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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 1
Asignatura:Matematicas Financieras
Docente: Ing. Rolando Medina Arevalo
Semestre: Segundo
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 2
GUÌA DE ESTUDIOS DE MATEMÀTICAS FINANCIERAS
CARRERA: Tecnología Superior en Contabilidad
SEMESTRE: Segundo “A” Nocturno
ASIGNATURA: Matemáticas Financieras
CÓDIGO DE ASIGNATURA: CO-S1-MAFI
TOTAL DE HORAS: 144
DOCENTE RESPONSABLE: Ing. Rolando Medina Arévalo
Copyright©2020 Instituto Superior Tecnológico Ismael Pérez Pazmiño. All rights reserved.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 3
INTRODUCCIÓN:
En la empresa como en la vida personal, constantemente se debe tomar decisiones.
decisiones de distinta naturaleza, decisiones relacionadas con el hacer o el dejar
hacer. Para tomar una decisión, es necesario que el tomador de decisiones, disponga
de la mayor cantidad de información, conozca los métodos o herramientas que están
relacionados con el problema de decisión, de tal modo, que la elección del curso de
acción a adoptar, sea el correcto.
Con frecuencia una persona o empresa se enfrenta al problema: ¿Qué hacer con
cierto dinero?, ¿Qué decidir entre alternativas mutuamente excluyente?, ¿Cuál
alternativa genera mayor rentabilidad o ganancia?, ¿Cuál alternativa de
financiamiento es la más económica?, ¿Cómo comprobar que lo que me cobra una
institución financiera es lo correcto?, etc.
En este sentido, las MATEMÁTICAS FINANCIERAS constituyen un conjunto de
herramientas, de métodos y procedimientos que ayudan a la toma de decisiones, en
materia de obtención y uso del dinero.
Las técnicas, métodos y procedimientos que serán tratados en el presente módulo,
requieren del dominio de algunos conocimientos básicos de matemáticas puras,
como, por ejemplo, el saber: resolver una ecuación (principalmente de primer grado),
calcular el logaritmo de un número, obtener su raíz enésima, etc.
A pesar, que, para determinar una fórmula, se requiere utilizar los conceptos de
sumatoria, productoria, progresión geométrica, progresión aritmética, limites, y
derivadas entre otras. La utilización de la fórmula no exige el dominio perfecto de los
temas señalados anteriormente.
El conocer los distintos tópicos que comprende las matemáticas financieras, permitirá
disponer de un valioso conjunto de herramientas a aquellas personas que directa o
indirectamente, o que potencialmente deban manejar dinero, para optimizar su uso,
de tal modo, de maximizar las utilidades o minimizar las pérdidas.
Para poder adquirir el conjunto de herramientas que te permitan en algún momento
ayudar a la toma de decisiones, es recomendable que vayas aprendiendo las materias
paulatinamente. Si al enfrentarte a una prueba más adelante y te das cuenta que no
dominas ciertos conceptos o has respondido en forma errónea, vuelve a repasar el
tema. No cometas el error de seguir avanzando, porque el vacío que puedas tener se
convertirá en un gran hoyo.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 4
ÍNDICE
Información general
Introducción
Syllabus
Desarrollo de Actividades:
1. INTERÉS SIMPLE.
1.1. Introducción y conceptos básicos
1.2. Monto
1.3. Valor actual o presente
1.4. Interés
1.5. Tasa y tiempo de interés
1.6. Plazo o tiempo
1.7. Tiempo real y tiempo aproximado
1.8. Descuento
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 5
1.9. Ecuaciones de valor equivalente
2. INTERÉS COMPUESTO.
2.1. Introducción y conceptos básico
2.2. Monto
2.3. Tasa nominal, tasa efectiva y tasa equivalente
2.4. Valor actual o presente
2.5. Tiempo
2.6. Tasa de interés
2.7. Tasa y tiempo de interés
2.8. Ecuaciones de valores equivalentes
2.9. Tiempo equivalente
3. ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, VENCIDAS E INMEDIATAS.
3.1. Introducción y terminología
3.2. Tipos de anualidades
3.3. Monto
3.4. Valor actual
3.5. Renta
3.6. Plazo
3.7. Tasa de interés
4. ANUALIDADES ANTICIPADAS Y DIFERIDAS.
4.1. Introducción
4.2. Monto y valor actual
4.3. Renta, plazo e interés
5. AMORTIZACIÓN.
5.1. Introducción
5.2. Tablas de amortización
5.3. Importe de los pagos en una amortización
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 6
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 7
INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO ISMAEL PÉREZ PAZMIÑO
SYLLABUS DE LA ASIGNATURA
I. DATOS INFORMATIVOS
NOMBRE DE LA CARRERA: Tecnología Superior en Contabilidad
ESTADO DE LA CARRERA: Vigente X
NIVEL: Tecnológico
TIPO DE CARRERA: Tradicional
NOMBRE DE LA SIGNATURA: Matemática Financiera
CÓDÍGO ASIG: CO-S1-MAFI
PRE–REQUISITO: Ninguno
CO-REQUISITO: Matemática Básica
TOTAL HORAS: 203
Componente docencia 72
Componente de prácticas de aprendizaje 72
Componente de aprendizaje autónomo 59
SEMESTRE: Segundo PARALELOS: A
PERIODO ACADÉMICO: Noviembre 2019 – Abril 2020 (IIPA 2019)
MODALIDAD: Presencial
DOCENTE RESPONSABLE: Ing. Rolando Oswaldo Medina Arévalo
II. FUNDAMENTACIÓN
Toda sociedad requiere de la contribución de la ciencia para evolucionar, por lo que,
el ambiente empresarial también recurre a ésta para la solución de sus problemas y
el mejoramiento de sus réditos, es aquí donde se acude a las matemáticas, ya que se
deben realizar cálculos para la obtención de resultados que direccionen a la correcta
toma de decisiones.
Este módulo aporta al Tecnólogo Superior en Contabilidad conocimientos sobre
procesos financieros, que le servirán en el transcurso de su formación académica y
posteriormente en el ejercicio mismo de su profesión, siendo soporte para los
diferentes cálculos en los que tendrán que incurrir el profesional para obtener
resultados cuantitativos en áreas como finanzas, contabilidad, etc.
