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OPERACIONES CON FUNCIONES

Dadas dos funciones f y g, con (Dom f ∩ Dom g) ≠ ∅; podemos construir a partir de ellas nuevas funciones de diferentes maneras. Para nosotros, las más útiles son las que a continuación exponemos.

Def. La suma de f y g, denotada f g+ , es la función

con dominio Dom ( f g+ ) = (Dom f ∩ Dom g)

dada por ( f g+ )(x) = f(x) + g(x) para cada x ∈ Dom

( f g+ ) (obsérvese que tales x son justamente aquellos para los que f(x) + g(x) “tiene sentido”).

Totalmente similar es la definición de la diferencia f − g.

Def. El producto de f y g, que notamos f g, mediante ( f g

)(x) = f(x) ⋅ g(x), para todo x ∈ (Dom f ∩ Dom g).

Def. El cociente de f y g, es la función /f g con

dominio Dom ( /f g ) = (Dom f ∩ Dom g) tal que

g(x) ≠ 0 dada por ( ) ( )/ ( )

( )

f xf g x

g x= , para cada x ∈

Dom ( /f g ) (obsérvese una vez más que tales x son exactamente aquellos para los que f (x) / g (x) “tiene sentido”).

Obs.: Como las funciones se definen puntualmente, estas operaciones gozan de algunas propiedades que son consecuencia de los axiomas de campo de los números reales. Además, en algunos textos, se da el nombre de dominios naturales a los dominios anteriormente definidos.

Ejemplo : Si f(x) = x2 y g(x) =

x

1, entonces:

i) ( )3

2 1 1( )

xf g x x

x x

++ = + =

ii) ( )3

2 1 1( )

xf g x x

x x

−− = − =

iii) ( )2

2 1( )

xf g x x x

x x⋅ = ⋅ = =

iv) 2

3 ( )

1f x

x xg

x

= =

Ejemplo : Para las funciones h y g definidas por 1

( )1

h x xx

= +− y

1( )g x x

x= + , hallar la suma, la

diferencia, el producto y el cociente y determina en cada caso el dominio de la nueva función.

Determinemos primero los dominios de h y g:

El dominio de h es R − { 1 }.

El dominio de g es R − { 0 }. h + g se define por

( ) 1 1 2 1( ) 2

1 ( 1)

xh g x x x x

x x x x

−+ = + + + = +− −

h − g se define por

( ) 1 1 1( )

1 ( 1)h g x x x

x x x x

− = + − + = − −

h ⋅ g se define por

( )2

21 1 1( ) 1

1 ( 1)

xh g x x x x

x x x x

+ ⋅ = + ⋅ + = + + − −

h / g se define por

( )( )( )

2

2

2 2

1

1 1( )1 1 1 1

x xx x x xh x xx

g x x xxx x

−+ − − −= = = + − + + como

10x

x+ ≠ para todo x, el dominio de h / g es R − { 0, 1 }.

EJERCÍTATE… A. En los ejercicios del 1 al 4, sean

f (x) = 2x − 3 y g(x) = 3x + 2.

1. (a) Obtenga f(1), g(1), y f(1) + g(1). (b) Obtenga (f + g)(x) y determine el dominio de f + g. (c) Con el resultado de la parte (b) evalúe (f + g)(1).

2. (a) Obtenga g(2), f(2), y g(2) − f(2). (b) Obtenga (g − f)(2) y determine el dominio de g − f. (c) Con el resultado de la parte (b) evalúe (g − f)(2).

3. (a) Obtenga 1

2f

, 1

2g

y 1 1

2 2f g ⋅

.

(b) Obtenga (f ⋅ g)(x) y determine el dominio de f ⋅ g.

(c) Con el resultado de la parte (b) evalúe ( ) 1

2f g

⋅

.

4. (a) Obtenga ( )2g − , ( )2f − y ( )( )

2

2

g

f

−−

.

(b) Obtenga ( )gx

f y determine el dominio de

g

f.

(c) Con el resultado de la parte (b) evalúe ( )2g

f− .

B. Para cada par de funciones determine lo siguiente:

(a) (f + g)(x); dominio de f + g.

(b) ( )fx

g; dominio de

f

g.

