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3. RELACIÓN DE ORDEN EN LOS REALES GT-3

3.1 LA RECTA REAL

El conjunto de los números reales es ordenado. Geométricamente, podemos representar el conjunto de los números reales mediante los puntos de una recta horizontal que llamamos recta real (Fig. 1). Es posible demostrar en un estudio riguroso de geometría, que a cada número real le corresponde exactamente un punto sobre la recta y que recíprocamente, cada punto de la recta corresponde a exactamente un número real, a lo que se le conoce como correspondencia biunívoca.

Fig. 1

La representación gráfica de los números como puntos de una recta permite visualizar, sobre todo, las relaciones de orden. La suma es aún una construcción lineal, pero para construir productos hay que pasar al plano. Gráficamente, un número real a es menor que un número real b, si en la recta real el punto asociado a a está a la izquierda del punto asociado con b (Fig. 2).

( ) a b

Fig. 2 Formalmente, sean a y b dos números reales. Se dice a es menor que b, y se escribe a < b (o bien b mayor que a, y se escribe b > a) si b a es un número positivo.

3.2 DESIGUALDADES

Se tiene la desigualdad 2x + 3 > 11,

en la cual x es una variable. Si asignamos valores a la variable x podemos observar, en la tabla siguiente, que algunos números producen enunciados verdaderos y otros producen enunciados falsos.

x 2x + 3 > 11 Conclusión 3 9 > 11 Falso 4 11 > 11 Falso 5 13 > 11 Verdadero 6 15 > 11 Verdadero

Si se llega a un enunciado verdadero cuando se sustituye un número a en lugar de x, entonces a es una solución de la desigualdad. Así 5 y 6 son soluciones de 2x + 3 > 11, pero 3 y 4 no lo son.

Una desigualdad en una variable es un enunciado que involucra dos expresiones, donde al menos una expresión contiene la variable, separadas por uno de los símbolos de desigualdad <, >, , o . OBS. * Los símbolos < y > representan desigualdades estrictas, mientras que y son no estrictas.

* Si a, b ; a b si y solo s÷÷í a < b ó a b (la expresión a b, se lee a menor o igual que b).

* Si a, b ; a b si y solo s÷÷í a > b ó a b (la expresión a b, se lee a mayor o igual que b).

El dominio de una variable en una desigualdad es el conjunto de los números reales para los cuales están definidos los

miembros de la desigualdad. Son ejemplos de desigualdades lineales que tienen el conjunto de los números reales como

dominio son

x - 6 > 8 3x + 5 < 11 x + 5

x6

2 < 4x + 6 14

Un ejemplo de desigualdad cuadrática que tiene a como dominio es

x2 + 2 -2 La desigualdad

x + 30

x - 2

es racional. Debido al lado izquierdo no está definido cuando x 2, el dominio de x es el conjunto de todos los números reales excepto 2.

Resolver una desigualdad significa encontrar todos los valores de la variable para los cuales el enunciado es cierto. Estos valores son llamados soluciones de la desigualdad y el conjunto de todas las soluciones se denomina conjunto solución.

SABIAS QUE:

Una desigualdad absoluta es aquella que es verdadera para cualquier número en el dominio. Por ejemplo si x es un número real,

x + 1 < x + 3 y x2 0 son desigualdades absolutas.

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Una desigualdad condicional es aquella para la cual hay al menos un número en el dominio que no está en el conjunto solución. Para encontrar el conjunto solución de una desigualdad condicional, se procede de una manera similar a la empleada para resolver una ecuación; es decir se obtienen desigualdades equivalentes (aquellas que tienen el mismo conjunto solución) hasta que se tiene una cuyo conjunto solución sea evidente. Para obtener desigualdades equivalentes se utilizan las propiedades siguientes: 3.3 PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES Al trabajar con desigualdades necesitaremos conocer ciertas propiedades que estas cumplen: Propiedad de tricotomía: Para cualquier par de números reales a y b, solo es posibles establecer entre ellos una y

solo una de las siguientes relaciones: a < b ó a b ó a > b.

Propiedad de no negatividad: Para cualquier número real a, tenemos a2 0.

En las propiedades siguientes, a, b y c son números reales. Propiedad transitiva:

Si a < b y b < c, entonces a < c. Si a > b y b > c, entonces a > c.

a b c

Fig. 3

La interpretación geométrica de la propiedad transitiva se muestra en la figura 3; si el punto a está a la izquierda de b, y b está a la izquierda del punto c, entonces a está a la izquierda de c.

Se recomienda ejemplarizar la propiedad con casos concretos en donde se utilicen aspectos como la edad de los estudiantes, la estatura, etc. Propiedad aditiva:

Si a < b, entonces a + c < b + c. Si a > b, entonces a + c > b + c.

La propiedad aditiva de las desigualdades afirma que el sentido, o dirección, de una desigualdad no cambia si se suma el mismo número a cada lado.

