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COMBINATORIA: Breve reseña histórica

El surgimiento y desarrollo de la combinatoria ha sido paralelo al desarrollo de otras ramas de las matemáticas, tales como el álgebra, teoría de los números, y probabilidad. Desde tiempos muy remotos ha habido problemas de combinatoria que han llamado la atención de los matemáticos. Por ejemplo el problema de los cuadrados mágicos que son arreglos de números con la propiedad de que la suma de los elementos de cualquier columna, renglón o diagonal es el mismo número, aparece en un viejo libro chino fechado 2200 a. C. Los cuadrados mágicos de orden 3 fueron estudiados con fines místicos. Los coeficientes binomiales, que son los coeficientes enteros de la expansión de (a + b)

n fueron conocidos en el siglo XII. El triángulo de Pascal que es un arreglo triangular de los coeficientes binomiales fue desarrollado en el siglo XIII.

Se puede considerar que en el Occidente la combinatoria surge en el siglo XVII con los trabajos de Blaise Pascal y de Pierre Fermat sobre la teoría de juegos de azar. Estos trabajos, que formaron los fundamentos de la teoría de la probabilidad, contenían asimismo los principios para determinar el número de combinaciones de elementos de un conjunto finito, y así se estableció la tradicional conexión entre combinatoria y probabilidad.

El término "combinatoria" tal y como lo usamos actualmente fue introducido por Wilhem Leibniz en su Dissertatio de Arte Combinatoria. De gran importancia para la consolidación de la combinatoria fue el artículo de Ars Conjectandi (el arte de conjeturar por J. Bernoulli; este trabajo estaba dedicado a establecer las nociones básicas de probabilidad. Para

esto fue necesario introducir también un buen número de nociones básicas de combinatoria pues se usaron fuertemente como aplicaciones al cálculo de probabilidades. Se puede decir que con los trabajos de Leibniz y Bernoulli se inicia el establecimiento de la combinatoria como una nueva e independiente rama de las matemáticas.

El matemático suizo Leonard Euler fue quien desarrolló a principios del siglo XVIII una auténtica escuela de matemática combinatoria. En sus artículos sobre la partición y descomposición de enteros positivos en sumandos, estableció las bases de uno de los métodos fundamentales para el cálculo de configuraciones combinatorias, que es el método de las funciones generadoras.

También se le considera el padre de la teoría de gráficas por el planteamiento y solución del problema de los "Puentes de Königsberg" usando por primera vez conceptos y métodos de teoría de gráficas. Los primeros problemas de teoría de gráficas surgieron de la búsqueda de solución a algunos problemas cotidianos y también en el planteamiento de algunos acertijos matemáticos tales como el problema de los Puentes de Königsberg, el arreglo de reinas en un tablero de ajedrez con alguna restricción, problemas de transporte, el problema del agente viajero, etc.

El problema de los cuatro colores formulado a mediados del siglo XIX (cuatro colores son suficientes para colorear las regiones de un mapa de tal manera que regiones con frontera tengan asignados distinto color) pasó de ser un mero acertijo matemático a ser fuente de importantes problemas y resultados en teoría de gráficas de interés tanto teórico como en aplicaciones. Este ha sido uno de los problemas teóricos más desafiantes en la historia de la combinatoria debido a la simplicidad de su planteamiento.

En Inglaterra a finales de siglo XIX Arthur Cayley (motivado por el problema de calcular el número de isómeros de hidrocarburos saturados) hizo importantes contribuciones a la teoría de enumeración de gráficas. Por este tiempo el matemático George Boole usó métodos de combinatoria en conexión con el desarrollo de la lógica simbólica y con las ideas y métodos que Henri Poincaré desarrolló en relación con problemas de topología. Uno de los factores más importantes que han contribuido al gran desarrollo que ha tenido la combinatoria desde 1920 es la teoría de gráficas, la importancia de esta disciplina estriba en el hecho de que las gráficas pueden servir como modelos abstractos para modelar una gran variedad de relaciones entre objetos de un conjunto. Sus aplicaciones se extienden a campos tan diversos como la investigación de operaciones, química, mecánica estadística, física teórica y problemas socio - económicos. La teoría de redes de transporte se puede ver como un capítulo de la teoría de las gráficas.

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COMBINATORIA

La combinatoria es una rama de las Matemáticas que básicamente se encarga de estudiar cuántos grupos pueden formarse con un cierto número de objetos atendiendo a determinados criterios. Como esta definición puede no ser demasiado clara vamos a poner un par de ejemplos: ¿Cuántos números de 5 cifras pueden formarse con los

números del 1 al 9? ¿Cuántas manos posibles de mus pueden darse? (Cada

mano de mus consta de 4 cartas)

La combinatoria se encarga de determinar esos números.

