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TEORÍA DE LA PROBABILIDADES

La teoría de las probabilidades es, como mucho, simple sentido común reducido a cálculo.

Pierre Simón Laplace.

¿DE QUÉ SE TRATA?El término probabilidad se refiere al estudio de la aleatoriedad y la incertidumbre.

La historia de la probabilidad comienza en el siglo XVII cuando Fermat y Pascal tratan de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de azar. Aunque algunos marcan sus inicios cuando Cardano (jugador donde los haya) escribió sobre 1520 El Libro de los Juegos de Azar (aunque no fue publicado hasta más de un siglo después, sobre 1660) no es hasta dicha fecha que comienza a elaborarse una teoría aceptable sobre los juegos.

La ciencia hoy llamada Teoría de la Probabilidad es un miembro tardío de la gran familia de las

Matemáticas. Durante los siglos XVII y XVIII los probabilistas se dedicaron, casi exclusivamente, a aplicar la naciente teoría a los juegos de dados, cartas y otros juegos de salón o de casino.

Sin embargo, desde finales del siglo XVIII y hasta bien entrado el siglo XX, se hizo evidente que la Teoría de la Probabilidad tenía algo que aportar a temas menos frívolos: la Economía, la Biología, las Ciencias Sociales y, con gran énfasis, a las nacientes industrias del seguro y de las telecomunicaciones.

Pronto definiremos un suceso como "algo que puede ocurrir" y la llamada probabilidad de un suceso es un número que mide la "seguridad" que podemos tener de que ocurra, con dos extremos: probabilidad 0 significará "nunca ocurre"; pro-babilidad 1 significará "siempre ocurre". -¿Y qué ganamos con saber que algo tiene probabilidad 0,01 o que tiene probabilidad 0,99?- Pues que el ser humano acepta que, frente a sucesos de probabilidad "muy baja" (pero no 0), puede actuar como si estuviera seguro de que no van a ocurrir, y frente a sucesos de probabilidad "muy alta" (pero no 1) puede actuar como si estuviera seguro de que van a ocurrir. ¿Y cuándo empieza una probabilidad a ser "muy alta" o "muy baja”? Ello depende de la gravedad de lo que ocurriría si nos equivocamos y es un tema que desarrollaremos a lo largo de este capítulo.

¿Y para qué se necesita una teoría matemática? ¿No es la intuición suficiente para decirnos si algo "casi con seguridad" ocurrirá o "casi con seguridad" no? La respuesta es un no rotundo: la intuición muchas veces es engañosa.

La Teoría de la Probabilidad siempre parte de suponer ciertas probabilidades para sucesos muy simples, y a partir de allí, calcular las probabilidades de sucesos más complejos, ante los cuales la intuición no sería suficiente.

Siguiendo la historia, Pierre Laplace, eminente matemático francés de la última mitad del siglo XVIII y principios del XIX (quien en 1812 publicó Théorie analytique des probabilités en el que expone un análisis matemático sobre los juegos de azar), describía la teoría de la probabilidad como “el sentido común reducido al cálculo”.

Veamos como la siguiente anécdota justifica esta descripción:Dos estudiantes de grado 11º de la Instituciónintentan ponerse de acuerdo en como pasar una tarde. Acuerdan que tomarán su decisión lanzando una moneda. Si sale cara irán al billar, si sale cruz saldrán a chatear y si la moneda cae de canto, estudiarán.

La historia no es tan trivial como pueda parecer, con ella podemos aprender mucho. El sentido común, basando su juicio en la experiencia, nos indica que los estudiantes quieren saltarse la necesidad de estudiar. En otras palabras sabemos intuitivamente que la moneda no caerá de canto, que lo hará sobre la cara o sobre la cruz. Más aún, si la moneda es legal, tenemos la certeza moral de que las posibilidades de que salga cara o cruz son las mismas.

Pues bien la teoría de la probabilidad se basa en la asunción que hacemos de cuestiones tales como estas: ¿Cuál es la probabilidad de que una moneda caiga sobre el borde? ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara? ¿Cuál es la probabilidad de que salga cruz?

