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FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR

Una función polinómica está formada por una suma de productos de números reales, por potencias enteras de una variable generalmente representada por la letra x; es decir, un polinomio.

Recordemos que una función polinómica tiene la forma:

1 2 21 2 2 1 0...n n n

n n nf x a x a x a x a x a x a

donde a0, a1, a2, a3, …, an-2, an-1, an son números reales, an > 0 y diremos que n indica el grado de la función, es decir el mayor exponente al cual se halle elevada x.

El dominio de la función polinómica es el conjunto de los números reales, es decir:

Dom f (x) = .

El término a0 representa la ordenada al origen, lo que quiere decir que dicha función corta al eje y, en el punto (0, a0).

Un ejemplo de polinomio de grado n = 3 esy = p(x) = 5x3 – 3x2 – x + 7.

En este caso, a3 = 5, a2 = 3, a1 = –1 y a0 = 7.

La forma de la gráfica de un polinomio depende se su grado. En la figura 1 aparecen gráficas características, que corresponden a coeficiente positivo de xn; un coeficiente negativo hace que la gráfica se voltee de cabeza. Observe que la gráfica de la función cuadrática "cambia de sentido" una vez, la de la cúbica "cambia de sentido"' dos veces, y la de la cuártica (de cuarto grado) "cambia de dirección" tres veces. Un polinomio de grado n "cambia de sentido" cuando mucho n - 1 veces (siendo n un entero positivo), pero puede haber menos cambios de sentido.

Cuadrático(n = 2)

Cúbico(n = 3)

Cuártico(n = 4)

Quíntico(n = 5)

Figura 1. Gráficas de polinomios característicos de grado n

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES POLINÓMICAS

1. Cálculo de temperaturas. Un meteorólogo determinó que la temperatura T, en °F, durante cierto periodo de 24 horas

en invierno era 112 24

20T t t t para 0 t 24,

siendo t el tiempo en horas; y t = 0 corresponde a las 6 A.M., ¿A qué hora(s) la temperatura fue 32 ºF?

2. Población de venados. Un rebaño de 100 venados seintroduce en una isla pequeña. Al principio, el rebaño aumenta con rapidez, pero finalmente, el alimento dis-minuye y la población también. Suponga que el número,N(t), de venados, a los t años, es

4 2( ) 21 100N t t t , donde t >0.

a. Completa la siguiente tabla de valores

t 0 1 2 3 5 6( )N t

b. Trace la gráfica de N.c. Teniendo en cuenta que t >0, ¿Se extinguirá esa población

animal? En caso afirmativo, ¿cuando?

3. Concentración de sal. Agua salada cuya concentración es 0.1 lb de sal por galón, pasa a un gran depósito que contiene al principio 50 gal de agua pura,

a. Si el flujo de agua salada al tanque es 5 gal/min, calcule el volumen V(t) de agua y la cantidad de sal A(t) en el depósito a los t minutos.

b. Deduzca una fórmula para la concentración de sal, c(t), en lb/gal, después de t minutos.

c. Analice la variación de c(t) cuando t .

4. Densidad de la atmósfera. La densidad, D(h) (en Kg/m3), de la atmósfera terrestre a una altura de h metros se puede calcular aproximadamente, con

D(h) = 1.2 – ah + bh2 – ch3

en la cual a = 1.096 10-4, b = 3.42 10-9, c = 3.6 10-14 y 0 h 30000. Use la gráfica de D para aproximar la altura h, a la que la densidad es 0.4.

5. Densidad de la Tierra. La densidad de la Tierra, D(h) (en g/cm3), a h metros de profundidad, se puede aproximar mediante

D(h) = 2.84 + ah + bh2 – ch3

donde a = 1.4 10-3, b = 2.49 10-6, c = 2.19 10-9 y 0 h 1000. Con la gráfica de D, aproxime la profundidadh, a la cual la densidad del terreno es 3.7.

