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Universidad Autónoma de Querétaro. Facultad de Química. 5
Guía de Algebra
Curso Propedéutico
Universidad Autónoma de Querétaro
Facultad de Química
2017
Guía de Algebra – Curso Propedéutico 2017
Universidad Autónoma de Querétaro. Facultad de Química. 1
DIRECTORIO Dr . Gilberto Herrera Ruiz Rector Dr . Irineo Torres Pacheco Secretario Académico MSP. Sergio Pacheco Hernández Director de la Facultad de Química Dra. Silvia Lorena Amaya Llano Secretaria Académica de la Facultad de Química
Docentes del curso de Álgebra
Mtra. Isabel Cristina Acosta Talamantes
Mtra. Araceli Macías Arratia
Dr. Rafael Manuel Ríos Vera
Profa. Ana Victoria Vázquez Torres
Guía de Algebra – Curso Propedéutico 2017
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CONTENIDO
Cronograma de Actividades 3
Parte I – Introducción al Algebra 4
Parte II – Operaciones fundamentales con polinomios 9
A) Reglas de los exponentes y radicales 9
B) Operaciones fundamentales con polinomios 12
Parte III – Productos notables 13
Parte IV – Factorización 15
Parte V – Ecuaciones de primer grado 17
Parte VI – Sistemas de ecuaciones lineales 20
A) Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
21
B) Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas
25
Parte VII – Ecuaciones de segundo grado 27
Parte VIII - Logaritmos 30
Respuestas a ejercicios de la guía 33
Bibliografía 36
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CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
No. Descripción Fecha
1 Parte I – Introducción al Algebra 04 de febrero
2 Parte II – Operaciones fundamentales con polinomios 11 de febrero
3 Parte III – Productos notables 18 de febrero
4 Parte IV – Factorización 25 de febrero
5 Parte V – Ecuaciones de primer grado 4 de marzo
6 Parte VI – Sistemas de ecuaciones lineales 11 de marzo
7 Parte VII – Ecuaciones de segundo grado 18 de marzo
8 Parte VIII - Logaritmos 25 de marzo
9 Repaso 01 de abril
10 Examen 08 de abril
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>> Lenguaje Algebraico
Operación
Matemática Palabras relacionadas
Suma Adición. Ganar, aumentar, más, crecer, más que, añadir,
adición, sumar, exceder, agregar, dentro de x tiempo, etc.
Resta Sustracción. Diferencia, menos, disminuir, sustraer, quitar,
reducir, bajar, perder, decrecer, hace x tiempo, etc.
Multiplicación Producto, por, multiplicado por, tantas veces, el producto de, incrementar. Dos veces, tres veces, etc. Duplo, triple, cuádruplo, etc.
División Dividido por, cociente, razón, mitad, fracción, porción, parte,
reparto, mitad, tercio, cuarto, entre, etc.
Igualdad Es, da como resultado, equivalente, significa que, igual a, etc.
Otros términos
Mayor que (>), menor que (<). semi (mitad de algo), Al
cuadrado o el cuadrado de (elevado a la 2), al cubo o el
cubo (elevado a la 3), consecutivos o sucesor (siguiente),
antecesor (antes de), simétrico (inverso aditivo), recíproco
(inverso multiplicativo)
Ejercicio 1. Traduce de lenguaje común a lenguaje algebraico.
1.1 El cociente de la suma de dos números sobre tres. __________________
1.2 El cociente de la suma de dos números sobre 3 veces el
primer sumando. __________________
1.3 La diferencia de dos números es mayor que su cociente. __________________
1.4 El triple del cuadrado de la diferencia de un binomio. __________________
1.5 La suma del doble de un número con otro número. __________________
1.6 La mitad de la raíz de un número. __________________
1.7 La diferencia de dos números multiplicada por otro. __________________
1.8 El cuadrado del triple de un número. __________________
1.9 El cociente del doble del cubo de la diferencia de dos números
sobre el triple de su producto. __________________
PARTE I _ INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
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1.10 La mitad de la diferencia de 2 números. __________________
1.11 El cociente de la suma de dos números, sobre su diferencia. __________________
1.12 El cubo de la semidiferencia de dos números. __________________
1.13 El cubo de la raíz cuadrada de la suma de 2 números. __________________
1.14 El cuadrado del doble de un número. __________________
1.15 El producto de la suma de dos números por su diferencia. __________________
1.16 El triple producto del cuadrado de un número por otro. __________________
1.17 Número de días de x semana. __________________
1.18 Páginas que me faltan para leer de un libro si ya he leído 25. __________________
1.19 El cuadrado de un número menos su mitad. __________________
1.20 Un número sumado a 8 es igual a 15. __________________
1.21 La cuarta parte de un número más 12 es igual a otro número. __________________
1.22 El cubo de un número menos su cuadrado es 100. __________________
Ejercicio 2. Selecciona la respuesta correcta.
2.1 ¿Cuál es la expresión que corresponde a: “los cuadrados de tres números enteros
consecutivos”?
a) x2, (x2 + 1), (x2 + 2) b) x2, (x2 + 12), (x2 + 22) c) x2, (1 + x)2, (2 + x)2
d) x, (2x)2, (3x)2 e) x2, 2x2, 3x2
2.2 Si x es un número entero positivo impar, el tercer número impar que viene después de x,
será:
a) (x + 2) b) (x + 3) c) (x + 4) d) (x + 5) e) (x + 6)
2.3 El Club Barcelona mete m goles en su primer partido, m-5 en el segundo y m+10 en el
tercero. ¿Cuántos goles convierte en el cuarto partido si en total hizo 4m goles?
a) 2m + 5 b) 2m – 5 c) m + 15 d) m + 5 e) m - 5
2.4 En un gallinero hay P pollos. Se enfermó la mitad y luego la mitad del resto. Los pollos
sanos son:
a) 𝑝
2 b)
𝑝
4 c)
𝑝
3 d)
𝑝
6 e) 0
2.5 Un alumno debe resolver 3m – 2n ejercicios de álgebra. De estos resultan n – m
correctos. ¿Cuántos ejercicios incorrectos tuvo?
a) 4m – 3n b) 2m – n c) 3m – 2n d) n – 2m e) 3n – 4m
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2.6 El “triple del cuadrado de la diferencia entre a y el cuádruplo de b” en lenguaje algebraico
es:
a) [3(a – b)]2 b) 3a2 – 4b2 c) 3(a2 – 4b2) d) 3(a – 4b)2 e) 3(a – b4)2
2.7 Si a es la mitad de b y b es igual a 4, entonces, el doble de a mas el triple de b es:
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20
2.8 La mitad de z aumentada en el producto de 18 por w, se expresa por:
a) 𝑧
2+ 18𝑤 b)
𝑧 ∙ 18 ∙ 𝑤
2 c)
𝑧
2−
18𝑤
2 d)
𝑧 + 18𝑤
2 e)
1
2+ 𝑧 + 18𝑤
2.9 Después de subir x kilogramos, Lorena pesó 50 kilogramos. ¿Cuál era su peso anterior?
a) x kg b) 50 kg c) (x – 50)kg d) (x + 50)kg e) (50 – x)kg
2.10 Si Rafael es 10 años mayor que Jessica. ¿Qué edad tiene Rafael si hace x años Jessica
tenía 10 años?
a) x años b) 10 años c) (x + 20) años d) (20 – x) años e) (x - 20) años
2.11 Si las dimensiones de un rectángulo son (a + x) y (a – x) entonces su área quedará
expresada por: a) (a + x)2 b) (a – x)2 c) 2(a + x) d) a2 – x2 e) a2 + x2
Ejercicio 3. Transforma en enunciados verbales las siguientes expresiones algebraicas:
3.1 𝑎 + 𝑏
2 ______________________________________________________
3.2 𝑎 − 𝑏
2 ______________________________________________________
3.3 𝑎𝑏
2 ______________________________________________________
3.4 𝑎
𝑏; 𝑏 ≠ 0 ______________________________________________________
3.5 2𝑎
7=
2
7 ______________________________________________________
3.6 2n + 1 ______________________________________________________
3.7 (n + 5)(n – 5) ______________________________________________________
3.8 (n + 10)2 ______________________________________________________
3.9 (n – 1)3 ______________________________________________________
3.10 4(n + 8) ______________________________________________________
3.11 5n2 + n + 6 ______________________________________________________
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Ejercicio 4. Resuelve los siguientes problemas
4.1 El precio de 1 kg de naranjas es x pesos. Expresa en lenguaje algebraico:
a) Lo que cuestan 5 kg de naranjas. b) Lo que cuesta ½ kg de naranjas.
c) El dinero que devolverán si se paga con 50 pesos y se compran 3 kg de naranjas
4.2 Si un bolígrafo cuesta p pesos y un lapicero, q pesos, expresa en función de p y q:
a) El precio de 4 lapiceros
b) El precio de 5 bolígrafos
c) El precio de 3 bolígrafos y 2 lapiceros
d) El precio de 10 bolígrafos y 1 lapicero
4.3 Determina la expresión algebraica del perímetro de un triángulo donde las longitudes de
sus lados son 3 números consecutivos.