Para poder tratar estas cuestiones desde un punto de vista matemático, es necesario asignar valores numéricos a cada una de las probabilidades involucradas. Supongamos por el momento que denotamos por p el valor numérico de la probabilidad de que al lanzar una moneda, salga cara. Puesto que es igualmente posible que al lanzar la moneda, salga cruz, la probabilidad de que salga cruz también debe tener asignado el valor p.

Como tenemos la certeza de que saldrá cara o cruz sigue que 2p debe ser el valor asignado al suceso seguro, el que ocurrirá siempre que lancemos una moneda al aire. Podemos elegir cualquier valor que nos plazca para el suceso seguro. Es costumbre elegir el valor 1. Esto es: asumimos que 2p=1. Entonces la probabilidad de que la moneda muestre cara es: 1/2; la probabilidad de que muestre cruz es: 1/2; y la probabilidad de que salga cara o cruz es:

1 11

2 2 .

Si analizamos detalladamente el ejemplo, podemos apreciar: Un experimento aleatorio, lanzar una moneda al aire. Unos resultados puntuales, sale cara o sale cruz y no podemos tener la certeza de antemano de que sea cara o sea cruz. Unas asignaciones de probabilidad a cada uno de los resultados, que se basan en el sentido común y en nuestra experiencia previa.

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Vamos a definir de manera más precisa cada uno de los elementos que intervienen, teniendo en cuenta que la Teoría de la Probabilidad usa sistemáticamente el lenguaje y conceptos de la teoría de conjuntos:

Experimento AleatorioLlamaremos experiencia aleatoria a una situación que puede dar lugar a diferentes resultados, sin que pueda garantizarse de antemano cuál será el que ocurrirá, es decir se caracteriza porque su desarrollo no es previsible con certidumbre.

Si la situación se repite desde su inicio, estamos ante una replicación de la experiencia aleatoria. Lanzar un dado, lanzar una moneda, extraer una carta de una baraja o lanzar la bolita de la ruleta, son todas experiencias aleatorias que admiten replicaciones.

Hay también experiencias aleatorias tales como "viajar a Marte para verificar si existe allí vida inteligente", o bien "aplicar cierta droga a determinado paciente para verificar si se cura o no", las cuales o bien no son replicables en abso-luto, o bien, en caso de ser replicadas ya no habría incertidumbre.

Espacio Muestral “U”Es el conjunto de todos los resultados que se pueden obtener al realizar el experimento, es decir al conjunto universal para esa situación, ygeneralmente se representa con las letras U o y colocamos sus elementos entre llaves y separados por comas.

Observación: En algunos textos podrás encontrar que al espacio muestral se le representa por las letras S o E, sin embargo sólo es cuestión de notación y durante el estudio de la teoría de probabilidades usaremos Uo , por la estrecha relación de esta con la teoría de conjuntos.

Miremos algunos ejemplos: Para la experiencia aleatoria

"lanzar un dado" el espacio muestral es

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Para la experiencia "lanzar dos dados", elespacio muestral es

U = {(1,1), (1, 2)... (5, 6), (6, 6)},o lo que es lo mismo

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Para la experiencia "lanzar una moneda" es U = {cara, cruz}.

Para la experiencia "extraer una carta (francesa)" es U = {1, 2,…, 13, 1, 2, …, 13, 1, 2, …, 13, …} equivalente a {1, 2, ..., 13} {, , , }

En el caso de las dos experiencias no replicables que mencionamos con anterioridad, el espacio muestral es U = {sí, no}.

Suceso o EventoDe un experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral U. Los designamos por letras mayúsculas: A, B, C,...,ponemos sus elementos entre llaves y separados por comas.

Observación:Un resultado concreto de un experimento es un elemento del espacio muestral asociado al experimento, conceptualmente suceso y resultado son dos cosas distintas. Los resultados de un experimento aleatorio se suelen representar con letras minúsculas, los sucesos con letras mayúsculas.

Por ejemplo son sucesos: para nuestra primera experiencia, "que caiga un número par", subconjunto {2, 4, 6}; para la segunda experiencia, "que los puntajes sumen 11", subconjunto {(5, 6), (6, 5)}; para la tercera, "que caiga cara", subconjunto {cara}, para la cuarta, "que salga un as", subconjunto {1, 1, 1, 1}, y para la quinta, "que caiga un verde", subconjunto {0, 00}; para las dos experiencias no replicables, "que sí", subconjunto {sí}.