5. ( ) 2f x x= ; ( )g x x=

6. ( ) 5 1f x x= − ; ( ) 5

1 3g x

x=

+

7. ( ) 3 1f x x= − ; ( ) 1g x

x=

8. ( ) 3 1f x x= − ; ( ) 1 1

3 3g x x= +

9. ( ) 2 6 8f x x x= + + ; ( ) 2g x x= −

10. ( ) 3f x x= ; ( ) 2g x x=

C. Para cada par de funciones determine lo siguiente: (a) (g − f)(x); dominio de g − f. (b) ( ) ( )g f x⋅ ; dominio de ( )g f⋅ .

11. ( ) 2 5f x x= − + ; ( ) 4 1g x x= −

12. ( )f x x= ; ( ) 3g x x=

13. ( ) 22 1f x x= − ; ( ) 1

2g x

x=

14. ( ) 2 3f x x= + ; ( ) 2 1g x x= −

D. Sea ( ) 1f x x= + y ( ) 1

1g x

x=

+. Determina cada

expresión y describa su dominio. 15. (f + g)(x) 16. (g − f)(x) 17. ( ) ( )f g x⋅

18. ( )fx

g

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FUNCIÓN COMPUESTA

En matemática, una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

Formalmente, dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición

(g ο f ): X → Z como (g ο f)(x) = g [f(x)], para todos los elementos x de X.

A g ο f se le llama g compuesta f. Cuando se escribe g [f(x)] significa que la función g se aplica a f(x). Nótese que se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.

Ejemplo 1: Para las funciones f y g definidas por 2( ) 5f x x= − y ( ) 4g x x= + .

Hallar a. ( ) ( )f g xo

( ) [ ]( ) ( )f g x f g x=o

( ) ( ) 4f g x f x = + o

( ) ( )2

( ) 4 5 4 5f g x x x= + − = + −o

( ) ( ) 1f g x x= −o

b. ( ) ( )g f xo

( ) [ ]( ) ( )g f x g f x=o

( ) 2( ) 5g f x g x = − o

( ) ( )2( ) 5 4g f x x= − +o

( ) 2( ) 1g f x x= −o

Ejemplo 2: Para las funciones h y g definidas por

2( )h x x= y 1

( )g x xx

= + .

Hallar a. ( ) ( )h g xo

( ) [ ]( ) ( )h g x h g x=o

( ) 1( )h g x h x

x

= +

o

( )2

1( )h g x x

x

= +

o

( )2

2 1 1( ) 2h g x x x

x x

= + ⋅ ⋅ +/ / o

( )2

2

2

1 1( ) 2h g x x

x x

= + = + +

o

b. ( ) ( )g h xo

( ) [ ]( ) ( )g h x g h x=o

( ) 2( )g h x g x = o

( ) 2

2

1( )g h x x

x= +o

c. ( ) ( )g g xo

( ) [ ]( ) ( )g g x g g x=o

( ) 1( )g g x g x

x

= +

o

( ) 1 1( )

1g g x x

xx

x

= + + +

o

( )2

1 1( )

1g g x x

x x

x

= + + +

o

( ) 2

1( )

1

xg g x x

x x= + +

+o

Ejemplo 3: Un bote está navegando a 40 Km/h en una dirección paralela a la orilla de un río a una distancia de 2 Km de la orilla. A las 9 a. m. pasa por el frente de un puerto. A continuación encontrarás un diagrama que te ayudará a entender y resolver mejor la situación.

a. Expresa la distancia s entre el puerto y el bote con una función de d, la distancia recorrida por el barco desde las 9 a.m., es decir, determina f tal que s = f (d).

Se relaciona s y d mediante el teorema de Pitágoras. Luego, se expresa como una función de d mediante

2( ) 4s f d d= = + .

b. Expresa d como una función de t, el tiempo transcurrido desde las 9 a.m., es decir, obtén g de forma que d = g(t).

Como el bote está navegando a 40 Km/h, la distancia d que ha recorrido es una función de t,

( ) 40d g t t= = .

c. Determina lo que representa esta función.

( ) [ ] [ ] 2( ) ( ) 40 4 (40 )f g t f g t f t t= = = +o ,

la función f go proporciona la distancia del barco al faro

como una función del tiempo.

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EJERCÍTATE…

En los ejercicios del 1 al 2, sean

f (x) = 2x − 3 y g(x) = 3x + 2.

1. (a) Obtenga ( )0g , ( )( )0f g .

(b) Obtenga ( ) ( )f g xo y determine el dominio de f go .

(c) Con el resultado de la parte (b) evalúe ( ) (0)f go .

2. (a) Obtenga ( )0f , ( )( )0g f .