4.4 Determina la expresión algebraica del perímetro de un rectángulo que cumple que la
medida de la base es el doble que la altura. Si la altura mide 4 cm, ¿cuánto mide el
perímetro?
4.5 Determina la expresión algebraica del área de un rectángulo en función de la altura,
sabiendo que sus dimensiones suman 8 cm.
4.6 Calcula la expresión algebraica del área de un triángulo cuya base es 2/3 de la altura.
Hallar el valor numérico para el caso en que la altura mida 4 cm.
4.7 Expresa en lenguaje algebraico el perímetro de un rectángulo de dimensiones a y b.
¿Cuál es el valor numérico para el caso de tener a = 3 cm y b = 5 cm?
4.8 Expresa en lenguaje algebraico el perímetro de un triángulo isósceles cuyos lados
iguales son 2/3 del lado desigual.
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Ejercicio 5. Reduce las siguientes cifras empleando notación científica.
5.1 54 000 000 =
5.2 1 900 000 000 =
5.3 0.00024 =
5.4 Masa en g de una amiba, 0.05 =
5.5 Longitud de onda de un rayo X en cm, 0.000 000 09 =
5.6 Masa de un protón, 0.000 000 000 000 000 000 000 167 248 =
5.7 Velocidad de la luz en el vacío, 30 000 000 000 cm/s =
5.8 Distancia entre Sol y Tierra, 149 700 000 000m =
5.9 mm que equivalen a un angstrom, 0.000 000 1 =
5.10 fm que equivalen un metro, 0.000 000 000 000 001 =
Ejercicio 6. Convierte cada número a la notación normal.
6.1 1.53x102 =
6.2 6.85x109 =
6.3 3.31 x104 =
6.4 7.96 x105 =
6.5 3.7 x10-4 =
6.6 4.12 x10-5 =
6.7 1.0 x100 =
6.8 5.345 x10-9 =
6.9 75.6 x10-4 =
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A) REGLAS DE LOS EXPONENTES Y RADICALES
Producto Cociente Potencias de potencias
𝒂𝒙 ∙ 𝒂𝒚 = 𝒂𝒙+𝒚 𝑎𝑥
𝑎𝑦= 𝑎𝑥−𝑦 (𝑎𝑥)𝑦 = 𝑎𝑥∙𝑦
Exponente negativo Exponente cero Exponente
fraccionario Potencia de fracción
𝒂−𝒙 =𝟏
𝒂𝒙 𝑎0 = 1 𝑎
𝑥𝑦 = √𝑎𝑥
𝑦 (
𝑎
𝑏)
𝑥
=𝑎𝑥
𝑏𝑥
Ejercicio 1. Empleando las reglas de los exponentes, simplifica las siguientes expresiones.
1.1 m5 ∙ 2m
1.2 n-6 ∙ 2n-3
1.3 4p-3 ∙ 2p2
1.4 4q2 ∙ 5p-5
1.5 3r5 ∙ 8r
1.6 (1
2𝑥4) (16𝑥5)
1.7 (1
6𝑎5) (16𝑥5)
1.8 (3x7y3)(4x4y-5)
1.9 (8g4z-3) (1
2𝑔−5𝑧4)
1.10 (5m2n-3)(4m-5n4)
1.11 𝑦2
2𝑦3
1.12 (x2)0
1.13 (2x2)-4
1.14 (4h0)4
1.15 (w2x-1)2
1.16 (2a4)-1
1.17 (-2q4r-3)-2
1.18 (3t3)4(4s2)-3
1.19 (1
3𝑥4𝑦−3)
−2
1.20 𝑔−1
4𝑔4
1.21 𝑘4
2𝑘4
1.22 2𝑎3𝑏−3𝑐4
3𝑏𝑐
1.23 2𝑑4𝑔−4ℎ−3
3𝑑2𝑔−3ℎ4
1.24 4𝑎0𝑏−2𝑐3
3𝑎
1.25 3𝑥3𝑦−1𝑧−1
𝑥−4𝑦0𝑧0
1.26 (2𝑠3)(3𝑠2)
(𝑠2)3
PARTE II _ OPERACIONES FUNDAMENTALES CON POLINOMIOS
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Ejercicio 2. Simplifica las siguientes expresiones y expresa el resultado empleando
únicamente exponentes positivos.
2.1 (𝑎−2𝑏−3)4
2.12
2.2 (𝑐−3)−3 ∙ 2𝑑−1
2.13
2.3 (𝑔3)3 ∙ 2ℎ−1
2.14
2.4
2.15
2.5
2.16
2.6
2.17
2.7
2.18
2.8
2.19
2.9
2.20
2.10
2.21
2.11
2.22
Ejercicio 3. Expresa las siguientes expresiones algebraicas en su forma exponencial.
3.1 √72
3.2 √163
3.3 √𝑎35
3.4 √𝑏4𝑐63
3.5 √𝟐
𝟑+
𝟏
𝟒
3.6 √𝑑34
3.7 √(𝑔 + ℎ)33
3.8 √𝑘2 + 𝑚25
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Propiedades de los radicales
Suma 𝒙 ∙ √𝒂𝒏
+ 𝒚 ∙ √𝒂𝒏
= (𝒙 + 𝒚) √𝒂𝒏
Resta 𝑥 ∙ √𝑎𝑛
− 𝑦 ∙ √𝑎𝑛
= (𝑥 − 𝑦) √𝑎𝑛
Producto √𝑥𝑦𝑛 = √𝑥𝑛
∙ √𝑦𝑛
Cociente √ 𝑥
𝑦
𝑛
=√𝑥𝑛
√𝑦𝑛
Ejercicio 4. Cambia a la notación con radical las siguientes expresiones.
4.1 4.4
4.2 4.5
4.3 4.6
Ejercicio 5. Cambia a la notación con radical y simplifica de ser posible las siguientes
expresiones.
5.1 5.6
5.2
5.7
5.3
5.8
5.4 5.9
5.5 5.10
Ejercicio 6. Simplifica las expresiones siguientes.
6.1
6.6
6.2
6.7
6.3 6.8
6.4 6.9
6.5
6.10
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Ejercicio 7. Simplifica la expresión y racionaliza el denominador cuando sea apropiado.
7.1 (3𝑎2𝑏)2(2𝑎𝑏3) 7.4
7.2
7.5
7.3
B) OPERACIONES FUNDAMENTALES CON POLINOMIOS
Ejercicio 8. Simplifica.
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.14
8.15
8.16
8.17
8.18
8.19
8.20
8.21
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(a + b)(a2 – ab + b2)
a3 + b3 Suma de cubos
Ejemplo:
(q + 2)(q2 – 2q + 4)
q3 + 8
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + ba2 –
ab2 + b3
= a3 + b3
(a – b)(a2 + ab + b2)
a3 – b3 Diferencia de cubos
Ejemplo:
(3m – n)(9m2 + 3mn + n2)
27m3 – n3
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 – ba2 –
ab2 – b3
= a3 – b3
Ejercicio 1. Desarrolla los siguientes productos notables.
