EDERPADLicmat 20.10

EJERCICIOS RESUELTOS GTC10_FUNCIÓN CUADRÁTICA

4. Se desea hacer un corral de forma rectangular con 100 m de malla, para encerrar algunos pollos, ¿cuál deben ser las dimensiones del corral para cubrir el área máxima?

Ayuda: Suponga que x es el largo y y representa el ancho del corral.

De acuerdo con la información suministrada, el perímetro a cercar es de 100 m. Además, como el terreno a cercar tiene forma rectangular:

2 2P x y 2 2 100x y

Despejando y:2 100 2y x

100 2

2

xy

50y x

Además, el área del rectángulo se calcula multiplicando el largo por el ancho.

A x y Reemplazando 50y x , se obtiene

50A x x x

250A x x x .

La cual será la función a estudiar.

Para calcular el área máxima del terreno a cercar, determinemos el vértice de la parábola que se muestra a continuación:

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50 50

252 2 1 2x

bV

a

250 25 25 1250 625 625

2y

bV f

a

Por lo tanto el vértice corresponde al punto 25,625V .

25x metros , es el largo que maximiza el área. Y reemplazando, este valor en 50y x , obtenemos el

ancho, es decir:50 25 25y m

En conclusión, el terreno debe ser un cuadrado de 25 m de lado, lo cual garantiza la mayor área.

8. La función que determina el área de un triángulo en función de su altura está dada por:

2 10 40A h h h ¿Cuál es la altura que hace el área máxima? ¿Cuál es esa área?

Para calcular el área máxima del triángulo, determinemos el vértice de la parábola que se muestra a continuación:

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10 10

52 2 1 2x

bV

a

25 10 5 40 25 50 40 65

2y

bV f

a

Por lo tanto el vértice corresponde al punto 5,65V .

En conclusión, la altura que maximiza el área es de 5 unidades métricas, y el valor máximo de dicha área es de 65 unidades métricas cuadradas.