En este tipo de problemas existen dos elementos fundamentales que van a ser determinantes a la hora de elegir la fórmula adecuada: si importa el orden en el cual van apareciendo los objetos y si puede existir repetición de los mismos. En la situación planteada en la primera pregunta anterior vemos que importa el orden en el que aparecen los números (ya que si cambio de lugar dos cifras de un número de 5 cifras el número obtenido es distinto al que tenía al principio) y puede haber repetición de elementos (las cifras pueden repetirse en un mismo número). En la situación planteada en la segunda pregunta vemos que no importa el orden (da igual en qué orden me lleguen las cartas, lo importante es la mano que llevo, es decir, el conjunto de 4 cartas) y no hay repetición de elementos (no puedo tener la misma cartas 2 veces). Pueden darse todos los casos posibles: importa orden y no hay repetición, importa orden y sí hay repetición, no importa orden y hay repetición y no importa orden y sí hay repetición.

Como acabamos de ver en un problema de combinatoria tendremos dos números: elementos a elegir y elementos que forman la agrupación. La mejor manera de interpretar esto es considerar los elementos a elegir como objetos que podemos colocar y los elementos que forman cada agrupación como huecos que tenemos que rellenar. Así en el ejemplo de los números de 5 cifras tendremos 9 objetos que podemos colocar (1, 2, …, 9) y 5 huecos a rellenar (cada una de las cifras del número); y en el ejemplo del mus tendremos 40 objetos que podemos colocar (las 40 cartas de la baraja española) y 4 huecos a rellenar (las 4 cartas que forman una mano de mus).

Veamos a continuación qué tipo de agrupaciones podemos encontrar y cómo contarlas:

PERMUTACIONES Una permutación de un conjunto de elementos es un ordenamiento específico de todos los elementos del conjunto, es decir, en una permutación el orden en que se disponen los elementos del conjunto es importante.

En otras palabras, es la forma de ordenar o arreglar la totalidad de los elementos de un conjunto.

Permutaciones SIN repetición

Se llaman permutaciones ordinarias o sin repetición de n elementos a las variaciones de estos n elementos tomados de n en n, es decir, a las distintas agrupaciones que podemos formar con todos ellos.

Dos permutaciones sin repetición se diferencian en el orden de sus elementos. Por tanto, en las permutaciones sin repetición importa el orden y no hay repetición de elementos.

El número de permutaciones sin repetición de n elementos se deduce fácilmente de la fórmula de las variaciones sin repetición y es:

!n

nP

Ejemplo 1: Por ejemplo, si queremos saber de cuántas formas podemos sentar a 6 personas en 6 sillas utilizaremos esta fórmula. El resultado es:

66! 720P

Ejemplo 2: Con las letras de la palabra BESO, ¿cuántas palabras distintas se pueden formar?

Sol. Inicialmente, démonos a la tarea de enumerarlas una por una, tal y como se muestra a continuación:

BESO BEOS BOES BOSE BSEO BSOE ESOB ESBO EBOS EBSO EOBS EOSB SOBE SOEB SEBO SEOB SBEO SBOE OBES OBSE OSBE OSEB OESB OEBS

Evidentemente, al tratarse de palabras el orden importa. Y además n = m, es decir tenemos que formar palabras de cuatro letras con cuatro elementos B, E, S, O; que no están repetidos.

Por tanto, se pueden formar 24 palabras:

44! 4 3 2 1 24P

Permutaciones CON repetición

Se llaman permutaciones con repetición de n elementos donde el primero se repite a veces, el segundo b veces, …, el último k veces (a + b +…+ k = n) a las distintas agrupaciones que podemos formar de modo que en cada una de ellas el primer elemento se repita a veces, el segundo b veces,…, el último k veces y que dos agrupaciones se diferencien únicamente en el orden de colocación de los elementos. Por tanto, en las permutación con repetición importa el orden y sí hay repetición de elementos.

El número de permutaciones con repetición de n elementos donde el primero se repite a veces, el segundo b veces,…, el último k veces (a + b +…+ k = n) es el siguiente:

, ,...,

!

! ! ... !

n

a b k

n

a b kPR

Ejemplo 3: Con las letras de la palabra LATA, ¿cuántas palabras distintas se pueden formar?