1.1 (𝑎 + 5)2 1.2 (15𝑏 + 10𝑐)(15𝑏 − 10𝑐)
PARTE III _ PRODUCTOS NOTABLES
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1.3 (𝑑 + 5)(𝑑 + 3)
1.4 (2 + 𝑔)(4 − 2𝑔 + 𝑔2)
1.5 (7ℎ − 𝑗)2
1.6 (𝑣 − 12)(𝑣 − 7)
1.7 (15 + 2𝑘)(15 − 2𝑘)
1.8 (𝑙 + 9)(𝑙 − 6)
1.9 (2 − 𝑚)(4 + 2𝑚 + 𝑚2)
1.10 (𝑎𝑛𝑝2 + 6𝑞𝑟3)2
1.11 (9𝑠𝑡 + 8𝑢)(9𝑠𝑡 − 8𝑢)
1.12 (4𝑤 + 𝑥)(16𝑤2 − 4𝑤𝑥 + 𝑥2)
1.13 (8 – h)2
1.14 (y𝑎+1 + z𝑏-2)2
1.15 (15𝑎
7+ 4𝑏) (
15𝑎
7− 4𝑏)
1.16 (3c + 9)(3c – 6)
1.17 (2 + 𝑑𝑔)(4 – 2𝑑𝑔 + 𝑑2𝑔2)
1.18 (5𝑗
6+ 5𝑘) (
5𝑗
6− 5𝑘)
1.19 (4𝑙3 + 15) (4𝑙3 + 5)
1.20 (2 – 𝑚2)(4 + 2𝑚2 + 𝑚4)
1.21 (3𝑛
5−
5𝑝
3)
2
1.22 (5q + 10r)(5q – 10r)
1.23 (5st + 10u)(6st – 9u)
1.24 (3 + v)(9 – 3v + v2)
1.25 (𝑥𝑦4
5−
6𝑧
3)
2
1.26 (7a2 – 12b3)(7a2 + 12b3)
Ejercicio 2. Resuelve los siguientes ejercicios.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12 2.13 2.14 2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.20
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Universidad Autónoma de Querétaro. Facultad de Química. 15
Ejercicio 1. Factoriza.
1.1 𝑎2 + 𝑎𝑏 1.17 3𝑢2 – 7𝑣2 𝑤 + 3𝑢𝑤 – 7𝑢𝑣2
1.2 𝑐 + 𝑐2 1.18 𝑥4 + 2𝑥2𝑦2 + 𝑦4
1.3 𝑑3 + 𝑑2 + 𝑑 1.19 4𝑎4 + 12𝑎2𝑏2 + 9𝑏4
1.4 𝑔(ℎ + 1) + 𝑗(ℎ + 1) 1.20 4𝑐8 − 28𝑐4𝑑4 + 49𝑑8
1.5 (𝑘 + 3)(𝑘 + 1) − 4(𝑘 + 1) 1.21 1 + 𝑔3
1.6 3𝑙(𝑙 − 2) − 2𝑚(𝑙 − 2) 1.22 1 − ℎ3
1.7 𝑛(𝑝 + 2) + 𝑝 + 2 1.23 𝑘3 + 𝑚3
1.8 𝑟2 + 𝑟𝑠 + 𝑟𝑡 + 𝑠𝑡 1.24 𝑛3 − 𝑝3
1.9 𝑢2 + 𝑣2 − 𝑤2 + 2𝑢𝑣 1.25 27𝑞3 − 𝑟3
1.10 2𝑥2 + 10𝑥 − 𝑥𝑦 − 5𝑦 1.26 𝑠3 – 1
1.11 4𝑏2 − 𝑐2 + 2𝑐𝑑 − 𝑑2 1.27 64 + 𝑡6
1.12 𝑔 − 𝑔2 + 𝑔3 − 𝑔4 1.28 𝑢3 − 125
1.13 ℎ4 + ℎ2 + 1 1.29 1 − 216𝑣3
1.14 3𝑘3 − 9𝑗𝑘2 − 𝑘 + 3𝑗 1.30 𝑤8 + 4𝑤4 + 4
1.15 𝑚2𝑛 − 5𝑝2𝑞2 − 𝑚2𝑞2 + 5𝑝2𝑛 1.31 16𝑥4 − 24𝑥2𝑦2 + 9𝑦4
1.16 4𝑟𝑠3 − 12𝑟𝑠𝑡 − 𝑠2 + 3𝑡
Ejercicio 2. Factoriza los binomios siguientes.
2.1 𝑎2 − 1 = (𝑎 + 1)(𝑎 − 1) 2.10 (𝑣 + 𝑤)2 − 𝑥4
2.2 𝑏2 − 9 2.11 𝑦4 − 81𝑧12
2.3 9𝑐2 − 64 2.12 225𝑎4 − 16𝑏8𝑐4
2.4 16𝑑4 − 81𝑔2 2.13 100𝑑2𝑔4ℎ6 − 169𝑗10
2.5 144ℎ2 − 𝑗4 2.14 𝑘10 − 𝑚10
2.6 4𝑘2 – 9𝑙 2.15 36𝑛8𝑝6 − 49𝑞4
2.7 64𝑚6 − 121𝑛2 2.16 81 − 196𝑟6
2.8 (𝑝 − 𝑞)2 − 𝑟2 2.17 𝑠4 − 16
2.9 256𝑠4𝑡4 − 𝑢8
PARTE IV _ FACTORIZACIÓN
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Ejercicio 3. Factoriza los trinomios siguientes
3.1 𝑎2 + 7𝑎 + 10 3.9 −300 − 20𝑚 + 𝑚2
3.2 𝑏2 – 5𝑏 + 6 3.10 −2𝑛 − 168 + 𝑛2
3.3 𝑐2 − 3𝑐 + 2 3.11 𝑝2 + 24𝑝 + 135
3.4 𝑑2 + 5𝑑 − 24 3.12 𝑞2 + 12𝑞 − 364
3.5 𝑔2 + 7𝑔 + 6 3.13 𝑟2 + 50𝑟 + 336
3.6 ℎ2 − 13ℎ − 14 3.14 𝑠2 + 43𝑠 + 432
3.7 𝑗2 + 15𝑗 + 54 3.15 𝑡2 − 8𝑡 − 1008
3.8 7𝑘 + 𝑘2 − 60
Ejercicio 4. Factoriza los trinomios siguientes.
4.1 2𝑎2 + 3𝑎 − 2 4.9 𝑚 − 6 + 15𝑚2
4.2 3𝑏2 − 5𝑏 − 2 4.10 15𝑛2 + 2 − 13𝑛
4.3 6𝑐2 + 7𝑐 + 2 4.11 18𝑝2 − 3𝑝 − 10
4.4 5𝑑2 + 13𝑑 − 6 4.12 6𝑞2 + 17𝑞 + 12
4.5 20𝑔2 + 𝑔 − 1 4.13 6𝑟2𝑠2 − 17𝑟𝑠𝑡 + 12𝑡2
4.6 8ℎ2 − 14ℎ − 15 4.14 9𝑢2 + 3𝑢 − 2
4.7 16𝑗 + 15𝑗2 − 15 4.15 21𝑣4 − 10𝑣3 − 16𝑣2
4.8 2𝑘2 + 5𝑘 + 2
Guía de Algebra – Curso Propedéutico 2017
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Ejercicio 1. Encuentra la solución a las siguientes ecuaciones lineales.
