EDERPADLicmat 20.10FUNCIN CUADRTICAACTIVIDADES DE
INTRODUCCIN1.Sienuncuadradoaumentamos en6unidadesdoslados
paralelosobtenemosun rectngulo.Calculaelreadel rectngulo en funcin
del lado xdel cuadrado.2.Unamujertieneuna piscina
rectangularde5x3metros. Quierehaceruncaminoalrededorde la piscina
comomuestra el siguiente dibujo:La anchura del camino ha de ser
constante en todo el contorno.a. Llamax
alaanchuraconstantedelcamino.Culserel rea A del camino?b. Calcula
losvalores deA cuandox es 0,1,2,3y 4.Escribe los valores en una
tabla y luego grafica en el plano.c.Si el rea del camino ha de ser
de 30 m2, utiliza la grfica y averiguael anchox delcamino.
Paraquvalorde x esA = 100?CONCEPTOYELEMENTOSDELAFUNCIN CUADRTICA
ConceptoSe llama funcin cuadrtica a toda funcinfdefinida por una
expresin de la forma:( )2f x ax bx c = + + ,donde a, b y c son
nmeros reales y a =
0.Larepresentacingrficadecualquierfuncincuadrticaes unaparbola
ylaecuacin 2y ax bx c = + + ,recibeel nombre de ecuacin explcita de
la parbola.Si a > 0 entonces la parbola abre hacia arriba
(cncava hacia arriba)ysi a < 0 entonces la
parbolaabrehaciaabajo(cncava hacia
abajo).CURIOMATHLagrficadecualquierfuncinescncavahaciaarribasise
flexionahaciaarribaalavanzardeizquierdaaderecha;es cncavahaciaabajo
siseflexionahaciaabajoenlamisma forma
(Figura1).Unarectanoescncavahaciaarribani cncava hacia abajo.Figura
1Las parbolas sonsimtricasconrespectoaunarectavertical,
denominadaejedesimetradelaparbola,esdecir,sise doblara la pgina
sobre una de estas rectas, coincidiran las dos mitades de la
parbola. VrticeEs el punto en donde el eje de simetra corta a la
parbola.Si a > 0, el vrtice es el punto ms bajo (mnimo).Si a
< 0, el vrtice es el punto ms alto (mximo).Obtencin general del
vrticeSea la parbola y = ax2+ bx +
cLocalizadoelcorteconelejey,(0,c)hallamossusimtrico resolviendo el
sistema 2y ax bx cy c = + +=.Figura 2Igualando:ax2+ bx + c = cax2+
bx = 0 x(ax + b) = 0; es decir, x = 0 ax + b = 0, que nos lleva a
la solucin bxa= .La primera coordenada del vrtice coincide con el
punto mediodel segmento de extremos 0 y b/a, es decir,2xbVa=
.Elvalordela abscisadelvrticedela parbola Vxdalugar aleje de
simetra (paralelo al eje y), cuya ecuacin es x =
Vx.LaordenadaVysecalculasustituyendoelvalordeVxenla ecuacin de la
funcin.En conclusin, para determinar el vrtice se recurre al
siguiente planteamiento: Vrtice =||.|
\||.|
\| abfab2,2O dicho de otro modo:24, ,2 2 2 4b b b ac bV fa a a
a| | | | | |= =|||\ . \ . \ .Ejemplo 1Si f(x) = x2 4x + 3, entonces
( ) 4 422 2 1 2xbVa= = = =y ( ) ( )22 2 4 2 3 1yV f = = + = .Por
tanto, el vrtice de la parbola ser V = (2, 1).
DominioEldominiodelafuncincuadrticaeselconjuntodelos nmeros
reales.Dom f (x) = Rango* Si a > 0, el vrtice es el punto ms
bajo (mnimo).Por lo tanto, el rango corresponde a los valores de y,
que estn por encima de la ordenada Vydel vrtice, incluido este.Es
decir, el rango de la funcin es el intervalo semiabierto a la
derecha:Ran f (x) =,2bfa | | |+ | | \ ...* Si a < 0, el vrtice
es el punto ms alto (mximo).Porlo tanto, el rango corresponde a los
valores de y, que estn por encima de la ordenada Vydel vrtice,
incluido este.EDERPADLicmat 20.10Es decir, el rango de la funcin es
el intervalo semiabierto a la izquierda:Ran f (x) =,2bfa| | | |\ .