El desarrollo de la Matemática Financiera por parte del docente, estará apegada
estrictamente en el fin último de la educación, siendo ésta la transformación del
individuo, por tal motivo, no existirá discriminación de ninguna clase en las actividades
académicas, aceptando la diversidad cultural que se presente en el grupo de
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 8
estudiantes, mostrándose además, como una asignatura abarcadora, que brinda su
aporte cultural, al saber los principios y orígenes de los conceptos a desarrollar,
logrando con esto cumplir con varios objetivos del Buen Vivir, que se encuentran
plasmados en la Constitución Política de la República.
El problema planteado en la asignatura de matemáticas financieras es ¿Cómo calcular
el interés, aplicando las diferentes fórmulas de interés financiero para la debida toma
de decisiones en una empresa?
El objeto de estudio de esta asignatura son las fórmulas de interés, según las cuales
se debe racionalmente analizar, calcular e interpretar los resultados que afecten la
acción administrativa que tiene su base y su instrumento necesario en el cálculo
aplicado a la materia económica-patrimonial y financiera.
La asignatura de matemáticas financieras, corresponde al área académica de
formación profesional, siendo de naturaleza teórico-práctica; y tiene como propósito
que el alumno pueda calcular intereses exactos para una empresa, utilizando los
conceptos básicos de la matemáticas, interés simple, interés compuesto y
anualidades.
Siendo entonces el objetivo de esta asignatura calcular el interés, aplicando las
diferentes fórmulas que se emplean tanto en interés simple, compuesto y anualidades
de manera responsable, para una debida toma de decisiones empresariales
mejorando la rentabilidad de las organizaciones.
III. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Analizar problemas sobre interés simple, descuento racional y bancario, para
el cálculo del monto y valor presente de un préstamo, aplicando diferentes
fórmulas matemáticas de manera responsable.
Aplicar los conceptos básicos y fórmulas de interés compuesto, para el cálculo
del monto y valor presente de una deuda de manera responsable; y, mediante
el análisis profesional se dará solución al nivel de endeudamiento por parte de
las empresas.
Calcular el monto y valor presente de anualidades ciertas ordinarias, que
permita un análisis responsable de los fondos con los que cuenta una empresa,
para la oportuna toma de decisiones.
Calcular anualidades anticipadas y diferidas, para la elaboración de diagramas
de flujo de caja en la toma de decisiones de manera transparente, mediante el
desarrollo de ecuaciones equivalentes.
Elaborar tablas de amortización y fondo de amortización, mediante la aplicación
de manera ética y profesional de las diferentes fórmulas para la determinación
del valor de la amortización y del fondo de amortización.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 9
IV. CONTENIDOS
Sistema General de conocimientos
Unidad I: Interés simple
Unidad II: Interés compuesto
Unidad III: Anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas
Unidad IV: Anualidades anticipadas y diferidas
Unidad V: Amortización
Sistema General de Habilidades
Unidad I: Analizar problemas sobre interés simple, descuento racional y
bancario.
Unidad II: Aplicar conceptos y fórmulas de interés compuesto en el cálculo del
monto y valor presente.
Unidad III: Calcular las anualidades vencidas, para un análisis del nivel de
endeudamiento de una empresa.
Unidad IV: Calcular anualidades anticipadas y diferidas, para la oportuna toma
de decisiones empresariales.
Unidad V: Elaborar tablas de amortización y fondo de amortización, para el
control de los créditos recibidos por parte de las entidades financieras.
Sistema General de Valores
Unidad I: Responsabilidad en el cálculo del monto y valor presente de una
deuda.
Unidad II: Ética profesional en el manejo de fondos para el cumplimiento de
obligaciones contraídas.
Unidad III: Responsabilidad en el cálculo de anualidades vencidas.
Unidad IV: Transparencia en el manejo de fondos.
Unidad V: Ética profesional en la elaboración de tablas de amortización.
V. PLAN TEMÁTICO
TEMAS DE LA ASIGNATURA
DESARROLLO DEL PROCESO CON
TIEMPO EN HORAS
C CP S C
E
T L E THP TI THA
Interés simple 6 16 - - 8 - 2 32 15 47
Interés compuesto 4 14 - - 4 - 2 24 9 33
Anualidades simples, ciertas,
vencidas e inmediatas 7 15 - - 8 - 2 32 10 42
Anualidades anticipadas y
diferidas 5 15 - - 8 - 2 30 15 45
Amortización 4 12 - - 6 - 2 24 10 34
EXAMEN FINAL 2 2 - 2
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 10
Total de horas 26 72 - - 34 - 12 144 59 203
Leyenda:
C – Conferencias.
S – Seminarios.
CP – Clases prácticas.
CE – Clase encuentro.
T – Taller.
L – Laboratorio.
E – Evaluación.
THP – Total de horas presenciales.
TI – Trabajo independiente.
THA – Total de horas de la asignatura.
VI. SISTEMA DE CONTENIDOS POR UNIDADES DIDÁCTICAS
Unidad I: INTERÉS SIMPLE
Objetivo: Analizar problemas sobre interés simple, descuento racional y bancario,
para el cálculo del monto y valor presente de un préstamo, aplicando diferentes
fórmulas matemáticas de manera responsable.
Sistema de
conocimientos Sistema de habilidades
Sistema de
Valores
Introducción y conceptos
básicos
Tiempo real y tiempo
aproximado
Monto
Valor actual o presente
Interés
Tasa y tiempo de interés
Plazo o tiempo
Descuento
Ecuaciones de valor
equivalente
Reconocer las generalidades
del interés simple.
Resolver problemas sobre
cálculo del valor del monto.
Resolver problemas sobre
cálculo del valor actual.
Calcular el valor del interés.
Calcular el porcentaje de
interés y el plazo.
Resolver los casos de tiempo
real y aproximado.
Resolver problemas sobre
cálculo del descuento.
Resolver ecuaciones de valor
Responsabilidad en
el cálculo del monto y
valor presente de una
deuda.