1.1 5 + 6x = 2 1.14 5n – 2n + 12 = 35 – 4n – 9
1.2 4b + 1 = –18 1.15 3k – 15 + 2k – 14 = k – 11
1.3 5 – 2d = 9 1.16 2(b + 2) – 5(2b – 3) = 3
1.4 –3a + 1 = 4 1.17 5s + (4 – s) = 9 – (s – 6)
1.5 (3t – 1) + 7 = 8t – (3 – 2t) 1.18 3z – 1 = 2(z – 1)
1.6 18c – 3 = 0 1.19 48p – 13 + 12p = 72p – 3 – 24p
1.7 13 – h = 13 1.20 (8v – 5) + (6 – 7v) – 1 = 7 – (v – 1) + (4v + 4)
1.8 –2 – 5g = 0 1.21 (3w – 8) – (4 – 9w) + 3 = 7w – 2 – (5w + 9 - 3)
1.9 12y = 3(3y – 5) 1.22 -(4x – 6 + 5x) + (9 – 5x + 3 – 2x) = 7x – (1 – 6x)
1.10 5j – 9 = 3j + 5 1.23 -2(d+7) – (3d + 5) = 2d + (4d – 9 + 3d) – (d – 3)
1.11 –4x = 7 – 6x 1.24 21 – [5g – (3g – 1)] – g = 5g – 12
1.12 5m – 3.2 = 2m + 2.8 1.25 2[7p – 2(p – 1)] + 3(4p + 7) = 5 – (p – 1)
1.13 2k + 7 = 12 – 3k
Ejercicio 2. Obtén la solución de cada uno de los siguientes ejercicios.
2.1 3[2 – (3j – 6)] + 4[6j – (1 – 2j)] = 4 -5j
2.2 3[2x – (5x + 2)] + 1 = 3x – 9(x – 3)
2.3 34 – 52(12n – 34) + 235 = 32 + 101(35n – 1)
2.4 2 – {2m + [2m – (2 – 2m)]} = 2
2.5 8(6f – 14) – 7(12 – 5f) + (23f + 2) – (2f + 65) = 0
2.6 8{2 – [q + 2(q – 3)] + 1} = 3 – (8 – 3q)
2.7 (2v – 4)2 + 6v – 3 = 4v2 – (3v – 1)
2.8 (3x – 3)2 – (2x – 7) = (3x – 5)(3x + 5)
2.9 2𝑐
7=
3
4
2.10 2 – {k – [6k – (1 – 2k)]} = 100
2.11 240h – [24 – (6h + 8) – (5 – 2h)] = 3 – (8h – 12)
2.12 (t – 3)2 – (t – 2)2 = 5
2.13 (w + 3)2 + 4 = (w – 2)2 + 5w – 2
PARTE V _ ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Guía de Algebra – Curso Propedéutico 2017
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2.14 𝑏
5=
1
2
Ejercicio 3. Resuelve las siguientes ecuaciones.
Ejercicio 4. Resuelve los siguientes problemas.
4.1 ¿Cuál es el número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6 da
55?
4.2 ¿Qué número se debe restar de p+2 para obtener 5?
4.3 El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cuál es el
número?
4.4 Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son los números?
4.5 El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor de este último
es 147. Hallar el número.
4.6 Las dimensiones de un rectángulo están en la razón 3:5 y su perímetro es 140 m. Calcular
el largo y el ancho.
4.7 Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su perímetro se triplica. ¿Cuánto
mide el lado?
4.8 Hernán tiene el doble de dinero que Gladys y el triple que María. Si Hernán regalara $
14.00 a Gladys y $ 35.00 a María, los tres quedarían con igual cantidad. ¿Cuánto dinero
tiene cada uno?
4.9 El numerador de una fracción excede en dos unidades al denominador. Si al numerador
se le suma 3, la fracción queda equivalente a 4⁄3. Hallar la fracción.
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
k
3.2
Guía de Algebra – Curso Propedéutico 2017
Universidad Autónoma de Querétaro. Facultad de Química. 19
4.10 Dividir 1080 en dos partes tales que la mayor disminuida en 132 equivalga a la menor
aumentada en 100.
4.11 La cabeza de un pez corresponde al tercio de su peso total, la cola a un cuarto del peso
y el resto del cuerpo pesa 4,600 gramos. ¿Cuánto pesa el pez?
4.12 La diferencia entre dos números es 38. Si se divide el mayor de los números por el menor,
el cociente es 2 y queda un resto de 8. Determina los números.
4.13 Separa el número 180 en dos partes tales que dividiendo la primera por 11 y la segunda
por 27, la suma de los cocientes sea 12.
4.14 Un trozo de alambre de 28 cm de largo se ha doblado en forma de ángulo recto. Determina
la distancia entre sus extremos, si uno de los lados del ángulo formado mide 12 cm.
4.15 Al preguntársele a Pitágoras por el número de sus alumnos, dio la siguiente respuesta:
“La mitad de mis alumnos estudia matemáticas, la cuarta parte estudia física, la séptima
parte aprende filosofía y aparte de éstos hay tres niños muy chicos” ¿Puedes deducir
cuántos alumnos tenía el famoso matemático griego?
4.16 Al comprar 3 kg de tomates y 4 kg de papas, una dueña de casa pagó $ 119.00. ¿Cuánto
vale el kg de tomates, sabiendo que es $ 14.00 más caro que el kg de papas?
4.17 La entrada para una función de teatro al aire libre vale $ 60.00 adulto y $ 25.00 niños. La
recaudación arrojó un resultado de 280 asistentes y fue de $ 14,000. ¿Cuántos niños
asistieron a la función?
4.18 En un tratado del álgebra escrito por el célebre matemático Leonhard Euler, publicado en
1770 aparece el siguiente problema: “En una hostería se alojan 20 personas entre
hombres y mujeres. Cada hombre paga 8 monedas por su hospedaje y cada mujer, 7,
sumando en total 144 monedas. Se pregunta ¿cuántos hombres y cuántas mujeres son?”
4.19 Silvia compra un pañuelo, una falda, y un abrigo en $ 5,050.00. Calcula los precios
respectivos, si la falda vale 25 veces más que el pañuelo, y el abrigo, el triple de la falda.
4.20 Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina Libussa de Bohemia, eligió a su
consorte entre tres pretendientes, planteándoles el siguiente problema: ¿cuántas ciruelas
contenía un canasto del cual ella sacó la mitad del contenido y una ciruela más para el
primer pretendiente; para el segundo la mitad de lo que quedó y una ciruela más y para el
tercero la mitad de lo que entonces quedaba y tres ciruelas más?, si con esto el canasto
se vació, ¿puedes calcularlo tú?
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Es posible obtener el valor de incógnitas si se tiene un sistema igual de ecuaciones al número
de las incógnitas.
Dentro de los métodos más utilizados son:
a) Suma / Resta
b) Sustitución
c) Igualación
d) Gráfico
e) Determinantes
Independientemente del método elegido, el valor de las incógnitas es el mismo, por lo que
podrá seleccionar cualquiera de ellos.
> Determinantes (Matrices)
El determinante determina la unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones lineales.
Fue introducido para el caso de orden 2 por Cardano en 1545 en su obra Ars Magna
presentado como una regla para la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos
incógnitas. La aparición de determinantes de órdenes superiores tardó aún más de cien años
en llegar. Curiosamente el japonés Kowa Seki y el alemán Leibniz otorgaron los primeros
ejemplos casi simultáneamente.
Para el caso de la resolución de ecuaciones lineales con dos incógnitas:
𝐴1𝑋1 + 𝐵1𝑌1 = 𝐶1
𝐴2𝑋2 + 𝐵2𝑌2 = 𝐶2
Primero hacer el valor del determinante (D)
Entonces:
𝐷 = (𝐴1)(𝐵2) − (𝐴2)(𝐵1)
Para encontrar el valor de (x)
𝐷𝑋 = |𝐶𝐶12 𝐵𝐵12|
Entonces:
𝐷𝑋 = (𝐶1)(𝐵2) − (𝐶2)(𝐵1)
PARTE VI _ SISTEMSAS DE ECUACIONES LINEALES
Guía de Algebra – Curso Propedéutico 2017
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Para encontrar el valor de (y)
Entonces:
A) SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
Ejercicio 1. Resuelve los siguientes sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
por cualquiera de los métodos anteriormente mencionados.