\ . Interseccin de la parbola con los ejes*Intercepto conelejeY:
Comotodoslospuntosdeesteeje tienenla abscisa x =0, el puntode
cortede la parbola con el eje Y tendrdecoordenadas (0,c). Es decir,
la ordenada en el origen(intercepto coneleje y)eselvalordec
enlafuncin cuadrtica*Racesointerceptos conelejeX:
Comotodoslospuntos delejeXtienenlaordenaday=0,paraverestospuntosde
corte se resuelve la ecuacin de 2 grado ax2+ bx + c = 0.
DiscriminanteDependiendodelvalordeldiscriminante(D) delaecuacin, se
pueden presentar tres situaciones distintas: * Si D > 0, la
ecuacin tiene dos soluciones reales y distintas y la parbola cortar
al eje X en dos puntos (Figura 3). Figura 3* Si D = 0, la ecuacin
tiene una solucin real y, por tanto, la parbola cortar al eje X en
un punto (que ser el vrtice).Figura 4* Si D < 0, la ecuacin no
tiene soluciones reales y la parbola nocortaralejeX.
Porloquelaparbolapuedeabrirhacia
arribaohaciaabajo,perosobreelejexopor abajodeleje x, segn sea el
caso (Figura 5).Figura 5Graficar una funcin de segundo
gradoParagraficarunafuncincuadrticasedebentenerporlo menos tres
puntos, "las races" y el vrtice.Ejemplo 2Grafiquemos la funcin 2( )
5 6 f x x x = + .La ordenada al origen es 6, por lo tanto sabemos
que el punto (0, 6) pertenece a la funcin.Hallemos el vrtice de la
parbola:252 24 494 4x xy ybV Vaac bV Va= = = = Vrtice: 5 49,2 4V |
| |\ .Ahora las races:( ) ( )( )225 5 4 1 642 2 1b b acx xa = =( )(
)115 7 21 1, 05 492 25 7 12 26 6, 02 2xxx + = = = = = = = Con estos
tres puntos podemos trazar la parbola:Clculo de puntos de la
parbolaSiquieresmspuntosparagraficarunafuncincuadrtica,
podemoshallarlospuntosdelaparbolaquenecesitemossin
msquesustituir,enlaecuacindelafuncincuadrtica,la variable x por
aquellos valores que
deseemos.ResumenTodafuncincuadrticaf(x)=ax2+bx+c,representauna
parbola tal que: Su forma depende exclusivamente del coeficiente a
de x2. Loscoeficientesb yc trasladanlaparbolaaizquierda, derecha,
arriba o abajo. Si a > 0, las ramas van hacia arriba y si a <
0, hacia abajo. Cuanto ms grande seael valorabsolutodea, ms cerrada
es la parbola. ExisteunnicopuntodecorteconelejeOY,cuyas coordenadas
son (0, c). LoscortesconelejeOXseobtienenresolviendola ecuacin ax2+
bx + c = 0, pudiendo ocurrir que lo corte en dos puntos, en uno o
en ninguno. La primera coordenada del vrtice es 2xbVa=
.APLICACIONES DE LA FUNCIN CUADRTICArea bajo de una curvaPodemos
estimar el rea encerrada por una curva. Ejemplo 3. Esta grfica
corresponde a la parbolay = 4x - x2con x tomando valores desde 0
hasta 4.Apartirdelospuntomarcados,ytrazandoperpendicularesal
ejeOX,obtenemosunaseriedetrapeciosytringulos,cuya suma de reas se
aproximar al rea bajo la curva.Slo necesitas recordar:2tringulob
hA= y ( )2trapecioB b hA+ =EDERPADLicmat 20.10En nuestro caso, 1
32AA= , ( ) 4 3 12BA+ = , ( ) 4 3 12CA+ = y1
32DA=cuyasumatotalproporcionaunreaaproximadade10 unidades de
superficie. Por supuesto, en este caso, podras slo
calcularelreadeAyBymultiplicandopordosobtenerel rea total.Ejemplo