Sol. Primero, hagamos la lista:

LATA LAAT LTAA TALA TAAL TLAA ALAT ALTA AALT AATL ATLA ATAL

En este caso tenemos 4 objetos a colocar (las 4 letras); uno que repite 2 veces (A) y dos que se repiten una vez (L y T).

Por tanto, tal y como hemos observado verificamos que se pueden formar 12 palabras, luego de usar la fórmula:

4

2,1,1

4! 4 3 2! 4 3 1212

2!1!1! 2!1!1! 1!1! 1 1PR

Ejemplo 4: Si queremos saber cuántas palabras podemos formar con las letras de la palabra MATEMATICAS utilizaremos esta fórmula.

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Sol. En este caso tenemos 11 objetos a colocar (las 11 letras) y uno que repite 3 veces (A), dos que se repiten 2 veces (M y T) y cuatro que se repiten una vez (E, I, C y S). El resultado es:

11

3,2,2,1,1,1,1

11!

3! 2! 2!1!1!1!1!PR

11

3,2,2,1,1,1,11633200PR

o simplemente

11

3,2,2

11!1633200

3! 2! 2!PR

Ejemplo 5: ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve bolas de las que 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules?

El orden importa por ser de distinto color, pero hay bolas del mismo color (están repetidas) y además n = m, es decir colocamos 9 bolas en línea y tenemos 9 bolas para colocar. Por tanto, tenemos 1260 modos de colocarlas:

9

4,3,2

9!9 4 7 5 1260

4! 3! 2!PR

Permutaciones circulares

Ejemplo 6: Cuatro personas quieren sentarse alrededor de una mesa circular, sin ningún privilegio en la escogencia de sitio. Se coloca una de las personas en la mesa y luego se ubican las otras tres, moviéndose siempre en el mismo sentido (bien en el sentido de las

manecillas del reloj o bien en sentido contrario), lo cual puede realizarse en 3! formas diferentes.

Este resultado se puede generalizar: El número de permutaciones de n objetos diferentes en un círculo (moviéndose en un solo sentido) es (n 1)!

VARIACIONES Son permutaciones en las que implica orden en la colocación de los elementos, pero con diferencia a las permutaciones, de que se toma una parte de los elementos del conjunto.

Variaciones SIN repetición

Se llaman variaciones ordinarias o sin repetición de n elementos tomados de m en m a las diferentes agrupaciones que con ellos se pueden formar de tal modo que cada agrupación contenga m elementos distintos y que dos agrupaciones se diferencien bien en alguno de sus elementos o bien en el orden de colocación de los mismos. Es decir, en las variaciones sin repetición importa el orden y no hay repetición de elementos.

El número de variaciones de n elementos tomados de m en m (con n > m) viene dado por la siguiente fórmula:

,

!

!n m

nV

n m

Nota: Las variaciones SIN repetición, también se notan de la siguiente manera:

!

!

n

m

nV

n mo

!

!n m

nV

n m.

Ejemplo 7: ¿Cuántas palabras de dos letras distintas se pueden formar con las letras de la palabra ESA? Sol. Al tratarse de palabras el orden importa y además nos dice "letras distintas" luego no pueden repetirse.

Primeramente, enumeremos las palabras de dos letras que cumplen con esta condición:

ES EA SA SE AE AS

Ahora comprobemos mediante la fórmula que son 6, las palabras distintas de dos letras que se pueden formar con las letras de la palabra ESA:

3

2

3! 3!6

3 2 ! 1!V .

Ejemplo 8: Si queremos saber cuántos números de 3 cifras podemos formar con los números del 1 al 9 con la condición de que no se repita ninguna cifra debemos utilizar esta fórmula. El resultado sería:

9,3

9! 9 8 7 6!9 8 7 504

9 3 ! 6!V

Ejemplo 9: Si a una sala donde hay diez sillas entran cinco personas, ¿de cuántas, maneras diferentes podrán elegir las sillas para sentarse?

Sol. El problema respeta el orden, porque habiendo dos sillas, que Juan elija una silla y Pedro la otra es diferente si Juan elija la otra y Pedro la una. Esto se dice de manera corta así: Juan Pedro es diferente de Pedro Juan. Entonces se trata de un problema de variaciones.

Como Juan no se puede sentar en dos sillas, es decir no existe la posibilidad Juan Juan, entonces es un problema de variaciones sin repetición.

10 5

10! 10!

10 5 ! 5!V

10 5

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

5 4 3 2 1V

10 5 10 9 8 7 6 30240V

Entonces hay 30240 formas diferentes en que pueden elegir las sillas en que quieran sentarse.

