan esta prou allunyatd’altres perque les seves interaccions mutues siguin menyspreables.

2.3.2 Segona llei de Newton: principi fonamental de la dinamica

Les acceleracions que un cos experimenta son proporcionals a les forces que actuen sobre ell. Aquestaconstant de proporcionalitat es la massa del cos:

F = ma 2.3

Quan, sobre un cos, hi ha dues o mes forces aplicades alhora, cal sumar-les vectorialment pertrobar-ne la resultant. D’aquesta manera s’obte l’equacio fonamental de la dinamica:∑

i

Fi = ma 2.4

A partir d’aquesta equacio es defineix el newton (N) (veure Seccio 2.1.2).

2.3.3 Tercera llei de Newton: llei d’accio i reaccio

Si un cos exerceix una forca (accio) sobre un segon, aquest exerceix simultaniament una altra forcaigual i de sentit contrari (reaccio) sobre el primer.

F1,2 = −F2,1 −→ F1,2 = F2,1

2.5

Caracterıstiques de les forces d’accio i reaccio:

• Encara que una d’elles sorgeix com una reaccio a l’altra, no actuen una primer i l’altra despres,sino que ambdues son simultanies.

• Encara que ambdues forces son oposades, no s’anul·len entre si, ja que s’exerceixen sobre cossosdiferents.

• En determinades ocasions algun dels cossos no resulta accelerat, degut a que posseeix una granmassa o a que existeixen altres forces majors que s’oposen al moviment. Es a dir, forces igualsno impliquen efectes iguals.

Sovint s’exerceixen forces mitjancant cordes o cables metal·lics; per exemple, les cordes de lespolitges, els cables dels ascensors o de les grues. En aquests casos, la corda o el cable transmeten laforca d’un extrem a un altre, i es posen tensos perque estan sotmesos a les forces d’accio i reaccioaplicades en els seus extrems.

En general, rep el nom de tensio, T, la forca que s’exerceix en qualsevol punt d’una corda o laforca que la corda exerceix sobre un cos. Si la corda es inextensible i la massa es menyspreable, lestensions en els extrems de la corda son iguals, pero de sentit contrari, segons el principi d’accio ireaccio.

26

2.4. IMPULS MECANIC I MOMENT LINEAL

2.4 Impuls mecanic i moment lineal

2.4.1 Quantitat de moviment o moment lineal

Si una pilota xoca contra un fanal amb una velocitat de 20 km/h no notarem cap efecte apreciable enel fanal. No obstant aixo, si el que impacta amb el fanal es un camio, encara que tingui la mateixavelocitat, l’efecte es molt mes gran.

Es produeix un fenomen semblant quan canvia la velocitat. L’efecte produıt sobre el fanal no esel mateix si el camio es desplaca a 20 km/h que si ho fa a 50 km/h.

Es clar que quan parlem d’interaccions no tan sols importa la velocitat de les partıcules, sino tambela seva massa. Per aixo necessitem parlar d’una altra magnitud fısica: la quantitat de moviment.

La quantitat de moviment d’un cos o moment lineal, p, es defineix com el producte de lamassa, m, per la velocitat, v:

p = mv 2.6

La quantitat de moviment es una magnitud vectorial. Te la mateixa direccio i sentit que el vectorvelocitat, perque resulta de multiplicar una magnitud escalar, la massa, que sempre es positiva, peruna altra de vectorial, la velocitat. El seu modul es el producte de la massa pel modul de la velocitat.

Aprofitant la definicio d’aquesta nova magnitud, l’equacio fonamental de la dinamica es pot ex-pressar en funcio del moment lineal:∑

i

Fi = ma = m∆v

∆t=mvf −mv0

∆t=

pf − p0

∆t=

∆p

∆t

2.7

o en forma diferencial ∑i

Fi =dp

dt

2.8

Amb el que el segon principi de la dinamica es pot formular de forma alternativa com: la forcaneta que actua sobre un cos durant un determinat temps produeix una variacio del seu moment lineal.

Exemple 2.1

Un vago de massa 5000 kg es mou cap a la dreta amb una velocitat de 3 m/s. Un altre de10 000 kg es mou cap a l’esquerra amb una velocitat de 2 m/s. Xoquen i queden aferrats.Quina sera la velocitat dels vagons despres del xoc?

Resoldrem el problema aplicant el principi de conservacio del moment lineal. En primer lloc compro-vam la condicio sumant totes les forces que actuen sobre el sistema format pels dos vagons. Podemaplicar la primera llei de Newton i com que, abans de xocar, ambdos vagons descriuen un MRU aixoimplica que la suma de forces es 0, llavors:∑

F = 0 −→ p0 = pf

Per tant:

p0 = p10+ p20

= m1v10+mv20

pf = p1f + p2f = m1v1f +mv2f

Com que tot esta sobre l’eix x podem treballar amb moduls.Despres del xoc els cossos queden aferrats, el que implica que v1f

= v2f.

27

CAPITOL 2. DINAMICA

En igualar els moments abans i despres del xoc, tenim:

vf =m1v10 +m2v20

m1 +m2=

5000 · 3− 10000 · 215000

= −0, 33 m/s

La velocitat dels vagons despres del xoc sera de 0, 44 m/s cap a l’esquerra.

2.4.2 Impuls mecanic

En molts casos, les forces actuen durant perıodes de temps limitats, no indefinidament. Per exemple,quan una raqueta colpeja una pilota de tennis i la impulsa cap avant, la raqueta exerceix una forcadurant un curt espai de temps sobre la pilota i, com a consequencia, aquesta adquireix una velocitat.

L’estudi d’aquest tipus d’esdeveniments es fa per mitja de l’impuls mecanic que tracta de descriurela idea d’empenyiment exercit sobre el cos i permet calcular la velocitat que adquireix un cos com aconsequencia de l’aplicacio d’una forca.

L’impuls mecanic, I, d’una forca es el producte d’aquesta forca pel temps que esta actuant sobreel cos:

I = F∆t 2.9

L’impuls s’expressa en N s.La relacio entre el moment lineal i l’impuls, coneguda com a teorema de l’impuls, s’obte a partir

del segon principi de la dinamica:

I = F∆t =∆p

∆t∆t = ∆p

2.10

L’impuls de la forca resultant exercida sobre un cos s’utilitza per variar la seva quantitat demoviment o moment lineal.

2.4.3 Conservacio del moment lineal

Al joc del billar podem comprovar com una bolla llancada amb una certa velocitat s’atura despres dexocar amb una segona bolla, inicialment en repos, i com la segona bolla comenca a moure’s despresdel xoc. La primera bolla ha cedit el seu moment lineal a la segona.

Imaginem un sistema format per diversos cossos que es mouen. El moment lineal de cada un d’ellssera pi = mvi.

Podem definir la quantitat de moviment total del sistema com la suma dels moments lineals detots els cossos: p =

∑i pi.

Si suposam que la resultant de les forces exteriors del sistema es nul·la i aplicam el teorema del’impuls obtenim:

I = F∆t = ∆p −→ ∆p = 0 2.11

Aquesta expressio constitueix el teorema de conservacio del moment lineal i es pot enunciar de laseguent manera: Si la resultant de les forces exteriors sobre un sistema es nul·la, el moment lineald’aquest romandra constant:

∆p = 0 −→ p0 = pf −→ p10+ p20

+ . . . = p1f + p2f + . . . 2.12

El retroces de les armes de foc, els motors a reaccio o l’explosio d’una granada son exemplesd’aquest principi de conservacio:

28

2.5. TIPUS DE FORCES

• Inicialment un cano i un projectil estan en repos, i el moment lineal inicial es zero. Quan esdispara, el cano retrocedeix per compensar el moment lineal guanyat pel projectil.

• En un avio a reaccio, el moment lineal cap endavant de l’avio es igual al moment lineal capendarrere dels gasos d’escapament. A la natura tambe trobam exemples d’aquest sistema depropulsio. Alguns animals, com el calamar, s’impulsen llancant un feix d’aigua en sentit contrari.

• Quan explosiona una granada, els fragments es projecten en totes les direccions i el momenttotal dels fragments despres de l’explosio ha de ser igual al moment de la granada abans del’explosio (nul si estava en repos).

Els xocs es classifiquen en elastics i inelastics segons si es conserva o no es conserva l’energiacinetica del sistema.

El xoc perfectament elastic no existeix en la realitat, pero hi ha situacions que s’hi acosten bastant.

Un cas particular es el xoc totalment inelastic en el qual les partıcules romanen unides despres delxoc. (Ampliarem aquest punt al Bloc 3)

2.5 Tipus de forces

2.5.1 Pes

El pes, P , equival a la forca gravitatoria prop de la superfıcie d’un astre.

P = mg 2.13

La constant g que figura en l’expressio del pes te unitats d’acceleracio i s’anomena acceleraciode la gravetat. En el cas de la Terra, g = 9, 8 m/s

2. Es l’acceleracio amb que cauen tots els cossos

que es troben prop de la superfıcie de la Terra quan es prescindeix de l’existencia de l’aire.

La direccio del pes es radial, i el sentit, cap al centre de la Terra. S’aplica al centre de gravetat del’objecte.

Estudiarem amb mes detall la forca gravitatoria al Capıtol 5.

2.5.2 Normal

Quan un cos es troba sobre una superfıcie rıgida, ambdos interaccionen de manera que aquesta im-pedeix que el cos hi penetri. La forca que fa la superfıcie de suport sobre el cos es denomina reaccionormal o simplement normal, N. Les caracterıstiques de la normal son:

• El modul es el necessari perque el cos no s’enfonsi en la superfıcie sobre la qual es troba. Si elcos se separa de la superfıcie de suport, com que no hi ha contacte, no hi haura forca normal.

• La direccio es perpendicular a la superfıcie de suport.

• El sentit es cap a fora, per impedir que el cos s’hi enfonsi.

No hi ha una expressio general que defineixi el valor de la normal, com passa amb el pes. Pero comque el cos no s’enfonsa ni s’eleva sobre la superfıcie, no hi haura moviment en la direccio perpendiculara aquesta. D’aquesta condicio es pot deduir el valor de la forca normal.

NOTA: la normal no te perque ser igual a una component del pes.

29

CAPITOL 2. DINAMICA

2.5.3 Forca de friccio

Les forces de friccio son aquelles que s’oposen al moviment i que es manifesten en la superfıcie decontacte de dos cossos quan un dels cossos es mou, o tendeix a moure’s, sobre l’altre. Es distingeixendiversos tipus de friccio segons el tipus de contacte que es produeix:

• Friccio viscosa, quan el cos es mou a traves d’un fluid (per exemple, l’aire o un lıquid).

• Friccio per redolament, quan el cos redola sobre un altre.

• Friccio per lliscament, en cas que el cos llisqui sobre l’altre. Aquest curs nomes es tractaraaquest tipus de friccio, la qual es produeix a causa dels contactes microscopics existents entreles partıcules de les dues superfıcies de contacte.

Les forces de friccio es dibuixen sempre paral·leles a la superfıcie de contacte i en sentit contrari ala velocitat, ja que sempre s’oposen al moviment.

Quan s’estira d’un cos situat sobre una superfıcie s’observa que nomes es mou si la forca aplicadate un determinat valor. Aquesta observacio ens obliga a diferenciar dues situacions: quan no hi hamoviment i quan les dues superfıcies llisquen.

Quan no hi ha moviment s’observa que el modul de la forca de friccio te qualsevol valor des dezero fins a un valor maxim. Es a dir, si no hi ha moviment es perque la forca de friccio es, en modul,igual a la forca aplicada. Aquesta forca de friccio s’anomena forca de friccio estatica, Ffs , i prenel seu valor maxim quan el moviment es imminent.

Quan s’inicia el moviment, s’observa que la forca de friccio disminueix i es mante constant duranttot el moviment. Quan el mobil ja esta en moviment, la forca de friccio es denomina forca de fricciodinamica, Ffk .

Els dos tipus de forces de friccio son independents de l’area de contacte i proporcionals a la forcade reaccio normal del pla:

Ffs = µsN Ffk = µkN 2.14

Les constants de proporcionalitat µs i µk es denominen coeficient de friccio estatica i coeficient defriccio cinetica. El valor d’ambdues depen unicament de la naturalesa de les superfıcies de contacte is’expressa com a nombres sense unitats. Sempre es compleix que µk < µs,max.

2.5.4 Forca d’Arquimedes

Si agafem un cos i el pengem d’un dinamometre, aquest ens indicara que el cos fa una forca capavall, que es el pes. A continuacio, l’introduım lentament en un recipient amb aigua, observarem unadisminucio aparent del pes.

Podem arribar a la conclusio que, quan se submergeix un cos en un lıquid, aquest experimenta unaforca cap amunt que contrarresta la forca del seu pes.

30

2.6. DINAMICA DEL MOVIMENT CIRCULAR

La forca vertical i ascendent que experimenten els cossos submergits en un fluid s’anomena forcad’empenyiment, E. Si anomenem pes aparent al pes del cos submergit, la forca d’empenyiment esigual a la diferencia entre el pes real de l’objecte i el pes aparent.

Forca d’empenyiment = Pes real – Pes aparent

Arquimedes (287-212 a.C.) va descobrir que la forca d’empenyiment vertical i cap amunt queexperimenta un cos submergit en un lıquid es igual al pes del lıquid desallotjat. Aquest principi esconeix com principi d’Arquimedes.

E = Plq = mlqg = Vlqρlqg 2.15

Depenent de la relacio entre els moduls del pes i l’empenyiment el cos sura, s’enfonsa o se submer-geix en qualsevol fluid (gas o lıquid). Per tant, podem analitzar la flotabilitat d’un cos a partir de lacomparacio dels moduls de les dues forces:

• Si el pes es superior que l’empenyiment (P > E), el cos s’enfonsa.

• Si el pes es menor que l’empenyiment (P < E), el cos ascendeix.

• Si el pes es igual a l’empenyiment (P = E), el cos es mante en equilibri.

Un cos sura quan el pes del lıquid desallotjat per la part submergida es igual al pes total.Algunes situacions en les que es posa de manifest l’aplicacio del principi d’Arquimedes son els

vaixells, globus aerostatics, submarins, . . .

2.6 Dinamica del moviment circular

Si en qualsevol tipus de moviment varia el modul, la direccio o el sentit del vector velocitat, esprodueix una acceleracio. En el moviment circular uniforme, el modul de la velocitat es constant,pero la direccio, que es tangent a la trajectoria, canvia en cada punt; per tant, existeix una acceleracioperpendicular a la trajectoria, que ates que es dirigeix cap al centre de la circumferencia, s’anomenaacceleracio centrıpeta o normal. El seu valor es:

31

CAPITOL 2. DINAMICA

ac =v2

r= ω2r

2.16

Si existeix una acceleracio centrıpeta, existira tambe una forca centrıpeta en la mateixa direccioi sentit, el valor de la qual, d’acord amb la segona llei de Newton de la dinamica, es:

Fc = mac = mv2

r= mω2r

2.17

on r es el radi de la circumferencia descrita i ω, la velocitat angular.

La resultant de totes les forces que actuen sobre un cos que descriu un moviment circular uniformees la forca centrıpeta. Pot ser produıda per una forca gravitatoria, una corda en girar, una forca defregament o d’un altre tipus.

Si el moviment circular no es uniforme, varia el modul de la velocitat, a mes de l’acceleraciocentrıpeta, existeix acceleracio tangencial. En el moviment circular uniformement accelerat, el modulde la forca centrıpeta no es constant, ja que varia el modul de la velocitat.

2.7 Resolucio de problemes de cos lliure

1. Primer cal identificar el cos el moviment del qual es vol estudiar.

2. Analitzam les interaccions del cos en estudi amb la resta de cossos de l’entorn, tenint en comptetant les que esdevenen a distancia (per exemple, la interaccio d’aquest cos amb la Terra, el pes)com les que esdevenen del contacte amb altres cossos (per exemple, la superfıcie sobre la quales troba, una corda amb que l’arrossegam. . . ).

3. Substituım cadascuna de les interaccions per la corresponent forca que actua sobre el cos. Encaraque, segons el tercer principi de la dinamica, tota interaccio implica una parella de forces, nomesens interessam per la que actua sobre el cos en estudi.

4. Dibuixam el diagrama de forces que actuen sobre el cos, suposant que totes actuen sobre elcentre geometric. Per aixo, dibuixam nomes el cos, i substituım cadascun dels cossos amb queinteracciona per la forca que actua sobre el cos d’estudi. Aixı obtenim el diagrama del cos lliure.

5. Utilitzant el sistema de referencia mes adequat al tipus de moviment que faci el cos, calculamles components de cada forca. Se substitueixen les forces que actuen sobre el cos per les sevescomponents.

6. Aplicam la segona llei de Newton i obtenim la relacio entre les components de la resultant i lesde l’acceleracio que experimenta el cos:

32

2.7. RESOLUCIO DE PROBLEMES DE COS LLIURE

∑Fx = max

∑Fy = may

2.18

Les caracterıstiques del moviment ens proporcionaran informacio sobre les components de l’acce-leracio. Si el cos es troba en repos o es mou amb velocitat constant, l’acceleracio es nul·la.

En el cas de tenir un moviment circular, conve fer l’eleccio del sistema de referencia de forma queun dels eixos coincideixi amb la direccio del radi de gir, ja que en aquest eix tendrem que l’acceleraciosera igual a l’acceleracio centrıpeta del moviment.

Exemple 2.2

Calculau l’acceleracio del sistema de la figura i la tensio de la corda si el coeficient de fricciocinetic entre el primer cos i la superfıcie es 0,2.

Tractarem la corda com una corda inextensible i sense massa, per tant, l’acceleracio dels dos cossosha de tenir el mateix valor.

Es tracta d’un sistema de dos cossos que pot presentar tres situacions dinamiques diferents: (a) queel cos A de 12 kg baixi pel pla inclinat; (b) que el cos A puji pel pla inclinat; (c) que el sistema esmantengui en repos.Per comencar a resoldre el problema necessitam elegir una de les tres situacions anteriorment des-crites i al finalitzar comprovar que els resultats son coherents amb el que s’esperava. En el nostrecas elegirem la situacio (a).Un cop elegit el sentit del moviment podem dibuixar totes les forces que actuen sobre els cossos queformen el sistema (cos A i cos B) i elegir uns eixos per a cada cos. Conve, per facilitar els calculs,que un dels dos eixos coincideixi amb la direccio del moviment

A continuacio aplicam la segona llei de Newton a cada un dels cossos per relacionar cada una de lesdues components de la forca resultant amb la corresponent component de l’acceleracio. Recordemque ambdos cossos tenen la mateixa acceleracio en modul i unicament canvia el signe: el cos A esmou en el sentit negatiu de l’eix x i, per tant, la seva acceleracio es a = (−a, 0). En el cas del cosB, l’acceleracio es en el sentit positiu de l’eix y, es a dir, a = (0, a).Cos A:

T + FfA − PAx = −mAa −→ T + µN −mAg sin 30 = −mAa

N − PAy = 0 −→ N = mAg cos 30

33

CAPITOL 2. DINAMICA

Cos B:

T − PB = mBa −→ T = mBa+mBg

Podem resoldre el sistema format per les equacions anteriors per obtenir els valors de l’acceleracioi de la tensio: a = 1, 34 m/s2 i T = 22, 3 NEns queda una darrera passa que es comprovar que el resultat de l’acceleracio es coherent amb lanostra hipotesi inicial. Hem obtingut una acceleracio positiva, que combinat amb l’eleccio dels signesde les components de l’acceleracio fa que el resultat sigui l’esperat. Si hagues sortit una acceleracionegativa indicaria que el sentit del moviment elegit es incorrecte i haurıem de comencar el problemade nou, invertint en el cas que sigui necessari les forces de friccio (recordau que sempre s’oposen alsentit del moviment).

Exemple 2.3

Una bolla de 0,5 kg de massa esta unida a l’extrem d’una corda de longitud 1 m gira descrivintun cercle horitzontal amb velocitat constant mentre la corda recorr la superfıcie d’un con de30o. Quina es la velocitat del cos?

A la figura es mostra el diagrama de cos lliure del cos, on la tensio exercida per la corda es descomposaen una component vertical, Ty = T cos θ, i una component que actua cap al centre de rotacio,Tx = T sin θ.Aplicam la segona llei de Newton als dos eixos:

Ty − P = 0 −→ Ty = p −→ T cos θ = mg

Tx = mac −→ T sin θ = mv2/r

Combinant les dues equacions tenim que:

T sin θ

T cos θ=mv2/r

mg−→ tan θ =

v2

rg−→ v =

√rg tan θ

Podem relacionar el radi de la trajectoria r amb la longitud de la corda L: r = L sin θ. Amb aixola velocitat del cos sera:

v =√rg tan θ =

√gL sin θ tan θ = 5, 26 m/s.

2.8 Sistemes de referencia

Fins ara hem realitzat l’estudi dels moviments utilitzant un sistema de referencia del qual no hemespecificat el seu tipus. Ara que ja hem estudiat les lleis de Newton podem entendre la diferencia

34

2.8. SISTEMES DE REFERENCIA

existent entre els dos tipus de sistemes de referencia que existeixen: els inercials i els no inercial.

Dins l’ambit de la mecanica newtoniana definim un sistema de referencia inercial (SRI) conun sistema de referencia en el que els moviments compleixen les lleis de Newton. O dit d’una altraforma, son aquells en que el moviments es pot descriure utilitzant unicament forces reals.

Per altra banda, un sistema de referencia no inercials (SRNI) es un sistema de referencia querequereix de la introduccio de forces fictıcies per tal que es compleixin les lleis de Newton.

2.8.1 Sistemes de referencia inercials

En els SRI no apareixen forces fictıcies per descriure el moviment de les partıcules. Tota variacio dela trajectoria es deguda a una forca real.

Donat un SRI, qualsevol altre sistema de referencia que es trobi desplacat, girat i/o que es moguien velocitat lineal constant respecte al primer, tambe sera inercial.

Es el tipus de sistemes de referencia que hem utilitzat , i seguirem utilitzant, durant aquest curs.

Si ens trobam dins un SRI, per exemple un tren sense finestres i sobre una via que no li provoquivibracions, no existeix cap experiment mecanic que ens permeti determinar si ens trobam en repos oen moviment rectilini uniforme.

2.8.2 Sistemes de referencia inercials

Per tractar els SRNI es poden seguir dues aproximacions distintes, les quals queden fora de l’abastd’aquest curs. La primera es la utilitzacio de les forces fictıcies o inercials, les quals no son realitzadesper cap partıcules i tenen a veure amb la rotacio o acceleracio del sistema de referencia. La segona esuna generalitzacio de les lleis de Newton a una forma mes general: mecanica lagrangiana i mecanicahamiltoniana.

Un sistema en rotacio o en moviment accelerat respecte a un SRI dona lloc a un SRNI en el qualno es compleixen les lleis de Newton. En aquest sistema, per tal de justificar el moviment, hauremd’introduir forces fictıcies que depenen del sistema.

Com que aquestes forces fictıes no son realitzades per cap cos, no s’aplica la tercera llei de Newton.Algunes de les forces fictıcies mes conegudes son la forca de Coriolis i la forca centrıpeta.