1.1 𝑦 = 𝑥 1.8
𝑥 + 𝑦 = 4
1.2 𝑦 = 𝑥 + 2 1.9
𝑥 + 2𝑦 = 16
1.3 𝑥 − 𝑦 = 2 1.10
2𝑥 + 𝑦 = 13
1.4 𝑥 − 𝑦 = −4 1.11
3𝑥 − 2𝑦 = −5
1.5 2𝑥 + 3𝑦 = 8 1.12
3𝑥 − 2𝑦 = −1
1.6 8𝑥 − 4𝑦 = 16 1.13
2𝑥 − 4 = 𝑦
1.7 2𝑦 − 3𝑥 = −13 1.14
3𝑥 − 17 = 4𝑦
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Ejercicio 2. Utiliza dos ecuaciones lineales con dos incógnitas para resolver los siguientes
problemas.
2.1 Un avión pequeño puede cargar 950 libras de equipaje distribuidas en dos compartimientos
de carga. En un vuelo, el avión va totalmente cargado con 150 libras más en un
compartimiento que en el otro. ¿Cuánto equipaje hay en cada compartimiento?
2.2 Una parte de $ 80,000.00 se invirtió a una tasa de interés del 10, y el resto al 12%. Si los
ingresos anuales por esas inversiones fueron $ 9000.00 ¿Cuánto se invirtió a cada tasa?
2.3 Un automóvil recorre 50 millas en el mismo tiempo en que un avión viaja 180 millas. La
velocidad del avión es 143 millas por hora mayor que la del automóvil. Calcula la velocidad
del automóvil.
2.4 Un automóvil y un camión salen de Querétaro al mismo tiempo, en direcciones opuestas.
Cuando están a 350 millas de distancia entre ellos, el automóvil ha recorrido 70 millas más
que el camión ¿Qué distancia recorrió el automóvil?
2.5 Un fabricante de bicicletas produce vehículos de carrera y de montaña, con los costos
unitarios de fabricación que aparecen a continuación:
Modelo Costo de materiales Costo de mano de obra
Carreras $ 255.00 $ 260.00
Montaña $ 270.00 $ 290.00
La empresa ha considerado un presupuesto de $ 153,500.00 para gastos de mano de
obra y $ 145,500.00 para materiales. ¿Cuántas bicicletas de cada tipo se pueden
fabricar?
2.6 Un campesino tiene a algunos de sus animales bajo una dieta estricta. Cada animal debe
recibir 15.0 gramos de proteínas y 7.5 gramos de carbohidratos. El campesino emplea
dos mezclas alimenticias que contienen los nutrientes que tenemos en la siguiente tabla:
Mezcla Proteínas Carbohidratos
A 12 % 9 %
B 15 % 5 %
¿Cuántos gramos debe usar de cada mezcla para proporcionar las cantidades correctas
de nutriente a cada animal?
2.7 Dos máquinas pueden cepillar placa de latón. Una máquina tiene $ 600.00 de costo de
mantenimiento y $ 4.00 de costo por placa. La otra máquina tiene costos de mantenimiento
de $ 1,000.00 y costo por placa de $ 2.00. Calcula el punto de equilibrio.
Guía de Algebra – Curso Propedéutico 2017
Universidad Autónoma de Querétaro. Facultad de Química. 23
2.8 Un impresor cuenta con dos prensas. En una, los costos de arreglo son de $ 2,100.00, y
se puede imprimir determinado libro en $ 59.80 cada ejemplar. La otra prensa tiene costos
de arreglo de $ 3510.00, y puede imprimir el mismo libro en $ 59.50. Determina el punto
de equilibrio.
2.9 Un vendedor puede elegir entre dos opciones de salario:
i. Una comisión directa del 7.00 %, o
ii. $ 1,500.0 mensuales más una comisión del 2.00 %.
a) ¿Cuánto debe vender esa persona para obtener la misma retribución en cualquier
plan?
b) Si vende menos ¿Qué plan le conviene? ¿Y si vende más?
2.10 Si dos ángulos son complementarios, su suma es 90°. Si uno de dos ángulos
complementarios mide 16° más que el otro, calcula el valor de cada ángulo.
2.11 La fórmula es para convertir grados Fahrenheit (°F) en grados Celsius
(°C). ¿Cuándo será la temperatura en °C la misma que en grados °F?
2.12 Se quiere obtener 1 lingote de oro de 1 kg de peso y ley de 900 milésimas, fundiendo Au
de 975 milésimas y Au de 875 milésimas. ¿Qué cantidad hay que fundir de cada clase?
2.13 Un comerciante compró dos relojes distintos por 18.00 € y los vendió por 19.35 €. ¿Cuánto
pesos pagó por cada reloj si en la venta del primero ganó un 20% y en la del segundo
perdió un 5%? (Considere que 1.00 € equivale a $ 19.50 pesos).
2.14 Se tienen dos soluciones de la ecuación 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 15. La primera 𝑥 = 2 e 𝑦 = −1 y la
segunda solución 𝑥 = −2 e 𝑦 = −29. Calcula a y b.
2.15 Dos líquidos de densidades 0.7 kg/L y 1.3 kg/L se mezclan obteniéndose un líquido de
densidad 0.9 kg/L. Halla la cantidad de líquido que hay que tomar de cada clase para
obtener una mezcla de 30 litros.
2.16 Un vinatero poseía 760 litros de vino de $ 82.50 por litro. Por tener poca salida comercial
decidió mezclarlo con cierta cantidad de otro vino de $ 72.00 por litro. ¿Qué cantidad del
segundo vino ha de mezclar con el primero para que la mezcla resulte a $ 75.00 el litro?
2.17 Se ha comprado alcohol de quemar a $ 25.00 el litro y se ha mezclado con otro de $ 27.00
el litro. Halla la cantidad que entra de cada clase para obtener 100.00 litros de mezcla de
$ 25.50 por litro.
2.18 Dos grifos han llenado un depósito de 31.0 m3 corriendo el uno 7 horas y el otro 2 horas.
Después llenan otro depósito 27 m3 corriendo el uno 4 horas y el otro, 3 horas. ¿Cuántos
litros vierten por hora cada grifo?
Guía de Algebra – Curso Propedéutico 2017
Universidad Autónoma de Querétaro. Facultad de Química. 24
2.19 Un depósito se llena por un grifo en 5 horas y por otro en 2 horas. ¿Cuánto tardará en
llenarse abriendo los dos grifos a la vez?
2.20 En una peluquería se hace una mezcla para un tinte. Si añadiésemos 4.0 ml a la cantidad
utilizada del producto A, el volumen sería el mismo que un tercio del producto B. Por otro
lado, el doble del volumen de A es lo que le falta al B para medir 250.0 ml. ¿Qué cantidad
se usa de cada producto?
a) 47.6 ml de producto A y 154.8 ml de B
b) 774.0 / 5 ml de A y 238.0 /5 ml de B
c) No está la respuesta
2.21 Una piscifactoría cultiva en sendos tanques truchas y doradas. Si se colectara un tercio
de las truchas y la mitad de las doradas se obtendrían 184 peces. Por otro lado, si se
colectara la quinta parte de las truchas y la cuarta parte de las doradas obtendríamos 98
peces. ¿Cuántos peces de cada especie hay en cada tanque?
a) No está la respuesta
b) 270 doradas y el resto truchas
c) 248 doradas y 180 truchas
2.22 Un depósito A contiene 32 litros de una solución de alcohol al 25% en volumen. Otro
depósito B contiene 50 litros de solución de alcohol al 40% en volumen. Hallar el volumen
que se debe extraer de cada uno de ellos para obtener 40 litros de solución de alcohol al
30% en volumen.
2.23 Un depósito A contiene 40 litros de una solución salina con una cantidad de sal de 80 kg.
Otro depósito B contiene 120 litros de una solución con 60 kg de sal disuelta. Hallar el
volumen que se debe extraer de cada uno de ellos para obtener 30 litros de solución cuya
concentración sea de 1.5 kg/litro.
2.24 Una aleación contiene un 10% de zinc y un 20% de cobre. Hallar el número de kilogramos
de zinc y cobre que se deben alear con 100 kg de la aleación dada, para obtener una
tercera aleación con un 20% de zinc y un 24% de cobre.