Variaciones CON repetición

Se llaman variaciones con repetición de n elementos tomados de m en m a las diferentes agrupaciones que con ellos se pueden formar de tal modo que cada agrupación contenga m elementos y que dos agrupaciones se diferencien bien en alguno de sus elementos o bien en el orden de colocación de los mismos. Es decir, en las variaciones con repetición importa el orden y sí puede haber repetición de elementos.

El número de variaciones con repetición de n elementos tomados de m en m es:

,

m

n mVR n .

Nota: Las variaciones con repetición, también se notan de la siguiente manera:

n m

mVR n .

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Ejemplo 10: ¿Cuántas palabras de dos letras se pueden formar con las letras de la palabra ESA?

Sol. Al tratarse de palabras el orden importa, sin embargo el problema no dice nada con respecto a letras “distintas”, luego pueden repetirse.

De acuerdo con esto, si enumeramos las palabras de dos letras (aún cuando estas se repitan), tenemos:

AA AE AS EA EE ES SA SE SS

Comprobando mediante la fórmula, observamos que son 9, las palabras de dos letras que se pueden formar con las letras de la palabra ESA (admitiendo repetición):

3 2

2 3 9V .

Ejemplo 11: ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?

Sol. Al tratarse de números el orden importa y además no dice nada sobre "cifras distintas" luego si pueden repetirse. Por tanto, se pueden formar 729 números:

3

9,3 9 729VR

Ejemplo 12: ¿Cuántas palabras distintas de 10 letras (con o sin sentido) se pueden escribir utilizando sólo las letras a, b?

Sol. Al tratarse de palabras el orden importa y además como son palabras de 10 letras y sólo tenemos dos para formarlas, deben repetirse.

Por tanto, se pueden formar 1024 palabras: 2 10

10 2 1024VR

COMBINACIONES

Situación de entrada: Una familia está compuesta por 4 personas: papá, mamá y dos hijos. Se necesita que a una reunión del barrio vayan 3 miembros de la familia, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden elegir esas tres personas?

Sol. Supongamos que las personas son: A, B, C y D. Los posibles grupos que se forman serían:

ABC ABD ACD BCD

En esta situación no se tiene en cuenta el orden, porque el cambio de orden no altera la estructura del grupo, es decir:

ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA

Las combinaciones son arreglos de los elementos de un conjunto sin importar el orden en que se dispongan.

Combinaciones SIN repetición

Se llaman combinaciones ordinarias o sin repetición de n elementos tomados de m en m a las agrupaciones de m elementos que podemos formar con los n elementos de que disponemos. Dos combinaciones son distintas sólo si difieren en algún elemento.

Por tanto en las combinaciones sin repetición no importa el orden y no hay repetición.

El número de combinaciones sin repetición de n elementos

tomados de m en m es:!

! !

n

m

n n

m m n mC

Recuerda que: Dado un conjunto A con n elementos, el número de subconjuntos de A que tienen m elementos es el

coeficiente binomial de n en m y se denota como: n

m.

Se define como: !

! !

n

m

n n

m m n mC

Ejemplo 13: ¿Cuántos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los treinta alumnos de una clase? (Un grupo es distinto de otro si se diferencia de otro por lo menos en un alumno)

Sol: No importa el orden (son grupos de alumnos). No puede haber dos alumnos iguales en un grupo evidentemente, luego sin repetición.

Por tanto, se pueden formar 142506 grupos distintos:

530

30 30! 30!142506

5 5! 30 5 ! 5! 25!C

Ejemplo 14: El BALOTO es un juego que consiste en acertar en cualquier orden 6, 5, 4 o 3 números en una matriz de números del 1 al 45.

Se gana el acumulado multimillonario acertando seis (6) números sin importar el orden.

Por ejemplo, en el BALOTO podemos elegir el siguiente número de combinaciones distintas:

45

6

45! 45!

6! 45 6 ! 6! 39!C

45

6

45! 45 44 43 42 41 40 39 !

6! 45 6 ! 6! 39 !C

45

6

45!8145060

6! 39!C

Combinaciones CON repetición

Se llaman combinaciones con repetición de n elementos tomados de m en m a las agrupaciones de m elementos iguales o distintos que se pueden formar con los n de que disponemos. Dos combinaciones con repetición son distintas sólo si difieren en alguno de sus elementos. Por tanto en las combinaciones con repetición no importa el orden y sí puede haber repetición de elementos.