Si consideram que tenim un cotxe que circula per una rotonda amb un pendol penjat al sostre,veurıem que si el gir es cap a la dreta, el pendol forma un angle respecte a la vertical cap a l’esquerra.

Si analitzam el pendol des de un SRI, per exemple ubicat al centre de la rotonda, veurem que labolla del pendol descriu una trajectoria circular, la qual podem descriure perfectament considerantles forces reals del sistema: el pes i la tensio. Podem observar com la component x de la tensio es laresponsable de l’acceleracio centrıpeta del pendol.

En canvi, si elegim un SRNI, el conductor del cotxe, veim que el pendol esta en repos separat dela vertical. En aquest cas, la suma vectorial del pes i la tensio no ens permet descriure la situaciod’equilibri del sistema i, per tant, cal recorrer a la introduccio d’una forca fictıcia, la forca centrıpeta,que ens permeti equilibrar-ho.

35

CAPITOL 2. DINAMICA

La forca de Coriolis es una forca fictıcia associada, entre altres coses, al moviment de massesd’aire a l’atmosfera i aigua als oceans. Es la causa que els ciclons girin en sentit antihorari a l’hemisferiNord i antihorari en l’hemisferi Sud.

Activitats

1. Una molla de constant elastica 150 N/m teuna longitud de 35 cm quan no s’aplica capforca sobre ella. Calculau: (a) La forca ques’ha d’exercir sobre la molla per a que la se-va llargada sigui de 45 cm. (b) La longitudde la molla quan s’aplica una forca de 63 N.

2. La longitud d’una molla augmenta 1, 0 cmquan s’hi penja un objecte d’1, 5 kg de mas-sa. (a) Quina es la constant elastica de lamolla? (b) Quan es penja un altre objectede la molla, aquesta s’allarga 3 cm. Quinaes la massa d’aquest objecte?

3. Si la constant k de la molla es de 100 N/mcalcula l’estirament que sofrira en els doscasos de la figura. Repeteiu el primer casconsiderant que el coeficient de fregamentes 0, 3.

4. A partir del sistema de forces seguent, calcu-lau el modul de F1 i F2 perque el cos estiguien equilibri.

5. Sobre una partıcula de massa m = 500 kg hiactuen les forces F1 = i− 2j i F2 = 2i + 4j,expressades en N. (a) Quina es l’expressiovectorial de la forca resultant? (b) Quin es el

vector acceleracio de la partıcula? (c) Quines el modul de l’acceleracio?

6. El bloc de 45 kg representat a la figura estroba en repos sobre una superfıcie horitzon-tal llisa. Calculau l’acceleracio, la velocitat iel desplacament 3 segons despres d’aplicar-lila forca F = 250 N.

7. Un bloc de massa m = 6 kg esta en repos so-bre una superfıcie horitzontal llisa. Quan hiactua damunt una forca constant, li trans-met una acceleracio de 8, 5m/s2. Calcula elvalor de la forca: si es paral·lela a la su-perfıcie i si forma un angle de 30 amb l’ho-ritzontal.

8. Un ascensor que transporta un passatgerde 70 kg es mou amb una velocitat deregim constant, i quan es posa en funcio-nament o s’atura, ho fa amb una acceleraciod’1, 4 m/s2. Calcula la forca que exerceixel passatger sobre el terra de l’ascensor enels casos seguents: l’ascensor arrenca per apujar, l’ascensor frena i s’atura a la pujada,l’ascensor descendeix a velocitat constant.

9. Una bolla de 225 g xoca a 10 m/s amb unaaltra bolla de 175 g que esta en repos. Cal-culau la velocitat final de la primera bollasi la segona bolla surt amb una velocitat de9 m/s en la direccio i el sentit inicials de laprimera.

10. Dos patinadors de masses 50 kg i 75 kg esmouen en la mateixa direccio i en sentit opo-sat amb velocitats respectives de 4 m/s i

36


2 m/s. De sobte xoquen i queden abracats.Calculau la velocitat final de ambdos pati-nadors.

11. Una bolla de billar xoca a una velocitat de5, 2 m/s contra una altra bolla igual que estaaturada. Despres del xoc, la primera bollaes mou en una direccio que forma 30 ambla seva direccio inicial, i la segona bolla, enuna direccio que forma −60 amb la direccioinicial de la primera. Calculau la velocitatfinal d’ambdues bolles.

12. Un projectil que realitza un vol horitzontala 383 m/s explota i es divideix en dos frag-ments d’igual massa. El primer fragmentsurt en una direccio que forma 20 amb ladireccio inicial del projectil, i el segon, enuna direccio que forma −30 amb la direc-cio del projectil. Calculau la velocitat finald’ambdos.

13. Una pilota de 75 g de massa arriba a la pa-ret d’un fronto amb una velocitat de 16 m/si rebota amb una velocitat de 12 m/s. Eltemps de contacte amb la paret es de 0, 03 s.Calculau: la variacio que experimenta el mo-ment lineal de la pilota i la forca mitjana queactua sobre la pilota.

14. En un joc de fira disparam, un petit balı deplom de 8 g de massa amb una escopeta d’ai-re comprimit de 3, 5 kg de massa. El balısurt amb una velocitat de 68 m/s i sabemque la forca impulsora ha de durar 0, 085 s.Calculau: (a) Quin ha estat l’impuls que s’-ha comunicat al balı? (b) Quina forca mit-jana s’ha efectuat sobre ell? (c) Quina es lavelocitat de retroces del fusell?

15. Dos vagons de masses 40 000 i 30 000 kg cir-culen en la mateixa direccio i sentit. El vago

menys pesant circula davant, i es mou a unavelocitat de 0, 5 m/s mentre que el mes pe-sant es mou a 1 m/s. Arriba un moment quetopen i s’acoblen. Calculau: la quantitat demoviment total del sistema abans i despresdel xoc i la velocitat amb que es mouen elsvagons despres del xoc.

16. Determinau el valor de la forca normal queactua sobre un cotxe de 1200 kg de massa alsseguents casos: (a) El cotxe circula per unacarretera horitzontal. (b) El cotxe puja unarampa inclinada 30 respecte l’horitzontal.

17. Sobre una roca recolzada a terra exercimuna forca F cap a dalt que forma un anglede 30 amb l’horitzontal. Calculau la massade la roca si el valor mınim de F per a quela roca es separi del terra es de 392 N.

18. Una persona de 64 kg de massa esta sobreuna bascula a l’interior d’un ascensor. Indi-cau que marcara la bascula quan l’ascensores mogui amb una acceleracio de 3, 5 m/s2

dirigida cap a dalt.

19. Una esfera de 200 kg es troba entre un plainclinat i una paret. Determinau el valor deles forces de contacte que realitza la bollasobre el pla inclinat i la paret.

20. Un cos penja del sostre segons l’esquema dela figura. Calculau les tensions de les cor-des que el subjecten. Suposem cordes demassa menyspreable i longitud inextensible.Aplicacio numerica: α = 30 , β = 54 (elsangles estan mesurats repecte de la vertical)i m = 10 kg.

37

CAPITOL 2. DINAMICA

21. Quina massa conseguiria equilibrar el siste-ma de politges multiples de la figura?

22. Determinau les tensions i masses desconegu-des dels sistemes en equilibri que es repre-senten a continuacio:

23. Un cos de 20 kg es troba sobre un pla in-clinat de 30o. Si deixam caure un cos desd’una altura de 20 m calculau: (a) Velocitatamb que arriba el cos a terra. (b) El tempsque tarda en arribar a terra. (c) Torna a cal-cular els apartats anteriors si el coeficient defriccio es 0, 20.

24. Tiram des del terra una bolla cap a dalt ambuna velocitat de 15 m/s per un rampa queforma 20o amb l’horitzontal. (a) Quant tar-da en arribar al punt mes alt? (b) Quina al-tura maxima assoleix? (c) Quina distanciaha recorregut per la rampa? (d) Quanttarda en arribar una altra vegada a ter-ra? (e) Amb quina velocitar arriba a terra?(f) Tornau a calcular els apartats anteriorssuposant que el coeficient de friccio es 0,15.

25. Un cotxe inicia una pendent del 10 %, ambuna velocitat de 72 km/h. (a) Quin recorre-gut podra fer en aquesta rampa si ha aturatel motor? (b) Quant de temps tarda fins ques’atura completament?

26. Dissenyau una experiencia mitjancant laqual es pugui mesurar el coeficient de fre-gament estatic.

27. Sobre un cos de 20 kg de massa s’exerceixuna forca de 100 N la direccio de la qual for-ma un angle de 37o amb l’horitzontal. Cal-culau la forca de fregament i l’acceleracioamb que s’arrossega el cos si el coeficient defriccio es 0, 20.

28. Un cos de 20 kg es troba sobre un pla incli-nat 37o, amb un coeficient de fricio de 0, 20.Sobre aquest cos exercim una forca horitzon-tal de 300 N i el cos ascendeix per la rampa.Calculau: (a) La forca de friccio. (b) L’ac-celeracio. (c) El temps que tarda en recorrer3 m des de que comenca a pujar.

29. Una bolla de ferro de 2 kg fermada per unacorda penja del sostre d’un vago sense fines-tres d’un tren. De repent s’inclina 30o res-pecte de la vertical. (a) Quin es el sentit demoviment del vago? (b) Quina es l’accelera-cio de frenada? (c) I la tensio de la corda?

30. Quina acceleracio mınima hem decomunicar-li a la pantalla A de la figura,

38


si volem que el bloc B no caigui? El co-eficient de friccio estatic entre el bloc i lapantalla es 0, 4.

31. Es vol pujar un cos de 100 kg al llarg d’unpla inclinat 45 respecte a l’horitzontal. Siel coeficient de friccio cinetic es de 0, 4, cal-culau: (a) la forca de friccio, (b) la forca ques’haura d’aplicar paral·lelament al pla per aque el cos pugi amb velocitat constant.

32. S’exerceix una forca de 12 N en direccio ho-ritzontal contra un bloc A, de 4 kg de massa,que al mateix temps empeny un altre blocB, de 2 kg. Calculau l’acceleracio del sis-tema i la forca que exerceix cada un delsblocs sobre l’altre, sabent que els coeficientsde friccio dinamics entre els blocs A i B i lasuperfıcie son, respectivament, 0, 1 i 0, 2.

33. Dels extrems de la corda d’una corriola pen-gen dos cossos de 0, 5 kg i 0, 4 kg. Calculau:(a) L’acceleracio del sistema. (b) La tensiode la corda.

34. La corriola de la figura no te massa, ni fric-cio al seu eix. Es deixen els blocs en llibertati es demana quina sera la velocitat de cadaun dels blocs quan un d’ells hagi baixat 4 m.

35. Sabent que en el sistema de la figura el coe-ficient de friccio dinamic entre el bloc i la su-perfıcie es 0, 25, calculau: (a) L’acceleraciodel moviment. (b) La tensio de cada corda.

36. En el sistema de la figura, alla on el coefici-ent de friccio dinamic entre els blocs de 15 i20 kg i la superfıcie de la taula es de 0, 25, esdemana calcular: (a) L’acceleracio del mo-viment. (b) La tensio de les tres cordes.

37. Dos blocs de 300 kg i 40 kg descansen sobredos plans inclinats. Estan lligats per unacorda de massa menyspreable que passa peruna corriola sense friccio. El coeficient defriccio dinamic entre els blocs i els plans esde 0,3. Calculau, emprant g = 10 m/s2:(a) L’acceleracio amb que es mou el siste-ma. (b) La tensio de la corda.

38. Calculau el valor de la forca amb que hemd’estirar el cos A de la figura perque el cos Bes desplaci 2 m cap a la dreta en 4 s haventpartit del repos. Calcula u la tensio de lescordes 1 i 2.

39

CAPITOL 2. DINAMICA

39. Calculau l’acceleracio del sistema de la figu-ra i la tensio de la corda si: (a) no hi hafriccio; (b) si el coeficient de friccio cineticentre el cos 1 i la superfıcie es de 0, 3.

40. El bloc de la figura, de 7 kg de massa, estarecolzat sobre un pla inclinat 60 sobre l’ho-ritzontal i subjecte per un ressort que expe-rimenta un allargament de 16, 4 cm. Quinaes la constant elastica de la molla?

41. Els tres blocs de la figura es troben en con-tacte. Si sobre el primer bloc actua unaforca de 25 N. (a) Calculau l’acceleracio delconjunt. (b) Establiu un diagrama de forcesper cada cos i la forca neta que actua so-bre cada un. (c) Repeteiu el problema si elcoeficient de fregament amb el terra es 0, 2.

42. Quant ha de valer la massa mc de la figuraper tal que el sistema estigui en equilibri sima = 5 kg, mb = 10 kg i µ = 0, 2.

43. Determinau quant s’estira la molla en cadacas:

44. Calculau l’acceleracio en el seguent sistemaconsiderant que m1 > m3 > m5 > m7. Ex-pressau el resultat en funcio de les masses ila gravetat. No hi ha fregaments.

45. Un cos m de 200 g de massa descriu unacircumferencia de 50 cm de radi sobre unataula horitzontal i fa 2 voltes per segon. Lamassa es troba unida mitjancant una cordaque passa per un orifici de la taula a una al-tra massa, M , que penja verticalment. Cal-culau: (a) L’acceleracio del cos m. (b) Latensio de la corda. (c) El valor de M perquees donin les condicions de l’enunciat.

40


46. Un cotxe de 2000 kg pren una corba planade 100 m de radi a la velocitat de 90 km/h.(a) Calculau la forca de friccio que ha d’e-xistir entre els pneumatics i la carretera pera que el vehicle no derrapi. (b) Calculau lamaxima velocitat amb la que el cotxe potprendre la corba sense derrapar, si el coefi-cient de friccio estatic entre els pneumaticsi la carretera es µe = 0, 2.

47. Trobau l’expressio de la velocitat maximaamb que es pot prendre un revolt peraltatde radi R i angle θ si hi ha friccio entre elspneumatics i l’asfalt.

48. El sistema adjunt representa un cos de mas-sa m = 2 kg que es mou descrivint unatrajectoria circular en contacte amb la su-perfıcie lateral d’un con d’angle φ = 30 permitja d’una corda de longitud L = 2 m. Sila superfıcie no ofereix friccio. (a) Plante-jau les equacions permeten determinar elsvalors de la tensio de la corda i la reacciodel pla en funcio de la velocitat angular ω.(b) Calculau els seus valors quan el cos giraa π/5 rad/s. (c) Calculau la velocitat angu-lar a la que el cos perdra el contacte amb lasuperfıcie del con.

49. Un cos puntual es mou sobre un carril comel representat. Coneguts els radis de curva-tura i les velocitats de pas pels punts 1, 2 i 3determinau: (a) La forca normal que exer-ceix el carril sobre el cos a aquests punts.(b) La maxima velocitat amb la que podriapassar pel punt 3 per no separar-se del terra.(c) Aplica-ho al cas m = 50 kg ; v1 = 10 m/s; v2 = 10 m/s; R = 5 m.

50. Quina velocitat mınima ha de dur un ciclistaper voltar un ”ris de la mort”de radi 10 m?(suposam que no hi ha fregament)

51. Al llancar amb una fona una pedra de 100 g,exercim sobre les corretges una forca de200 N. La pedra descriu cercles de 20 cmde radi en un pla vertical i el moviment po-dem suposar que es un MCU (a) Amb quinavelocitat sortira disparada la pedra quan lasoltam des del punt mes baix? (b) Quinaforca exercim si descriu cercles de 30 cm deradi amb la mateixa velocitat?

52. Una roda de fira de 30 m de diametre giraa una velocitat constant de 6 rpm amb unapersona de 75 kg. Dibuixa i calcula en elpunt mes alt i en el punt mes baix: (a) l’ac-celeracio; (b) la forca centrıpeta; (b) la forcanormal. (c) que significa la forca normal?

53. Una massa de 2 kg esta lligada a l’extremd’una corda. Si el cos descriu una trajectoriacircular d’1 m de radi en un pla vertical smbun velocitat constant de 5 m/s, calculau: (a)La tensio en el punt mes alt de la seva tra-jectoria. (b) La tensio en el punt mes baix.

54. Una poal esta lligat a una corda de 60 cm. Elpoal conte aigua, la massa del poal mes l’ai-gua es de 3 kg. Calculau la velocitat mınimaper aconseguir que no vessi aigua en passarper la posicio mes desfavorable de la tra-jectoria circular en el pla vertical?

41

CAPITOL 2. DINAMICA

55. Una partıcula es mou per l’interior d’un car-ril de radi R que es troba a un pla vertical.(a) Dibuixau i calculau la forca que exerceixel carril sobre el cos quan passa pels punts1, 2, 3 i 4 suposant conegudes les velocitats.(b) Determinau la mınima velocitat que potdur al punt 3 per no caure.

56. Una atraccio de fira consisteix en un cilin-dre de radi R que pot girar al voltant d’uneix vertical dins el qual ens col·locam drets.A un moment donat desapareixera el ter-ra del cilindre. Demostrau que la mınimavelocitat angular amb la que ha de girarel cilindre per a que no ens caiguem es:ωmın = [g/(µR)]1/2.

57. Un disc com el representat gira amb una ve-locitat angular coneguda. Sobre ell es trobauna partıcula de massa m sotmesa a friccioamb el disc de coeficient µ conegut. Calcu-lau la maxima distancia R a la que es pottrobar per no lliscar.

58. Una balanca de molla marca mg quanens col·locam damunt d’ella al pol terres-tre. (a) Calculau el que marcaria si enscol·locam a l’Equador per efecte de la ro-tacio terrestre suposats el radi terrestre i elperıode de revolucio (un dia). (b) Calculauel perıode de rotacio que hauria de tenir laTerra per a que la balanca a l’Equador ambnosaltres al damunt marcas zero.

59. A l’atraccio de fira del dibuix, calculau eltemps que tarda en donar una volta si R =5 m; L = 4 m i φ = 30 . Observau que elresultat no depen del pes de la persona.

60. Una curva de 40 m de radi te un angle deperalt θ per tal que un cotxe pugui agafaruna curva sense derrapar a 60 km/h. Essuposa que no hi ha fregament. Calculaul’angle de peralt.

61. Un cos de 3 kg esta penjat d’un fil inexten-sible i sense massa de 1 m de longitud, l’ex-trem oposat del qual es troba fixat al sostre.El cos descriu una circumferencia de 50 cmde radi en un pla horitzontal. Calculau latensio del fil i el modul de velocitat. Si enun cert instant es romp el fil, determinau elmodul de la velocitat en el moment en el queel cos arriba al terra, si tenim en compte queel sostre esta a 3 m d’altura.

42

3Energia

A fısica definim energia com a la capacitat per realitzar un treball per part d’un cos. Es una propietatde tots els cossos de la natura. Aquesta definicio es unicament aplicable al cas de l’energia mecanica,pero la complexitat de definir un concepte tan abstracte com l’energia ens fa impossible trobar unadefinicio mes adequada.

Una de les propietats mes importants de l’energia es que aquesta no es pot crear ni destruir, sinoque s’ha de conservar. L’energia es transfereix d’un cos a un altre de dues formes diferents: en formade treball i en forma de calor.

3.1 Treball mecanic

El treball es la transferencia d’energia que es produeix quan una forca produeix un desplacament.Per tant, el treball augmenta l’energia d’un cos en la mateixa quantitat que el treball realitzat.

Per tant, per tal que hi hagi treball necessitam una forca el punt d’aplicacio de la qual es mogui.Una forca estacionaria no produeix treball.

Deim que el treball es el producte escalar de la forca pel desplacament. Es a dir:

W = F ·∆r = F∆r cos θ 3.1

on F es la forca aplicada sobre l’objecte, ∆r es el desplacament i θ es l’angle que formen la forca i eldesplacament.

La unitat de treball al Sistema Internacional es el joule (J), el qual es defineix com el treballrealitzat per una forca d’1 N que es desplaca 1 m.

Conve fer una serie de reflexions sobre el concepte de treball. En primer lloc ens hem de fixarque el treball no es el producte de la forca pel desplacament. Pel que fa al treball, nomes compta lacomponent de la forca en la direccio del desplacament. Si una forca es perpendicular al desplacamentdel cos sobre el qual actua, el treball realitzat sera zero. De fet, es molt util pensar quan es zero eltreball realitzat per una forca. Tenim tres casos possibles.

• Si la forca es zero. En aquest cas l’objecte descriu un MRU.

• Si el desplacament es zero. L’objecte no es mou com el cas d’una persona dreta sobre el terra.

43

CAPITOL 3. ENERGIA

• Si la forca es perpendicular al desplacament. En aquest cas tenim un moviment circular uniforme.Aquest es un cas molt habitual i interessant que ens serveix de model per gran quantitat desituacions que ens trobarem com ara: un planeta orbitant al voltant del sol, una pedra voltejadaamb una corda, un electro dins un atom d’hidrogen i un proto que entra perpendicular a uncamp magnetic, . . .

Quan el cos es desplaca en el mateix sentit que la forca (θ = 0), el treball es positiu i s’anomenatreball motor. Per contra, si la forca i el desplacament tenen sentits contraris (θ = 180), el treballes negatiu i s’anomena treball resistent. En el cas del treball realitzat per forces de fregament aquestsempre sera negatiu.

3.1.1 Interpretacio grafica del treball

Es pot donar una interpretacio grafica al treball realitzat per una forca col·locant sobre l’eix d’abscissesel desplacament i sobre l’eix d’ordenades la projeccio de la forca sobre la direccio del desplacament.El treball realitzat per la forca sera l’area sota la corba. En casos senzills l’area es podra calculargeometricament. En casos mes complicats haurem de recorrer a la integracio (la qual veureu el cursseguent).

3.1.2 Potencia

El mateix treball es pot fer en mes o menys temps. Com menys temps sigui necessari per realitzarun mateix treball, mes eficac sera la forca. La velocitat a la qual es realitza un treball rep el nom depotencia i es defineix com:

P =dW

dt−→ P =

∆W

∆t

3.2

A partir de la definicio de treball es pot comprovar com la potencia tambe es pot definir a partirde la velocitat mitjana a que es desplaca el punt d’aplicacio de la forca:

P =W

∆t=F∆x

∆t= Fvm

3.3

En el Sistema Internacional la unitat de potencia es el watt (W): 1 W = 1 J/s.Tot i que tambe s’utilitza de forma generalitzada el cavall de vapor: 1 CV = 735, 5 W.A partir de la definicio de kW es pot obtenir una unitat alternativa per al treball, el quilowatt

hora o kWh. 1 kWh es el treball realitzat durant una hora amb una potencia d’1 kW:

W = Pt −→ 1 kWh = 1 kW · 1 h = 1000 Js−1 · 3600 s = 3, 6× 106 J

Cap maquina real es capac d’aprofitar tot el treball que realitza (treball motor) a causa de l’e-xistencia de les forces de fregament (treball de fregament). El treball real que desenvolupa la maquinas’anomena treball util i es compleix que Wmotor + Wfregament = Wutil. Cal recordar que el treball defregament es sempre negatiu.