6. Efecto de invernadero. Debido a que se queman com-bustibles fósiles, aumenta la concentración de dióxido de carbono en la atmósfera. Las investigaciones indican queesto ocasionará un efecto de invernadero, que cambiará la temperatura media de la superficie de la Tierra. Suponiendo un gran aumento de uso de carbón, la cantidad futura, A(t), de la concentración de dióxido de carbono atmosférico, en partes por millón, se puede aproximar mediante

3 21 1 7340

2400 20 6A t t t t ,

donde t está en años y t = 0 corresponde a 1980; 0 t 60.Con una gráfica de A, estime el año en el cual será 400 laconcentración de dióxido de carbono.

7. Efecto de invernadero. El aumento promedio en la temperatura superficial del Planeta debida al efecto de invernadero se puede aproximar mediante

3 221 127 1293

5000000 1000000 50000T t t t t ,

en la cual 0 t 60 y t = 0 corresponde a 1980. Con lagráfica de T estime el año en el cual la temperatura media habrá aumentado 1 °C.

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FUNCIONES RACIONALES

Las funciones racionales tienen la forma

p xf x

q x .

En donde p y q son polinomios. Sus gráficas tienen, con frecuencia, asíntotas verticales donde el denominador es cero. También, las funciones racionales pueden tener asíntotas horizontales, que se presentan si f(x) tiende a un número finito cuando x o cuando x . Al comportamiento de una función cuando x se le llama comportamiento en su extremo.

El dominio de una función racional es el conjunto de todos los números reales excepto aquellos para los cuales el denominador es cero.

Por ejemplo: 3

2

2 1

9

xf x

x

es una función racional con

dominio Dom f (x) = 3, 3, es decir todos los números

reales excepto 3 y 3.Para graficar una función racional: determinamos cualquier simetría y luego hallamos los intersectos. El intersecto en y es f(0), siempre y cuando el número 0 esté en el dominio de f.

Por ejemplo, la gráfica de 1 xf x

x

no atraviesa el eje

y, puesto que f(0) no está definido. Si p(x) y q(x) no tienen factores comunes, entonces los interesectos en x de la gráfica

de una función racional

p xf x

q x son las raíces reales

de p(x). Esto es, la única forma como

0p x

f xq x

es

teniendo g(x) = 0.

Ejemplo 1.

Graficar y describir el comportamiento de 2

1

1y

x

.

Sol.

Dom f (x) = Ran f (x) = (0, 1]

Esta gráfica no tiene asíntotas verticales porque el denominador nunca es cero. La gráfica es simétrica respecto al eje y y el eje x es una asíntota horizontal porque

y 0 cuando x .

Ejemplo 2.

Graficar y describir el comportamiento de 2

2

4

1

xy

x

.

Sol. Al factorizar se obtiene

2

2

2 24

1 1 1

x xxy

x x x

de modo que x = 1 son asíntotas verticales.

Si y = 0, entonces (x + 2)(x 2) = 0, es decir, x = 2; son las abscisas al origen.Si se sustituye x = 0 se obtiene y = 4; esta es la ordenada al origen. Observe que las x positivas y negativas producen el mismo valor de y, de modo que la gráfica es simétrica respecto al eje y. Esto se debe a que (- x)2 = x2.

Dom f (x) = 1, 1

Ran f (x) = ( , 1) 4, +).

APLICACIONES DE LA FUNCIÓN RACIONAL1. Una función racional es aquella que se obtiene al dividir dos

polinomios. Presenta tres ejemplos de funciones racionales.

2. Uno de los principios fundamentales de las matemáticas es la imposibilidad de dividir por cero. En las siguientes funciones racionales, la variable x no puede tomar el valor que hace cero al denominador. Encuentra este valor en cada función.

a.1

yx

b. 2

2

1y

x

c. 3 1

4 3

xy

x

d.