El número de combinaciones con repetición de n elementos tomados de m en m es:

1 1 !

! 1 !

n

m

n m n m

m m nCR

Ejemplo 15: Por ejemplo, si queremos saber de cuántas formas podemos colocar 7 anillos idénticos en 4 dedos de una mano utilizaremos esta fórmula. En este caso, como nos tenemos que poner los 7 anillos y todos son iguales, los objetos a colocar serán los dedos y los huecos a rellenar serán los anillos (si lo hiciéramos al revés quedarían anillos

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sin poner). El resultado sería:

7

4

7 4 1 ! 10!120

4! 7 1 ! 4! 6!CR

Ejemplo 16: En una confitería hay cinco tipos diferentes de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro pasteles?

Sol: No importa el orden (son pasteles). Puede haber dos o más pasteles en un grupo, luego con repetición.

Por tanto, se pueden elegir pasteles de 70 maneras distintas:

5

4

5 4 1 5 4 1 ! 8!70

4 4! 5 1 ! 4! 4!CR

PAUTAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Si en cada agrupación figuran todos los elementos disponibles, importando su orden de colocación, entonces se trata de un problema de permutaciones (Ejemplos 1 al 5).

Si en cada agrupación figuran sólo algunos de los elementos disponibles, importando el orden de colocación de éstos, entonces es un problema de variaciones (Ejemplos 6 al 10).

Si en cada agrupación figuran sólo algunos de los elementos disponibles, sin importar el orden de colocación de éstos, entonces estamos ante un problema de combinaciones (Ejemplos 11 al 14).

MISCELANEA DE EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE COMBINATORIA

EJR1. ¿Cuántas palabras de 10 letras diferentes pueden formarse con cinco vocales y cinco consonantes de las 21 existentes, de manera que no haya dos vocales juntas ni dos consonantes juntas? Sol./ - En primer lugar hay que tomar 5 de 21, es decir C(21, 5). - Las 5 vocales y las 5 consonantes deben intercalarse, pero pueden ponerse en cualquier orden, luego por las consonantes: 5! y por las vocales: 5! - Puede comenzar por consonante o vocal: 2 Tomando todo esto, tenemos las maneras de ordenar estas 10 letras:

= C(21, 5) 5! 5! 2 = 21 20 19 18 17 16 5 4 3 2 1 2 = 9376819200

EJR2. La selección de fútbol de Colombia tiene 22 jugadores: 3 arqueros, 8 defensas, 7 volantes y 4 delanteros. Si el entrenador tiene que elegir 1 arquero, 4 defensas, 4 volantes y dos delanteros, ¿cuántas alineaciones diferentes podrá armar?

Sol./ Como el orden en que selecciona no importa, entonces es un problema de combinaciones, pero estas son dentro de cada puesto.

De los tres arqueros debe elegir uno, entonces tiene: 3C1 De los ocho defensas elegirá a cuatro, tiene entonces: 8C4 De los siete volantes deberá elegir a cuatro, tiene así: 7C4 De los cuatro delanteros elige a dos, entonces tiene: 4C2

Como la elección de los jugadores los hace para cada elección anterior, entonces funciona la propiedad fundamental del producto. Luego podrá seleccionar:

3C1 8C4 7C4 4C2 = 44100 ?

EJR3. En el campeonato de vóley playa de la playa de Matalascanas hay 6 equipos. ¿De cuántas maneras distintas se puede elegir el partido inaugural?

Sol./ Podríamos decir que, para elegir el primer equipo hay 6 opciones y para el segundo, 5, así que, en total, son

6 5 = 30 Pero hay un error: cuando intentamos escribirlas todas nos salen, siendo A, B, C, D, E, F los equipos:

AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF

¿Por qué sólo 15? Al elegir diciendo «6 opciones para el primero y 5 para el segundo» habíamos considerado como distintos partidos el AB y el BA. Como no hay «partidos de ida y de vuelta» (en otros términos: el orden no importa), hay que dividir por 2: (6 5) / 2 = 15.