44

3.2. ENERGIA CINETICA

Podem definir el rendiment d’una maquina com el coeficient entre el treball util i el treball motoro entre la potencia util i la potencia motora i s’acostuma a expressar en tant per cent:

η =Wutil

Wmotor· 100 =

Putil

Pmotor· 100

3.4

3.2 Energia cinetica

A continuacio analitzarem en que es tradueix el treball que fa una forca sobre un cos. Farem uncalcul senzill en el cas que sobre un cos actua una forca que provoca un desplacament horitzontal ambacceleracio constant entre dues posicions x1 i x2, obtenim:

W = F∆x = ma∆xv2

2 − v21 = 2a∆x

−→W =

m(v2

2 − v21

)2

=1

2mv2

2 −1

2mv2

1 = Ec2 − Ec1 = ∆Ec

on Ec es l’energia cinetica deguda al moviment del cos:

Ec =1

2mv2

3.5

El treball de la forca total que actua sobre un cos es igual a la variacio de l’energia cinetica de ditcos. Aquest teorema rep el nom de teorema de les forces vives (W = ∆Ec).

Quan el treball es positiu, l’energia cinetica del cos augmenta. Quan es negatiu, l’energia cinetica,i per tant la velocitat, disminueix.

3.3 Energia potencial

3.3.1 Forces conservatives i dissipatives

Imaginem dos experiments. El primer consisteix en llancar una massa que es mou amb velocitatcontra una molla. El segon consisteix en llancar la mateixa massa amb la mateixa velocitat i fer-laentrar en una zona on existeix fregament. Quina diferencia existeix entre ambdos casos?

En el cas de la molla, la massa s’atura, rebota i torna amb la mateixa energia cinetica. Hemutilitzat tota l’energia de la massa per fer un treball sobre la molla i despres la molla ha tornat total’energia a la massa. Es diu que la forca elastica de la molla es conservativa.

En el cas del fregament, la forca de fregament ha fet un treball sobre la massa pero, una vegadaque la massa esta aturada, la forca de fregament no li torna l’energia. El fregament es una forcadissipativa.

A la practica, les forces elastica, gravitatoria, electrica, . . . son forces conservatives. L’unicaforca dissipativa, o tambe anomenada no conservatica, sera la forca de fregament.

3.3.2 Energia potencial

En el cas de forces conservatives podem definir una magnitud, l’energia potencial, de la seguentmanera:

W = −∆Ep

3.6

L’energia potencial Ep es l’energia associada a la posicio. Un cos te energia potencial si potrealitzar treball en canviar la seva posicio. Exemples de situacions amb cossos que tenen energiapotencial son un objecte elevat, una molla comprimida, . . .

45

CAPITOL 3. ENERGIA

Energia potencial elastica

Un objecte elastic deformat, com ara una molla, una goma o una vareta d’acer, pot emmagatzemarenergia potencial elastica. L’expressio de la seva energia potencial dependra del que estigui deformati de la forca necessaria per deformar-lo. L’expressio de l’energia potencial elastica es:

Epe =1

2kx2

3.7

on k es la constant elastica de l’ojecte, mesura en N/m; x es la deformacio de l’objecte mesurada desde la seva forma original. En el cas d’una molla seria l’allargament des de la posicio d’equilibri en laqual cap forca actua sobre la molla.

Energia potencial gravitatoria

Aixecar un pes costa un cert treball que ens es retornat en forma d’energia cinetica si l’amollam.Sembla intuitiu que el treball necessari sigui proporcional a la massa de l’objecte i a l’altura assolida,pero tambe a la acceleracio de la gravetat. Aquesta intuicio es correcta i resulta que l’energia potencialgravitatoria es:

Epg = mgh 3.8

on m es la massa de l’objectem g es l’acceleracio de la gravetat prop de la superfıcie terrestre i h esl’altura assolida per la massa.

Es necessari fer dues precisions sobre l’energia potencial gravitatoria.En primer lloc hem de tractar el problema de l’origen de l’energia potencial. Es a dir, des d’on

mesuram l’altura? La resposta es que podem mesurar l’altura des de qualsevol nivell. El que realmet teimportancia no es el valor absolut de l’energia sino les variacions d’energia potencial que corresponena variacions d’altura.

En segon lloc, aquesta expressio de l’energia potencial gravitatoria nomes es valida a prop de lasuperfıcie terrestre. Es a dir, si podem considerar que l’acceleracio de la gravetat es constat. Aquestaexpressio no es valida per exemple per l’energia potencial d’un satel·lit artificial. L’expressio generalde l’energia potencial gravitatoria es:

Epg = −GMm

r

3.9

on m i M son les masses dels objectes separades una distancia r i G es la constant de gravitaciouniversal.

3.4 Principi de conservacio de l’energia

Si assumim que el nostre sistema esta aıllat i que no hi ha forces de fregament no tendrem perduad’energia i podrem calcular el treball a partir del teorema de les forces vives o de la definicio d’energiapotencial,

∆Ec = −∆Ep −→ Ec2 − Ec1 = Ep1− Ep2

−→ Ec1 + Ep1= Ec2 + Ep2

3.10

A la suma de les energies cinetica i potencial d’un sistema l’anomenam energia mecanica, per tant:

Em1= Em2

−→ ∆Em = 0 3.11

Per tant, s’obte que en un sistema aıllat on no hi ha friccio l’energia mecanica s’ha de conservar.

46

3.4. PRINCIPI DE CONSERVACIO DE L’ENERGIA

Les forces sota les quals es conserva l’energia mecanica del sistema es denominen forces conserva-tives i tenen associada una energia potencial. Exemples: forca gravitatoria, forca electrostatica, forcaelastica, . . .

En presencia de forces conservatives i no conservatives, el treball es pot calcular o be pel teoremade les forces vives o be com a suma del treball conservatiu, WC, i del treball no conservatiu, WNC:

W = WC +WNC −→ ∆Ec = −∆Ep +WNC

3.12

D’aquı podem deduir que el treball no conservatiu es igual a la variacio d’energia mecanica. Perexemple en presencia de friccio, el treball realitzat per la forca de fregament es igual a la perduad’energia mecanica del sistema.

WNC = ∆Em

3.13

Com veurem mes endavant aquesta energia perduda es dissipa en forma de calor.

Exemple 3.1

Un cos de 10 kg de massa es mou per una superfıcie sense friccio amb una velocitatde 10 m/s fins que entra a una zona on el coeficient de fregament es de 0,2. La zonade fregament te una llargada de 5 m. (a) Quina velocitat te el cos un cop abandonadala zona de friccio? (b) Quina distancia es comprimira una molla de constant elastica6000 N/m situada a 2 m del final de la zona de friccio?

(a) Aplicam el principi de conservacio de l’energia mecanica en presencia de forces no conservatives:

∆Em = WNC

L’energia mecanica a l’inici i al final es unicament cinetica i el treball no conservatiu es el treballrealitzat per la forca de friccio:

Ec,2 − Ec,1 = Ff∆L cos 180 = −µN∆L = −µmg∆L

on ∆L es la llargada de la zona d’actuacio de la forca de friccio. Aıllant podem obtenir una expressioper la velocitat final:

Ec,2 = Ec,1 − µmg∆L→ 1

2mv2

2 =1

2mv2

1 − µmg∆L→ v2 =√v2

1 − 2µg∆L = 8, 97 m/s

El cos surt amb una velocitat de 8, 97 m/s.(b) Per trobar la compressio de la molla, ∆x, aplicam el principi de conservacio de l’energia:

∆Em = 0→ Em,2 = Em,3 → Epe,3 = Ec,2 →1

2k∆x2 =

1

2mv2

2 → ∆x =

√m

kv2 = 0, 366 m

La molla es comprimira 0, 366 m

Exemple 3.2

Es dispara horitzontalment una bala de 15 g de massa sobre un bloc de fusta de massa 4 kgsuspes d’un fil. La bala queda incrustrada i el conjunt oscil·la fins arribar a una altura de 10 cmper damunt de la posicio inicial. Determineu la velocitat amb que impacta la bala amb el bloci quanta energia es perd en el xoc.

Aquest problema fa referencia a un pendol balıstic, que consisteix en un dispositiu utilitzat permesurar la velocitat de les bales. Un pendol d’aquest tipus consisteix en un gran bloc de fustasuspes de dues cordes.

47

CAPITOL 3. ENERGIA

Consideram el proces global constituıt per dues etapes successives: un xoc perfectament inelasticseguit de l’elevacio del sistema bloc-projectil des de la posicio inicial fins a una altura h.Com que en el moviment en direccio horitzontal de la bala no s’exerceixen forces exteriors, podemaplicar el principi de conservacio del moment lineal.

p0 = pf −→ mv0 = (m+M)v −→ v0 =m+M

mv

La velocitat que porta el conjunt bloc-projectil es desconeguda, pero la podem calcular aplicant elprincipi de conservacio de l’energia mecanica entre les posicions mes baixa i mes alta del pendolbalıstic. Per fer aixo es necessari assumir que el pendol no dissipa energia.

Em1= Em2

−→ Ec1 = Ep2−→ 1

2(m+M)v2 = (m+M)gh −→ v =

√2gh

Substituınt els valors que ens proporciona l’enunciat (cal recordar que totes les magnituds s’hand’expressar en unitats del Sistema Internacional), obtenim que la velocitat de la bala era de 375 m/s.Per determinar l’energia perduda pel sistema es suficient amb determinar la diferencia de l’energiacinetica del sistema abans i despres del xoc:

∆Ec =1

2(m+M)v2 − 1

2mv2

0 = −1050 J

Naturalment, aquesta energia no ha desaparegut sino que es troba ara com energia interna associadaa les partıcules microscopiques que formen la bala i el bloc. Conve ressaltar el gran percentatge del’energia cinetica inicial del sistema que sofreix aquesta transformacio (de l’ordre del 99, 5 %) o elque es el mateix: nomes el 0, 5 % de l’energia cinetica amb que la bala incideix es converteix enenergia potencial gravitatoria del conjunt format pel bloc i la bala quan aquesta assoleix l’alturamaxima h. Aquest resultat ens permet visualitzar l’error que cometrıem en el cas d’igualar l’energiamecanica inicial de la bala amb l’energia potencial gravitatoria del conjunt.

3.4.1 Llei de conservacio de l’energia

L’energia no es pot crear ni destruir, pero sı que es pot transformar d’unes formes en unes altres.Aixı, la quantitat total d’energia de l’Univers es constant.

Fins a principi del segle XX es consideraven dos principis de conservacio fonamentals: el principide conservacio de la massa (Lavoisier) i el principi de conservacio de l’energia. Einstein, a la teoriade la relativitat, va formular que massa i energia son manifestacions diferents de la mateixa realitat i,per tant, es troben relacionades, de manera que cada massa te un equivalent energetic:

E = mc2 3.14

on c es la velocitat de la llum.

Per tant, a la teoria de la relativitat es generalitzen els dos principis de conservacio en un unicprincipi: el total d’energia d’un sistema, inclosa la materia com a forma d’energia, es mante constant.

48

3.5. FONTS D’ENERGIA

3.5 Fonts d’energia

Una font d’energia es qualsevol fenomen natural o artificial mitjancant el qual podem obtenir energiai utilitzar-la en diferents processos industrials o quotidians. Actualment, les principals fonts d’energiason:

• Les fonts d’energia no renovables: combustibles fossils (petroli, carbo i gas natural) i lafissio nuclear (urani).

• Les fonts d’energia renovables: energia solar termica i fotovoltaica, l’energia eolica, l’energiahidraulica, l’energia mareomotriu, l’energia geotermica i la biomassa.

Aquesta distincio entre fonts d’energia renovables i no renovables obeeix a la velocitat de reposiciod’aquesta. En el cas en que el ritme d’explotacio es superior al ritme en que es crea o es regeneraa la natura direm que ens trobam davant una font d’energia no renovable. En canvi, quan el ritmed’explotacio es inferior al ritme de regeneracio o en el cas de recursos il·limitats (com ara l’energiasolar), ens trobam davant una font d’energia renovable.

3.5.1 Distribucio de les fonts d’energia a Espanya

A continuacio es presenten dos grafics obtinguts a partir de dades facilitades pel Ministeri d’Industriacorresponents a l’any 2011 relatives a la situacio energetica del nostre paıs.

El primer grafic mostra la distribucio de consum energetic. Es pot observar com existeix unpredomini dels combustibles fossils, amb el petroli com a principal font d’energia. Fet que es tradueixen una forta dependencia de la importancia d’aquests recursos d’altres paısos.

En el segon grafic es mostra la distribucio d’origen de l’energia electrica utilitzada en el nostre paıs.S’observa un clar predomini de l’energia electrica d’origen nuclear. Es de destacar la importancia deles fonts d’energia renovables, amb una contribucio molt significativa de l’energia eolica.

3.5.2 Consum mundial d’energia

Avui en dia utilitzam energia per realitzar tot tipus de tasques, des del transport a la industria passantper la majoria d’activitats de la vida quotidiana.

49

CAPITOL 3. ENERGIA

El consum d’energia augmenta de manera accelerada cada any i el consum energetic per capita,es a dir, el cosum mitja de cada habitant de la Terra, tambe augmenta. Es interessant veure com elconsum de biomassa, carbo i energia nuclear no augment.

L’augment del consum energetic global es degut a dos factors: l’augment del cosum energetic percapita i l’augment de la poblacio mundial. Un dels principals origens d’augment del cosum energeticper capita son els paısos emergents com ara Xina o India, en els que durant els darrers anys, graciesal progres, ha augmentat la demanda energetica dels seus habitants.

3.5.3 Impacte del consum energetic

Com ja hem vist, el consum d’energia augmenta de manera accelerada amb un predomini absolut delscombustibles fossils. La utilitzacio de combustibles fossils implica la produccio de CO2, que es un gasd’efecte hivernacle. La concentracio de CO2 a l’atmosfera esta augmentant rapidament.

L’increment de la concentracio de CO2 te com a consequencia l’augment de la temperatura mitjanade l’atmosfera i els oceans, degut a un increment de l’efecte hivernacle. Aquest fenomen es coneixamb el nom d’escalfament global, que forma part del canvi climatic global.

Els paleoclimatolegs han batejat la nostra epoca com perıode antropoce per la influencia de l’ac-tivitat humana en el clima de la Terra. Els efectes de l’escalfament global es deixaran sentir durantmilers d’anys. Actualment el canvi climatic es un repte global crucial.

50


3.5.4 Alternatives

Les alternatives existents per tal d’afrontar el canvi climatic provenen d’estudis realitzats amb propos-tes per substituir integralment les energies produıdes per combustibles fossils per energies renovablesde cara a l’any 2030. No obstant, la lluita contra el canvi climatic passa per la reduccio de la demandai la racionalitzacio de l’us de l’energia.

Activitats

1. Un cos es desplaca horitzontalment 50 m so-ta l’accio d’una forca de 100 N. Determinauel treball realitzat per la forca si: (a) actuahoritzontalment en el sentit del moviment,(b) forma un angle de 60, (c) actua per-pendicular, (d) forma un angle de 150 ambla direccio de desplacament.

2. Si sobre un cos actua una forca de 10 N i esdesplaca 10 m, el treball realitzat per aques-ta forca val 100 J. Es certa aquesta afirma-cio?

3. Quin treball mecanic es realitza quan man-tenim a l’aire un cos de 10 kg durant 15minuts?

4. Un cos de 5 kg es llancat pel terra amb unavelocitat inicial de 10 m/s, i s’atura despresd’haver recorregut 10 m. Calculau el treballrealitzat per la forca de fregament fins ques’atura el cos.

5. Un satel·lit de 200 kg descriu orbites circu-lars al voltant de la Terra a una altura de500 km. Quin treball realitza la forca gravi-tacional sobre el satel·lit? (Dades: massa iradi de la Terra)

6. Un cos de 2 kg puja per un pla inclinat 30

una distancia de 10 m obligat per una forcade 15 N paral·lela al pla. Si el coeficient defregament entre el cos i el pla val 0, 2, cal-culau el treball realitzat per les forces queactuen sobre el cos.

7. Un motor de 50 CV es capac de realitzar untreball en 3 minuts. Quin temps invertiraen realitzar el mateix treball un motor de20 kW?

8. La cabina d’un ascensor te una massa de520 kg i transporta quatre persones de 70 kgcadascuna. Si ascendeix amb velocitat cons-tant fins a una altura de 24 m en 40 s, cal-culau: (a) el treball fet per a pujar la cabi-na i els passatgers, (b) la potencia mitjanadesenvolupada en kW i CV.

9. Un cotxe de massa 1200 kg que es desplacaper una carretera plana i sense fregamentsa una velocitat de 72 km/h accelera fins aaconseguir una velocitat de 25 m/s. Quinaenergia cinetica te inicialment? Quin treballfa el motor quan n’augmentam la velocitat?

10. L’explosio de la polvora en el cano d’un fu-sell origina una forca constant que actua so-bre el projectil de 20 g de massa. El cano delfusell te una longitud de 60 cm i la velocitatde sortida del projectil es de 250 m/s. Cal-culau: (a) la variacio de l’energia cineticadel projectil, (b) el treball mecanic realit-zat per l’explosio de la polvora, (c) la forcamitjana que actua sobre el projectil.

11. La friccio entre les rodes d’un cotxe de1300 kg i la carretera es de 220 N. Si el cot-xe va a 110 km/h i el deixam en punt mort,quina distancia recorrera abans d’aturar-se?(Resoleu el problema per metodes dinamicsi energetics).

12. Un cos de massa 0, 5 kg es deixa caure desde 1 m d’altura sobre una petita molla ver-tical amb constant elastica k = 2000 N/m.Calculau la maxima deformacio de la molla.

13. Un pendol de longitud 2 m i massa 1 kges desplaca 60 amb respecte a la vertical.En aquesta posicio es deixa anar. Calculaula velocitat quan passa pel punt mes baix i

51

CAPITOL 3. ENERGIA

quina sera l’energia cinetica quan el fil formiun angle de 15 amb la vertical.

14. Explicau les transformacions d’energia quetenen lloc en un salt amb perxa i en unpendol.

15. Un cos comenca a ascendir per un pla incli-nat 30 amb una velocitat inicial de 4 m/s.Si el coeficient de fregament amb el pla esde 0, 2 calculau fins a quina altura pujara.

16. Des de la part superior d’un pla inclinat de2 m de longitud i 30 d’inclinacio es deixaanar un cos de 500 g amb una velocitat ini-cial de 1 m/s. Suposant que no hi ha friccio,calculau amb quina velocitat arriba a la ba-se i quina distancia comprimiria una mollade k = 200 N/m situada al terra.

17. Una forca constant de 15 N actua durant12 s sobre un cos de massa 2, 5 kg. El coste una velocitat inicial de 1, 5 m/s en la ma-teixa direccio i sentit que la forca. Calculaul’energia cinetica final i la potencia desenvo-lupada.

18. A quina altura s’ha d’elevar un cos per in-crementar la seva energia potencial en unaquantitat igual a l’energia que tendria si esmogues a 40 km/h?

19. Una bolla de 3 kg es mou amb una veloci-tat de 5 m/s quan x = 0. Aquesta partıculaes troba sotmesa a una unica forca que variaamb x, com s’indica a la figura. (a) Quina esla seva energia cinetica a x = 0? (b) Quines el treball realitzat per la forca quan lapartıcula es desplaca des de x = 0 fins ax = 6 m? (c) Quina es la velocitat de lapartıcula a x = 6 m? (d) I a x = 3 m?

20. En produir-se el dispar d’un cano i com aresultat de l’expansio dels gasos, la forcaresultant de l’expansio dels gasos que ac-tua sobre el projectil s’expressa de la formaF = 3 × 103(2 − x) N, on x es la distanciarecorreguda expressada en metres. Sabentque el recorregut del projectil a l’interior delcano es de 180 cm i que la seva massa es de50 kg, es demana: (a) Construiu el grafic devariacio de la forca al llarg del cano. (b) Su-posant que l’energia que es dissipa en el dis-par es menyspreable, determinau la veloci-tat de sortida del projectil.

21. Es possible exercir una forca que realitzi untreball sobre un cos sense augmentar-ne l’e-nergia cinetica?

22. Un cotxe de 1700 kg es capac de passar de 0a 100 km/h en 11 s. Quina potencia mitjananecessita? Expressau el resultat en CV.

23. Un bloc de 3 kg situat a 4 m d’altura esdeixa caure per una rampa curva i llisa sen-se fregament. Quan arriba a terra, recorre10 m sobre una superfıcie horitzontal rugo-sa fins a aturar-se. (a) Amb quina veloci-tat arriba el bloc a la superfıcie horitzontal?(b) Quin treball realitza la forca de frega-ment? (c) Quant val el coeficient de frega-ment amb la superfıcie horitzontal?

24. Quina distancia es comprimeix una molla deconstant elastica k = 500 N/m si la situama 4 m del final de la rampa de l’exercici an-terior? (El fregament tambe actua durantla compressio).

25. Des de quina altura mınima hem de deixaranar un cos per la pista per tal que completiel loop, si no hi ha friccio?

52


26. Una bomba extrau aigua d’un pou de 10 mde fondaria. Quina es la potencia de la bom-ba si puja 500 l d’aigua en mig minut?

27. Per quin factor hem de multiplicar la velo-citat inicial d’una massa que es llanca verti-calment per tal de que assoleixi una alturael doble que en un primer llancament. I perassolir una altura el triple que la inicial?

28. Si amollaem una massa des d’una altura 2hla velocitat amb la qual arribara al terra serael doble que la que assolira si la amollam desd’una altura h?

29. Una massa es deixa caure des dels dos plansinclinats de la figura. Quin arribara ambmes velocitat? Quina arribara abans?

30. Comprimim una molla una distancia x i des-pres una distancia 2x. Quina relacio existeixentre les energies potencials emmagatzema-des en ambdos casos?

31. En un trampolı com el de la figura es deixacaure una massa de 100 kg des d’una alturade 4 m. A l’altre costat tenim una perso-na de 60 kg. Calculau l’altura maxima queassolira suposant que l’energia no es dissipa.

32. Un ascensor de massa 1000 kg puja amb ve-locitat constant de 2 m/s fins una altura de10 m. (a) Calculau el treball realitzat pelmotor de l’ascensor. (b) Repeteiu el calculsi l’ascensor puja amb una acceleracio de2 m/s2.

33. Un ciclista de 78 kg de massa (comptant labicicleta), puja una pendent del 10 % ambvelocitat constant 13 km/h. Calculau lapotencia que desenvolupa el ciclista.

34. Un esquiador davalla per una pendent coma la figura. Calculau la velocitat a la quearriba a la part inferior si el treball de fre-gament dissipa el 40 % de la seva energia.

35. Tornau a fer els problemes 23, 24 i 25 deltema 2 utilitzant el principi de conservaciode l’energia.

36. Tenim un sistema com el de la figura. Com-primim 10 cm la molla de l’esquerra i amo-llem. (a) Quant es comprimeix la mollade la dreta despres del primer impacte?(b) Quant es comprimeix la molla de l’es-querra quan la massa torna per primera ve-gada? (c) Quina distancia recorr la massaabans d’aturar-se?