2.25 Una aleación cuya masa es de 600.0 kg está compuesta por 100.0 kg de cobre y 50.0 kg
de estaño. Otra aleación de 1000.0 kg está compuesta por 300.0 kg de cobre y 150.0 kg
de estaño. Hallar las masas de cobre y de estaño que se deben mezclar con las dos
aleaciones dadas para obtener una tercera aleación con un 32% de cobre y un 28% de
estaño. Los tantos por ciento son en masa.
2.26 Se tiene una solución de ácido clorhídrico con una concentración al 50% y otra al 80%.
¿Qué cantidad de cada una se debe mezclar para obtener 100.00 ml de una solución al
68%? (Los tantos por ciento son en volumen).
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B) SISTEMAS DE TRES ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS
>> Resolución para un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas por determinantes
Si se tiene el siguiente sistema:
𝐴1𝑋1 + 𝐵1𝑌1 + 𝐶1𝑍1 = 𝐸1
𝐴2𝑋2 + 𝐵2𝑌2 + 𝐶2𝑍2 = 𝐸2
𝐴3𝑋3 + 𝐵3𝑌3 + 𝐶3𝑍3 = 𝐸3
Primero hallar el valor del determinante (D)
𝐴1 𝐵1 𝐶1
𝐴2 𝐵2 𝐶2
𝐷 = 𝐴3 𝐵3 𝐶3
𝐴1 𝐵1 𝐶1
𝐴2 𝐵2 𝐶2
Entonces:
𝐷 = [(𝐴1)(𝐵2)(𝐶3) + (𝐴2)(𝐵3)(𝐶1) + (𝐴3)(𝐵1)(𝐶2)] − [(𝐶1)(𝐵2)(𝐴3) + (𝐶2)(𝐵3)(𝐴1) + (𝐶3)(𝐵1)(𝐴2)]
Para encontrar el valor de x:
𝐸1 𝐵1 𝐶1
𝐸2 𝐵2 𝐶2
𝐷𝑋 = 𝐸3 𝐵3 𝐶3
𝐸1 𝐵1 𝐶1
𝐸2 𝐵2 𝐶2
Entonces:
𝐷x = [(E1)( 𝐵2)(𝐶3) + (E2)(𝐵3)(𝐶1) + (E3)(𝐵1)(𝐶2)] − [(𝐶1)(𝐵2)(E3) + (𝐶2)(𝐵3)(E1) + (𝐶3)(𝐵1)(E2)]
Para encontrar el valor de (y):
𝐴1 E1 𝐶1
𝐴2 E2 𝐶2
𝐷Y = 𝐴3 E3 𝐶3
𝐴1 E1 𝐶1
𝐴2 E2 𝐶2
Entonces: 𝐷Y = [(𝐴1)(E2)(𝐶3) + (𝐴2)(E3)(𝐶1) + (𝐴3)(E1)(𝐶2)] − [(𝐶1)(E2)(𝐴3) + (𝐶2)(E3)(𝐴1) + (𝐶3)(E1)(𝐴2)]
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Para encontrar el valor de z:
𝐴1 𝐵1 𝐸1
𝐴2 𝐵2 𝐸2
𝐷𝑍 = 𝐴3 𝐵3 𝐸3
𝐴1 𝐵1 𝐸1
𝐴2 𝐵2 𝐸2
Entonces:
𝐷z = [(𝐴1)(𝐵2)(E3) + (𝐴2)(𝐵3)(E1) + (𝐴3)(𝐵1)(E2)] − [(E1)(𝐵2)(𝐴3) + (E2)(𝐵3)(𝐴1) + (E3)(𝐵1)(𝐴2)]
Ejercicio 1. Resuelve los siguientes problemas. 1.1 Un artista hace tres tipos de esculturas de cerámica, con un costo mensual de $ 650.00
por 180 piezas. Los costos de fabricación de los tres tipos son $ 5.00, $ 4.00 y $ 3.00
respectivamente. Si vende sus esculturas a $ 20.00, $ 12.00 y $ 9.00 respectivamente,
¿cuántas piezas de cada tipo debe fabricar para obtener $ 2,100 de ingresos mensuales?
1.2 En cada uno de tres alimentos, la unidad de peso tiene los nutrientes que se muestran en
la tabla. ¿Cuántas unidades de peso de cada uno se deben ingerir para obtener
exactamente 11 gramos de grasas, 10 gramos de carbohidratos y 6 gramos de proteínas?
Alimento Grasas Proteínas Carbohidratos
A 1 1 2
B 2 1 1
C 2 1 2
1.3 Un fabricante de ropa produce sacos, camisas y pantalones. En la tabla siguiente vemos el
tiempo necesario para cortar, cose y empacar cada prenda. ¿Cuántas prendas de cada
una debe producir para llenar todas las horas disponibles de trabajo?
Actividad Sacos Camisas Pantalones Tiempo disponible
Corte 20 min 15 min 10 min 115 horas
Costura 60 min 30 min 24 min 280 horas
Empaque 5 min 12 min 6 min 65 horas
1.4 Una fábrica produce tres tipos de balones de futbol, con un costo mensual de $24,250.00
por cada 1125 balones. Los costos de fabricación son $ 40.00, $ 30.00 y $ 20.00. Estos
balones se venden en $ 160.00, $ 120.00 y $ 100.00, respectivamente. ¿Cuántos balones
de cada tipo se fabrican si la ganancia mensual es de $ 92,750.00?
1.5 Un tendero quiere mezclar cacahuates de $15.00 el kg, almendras de $ 45.00 kg y nueces
de la India de $ 45.00 el kg, para obtener 50 kg de una mezcla que pueda vender a $ 15.00
el kg. Usó 15 kg menos de almendras que de cacahuates. ¿Cuántos kilogramos de cada
producto debe utilizar?
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Ejercicio 1. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas puras.
1.1 3𝑥2 = 48 1.5
1.2 5𝑥2 − 9 = 46 1.6
1.3 7𝑥2 + 14 = 0 1.7
1.4 9𝑥2 − 𝑎2 = 0 1.8
Ejercicio 2. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas mixtas.
2.1 𝑥2 = 5 2.5
2.2 4𝑥2 = −32𝑥 2.6
2.3 𝑥2 − 3𝑥 = 3𝑥2 − 4𝑥 2.7
2.4 5𝑥2 + 4 = 2(𝑥 + 2) 2.8
Ejercicio 3. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas completas.
3.1 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0 3.10
3.2 𝑥2 − 2𝑥 − 15 = 0
3.3 𝑥2 = 19𝑥 − 88
3.4 𝑥2 + 34𝑥 = 285
3.5 5(𝑥 − 1) − 2(2𝑥2 − 7𝑥) = −8
3.6 𝑥2 − (7𝑥 + 6) = 𝑥 + 59
3.7
3.8
3.9
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
PARTE VII _ ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
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3.17
3.18 25(𝑥 + 2)2 = (𝑥 − 7)2 − 81
3.19 3(𝑥 − 2) − (𝑥 − 6) = 23(𝑥 − 3)
3.20
Ejercicio 4. Plantea y resuelve los siguientes problemas usando ecuaciones cuadráticas.
4.1 La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números.
4.2 El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m
y el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala.
4.3 Halle el área y perímetro del triángulo rectángulo mostrado. Las dimensiones están en
metros.
4.4 Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla
la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².
4.5 Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de
arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².
4.6 Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es
semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.
4.7 Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es 26⁄5.
4.8 Dos tuberías (A y B) llenan juntos una piscina en dos horas. Si A lo hace por sí solo en tres
horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda cada tubería separadamente?
Guía de Algebra – Curso Propedéutico 2017
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4.9 Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres números pares
consecutivos. Halla los valores de dichos lados.
4.10 Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de
840 cm3, cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes.
Halla las dimensiones de la caja.
4.11 Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se
llena en 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?
4.12 Un automovilista recorre 240 km a velocidad constante. Si la velocidad hubiera sido de 5
km menos por hora, hubiera empleado 12 minutos más en su recorrido. ¿Cuál fue su
velocidad?
4.13 Los integrantes de una agrupación juvenil compraron un tostador de pan por $240.00. El
dinero que pagó cada integrante equivale al número de personas aumentado en 14.
