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Machala – El Oro – Ecuador

Universidad Técnica de Machala

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

Introducción

Una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a

una o más variables independientes se denomina Ecuación Diferencial.

EJERCICIOS

Primer Ejercicio:

+ 2y = 2

Encontramos los valores de P y Q

P= 2 Q= 2

Y= uz

Sacamos la derivada de y

= u

+ z

u

+ z

= 2 - 2y

u

+ z

+ 2uz= 2

u

+ z [

+2u]= 2

Determinando u

+2u= 0

=2u

∫

= 2 ∫

Ln u = 2x

U =

Determinando el valor de z

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= 2

=

= 2

∫ = 2 ∫

Z= + c

Determinar y para llegar a la respuesta

y = u z

y= ( + c)

y = 2 +

GRAFICACION DE LA CURVA

Luego de Haber obtenido la respuesta de la ecuación, procedemos a graficar las curvas,

aplicando el programa WINPLOTS. Aplicando los siguientes pasos:

1.- Abrimos el programa, en donde nos mostrara la siguiente ventana:

2.-Damos clic en la pestaña Archivo, escogemos la opción 2-DIM

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3. Luego nos mostrara el siguiente plano cartesiano, en donde se mostrara el grafico realizado

por la ecuación, para ello se procede a ingresar la respuesta de la ecuación.

4. Para ingresar la ecuación, debemos dar clic en la pestaña ECUA , y escogemos la opción

EXPLICITA.

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5.-Luego nos aparecerá la siguiente ventana en donde se procede a ingresar el resultado de la

ecuación en el primer campo.

6. También se puede modificar el ancho de la línea, asi como su densidad y su color que se

mostrara en el plano.

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7. Una ves realizado los pasos, y dando clic en la opción OK, nos aparecerá el siguiente grafico

en el plano, una vez ingresado varios valores de C.

8. Una vez ingresado 5 valores positivos y 5 negativos en el valor de C, nos aparecerá el grafico

final.

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Segundo Ejercicio:

(2y + 3x) + x = 0

Primero en este ejercicio tenemos que llegar a la forma de la ecuación lineal de Primer Orden

Pasamos el primer término al segundo miembro de la ecuación

x = (2y + 3x)

= -

-

Llegando a la forma

P=

Q= - 3

Y= u z

= u

+ z

u

+ z

+

= - 3

Sacar factor común para despejar z

u

+ z

+

= - 3

u

+ z [

+2u]=-3

Determinando u

+

= 0

= -

Despejamos para que se dé la igualdad entre funciones y dejamos expresado la integral

∫

=- 2 ∫

Integrando

+ P y= Q

+

= - 3

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ln u = - 2lnx

Según las propiedades de los logaritmos -2lnx = ln

ln u =ln

Eliminando los logaritmos

u=

u =

Determinando el valor de z

= -3

= -3

= -3

∫ = -3∫

z = -3

+c

Z=

Determinar y para llegar a la respuesta

y = u z

y=

( )

y=

y=

+

y = -x +

GRAFICACION DE LA CURVA

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Luego de Haber obtenido la respuesta de la ecuación, procedemos a graficar las curvas,

aplicando el programa WINPLOTS. Aplicamos los mismos pasos realizados en el ejercicio

anterior:

1.- Abrimos el programa, en donde nos mostrara la siguiente ventana:

2.-Damos clic en la pestaña Archivo, escogemos la opción 2-DIM

3. Luego nos mostrara el siguiente plano cartesiano, en donde se mostrara el grafico realizado

por la ecuación, para ello se procede a ingresar la respuesta de la ecuación.

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4. Para ingresar la ecuación, debemos dar clic en la pestaña ECUA , y escogemos la opción

EXPLICITA.

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5.-Luego nos aparecerá la siguiente ventana en donde se procede a ingresar el resultado de la

ecuación en el primer campo, donde nos aparecerá la línea de la ecuación ingresada.

6. Procedemos a ingresar los valores positivos de la curva, mostrándonos los siguientes

resultados.

7. Una vez ingresado todos los valores positivos y negativos, nos mostrara el siguiente cuadro

final.

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