37. Una massa de 0, 5 kg es llanca compri-mint 0, 2 m una molla de constant elastica2000 N/m per un pla horitzontal sense fre-gament. Entra en una zona on existeix uncoeficient de fregament 0, 25. (a) Quina hade ser la llargaria de la zona amb fregament

53

CAPITOL 3. ENERGIA

per tal de que, despres de sortir, la veloci-tat de la massa sigui un terc de la que duiaquan entra? (b) Quina ha de ser la llargariade la zona amb fregament per tal de que,despres de sortir, l’energia mecanica de lamassa sigui un 35 % de la que tenia quanentra?

38. En un sistema com el de la figura compri-mim la molla i amollem. Quina altura asso-leix la massa, de 500 g?

39. Des de la part superior d’un pla inclinat 45,que es troba a 3 m s’amolla una massa de2 kg. Arriba al final del pla amb una ve-locitat de 3 m/s. Calculau el coeficient defregament entre el pla i la massa.

40. Amollam la massa. Calcula la maxima de-formacio de la molla si no existeix frega-ment. Repeteix el calcul si existeix un coe-ficient de fregament 0, 3 en la part plana delcamı de 4 m de llargaria. El radi de la partcircular es d’2 m i la massa de 250 g.

41. La massa, de 500 g, es troba ensartada dinsel fil i es pot moure sense fregament. Calcu-lau i dibuixau les forces que actuen sobre lamassa, la velocitat i l’acceleracio centrıpetaals punts B i C.

42. Calculau la maxima altura que assolira lamassa.

43. Una pilota s’amolla des d’una altura de 4 mi rebota en terra. En cada rebot es perd el9 % de l’energia. Calculau el nombre de re-bots de la pilota perque l’altura final siguimenor que la meitat de l’altura inicial.

44. Considerau un xoc perfectament inelasticentre dues masses que es mouen l’una capa l’altra: la primera de 3 kg amb una velo-citat de 6 m/s i la segona de 2 kg amb unavelocitat de 4 m/s. Calculau: (a) la veloci-tat d’ambdues despres del xoc; (b) la varia-cio de l’energia cinetica que s’ha produıt enaquest xoc.

45. Es llanca horitzontalment una bolla de 300 gcontra un bloc de 12 kg inicialment en repossobre una superfıcie horitzontal. La bollaqueda insertada al bloc. El bloc i la bollallisquen 16 cm al llarg del terra fins aturar-se. Si el coeficient de friccio val 0, 3, quinaes la velocitat inicial de la bolla?

46. Una bala de 20 g amb una velocitat de400 m/s s’atura dins d’un sac d’arena des-pres de penetrarhi 10 cm. Calculau: (a) Laforca, suposada constant, que actua sobre labala. (b) El temps fins a aturarse.

47. Demostrau que en una col·lisio frontalinelastica entre dos cossos 1 i 2, en la qual elcos 2 esta inicialment en repos, el quociententre les energies cinetiques abans i despresde la col·lisio es: (m1 +m2)/m1.

48. Dues masses d’1 kg, com les de la figura, xo-quen inelasticament. (a) Arriben a la partde dalt de la pista? (b) Quina es la mınimadeformacio per arribar a la part de dalt?(c) I per fer la volta completa?

54


49. Quan es fondra mes el gel per friccio: en pu-jar un bloc de gel per un pla inclinat o enbaixar-lo?

50. A quina velocitat hem de llancar contra unaparet una bala de plom de 54 g la tempera-tura de la qual en el moment de l’impactees de 25 C, si desitjam que es fongui com-pletament per efecte de l’impacte? Dades:c(Pb) = 0, 03 cal/(g C); Tfusio = 326 C;Lfusio = 5, 8 cal/g.

51. Cert motor es capac d’elevar 5000 kg d’ai-gua fins a 20 m d’altura. Per aixo s’hande cremar 3 kg de combustible el poder ca-lorıfic del qual es de 300 kcal/kg. Quin es elrendiment del motor?

52. Un bloc de ferro de 500 g es deixa cauredes d’una altura de 20 m. Si el 60 % del’energia mecanica perduda es transfereix alferro en forma de calor, quant augmentala temperatura del bloc? Dada: c(Fe) =0, 108 cal/g C.

53. Un cotxe de 1400 kg que viatja a 80 km/hfrena fins que s’atura. Si la calor especıficade l’acer es de 0, 11 cal/(g·K), quina ha deser la massa mınima d’acer del tambor delfre per tal de que la seva temperatura noaugmenti mes de 120 C?

54. Un projectil de plom xoca a 200 m/s ambun bloc de fusta i queda aturat. Supo-sant que tota l’energia s’empra en encalentirla bala, determinau la temperatura final siabans de xocar es trobava a 20 C. Dades:c(Pb) = 128 K/(kg K); Tfusio = 326 C;Lfusio = 22, 5 kJ/kg

55. Un termo electric de 2, 5 kW encalenteix l’ai-gua d’un diposit de 100 l de 10 C fins a50 C. Quin temps es necessita si el rendi-ment es del 90 %?

55

4Moviment harmonic simple

Quan pertorbam un sistema que es troba en una posicio d’equilibri estable es produeixen oscil·lacions.La caracterısitica mes facilment identificable d’un moviment oscil·latori es el seu caracter periodic, esa dir, que es va repetint. Exemples d’oscil·lacions son: barques que es gronxen sobre l’aigua, pendols derellotges que oscil·len d’un costat a l’altre, cordes i llenguetes que vibren en els instruments musicals,les oscil·lacions de les molecules de l’aire en una ona sonora i les oscil·lacions del corrent electric enles ones de radio.

Un tipus molt comu de moviment oscil·latori, i el mes important per la seva aplicacio a diferentssistemes fısics, es el moviment harmonic simple. Aquest moviment te lloc si en desplacar un objectede la seva posicio d’equilibri apareix una forca restauradora que sigui proporcional al desplacament.Aquesta condicio es satisfa quasi sempre, si mes no aproximadament, quan els desplacaments respectea l’equilibri son petits.

Si desplacam un objecte de l’equilibri i el deixam anar, oscil·la d’un costat a l’altre al voltantde la seva posicio d’equilibri. El temps que tarda l’objecte a fer una oscil·lacio completa s’anomenaperıode, T . El recıproc del perıode es la frequencia, ν = 1/T , que es el nombre d’oscil·lacions persegon.

4.1 Massa unida a una molla

Un sistema tıpic que presenta moviment harmonic simple es un objecte unit a una molla (Figura 4.1).En equilibri la molla no exerceix cap forca sobre l’objecte. En canvi, quan l’objecte es desplacat unadistancia x des de la seva posicio d’equilibri, la molla fa una forca −kx, d’acord amb la llei de Hooke(Eq. [2.1]). El signe menys de la qual es deu a que la forca actua en sentit oposat al del desplacament.

En combinar la llei de Hooke i la segona llei de Newton obtenim una equacio diferencial lineal desegon ordre que descriu el moviment de l’objecte:

F = −kx = ma = md2x

dt2→ a =

d2x

dt2= − k

mx

4.1

Per resoldre una equacio diferencial ens cal trobar una funcio x(t), coneguda com equacio delmoviment, que satisfaci l’equacio anterior, es a dir, que la segona derivada d’aquesta funcio canviadade signe sigui proporcional a la funcio.

Les possibles solucions d’aquesta equacio son les funcions sinusoidals de tipus:

x = A cos(ωt+ ϕ0) 4.2

On A, ω i ϕ0 son constants. Tot moviment que segueix aquesta equacio es per definicio unmoviment harmonic simple. Observau que cos(ωt + ϕ0) = sin(ωt + ϕ0 + π/2). Per tant, l’us delsinus o el cosinus o una combinacio d’ambdos, dependra unicament de l’instant elegit com a origen de

57

CAPITOL 4. MOVIMENT HARMONIC SIMPLE

Figura 4.1: Massa unida a una molla horitzontal.

temps. El desplacament o elongacio maxima a partir de la posicio d’equilibri s’anomena amplitud A.L’argument de la funcio sinusoidal, ωt+ϕ0, s’anomena fase del moviment, i la constant ϕ0 s’anomenaconstant de fase.

Com que durant un cicle la fase augmenta en 2π, la posicio de l’objecte te altra vegada la mateixaposicio i velocitat que en el moment d’iniciar el cicle, ja que cos(ωt + ϕ0) = cos(ωt + ϕ0 + 2π), pertant, la fase en el temps t+ T es precisament 2π mes la fase a l’instant t:

ω(t+ T ) + ϕ0 = ωt+ ϕ0 + 2π → T =2π

ω

4.3

La constant ω s’anomena frequencia angular i te unitat de radiants per segon.La constant de fase ϕ0 depen de l’instant elegit com t = 0. Per exemple, si escollim t = 0 quan

x = A, la constant de fase es zero i, per tant, x = A cos(ωt). En determinades ocasions no serasuficient donar el valor de la posicio a t = 0 per determinar de forma unıvoca ϕ0, en aquests casoscaldra tambe determinar el valor de la velocitat a t = 0.

Per determinar la velocitat del cos basta derivar l’Eq. (4.2) respecte del temps:

v =dx

dt= −Aω sin(ωt+ ϕ0)

4.4

Comporant l’equacio de posicio i de velocitat es pot observar com els valors maxims de des-placament es corresponen amb els instant en que la velocitat es zero i que la velocitat es maxima, envalor absolut, quan el cos passa per la posicio d’equilibri.

Si tornam a derivar l’equacio de la velocitat obtenim l’acceleracio del cos:

a =dv

dt=d2x

dt2= −Aω2 cos(ωt+ ϕ0) = −ω2x

4.5

Comporant aquesta equacio amb l’Eq. (4.1) podem relacionar la frequencia angular amb la massade l’objecte i la constant elastica de la molla:

58

4.2. ENERGIA DEL MOVIMENT HARMONIC SIMPLE

ω2 =k

m

4.6

I per tant, el perıode d’un objecte unit a una molla es pot calcular a partir de l’expressio:

T = 2π

√m

k

4.7

Podem observar com la frequencia i el perıode son independents de l’amplitud. Un exemple practicque ens permet comprovar aquest fenomen es dins el camp de la musica. Si tocam una tecla d’unpiano, el to (frequencia) no depen de la forca amb que pitjam la tecla. En alguns instruments, comper exemple l’oboe, existeix una petita dependencia de la frequencia amb l’amplitud a causa que lavibracio de la llengueta no es exactament un moviment harmonic simple.

4.2 Energia del moviment harmonic simple

Quan un objecte oscil·la en l’extrem d’una molla, la seva energia cinetica i l’energia potencial delsistema objecte-molla varien amb el temps, mentre que l’energia total es constant si suposam unsistema sense friccio. L’energia potencial es pot calcular a partir de l’expressio:

Ep =1

2kx2 =

1

2kA2 cos2(ωt+ ϕ0)

4.8

L’energia cinetica de l’oscil·lador variara segons la seguent expressio:

Ec =1

2mv2 =

1

2mA2ω2 sin2(ωt+ ϕ0) =

1

2kA2 sin2(ωt+ ϕ0)

4.9

Un cop calculades les expressions de l’energia cinetica i potencial de l’oscil·lador, podem calcular-nel’energia total:

ET = Ec + Ep =1

2kA2

[sin2(ωt+ ϕ0) + cos2(ωt+ ϕ0)

]=

1

2kA2

4.10

Per tant, l’energia total d’un moviment harmonic simple es proporcional al quadrat de la sevaamplitud.

4.3 Objecte penjant d’una molla vertical

En el cas de tenir el cos unit a una molla orientada verticalment (Figura 4.2) hem de tenir en compteel pes a mes de la forca elastica. El pes del cos estira cap baix al cos, mentre que la forca elastica hofa cap a dalt, arribant a un equilibri entre ambdues forces:∑

F = Fe −mg = −kx−mg → kx0 +mg = 0 → kx0 = −mg 4.11

On x0 es la posicio d’equilibri de la molla despres de penjar-hi la massa si prenem com a referenciala longitud de la molla. Mentre no s’aplica cap forca sobre el cos, aquest es mante en aquesta posicio.Quan desplacam l’objecte, el cos deixa d’estar en equilibri i, per tant, apareix una acceleracio:∑

F = Fe −mg = ma → −k(x+ x0)−mg = md2x

dt2→ − k

mx =

d2x

dt2

4.12

Aquesta equacio es equivalent a l’Eq. (4.1). Per tant, qualsevol cos unit a una molla seguira unmoviment harmonic simple.

59


Figura 4.2: Massa unida a una molla vertical.

4.4 Pendol simple

El moviment d’un pendol es harmonic simple si l’amplitud del moviment es petita. La Figura 4.3mostra un esquema d’un pendol simple (ideal) que consisteix en una corda inextensible de longitudL i massa negligible del qual penjam un objecte puntual de massa m. Les forces que actuen sobrel’objecte son la tensio T de la corda i el seu pes. Quan la corda fa un angle φ respecte a la vertical,el pes es pot descompondre en una component en la direccio del fil (mg cosφ) i una componentperpendicular (mg sinφ) en el sentit decreixent de φ. Sigui s la longitud de l’arc mesurada a partirde la posicio mes baixa del pendol i utilitzant l’aproximacio sinφ ≈ φ per a angles petits, podemrelacionar s amb l’angle segons:

s = Lφ 4.13

La component tangencial de l’acceleracio de l’objecte es pot calcular a partir de la segona llei deNewton:

∑Ft = −mg sinφ = m

d2s

dt2

4.14

Per tant, substituint φ segons l’Eq. (4.13) i fent l’aproximacio d’angles petits (sinφ ≈ φ) obtenim:

d2s

dt2= − g

Ls

4.15

Que es equivalent a l’equacio del cos unit a una molla, Eq. (4.1), amb la frequencia angular iguala:

ω2 =g

L

4.16

60

4.4. PENDOL SIMPLE

Figura 4.3: Esquema de forces d’un pendol simple.

La solucio a l’Eq. (4.15) es s = s0 cos(ωt + φ0) o be en termes del seu desplacament angularφ = φ0 cos(ωt+ φ0).

El perıode del moviment d’un pendol es:

T = 2π

√L

g

4.17

L’estudi del perıode d’un pendol ens permet determinar l’acceleracio deguda a la gravetat terrestre.

Exemple 4.1

Un cos de 405 g de massa oscil·la sense friccio fermat a una molla descrivint un movimentharmonic simple de 3 cm d’amplitud i 5 Hz de frequencia. (a) Escriviu l’equacio de movimentque dona l’elongacio en funcio del temps amb l’origen temporal en l’instant en que l’elongacioes maxima. (b) Que val la constant elastica de la molla? (c) Que val l’energia total d’aquestoscil·lador? (d) Determinau dos intants de temps en els que la velocitat del cos sigui maxima.

(a) Per escriure l’equacio del MHS ens cal determinar la frequencia angular a partir de la frequencia:

ω =2π

T= 2πν = 2π · 5 = 10π rad/s

Per tant:

x(t) = A sin(ωt+ ϕ0) = 0, 03 sin(10πt+ ϕ0) m

Imposam les condicions inicials per determinar ϕ0:

±0, 03 = 0, 03 sinϕ0 −→ sinϕ0 = ±1 −→ ϕ0 = π/2, 3π/2

Ambdues fases inicials permeten tenir una elongacio maxima a l’origen temporal. Sense informacioaddicional no podem decidir quina de les dues es la correcta. En aquesta cas elegirem arbitrariamentuna de les dues:

x(t) = 0, 03 sin(10πt+ π/2)

61


(b) La constant elastica de la molla es pot determinar a partir de la frequencia angular:

ω2 = k/m −→ k = mω2 = 0, 405 · (10π)2 = 400 N/m

(c) L’energia total d’un oscil·lador depen de l’amplitud del moviment:

Em =1

2kA2 =

1

2· 400 · (0, 003)2 = 0, 18 J

(d) La velocitat del cos sera maxima en el moment que el cos passi per la posicio d’equilibri, x = 0:

0 = 0, 03 sin(10πt+ π/2) −→ sin(10πt+ π/2) = 0 −→ 10πt+ π/2 = nπ −→ t =n− 0, 5

10

Com que ens demanen dues solucions, substituirem n per dos valors qualsevols, en el nostre cas, 1i 2:

t1 = 0, 05 s t2 = 0, 15 s

Activitats

1. Supoau que a t = 0 tenıem x = 0 iv = Aω. (a) Determinau la fase inicial six = A sin(ωt + ϕ0). (b) Determinau la faseinicial si x = −A sin(ωt+ ϕ0). (c) Determi-nau la fase inicial si x = A cos(ωt+ ϕ0).

2. Un oscil·lador harmonic simple segueix l’e-quacio: x = 4 sin(0, 1t+0, 5) (x i t en unitatsdel SI). (a) Calculau l’amplitud, perıode,frequencia i fase inicial. (b) Trobau l’equa-cio de la velocitat i de l’acceleracio. (c) Tro-bau les condicions inicials (posicio, velocitati acceleracio).

3. Una massa de 100 g situada a l’extrem d’unoscil·lador passa per la posicio d’equilibriamb una velocitat de 2 m/s. L’amplitudes de 10,3 m. Quina es la frequencia i elperıode de l’oscil·lador? Escriviu l’equaciode moviment. Trobau el valor de l’energiatotal de l’oscil·lador. Quin sera el valor dela constant elastica?

4. Una roda de 30 cm de radi te una maneta ala vorera, perpendicular al pla de la roda. Sila roda gira a 30 rpm (amb l’eix horitzontal)i els raigs del sol incideixen verticalment so-bre el terra, l’ombra de la maneta descriu unMHS. (a) Calculau el perıode, l’amplitud ila frequencia d’aquest MHS. (b) Escriviu l’e-

quacio x = f(t) del MHS, suposant que lafase inicial es zero.

5. Una partıcula de massa m es troba fer-mada a l’extrem d’una molla de constantk = 500 N/m. (a) Calculau la frequencia iescriu l’equacio del moviment quan la mollas’estira P cm i es deixa lliure. (b) Calculauel valor de la velocitat maxima en funcio deP i de m. Representau la velocitat maximaen funcio de P per a una m fixada. (c) Re-presentau tambe la velocitat maxima en fun-cio de m per a una P fixada. (d) Calculauel valor de l’acceleracio maxima.

6. Relacionau el T d’un pendol amb ladistancia al centre de la Terra. Com a apli-cacio, calculau a quina distancia del centrede la Terra i a quina altura sobre la su-perfıcie, esta situat un pendol quan el seuperıode ha augmentat en un 10 % en relacioal que te a nivell de la mar.

7. La torre Eiffel presenta oscil·lacions a cau-sa del vent les quals podem aproximara un moviment harmonic simple x(t) =0, 07 sin(1, 5t) (x en m i t en s). Determinauels tres primers instants en que els valors ab-soluts de x, la velocitat i l’acceleracio son:(a) zero; (b) maxims.

62

ACTIVITATS

8. Se suspen una molla del sostre i el seu pesfa que s’estiri una mica. De la part inferiorde la molla es penja una esfera de 300 g, lamolla s’allarga 3,10 cm i el centre de l’es-fera queda a 22 cm del terra. (a) Escriviul’equacio del moviment del centre de l’esfe-ra despres que s’estiri 5 cm cap a baix i esdeixi anar. Presenta un esquema que mos-tri l’origen de coordenades del sistema dereferencia que utilitzes i el sentit que prenscom a positiu. (b) Quin es el perıode d’os-cil·lacio de l’esfera? (c) Quin seria el perıoded’oscil·lacio si l’esfera s’hagues estirat 6 cmcap a baix en lloc de 5 cm? (d) En la si-tuacio de l’apartat (a), quina massa hauriade tenir l’esfera que es penges de la mollaperque el perıode fos de 0,44 s?

9. El perıode d’un pendol simple es d’1,84 s.La longitud de la corda es modifica i el nouperıode es d’1,95 s. Quina es la longitudoriginal del pendol simple i quant s’ha mo-dificat la longitud? Indicau explıcitament sis’ha escurcat o allargat.

10. Una esfera de 450 g se suspen d’un fil percrear un pendol simple de 0,15 m. Unaaltra esfera igual s’enganxa a una mollade constant elastica k = 21, 7 N/m i escol·loca sobre una taula de friccio negligi-ble. (a) Es possible aconseguir que l’esfe-ra del pendol oscil·li estant sempre sobre lavertical que passa per l’esfera subjecte a lamolla? (b) Seria possible amb alguna altramolla? Si la resposta es sı, donau la constantelastica.

11. Una partıcula de 20 grams de massa vibraamb un MHS d’amplitud 0,2 m. A l’extremdel recorregut, l’acceleracio val 8000 m/s2.(a) Calculau la frequencia. (b) Calculau lavelocitat quan passi per la posicio d’equili-bri. (c) Escriviu l’expressio de la forca enfuncio del temps. (d) Calculau l’energia po-tencial, cinetica i total en els punts seguents:als extrems del recorregut; a la posicio d’e-quilibri; en els punts on x es la meitat d’A,en valor absolut; en els punts corresponentsals instants T/8, 3T/8, 5T/8 i 7T/8. (e) Feisun grafic de l’energia potencial, cinetica i to-tal en funcio de la posicio.

12. A la vida quotidiana estam avesats a movi-ments vibratoris. Por exemple, al caminar,correr, viatjar en algun mitja de locomocio oestar prop d’alguna maquina. Quan es dis-senyen vehicles i maquines, es necessari ferun estudi d’aquests moviments, ja que elsefectes de les vibracions poden anar des desimples molesties fins al dolor o la mort.

Aquests estudis solen utilitzar l’acceleraciomaxima del moviment vibratori com a vari-able per relacionar-la amb les molesties quepercebem.

Se sap que som molt sensibles a un movi-ment vibratori de 6,0 Hz i que amb aques-ta frequencia, a partir d’una acceleraciomaxima de 6,0 m s−2, les molesties son tanfortes que ens poden arribar a alarmar.

(a) Calculau l’amplitud d’oscil·lacio que cor-respon a un moviment vibratori harmonicde 6,0 Hz i una acceleracio maxima de6,0 m s−2.

(b) Calculau el valor de la constant elasticad’una molla per tal que una massa de 85 kgenganxada a ella oscil·li amb una frequenciade 6,0 Hz.

13. La seguent grafica representa el movimentd’un cos de 250 g de massa que oscil·la, sen-se fregament, unit a una molla. Calculau:(a) l’amplitud; (b) la frequencia angular;(c) el perıode; (d) la fase inicial; (e) l’ener-gia mecanica total del sistema. (f) Escriul’equacio del moviment.

14. Es realitza la seguent experiencia: es pen-ja d’una molla fixada a un soport per un

63


dels extrems set masses diferents, i es faque aquestes masses realitzin petites os-cil·lacions (MHS). Es mesura amb cura eltemps que tarda en fer deu oscil·lacions cadauna de les masses i, a partir d’aixo, s’obte-nen els perıodes (T ) del moviment, el qua-drat dels quals es representa en el grafic ad-junt. (a) Calculau la constant elastica de lamolla i explica raonadament si depen de lamassa. (b) Indicau el perıode que es mesu-raria si es fes oscil·lar una massa de 32 g.(c) El MHS que descriu la massa de 100 gque s’ha penjat de la molla te una amplitudde 10,0 cm. Calculau l’elongacio i l’accele-racio que tendra la massa quan hagin trans-corregut 3,00 s des del moment en que se l’hadeixat oscil·lar a partir del punt mes baix dela seva trajectoria.