¿Entre cuántos integrantes compraron el tostador?
4.14 Si cada uno de los lados opuestos de un cuadrado se duplica y cada uno de los otros
lados opuestos se disminuye 2 m, el área del rectángulo resultante supera en 32m2 al área
del cuadrado original. Encuentre la longitud del lado del cuadrado.
4.15 Pedro compró cierto número de relojes por $192.00. Si el precio de cada reloj es ¾ del
número de relojes, ¿cuántos relojes compró?
4.16 ¿Cuánto debe medir el diámetro de una pizza para que tenga la misma área que dos
pizzas de 12 cm de radio? ¿Se come más con una pizza de 18 cm de radio o con dos de
12 cm de radio?
4.17 De una hoja de cartón de 72 cm de largo y 48 cm de ancho, se desea cortar un margen
de ancho constante de modo tal que la hoja que quede tenga una superficie igual a los
cinco octavos de la hoja dada. ¿Qué ancho debe tener ese margen?
4.18 Un conjunto de personas alquiló un autobús en $1200.00; como 3 personas no fueron, las
demás debieron abonar $20 más de lo convenido. ¿Cuántas viajaban originalmente?
4.19 Un inversionista compra acciones por $18,750.00; se reserva 15 y vende el resto a
$17,400.00, ganando $40.00 por acción vendida sobre su precio de costo. ¿Cuántas
acciones compró?
4.20 Un tren por una nevada debió marchar a 5 km/h más despacio que su velocidad habitual.
De esa manera tuvo un retraso de 1 hora en 280 km de recorrido. ¿Cuál es su velocidad
habitual?
4.21 Halle dos fracciones inversas cuya suma es trece sextos.
Guía de Algebra – Curso Propedéutico 2017
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El logaritmo 𝐿 de un número m de base x (donde x > 0, x ≠ 1) es el exponente que indica la
potencia a la cual la base x debe elevarse a fin de producir m.
DEFINICIÓN SIMBÓLICA
𝐥𝐨𝐠𝒙 𝒎 = 𝒏 𝒙𝒏 = 𝒎
La abreviación de la frase “logaritmo de base x de m” es logx m.
PROPIEDADES
Suma-Producto log𝑥 𝑚 + log𝑥 𝑛 = log𝑥 𝑚𝑛
Resta-Cociente log𝑥 𝑚 − log𝑥 𝑛 = log𝑥
𝑚
𝑛
Potencia log𝑥 𝑚𝑛 = 𝑛 ∙ log𝑥 𝑚
Raíz log𝑥 √𝑚𝑛
=log𝑥 𝑚
𝑛
Exponente logarítmico 𝑥log𝑥 𝑚 = 𝑚
𝐥𝐨𝐠𝒙 𝟏 = 𝟎 log𝑥 𝑥 = 1 log𝑥 𝑥𝑛 = 𝑛
Ejercicio 1. Usando la definición simbólica del logaritmo, encuentra el valor faltante.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8 log√6
3 6 = 𝑦
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
PARTE VIII _ LOGARITMOS
Guía de Algebra – Curso Propedéutico 2017
Universidad Autónoma de Querétaro. Facultad de Química. 31
1.17 1.19
1.18 1.20 𝐥𝐨𝐠√𝟑𝟐 𝒙 = 𝟒
Ejercicio 2. Usando las leyes de los logaritmos, simplifica las siguientes expresiones.
2.1 log3 𝑥 + log3 𝑥 2.9
2.2 log20 9 − log20 2𝑥 2.10
2.3 log8 𝑥2 + log8 𝑥 2.11
2.4 log𝑏 4𝑐 − log𝑏 4𝑐 2.12
2.5 log4(𝑥 − 3) + log4(𝑥 + 3) 2.13
2.6 log7(4 − 𝑥) − log7(1 − 𝑥) 2.14 3(log5 √𝑥3 ) + 5(log5 √𝑥
5 )
2.7 log√3 𝑥 + log√3 𝑥5 − log√3 𝑥2 2.15 log3 𝑥 + log3(𝑥 − 2) − log7 𝑥(𝑥 − 2)
2.8 log√5(𝑥 − 1) + log√5 𝑥 − log√5 𝑦
Ejercicio 3. Resolver las siguientes ecuaciones.
3.1 5x = 3 3.8 32x–1 = 2187
3.2 (1
2)
𝑥
= 4 3.9 112x = 915
3.3 0.2x = 0.0016 3.10 2x = 8
3.4 9x = 0.576 3.11 3x+1 = 81
3.5 3x+1 = 729 3.12 4x+1 = 8x
3.6 5x-2 = 625 3.13 7x–3 = 49
3.7 23x+1 = 128 3.14 4𝑥2+3𝑥 = 28
Ejercicio 4. Resuelva los siguientes problemas.
4.1 Calcule el pH de una disolución de ácido perclórico 0.03 M.
4.2 Calcule el pH de una disolución 0.05 M del hidróxido de sodio.
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4.3 Para determinar la concentración de alcohol en la sangre de un automovilista, se utiliza la
siguiente ecuación: 𝑅 = 6𝑒𝑘𝑥, donde R indica el riesgo (dado como porcentaje), x es la
concentración de alcohol en la sangre y k una constante.
Si una concentración de 0.04 de alcohol en la sangre produce un riesgo del 10% (R=10)
de sufrir un accidente, ¿cuál es el valor de la constante?
4.4 Utilizando el valor de k del ejercicio anterior, indique ¿cuál es el riesgo para diferentes
concentraciones de alcohol (0.17, 0.19. 0.25)?
4.5 Con el mismo valor de k del ejercicio 4.4, indique la concentración de alcohol
correspondiente a un riesgo del 100%.
4.6 Si la ley establece que las personas con un riesgo del 20% o mayor de sufrir un accidente
no deben conducir vehículos, ¿con cuál concentración de alcohol en la sangre debe un
conductor ser arrestado y multado?
4.7 Cierta colonia de bacterias crece de acuerdo con la ley de crecimiento no inhibido.
N(𝑡) = 𝑁0𝑒𝑘𝑡
Si la cantidad de bacterias se duplica en tres horas, ¿cuánto tiempo tardará la colonia
en triplicar su número?
4.8 ¿Cuál es la magnitud de un terremoto cuya lectura sismográfica es de 0.1 milímetros a
una distancia de 100km del epicentro? Utiliza la siguiente ecuación:
Donde M es la magnitud, x los milímetros que tiene una magnitud M(x) y 𝑥0 = 10−3 (lectura
de un terremoto de nivel cero a una distancia de 100km del epicentro).
4.9 El devastador terremoto de México en 1985 midió 8.1 en la escala de Richter. ¿Cómo se
compara este terremoto con el terremoto de Haití en 2010 que midió 7.3 en la escala de
Richter?