(b) Obtenga ( ) ( )g f xo y determine el dominio de g fo .

(c) Con el resultado de la parte (b) evalúe ( ) (0)g fo .

En los ejercicios 3 al 8 para cada par de funciones determine lo siguiente:

( ) ( )f g xo ; dominio de f go .

3. ( ) 2f x x= ; ( )g x x=

4. ( ) 5 1f x x= − ; ( ) 5

1 3g x

x=

+

5. ( ) 3 1f x x= − ; ( ) 1g x

x=

6. ( ) 3 1f x x= − ; ( ) 1 1

3 3g x x= +

7. ( ) 2 6 8f x x x= + + ; ( ) 2g x x= −

8. ( ) 3f x x= ; ( ) 2g x x=

En los ejercicios 9 al 12, para cada par de funciones determine lo siguiente:

( ) ( )g f xo ; dominio de ( )g fo .

9. ( ) 2 5f x x= − + ; ( ) 4 1g x x= −

10. ( )f x x= ; ( ) 3g x x=

11. ( ) 22 1f x x= − ; ( ) 1

2g x

x=

12. ( ) 2 3f x x= + ; ( ) 2 1g x x= −

En los ejercicios 13 al 16, use ( ) 1f x x= + y ( ) 1

1g x

x=

+ y

evalúe.

13. ( )( )0f g

14. ( )( )3g f

15. ( ) ( )f g xo

16. ( ) ( )g f xo

17. Un automóvil viaja de A hacia B a una velocidad media de 45 mph. Exprese la distancia, d = P⋅C, en función de y, y a y en función del tiempo, t. (P representa una patrulla de control). Interprete la función compuesta ( ) ( )d y to y calcule d

cuando t = 3 minutos, suponiendo que t = 0 en el punto A.

Sean ( ) 1f x

x= , ( ) 1

1g x

x=

− y ( ) 1

1h xx

= + . Determine lo

siguiente: 18. ( ) ( )f h g xo o

19. ( ) ( )g h f xo o

20. ( ) ( )h g f xo o

Determine las funciones f y g de tal manera que

( )( ) ( )h x f g x= o . En cada caso, que la función interior g, sea

un polinomio o una función racional.

21. ( )3( ) 2 5h x x= −

22. 2( ) 2 7h x x= −

23. 3( ) 3 4h x x= −

24. 2

1( )

1

xh x

x

− = +

25. ( )1

xh x

x=

−

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LAS FUNCIONES SEGÚN EL TIPO DE RELACIÓN Según el tipo de relación que se presente entre el dominio y rango de una función, se conocen tres tipos.

FUNCIÓN INYECTIVA o 1 – 1. Llamada también uno a uno. Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x, y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.

Matemáticamente, sea la función ( )y f x= ; si para todo x1 y x2 en el dominio de ( )f x , donde x1 ≠ $x2; entonces f %(x1) ≠ f (x2),

nos indica que la función es inyectiva.

Dicho en términos textuales, una función uno a uno, es aquella donde los elementos del rango que son imagen de elementos del dominio, sólo lo hacen una vez. Las funciones crecientes y decrecientes, son ejemplos de funciones inyectivas.

Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.

EJEMPLO 1: Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: f(x) = x

2 – 2

Primero elaboramos una tabla de pares ordenados y luego graficamos.

x –2 –1 0 1 2

f(x) 2 –1 –2 –1 2

Vemos que las líneas horizontales rojas cortan la función en más de un punto. Esto indica que las y se repiten.

Por lo tanto, f(x) no es inyectiva.

EJEMPLO 2: Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: g(x) = 1 – x

3. Primero elaboramos una tabla de pares ordenados y luego graficamos.

x –2 –1 0 1 2

g(x) 9 2 1 0 –7

Vemos que las líneas horizontales rojas cortan la función en un punto. Esto indica que las y no se repiten.

Por lo tanto, f(x) es inyectiva.

EJERCÍTATE…

1. Determinar si las siguientes funciones son o no inyectivas. a. f(x) = 4x – 2

b. f(x) = x3 – x

c. ( )f x x=

d. f(x) = 2

e. f(x) = 1 – x2 – x

FUNCIÓN SOBREYECTIVA (EPIYECTIVA, SUPRAYECTIVA, SURYECTIVA o EXHAUSTIVA) Para una función ( )y f x= , cuando todos los elementos del rango son al menos imagen de un elemento del dominio, se dice que

la función es sobreyectiva. Esto significa que todos los elementos del rango se relacionan con algún o algunos elementos del dominio.