15. La massa dels astronautes a l’estacio es me-sura amb un instrument que es basa en elmoviment vibratori harmonic. Quan l’as-tronauta es col·loca en ell, l’aparell ini-cia un movimento vibratori i mesura la se-va frequencia. Se sap que per una massade 60 kg, la frequencia d’oscil·lacio es de0,678 Hz. (a) Calculau la velocitat maximad’oscil·lacio d’aquesta massa si se sap quel’amplitud maxima d’oscil·lacio es de 20 cm.(b) Si la massa d’un astronauta fa quel’instrument oscil·li amb una frequencia de0,6064 Hz, calculau la constant elastica dela molla i la massa de l’astronauta.

16. Observam que dues boies de senyalitzacio enuna zona de bany d’una platja, separades

una distancia de 2 m, oscil·len de la matei-xa manera amb l’onatge de l’aigua del mar.Veim que la mınima distancia en que te llocaquest fet es, justament, la separacio entreles dues boies. Comptem que oscil·len trentavegades en un minut i observam que pugenfins a una alcada de 20 cm. (a) Determinaula frequencia, la longitud d’ona i la veloci-tat de les ones del mar. (b) Escriviu l’equa-cio que descriu el moviment de les boies enfuncio del temps, si comencam a comptar eltemps quan les boies son en la posicio mesalta. (c) Escriviu l’equacio de la velocitat deles boies en funcio del temps.

17. Una massa de 0,5 kg descriu un movi-ment harmonic unida a l’extrem d’una mo-lla, de massa menyspreable, sobre una su-perfıcie horitzontal sense fregament. A laseguent grafica es relaciona el valor de l’e-nergia mecanica de la molla amb el qua-drat de l’amplitud d’oscil·lacio del movimi-ent harmonic. Calculau: (a) El valor de lafrequencia d’oscil·lacio. (b) El valor de la ve-locitat maxima de la massa quan l’amplitudd’oscil·lacio del moviment es de 0,1414 m.

18. La grafica seguent representa l’energiacinetica d’un oscil·lador harmonic en fun-cio de l’elongacio (x). (a) Indicau el valorde l’energia cinetica i de l’energia potencialquan x = 0 m. (b) Repetiu l’apartat ante-rior quan x = 0, 20 m. (c) Determinau laconstant elastica. (d) Calculau la massa del’oscil·lador, si sabem que la frequencia devibracio es (100/2π) Hz. (e) Indica el valorde l’amplitud del moviment.

64

ACTIVITATS

19. A un ressort de massa menyspreable li unimper un extrem una massa de 300 g i per l’al-tre es penja d’un suport. Al realitzar unaexperiencia per a determinar el valor de laconstant elastica, s’observa que al posar-loa oscil·lar a partir d’una amplitud de 6 cm,els temps que inverteixen en les diverses os-cil·lacions son els els que apareixen a la tau-la. Es demana: (a) El valor de la constantelastica amb les xifres significatives correctesen donar el resultat. (b) Equacio del movi-ment de l’oscil·lador. (c) Velocitat maximade l’oscil·lador.

osc. 10 15 20 25t (s) 12, 4 18, 9 24, 6 31, 5

20. Si l’amplitud d’un moviment harmonic sim-ple es de 10 cm, per quin valor de l’elongacios’igualen les energies potencial i cinetica?

21. Una massa de 100 g esta sotmesa a un mo-viment harmonic simple d’amplitud 5 cmi perıode 1 s. Determinau la velocitatmaxima de la massa.

22. Una massa de 250 g suspesa d’una mo-lla oscil·la verticalment amb una frequenciad’1,5 Hz. Quant val la constant recuperado-ra k de la molla?

23. Explicau com varia l’energia potencial d’unamassa m sotmesa a un moviment harmonicsimple.

24. Quin seria a Mart el perıode de les os-cil·lacions de petita amplitud d’un pendolsimple que a la Terra oscil·la amb un perıoded’1,4 s? (Acceleracio de la gravetat a la su-perfıcie de Mart: 3,71 m/s2.)

25. Una massa de 3 kg penja d’una molla deconstant elastica k i una altra de 200 g pen-ja d’un fil de 35 cm. (a) Quina es la cons-tant elastica de la molla si les dues massesoscil·len amb el mateix perıode? (b) Ambquin perıode oscil·len?

26. Un nin i la seva germana juguen amb unapilota fermada amb una corda penjada d’u-na branca. El nin estira la pilota i la deixaanar, amollant-la, sense empenyer. La ninal’espera a l’altra banda i l’agafa quan s’atu-ra en el punt mes alt, 1,5 segons despres queel seu germa l’amollas. Quina es la distanciadel centre de la pilota al punt de suspensio?

27. Una bola de 144 g suspesa d’una molla os-cil·la verticalment amb una frequencia d’1,5Hz. (a) Que val la constant recuperadorade la molla? (b) Quina es la massa de labola que s’hauria d’usar amb aquesta mollaperque el perıode d’oscil·lacio fos el doble?

28. Una superfıcie vibra i la posicio es x(t) =0, 025 sin(440t) (x i t tenen unitats del SI).Quins son els tres primers instants despresde t = 0 en que l’acceleracio es nul·la? Do-nau el resultat en mil·lisegons.

29. Quin seria el perıode d’un pendol simple a lasuperfıcie d’un asteroide on l’acceleracio dela gravetat valgues 0,87 m/s2 si a la Terraes 0,72 s?

30. Un nin i una nina juguen a engronsar unapilota penjada amb un fil d’una branca. Lapilota tarda 1,2 segons a completar una os-cil·lacio. Quant de temps tardaria si el filfos 28 cm mes llarg?

31. Un punt A esta sotmes a una oscil·lacioharmonica que en propagar-se per un medielastic dona lloc a una ona mecanica. L’os-cil·lacio del punt A ve descrita per l’equacioy(t) = 2 cos(3000t), on t s’expressa en se-gons i l’amplitud en centımetres. (a) Si lalongitud d’ona es 20 cm, a quina velocitates propaga? (b) Quina es l’equacio que des-criu l’ona si consideram que es propaga en ladireccio x i l’amplitud es la mateixa en totsels punts? (c) Quina es l’equacio que descriu

65


l’oscil·lacio d’un punt B del medi en que espropaga l’ona, el qual es troba a 50 cm delpunt A?

32. La taula d’una eina vibra i la posicio ver-tical d’un caire de la taula canvia respected’un punt fix segons z(t) = 0, 034 sin(249t)(z i t en unitats del SI). Determinau els qua-tre primers instants en que el valor abso-lut de l’acceleracio es: (a) zero; (b) maxim.(c) Amb quina velocitat maxima es mou elcaire quan la taula vibra?

33. Se suspen una molla d’un ganxo i s’estirauna mica pel seu pes. Llavors, de la part in-ferior de la molla es penja una esfera de 250g. La molla s’allarga 2,70 cm i el centre del’esfera queda a 15 cm del terra. (a) Escriviul’equacio del moviment del centre de l’esferadespres que s’estiri 4,0 cm cap a baix i esdeixi anar. Presenta un esquema que mos-tri l’origen de coordenades del sistema dereferencia que utilitzes i el sentit que prenscom a positiu. (b) Quin es el perıode d’os-cil·lacio de l’esfera? (c) En la situacio del’apartat a, quants de grams s’haurien d’a-fegir a l’esfera suspesa de la molla perque elperıode passas a ser de 0,35 s?

34. (a) El perıode d’un pendol simple es de2,20 s. La longitud del pendol es modificai el nou perıode val 2,06 s. S’ha allargat oacurcat el pendol? Quants de centımetres?(b) Quina massa haurieu de lligar a unamolla de 20 N/m perque oscil·les amb unperıode de 2,20 s com el pendol simple an-terior? (c) A la molla de l’apartat anteriors’hi lliga una massa de 3 kg. Escriviu l’ex-pressio que dona la velocitat en funcio deltemps si l’amplitud del moviment es 2 cm ies maxima a t = 1 s.

35. (a) Es crea un pendol simple de 30 cm ambuna massa d’1,2 kg. Quina hauria de serla constant elastica d’una molla perque lamassa oscil·les penjada de la molla amb elmateix perıode del pendol? (b) La massad’1,2 kg es penja d’una altra molla i aquestas’allarga 6,1 cm pel pes de la massa. S’agafala massa, s’estira per avall i la molla s’allarga2,7 cm mes. Quina sera la velocitat maximade la massa en deixar-la oscil·lar? (c) Cal-culau els quatre primers instants de tempsdespres d’amollar la massa en que el modulde la velocitat sera maxim.

66

5Forca gravitatoria i electrostatica

La forca gravitatoria es la mes feble de les quatre interaccions fonamentals entre les partıcules elemen-tals. De fet, en les interaccions entre partıcules elementals resulta negligible. Tambe resulta difıcilobservar l’efecte de la forca gravitatoria en objectes de la vida quotidiana, a pesar de tenir masses devaries tones. Pero la gravetat es essencial quan consideram les interaccions d’objectes molt grans, comara els planetes i les estrelles. La gravetat ens mante sobre la Terra i mante els planetes del SistemaSolar en orbita al voltant del Sol. Tambe juga un paper fonamental en l’evolucio de les estrelles i enel comportament de les galaxies. Podem dir, que la gravetat es la que mante unit i governa l’Univers.

Per altra banda, pel que fa a la forca electrostatica, aquesta actua entre carregues en repos ies mes intensa que la forca gravitatoria. Encara que l’us practic de l’electricitat es desenvolupafonamentalment al segle XX, el seu estudi te una llarga historia. Les primeres observacions de l’atraccioelectrica foren realitzades pels grecs antics, els quals observaren que en fregar l’ambre, aquest atreiapetits objectes com ara palletes o plomes.

5.1 Dinamica de rotacio

A l’interior de tots els cossos materials existeixen forces internes de cohesio entre els atoms o lesmolecules.

Aquestes forces son mınimes en els gasos i maximes en els solids; en aquests, son capaces de donarrigidesa al cos per tal que tengui una forma propia.

El solid rıgid es un cas ideal de solid en el que les forces de cohesio son tan intenses que el cos esindeformable per l’accio de forces externes.

Per la tercera llei de la dinamica, aquestes forces internes s’anul·len dues a dues, i no es necessaritenir-les en compte en l’estudi dinamic. La seva aportacio consisteix en mantenir constant la formadel solid.

En tot sistema de partıcules, incluint el solid rıgid, existeix un punt caracterıstic anomenat centrede masses, el moviment del qual es igual al moviment d’un punt material amb una massa igual a ladel solid rıgid.

El moviment d’un solid rıgid es pot dividir en dues components: el moviment de translacio, quantotes les partıcules descriuen trajectories paral·leles, i el moviment de rotacio, les partıcules descriuentrajectories circulars en torn a una recta anomenada eix de rotacio.

En el cas de moviments de translacio pura es suficient estudiar el moviment del centre de masses,ja que l’orientacio del cos no canvia.

5.1.1 Moment d’una forca

Quan s’aplica una forca sobre un cos rıgid que pot girar al voltant d’un eix, el solid girara al voltantde l’eix sempre que la direccio de la forca no talli l’eix de gir.

67

CAPITOL 5. FORCA GRAVITATORIA I ELECTROSTATICA

El gir es produeix perque apareix una forca de reaccio d’igual valor i direccio que la forca externaaplicada, pero amb sentit contrari. D’aquesta forma es genera un parell de forces que provoca larotacio del solid.

El moment d’una forca o moment de torsio d’una forca F aplicada a un punt P , respecte a

un punt O, es el producte vectorial de la forca i el vector−−→OP :

M = r× F −→M = rF sin θ 5.1

D’aquesta manera es compren que per tancar una porta cal realitzar una forca major com mes aprop de l’eix de gir l’aplicam o com una forca paral·lela a la porta no provocara que aquesta giri.

(a) (b)

Figura 5.1: (a) Parell de forces que produeix el gir d’una barra. (b) Representacio grafica del momentde forca.

5.1.2 Moment angular

El moment angular o moment cinetic d’una massa puntual respecte a un punt, O, es el momentde la seva quantitat de moviment; es a dir, el producte vectorial del vector posicio pel vector momentlineal:

L = r× p = mr× v −→ L = mrv sin θ 5.2

Figura 5.2: Representacio grafica del moment angular.

Recordem que la segona llei de Newton es pot expressar en funcio de la massa i l’acceleracio o dela variacio del moment lineal o quantitat de moviment (p = mv):

F = ma =dp

dt

5.3

68

ACTIVITATS

Si multiplicam els dos membres vectorialment per r:

r× F = r× dp

dt=d(r× p)

dt− dr

dt× p =

d(r× p)

dt− v × p =

d(r× p)

dt

5.4

Hem fet us de la formula de la derivada d’un producte i hem tengut en compte que el productevectorial de dos vectors paral·lels (v i p) es zero.

Emprant les expressions Eq. (5.1) i (5.2) obtenim:

M =dL

dt

5.5

El moment d’una forca M es una magnitud vectorial que juga un paper similar en les rotacionsque la forca en les translacions. Representa la capacitat per canviar l’estat de moviment de rotaciorespecte d’un determinat punt o eix. Per exemple, per tancar una porta podem aplicar una forcapetita lluny de les frontisses o, per contra, una forca gran prop de l’eix de rotacio.

El moment angular o moment cinetic L es una magnitud vectorial que representa l’estat de movi-ment de rotacio d’un cos respecte a un punt. Juga el mateix paper en la dinamica de rotacio que laquantitat de moviment en la dinamica de translacio.

Podem deduir el teorema de conservacio del moment angular: si el moment resultant de les forcesaplicades a una partıcula o sistema de partıcules es zero, el moment angular de la partıcula o sistemaroman constant en el temps:

Si M = 0 → dL

dt= 0 → L = const.

5.6

5.2 Lleis de Kepler

Johannes Kepler va rompre amb el model aristotelic (geocentric) i elabora un model heliocentric,partint de les idees de Copernic i amb l’ajut de les observacions realitzades per Tycho Brahe. Ke-pler formula els seus resultats en tres lleis empıriques del moviment planetari, lleis que a la llargaproporcionarien a Newton la base per al descobriment de la gravetat.

Les tres lleis de Kepler son:

Primera llei. Tots els planetes es mouen en orbites el·lıptiques amb el Sol en un dels seus focus.

La Figura 5.3a mostra l’orbita el·lıptica d’un planeta amb el Sol en un dels seus focus. El puntP en que el planeta esta mes proper al Sol s’anomena periheli, mentre que el punt A, en el qual ladistancia al Sol es maxima, es denomina afeli. L’orbita de la Terra es aproximadament circular: ladistancia a l’afeli es de 152,1 milions de quilometres i en el periheli es de 147,3. La distancia mitjanade la Terra al Sol en la seva orbita es igual al semieix major, es a dir, la semisuma d’aquestes distancia,que es 149,6 milions de quilometres.

Segona llei. La lınia que uneix un planeta amb el Sol descriu (o escombra) arees iguals en tempsiguals.

La Figura 5.3b il·lustra la segona llei de Kepler, la llei de les arees iguals. Un planeta es mou mesrapidament quan esta proper al Sol que quan se’n troba allunyat. Com veurem mes endavant, la lleide les arees iguals esta relacionada amb la conservacio del moment angular.

69


(a) (b)

Figura 5.3: (a) Trajectoria el·lıptica d’un planeta amb el Sol en un dels seus focus. (b) Quan unplaneta es troba a prop del Sol, es mou mes rapidament que quan se’n troba mes allunyat. Les areesescombrades per unitat de temps son iguals.

Tercera llei. El quadrat del perıode de cada planeta es proporcional al cub de la seva distanciamitjana al Sol.

Aquesta llei relaciona el perıode de translacio de cada planeta amb la seva distancia mitjana alSol. En forma algebraica, si r es la distancia mitjana entre un planeta i el Sol, i T es el perıode derevolucio del planeta, la tercera llei de Kepler estableix que

T 2

r3= k

5.7

on la constant k es la mateixa per a tots els planetes del Sistema Solar.

Exemple 5.1

La relacio entre els radis mitjans de les orbites de Mart i la Terra en torn al Sol esRM/RT = 1,53. Calculau el perıode de l’orbita de Mart en torn al Sol (durada d’un “anymarcia”).

Aplicam la tercera llei de Kepler:

T 2M

R3M

=T 2

T

R3T

−→ T 2M =

R3M

R3T

TT −→ TM =

√(RM

RT

)3

TT =√

(1, 53)3TT = 1, 89 anys

Un any marcia dura 1, 89 anys terrestres.

5.3 Llei de Newton de la gravitacio

Tot i que les lleis de Kepler constituıren un pas important en la comprensio del moviment planetari,encara es tractava de lleis merament empıriques obtingudes a partir d’observacions astronomiques. Vacorrespondre a Isaac Newton fer el seguent pas i atribuir l’acceleracio d’un planeta en la seva orbita auna forca feta pel Sol sobre el planeta, la qual varia inversament amb el quadrat de la seva distanciaal Sol. Posteriorment, va fer la proposta que aquesta forca existia entre dos objectes qualsevols del’Univers. Fins aleshores, no s’acceptava que les mateixes lleis que regien els objectes celests fossinaplicables als fenomens observables a sobre la Terra.

La llei de Newton de la gravitacio postula que tot objecte fa una forca atractiva sobre qualsevolaltre objecte, proporcional a les masses d’ambdos objectes, m1 i m2, i inversament proporcional alquadrat de la distancia que els separa, r12 = r12u12.

70

ACTIVITATS

Considerant masses puntuals:

F12 = −Gm1m2

r212

u12

5.8

on u12 es el vector unitari que apunta de m1 a m2 i G es la constant universal de la gravitacio,que te el valor

G = 6, 67× 10−11 N m2/kg2 5.9

Per tal de comprovar la validesa de la llei de la gravitacio, Newton va comparar l’acceleracio dela Lluna en la seva orbita amb l’acceleracio dels objectes en les proximitats de la superfıcie terrestre.Va plantejar la hipotesi que la forca que mante la Lluna en orbita es la mateixa que la que produeixque els objectes caiguin. Va considerar la Lluna i la Terra com a masses puntuals separades unadistancia 60 vegades el radi de la Terra. L’acceleracio dels objectes prop de la superfıcie de la Terra(g = 9, 8 m/s2) hauria de ser 602 = 3600 vegades l’acceleracio de la Lluna, per tal de que es compleixiel caracter quadratico-invers de la forca gravitatoria. Podem calcular l’acceleracio centrıpeta de laLluna a partir de la seva distancia a la Terra i del seu perıode

ac =v2

r=

4π2r

T 2=

4π2 3, 84× 108

(2, 36× 106)2 = 2, 72× 10−3 m/s2

5.10

Comparant amb el valor de g obtenim

g

ac=

9, 81

2, 72× 10−3= 3607 ≈ 602

5.11

Es pot apreciar que els calculs concorden bastant be.

5.3.1 Demostracio de les lleis de Kepler

Primera llei de Kepler

Newton demostra, que quan un objecte es mou al voltant d’un centre de forces, com ara el Sol, cap alqual es atret per una forca que varia com a 1/r2, la trajectoria de l’objecte pot ser una el·lipse, unaparabola o una hiperbola. Les orbites paraboliques i hiperboliques no son tancades i corresponen aobjectes que s’acosten una unica vegada al Sol. Per tant, les uniques orbites tancades possibles sonles el·lıptiques (les circulars son un cas especial d’orbita el·lıptica). Per tant, la primera llei de Kepleres una consequencia directa de la llei de la gravitacio.

Segona llei de Kepler

La segona llei de Kepler es pot comprovar a partir del fet que la forca gravitatoria es una forca central,per tant, la forca exercida pel Sol sobre els planetes esta sempre dirigida cap al Sol. Com que la forcasobre un planeta es troba sobre la lınia que va d’ell al Sol, el moment de forca respecte al Sol es zero.Si el moment net de les forces es zero, el moment angular de l’objecte es conserva.

71


L’area escombrada en un interval dt donat es proporcional al moment angular. Com que L esconstant durant el moviment del planeta, l’area escombrada en un interval de temps donat dt es lamateixa per a qualsevol punt de l’orbita, d’acord amb la segona llei de Kepler.

La constancia del moment angular implica que ha de ser constant el modul, la direccio i el sentitdel vector L.

• La constancia de la direccio de L implica que el moviment es produeix en un pla perpendiculara L.

• La constancia del sentit de L implica que el sentit de moviment de la partıcula no canvia.

• La constancia del modul de L implica la constancia de la velocitat de les arees descrites pel radivector i la trajectoria, es a dir, la segona llei de Kepler.

Tercera llei de Kepler

Per a demostrar la tercera llei de Kepler considerarem el cas especial d’orbites circulars. Consideramun planeta de massa mp que gira al voltant del Sol amb una velocitat v en una orbita circular deradi r. Com que el planeta descriu una trajectoria circular, el planeta esta sotmes a una acceleraciocentrıpeta. A partir de la segona llei de la mecanica i de la llei de la gravitacio tenim

F = mpac → GMSmp

r2= mp

v2

r

5.12

Relacionant la velocitat del planeta amb el seu perıode, v = 2πr/T , obtenim

T 2

r3=

4π2

GMS

5.13

Per a una orbita el·lıptica en general, el radi r es substitueix per la distancia mitjana entre elplaneta i el Sol, que es igual al semieix major de l’el·lipse. Aquesta equacio tambe s’aplica a lesorbites dels satel·lits de qualsevol planeta si substituım la massa del Sol MS per la massa del planeta.Tambe ens permet calcular la massa d’estrelles i planetes coneguda la distancia i el perıode orbitald’un planeta o satel·lit.

5.4 El pes dels cossos

Una aplicacio particular de la llei de la gravitacio universal es el calcul del pes dels cossos, P , queequival a la forca gravitatoria prop de la superfıcie de la Terra. Per a fer-ho, s’agafen com a massesla del cos, m, i la de la Terra, MT; i com a distancia entre aquestes, el radi de la Terra (RT).

Les dades utilitzades son constants, excepte la massa del cos que volem mesurar. Si els introduımen la formula de la llei de la gravitacio universal, obtenim:

P = GMTm

R2T

= 6, 67× 10−11 5, 97× 1024m

(6, 37× 106)2 = mg = 9, 8m

5.14

La constant 9, 8 que figura en l’expressio del pes te unitats d’acceleracio i s’anomena acceleraciode la gravetat: g = 9, 8 m/s

2. Es l’acceleracio amb que cauen tots els cossos que es troben prop de

la superfıcie de la Terra quan es prescindeix de l’existencia de l’aire. De forma similar podem calcularl’acceleracio de la gravetat a la superfıcie d’altres astres.

El pes, com la forca gravitatoria, s’aplica al centre de masses del cos, te direccio radial i el sentitcap al centre de la Terra.