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RESPUESTAS A EJERCICIOS
Página 12
7.1 18𝑎5𝑏5 7.2 𝑐𝑑3
9 7.3
−𝑔8
2ℎ 7.4
𝑗3𝑚
𝑘10 7.5 𝑝6
𝑛2
Página 14
2.3 4𝑔10
ℎ2 −4𝑔5𝑗10
ℎ𝑘+
𝑗20
𝑘2 2.6 8 +𝑛3
8 2.9 1728 + 𝑣3 2.17 27𝑝9 − 189𝑝6𝑞𝑟4 + 441𝑝3𝑞2𝑟8 −
343𝑞3𝑟12 2.20 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 2𝑥𝑦 − 2𝑥𝑧 − 2𝑦𝑧
Página 15
1.5 (k + 1)(k - 1) 1.7 (n + 1)(p + 2) 1.9 [(u + v) – w] [(u + v) + w] 1.11 (2b + c – d)(2b – c – d)
1.15 (m2 + 5p2)(n – q2) 1.25 (3q – r)(9q2 + 3qr + r2) 1.27 (4 + t2)(16 – 4t2 + t4)
2.10[(v + w) + x2][(v + w) – x2] 2.13 (10dg2h3 + 13j5)(10dg2h3 – 13j5) 2.15 (6n4p3 + 7q2)(6n4p3 – 7q2)
Página 16
3.8 (k – 5)(k + 12) 3.9 (m + 10)(m – 30) 3.13 (r + 8)(r + 42) 3.15 (t – 36)(t + 28)
4.1 (2a – 1)(a + 2) 4.3 (3c + 2)(2c + 1) 4.5 (5g – 1)(4g + 1) 4.7 (3j + 5)(5j – 3)
4.9 (3m + 2)(5m – 3) 4.11 (6p – 5)(3p + 2) 4.13 (3rs – 4t)(2rs – 3t) 4.15 (7v2 – 8v)(3v2 + 2v)
Página 17
1.1 𝑥 = −1
2 1.3 d = – 2 1.5 𝑡 = 3 1.7 ℎ = 0 1.9 𝑦 = – 5 1.11 𝑥 =
7
2 1.13 𝑘 = 1
1.15 𝑘 = 7 1.17 𝑠 =11
5 1.19 p =
5
6 1.21 w =
1
10 1.23 d = – 1 1.25 p = −
19
23
2.7 v = −12
7 2.9 c =
21
8 2.11 h =
13
126 2.13 w = −
11
5
Página 18
3.2 b = −46
15 3.4 w = 2 3.6 h =
76
47 3.8 k =
7
68 3.10 q =
539
73
4.2 p – 3 4.4 25, 27, 29 4.6 largo = 26.25m, ancho = 43.75m 4.8 Hernán = $126,
Gladys = $63, María = $42 4.10 656, 424 4.12 68, 30 4.14 20 cm 4.16 $25
4.18 16 mujeres, 4 hombres 4.20 30 ciruelas
Página 21
1.1 x = 2 y = 2 1.3 x = 5 y = 3 1.5 x = 1 y =2 1.7 x = 3 y = –2
1.9 x = 3/4 y = 1/3 1.11 rectas paralelas 1.13 x = 4 y = 8
Página 22
2.1 400 y 550 libras 2.2 $50,000.00 al 12% y $30,000.00 al 10% 2.3 Velocidad avión = 198 mi/h,
automóvil = 55 mi/h 2.4 210 millas 2.5 200 bicicletas de carreras y 350 de montaña 2.6 50 g
mezcla A y 60 g mezcla B 2.7 200 placas
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Página 23
2.8 4700 libros 2.9 a) $30,000.00 b) Si vende más, plan i. Menos, plan ii 2.10 53o y 37o
2.11 - 40 2.12 250 g de 975 milésimas, 750g de 875 milésimas 2.13 9 Euros y 9 Euros
2.14 a = 7, b = –1 2.15 20 litros de 0.7 kg/L y 30 litros de 1.3 kg/L 2.16 1900 litros
2.17 75 litros de $25.00 y 25 litros de $27.00 2.18 3 y 5 litros
Página 24
2.19 10/7 de hora 2.20 Inciso a 2.21 Inciso c 2.22 80/3 de litros de 25% en volumen y 40/3
litros de 40% 2.23 20 litros de solución de 80 kg de sal y 10 litros de solución de 60 kg de sal
2.24 15 kg de Zn y 10 kg de Cu 2.25 500 kg de Sn y 400 kg de Cu 2.26 40 ml de ácido al 50%
y 60 ml del ácido al 80%
Página 26
1.1 30, 50 y 100 piezas 1.2 1g de A, 2g de B y 3g de C 1.3 120 sacos, 200 camisas y 150
pantalones 1.4 50, 75 y 1000 balones 1.5 50 kg de cacahuates únicamente
Página 27
1.3 x = ±√2𝑖 1.6 x = ±6 1.7 x = ±√29
3 1.8 x = ±√7
2.5 𝑥1 = 0 𝑥2 = −26
3 2.6 𝑥1 = 0 𝑥2 =
1
2 2.7 𝑥1 = 0 𝑥2 = −2 2.8 𝑥 =
1
2
3.3 𝑥1 = 11 𝑥2 = 8 3.7 𝑥1 = 17 𝑥2 = −12 3.11 x = ±√7 3.12 x = ±1
3.13 𝑥1 = 3 𝑥2 = 5
Página 28
3.24 x = ±6 3.25 x = ±13 3.26 𝑥1 = −6 𝑥2 = −9
4.2 8m y 5m 4.3 Área= 30m2, Perímetro= 30m 4.5 3m 4.6 60m, 45m 4.8 6 y 3 horas
Página 29
4.12 80 Km/h 4.14 8m 4.16 33.94 cm 4.18 15 personas 4.19 75 acciones
Página 30
1.1 x = 9
1.2 y = 2
1.3 x = 2
1.4 b = 4
1.5 y = 3
1.6 b = 2
1.7 x = 9
1.8 y = 3
1.9 𝑦 =4
3
1.10 b = 64
1.11 𝑥 =1
2
1.12 y = - 4
1.13 𝑥 =1
27
1.14 x = 25
1.15 b = √64
1.16 𝑦 = −1
2
Página 31
1.17 𝑦 =1
2 1.18 b = 4 1.19 b = 5 1.20 x = 1024
2.1 log3 𝑥2 2.2 log209
2𝑥 2.3 log8 𝑥3 2.4 log𝑏 1 2.5 log4(𝑥2 − 9) 2.6 log7
(4−𝑥)
(1−𝑥)
2.7 log√3 𝑥4 2.8 log√5𝑥(𝑥−1)
𝑦 2.9 log𝑏
1
4 2.10 log27 8𝑥𝑦 + log3 𝑥2(𝑥 − 1) 2.11 log27
𝑥2
𝑦+ log3
𝑧3
𝑦4
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2.12 log𝑏 𝑥2𝑦2 2.13 log 1
64
1 2.14 log5 𝑥2 2.15 log3 1
3.1 x = 0.6826… 3.2 x = -2 3.3 x = 4 3.4 x = - 0.2511 3.5 x = 5 3.6 x = 6
3.7 x = 2 3.8 x = 4 3.9 x = 1.4218… 3.10 x = 3 3.11 x = 3 3.12 x = 2 3.13 x = 5
3.14 𝑥1 = −4 𝑥2 = 1
4.1 pH = 1.52 4.2 pH = 12.7
Pg. 32, Ej. 4
4.3 k = 12.7706 4.4 R(0.17) = 52.6 %, R(0.199 = 67.91%, R(0.25) = 146.12 % 4.5 x = 0.22
4.6 x = 0.09 4.7 t = 4.75 h 4.8 M(0.1) = 2 4.9 El terremoto de México fue 6.3 veces
más intenso que el de Haití
Guía de Algebra – Curso Propedéutico 2017
Universidad Autónoma de Querétaro. Facultad de Química. 36
BIBLIOGRAFÍA
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3. Rees P. K., Sparks F. W., Rees Sparks C., 1999. Álgebra Contemporánea, México,
McGraw Hill.
4. Rodríguez J., Caraballo A., Cruz T., Hernández O. Razonamiento Matemático. 1997,
México, D. F. International Thomson Editores, S.A. de C.V.
5. Sobel Max A., Lerner Norbert, Algebra. 1987, México, D. F. Prentice Hall.
6. Gobrán Alfonso, Algebra Elemental. 2001, México, D. F. Grupo Editorial Iberoamérica.
7. Osorio F., J. M., Méndez H., A. 2006. Matemáticas 1. México. Santillana.
8. www.hippocampus.org/
Contenidos muy extensos de álgebra, explicaciones didácticas que se escuchan
claramente en el idioma inglés.
9. www.purplemath.com/
Lecciones prácticas de álgebra con ejercicios resueltos interactivos.
10. www.Profes.net/
Comunidad de profesores en España con contenidos didácticos interactivos
explicaciones completas y entretenidas.
11. http://www.rena.edu.ve/
Página del ministerio de educación del gobierno de Venezuela, trata todos los temas de
álgebra con profundidad y claridad.
12. http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html
Biblioteca de manipuladores virtuales de USA, en español contiene gran cantidad de
material complementario de Álgebra.