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2. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES GT-2

Hoy en día, si hablamos de números seguramente nos damos cuenta de que es un tema muy extenso. Podemos hablar de racionales, negativos, reales, imaginarios, complejos e incluso binarios. Pero, hace tres mil años, el campo de los números era mucho más limitado que el que tenemos hoy. Fue debido a condiciones tanto externas como internas en las matemáticas, que poco a poco se fue ampliando este campo. Las condiciones históricas, el desarrollo tecnológico, y la tendencia del hombre a estudiar la naturaleza, fueron factores que influyeron notablemente en este proceso. Aún así, el desarrollo de las matemáticas es, más que un proceso histórico, un proceso de adaptación y de comprensión del mundo. Es así como el proceso de «contar», dio origen a los naturales; el concepto de «deuda» originó los negativos, y con ellos a los enteros; el «proceso de medir» o geometría, generó tanto los racionales como los irracionales. Finalmente, con el propósito de conformar un sistema de números que no tuviera huecos, que fuera denso en su totalidad y por lo tanto comprendiera todos los números, Newton y Leibniz crearon los números reales, como la unión de todos los conjuntos de números conocidos hasta el momento (racionales e irracionales).

2.1 OPERACIONES CON NÚMEROS REALES.-

En el conjunto de los números reales se cumplen las operaciones de: Adición o Suma Sustracción o Resta Multiplicación División Potenciación Radicación Logaritmación

2.2 AXIOMAS DE CUERPO.-

Se llama sistema de los números reales a un conjunto no vacío dotados de las operaciones llamadas adición y

multiplicación, denotadas por ( + ) y ( ), que satisfacen los axiomas que se mencionan a continuación: Sean a, b y c números reales, para los cuales se cumplen las siguientes propiedades:

Axiomas Operación

Adición Multiplicación Clausurativa a + b a b

Conmutativa a + b b + a a b b a Asociativa (a + b) + c a + (b + c) (a b) c a (b c) Modulativa a + 0 0 + a a a 1 1 a a

Anulativa o Invertiva

a + (- a) (- a) + a 0 a 1

a

1

a a 1, con a 0

Distributiva de la multiplicación con respecto a la suma

a (b + c) a b + a c

OBS: * Las propiedades anteriores son suficientes para edificar la estructura matemática conocida como cuerpo de los números reales, es decir si existe otro conjunto con dos operaciones que satisfagan estas 11 propiedades, también será un cuerpo y varía de los reales sólo en la forma de llamar sus elementos.

La sustracción en se define como un caso especial de la suma de reales, es decir: a b a + (- b).

OBS: * A la expresión - b se le conoce como opuesto o inverso aditivo de b.

* De aquí podemos deducir que “Restar es sumar el minuendo con el opuesto del sustraendo”.

La división en se define como un caso especial de la multiplicación de reales, es decir: a 1

a b b

, b 0.

OBS: * A la expresión 1

b , con b 0; se le conoce como inverso multiplicativo de b.

* De aquí podemos deducir que “Dividir es multiplicar el dividendo por el inverso del divisor”. Con lo cual, la resta y división de números reales, se pueden ver como suma y multiplicación respectivamente.

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2.3 OTRAS OPERACIONES EN Y SUS PROPIEDADES.-

Sean a, b números reales y m, n enteros positivos:

POTENCIACIÓN RADICACIÓN Nombre Propiedad Nombre Propiedad

Potencia de exponente cero

0a 1; a 0

Raíz n – ésima 0 ,

1n na a a para n par

Potencia de una potencia

nm m na a

Raíz de una potencia mm

n m n na a a

Potencia de un producto

m m ma b a b

Raíz de una raíz n m mna a

Potencia de un cociente

;

m m

m

a ab 0

b b

Raíz de un producto n n na b a b

Producto de potencias de igual base

m n m+na a a Raíz de un cociente ,

nn

n

a ab 0

b b

Cociente de potencias de igual base

m-nm

n

n-m

; m > n

1; m n ; a 0

1; n > m

aa

a

a

Simplificación

, n na a para n par

, n na a para n impar np p na a

Logaritmación Sean a, b, M, N y x números reales y a 1, b 1:

Nombre Propiedad

Definición de logaritmo x

bLog a x b a

Logaritmo de 1 bLog 1 0

Logaritmo en base b de b bLog b 1

Logaritmo de un producto b b bM N M NLog Log Log

Logaritmo de un cociente b b bM

M NN

Log Log Log

Logaritmo de una potencia b b

xM MLog x Log

Cambio de base xb

x

Log a

Log bLog

a

2.4 PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES.- Cuando realices operaciones, debes tener en cuenta la prioridad de las operaciones. Por ejemplo, en la operación 6 + 4× 5, es incorrecto que sumes 6 + 4 = 10 y luego multipliques por 5. La multiplicación tiene prioridad a la suma. Lo correcto es 6 + 4× 5 = 6 + 20 = 26. De igual manera, si tienes la operación 12 – 4 × 2 3, es incorrecto que primero restes 12 – 4 = 8 y luego multipliques por 2 3 que es 8. Si tú dices que el resultado es 8×8 = 64, estarías en un error. Lo correcto es primero efectuar la potencia (2 3), después multiplicar por 4 y finalmente hacer la resta. 12 – 4 ×2 3 = 12 – 4 × 8 = 12 – 32 = – 20. Al efectuar operaciones, el orden en que debes ejecutarlas es el siguiente: paréntesis, potencia o raíz, multiplicación o división y finalmente suma o resta. Ejemplo: a. 9 + 3 ×5 = 9 + 15 = 24

b. ( 9 + 3 ) × 5 = 12 × 5 = 60 c. ( 5 + 4 ) 2 = 9 2 = 81 d. 5 2 + 4 2 = 25 + 16 = 41 e. 4 + 4 ÷ 4 = 4 + 1 = 5 f. ( 4 + 4 ) ÷ 4 = 8 ÷ 4 = 2

2.5 APLICA

1. Aplica la propiedad conmutativa y encuentra el resultado de las siguientes operaciones: a. 6 xy + 2 yx + xy = ____________ b. – 4 x

2y – 9 y x

2 + 12 y x

2 = ____________

c. 4 a 2b + 5 ab

2 + 4 b

2a + ba

2 = ______________ d. 6 ax – 7 ya + 3 ay + 2 xa = ____________

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2. Sin usar calculadora, encuentra el resultado de las siguientes operaciones. Usa solamente las propiedades asociativa y/o conmutativa. a. 2×2×3×3×5×5 = b. 3×3×3×3 = c. 7×3×3 =

d. 7×2×9×5 = e. 4×4×5×5 = f. 9×8×5 =

3. Efectúa las siguientes divisiones usando la propiedad del elemento neutro.

Ejemplo: Efectúa la división de 3x

x.

Si al numerador le agrego 0, no se altera: 3

0

x

x. Pero 0 = 3 – 3. Sustituyo 0 por 3 – 3 .

3

33

x

x

Si separamos la fracción en dos fracciones, queda:

3

31

3

3

3

3

xxx

x

a. 52

2

x

x b. 23

3

x

x c. 1x

x

d. 42

2

x

x e. 92

2

a

a f. xx

x

23

32

2

4. Efectúa las siguientes multiplicaciones y sumas usando la propiedad distributiva. No uses calculadora. Ejemplo: Resolver, usando la propiedad distributiva 346 × 278 + 346 × 439 + 717 × 654.

Solución: 346 × 278 + 346 × 439 + 717 × 561 = 346 ( 278 + 439 ) + 717 × 654

346 se extrajo como factor común = 346 × 717 + 717 × 654

Observamos que el 717 aparece como factor común en las dos multiplicaciones; se extrae. = 717 ( 346 + 654 )

= 717 × 1000

= 717 000 Observa que es más fácil efectuar las multiplicaciones usando la propiedad distributiva que si hubiéramos hecho las multiplicaciones y al final sumar los resultados de cada multiplicación. Ahora si, manos a la obra.

a. 345× 408 + 345× 231 + 655× 639 = b. 562× 196 + 562× 622 – 818× 462 =

c. 723× 481 – 723× 145 + 336× 277 = d. 682× 466 – 682× 195 – 271× 582 =

5. Entre cada cantidad, dentro del cuadrito, escribe el símbolo < , = , >, según corresponda. No uses calculadora. a. 34 × 47 × 78 34 × 49 × 78 b. 56 × 82 + 123 56 × 72 + 123

c. 35 × 4 3 35 × 4.8

3 d. 0.8

2 0.8

3

e. ( - 12 ) 2 ( - 8 )

2 f. ( - 12 )

3 ( -12 )

2

g. 12

5 10

5 h. 3

7 9

21

6. APRENDE DIVIRTIENDOTE. Para que practiques la prioridad de las operaciones, forma los 10 dígitos, del 0 al 9, usando solamente 4 cuatros y las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y potencia. 0 = 1 = 2 = 3 = 4 =

5 = 6 = 7 = 8 = 9 =

7. Efectuar las operaciones indicadas y simplificar. OPERACIÓN RTA. OPERACIÓN RTA.

a.

b.

12

c.

d.

11

7

e.

f.

g.

h.

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Y SI QUIEREN +, AQUÍ ES LO QUE HAY…

OPERACIÓN RTA. OPERACIÓN RTA.

0

8. Realice las operaciones indicadas y simplifique al máximo.

OPERACIÓN RESPUESTA a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

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k.

l.

m.

n.

o.

p.

q.

r.

s.