Unidad II: INTERÉS COMPUESTO
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 11
Objetivo: Aplicar los conceptos básicos y fórmulas de interés compuesto, para el
cálculo del monto y valor presente de una deuda de manera responsable; y, mediante
el análisis profesional se dará solución al nivel de endeudamiento por parte de las
empresas.
Sistema de
conocimientos
Sistema de habilidades Sistema de Valores
Introducción y conceptos
básicos
Monto
Tasa, nominal, efectiva y
equivalente
Valor actual o presente
Tiempo
Interés
Tasa y tiempo de interés
Ecuaciones de valor
equivalente
Tiempo equivalente
Reconocer las generalidades
del interés compuesto.
Calcular el valor del monto.
Valorar los tipos de tasas
existentes.
Calcular el valor actual.
Calcular el plazo de un
interés compuesto.
Resolver casos sobre cálculo
de tasa y plazo.
Resolver ecuaciones de valor
equivalente.
Ética profesional en el
manejo de fondos para el
cumplimiento de
obligaciones contraídas.
Unidad III: ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, VENCIDAS E INMEDIATAS
Objetivo: Calcular el monto y valor presente de anualidades ciertas ordinarias, que
permita un análisis responsable de los fondos con los que cuenta una empresa, para
la oportuna toma de decisiones.
Sistema de
conocimientos Sistema de habilidades Sistema de Valores
Introducción y terminología
Tipos de anualidades
Monto
Valor actual
Reconocer las generalidades
de las anualidades.
Comparar los tipos de
anualidades.
Resolver enunciados de
valor del monto.
Responsabilidad en el
cálculo de anualidades
vencidas.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 12
Sistema de
conocimientos Sistema de habilidades Sistema de Valores
Renta
Plazo
Tasa de interés
Resolver enunciados de
valor actual, renta, plazo y
tasa de interés.
Unidad IV: ANUALIDADES ANTICIPADAS Y DIFERIDAS
Objetivo: Calcular anualidades anticipadas y diferidas, para la elaboración de
diagramas de flujo de caja en la toma de decisiones de manera transparente, mediante
el desarrollo de ecuaciones equivalentes.
Sistema de
conocimientos
Sistema de habilidades Sistema de Valores
Introducción
Monto y valor actual
Renta, plazo e interés
Reconocer las generalidades
de las anualidades
anticipadas y diferidas.
Resolver ejercicios de
aplicación para encontrar el
monto y valor actual.
Resolver enunciados que
permitan el cálculo del valor
de la renta, plazo e interés.
Transparencia en el
manejo de fondos.
Unidad V: AMORTIZACIÓN
Objetivo: Elaborar tablas de amortización y fondo de amortización, mediante la
aplicación de manera ética y profesional de las diferentes fórmulas para la
determinación del valor de la amortización y del fondo de amortización.
Sistema de
conocimientos
Sistema de habilidades Sistema de Valores
Introducción
Importe de los pagos en
una amortización
Tablas de amortización
Fondo de amortización
Reconocer las generalidades
de una amortización.
Elaborar tablas de
amortización.
Resolver casos prácticos
para el cálculo del importe de
los pagos.
Ética profesional en la
elaboración de tablas de
amortización.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 13
Sistema de
conocimientos
Sistema de habilidades Sistema de Valores
Tablas de fondo de
amortización
Elaborar tablas de fondo de
amortización.
VII. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Y DE ORGANIZACIÓN DE LA
ASIGNATURA.
Esta asignatura será desarrollada con el apoyo de la aplicación del método
problémico, el cual permitirá al docente utilizar o ejecutar tareas que conduzca al
estudiante a la búsqueda de vías de solución, favoreciendo a la adquisición del
conocimiento nuevo, así como métodos de acción; esto ocasionará en el estudiante
aprendizajes significativos, pues el estudiante podrá construir su propio conocimiento
partiendo de otros ya adquiridos.
La asignatura de Matemática Financiera será desarrollada durante el segundo
semestre de la carrera de Tecnología Superior en Contabilidad abarcando siete horas
semanales, en cada sesión de clase se hará visible el tema y el objetivo planteado,
con el fin de desarrollar las respectivas habilidades en los estudiantes, quienes podrán
revisar con anticipación los temas propuestos para cada una de las unidades, con las
que se podrá establecer un intercambio de ideas al inicio de la nueva clase.
Para evidenciar el desarrollo de las clases impartidas en el aula, el estudiante
documentará todas las actividades de aprendizaje plasmándolas en un portafolio y
diarios de campo, lo mismo hará con los respectivos talleres (trabajo en equipo)
realizados en clase, los cuales tendrán una puntuación que contribuirá con la nota
total de la asignatura, proceso que repetirá con las tareas extra clase.
Como material de apoyo se hará llegar al estudiante por medios electrónicos, el
respectivo syllabus de asignatura, así como los contenidos de todos los temas. Los
trabajos extra clase serán recibidos a través de la plataforma Amauta, para lo cual el
docente deberá subir al sistema la nueva tarea con sus respectivas orientaciones, con
fecha de apertura y fecha máxima de entrega.
Los estudiantes tendrán una participación activa en los diferentes foros que se subirán
en la plataforma virtual Amauta de un tema determinado, el que tendrá una puntuación
respectiva. Con respecto al desarrollo de los temas, es su primera sesión, se aplicará
la conferencia para el desarrollo de conceptos básicos, luego se apoyará en las clases
prácticas, para la aplicación del conocimiento, también se ejecutarán talleres en la
parte final de cada unidad para fortalecer los conocimientos adquiridos mediante
ejercicios de aplicación.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 14
La puntualidad a las sesiones de clases es de vital importancia, es por ello que se
pasará lista al inicio y al final de cada sesión, además, se evaluará cada una de las
unidades académicas desarrolladas con el fin de verificar la asimilación de los
contenidos propuestos.
VIII. RECURSOS DIDÁCTICOS
Básicos: marcadores, borrador, pizarra de tiza líquida.
Audiovisuales: Computador, retroproyector.
Técnicos: Documentos de apoyo, separatas, texto básico, libros digitales.
