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TEORÍA DE CONJUNTOS Y PROBABILIDAD

PROBABILIDAD DE LA UNIÓN (DE DOS EVENTOS)Si A y B son subconjuntos de U, entonces:

p(A B) = p(A) + p(B) − p(A B).

1. Carrefour analiza la posibilidad de instalar nuevos almacenes en Montería y Sincelejo. Las probabilidades de que instale un almacén en Montería es 0.7, en Sincelejo0.4 y en alguna de ambas ciudades 0.8. Hallar:

a) La probabilidad de que se instalen almacenes en ambas ciudades.

b) La probabilidad de que no se instale almacén en ninguna de las dos ciudades

c) La probabilidad de que se instale almacén sólo en una de las dos ciudades.

2. En una determinada ciudad, a parte de su propia lengua, el 45% de los habitantes habla inglés, el 30% francés y el 15% inglés y francés.

a) Calcular la probabilidad de que un habitante de esta ciudad elegido al azar de entre los que hablan francés hable también inglés.

b) Calcula la probabilidad de que un habitante de esta ciudad elegido al azar no hable inglés ni francés.

3. Una compañía manufacturera tiene dos expendios al menudeo. Se sabe que el 30% de los clientes potenciales compran productos solo en la tienda I, el 50% compra en la tienda II, el 10% compra en las tiendas I y II, y el 20% de los consumidores no compra en ninguna de esas dos tiendas. Sea A el evento en el que un cliente potencial, seleccionado al azar, compra en I, y Sea B el evento en el que compre en II. Calcular las siguientes probabilidades:

a) P A b) P A B c) P B

4. Para encontrar defectos se inspeccionan las partes hidráulicas del tren de aterrizaje que provienen de una instalación de reparación de aviones. Los antecedentes muestran que el 8% tienen defectos solo en los ejes, 6% tiene defectos solo en los bujes, y que el 2% tiene defectos tanto en los ejes como en los bujes. Si se seleccionan al azar las partes hidráulicas que se usarán en una aeronave, determinar la probabilidad de que tengan:

a) un defecto en los bujes.b) un defecto en un eje o en un buje. c) solo uno de los dos tipos de defectos. d) ningún defecto en los ejes o en los bujes.

5. Una urna contiene tres bolas rojas y dos verdes y otra contiene dos bolas rojas y tres verdes. Se toma, al azar, una bola de cada urna. Escribe el espacio muestral. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean del mismo color? ¿y la de que sean de distinto color?

6. Un 65% de los alumnos de un centro han aprobado Matemáticas, un 70% ha aprobado Filosofía, y un 53% ha aprobado ambas materias. Si se elige al azar un estudiante,calcúlese la probabilidad de que:

a) haya aprobado al menos una de las dos materias.b) haya reprobado ambas materias

PROBABILIDAD DE LA UNIÓN (DE TRES EVENTOS)Si A, B y C son subconjuntos de U, entonces:p(A B C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(A B) − p(A C) − p(B C) + p(A B C).

APLICA1. Encuesta al consumidor. En una encuesta de 75

consumidores, 12 indicaron que pensaban comprar un carro nuevo, 18 dijeron que iban a comprar un refrigerador nuevo y 24 dijeron que pensaban comprar una estufa nueva. De éstos, 6 pensaban comprar carro y refrigerador, 4 que comprarían carro y estufa, y 10 pensaban comprar estufa y refrigerador. Sólo una persona manifestó que pensaba comprar las tres cosas.

Si se elige un consumidor al azar, ¿cuál es la probabilidad de que:

a) No compre ninguno de los tres artículos?b) Compre sólo el carro?c) Solamente compre la estufa?d) Compre sólo el refrigerador?

2. El departamento de publicidad del almacén “El Maní Comío” efectúa una encuesta a un grupo seleccionado de 1,000 clientes, de entre todos los que abrieron su cuenta de crédito en el pasado mes de diciembre. Se les pregunta si su crédito fue utilizado para comprar artículos para el hogar, artículos de vestir o juguetes.

Los resultados de la encuesta se han tabulado así:

MERCANCÍA Nº DE PERSONAS

Artículos para el hogar 275Artículos de vestir 400

Juguetes 550Artículos para el hogar y de vestir 150Artículos para el hogar y juguetes 110

Artículos de vestir y juguetes 250Artículos de vestir, del hogar y juguetes 100

Si elegimos al azar un cliente de dicho almacén, ¿cuál es la probabilidad de quea) no use su crédito en ninguna de esas 3 mercancías?b) utilice su crédito sólo para comprar artículos de vestir?, ¿Sólo para artículos del hogar?, ¿Sólo para juguetes?