4:Eltechodeunhangarparaavionesestdiseado de tal forma que se
corresponde con la curva 22000 2100xy=con x tomando valores desde
-20 hasta 20.Obtenemos para la funcin anterior esta tabla de
valores: que nos proporciona la grfica adjunta.La suma de estas
reas es de 690 m 2.Elvolumendelhangarse obtienemultiplicandoel
readelfrontal(base)por la profundidad (altura).Interseccin recta
parbola. Ejemplo 5.Lanzamosunproyectil.Laalturaalcanzaday(enKm)ylos
kilmetros recorridos x estn relacionados por la ecuacin y = -2x2+
4x.A1Kmdellugardelanzamientoseencuentraunamontaa cuya ladera oeste
sigue la recta de ecuacin y = 6x - 6.Halla el punto de la montaa
donde se producir el impacto.El punto de impacto se obtiene
resolviendo el sistema 24 86 6y x xy x = += ,que tiene dos
soluciones: x1= 6/4 = 1.5 (y1 = 3) y x2 = 1, que
notienesentidoparanuestroproblemareal.Esdecir,el impacto se
producir en el punto (1.5, 3).APLICACIONES DE LA FUNCIN CUADRTICA1.
De excursin. Un excursionista lanza al aire una bengala en
lneaverticaldesdeelsuelo,enelinstantet=0,conuna velocidad de 20
m/seg. Su altura en el tiempo t est dada por:y(t) = -2t2+ 20t +
22Halla:a. El tiempo que tarda la bengala en regresar al suelo.b.
El instante en que llega a su punto ms alto.c. La altura mxima que
alcanza la bengala.2.Pilasconlacontaminacin!LadensidadDdeagua
contaminadaenunrovaraconlatemperaturaTmediantela ecuacin:D(T) = T2+
15T + 100A qu temperatura el ro presenta su mayor densidad?3.
Lanzamientodeunproyectil. Laalturaalcanzaday(en
Km)yloskilmetrosrecorridosxestnrelacionadosporla ecuacin y = - 4x2+
8xCalcula la mxima altura alcanzada por el
proyectil.4.Sedeseahaceruncorralde formarectangularcon100m de
malla,paraencerraralgunospollos,culdebenserlas dimensiones del
corral para cubrir el rea mxima?Ayuda: Supongaquex esel largoyy
representaelanchodel corral.5. Unveterinarioutiliza180
mdecercaparaencerraruna regin rectangular con una divisin paralela
a uno de los lados, como en la figura:a. El ancho de la regin en
funcin del largo.b. El rea total de la regin en funcin del
largo.c.Determinarelvalordelparaelcuallareginadquieresu mayor
rea.6. La ecuacin h(t) = -16t2+ 96t + 5describe la relacin entre la
altura (en m)y el tiempo (en seg.) de una bola de golf cuando es
lanzada.a. Cul es la altura mxima que alcanza la Pelota de golf?b.
Cunto tiempo tarda en alcanzar esa altura mxima?c. Cunto tiempo
tarda la pelota en tocar el csped?7. El permetro de un rectngulo de
base b es 20cm. Calcula la
dimensindelabasequehacequeelreaseamxima.Cul es esa rea mxima?8. La
funcin quedetermina el rea de un tringulo en funcin de su altura
est dada por: A(h) = -h2+10h + 40Cul es la altura que hace el rea
mxima? Cul es esa rea?9. Unhortelanoposee50mde
vallaparacercarunaparcela rectangular de terreno adosada a
unmuro.Qureamxima puede cercar de esta manera?10. Un tnel de 100 m
de largo ha de ser excavado. La boca del tnel est dada por la
ecuacin ( ) 62x xy =conx
desde0hasta6.Estimaelvolumendetierrayrocaque hay que excavar para
construir el tnel.EDERPADLicmat 20.10