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MISCELANEA DE EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE COMBINATORIA

EJR1. ¿Cuántas palabras de 10 letras diferentes pueden formarse con cinco vocales y cinco consonantes de las 21 existentes, de manera que no haya dos vocales juntas ni dos consonantes juntas? Sol./ - En primer lugar hay que tomar 5 de 21, es decir C(21, 5). - Las 5 vocales y las 5 consonantes deben intercalarse, pero pueden ponerse en cualquier orden, luego por las consonantes: 5! y por las vocales: 5! - Puede comenzar por consonante o vocal: 2 Tomando todo esto, tenemos las maneras de ordenar estas 10 letras:

= C(21, 5) 5! 5! 2 = 21 20 19 18 17 16 5 4 3 2 1 2 = 9376819200

EJR2. La selección de fútbol de Colombia tiene 22 jugadores: 3 arqueros, 8 defensas, 7 volantes y 4 delanteros. Si el entrenador tiene que elegir 1 arquero, 4 defensas, 4 volantes y dos delanteros, ¿cuántas alineaciones diferentes podrá armar?

Sol./ Como el orden en que selecciona no importa, entonces es un problema de combinaciones, pero estas son dentro de cada puesto.

De los tres arqueros debe elegir uno, entonces tiene: 3C1 De los ocho defensas elegirá a cuatro, tiene entonces: 8C4 De los siete volantes deberá elegir a cuatro, tiene así: 7C4 De los cuatro delanteros elige a dos, entonces tiene: 4C2

Como la elección de los jugadores los hace para cada elección anterior, entonces funciona la propiedad fundamental del producto. Luego podrá seleccionar:

3C1 8C4 7C4 4C2 = 44100 ?

EJR3. En el campeonato de vóley playa de la playa de Matalascanas hay 6 equipos. ¿De cuántas maneras distintas se puede elegir el partido inaugural?

Sol./ Podríamos decir que, para elegir el primer equipo hay 6 opciones y para el segundo, 5, así que, en total, son

6 5 = 30 Pero hay un error: cuando intentamos escribirlas todas nos salen, siendo A, B, C, D, E, F los equipos:

AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF

¿Por qué sólo 15? Al elegir diciendo «6 opciones para el primero y 5 para el segundo» habíamos considerado como distintos partidos el AB y el BA. Como no hay «partidos de ida y de vuelta» (en otros términos: el orden no importa), hay que dividir por 2: (6 5) / 2 = 15.

PAUTAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Si en cada agrupación figuran todos los elementos disponibles, importando su orden de colocación, entonces se trata de un problema de permutaciones.

Si en cada agrupación figuran sólo algunos de los elementos disponibles, importando el orden de colocación de éstos, entonces es un problema de variaciones.

Si en cada agrupación figuran sólo algunos de los elementos disponibles, sin importar el orden de colocación de éstos, entonces estamos ante un problema de combinaciones.

PROBLEMAS Y CUESTIONES DE COMBINATORIA

1. En una liga de baloncesto juegan 20 equipos, todos contra todos dos veces (ida y vuelta). ¿Cuántos partidos se habrán jugado al final de la misma? [380]

2. Con los dígitos: 1, 2, 3, 4 y 5 ¿cuántos números de cinco cifras, sin repetición, se pueden formar? [120]

B. ¿Cuántos de esos números empiezan por 1? [24] C. ¿Cuántos terminan en 5? [24] D. ¿Cuántos empiezan por 1 y acaban en 5? [6] E. ¿Cuántos son pares? [48] F. ¿Cuántos son múltiplos de 5? [24] G. ¿Cuántos son mayores que 20.000? [96]

3. Un club de baloncesto dispone de 10 jugadores de los cuales juegan 5 a la vez. ¿Cuántos equipos distintos de 5 jugadores pueden sacar el entrenador para cada partido? [252 equipos]

4. Con las letras de la palabra CINEMA ¿Cuántas palabras distintas, tengan sentido o no, se pueden formar? [720]

A. ¿Cuántas terminan en A? [120] B. ¿Cuántas empiezan con N? [120] C. ¿Cuántas empiezan con C y terminan en I? [24] D. ¿Cuántas empiezan con vocal? [360] E. ¿Cuántas tienen vocal y consonante alternadas? [72]

5. Siete chicos e igual número de chicas quieren formar pareja para el baile. ¿Cuántas parejas distintas se pueden formar? [49]

6. Con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ¿cuántos números de tres cifras se pueden hacer? [210]

7. Suponiendo que existiera 100 elementos distintos en la naturaleza y que cada sustancia estuviese formada por 3 exclusivamente. ¿Cuántas sustancias distintas tendríamos? [161.700]

8. Cinco jueces de un deporte determinado disponen de una cartulina en la que por un lado hay un 1 y por el otro un 0. ¿Cuántas combinaciones pueden darse? [32]

9. Se dispone de siete colores para diseñar una bandera que tiene tres franjas horizontales de igual ancho pero de distinto color.