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3. “Hemerómanos”. En una encuesta entre 75 estudiantes de universidad se encontró que de tres revistas semanales Cambio, Dinero y Semana 23 leen Cambio 18 leen Dinero 14 leen Semana 10 leen Cambio y Dinero 9 leen Cambio y Semana 8 leen Dinero y Semana 5 leen las tres

Si al elegir un estudiante en forma aleatoria, se quiere calcular la probabilidad de que:a) No lea ninguna de estas tres revistasb) Sólo lean Cambioc) Sólo lean Dinerod) Solamente leen Semanae) No leen Cambio ni Dinerof) Lea Cambio o Dinero o ambas.

4. Patrones de votación. En 1948, de acuerdo a un estudio hecho por Berelsa, Lazarfeld y Mcaphee, la influencia de la religión y de la edad sobre la votación en Elmira; Nueva York, se muestra en la tabla siguiente:

Menores de 35

De 35 a 54

Mayores de 54

Protestantes que votan por los republicanos

82 152 111

Protestantes que votan por los demócratas

42 33 15

Católicos que votan por los republicanos

27 33 7

Católicos que votan por los demócratas

44 47 33

Si eligiéramos al azar un ciudadano de dicha ciudad, ¿Cuál es la probabilidad de que éste sea un votante

a) Católico o republicano o ambas cosas?b) Católico o mayor de 54 años o ambas cosas?c) Demócrata menor de 35 o mayor de 54 años?

5. En una pequeña universidad del medio oeste de EEUU: 31 estudiantes avanzadas mujeres están en la lista del

decano. 62 mujeres están en la lista del decano pero no son

estudiantes avanzados 45 estudiantes avanzados varones están en la lista del

decano 87 estudiantes avanzados mujeres no están en la lista del

decano 96 estudiantes avanzados varones no están en la lista del

decano 275 mujeres no son estudiantes avanzados y no están en la

lista del decano 89 varones están en la lista del decano pero no son

estudiantes avanzados 227 varones no son estudiantes avanzados y no están en la

lista del decano

Clase de EstudiantesLista del decano

No lista del decano Total

MujeresAvanzadas No avanzadas

HombresAvanzadosNo avanzados

Total

¿Cuántos estudiantes hay en la Universidad?

Al elegir un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que:

a) Sea estudiante avanzado.b) Sea mujer.c) Esté en la lista del decanod) Sea estudiante avanzado en la lista del decanoe) Sea mujer con estudios avanzados.f) Sea mujer en la lista del decano

6. Venta de carros. De los carros vendidos durante el mes de julio, 90 tenían aire acondicionado, 100 tenían transmisión automática y 75 tenían dirección hidráulica. 5 autos tenían estos 3 aditamentos, 20 carros carecían de ellos, 20 tenían solo aire acondicionado; 60 tenían solo transmisión automática y 30 tenían solo dirección hidráulica. 10 autostenían transmisión automática y dirección hidráulica.

a) ¿Cuántos carros se vendieron en julio?

Si al elegir aleatoriamente un carro vendido durante el mes de julio, ¿cuál es la probabilidad de que este:

b) tenga dirección hidráulica y aire acondicionado?c) tenga transmisión automática y aire acondicionado? d) no tenga ni dirección hidráulica ni transmisión automática?e) tenga transmisión automática o aire acondicionado o

ambos?

7. De 100 personas que fueron consultadas sobre sus preferencias a la hora de realizar un deporte, 50 practicaban fútbol, 40 practicaban baloncesto y 30 practicaban ciclismo. Además, 25 personas practicaban futbol y baloncesto, 15 practicaban fútbol y ciclismo, y 12 practicaban baloncesto y ciclismo. Por último, tan sólo 5 personas practicaban los tres deportes. El resto no sabe o no contesta.

a) Representa el diagrama de Venn correspondiente.

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Calcula las siguientes probabilidades: b) P(practicar fútbol),c) P(practicar fútbol y baloncesto),d) P(practicar sólo ciclismo),e) P(practicar los tres deportes),f) P(practicar alguno de los tres deportes),g) P(no practicar ninguno de los tres deportes).

8. Un jefe de publicidad ha entrevistado a 2,000 personas para apreciar los efectos de tres programas radiales. Al tabular los resultados de la muestra ha concluido que: 580 personas escuchaban el programa A 840 personas escuchaban el programa B 920 personas escuchaban el programa C 260 personas escuchaban el programa A y B 220 personas escuchaban el programa A y C 300 personas escuchaban el programa B Y C 100 personas escuchaban el programa A, B y C.

Si se elige un oyente al azar, cuál es la probabilidad de que esta persona:

a) sólo escuche el programa A?, b) ¿Sólo el programa B?, c) ¿Sólo el programa C?d) sólo escuche los programas A y B?, e) ¿Sólo los programas A y C?, f) ¿Sólo los programas B y C?g) escuche el programa B, el C o ambos?h) escuche al menos uno de los tres programas?i) no escuche ninguno de los tres programas?