Adelantándome un poco, les diré que todo suceso tiene una probabilidad y la tarea de la Teoría consiste en calcularla.

Ejemplo:Lanzamos un dado U = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Sea el suceso A: «salir par»A = 2, 4, 6

Gráficamente:

En el ejemplo anterior, el suceso A ocurre siempre que el resultado del experimento sea el elemento 2, el elemento 4 o el elemento 6. La confusión entre suceso y resultado se debe a que cuando el suceso es: " que al lanzar un dado salga 2" y el resultado:"sale un dos al lanzar el dado", sólo ocurre el suceso cuando el resultado es 2. Suceso: "Sale un dos" es el subconjunto {2} del espacio muestral.Resultado: "Sale un dos" es el elemento 2 del espacio muestral.

ALGUNAS CLASES DE SUCESOS

Suceso elemental.Es cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio.Por ejemplo, que caiga un 1 en el dado {1}; que salga el as de trébol {1}.

Suceso seguro.Es el propio espacio muestral U.

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Suceso imposible.El que no posee ningún suceso elemental. Se representa por .

Suceso contrario o complementario.Dado un suceso A, se llama suceso contrario de A a un suceso que se verifica cuando no se verifica A. Lo representamos por A ó A’ o AC, o bien, (no A).

Observación: Se verifica que el contrario de AC es A.

CCA A .

Ejemplo:Sea U = 1, 2, 3, 4, 5, 6y los sucesos A: «salir par».Halla el suceso contrario al suceso A.A = 2, 4, 6 A = 1, 3, 5, que corresponde a la región no sombreada.

Observamos que para el suceso seguro U y el suceso imposible

U= y = U.

Ejemplo:Consideremos el experimento aleatorio de “lanzar una moneda tres veces”.El espacio muestral es, como ya sabemos,

U = {CCC, CC+, C+C, C++, +CC, +C+, ++C, +++}

Observémoslo a través del siguiente diagrama de árbol:

Son sucesos de dichos experimento aleatorio A = {CCC, CC+, C+C, C++, +CC, +C+, ++C}

= {“obtener al menos una cara”} B = {CC+, C+C, +CC} = {“obtener 2 caras”} BC = {CCC, C++, +C+, ++C, +++} = {“ No

obtener dos caras”} (suceso contrario de B) Ø = {“obtener 5 cruces”} (suceso imposible) C = {C++, +C+, ++C, +++} = {“obtener más

cruces que caras”} (suceso compuesto) D = {+++} = {“obtener tres cruces”} (suceso

elemental)

OPERACIONES CON SUCESOS

Unión de sucesosEl suceso A unión B es el suceso que se verifica cuando se realiza alguno de ellos o ambos. Lo representamos por A B.

Ejemplo 3: Sea U = 1, 2, 3, 4, 5, 6, y los sucesos A: «salir par» y B: «salir mayor que 4». Halla el suceso A B.A = 2, 4, 6 y B = 5, 6 A B= 2, 4, 5, 6.

Intersección de sucesosEl suceso A intersección B es el suceso que se verifica cuando se realiza A, y se realiza B. Lo representamos por A B.

Ejemplo 4: Halla el suceso A BComo A = 2, 4, 6 y B = 5, 6 A B= 6.

Sucesos IncompatiblesDos sucesos son incompatibles (o mutuamente excluyentes) si no se pueden verificar simultáneamente, es decir, A B = .En caso contrario, se dice que son compatibles.En la experiencia de la baraja, el suceso corazones es excluyente con el suceso picas pero no lo es con el suceso ases. Obviamente todos los sucesos elementales son excluyentes entre sí.

Diferencia de sucesosEl suceso A menos B es el suceso que se verifica cuando se realiza A y no se realiza B. Lo representamos por A − B. Se verifica que:

A − B = A B

Ejemplo 5: Halla los sucesosA − B y A B . A − B = 2, 4 y A B = 2, 4

Sucesos ExhaustivosPor último, llamaremos sucesos exhaustivos a aquellos cuya unión es todo el espacio muestral, lo cual quiere decir que alguno de ellos debe darse. Los sucesos elementales son, pues, exhaustivos.