2

11 7

5 6

xy

x x

3. Encuentra el dominio y el rango de las siguientes funciones y determina si la función es simétrica con respecto al eje x, al eje y y al origen. Determina las asíntotas y con esta información trace a mano una gráfica.

a. 5

1y

x

b.

2 4 21

7

x xy

x

c. 2

7

4 21

xy

x x

4. ¿Cuál(es) de las funciones de I a III cumplen con las siguientes descripciones? Puede haber más de una función para cada descripción o puede no haberla.

a. Asíntota horizontal y = 1.b. El eje x es una asíntota horizontal (y = 1).c. Simétrica respecto al eje y.d. Función impar.e. Asíntotas verticales en x = 1.

I. 2

1

1

xy

x

II.

1 4

2 2

xy

x

III.

2

2

1

1

xy

x

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5. Dosis de medicamentos. La regla de Young es una fórmula que se usa para modificar las dosis de adultos, a fin de adaptarlas a niños. Si a representa la dosis de adulto, en miligramos, y t es la edad del niño en años, entonces, la dosis del niño y, es

12

t ay

t

Trace la gráfica de esta ecuación, para t > 0 y a = 100.

6. Limpieza de derrame de petróleo crudo. El costo, C(x), de limpiar x porcentaje de un derrame de petróleo crudo que ha llegado a la playa, aumenta mucho cuando x tiende a 100. Suponga que

20( )

101

xC x

x

(en miles de dólares).

a. Compare C(100) con C(90).b. Trace la gráfica de C para 0 < x < 100.

7. Cantidad de precipitación pluvial. El número total depulgadas de lluvia, R(t), durante una tempestad que dura thoras, se puede aproximar mediante

a tR t

t b

donde a y b son constantes positivas que dependen dellugar geográfico.

a. Analice la variación de R(t) cuando t .

b. La intensidad I de la lluvia, en pulg/h, se define mediante

R tI

t .

Si a = 2 y b = 8, trace la gráfica de R e I en el mismo planode coordenadas, para t > 0.

8. Curva de respuesta límite o umbral. En bioquímica, la curva general de respuesta umbral es la gráfica de una ecuación

n

n n

kSR

S a

en la cual R es la respuesta química a una sustancia cuando la concentración de ésta es S; a. k y n son constantes positivas. Un ejemplo es la tasa R, de eliminación de alcohol de la sangre, por parte del hígado, cuando la concentración de alcohol en la misma es S.

a. Deduzca una ecuación para la asíntota horizontal de la gráfica,

b. En el caso de la eliminación de alcohol, n = 1 y un valornormal de k es 0.22 gramos por litro por minuto, ¿Cual es la interpretación de k en este caso?

9. Para estudiar la tasa a la que aprenden los animales, Greys Patricia, una estudiante de psicología realizó un experimento en el que de modo repetitivo se envía una rata a través de un laberinto de laboratorio. Suponga que el tiempo requerido por la rata para atravesar el laberinto en la n-ésima prueba es aproximadamente

123f n

n minutos.

a. ¿Cuál es el dominio de la función f?b. ¿Para qué valores de f tiene significado f(n) en el contexto

del experimento psicológico?c. ¿Cuánto tiempo se tomó la rata para atravesar el laberinto en

la 3ª prueba?d. ¿En qué prueba atravesó la rata por primera vez el laberinto

en 4 minutos o menos?e. Según la función f, ¿qué le sucederá al tiempo requerido para

que la rata atraviese el número de prueba? ¿Podrá la rata atravesar alguna vez el laberinto en menos de 3 minutos?

10. Suponga que durante un programa nacional para inmunizar contra cierto tipo de gripe, los funcionarios de salud pública encontraron que el costo de vacunar al x% de la población era aproximadamente

150

200

xf x

x

millones de dólares

a. ¿Cuál es el dominio de la función f?b. ¿Para qué valores de x tiene f(x) una interpretación práctica

en este contexto?c. ¿Cuál fue el costo de vacunación del primer 50% de la

población?