Se recomienda ejemplarizar la propiedad con casos concretos en donde se utilicen aspectos como las edades de los estudiantes comparándolas con sus edades años atrás ó años después, etc.

Propiedad multiplicativa:

Si a < b y c > 0, entonces a c < b c. Si a > b y c > 0, entonces a c > b c. Si a < b y c < 0, entonces a c > b c. Si a > b y c < 0, entonces a c < b c.

La propiedad multiplicativa de las desigualdades afirma que el sentido, o dirección, de una desigualdad no cambia si cada lado se multiplica por un número real positivo; pero si cada lado se multiplica por un número real negativo, sí se invertirá la dirección.

SABIAS QUE Propiedades semejantes a las anteriores son válidas para otras desigualdades y para o . 3.4 INTERVALOS

Otra forma de expresar conjuntos de números descritos por desigualdades es utilizando la notación de intervalos. Esta notación es una manera conveniente y compacta de representar trozos de longitud finita y/o infinita en la recta numérica. Un intervalo es un subconjunto o porción de la recta real.

OBS. * Utilizaremos paréntesis “( )” o “”para indicar que un extremo no está incluido.

* Utilizaremos corchetes “ ” o “ ”para indicar que se incluye el extremo. * Cuando expresamos intervalos, rectas o semirrectas no acotados, utilizamos el símbolo de infinito, - (que se lee

menos infinito) o + (que se lee mas infinito). * Los símbolos - y + no representan números; son simplemente símbolos que nos recuerdan que el intervalo continúa por siempre, o disminuye (o aumenta) sin fin. Por lo tanto siempre escribiremos un paréntesis junto al símbolo .

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Nombre Notación Desigualdad Gráfica Características

Abierto

(a , b)

a < x < b

( ) a b

No contiene extremos.

Cerrado

a , b

a x b

a b

Contiene los extremos.

Semiabierto a la derecha

a , b

a x < b

) a b

Contiene sólo el extremo izquierdo.

Semiabierto a la izquierda

a , b

a < x b

( a b

Contiene sólo el extremo derecho.

Abierto no acotado superiormente

(a , + )

x > a

( ) a +

No contiene el extremo izquierdo y se extiende indefinidamente hacia la derecha.

Abierto no acotado inferiormente

(- , b)

x < b

) - b

Se extiende indefinidamente desde la izquierda y no contiene el extremo derecho.

Cerrado no acotado superiormente

a , +

x a

)

a +

Contiene el extremo izquierdo y se extiende indefinidamente hacia la derecha.

Cerrado no acotado inferiormente

- , b

x b

- b

Se extiende indefinidamente desde la izquierda y contiene el extremo derecho.

Números Reales

(- , + )

- x + () ) - +

Se extiende indefinidamente desde la izquierda hasta la derecha.

Algunos ejemplos de intervalos acotados y no acotados se presentan en la siguiente tabla:

Nombre Notación Desigualdad Gráfica Longitud

Abierto

(-5 , 3)

-5 < x < 3

( ) -5 3

8

Cerrado 3 9 ,

2 2

3

2 x 9

2

3

2 9

2

3

Semiabierto a la derecha

2.4 , 3.5

2.4 x <3.5

) a b

1.1

Semiabierto a la izquierda

-7 , -1

-7 < x -1

( -7 -1

6

Abierto no acotado superiormente

(a , + )

x > a

( ) a +

Infinita

Abierto no acotado inferiormente

(- , b)

x < b

) - b

Infinita

Cerrado no acotado superiormente

a , +

x a

)

a + Infinita

Cerrado no acotado inferiormente

- , b

x b

- b

Infinita

Números Reales

(- , + )

- x + () ) - +

Infinita

3.5 OPERACIONES ENTRE INTERVALOS Las operaciones realizadas entre conjuntos, tales como: unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento, se puede trasladar a los intervalos, ya que los intervalos son subconjuntos del conjunto de los reales.

Unión: /A B x x A x B , es decir son los elementos que pertenecen a A, a B ó a ambos.

Intersección: /A B x x A x B , es decir son los elementos que hacen parte de A y de B,

simultáneamente, o lo que es lo mismo son los elementos comunes a ambos intervalos.

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Diferencia: /A B x x A x B , corresponde a los elementos que pertenecen a A (primer conjunto)

más no pertenecen a B (segundo conjunto).

Diferencia Simétrica: / /A B x x A B x B A x x A B , es decir son los

elementos que no pertenecen a la intersección de dos intervalos.

Complemento: ' /A x x U x A , son los elementos que no hacen parte del conjunto A.

3.6 EJEMPLOS DE LAS OPERACIONES

3.7 APLICA

1.

2. Representa gráficamente las siguientes operaciones entre intervalos y expresa el conjunto

solución mediante un intervalo y mediante una inecuación:

a) [3, 9] ∩ [5, 11] b) (2, 6) – [3, 10)

c) (-∞, 5] U (-5, 7] d) (-∞, 6] – (-1, 4]

3.

4.

5.