IX. SISTEMA DE EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA
El sistema de evaluación será sistemático y participativo, con el objetivo de adquirir
las habilidades y destrezas cognitivas e investigativas que garanticen la calidad e
integridad de la formación profesional.
Para la respectiva evaluación se valorará la gestión de aprendizaje propuestos por el
docente, la gestión de la práctica y experimentación de los estudiantes, y la gestión
de aprendizaje que los estudiantes propondrán mediante la investigación.
Se tomó como referencia el Reglamento del Sistema Interno de Evaluación Estudiantil
para proceder a evaluar la asignatura, de esta manera se toma como criterio de
evaluación la valoración de conocimientos adquiridos y destrezas evidenciadas dentro
del aula de clases en relación a la labor que un auditor de sistemas realiza.
Cada alumno deberá demostrar lo aprendido en cada una de las unidades
académicas, y de esta manera esté apto para desenvolvimiento profesional.
Por ello desde el primer día de clases, se presentará las unidades didácticas y los
criterios de evaluación del proyecto final. Se determinará el objeto de estudio, que en
este caso son las fórmulas de interés.
Se explica a los estudiantes que el semestre se compone de dos parciales con una
duración de diez semanas de clases cada una, en cada parcial se evaluará sobre
cinco puntos las actividades diarias de las clases, trabajos autónomos, trabajos de
investigación, actuaciones en clases y talleres; sobre dos puntos un examen de parcial
que se tomará en la semana diez y semana veinte. De esta manera cada parcial tendrá
una nota total de siete puntos como máximo.
El examen final se llevará a cabo mediante la ejecución de un proyecto integrador de
asignaturas y tiene una valoración de tres puntos. Por consiguiente, el alumno podrá
obtener una nota total de diez puntos.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 15
El proyecto integrador del presente semestre corresponde al tema Elaboración del
estado flujos de efectivo.
Por tal motivo, la asignatura Matemáticas financieras contribuirá en el proyecto
integrador mediante la aplicación correcta de las matemáticas financieras para la
elaboración de las tablas de depreciación y de amortizaciones.
Los parámetros de evaluación del presente proyecto o actividad de vinculación de la
asignatura, se clasifican en parámetros generales que serán los mismos en todas las
asignaturas y en parámetros específicos que corresponde únicamente a la asignatura;
la cual se detallan a continuación:
Parámetros Generales
- Exposición 0.75
- Estructura 0.25
- Coherencia del documento 0.25
- Dominio del uso de los métodos y técnicas de la
profesión 0.25
TOTAL 1.50
Parámetros Específicos
- Aplicación de teorías matemáticas 0.50
- Cálculo de interés financiero 0.50
- Calculo de depreciaciones y amortizaciones 0.50
TOTAL 1.50
Una vez que el estudiante exponga su proyecto integrador y defienda las preguntas
propuestas por el tribunal, será notificado en ese momento la nota obtenida y se
procederá a la respectiva firma de constancia.
Dentro de las equivalencias de notas se clasifican de la siguiente manera:
10,00 a 9,50: Excelente
9,49 a 8,50: Muy bueno
8,49 a 8,00: Bueno
7,99 a 7,00: Aprobado
6,99 a menos: Reprobado
Los estudiantes deberán alcanzar un puntaje mínimo de 7,00 puntos para aprobar la
asignatura, siendo de carácter obligatorio la presentación del proyecto integrador.
Si el estudiante no alcance los 7,00 puntos necesarios para aprobar la asignatura,
deberá presentarse a un examen supletorio en la cual será evaluado sobre diez puntos
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 16
y equivaldrá el 60% de su nota final, el 40% restante corresponde a la nota obtenida
en acta final ordinaria de calificaciones.
Aquellos estudiantes que no podrán presentarse al examen de recuperación son
quienes hubiesen reprobado por faltas del 25% o más en la asignatura impartida, para
presentarse al examen de recuperación deben obtener de la suma del primer parcial,
segundo parcial y sustentación del proyecto como promedio mínimo 2,50 que
corresponde al 40% y la evaluación tendrá una ponderación máxima de 6 puntos
equivalente al 60%.
El estudiante no conforme con la nota del proyecto integrador podrá solicitar mediante
oficio una recalificación y obtendrá respuesta del mismo en un plazo no mayor a tres
días hábiles.
El docente tendrá un plazo de 48 horas para socializar las calificaciones obtenidas
luego se asentará en las actas finales y se procederá a recoger la firma de los
estudiantes.
Los proyectos presentados serán sometidos a mejoras o corrección si el caso lo
amerita con la finalidad de ser presentadas en la feria de proyectos científicos que el
Instituto Tecnológico Superior Ismael Pérez Pazmiño lanzará cada año.
En caso de que algún estudiante no se presentare a la defensa publica, por causas
debidamente justificadas, podrá solicitar nueva fecha de sustentación; y, en el
caso de estudiantes que no justificaren debidamente su ausencia, en los tiempos
establecidos en el ITS, se registrara la nota mínima de 0,01 y deberán presentarse
al examen de recuperación, donde el proyecto de vinculación tendrá una ponderación
del 60% de la nota total el restante 40% corresponderá a los contenidos de la
asignatura.
X. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Y COMPLEMENTARIA
Ayres, F. (1997). Matematicas Financieras. Naucalpan, Mexico: Impreandes Presencia S.A.
Diaz Mata, A., & Aguilera Gomez, V. M. (2008). Matematicas Financieras (Cuarta ed.).
Mexico D.F., Mexico: McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. de
C.V.
Medina Arevalo, R. O. (2018). Guia de Didactica de Matematicas Financieras (Primera ed.).
Machala, El Oro, Ecuador: Instituto Superior Tecnologico Ismael Perez Pazmi;o.
Ochoa Lopez, U. (2012). Matematicas Financieras II (Primera ed.). Tlalnepantla, Mexico
D.F., Mexico: Red Tercer Milenio.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 17
Ramirez Molinares, C., Garcia Barboza, M., Pantoja Algarin, C., & Zambrano Meza, A.
(2009). Fundamentos de Matematicas Financieras. Cartagena de Indias: Editorial
Universidad Libre Sede Cartagena.