A. ¿Cuántas banderas se pueden diseñar que no tenga ningún color repetido? [210]

B. ¿Y si se puede repetir los colores? [343]

10. Si las matrículas de vehículos estuviesen formadas por un número de cuatro dígitos y de dos letras, sin repetirse ninguna (abecedario de 28). ¿Cuántas matrículas distintas se pueden formar? [7.560.000]

11. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda? [5040]

12. ¿Cuántas palabras se pueden formar con las letras de la palabra CALABAZA? [1680]

13. En una carrera participan cinco coches. ¿Cuántas clasificaciones se pueden producir al final, si cada uno de los coches emplea distintos tiempos? [120]

14. En una reunión hay diez personas. A. ¿Cuántos grupos de tres personas se pueden formar?

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[120] B. ¿En cuántos no entrará una persona determinada? [84]

15. Al formar palabras de cinco letras con las letras de la palabra EQUATIONS:

A. ¿Cuántas consisten sólo en vocales? [120] B. ¿Cuántas contienen todas las consonantes? [600] C. ¿Cuántas comienzan con E y terminan en S? [210] D. ¿Cuántas comienzan por consonantes? [6720] E. ¿Cuántas contienen la N? [8400] F. ¿Cuántas hay en las que las vocales y las consonantes

se alternan? [1200] G. ¿Cuántas hay en las que Q está seguida de U? [840]

16. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? [SR 648] [CR 900]

B. ¿Cuántos de estos son impares? [SR 320] [CR 450] C. ¿Cuántos son pares? [SR 328] [CR 450] D. ¿Cuántos son divisible por cinco? [SR 136] [CR 180] E. ¿Cuántos hay mayores que seiscientos? [SR 288]

SR: sin repetición; CR: con repetición.

17. ¿De cuántas maneras se pueden sentar tres chicos y tres chicas en fila, alternadamente? [72]

18. Un grupo de ocho chicos y ocho chicas van de tostón al campo. Seis de la partida van en un auto, cuatro en otro y el resto a pie. ¿De cuántas maneras se puede distribuir el grupo para el viaje? [1.681.680]

19. Un estudiante tiene que resolver ocho cuestiones de doce en un examen.

A. ¿De cuántas maneras puede elegirlas? [495] B. ¿Y si las tres primeras son obligatorias? [126] C. ¿Y si tiene que contestar sólo a tres de las cinco

primeras? [210]

20. Hallar el número de permutaciones que se pueden hacer con las letras de la palabra FABADA. [120]

B. ¿Cuántas comienzan y acaban en A? [24] C. ¿Cuántas tienen las tres vocales juntas? [24] D. ¿Cuántas comienzan por F y acaban en A? [12]

21. ¿De cuántas formas se pueden sentar cuatro amigos en una mesa de seis cubiertos? [360]

22. Dados los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, se trata de calcular la cantidad de números de cuatro cifras que se pueden formar sin repetirse ninguna de ellas, que cumplan las siguientes características:

A. Total de números posibles. [840] B. Que empiecen en uno y acaben en siete. [20] C. Que no contengan ni el cuatro ni el cinco. [120] D. Que no contengan el dos ni el siete y si el seis. [96] E. Que contengan el uno. [480] F. Que comiencen en cuatro, acaben en tres y no contengan

ni el cinco ni el siete. [6] G. Que la segunda cifra sea cinco y la última par. [60] H. Que la segunda cifra sea dos y la última uno. [20] I. Que empiecen en cuatro y no contengan el uno ni el seis. [24] J. Que el primero y el último sean impares y los del medio

pares. [72] K. Que empiecen en impar y terminen en par. [240] L. Que el primero, segundo y cuarto sean impares y el

tercero par. [72] M. Que contengan un impar. [96] N. Que tengan más pares que impares. [96] O. Que sean múltiplos de dos. [360]

P. Que sean múltiplos de cinco. [120] Q. Que acaben en tres y tengan dos pares. [54] R. Que no contengan el uno ni el cuatro y tengan algún par. [120] S. Que contengan el cinco y el seis y dos impares. [144] T. Que los dos centrales sean pares. [120]

23. Un partido político cuenta con quince candidatos para formar listas de cinco candidatos con el fin de ocupar las vacantes de presidente, vicepresidente, secretario de organización, información y propaganda. ¿Cuántas listas distintas se podrán preparar? [360360]

24. ¿De cuántas formas pueden repartirse siete libros entre siete niños si:

A. Los libros son distintos. [5040] B. Hay cuatro libros iguales y el resto distintos. [210] C. Los libros son todos distintos y queremos que a Juan le

toque el de novelas y a Pedro el libros de cuentos. [120]

25. ¿Cuántas ordenaciones distintas pueden hacerse con las letras de "PERMANENTE"? [302400]

26. ¿De cuántas formas se pueden repartir seis juguetes distintos entre cuatro niños, de forma que a cada uno de ellos se lleve al menos un juguete?