72

ACTIVITATS

5.5 Moviment de satel·lits artificials

5.5.1 Velocitat orbital

En el cas de satel·lits en orbita circular, i per tal que l’orbita sigui estable, sera necessari que laforca gravitatoria coincideixi en cada punt amb la forca centrıpeta. Si aixo no es complıs, el satel·lits’aproparia o allunyaria i l’orbita seria el·lıptica.

Igualant les expressions de la forca centrıpeta i la forca gravitatoria es pot obtenir la velocitatorbital del satel·lit, que es uniforme, i el seu perıode.

Fc = Fg → mv2

r= G

MTm

r2→ v =

√GMT

r=

√GMT

RT + h

5.15

on h es l’altura de l’orbita mesurada des de la superficie del planeta.

Exemple 5.2

Un satel·lit artificial de 1500 kg orbita la Lluna amb un perıode de 2 hores, essent el radi del’orbita 1800 km. Determinau: (a) la massa de la Lluna; (b) la velocitat orbital del satel·lit.

(a) Consideram un satel·lit en orbita circular al voltant de la Lluna, per tant aplicarem la segonallei de Newton:

Fg = mac −→ GmML

r2= m

v2

r

v= 2πrT−→ G

ML

r=

4πr2

T 2−→ML =

4πr3

GT 2

Substituint els valors expressats en unitats del Sistema Internacional obtenim el valor de la massade la Lluna:

ML =4π(1, 8× 106)3

6, 67× 10−11 × (7200)2= 6, 66× 1022 kg

La massa de la Lluna es de 6, 66× 1022 kg.(b) A partir del radi de l’orbita i del perıode orbital podem calcular la velocitat orbital:

v =2πr

T=

2π1, 8× 106

7200= 1570 m/s

5.5.2 Moment angular

Els satel·lits artificials es mouen baix l’accio exclusiva de la forca de gravetat. Per tant, al tractar-sed’una forca central, el moment angular es mante constant. Aixo ens permet relacionar les velocitats iposicions del satel·lit en diferents punts de la seva orbita quan es tracta d’orbites el·lıptiques.

Per exemple, si volem relacionar la velocitat i posicio del satel·lit quan es troba en el perigeu (puntde l’orbita mes proper a la Terra) i a l’apogeu (punt de l’orbita mes allunyat)

LA = LP → mrAvA = mrP vP → rArP

=vPvA

5.16

Exemple 5.3

Considerau una orbita el·lıptica al voltant d’una estrella, la distancia de l’estrella al punt mesllunya de l’orbita, dit apoastre, es 1,2 vegades la distancia al punt mes proper de l’orbita, ditperiastre. Si la velocitat d’un cos en aquesta orbita es de 25 km/s al periastre, quina es la sevavelocitat a l’apoastre?

73


Aplicarem el principi de conservacio del moment angular: rA = 1, 2rP ,; vP = 25 km/s.

LA = LP −→ mrAvA = mrP vP −→ rAvA = rP vP −→ vA =rPrAvP =

rP1, 2rP

· 25 = 20, 8 km/s

5.6 Carrega electrica

En la fısica moderna es considera la carrega electrica com una propietat intrınseca de la materia,com la massa.

Les seves principals caracterıstiques son:

• La carrega electrica es presenta en la natura com dos tipus distints: positiva i negativa. Lescarregues del mateix signe es repel·leixen, les de signe contrari s’atreuen.

Figura 5.4: Forca entre parelles de carregues del mateix signe i de signe oposat.

• La carrega d’un cos no elemental es la suma de les carregues de les seves partıcules constituents.Si tenen la mateixa quantitat de cada tipus de carrega, el cos es neutre i la seva carrega electricaneta es zero.

• La carrega total es conserva. En qualsevol fenomen fısic o quımic, la carrega del sistema es igualabans i despres que ocorri el fenomen, tot i que repartida de forma distinta. Aixo constitueix elprincipi de conservacio de la carrega electrica.

• La carrega electrica es una magnitud quantitzada; es a dir, no varia de forma contınua, sino asalts. La carrega neta es sempre un multiple sencer de la carrega elemental,

e = 1, 602× 10−19 C 5.17

que correspon a la carrega en valor absolut dels protons i electrons.

Segons el model estandard de la fısica de partıcules, el protons ja no son partıcules elementals,sino que estan formats per unes partıcules mes basiques anomenades quarks que tenen carregueselectriques menors que la carrega elemental: ±e/3 o ±2e/3 .

• La carrega electrica pot desplacar-se a traves d’alguns cossos anomenats conductors. Aquellscossos que no permeten la circulacio de la carrega pel seu interior s’anomenen aıllants

5.7 Llei de Coulomb

La forca exercida per una carrega puntual sobre una altra esta dirigida al llarg de la lınia de les uneix.La forca varia inversament al quadrat de la distancia que separa les carregues i es proporcional alproducte d’aquestes. La forca es repulsiva si les carregues tenen el mateix signe i atractiva si lescarregues tenen diferent signe.

La llei de Coulomb es pot expressar matematicament com

74

ACTIVITATS

F12 = kq1q2

r212

u12

5.18

on k es la constant de Coulomb o constant electrica. Al contrari que passa en el cas gravitatori,aquesta constant no es universal i depen del medi en el que es troben les carregues. Podem definir-laa partir de la permitivitat o constant dielectrica del medi (ε)

k =1

4πε

5.19

En el cas del buit ε0 = 8, 85× 10−12 C2/N m2 i la constant electrica pren el valor

k = 8, 99× 109 N m2/C2 ≈ 9× 109 N m2/C2 5.20

La permitivitat dels altres medis (ε) es calcula a partir de la permitivitat del buit (ε0) i de lapermitivitat relativa del medi (εr): ε = εr ε0

Noteu la semblanca entre la llei de Coulomb i la llei de Newton de la Gravetat (Eq. [5.8]). Ambduesson lleis que depenen de la inversa del quadrat de la distancia, pero la forca gravitatoria entre les duespartıcules es proporcional a les seves masses i es sempre atractiva, mentre que la forca electrica esproporcional a les carregues de les partıcules i pot ser atractiva o repulsiva.

En un sistema de carregues, cada una fa una forca sobre les altres, donada per l’Eq. (5.18). Aixı,la forca neta sobre cada carrega es la suma vectorial de les forces individuals fetes sobre cada carregaper les restants carregues del sistema, es el que es coneix com principi de superposicio.

Exemple 5.4

Tres carregues puntuals de valors q1 = +3 nC, q2 = −5 nC i q3 = +4 nC estan situades, res-pectivament, en els punts de coordenades (0, 3), (4, 3) i (4, 0) del pla XY. Si les coordenadesestan expressades en metres, determinau la forca sobre una carrega d’1 nC situada a l’origende coordenades.

En primer lloc realitzarem un diagrama de la situacio amb les forces exercides per cada una de lescarregues. Per tal de no complicar excessivament el diagrama, presentarem un segon diagrama ambels vectors posicio:

A continuacio calcularem els vectors posicio (diferencia entre les coordenades del punt final menysl’origen) i els corresponents vectors unitaris (ui = ri/ri). Cal recordar que aquests vectors van desdel punt on hi ha la carrega “que crea la forca” cap al punt on hi ha la carrega sobre la que calculamla forca.

75


r1 = (0, −3) → r1 = 3 m → u1 = (0, −1)r2 = (−4, −3) → r2 = 5 m → u2 = (−4/5, −3/5)r3 = (−4, 0) → r3 = 4 m → u3 = (−1, 0)

Aplicam el principi de superposicio:

F = F1 + F2 + F3 = kq1q4

r21

u1 + kq2q4

r22

u2 + kq3q4

r23

u3 = kq4

(q1

r21

u1 +q2

r22

u2 +q3

r23

u3

)

F = 9× 109 × 10−9

[3× 10−9

32(0, −1)− 5× 10−9

52

(−4

5, −3

5

)+

4× 10−9

42(1, 0)

]F =

(−8, 1× 10−10, −1, 92× 10−9

)N

Activitats

1. El perıode orbital de Jupiter es d’11 anys i314 dies. Calculau, per aplicacio de la ter-cera llei de Kepler, la seva distancia mitjanaal Sol en relacio a la distancia Sol-Terra.

2. Agost de 1877, l’astronom estatunidencAsaph Hall descobreix Deimos, primersatel·lit de Mart, i dins la mateixa setma-na descobreix Fobos, segona i darrera llunaconeguda del planeta vermell. L’orbita deDeimos te un perıode de 1,262 dies i un se-mieix major de 23 460 km. Realitzau unaestimacio del semieix major de l’orbita deFobos si el seu perıode orbital es de 7 h 39,2min.

3. A partir de les dades de la taula seguent,justificau la validesa de la tercera llei de Ke-pler. El semieix major de l’orbita es dona enunitats astronomiques i el perıode orbital Ten anys. Es necessari passar les dades a SIper comprovar la tercera llei?

Planeta a (ua) T (a)Mercuri 0,3871 0,2408Venus 0,7233 0,6152Terra 1 1Mart 1,524 1,881

Jupiter 5,204 11,85Saturn 9,582 29,46

Ura 19,23 84,32Neptu 30,10 164,8

4. Considerau un cos de massa m = 60 kg, icalculau: (a) El pes del cos a la superfıcieterrestre. (b) El pes del cos a 10 km d’alcadasobre la superfıcie terrestre. (c) El pes delcos a 1000 km d’alcada sobre la superfıcieterrestre.

5. Conegudes les relacions entre les masses i elsradis de la Terra i la Lluna MT/ML = 81 iRT = 4RL comparau el pes d’un cos a lessuperfıcies de la Terra i de la Lluna.

6. Calculau l’alcada a la que es troba el satel·litMeteosat si es tracta d’un satel·lit que giraen orbita equatorial trobant-se sempre so-bre el mateix punt de la superfıcie terrestre(satel·lit geostacionari), a aquest cas, sobreel Golf de Guinea.

7. La nau espacial Lunar Prospector esta enorbita al voltant de la Lluna a una alturade 100 km sobre la superfıcie. Determinaula velocitat lineal de la nau i el perıode delmoviment. Dades: ML i RL.

8. Cercau el punt entre la Terra i la Llunaon la forca resultant de les atraccions gra-vitatories sobre un cos es zero. La massa dela Terra es 81 vegades mes gran que la dela Lluna i la distancia entre ambdues es de384 000 km.

76

ACTIVITATS

9. A la posicio (4, 0) tenim una massa de 1012

kg, al punt (0, −6) una de 5 × 1012 kg, alpunt (−5, 0) una de 2 × 1012 kg i al punt(0, 3) una de 5× 1011 kg. Calculau la forcaque experimentaria una massa de 10 kg si-tuada a l’origen. Nota: totes les distanciesestan expressades en metres.

10. Calculau l’acceleracio de la gravetat a la su-perfıcie de Mercuri i de Mart a partir de lesdades que apareixen a la taula de Dades as-tronomiques de l’apendix F.

11. Els satel·lits geostacionaris son aquells quees mantenen fixos respecte de la superfıciede la Terra perque tenen la mateixa veloci-tat angular que el nostre planeta. (a) Cal-culau l’altura i el radi de l’orbita d’aquestssatel·lits.

12. S’observa que una estrella gira al voltantd’un punt on no s’hi veu res, i on se sospitaque hi pugui haver un forat negre. L’estrellagira uniformement en una orbita circular de4× 1011 m de radi i un perıode de 160 dies.Calculau la velocitat amb que gira l’estrellai la massa del possible forat negre.

13. Quina relacio existeix entre les velocitatsd’un cometa quan passa pel perigeu i perl’apogeu, si quan es troba a l’apogeu esta auna distancia del Sol doble que en el peri-geu?

14. Quin es el radi de l’orbita d’un planeta quete un perıode d’1,86 anys. Donau el resultaten termes del radi de l’orbita de la Terra.

15. Un cometa passa pel periheli a una distanciab del Sol i per l’afeli a una distancia a =20 000b. Quina relacio hi ha entre: (a) elmoment angular del cometa respecte del Solen el periheli i en l’afeli? (b) la forca d’atrac-cio gravitatoria sobre el cometa en aquestspunts?

16. Es pot obtenir una estimacio de la massa delSol facilment suposant que la Terra segueixuna trajectoria circular: Quina seria la mas-sa del Sol si la Terra seguıs una orbita cir-cular de 150 milions de quilometres de radiamb un perıode orbital de 8766 hores?

17. Un cometa segueix una orbita el·lıptica ambla forma mostrada a la figura al voltant d’u-na estrella (punt negre). En quin dels trespunts es la velocitat orbital major? I en quindels tres punts es menor? Justificau la res-posta.

18. El planeta Neptu te una orbita quasi circularque recorre amb un perıode de 164,8 anys.(a) Com es pot calcular una estimacio delradi de l’orbita en unitats astronomiques?(b) Feis el calcul i donau aquest radi.

19. La massa de la Lluna es, aproximadament,7, 35 × 1022 kg, i el radi, 1, 7 × 106 m.(a) Quant tarda a caure-hi un objecte si eldeixam caure des de 2 m d’altura? (b) Qui-na es la velocitat d’escapament des de la su-perfıcie de la Lluna? (c) Quant podria sal-tar, en altura, una persona a la superfıcie dela Lluna si a la Terra saltava 1 m?

20. Una de les llunes de Jupiter, Io, segueix unaorbita de radi mitja 4, 22 × 108 m amb unperıode d’1, 55 × 105 s. (Radi de Jupiter:71 400 km). (a) Determinau el radi mitjade l’orbita de la lluna de Jupiter Cal·listo,que te un perıode d’1, 44 × 106 s. (b) Cal-culau la massa de Jupiter. (c) Determinauel valor de l’acceleracio de la gravetat a lasuperfıcie de Jupiter.

21. Calculau la forca electrica i gravitatoria en-tre dos protons separats una distancia d’unmil·lımetre. Calculau la relacio entre amb-dues forces.

22. A quina distancia s’han de col·locar du-es carregues iguals d’1 mC perque es re-pel·leixin amb una forca d’1 N?

23. Volem vencer el pes d’una partıcula de mas-sa 200 g i carrega 1 µC amb una segonapartıcula carregada. Calculau la carrega que

77


ha de tenir aquesta partıcula si ambdues es-tan separades una distancia d’un metre, in-dicant quin ha de ser el seu signe i fent unesquema grafic de la situacio.

24. Dues esferes iguals de radi 1 cm i massa 10g es troben penjades d’un mateix punt mit-jancant fils de seda de 19 cm de llargaria.Ambdues esferes tenen la mateixa carregaelectrica negativa. Determinau l’esmentadacarrega electrica si a l’equilibri l’angle queformen els dos fils es de 90. Determinautambe la tensio dels fils.

25. Tenim tres carregues electriques sobre unalınia, q1 = 1, 00 × 10−4 C, q2 = −1, 00 ×10−4 C i q3 = 1, 60×10−3 C; la lınia es l’eixx i q1 esta a x = 0 m, q2 esta a x = 0, 5 m iq3 esta a x = 2, 0 m. Calculau la forca totalsobre q1.

26. Calculau la forca que actua sobre unacarrega de 12 µC que es troba 15 cm al sud

d’una carrega de −42 µC i 25 cm a l’oestd’una carrega de 63 µC. Cap on es veu im-pulsada?

27. Dues carregues puntuals q1 = 5 nC i q2 =3 nC estan en dos vertexs d’un quadrat de3 m de costat. Quina es la forca sobre unapartıcula amb la carrega de q = –2 nC? I elmodul de la forca?

28. (a) Calculau la forca entre dues carreguesd’1 µC que es troben a 10 cm de distanciaen el buit. (b) Si la distancia es duplica, estriplica, . . . determinau, sense fer els calculscomplets quina seria la forca entre les duescarregues. (c) Repeteix l’apartat (a) en elcas de trobar-se dins aigua (εr = 80).

29. Tenim quatre carregues de 3 nC situades alsvertexs d’un quadrat. Calcula la forca sobreuna carrega de −5 nC situada al centre delquadrat.

78

ASistemes de mesura

La ciencia es basa, principalment, en dos procediments: l’elaboracio de models teorics i la realitzaciod’experiments o l’observacio per posar a prova els models. Fer experiments i observacions implicarealitzar mesures. Es necessari, si es vol fer un treball experimental de qualitat, tenir unes nocionsmınimes de mesures, errors i el seu tractament.

Anomenam magnitud a qualsevol propietat observable que podem mesurar i a la qual podemassignar una unitat.

Fent aixo podem mesurar, es a dir, comparar unes quantitats amb unes altres. El problema es quesi no triam els patrons de mesura de forma adequada, el proces de mesura no servira de res.

Les unitats utilitzades han de ser facilment reproduıbles i invariables (per aixo, el pam no es unabona mesura de longitud, ja que el de cada un te una longitud diferent).

Altres magnituds s’obtenen de forma indirecta, es a dir, mitjancant l’aplicacio d’una formulamatematica.

A.1 Magnituds fonamentals i derivades

Es denominen magnituds fonamentals a aquelles que la comunitat cientıfica elegeix arbitrariamentcom a tals i, per tant, no necessiten definir-se en funcio d’altres magnituds.

Les magnituds derivades son aquelles que es defineixen en funcio de les magnituds fonamentals.El conjunt de les diferents magnituds s’agrupen en els denominats sistemes d’unitats, en els que

es relacionen les unitats de diferents magnituds mitjancant valors, normalment senzills.Hi ha diferents sistemes d’unitats, tot i que el mes emprat es el Sistema Internacional d’Unitats.

A.2 Dimensions de les magnituds fısiques

Per calcular l’area d’una superfıcie plana, multiplicam una longitud per una altra, per tant direm quel’area te dimensions de longitud per longitud o longitud al quadrat, el que escriurem com L2. Aquestaidea de dimensions la podem generalitzar a qualsevol magnitud no geometrica, de forma que l’equaciodimensional ens indicara la relacio que hi ha entre la magnitud derivada i les magnituds fonamentalsdel sistema de mesura emprat, habitualment el SI.

La majoria de les magnituds que utilitzarem durant el curs deriven de la longitud (L), el temps(T), la massa (M) i la temperatura (Θ).

[S] = L2 [v] =

[∆x

∆t

]= LT−1 [F ] = [ma] = MLT−2

Les dimensions de les magnituds son una ajuda, ja que les expressions analıtiques han de serhomogenies; es a dir, els dos membres de l’expressio han de tenir les mateixes dimensions. No te cap

79

APENDIX A. SISTEMES DE MESURA

sentit igualar, per exemple, un volum a una temperatura. Aixo ens permet detectar errades en lesexpressions o determinar les unitats de les constants.

A.3 El Sistema Internacional d’Unitats

El patro de mesura que empram a Espanya es el Sistema Internacional d’Unitats (SI), adoptat per laConferencia General de Peses i Mesures i vigent actualment a l’Unio Europea.

D’acord amb la Llei 3/1985 de Metrologia i el Reial Decret 2032/2009, pel que s’estableixen lesUnitats Legals de Mesura, el Sistema Legal d’Unitats de Mesura, l’us del qual es obligatori a l’Estatespanyol, es el Sistema Internacional d’Unitats, basat en el sistema metric decimal.

Les definicions actuals de sis de les set unitats fonamentals del SI, a partir de les quals es deriventotes les altres, son molt precises i estan basades en processos fısics facilment reproduıbles. L’unicadefinicio que no s’ha modificat es la del kilogram, que segueix basat en un objecte, tot i que s’estatreballant en una definicio alternativa.

Metre (m): es la longitud del trajecte recorregut en el buit per la llum durant un temps de1/299 792 458 segons.

Kilogram (kg): es la unitat de massa. Es igual ala massa del prototipus internacional delkilogram.

Segon (s): es la durada de 9 192 631 770 perıodes de la radiacio corresponent a la transicio entreels dos nivells hiperfins de l’estat fonamental de l’atom de cesi.

Ampere (A): es la intensitat de corrent constat que, mantingut en dos conductors paral·lels,rectilinis, de longitud infinita, de seccio circular menyspreable i situats a una distancia d’1 m l’un del’altre, en el buit, produiria entre aquests dos conductors una forca igual a 2× 10−7 N/m.

Kelvin (K): unitat de temperatura termodinamica, es la fraccio 1/273, 16 de la temperaturatermodinamica del punt triple de l’aigua.

Mol (mol): es la quantitat de substancia d’un sistema que conte tantes unitats elementals comatoms hi ha en 0, 012 kg de carboni-12.

Candela (cd): es la intensitat lluminosa, en una direccio donada, d’una font de llum que emetuna radiacio monocromatica de frequencia 540×1012 Hz i la intensitat energetica de la qual en aquestadireccio es 1/683 W (watts per estereoradian).

Pel que fa als multiples i submultiples decimals de les unitats SI, aquests es formen mitjancantprefixos que designen els factors numerics decimals pels quals es multiplica la unitat. El sımbol d’unprefix es considera combinat amb el de la unitat a que va lligat, sense que hi hagi un espai intermedi.

A.4 Notacio cientıfica

L’us de nombres molt grans o molt petits es simplifica molt en la notacio cientıfica. En aquestanotacio, els nombres s’escriuen, com el producte d’un nombre entre 1 i 10 i una potencia de 10.

La distancia entre la Terra i el Sol es de 150 000 000 km, per tant, en notacio cientıfica sera1, 5× 108 km i el diametre d’un virus, que es 0, 000 000 012 m, s’escriu com 1, 2× 10−8 m.

80

ACTIVITATS

Prefixos de potencies de 101024 Y yotta 10−1 d deci1021 Z zetta 10−2 c centi1018 E exa 10−3 m mil·li1015 P peta 10−6 µ micro1012 T tera 10−9 n nano109 G giga 10−12 p pico106 M mega 10−15 f femto103 k kilo 10−18 a atto102 h hecto 10−21 z zepto101 da deca 10−24 y yocto

A.5 Xifres significatives

Molts dels nombres que apareixen en la ciencia procedeixen d’algun mesurament i, per tant, nomes sonconeguts dintre dels lımits de la precisio experimental. Aquesta precisio depen de l’aparell utilitzati de l’habilitat del mesurador i, en general, nomes pot ser coneguda aproximadament. Una indicacioaproximada de la precisio d’una mesura es el nombre de dıgits utilitzats. Per exemple, si deim queuna taula te 2, 50 m de longitud, volem dir que la seva longitud es troba probablement entre 2, 495 i2, 505 m; es a dir, coneixem la longitud amb un marge ±0, 005 m.

Els dıgits fidedignes utilitzats per expressar el valor, descartant els zeros per localitzar la comadecimal, s’anomenen xifres significatives. En el cas anterior, el nombre 2, 50 te tres xifres significatives,mentre el nombre 0, 010 en te dues, ja que els dos primers zeros no ho son.

Per expressar les xifres significatives d’una mesura, hem de tenir en compte les regles seguents:

• Son significatives totes les xifres distintes de zero.

• Els zeros col·locats entre dues xifres significatives tambe ho son.

• Els zeros col·locats abans de la primera xifra significativa no son significatius.