Villalobos Perez, J. L. (2012). Matematicas Financieras (Cuarta ed.). Nacualpan de Juarez,
Mexico D.F., Mexico: PEARSON EDUCACIÓN.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 18
ORIENTACIONES PARA EL USO DE LA GUÍA DE ESTUDIOS
I. GENERALIDADES
Antes de empezar con el estudio de la asignatura Matemáticas Financieras le doy mi
felicitación por haber decidido emprender sus estudios profesionales en el área de
Contabilidad y Auditoría en el Instituto Superior Tecnológico “Ismael Pérez Pazmiño”.
Ha hecho ¡Buena elección!
Esta guía contiene información sobre contenidos, objetivos, actividades, metodología,
criterios de evaluación y otros asuntos de interés para los alumnos/as de tercer
semestre, que cursan la asignatura denominada Matemáticas Financieras.
Examínela atentamente y no la pierda de vista, pues en ella se encuentran las claves
para llevar a cabo el trabajo empresarial con responsabilidad social. Además de tomar
en cuenta lo siguiente:
1. Se instruirán los conocimientos de cada unidad, al final de cada una de ellas.
2. Se recomienda analizar los sistemas de contenidos de cada capítulo, en su
parte final presenta el resumen de cada tema.
3. Tener una actitud positiva, voluntad, motivación e interés en el desarrollo de las
actividades.
4. Adquirir un lenguaje en término empresarial, dado de los saberes propuesto
dentro de cada unidad.
5. No memorizar los conceptos, sino más bien generalizar la idea del tema y
relacionarla con el contexto.
6. Cuando se haya hecho la primera lectura comprensiva, proceda a desarrollar
las actividades, aplicando en la práctica una actitud reflexiva y crítica;
capacidad de análisis, síntesis y creatividad.
7. Revisar el borrador de las clases recibidas durante horas presenciales.
8. Revisar las bibliografías recomendadas y folletos que facilita el docente, para
aprender de la investigación, es necesario apoyarse en otras fuentes
bibliográficas.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 19
9. Considera las horas que son dedicadas a su trabajo u ocupación personal. Lo
importantes es saber determinar y organizar el tiempo que necesita para
cumplir con todas sus actividades.
INSTRUCCIONES PARA EL APRENDIZAJE
SIMBOLOGÍA SIGNIFICADO INSTRUCCIONES
SUGERENCIA
Considerar la lectura
reflexiva para el
desarrollo adecuado de
las actividades
REFLEXIÓN
Recomendaciones del
profesor para conocer el
nivel de entendimiento
de los contenidos.
TAREAS
Reforzar el
conocimiento adquirido,
mediante la elaboración
de trabajos en casa.
APUNTE CLAVE
Información importante
RESUMEN
Explicación breve del
tema tratado
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 20
DESARROLLO DE ACTIVIDADES
Unidad didáctica I:
Título de la Unidad Didáctica I: Interés simple
Introducción de la Unidad Didáctica I: En la presente unidad se analizarán los
conceptos básicos de lo que son las matemáticas financieras, el tanto por ciento, el
tiempo, el monto, el interés y tasa de interés lo cual permitirá en lo posterior poder
realizar cálculos respecto a intereses simple y compuesto, anualidades y
amortizaciones ya que estos son muy importantes en el desarrollo de las actividades
en las empresas cuando están en las posibilidades de realizar un crédito.
Para el cálculo del interés simple hay que tomar en cuenta varios aspectos que
permitan aplicar correctamente las formulas a estudiar, uno de ellos es la conversión
que se debe realizar al tanto por ciento y el tiempo, y para ello el estudiante debe
determinar el tiempo con exactitud, y saber cuándo se debe emplear el tiempo exacto
o aproximado al momento de establecer el interés generado por una deuda
Objetivo de la unidad didáctica I:
Analizar problemas sobre interés simple, descuento racional y bancario, para el
cálculo del monto y valor presente de un préstamo, aplicando diferentes fórmulas
matemáticas de manera responsable.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 21
Organizador Grafico de la Unidad I:
INT
ER
ÉS
SIM
PL
E
Introducción y conceptos básicos.
Tiempo real y tiempo aproximado.
Monto.
Valor actual o presente.
Interés.
Tasa y tiempo de interés.
Plazo o tiempo
Descuento.
Ecuaciones de valor equivalente.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 22
Desarrollo de contenidos:
Actividades de Aprendizaje de la Unidad Didáctica I:
Actividad de Aprendizaje I de la Unidad Didáctica I: Introducción y
conceptos básicos.
Introducción y conceptos básicos
Los empresarios exitosos son aquellos que saben emplear el dinero ajeno de la mejor
manera, a esto se resume la utilización que una persona le puede dar a una
determinada suma de dinero que no sea de ella, y a su vez dicha utilización con el
pasar del tiempo va a generar una ganancia (intereses).
Al interés de una deuda se le ha dado varias denominaciones, el cual lo podemos
resumir como aquel valor que genera un capital durante un tiempo determinado.
El valor que se obtiene por el préstamo de un dinero se lo denomina interés el cual
está sujeto a variaciones del mercado, inflación u otras condiciones económicas, pero
en si el cálculo dependerá de las condiciones que pacten las partes involucradas en
la operación.
En la presente unidad se tratarán conceptos claros para el cálculo de interés simple y
la aplicación de este en los diferentes casos de operaciones financieras de las
empresas.
Interés simple. - El Interés es simple cuando al término de cada periodo el interés
obtenido no se agrega al capital inicial (no se capitaliza) para producir nuevos
intereses, es decir que el capital permanece invariable y consecuentemente el interés
devengado también es constante, que se puede retirar al final de cada periodo o al
final del horizonte temporal.
Capital inicial. - Es la suma de dinero que se tiene al principio de la operación
financiera, puede ser un préstamo o una inversión, depende desde la perspectiva que
se observe el problema. Se representa con la letra “C”
Tanto por ciento. - En matemáticas el “tanto por ciento” es una forma de expresar un
número en proporción cien (de ahí el nombre “por ciento”), y se denota con el símbolo
“%”
Formula:
I=C*i*n
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 23
Tasa de interés. - la tasa de interés corresponde al valor del tanto por ciento que se
aplica a una operación financiera dividida para 100. Y se representa con la letra “i”.