27. En una urna hay cinco bolas blancas numeradas del uno al cinco y cinco bolas negras con la misma numeración. Si se extraen dos bolas, ¿Cuántas posibilidades distintas hay? ¿En cuántas de ellas habrá una blanca y otra negra? ¿En cuántas de ellas habrá dos del mismo color?

28. Entre todas las permutaciones posibles de las cifras 1, 3, 5, 7, 9. ¿Cuántas tienen las cifras 1, 5, 7 en este orden relativo?

29. Si se extraen tres bolas. ¿En cuántas habrá una blanca y dos negras? ¿Cuántas en las que las tres bolas sean del mismo color?

30. Un número palíndromo (o capicúa), se refiere a cualquier número que se lee igual de izquierda a derecha y de derecha a izquierda. Por ejemplo: 212, 7540550457, etc. Halla el número de palíndromos de ocho cifras. ¿Cuántos palíndromos hay de nueve cifras?

31. Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si:

A. Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos. B. Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.

32. Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?

33. Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿de cuántas formas posibles pueden ordenarse?

34. Con nueve alumnos de una clase se desea formar tres equipos de tres alumnos cada uno. ¿De cuántas maneras puede hacerse?

35. Cinco personas desean nombrar un comité directivo compuesto de un presidente, un vicepresidente, un

INSTITUCION EDUCATIVA

DULCE NOMBRE DE JESUS SINCELEJO – SUCRE

EDERPAD

Licmat 20.09

secretario, un tesorero y un vocal. ¿De cuántas maneras se puede formar el comité? [120]

41. Como respuesta a un anuncio de trabajo se presentan 12 personas para cubrir tres plazas de administrativo ¿Cuántas grupos diferentes de personas se pueden seleccionar? [220]

42. ¿Cuántos triángulos distintos se pueden formar con 8 puntos en el plano si tres de ellos nunca están alineados? [56]

43. Con las letras de la palabra ALELUYA se forman todas las palabras posibles. ¿Cuántas hay?

B. ¿Cuántas empiezan por consonante?

44. Con las letras de la palabra ZOZOBRO se forman todas las palabras posibles. ¿Cuántas hay? [420]

45. Con las letras de la palabra MATEMATICAS se forman todas las palabras posibles. ¿Cuántas hay? [1663200]

46. ¿De cuántas maneras las letras de la palabra ZOOLOGO pueden ser acomodadas en orden? [210]

32. Resolver la ecuación: C7, x = C7, x+3

33. Calcular x para que 3·Cx, 4 = 5·Cx, 2

34. ¿Cuántas quinielas hay que hacer que tengan cinco 1, cinco 2 y cuatro X? [252252]

B. ¿Cuántas que tengan trece 1 y una X? [14]

27. De una baraja española (40 cartas), se extraen tres: A. ¿Cuántas jugadas distintas se podrán sacar? B. ¿Cuántas de esas jugadas tendrán los tres unos? C. ¿Cuántas formarán trío (las tres del mismo número)? D. ¿Cuántas del mismo palo (las tres)? E. ¿Cuántas tendrán un uno y dos sotas? F. ¿Cuántas estarán formadas por figuras (sota, caballo y

rey)?

28. Se realiza el experimento "lanzar tres dados al aire". A. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral? B. ¿Cuántos de esos sucesos sumarán 4? C. ¿Cuál es el número (resultante de la suma) que es más

probable?

“La desesperanza está fundada en lo que

sabemos, que es nada, y la esperanza sobre

lo que ignoramos, que es todo”

Maeterinck

Tomado de: http://www.acienciasgalilei.com/mat/problemas/ejerc1mat-combinatoria-1.htm

Variaciones sin repetición ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?

Sol. Al tratarse de números el orden importa y además nos dice "cifras distintas" luego no pueden repetirse. Por tanto, se pueden formar 504 números:

9

3 9 8 7 504V

Si queremos saber cuántos números de 5 cifras podemos forman con los números del 1 al 9 con la condición de que no se repita ninguna cifra debemos utilizar esta fórmula. El

resultado sería:

9,5

9!15120

9 5 !V