• Pels nombres majors que la unitat, tots els zeros situats a la dreta del punt decimal es considerenxifres significatives.

• Per nombres sense punt decimal, els zeros situats despres del darrer dıgit que no es un zero espoden considerar significatius o no, ja que no tenim prou informacio de la forma en que s’harealitzat la mesura. La forma d’evitar aquest problema es utilitzar la notacio cientıfica.

Un error molt habitual es donar els resultats obtinguts amb calculadora amb mes dıgits dels quecaldria. Les regles generals que podem seguir per determinar el nombre de xifres significatives quehem de donar:

• El nombre de xifres significatives del resultat d’una multiplicacio o divisio no ha de ser majorque el menor nombre de xifres significatives de qualsevol dels factors.

• El nombre de xifres significatives del resultat d’una suma o resta no ha de ser major que elmenor nombre de xifres significatives de qualsevol dels nombres.

Al llarg d’aquest llibre, i per evitar indicar cada vegada el nombre de xifres significatives de cadanombre, es suposa que tots els valors donats tenen tres xifres significatives. Per tant, en alguns casosdirem que una longitud es d’1 m en lloc d’escriure 1, 00 m.

81


A.6 Ordre de magnitud

En fer calculs aproximats o comparacions, moltes vegades arrodonirem a la potencia de 10 mes propera.Aquest nombre s’anomena ordre de magnitud. Per exemple, l’Empire State te una altura de 443, 2m, arrodonint aquest valor direm que te una altura de l’ordre de 102 m. La major part de les personestenen una altura aproximada de 2 m, el que correspon a un ordre de magnitud de 100 = 1 m. Podemdir que una persona tıpica es dos ordres de magnitud mes baixa que l’Empire State.

Un ordre de magnitud no subministra xifres que siguin precisses, per tant no son xifres significa-tives.

En molt de casos l’ordre de magnitud d’una quantitat pot estimar-se mitjancant hipotesis raonablesi calculs simples. Aixo ens permet fer calculs aproximats per tenir una idea del valor que obtindrem.

A.7 Mesures i errors

Les mesures mai son perfectes. Aixo es degut a que els nostres instruments de mesura no son perfectesi tenen una sensibilitat limitada i a que podem cometre errors en el proces de mesura.

A.7.1 Imperfeccio dels instruments i sensibilitat

La primera causa de que les nostres mesures no siguin perfectes prove del fet que els instrumentstampoc ho son. Existeix un lımit a la precisio que podem obtenir amb aquests.

Un instrument de mesura, com ara un regle, te una precisio limitada. Per exemple, un regle normalte una precisio de mil·lımetres. Es a dir, no podem mesurar longituds menors a un mil·lımetre. Aquestaquantitat mınima que pot mesurar un instrument s’anomena sensibilitat. Aixo limita el nombre dexifres decimals amb les quals donem el resultat de la mesura.

Exemple A.1

A la figura s’aprecia que la nostra mesura es troba entre 18, 8 i 18, 9 cm. No podem dir amb seguretatla segona xifra decimal. 18, 8 cm es correcte, 18, 82 cm no es correcte.

Hem de tenir en compte que mai es pot donar el resultat d’una mesura amb mes xifres que les quecorresponen a la sensibilitat de l’aparell.

Exemple A.2

Una targeta de cartro es mesura amb un regle que te una sensibilitat de mil·lımetres i ens donaun resultat de 10, 0 cm. Volem saber quant mesura una tercera part de la targeta. En dividir10, 0 cm amb la calculadora, obtenim 3, 333 333 333 cm. Si pensem un poc ens adonem de que nototes aquestes xifres tenen un significat real. La vuitena xifra es de l’ordre de magnitud d’un atom.Haurıem de respondre 3, 3± 0, 1 cm.

82

ACTIVITATS

A.7.2 Errors

Quan mesurem cometem errors, els quals definim com la discrepancia entre el valor real d’una mag-nitud i el valor que n’obtenim realitzant-ne la mesura.

Els errors es poden classificar en dues categories:

• Errors sistematics. Deguts als defectes dels instruments de mesura, a una mala calibracio oa un mal us d’aquests.

• Errors aleatoris. Deguts a causes massa complexes per tenir-les en compte.

Errors sistematics

Els errors sistematics son deguts a un defecte en la construccio de l’instrument. Per exemple, podemcomprar un regle de 20 cm pero que realment sigui un poc mes gran. Aixo ens produira sempre unerror en les mesures efectuades amb aquest regle: totes les mesures seran menors del que realmenthaurien de ser. Cometrem errors per defecte.

Aquesta es una caracterıstica dels errors sistematics, sempre son per exces o per defecte.

L’altra causa dels errors sistematics es una mala calibracio de l’instrument. Es a dir, una malapreparacio de l’instrument. Existeixen instruments de mesura que s’han de preparar a cada sessio demesures. Si aquesta preparacio no es correcta les mesures tindran un error.

Una altra causa d’errors sistematics es un mal us de l’instrument. Quan es realitza una mesuras’ha de procedir amb cura per tal de mesurar de forma correcte. Cada aparell te una forma optimade funcionar, la qual s’ha de coneixer i seguir en tot moment.

Els errors sistematics es poden evitar amb instruments de qualitat i fent un bon us d’ells.

Errors aleatoris

Els errors aleatoris son deguts a una multitud de causes massa complexes per tenir-les en compte, comper exemple petites variacions de les condicions ambientals durant l’experiment. Aquests errors no espoden evitar, pero sı minimitzar. Afortunadament els errors aleatoris estan distribuıts igualment perexces i per defecte i els errors grans son menys probables que els petits. Podem evitar, o al mancodisminuir, els errors aleatoris repetint la mateixa mesura varies vegades, per, d’aquesta manera,compensar entre sı entre els errors.

A.7.3 Expressio dels errors

Quan s’elabora un informe de laboratori es imprescindible indicar la precisio de les nostres mesures,ja que aquesta precisio es la que ens indica el grau de coneixement que posseım del fenomen estudiat.Hi ha diverses formes d’expressar la precisio i els errors.

Error absolut

Definim error absolut (EA) com la diferencia entre el valor de la nostra mesura (Vm) i el valor real dela magnitud que volem mesurar (Ve).

EA = Vm − Ve

A.1

El signe de l’error absolut indica si l’error s’ha comes per exces o per defecte. Si l’error absolut espositiu es tracta d’un error per exces. Si es negatiu, es per defecte.

83


Error relatiu

En mesurar una longitud cometem un error d’un mil·lımetre. Es un error gros o petit? No ho podemsaber si no sabem que es el que intentam mesurar. Si es tracta del gruix d’un full de paper, es unerror enorme. Si es tracta de mesurar la distancia entre la Terra i la Lluna, es un error insignificant.

Per tant, sera necessari comparar l’error amb la magnitud que mesuram. Aixo es l’error relatiu(ER) i s’acostuma a expressar en forma de percentatge:

ER =Vm − Ve

Ve· 100 =

EA

Ve· 100

A.2

Exemple A.3

Es sap que un objecte te una massa de 15,00 g. En pesar-lo amb una balanca que aprecia finsa les centena de g obtenim 15,12 g. Calcula l’error absolut i l’error relatiu.

EA = Vm − Ve = 15, 12− 15, 00 = 0, 12 g

ER =EA

Ve· 100 =

0, 12

15, 00· 100 = 0, 8 %

A.7.4 Dades experimentals

Si t’has fixat be, per calcular el valor de l’error absolut i de l’error relatiu necessitam el valor exacte dela magnitud que volem mesurar. Pero aixo no te cap sentit. Si realitzam una mesura es, precisament,perque volem sabre quin valor exacte te aquesta magnitud.

Si suposam que l’instrument esta ben construıt i calibrat i que en feim un bon us, les uniques fontsd’incertesa seran la sensibilitat de l’instrument i els errors aleatoris. Si repetim la mesura n vegadesi n’extreim el valor mitja podem reduir l’efecte dels errors aleatoris.

A.7.5 Valor mes probable

Si feim varies mesures d’una magnitud, consideram el valor mitja com el valor exacte. Aixı, per acada mesura, podem calcular l’error absolut i despres calcular-ne el valor mitja. El valor mes probabled’una magnitud es el valor mitja mes/menys el valor mitja dels errors absoluts, es a dir:

V =< V > ± < EA > A.3

Exemple A.4

Suposem que hem mesurat el temps que tarda una bolla en arribar al final d’una rampa. Hemrepetit la mesura del temps 6 vegades amb un cronometre amb una sensibilitat de centessimesde segon. Calcula el valor mes probable.

t (s) 18, 49 18, 45 18, 42 18, 46 18, 47 18, 56

Calculam el valor mitja de les mesures:

< t >=

∑i tin

=18, 49 + 18, 45 + 18, 42 + 18, 47 + 18, 56

6= 18, 48 s

84

ACTIVITATS

Calculam el valor mitja dels errors absoluts:A continuacio calculam l’error absolut de cada mesura, sense tenir en compte el signe:

EA (s) 0, 01 0, 03 0, 06 0, 02 0, 01 0, 08

< EA >=

∑iEAi

n=

0, 01 + 0, 03 + 0, 06 + 0, 02 + 0, 01 + 0, 08

6= 0, 04 s

Per tant, el valor mes probable es:

t =< t > ± < EA >= 18, 48± 0, 04 s

L’error absolut s’ha de representar mitjancant una unica xifra significativa. En el cas que aquestaestigui compresa entre 1 i 2 es permet prendre dues xifres.

El valor mitja ha de tenir el mateix ordre d’aproximacio que el seu corresponent error absolut.

x X3, 418± 0, 123 3, 42± 0, 126, 3± 0, 085 6, 30± 0, 09

46 288± 155346 300± 1600

(4, 63± 0, 16)× 104

Aquest sistema de tractament d’errors no es mes que una petita introduccio al tractament de dadesexperimentals i d’errors. En el treball cientıfic real es requereixen analisi estadıstics mes detallats,calcular expressions per obtenir els errors de magnituds derivades i, en definitiva, tot un procesposterior a la presa de mesures.

Activitats

1. Escriviu en el SI d’unitats: (a) 100 cm2; (b)750 ml; (c) 90 km/h; (d) 144 km/(h min);(e) 3, 6 · 10−5 kg km/min2

2. Escriviu en unitats del SI la distancia en-tre el Sol i Proxima Centauri, l’estrella mespropera al Sol, que es de 4, 2 anys llum.

3. Ordenau de major a menor: 10 m/s; 7200cm/s ·min; 100 m2s−1

4. Realitzau els seguents calculs i arrodoniu elsresultats amb el nombre correcte de xifressignificatives i expressau-los en notacio ci-entıfica:

(a) 2, 037 + 0, 6493

(b) 3, 141 592 654 · (23, 2)2

(c) 2 · 3, 141 592 654 · 0, 76

(d) 43π · (1, 1)3

(e) 1, 14 ·(9, 999× 104

)(f) 27, 6 + 5, 99× 10−2

(g) 28 401 + 5, 78× 104

(h) 63, 25/(4, 17× 10−3

)(i) 0, 000 000 513 ·

(62, 3× 107

)(j)(2, 32× 103

)/(1, 63× 108

)5. Escriviu les equacions de dimensions corres-

ponents a les seguents magnituds fısiques:longitud, massa, temps, superfıcie, volum,velocitat, acceleracio, forca, pressio, densi-tat, treball, energia, potencia, angle.

6. Indicau si les seguents equacions son o nohomogenies:

(a) v = v0 + a

(b) v = v0 + at

85


(c) x = v0t+ 12at

2

(d) p = ρgh

(e) v2 = v20 + 2a3t

(f) Ft = mv

(g) T = 2π(L/g)−1/2

7. En les equacions seguents, la distancia xve expressada en m, el temps t en s i lavelocitat v en m/s. Quines son les uni-tats de les constants C1 i C2 en el SI? (a)x = C1+C2t; (b) x = 1

2C1t2; (c) v2 = 2C1x;

(d) x = C1 cosC2t; (e) v = C1e−C2t. Indi-

cacio: els arguments de les funcions trigo-nometriques i exponencials han de ser adi-mensionals. L’argument de cos θ es θ i el deex es x.

8. La llei experimental de Hooke relaciona laforca F exercida sobre una molla i l’allar-gament que li produeix ∆x en funcio d’unaconstant k caracterıstica de la molla. La lleies F = k∆x. Determinau les unitats de k iles seves dimensions.

9. Un projectil llencat amb una inclinacio de45o recorre una distancia total R, anomena-da abast, que nomes depen de la velocitatinicial v i de l’acceleracio de la gravetat g.Mitjancant analisi dimensional, trobau comR depen de la velocitat i de g.

10. Que farieu per corregir un error sistematic?

11. Quin error relatiu i absolut cometem al me-surar un interval de temps de 5 minuts ambun cronometre que aprecia 1/5 de segon?

12. A continuacio s’expressen els valors mes pro-bables d’unes mesures. Corregeiu totes leserrades que hi detecteu:

(a) 3, 564± 0, 3 m

(b) 9, 367× 105 ± 0, 081× 105 kg

(c) 2± 0, 05 m/s

(d) 7, 3 km± 100 m

(e) 0, 037× 10−6 ± 3× 10−9 N

(f) 6834± 175 m

(g) 0, 000 687± 0, 000 037 m

(h) 136, 28± 3, 4 s

(i) 428, 351± 0, 27 g

(j) 0, 016 83± 0, 0058 kg

13. Per a mesurar el perıode d’un pendol s’utilit-za un rellotge que aprecia fins a decimes desegon. Es realitzen deu mesures, obtenint-se els seguents resultats: 1, 7; 1, 2; 1, 3; 1, 4;1, 7; 1, 8; 1, 7; 1, 5; 1, 7; 1, 2.

(a) Quin valor prenem com a representatiudel perıode?

(b) Calculau l’error absolut i expressaucorrectament el resultat.

(c) Calculau l’error relatiu.

14. Quina de les dues mesures seguents et pa-reix mes precisa? (a) L’amplada d’un fol:210±1 mm. (b) La distancia entre Valenciai Barcelona: 350± 1 km.

15. Quan arrodonim el valor del nombre π (devalor real 3, 141 592 69 a 3, 14 i el de g (devalor real 9, 81 m/s2) a 10 m/s2. (a) Quinserrors absoluts es cometen en cada cas? (b)Quina de les dues aproximacions es mes ac-ceptable? Raonau la resposta.

86

BLlibre d’estil

A continuacio es descriuen les regles que s’han d’utilitzar a l’hora d’escriure nombres i unitats. Aques-tes regles serveixen per evitar confusions i estan plenament exteses entre la societat.

• Per separar el numero enter del decimal utilitzam el separador decimal. En catala i castella elseparador decimal es una coma, mentre que en angles es un punt. L’apostrof es pot utilitzarunicament quan hi hagi risc de confusio.

x X

8′758, 75

8.75 (angles)

• Els nombres amb moltes xifres es poden separar en grups de tres xifres separades per un espai.No es poden utilitzar ni comes ni punts per separar aquests grups.

x X6780345, 5

6 780 345, 56.780.345, 50, 00000567 0, 000 005 67

• Els nombres de quatre xifres s’escriuen sense espais de separacio.

x X1 298 1298

• En una llista, els nombres han d’anar separats per una coma i un espai. Aixo tambe s’aplica ales coordenades cartesianes.

x X2, 3, 5, 7 2, 3, 5, 7

(1, 2, 2, 4) (1, 2, 2, 4)

• Els sımbols de les unitats no son abreviatures, no van seguits d’un punt. No s’utilitza el plural,ni es poden mesclar sımbols d’unitats amb noms d’unitats en una mateixa expressio.

x X8 m. 8 m7 seg 7 s

87

APENDIX B. LLIBRE D’ESTIL

• Nomes d’utilitza una unitat. Per a angles plans, es millor dividir el grau de forma decimal(es preferible escriure 22, 50o que 22o 30′). Pero no en el cas de la navegacio, la cartografia il’astronomia.

x X

8 m 6 cm8, 06 m806 cm

• Sempre es deixa un espai entre el valor numeric i la unitat. Excepte en el cas dels sımbols degrau o, minut ′ i segon ′′ d’angle pla (per exemple, 90o).

x X5kg 5 kg

60oC 60 oC

• Conve deixar un espai entre el numero i el sımbol %.

x X68, 3% 68, 3 %

• Els sımbols de les unitats sempre s’escriuen en caracters romans (rectes) i en minuscula, exceptesi deriven d’un nom propi. En el cas que el sımbol de litres, l, es pugui confondre amb la xifra1 (u), es recomana l’us de la lletra L majuscula.

x X750 mm 750 mm

• La multiplicacio s’indica amb un espai o un punt volat (·). La divisio, amb una lınia horitzontalo una barra obliqua (/).

x X

N×mN ·mN m

m : sm/s

ms

88

CEines matematiques

C.1 Calcul vectorial

Moltes de les magnituds que s’empren en mecanica queden totalment definides per un valor numericacompanyat de la unitat corresponent. Aquestes magnituds s’anomenen escalars. Exemples demagnituds escalars son la massa, el temps i el volum.

No obstant, per definir un altre grup de magnituds fısiques, no basta amb un valor numeric,sino que tambe cal definir la direccio i sentit de la magnitud. Aquestes magnituds son dirigides ovectorials, com ara la velocitat, l’acceleracio i la forca. Per tractar aquestes magnituds empraremels vectors.

Un vector s’indica graficament per un segment orientat la direccio i sentit del qual es corresponenamb els de la magnitud representada i la longitud del vector es proporcional al valor numeric en launitat adequada.

Figura C.1: Representacio grafica d’un vector.

Les magnituds vectorials es poden simbolitzar o be en negreta v o be amb una fletxa superior−→v . Les magnituds escalars es representen sense fletxa. Els moduls o part numerica dels vectors essimbolitzen |v| = v.

C.1.1 Vectors unitaris

Un vector unitari es tot aquell vector que te un modul unitat, |u| = 1, sigui quina sigui la direccio isentit. En moltes ocasions aquest vector dura un subındex que indicara la seva direccio. Per exemple,el vector ur es un vector unitari en la direccio del vector r.

ur =r

r−→ r = rur

C.1

Els vectors unitaris que des de l’origen de coordenades es dirigeixen cap a valors creixents de cadaun dels eixos cartesians x, y i z es denominen i (o ux), j (o uy) i k (o uz), respectivament.

89

APENDIX C. EINES MATEMATIQUES

Figura C.2: Components d’un vector en el pla (esquerra) i en l’espai tridimensional (dreta) empranteixos cartesians.

C.1.2 Components cartesianes d’un vector

En el pla podem considerar un vector v com a suma de dos vectors diferents, els quals anomenamcomponents. De les infinites possibilitats de descomposicio del vector, el cas mes interessant es donaquan les direccions elegides son perpendiculars entre si format un sistema d’eixos cartesians x i y:v = vx + vy.

Per representar l’espai fısic de forma mes general utilitzarem tres eixos perpendiculars x, y i z perrepresentar l’espai ordinari tridimensional. Emprant els vectors unitaris segons els eixos cartesians,resulta:

v = vx + vy + vz = vxi + vyj + vzk C.2

on vx, vy i vz son les components cartesianes del vector v, les quals tambe permeten expressarel vector de forma simbolica com v = (vx, vy, vz).

C.1.3 Operacions amb vectors

Si definim els vectors p = (px, py, pz) i q = (qx, qy, qz) i l’escalar n podem obtenir les expressionsper a les operacions simples de vectors:

Suma de dos vectorsp + q = (px + qx, py + qy, pz + qz)

C.3

Figura C.3: Obtencio grafica de la suma de vectors per la regla del paral·lelogram (per dos vectors) ila regla del polıgon (per qualsevol nombre de vectors).

90

ACTIVITATS

Producte per un escalar

np = (npx, npy, npz) C.4

Modul d’un vector

p = |p| =√p2x + p2

y + p2z

C.5

Vector unitari

up =p

p=pxp

i +pyp

j +pzp

k C.6

C.1.4 Producte escalar

El producte escalar de dos vectors es una operacio que associa a cada parell de vectors un nombrereal; es a dir, que de dues magnituds vectorials obtenim una magnitud escalar.

El producte escalar dels vectors p i q, que es representa per p · q, es defineix com el productedels moduls d’ambdos vectors pel cosinus de l’angle menor, θ, que formen les seves direccions:

p · q = |p||q| cos θ C.7

El producte escalar es commutatiu, p · q = q · p, i es pot interpretar graficament, com s’indica ala Figura C.4, a partir de la projeccio d’un vector sobre l’altre.

Figura C.4: Interpretacio grafica del producte escalar com a projeccio del vector q sobre el vector p.

Emprant la propietat distributiva del producte escalar i tenint en compte els productes escalarsentre els vectors unitaris

i · i = j · j = k · k = 1; i · j = i · k = j · k = 0 C.8

podem expressar el producte escalar en funcio de les components dels dos vectors:

p · q = pxqx + pyqy + pzqz C.9

El treball es un exemple de magnitud fısica escalar obtinguda com a producte escalar de duesmagnituds vectorials, la forca i el desplacament.

C.1.5 Producte vectorial

El producte vectorial de dos vectors es una operacio que associa a cada parell de vectors un altrevector; es a dir, que de cada parell de magnituds vectorials n’obtenim un altre de vectorial.

El producte vectorial dels vectors p i q, que es representa per p × q, es un nou vector quecompleix les seguents caracterıstiques:

• Modul: |p× q| = |p||q| sin θ

91


Figura C.5: Orientacio del producte vectorial.

• Direccio: perpendicular al pla definit per p i q.

• Sentit: el d’avancament d’un grampo o llevataps quan giram de p cap a q pel camı mes curt(positiu en sentit antihorari i negatiu en sentit horari).

El producte vectorial no es commutatiu, sino anticommutatiu, p× q = −q× p.

C.2 Calcul diferencial

Quan s’indica que f es una funcio de x, volem dir que per a cada valor de x hi ha un valor corresponentde f . Per indicar que f es funcio de x s’indica f(x). A la Figura C.6 s’observa un grafic de f en funciode x per a una funcio tıpica f(x). Per a un valor particular de x = x1, f te el valor f1. Per a un altrevalor x2, f val f2. La variacio de x s’indica com ∆x = x2−x1 i la variacio de f com ∆f = f2−f1. Elquocient ∆f/∆x es el pendent de la recta que connecta el punt (x1, f1) amb el punt (x2, f2). Si feim∆x cada cop mes petit, la recta que uneix els dos punts es va acostant a la recta tangent s la corbaen el punt (x1, f1). El pendent d’aquesta tangent s’anomena derivada de f respecte a x i s’indicadf/dx o be f ′:

df

dx= f ′ = lim

∆x→0

∆f

∆x

C.10

A continuacio s’indiquen les derivades de les principals funcions

Figura C.6: Construccio grafica de la definicio de la derivada com a pendent de la recta tangent a unpunt de la corba i la seva definicio.