ALGUNAS CONSIDERACIONES BÁSICAS CON SUCESOS QUE SERÁN ÚTILES PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Sucesos incompatibles y complementariosSi A es un suceso de un determinado experimento aleatorio cuyo espacio muestral es U, entonces A y su complementario son incompatibles, es decir

(A Ac ) = ØAdemás

(A Ac ) = U

Por ejemplo, si lanzamos un dado y A es el suceso

A = {“obtener múltiplo de 3”} = {3, 6},entonces Ac = {“no obtener múltiplo de 3”} = {1, 2, 4, 5}por lo que

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(A Ac ) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Uy

(A Ac ) = Ø.

Dos sucesos complementarios son incompatibles, pero el recíproco no es cierto, es decir dos sucesos incompatibles no tienen por qué ser complementarios.

Por ejemplo, los sucesos A = {“obtener múltiplo de 3”} = {3, 6} y B = {“obtener múltiplo de 5”} = {5},son incompatibles pero no complementarios.

Dados dos sucesos A y B de un determinado experimento aleatorio que no sean incompatibles los sucesos (A B), (B A) y (A B) son incompatibles.

Además podemos expresar tanto A como B como unión de dos sucesos incompatibles.

A = (A B) (A B)B = (B A) (A B)

También podemos expresar el suceso (A B) como unión de tres sucesos incompatibles

(A B) = (A B) (A B) (B A)

Suceso contenido en otroConsideremos el experimento aleatorio consistente en lanzar tres monedas y los sucesos: A = {“salen al menos dos cruces”} = {c++, +c+, ++c, +++}B = {“salen dos cruces”} = {c++, +c+, ++c}

El suceso B es un subconjunto del suceso A. Si se verifica A necesariamente se verifica B. En este sentido, diremos que el suceso B está contenido en el suceso A. Es interesante observar en el caso anterior que se verifican las inclusiones siguientes:

(A B) está contenido en A(A B) está contenido en B

Leyes de De MorganDos propiedades importantes que, a veces, resultan útiles en la resolución de problemas son las siguientes:

1. El complementario de la unión de dos sucesos es la intersección de los complementarios de dichos sucesos

(A B)c = Ac Bc

2. El complementario de la intersección de dos sucesos es la unión de los complementarios de dichos sucesos

(A B)c = Ac Bc

Aplica1. Determina el espacio muestral en cada caso:a. Marcar al azar un número en el teclado de un

celular.b. Elegir al azar un color de nuestra bandera.c. Respuesta de la universidad a un estudiante

que solicita cupo.d. Lanzar una moneda y un dado

2. Escribe los resultados posibles de los siguientes eventos:

a. Determinar el color de las fichas de ajedrez que inician la partida.

b. Marcar al azar en el teclado de un celular un número menor que 5.

c. Mezclar de dos en dos los colores primarios.d. Encontrar dos colores de nuestra bandera que

se encuentren contiguos.

2. Considera el experimento aleatorio consistente en lanzar dos dados (o un dado dos veces) y sumar la puntuación obtenida.

a. Determine el espacio muestral U.b. A partir de U, considera los siguientes sucesos

y determina sus elementos:A: obtener suma parB: obtener una suma que sea número primoC: obtener una suma mayor o igual que 10D: obtener suma múltiplo de 3E: que la suma que sea 2 ó 3F: obtener una suma mayor que 15G: Obtener una suma mayor o igual que 2 y

menor o igual que 12H: Obtener un 7

3. Suponga que el IDEAM clasifica cada día según las condiciones del viento, como ventoso o en calma; según las precipitaciones (caída de agua sólida o líquida por la condensación del vapor sobre la superficie terrestre), en lluvia, llovizna o granizo y según la temperatura como caluroso, normal o frío. ¿Qué espacio muestral es necesario para caracterizar un día?

4. Una pareja de recién casados planea tener tres hijos. Considerando este hecho como un experimento aleatorio:

a. Establece el espacio muestral U.b. A partir de U, considera los siguientes sucesos

y determina sus elementos:I: tener exactamente dos varonesJ: tener mínimo una hembraK: concebir todos los hijos del mismo sexoL: nacer máximo dos varonesM: tener dos varones o más