Plazo o tiempo. - Es el que normalmente se especifica en el documento o contrato
puede ser cualquier unidad de tiempo; días, meses, años, etc. Representada por la
letra “t”.
Periodo. - El periodo no nada más que el tiempo para lo cual fue fijado la deuda
dividido para 360 en caso de que tiempo sea en días y 12 en caso de meses. Y está
representado por la letra “n”.
Interés Comercial. - Se llama interés comercial o bancario, cuando los cálculos se
efectúan considerando el año de 12 meses de 30 días cada uno, haciendo un total de
360 días anuales.
Ejercicios Resueltos:
Encontrar el interés simple de $ 2000:
a) Al 5 ¼ %, durante 8 meses
Solución
Tabla de datos: I=Cxixn
C= 2000 I= 2000x0.0525x0.666666667
%= 5.25%( (1/4) +5) I= 70
i= 0.0525
t= 8 meses
n= 0.666666666 (8/12)
I=? $ 70
Para encontrar el interés de una cantidad se lo puede hacer mediante la siguiente formula:
I=Cxixn
Ejemplo 1: una persona adquiere una deuda de $ 1000 a 9 meses al 8% de interés. Tabla de valores C= 1000 I= 1000x0.08x0.75 %= 8% I= 60 I= 0.08 (8/100) t= 9 meses n= 0.75 (9/12) I=? $ 60
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b) Al 6%, durante 2 años
Solución
Tabla de datos: I=Cxixn
C= 2000 I= 2000x0.06x2
%= 6% I= 240
i= 0.06
t= 2 años
n= 2
I=? $ 240
c) Al 4 ½ %, durante 120 días
Solución
Tabla de datos: I=Cxixn
C= 2000 I= 2000x0.045x0.333333333
%= 4.5 %( (1/2) +4) I= 30
i= 0.045
t= 120 días
n= 0.333333333 (120/360)
I=? $ 30
Problemas propuestos
Determinar el interés simple de:
a) $ 800 durante 7 meses al 5%
b) $ 1800 durante 9 meses al 4 ½ %
c) $ 600 durante 210 días al 3 ¾ %
d) $ 900 durante 3 años al 11%
e) $ 1500 durante 150 días al 7.5%
Respuestas: a) $ 23.33; b) $ 60.75; c) $ 13.13; d) $ 297; e) $ 48.88
Orientaciones tarea: Para poder desarrollar el trabajo extraclase se debe seguir las orientaciones que el docente de en el aula, ayudándose con esta guía para su mejor comprensión. para su mejor comprensión.
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Actividad de Aprendizaje II de la Unidad Didáctica I:
Tiempo real y tiempo aproximado
Para el cálculo de interés en muchos de los casos debemos de establecer o diferenciar
si el tiempo que se está aplicando es exacto o aproximado, lo que generalmente se
da cuando este esta expresado en días. Cabe señalar que cuando hablamos de
tiempo exacto estamos considerando los días exactos que existen entre una fecha a
otra, mientras que el tiempo aproximado se refiere a realizar un cálculo de aproximado
entre fecha y fecha.
Para calcular el tiempo exacto se ha diseñado una tabla de tiempo en la cual se toma
los 365 (366 en caso de ser año bisiesto) días del año calendario, esto permitirá
determinar con más prontitud los días de una fecha a otra.
Ejemplo 8:
Determinar el tiempo exacto y aproximado que existe entre el 08 de marzo al 21 de
Agosto del 2018.
Marzo 23
21 8 2018 Abril 30
8 3 2018 Mayo 31
13 5 0 Junio 30
Julio 31
Respuesta: 163 dias Agosto 21
Respuesta 166
Tiempo Aproximado Tiempo exacto
Como podemos notar existe una diferencia de 3 días entre los cálculos realizados.
Para el cálculo del tiempo cuando este es dado en días o de una fecha a otra, lo podemos realizar de forma exacta o aproximada esto ayuda para poder diferenciar cómo se comporta tasa de interés de acuerdo al tiempo real o aproximado que se coloca un préstamo.
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Ejercicios resueltos
¿Cuál será el monto el 24 de diciembre de un capital de $ 10000 depositado el 15 de
mayo del mismo año en una cuenta de ahorros que paga 19% anual simple?
a) Para calcular el tiempo real es necesario determinar el número de días que
transcurren entre las dos fechas (observe que el 15 de mayo no se incluye, ya
que, si se deposita y retira una cantidad el mismo día, no se ganan intereses).
Mayo 16
Junio 30
Julio 31
Agosto 31
Septiembre 30
Octubre 31
Noviembre 30
Diciembre 24
223
Tiempo exacto
Tabla de datos: Solución
C= 10000 S= C (1 + in)
%= 19% S= 10000 {1 + (0.19x0.610958904)}
i= 0.19 S= 10000 {1 + 0.116082191}
t= 223 días S= 10000 {1.116082192}
n= 0.610958904 (223/365) S= 11,160.82
I= $ 1,160.82 (11160.82-10000)
S=? $ 11,160.82
Cuando se toma el tiempo aproximado se debe restar la fecha final de la fecha inicial de la siguiente manera:
Día Mes Año
Fecha final 19 10 2018 Fecha inicial 16 10 1995 03 0 23
Para este ejemplo la respuesta aproximada del tiempo es 23 años 03 días.
En el caso que no se pueda restar los días se pide un periodo a los meses y en el caso de los meses se pide un periodo a los años, para poder realizar dichas operaciones.
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b) En muchos casos se calcula el tiempo en forma aproximada, contando meses
enteros de 30 días y años de 360 días.