9. La Cámara de Comercio de Sincelejo ha efectuado un estudio sobre un grupo de 692 empleados de varias empresas, en lo referente a sexo, estado civil y lugar de origen. Se han obtenido los siguientes resultados: 300 hombres 230 casados 370 nacidos en Sucre 150 hombres casados 180 hombres de Sucre 90 casados, sucreños y 10 hombres son solteros, nacidos fuera de Sucre.

Se escoge una persona al azar para determinar la probabilidad de que la misma sea:

a) un hombre, casado y nacido en Sucre; b) mujer, casada y nacida en el interior; c) mujer, soltera y nacidas fuera de Sucre;d) que sea hombre casado, hombre y nacido en Sucre, o

casado y nacido en el Departamento de Sucre (dicha persona debe cumplir al menos con una de estas condiciones).

10. El Fondo Nacional del Ahorro ha efectuado una encuesta entre sus afiliados, como parte de un estudio para la determinación de prioridades en la asignación de préstamos personales. Se obtuvieron 2,600 respuestas con los siguientes resultados: 800 afiliados son casados, 1,000 afiliados habitan en vivienda arrendada, 950 afiliados perciben ingresos inferiores a $500.000

mensuales, 200 afiliados son casados, no habitan en vivienda

arrendada y perciben ingresos superiores a $500.000 mensuales,

350 afiliados son casados y habitan en vivienda arrendada,

230 son solteros, habitan en vivienda arrendada y tienen ingresos inferiores a $500.000 mensuales,

350 afiliados son casados, y perciben ingresos inferiores a $500.000 mensuales.

Se pretende determinar la probabilidad de que al seleccionar un afiliado al azar, este sea:

a) Casado, habite en vivienda arrendada y perciba ingresos inferiores a $500.000 mensuales.

b) Soltero, habite en vivienda propia y perciba ingresos superiores a $500.000 mensuales?

c) Soltero, habite en vivienda arrendada y perciba ingresos superiores a $500.000 mensuales?

11. Las piezas producidas por una planta industrial pueden tener tres tipos de defectos: A, B y C. Se estima que un 10% de las piezas tienen el defecto A; un 8% el B, un 5% el C, un 2% A y B; un 0,5% A y C; un 1% B y C; y un 0,2% presentan los tres defectos. Calcular:

a) Probabilidad de que no tengan ningún defecto. b) Probabilidad de que tenga a lo sumo 1 defecto.

12. Un colectivo ecologista propone al Gobernador tres medidas A, B y C para favorecer la conservación del medio ambiente en la rivera del río San Jorge. Las medidas A y C son incompatibles y sólo se puede aplicar una de ellas. La probabilidad de que se adopte la medida A es 0.3, la medida B 0.4 y la medida C 0.2, las medidas A y B conjuntamente 0.2 y las medidas B y C conjuntamente 0.05. Calcular:

a) La probabilidad de que se adopten todas las medidas. b) La probabilidad de que no se adopte ninguna. c) Las probabilidades de que se adopten: sólo A, sólo B; sólo C. d) La probabilidad de que se adopte B y no C. e) La probabilidad de que se adopte sólo una de las medidas. f) La probabilidad de que se adopte alguna de las medidas.

13. Un determinado producto químico puede contener 3 productos tóxicos, A, B y C, que son motivo de sanción por el Ministerio de Medio Ambiente. Por la experiencia se sabe que de cada 1000 unidades producidas aproximadamente 15 tienen el producto A, 17 el B, 21 el C, 10 el A y el B, 9 el B y el C, 7 el A y el C y 970 no contienen ninguno de los tres productos. Un inspector elige una unidad al azar. Obtener:

a) La probabilidad de que la empresa sea sancionada. b) La probabilidad de que sólo se encuentre el producto A. c) La probabilidad de que se detecten a y B. d) La probabilidad de que se detecte A y no C. e) La probabilidad de que se detecten A y B y no C. f) La probabilidad de que se detecte a lo sumo uno de los tres

productos. g) La probabilidad de que se detecte más de un producto.

14. Se hizo una entrevista a 885 amas de casa y se encontró la siguiente información acerca de ciertos programas de televisión: 600 veían noticieros. 400 veían series policiacas. 620 veían programas deportivos. 195 veían noticieros y series policiacas. 190 veían series policiacas y deportivos. 400 veían noticieros y deportivos. Y todos ven al menos uno de estos tres programas.

Si se elige al azar, a una ama de casa entrevistada con respecto a sus preferencias con respecto a su preferencia en cuanto a la programación televisiva, ¿cuál es la probabilidad de que vea:

a) Sólo noticieros?b) Exactamente uno de los programas?c) Exactamente dos de los programas?d) Noticieros o series policiacas?e) Sólo programas deportivos o noticieros?