92

ACTIVITATS

f(x) = k, k ∈ R −→ f ′(x) = 0 C.11

f(x) = xn −→ f ′(x) = nxn−1 C.12

f(x) =√x −→ f ′(x) =

1

2√x

C.13

f(x) = ex −→ f ′(x) = ex C.14

f(x) = lnx −→ f ′(x) =1

x

C.15

f(x) = sinx −→ f ′(x) = cosx C.16

f(x) = cosx −→ f ′(x) = − sinx C.17

aixı com les regles de derivacio:

f(x) = g(x) + h(x) −→ f ′(x) = g′(x) + h′(x) C.18

f(x) = k g(x) −→ f ′(x) = k g′(x) C.19

f(x) = g(x)h(x) −→ f ′(x) = g′(x)h(x) + g(x)h′(x) C.20

f(x) =g(x)

h(x)−→ f ′(x) =

g′(x)h(x)− g(x)h′(x)

[h(x)]2

C.21

f(x) = g[h(x)] −→ f ′(x) = g′[h(x)]h′(x) C.22

C.2.1 Derivades de magnituds vectorials

Per derivar un vector, derivarem cada una de les components respecte a l’escalar seleccionat. Perexemple, si volem derivar el vector r(t) = rx(t)i + ry(t)j + rz(t)k respecte al temps:

dr

dt= r′(t) =

drxdt

i +drydt

j +drzdt

k C.23

Activitats

1. Anomenau cinc magnituds escalars i cincmagnituds vectorials.

2. Trobau un vector unitari en la direccio(3, −1, 4).

3. Donats els vectors a = (2, 5, −3) i b =(5, 5, 2) calculau (a) el modul de cadascund’ells, (b) el producte escalar a·b, (c) l’angleque formen.

4. Donat el vector v = −2i + 4j− 3k, calculauel vector unitari en la direccio v. Es unic?

5. Calculau l’angle que formen els vectors a =

(2, 1, 1) i b = (5, 4, 1).

6. Derivau les seguents funcions matematiques:

(a) y = x3 + 3x2 + 5

(b) y = cos2 x

(c) y = sin(3x2 + 5x+ π

)(d) y =

√cos 5x

(e) y =√

5− x3

(f) y = 1x6

7. Calculau i expressau les funcions derivadesi el seu valor quan la variable independentval 3.

93


(a) f(x) = sin2 x

(b) f(x) = sin(x2)

(c) f(x) = x5 − 4x2

(d) s(t) = 2t2 cos 4t

(e) s(t) = 2 + 3t− 5t2

(f) h(v) = 2v2 + v2 + 4

8. Calculau la funcio derivada del vectorr(t) = (4t sin t) i +

(7t2 − 8t+ 9

)j +(

−2t3 + 7t+ 10)k

94

DOperadors matematics i alfabet grec

D.1 Operadors i sımbols matematics

= igual ⊥ perpendicular6= diferent ‖ paral·lel≡ equivalent −→v o v vector≈ aproximadament |x| valor absolut∼ de l’ordre < x > o x valor mitja∝ proporcional n! factorial n(n− 1)(n− 2) . . . 1> major que

∑ni=1 xi sumatori

≥ major o igual que ∆x increment (∆x = xfinal − xinicial) molt major que ∆t→ 0 ∆t tendeix a zero

< menor que dxdt derivada de x respecte a t

≤ menor o igual que ∂x∂t derivada parcial de x respecte a t

molt menor que∫

integral∞ infinit dx diferencial de x∃ existeix ∀ per a tots

D.2 Alfabet grec

Alpha A α Iota I ι Rho P ρBeta B β Kappa K κ Sigma Σ σGamma Γ γ Lambda Λ λ Tau T τ

Delta ∆ δ Mi M µ Ipsilon Υ υ

Epsilon E ε Ni N ν Phi Φ φZeta Z ζ Xi Ξ ξ Chi X χ

Eta H η Omicron O o Psi Ψ ψTheta Θ θ Pi Π π Omega Ω ω

95

ESolucions

E.1 Cinematica

1. (a) 10 m; (b) 7 m/s

2. (a) 85 m; (b) 100 m

3. r = (7, 3, 14) m;v = (4, 4, 5) m/s;a = (0, 2, 0) m/s2

4. (a) (−1, 4) m/s;(b) (0, 2) m/s2;(c) y = (2− x)2 − 3

5. (a) rA = (3, 5); rB = (7, 3);∆r = (4, −2) m; (b) 9 m

6. v = 6ti m/s; v = 12i m/s;v = 12 m/s

7. 6 m/s2

8. 44, 4 km/h

9. (b) (600, 0, 0) m;(c) (30, 0, 0) m/s;(d) v = (30, 0, 0) m;a = (6, 0, 0) m/s2;

11. vm = 5 m/s; v = 2 m/s; (c)v = 8 m/s

12. (a) 0 m/s; (b) 0, 9 m/s2

22. (a) 1, 95 h; (b) 195 km

25. (a) 25 m; (b) 4 m/s

26. (a) −10 m/s2; (b) 2000 m

27. (a) y = 40t− 4, 9t2;(b) 34, 8 m/s; (c) 80, 4 m;(d) 81, 6 m; (e) t = 4, 08 s;v = 40 m/s

28. (a) 1, 67 s; (b) 36, 4 m

29. y = 40, 5 m/s; t1 = 2, 88 s;t2 = 0, 12 s

30.

33. (a) 25 s; (b) 4 m/s;(c) 75 m; (d) d = 125 m;θ = 53, 13o

34. (a) v = 1, 58 m/s;α = 71, 6o; (b) t = 133, 33 s;y = 3x

36. (a) 2, 47 s; (b) 37, 1 m;(c) v = (15, −24, 2) m/s;v = 28, 5 m/s

37. (a) 44, 1 m; (b) 20 m/s;(c) v = (20,−29, 4) m/s;v = 35, 6 m/s

42. (a) (30, 0) m/s;(b) 137, 8 m; (c) 318 m

43. (a) 14, 5 m/s; (b) 2, 24 s

44. (a) 141 m;(b) v = (25, −98, 6) m/s;v = 101, 7 m/s

45. 24, 4 m

46. 76, 0o

47. 40, 9 m

49. 24, 8 m/s

53. 22, 9o

54. ω = 4, 71 rad/s;v = 0, 092 m/s

55. (a) 2, 39× 105 m/s;(b) 2, 38× 10−10 m/s2

56. (a) 3, 46 rad/s; (c) 33 rpm

57. (a) ω = 83, 7 rad/s;v = 8, 37 m/s;(b) 700, 6 m/s2;(c) T = 0, 075 s;ν = 13, 3 Hz;(d) θ = 1674 rad;266, 4 voltes

58. (a) 0, 419 rad/s;(b) 120 voltes;(c) s(r = 2 m) = 1510 m;s(r = 3 m) = 2260 m

59. (a) A 5088 m; (b) 81, 6 s

60. a′c = 9ac

61. (a) 0, 99 s; (b) 60, 4 voltes

62. ω = 9, 97× 10−5 s;v = 685 m/s;ac = 0, 0683 m/s2

63. (a) 3008 voltes; (b) 0, 33 m;(c) ω = 21 rad/s;T = 0, 299 s; ν = 3, 34 Hz

64. (a) −0, 296 rad/s2;(b) 1, 38 voltes

97

APENDIX E. SOLUCIONS

E.2 Dinamica

1. (a) 15 N; (b) 0, 77 m

2. (a) 1470 N/m; (b) 4, 5 kg

3. (a) 0, 49 m; (b) 0, 346 m;(c) 0242

4. F1 = 6, 26 N; F2 = 6, 77 N

5. (a) F = 3i + 2j N;(b) a = 0, 006i+0, 004j m/s2;(c) 7, 21× 10−3 m/s2

6. a = 4, 81 m/s2;v = 14, 4 m/s; x = 21, 6 m

7. Paral·lela: 51 N;

no paral·lela: 58, 9 N

8. (a) 784 N; (b) 588 N;(c) 686 N

9. 3 m/s

10. 0, 4 m/s

11. v1 = 4, 5 m/s; v2 = 2, 6 m/s

12. v1 = 500 m/s; v2 = 342 m/s

13. ∆p = −2, 1 kg m/s;F = −70 N

14. (a) 0, 54 N·s; (b) 6, 4 N;(c) −0, 15 m/s

15. p0 = pf = 5, 5× 104 kg m/s;vf = 0, 79 m/s

16. (a) 11 760 N; (b) 10 184 N

17. 20 kg

18. 86, 9 kg

19. Amb el pla: 2770 N;

amb la paret: 1960 N

20. TA = 79, 8 N; TB = 49, 3 N

21. m/8

22. (a) T1 = 60 N; T2 = 52, 0 N;m = 5, 31 kg;(b) T1 = 46, 2 N;T2 = 46, 2 N; m = 4, 71 kg;(c) T1 = 33, 9 N;T2 = 58, 8 N; T3 = 33, 9 N;m = 3, 46 kg

23. (a) 24, 2 m/s; (b) 4, 95 s;(c) 19, 6 m/s i 6, 12 s

24. (a) 4, 52 s; (b) h = 11, 5 m;(c) x = 33, 6 m; (d) 4, 52 s;(e) −15 m/s; (f) 3, 17 s;h = 8, 14 m; x = 23, 8 m;3, 47 s; −6, 84 m/s

25. (a) 20, 5 s; (b) 205 m

27. Ff = 27, 2 N; a = 2, 6 m/s2

28. (a) 67, 4 N; (b) 2, 7 m/s2;(c) 1, 5 s

29. (b) 5, 66 m/s2 ; (c) 22, 6 N

30. a = 24, 5 m/s2

31. (a) 277 N; (b) 970 N

32. a = 0, 693 m/s2; F = 5, 31 N

33. (a) 1, 09 m/s2; (b) 4, 36 N

34. 2, 95 m/s i −2, 95 m/s

35. (a) 1, 51 m/s2;(b) TA = 45, 2 N;TB = 124 N

36. (a) 1, 45 m/s2;(b) TA = 281 N;TB = 340 N; TC = 418 N

37. (a) 2, 04 m/s2; (b) 473 N

38. F = 24, 1 N; T1 = 62, 3 N;T2 = 49, 8 N

39. (a) a = 1, 91 m/s2;T = 78, 9 N;(b) a = 0, 25 m/s2;T = 95, 5 N

40. 362 N/m

41. (a) 2, 78 m/s2;(b) FA = 5, 56 N;FB = 8, 34 N; FC = 11, 1 N;(c) a = 0, 818 m/s2;FA = 1, 64 N; FB = 2, 45 N;FC = 3, 27 N

42. 15 kg

43. (a) 98 m; (b) 81, 7 m

44. (m1+m3−m5−m7)gm1+m2+m3+m4+m5+m6+m7

45. (a) 79 m/s2; (b) 15, 8 N;(c) 1, 61 kg

46. (a) 12500 N; (b) 50, 4 km/h

47. v =√Rg µ cos θ+sin θ

cos θ−µ sin θ

48. (a) N =mg sinϕ−mω2L sinϕ cosϕ;T = mg cosϕ+mω2L sin2 ϕ;(b) N = 9, 12 N;T = 17, 4 N; (c) 2, 38 rad/s

49. (a) N1 = mg;N2 = m

(g + v2

2/R);

N3 = m(g − v2

3/R);

(b) v3 =√gR;

(c) N1 = 490 N;N2 = 1490 N; v3 = 7 m/s

50. 9, 90 m/s

51. (a) 20 m/s; (b) 133, 3 N

52. (a) 5, 92 m/s2; (b) 444 N;(c) −291 N; 1179 N

53. (a) 30, 4 N; (b) 69, 6 N

54. 2, 42 m/s

55. (a) N1 = m(g + v2

1/R);

N2 = mv22/R;

N3 = m(v2

3/R− g);

N4 = m(g sinφ+ v2

4/R);

(b) v =√gR

57. R = µg/ω2

58. (a) 9, 77m; (b) 5066 s

59. T = 2π√

R+L sinϕg tanϕ

= 6, 99 s

60. 35, 3o

61. T = 33, 9 N; v = 1, 68 m/s;al tocar en terra:v = 6, 68 m/s

98

ACTIVITATS

E.3 Energia

1. (a) 5000 J; (b) 2500 J;(c) 0 J; (d) −4330 J

3. 0

4. −250 J

5. 0

6. WN = 0; WFf = −33, 9 J;WP = −98 J; WF = 150 J

7. 331 s

8. (a) 1, 88× 105 J;(b) P = 4, 7 kW = 6, 40 CV

9. Ec0 = 2, 4× 105 J;W = 1, 35× 105 J

10. (a) 625 J; (b) 625 J;(c) 1040 N

11. 2770 m

12. 0, 07 m

13. (a) 4, 43 m/s; (b) 9, 11 J

15. 0, 6 m

16. v = 4, 43 m/s; x = 0, 221 m

17. Ec = 6753 J; P = 450 CV

18. 6, 29 m

19. (a) 37, 5 J; (b) 40 J;(c) 7, 19 m/s; (d) 5, 92 m/s

20. (b) 15, 4 m/s

22. 81, 2 CV

23. (a) 8, 85 m/s; (b) −118 J;(c) 0, 4

24. 0, 51 m

25. h = 5r/2

26. 1630 W

27. v2 =√

2v1; v2 =√

3v1

30. Ep2/Ep1 = 4

31. 6, 67 m

32. (a) 9, 8× 104 J; (b) 2× 104 J

33. 275 W

34. 18, 8 m/s

36. (a) 0, 166 m; (b) 0, 033 m;(c) 7, 29 m

37. (a) 28, 8 m; (b) 21, 1 m

38. 0, 568 m

39. 0, 85

40. (a) 0, 074 m; (b) 0, 046 m

41. vB = 7, 54 m/s;vC = 4, 20 m/s;acB = 28, 4 m/s2;acC = 8, 82 m/s2

42. 30, 6 m

43. 8 bots.

44. (a) 2 m/s; (b) −60 J

45. 39, 8 m/s

46. (a) 16 000 N; (b) 5× 10−4 s

48. (a) No; (b) 0, 28 m;(c) 0, 31 m

50. 352 m/s

51. 26, 1 %

52. 0, 26 K

53. 6, 26 kg

54. 446, 9 K

55. 7430 s

E.4 Moviment harmonic simple

1. (a) 0; (b) π; (c) 3π/2

2. (a) A = 4 m; T = 62, 8 s;ν = 0, 016 Hz; ϕ0 = 0, 5 rad;(b) v = 0, 4 cos(0, 1t+ 0, 5);a = −0, 04 sin(0, 1t+ 0, 5);(c) x(0) = 1, 92 m;v(0) = 0, 351 m/s;a(0) = −0, 019 m/s2

3. T = 32, 4 s; ν = 0, 0309 Hz;x = 10, 3 sin(0, 194t+ ϕ0);Em = 0, 2 J;k = 3, 76× 10−3 N/m

4. (a) A = 0, 3 m; T = 2 s;ν = 0, 5 Hz; (b) x = sin(πt)

5. (a) ν = 5√

2mπ

;

x = P sin(√

500m

+ π2

);

(b) vmax =√

500mP ;

(d) amax = 500mP

6. r = 7, 01× 106 m;h = 6, 37× 105 m

7. (a) t = 0, 2, 09, 4, 19 s;(b) t = 1, 04, 3, 14, 5, 23 s

8. (a) y =0, 22−0, 05 sin(17, 8t+3π/2);(b) 0, 353 s; (c) 0, 353 s;(d) 0, 465 kg

9. L = 84, 3 cm;∆L = +10, 4 cm

10. (b) 29, 5 N/m

11. (a) 31, 8 Hz; (b) 40 m/s;(c) F = −160 sin(200t);(d) extrems: Ep = 16 J;Ec = 0; equilibri: Ep = 0;Ec = 16 J; x = A/2:Ep = 4 J; Ec = 12 J;t = (2n+ 1)T/8: Ep = 8 J;Ec = 8 J

12. (a) 4, 2 mm;(b) 1, 21× 105 N/m

13. (a) 12 cm; (b) 6 s(b) 0, 1 rad/s (c) 0;(d) x(t) = 12 sin(π/3t);k = 0, 27 N/m;E = 1, 9× 10−3 J

14. (a) 8, 97 N/m; (b) 0, 38 s;(c) x = 9, 91× 10−2 m;a = −8, 89 m/s2

15. (a) 0, 852 m/s;(b) k = 1090 N/m;m = 75, 1 kg

16. (a) ν = 0, 5 Hz; λ = 2 m;v = 1 m/s;(b) x = 0, 2 sin(πt+ π/2) m;(c) v =0, 2π cos(πt+ π/2) m/s

17. (a) 4, 50 Hz; (b) 4, 0 m/s

99

APENDIX E. SOLUCIONS

18. (a) Ep = 0; Ec = 10 J;(b) Ep = 10 J; Ec = 0;(c) 500 N/m; (d) 0, 05 kg;(e) 0, 2 m

19. (a) 7, 58 m/s; (b) x =0, 06 sin(5, 03t+ π/2);(c) 0, 30 m/s

20. 7, 07 cm

21. 0, 314 m/s

22. 22, 2 N/m

24. 2, 28 s

25. (a) 84 N/m; (b) 1, 19 s

26. 0, 56 m

27. (a) 12, 8 N/m; (b) 576 g

28. 7, 14, 14, 3 i 21, 4 ms

31. (a) 95, 5 m/s; (b) y(x, t) =2 cos(3000t− 10πx);(c) y(t) = 2 cos(3000t− 5πx)

32. (a) 0; 12, 6; 25, 2; 34, 8 ms;(b) 6, 31; 18, 9; 31, 5; 44, 1 ms;

(c) 8, 466 m/s

33. (a) z(t) =0, 15− 0, 04 cos(19, 1t);(b) 0, 329 s; (c) 32, 4 g

34. (a) 15 cm; (b) 2, 45 kg;(c) v(t) =0, 052 cos(2, 58t− 2, 58)

35. (a) 39, 2 N/m; (b) 0, 34 m/s;(c) 0, 124 s; 0, 371 s;0, 618 s; 0, 866 s

E.5 Forca gravitatoria i electrostatica

1. 5, 2 ua

2. 9380 km

8. 3, 46× 105 km

4. (a) 589 N; (b) 587 N;(c) 440 N

5. PT/PL = 5, 06

6. 3, 59× 107 m

7. v = 1630 m/s; T = 7090 s

9. F = (−11, 7, −55, 6) N;F = 56, 8 N

10. Mercuri 3, 7 m/s2; Mart3, 7 m/s2

11. r = 42 250 km;h = 35 800 km

12. v = 1, 82× 105 m/s;M = 1, 97× 1032 kg

13. vp = 2va

14. 1, 51rT

15. (a) La/Lb = 1;(b) Fa/Fb = 2, 5× 10−9

16. 2, 00× 1030 kg

18. (b) 30, 06 ua

19. (a) 1, 53 s; (b) 2400 m/s;(c) 5, 76 m

20. (a) 1, 86× 109 m;(b) 1, 85× 1027 kg;(c) 24, 2 m/s2

21. Fe = 2, 34× 10−22 N;Fg = 1, 86× 10−58 N;Fg/Fe = 8× 10−37

22. 94, 9 m

23. 2, 18× 10−4 C

24. T = 0, 139 N;q = 9, 25× 10−7 C

25. 0

26. F = −109i + 202j N;direccio 118o

27. F = (9, 54, 3, 54) nN;F = 10, 12 nN

28. (a) 0, 9 N; (c) 1, 12× 10−2 N

29. 0 N

100

FConstants fısiques i valors numerics

Constants fısiques

Constant de la gravitacio G 6, 673× 10−11 N m2/kg2

Velocitat de la llum c 2, 998× 108 m/sCarrega de l’electro e 1, 602× 10−19 CConstant d’Avogadro NA 6, 022× 1023 mol−1

Constant dels gasos ideals R 8, 314 J/(mol K)0, 082 atm L/(mol K)

Constant de Boltzmann kB = R/NA 1, 381× 10−23 J/K8, 617× 10−5 eV/K

Unitat unificada de massa u = (1/NA) g 1, 660× 10−24 gConstant de Coulomb k = 1/4πε0 8, 988× 109 N m2/C2

Permitivitat de l’espai lliure ε0 8, 854× 10−12 C2/(N m2)Permeabilitat de l’espai lliure µ0 4π × 10−7 N/A2

Constant de Planck h 6, 626× 10−34 J s4, 136× 10−15 eV s

Massa de l’electro me 9, 109× 10−31 kg5, 4859× 10−4 u510, 999 MeV/c2

Massa del proto mp 1, 673× 10−27 kg1, 0073 u938, 272 MeV/c2

Massa del neutro mn 1, 675× 10−27 kg1, 0087 u939, 566 MeV/c2

Constant de Rydberg RH 1, 097× 107 m−1

Longitud d’ona de Compton λC = h/mec 2, 426× 10−12 mConstant de Faraday F 96 485 C

101

APENDIX F. CONSTANTS FISIQUES I VALORS NUMERICS

Dades astronomiques

Radi (m) Massa (kg) Radi orbita (m) Radi orbita (ua)Sol 6, 96× 108 1, 99× 1030

PlanetesMercuri 2, 44× 106 3, 30× 1023 5, 789× 1010 0, 387Venus 6, 05× 106 4, 87× 1024 1, 082× 1011 0, 723Terra 6, 37× 106 5, 98× 1024 1, 496× 1011 1Mart 3, 40× 106 6, 42× 1023 2, 279× 1011 1, 524Jupiter 7, 15× 107 1, 90× 1027 7, 784× 1011 5, 203Saturn 3, 01× 107 5, 68× 1026 1, 433× 1012 9, 048Ura 2, 56× 107 8, 69× 1025 2, 871× 1012 19, 19Neptu 2, 48× 107 1, 02× 1026 4, 503× 1012 29, 77Planetes nansCeres 4, 76× 105 9, 50× 1020 4, 140× 1011 2, 766Pluto 1, 20× 106 1, 25× 1022 5, 874× 1012 39, 26Haumea ∼ 7, 18× 105 4, 01× 1021 6, 452× 1012 43, 13Makemake 7, 50× 105 ∼ 3× 1021 6, 850× 1012 45, 79Eris 1, 20× 106 1, 67× 1022 1, 120× 1013 67, 67Satel·litsLluna 1, 74× 106 7, 35× 1022 3, 844× 108

Prefixos de potencies de 10

1024 Y yotta 10−1 d deci1021 Z zetta 10−2 c centi1018 E exa 10−3 m mil·li1015 P peta 10−6 µ micro1012 T tera 10−9 n nano109 G giga 10−12 p pico106 M mega 10−15 f femto103 k kilo 10−18 a atto102 h hecto 10−21 z zepto101 da deca 10−24 y yocto

Factors de conversio

Longitud 1 A= 10−10 mMassa 1 tona = 1000 kg

1 u = 1, 66× 10−27 kgPressio 760 mmHg = 1 atm

1 atm = 101 325 PaEnergia 1 cal = 4, 18 J

1 eV = 1, 6× 10−19 J1 kWh = 3, 6× 106 J

Carrega electrica 1 F = 96 485 C

102

Documents

Grup Hipernova - Fisiquim's Weblog · CAP ITOL 1. CINEMATICA S’acostuma a emprar el s mbol sper indicar la posici o a partir de l’origen de la traject oria. Es tracta d’una