Solución
S=
24 12 2018 S= 10000 {1 + (0.19*0.608333333)}
15 5 2018
9 7 0 S= 10000 {1 + 0.115583333}
Respuesta: 219 dias {(7*30) + 9} S= 10000 {1 .115583333}
S= 11.155,83
Calculo de tiempo aproximado C {1 +(i*n)}
Tabla de datos:
C= 10000
%= 19%
i= 0.19
t= 219 días
n= 0.608333333 (219/360)
I= $ 1,155.83 (11,155.83-10000)
S=? $ 11,155.83
Ejercicios propuestos
Determinar en forma aproximada y exacta el tiempo transcurrido entre:
a) El 27 de enero al 31 de agosto del 2018
b) El 09 de marzo al 14 de noviembre del 2018
c) El 28 de octubre del 2018 al 07 de marzo del 2019
d) El 13 de abril del 2015 al 25 de mayo del 2017
e) El 02 de mayo al 15 de octubre del 2016
f) El 08 de agosto al 23 de enero del próximo año
Respuestas: a) 216, b) 250, c) 130, d) 773, d) 166, e) 168
Orientaciones tarea: Para poder desarrollar el trabajo extraclase se debe guiar en las fórmulas para calcular el interés simple, y considerar que el tiempo aproximado o exacto
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Actividad de Aprendizaje III de la Unidad Didáctica I:
Monto
El monto es la suma del capital más el interés que genera una determinada cantidad
de dinero durante un tiempo establecido. Para efecto de nuestro estudio
designaremos al monto con la letra S.
S= C + I
El monto simple está dado por la siguiente expresión:
S= C + I ==>> C + Cin
S= C (1 + in)
Ejemplo 2:
Al adquirir cierta mercancía, un comerciante acuerda con el proveedor pagar de
contado el 50% y el resto a tres meses después.
¿Cuánto debe pagar para liquidar el saldo, si el interés que le cobran es del 12% anual
y el importe de la mercancía es de $ 25000?
Para este caso vamos aplicar dos formas para determinar el monto de una deuda:
La primera forma es calcular primero el valor del interés para luego sumarlo al capital
original.
Valor original de la compra $ 25000 menos $ 12500 (50% a pagarse en tres meses).
Solución
Tabla de datos: I=Cxixn
C= 12500 I= 12500x0.12x0.25
%= 12% I= 375 Respuesta
i= 0.12
t= 3 meses S= C + I
n= 0.25 (3/12) S= 12500 + 375
I= $ 375 S= 12875
S=?$ 12875
Para la forma de calcular el valor del monto aplicaremos la fórmula directa del monto,
por lo que queda de la siguiente forma:
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Tabla de datos: Solución
C= 12500 S= C (1 + in)
%= 12% S= 12500 {1 + (0.12x0.25)}
i= 0.12 S= 12500 {1 + 0.03}
t= 3 meses S= 12500 {1.03}
n= 0.25 (3/12) S= 12875
I= $ 375 (12875-12500)
S=? $ 12875
Ejercicios Resueltos:
Encontrar el interés simple y monto de $ 3000:
a) Al 5%, durante 18 meses
Tabla de datos: Solución
C= 3000 S= C (1 + in)
%= 5% S= 3000 {1 + (0.12x0.25)}
i= 0.05 S= 3000 {1 + 0.03}
t= 18 meses S= 3000 {1.03}
n= 1.5 (18/12) S= 3090
I= $ 90 (3090-3000)
S=? $ 3090
b) Al 6%, durante 3 años
Tabla de datos: Solución
C= 3000 S= C (1 + in)
%= 6% S= 3000 {1 + (0.06x3)}
i= 0.06 S= 3000 {1 + 0.18}
t= 3 años S= 3000 {1.18}
n= 3 S= 3540
I= $ 540 (3540-3000)
S=? $ 3540
c) Al 4.5%, durante 280 días
Para la determinación del monto de una deuda se puede emplear dos fórmulas, pero por lo general se debe aplicar la siguiente formula:
S= C (1 + in)
Lo cual permitirá calcular de una forma más rápida el valor total del monto de una deuda.
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Tabla de datos: Solución
C= 3000 S= C (1 + in)
%= 4.5% S= 3000 {1 + (0.045x0.777777777)}
i= 0.045 S= 3000 {1 + 0.035}
t= 280 días S= 3000 {1.035}
n= 0.777777777 (280/360) S= 3105
I= $ 105 (3105-3000)
S=? $ 3105
Problemas propuestos
Determinar el interés simple y monto de:
a) $ 600 durante 5 meses al 4 ¾ %
b) $ 500 durante 22 meses al 6 ½ %
c) $ 300 durante 160 días al 8 ½ %
d) $ 450 durante 2 años al 10%
e) $ 1200 durante 120 días al 5.5%
Respuestas: a) $ 11.88, $ 611.88; b) $ 59.58, $ 559.58; c) $ 11.33, 311.33; d) $ 90,
540; e) $ 22, $ 1222
Orientaciones tarea: Para poder desarrollar el trabajo extraclase se debe seguir las orientaciones que el docente de en el aula, ayudándose con esta guía para su mejor comprensión. A guía para su mejor comprensión.
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Actividad de Aprendizaje IV de la Unidad Didáctica I:
Valor actual o presente
En muchos de los casos podemos tener conocimiento del monto (S) de una deuda, y
a su vez las condiciones de la empresa pueden mejorar lo que permite poder realizar
la cancelación de dicho monto de una forma anticipada o puede ser caso que no se
conozca el valor inicial de la deuda, en cualquiera de los dos ejemplos estamos frente
a la determinación del valor actual, capital o valor presente.
Lo que significa trasladar todos los valores adquiridos a una fecha actual, en muchos
de los casos denominada fecha focal la misma que nos indica la fecha exacta en la
que se realizara el pago o condonación de la deuda. Para ello aplicaremos la siguiente
formula:
Ejemplo 3:
Encontrar el valor presente, al 7% de interés simple, de $ 1000 con vencimiento en 6
meses.
Tabla de datos Solución
C= ? $ 996.18 S
%= 7% 1 + in
i= 0.07
t= 6 meses 1000
n= 0.5 (6/12) 1 + (0.07x0.5)
I=? $ 33.82
S= 1000 1000
1 + 0.035
1000
1,035
C= 966,18
C=
C=
C=
C=
C= ___S__
1+in
El valor presente, valor actual o simplemente capital es el valor que se tiene de una deuda al día de hoy, para lo cual aplicaremos la siguiente formula: De igual manera se denomina como fecha focal a la fecha en la que se realiza el pago de una deuda.