Sea f una función de A en B, f es una función epiyectiva (también llamada sobreyectiva), si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, bajo f.

A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un conjunto de llegada. Es decir, si todo elemento R es imagen de algún elemento X del dominio.

EJEMPLO 3: Sean los conjuntos A = { a , e , i , o , u } y B = { 1 , 3 , 5 , 7 } f = { ( a , 1 ) , ( e , 7 ) , ( i , 3 ) , ( o , 5 ) , ( u , 7 ) }

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FUNCIÓN BIYECTIVA Una función ( )y f x= , es biyectiva; si solo si, es inyectiva y sobreyectiva.

EJEMPLO 4:

Sea f : R → R, la función ( ) 2 1f x x= + . Veamos que f es una biyección:

1. Inyectividad: si 1 2( ) ( )f x f x= , entonces 1 22 1 2 1x x+ = + . Por ende 1 22 2x x= y 1 2x x= .

2. Sobreyectividad: Hay que mostrar que Ran f = R. Es claro que Ran f ⊆ R. Para la otra inclusión, sea y ∈ R. Es fácil ver que si

( )1

2

yx

−= , entonces ( )f x y= , y esto prueba que y ∈ Ran f (dado que y es imagen bajo f de algún real x).

EJEMPLO 5:

Sea g : R → [0, ∞) la función 2( )g x x= . Es fácil ver que Ran g = [0, ∞), luego g es sobreyectiva. Pero g no es inyectiva:

( ) ( )3 3g g− = , pero 3 3≠ − . En otras palabras, si sabemos quién es ( )g x , no sabemos con seguridad quién es x.

EJERCÍTATE… 1. En las siguientes gráficas identifique cada tipo de función.

f (x):___________________ g (x):___________________ h(x):________________

2. Sean las siguientes funciones definidas en R × R:

a. f(x) = x + 3

b. f(x) = k

c. f(x) = x

d. f(x) = x2 + 5x

e. f(x) = 3 -x

1 2x +

f. f(x) = − x5 x 2 +

g. f(x) = ax + b

h. f(x) = 1 + x – 1

i. f(x) = ax2 + b

Determina cuáles son i) inyectivas ii) epiyectivas iii) biyectivas

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FUNCIÓN INVERSA Sea la función f: X → Y, ambos conjuntos no vacíos. Si f(x) = y entonces f−1

(y) = x; ∀x en Dom f ∧ ∀y en el Dom f−1. Esto en diagramas de Venn - Euler se representa como

Sea la función f: X → Y, inyectiva. Se dice que f es invertible si existe una función f−1: Y → X, llamada función inversa y cumple con la siguiente condición:

( ) ( )1 1( )f f x f f x x− − = = o

y

( ) ( )1 1( )f f x f f x x− −= = o .

Esta definición usa el concepto de composición de funciones tanto por la izquierda como por la derecha, a saber uno de ellos es:

( )1 ( ) ( )f f x I x x− = =o , donde I(x) es la función identidad.

COMENTARIOS i) La notación f−1 se refiere a la inversa de la función f y no al exponente −1 usado para números reales. Únicamente se usa como

notación de la función inversa. ii) La inversa de una función cuando existe, es única. iii) La inversa de una función cualquiera no siempre existe, pero la inversa de una función biyectiva siempre existe. iv) En general, las gráficas de f y f−1 son simétricas respecto a la función identidad y = x.

Método para Hallar la Inversa de una Función Aunque existen varios métodos para hallar la inversa, los siguientes pasos ayudan a obtener la inversa de la función f(x).

1. Se sustituye f(x) por y es la función dada. 2. Se intercambian x y y para obtener x = f(y). 3. Se despeja la variable y. 4. En la solución se escribe f−1(x) en vez de y.

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EJERCÍTATE…

1. Demuestra que las siguientes funciones son biyectivas y hallar f-1:

a. f: R → R b. f: R → R c. f: R → R

f(x) = x + 3 f(x) = 5 2

3 +x f(x) = x3 + 5

d. f: R – { 3 } → R – { 1 } e. f: R – { 1 } → R { 1 } f. f: R −

2

1 → R −

2

1

f(x) = 3

2 - x

−x f(x) =

1 -x

1 x + f(x) =

2x - 1

3 x +

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2. Encuentre la función inversa de las siguientes funciones. Asuma que las funciones están bien definidas en el conjunto de los números reales.