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Ejercicios Resueltos:
Encontrar el valor presente de las siguientes deudas:
a) Al 6.5% de interés simple de $ 1800 con vencimiento en 6 meses.
Tabla de datos Solución
C= ? $ 1,743.34 S
%= 6.5% 1 + in
i= 0.065
t= 6 meses 1800
n= 0.5 (6/12) 1 + (0.065x0.5)
I=? $ 56.66
S= 1800 1800
1 + 0.0325
1800
1,0325
C= 1.743,34
C=
C=
C=
C=
b) Un monto de $ 2240 al 10% de interés simple durante 110 días
Al momento de establecer la fecha en la que se va a realizar el pago de la deuda debemos de considerar el tiempo real por el cual fue prestado el dinero, para ello nos valemos de una línea de tiempo. Por ejemplo:
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 33
Tabla de datos Solución
C= ? $ 2,173.58 S
%= 10% 1 + in
i= 0.10
t= 110 dias
n= 0.305555555 (110/360)
I=? $ 66.42
S= 2240
C= 2.173,58
C=
C=
C=
C=
2240
1 + (0.10x0.305555555)
2240
1 + 0.030555555
2240
1,030555555
c) Un pagare firmado el día de hoy por un valor de $ 5000 a 18 meses al 8 ¾ %.
Tabla de datos Solución
C= ? $ 4,419.89 S
%= 8.75% (8+(3/4)) 1 + in
i= 0.0875
t= 18 meses
n= 1.5 (18/12)
I=? $ 580.11
S= 5000
C= 4.419,89
C=
C=
C=
C=
5000
1 + (0.0875x1.5)
5000
1 + 0.13125
5000
1,13125
Orientaciones tarea: Para poder desarrollar el trabajo extraclase se debe guiar en las fórmulas para calcular el capital o valor presente a interés simple.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 34
Problemas propuestos
Determinar el valor presente de:
a) Un pagare de $ 1000 firmado el 18 de abril con vencimiento en 7 meses
y con interés de 6% en vendido a un señor el 15 de agosto con una base
de rendimiento de 5%. ¿Cuánto pago este señor por el documento?
b) Dentro de 10 meses Alexandro tiene que cancelar $ 6800 al 8% de
interés. ¿Cuánto es el valor a cancelar luego de 4 meses realizado el
préstamo?
c) Lizandro Meza firma un pagare el día hoy por un monto de $ 9890 el cual
deberá ser cancelado en 10 meses. Determinar el valor del pagare
dentro de 3 meses, suponiendo un rendimiento del 4.5%
d) Determinar el valor de las siguientes obligaciones, a ser canceladas el
día de hoy, suponiendo una tasa del 7% de interés simple: 500 con
vencimiento el día de hoy, $ 1000 con vencimiento en 8 meses al 3% de
interés y $ 1500 con vencimiento en un año al 10%. Emplear el día de
hoy como fecha focal.
Respuestas: a) $ 982.80; b) $ 6538.46; c) $ 9637.03; d) $ 3,016.58
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 35
Actividad de Aprendizaje V de la Unidad Didáctica I:
Interés
El interés es aquel valor que genera el dinero que ha sido prestado a un determinado
tiempo sea este anual, mensual o en muchos casos hasta diario con una tasa de
interés convenida entre las partes que realizan la transacción.
Ejemplo 4:
Determinar el interés simple de $ 800 al 5% durante 9 meses.
Tabla de datos: I=Cxixn
C= 800 I= 800x0.05x0.75
%= 5% I= 30
i= 0.05
t= 9 meses
n= 0.75 (9/12)
I=? $ 30
Ejemplo 5:
Una persona realiza un préstamo de $ 3000 en una institución financiera, y se
compromete a liquidarla dentro de 280 días a una tasa de interés del 9%. ¿Cuánto es
el valor de interés que deberá cancelar al terminar el plazo?
Tabla de datos: I=Cxixn
C= 3000 I= 3000x0.09x0.777777777
%= 9% I= 210
i= 0.09
t= 280 días
n= 0.777777777 (280/360)
I=? $ 210
El objetivo principal de todo dinero prestado tiene como condición principal generar o ganar un tanto por ciento de interés, esto está sujeto a las condiciones en que las partes lleguen respecto al dinero cedido, y para calcular ese interés se debe tomar en cuenta la tasa de interés, tiempo y capital.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 36
Problemas propuestos
Determinar el interés simple de:
a) $ 1000 durante 90 días al 6.5%
b) $ 800 durante 4 años al 4 ¾ %
c) $ 1600 durante 180 días al 3%
d) $ 2500 durante 2 años al 15%
e) $ 2000 durante 16 meses al 9%
Respuestas: a) $ 16.25; b) $ 152; c) $ 24; d) $ 750; e) $ 240
Orientaciones tarea: Para poder desarrollar el trabajo extraclase se debe guiar en las fórmulas para calcular el interés simple.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 37
Actividad de Aprendizaje VI de la Unidad Didáctica I:
Tasa y tipos de interés
La tasa de interés es aquel porcentaje que se pacta por el uso del dinero en un tiempo
determinado generalmente expresado en días, meses o años. Partiendo de la formula
inicial M = C + (Cxixn) obtendremos (i) que es la tasa de interés.
S
C- 1
ni=
Ejemplo 6:
a) A que tasa de interés simple el monto de $ 1000 será $ 1055 en un año.
Tabla de datos Solución
C= 1000 S
%=? 5.5 % (0.055*100) C
i= ? 0.055
t= 1 año
n= 1 1055
I= 55 (1055-1000) 1000
S= 1055 1
1,055 - 1
1
0,055
1
i= 0,055
i=
i=
1
n
i=
- 1
i=
-
Respuesta: el valor de “i” es 0.055 lo que es equivalente al 5 ½ %
b) El monto de $ 700 será $ 744 en 9 meses. ¿Cuál es la tasa de interés simple
que se aplicó en esta operación?
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 38
Tabla de datos Solución
C= 700 S
%=? 8.4 % (0.084*100) C
i= ? 0.084
t= 9 meses
n= 0.75 (9/12) 744
I= 44 (744-700) 700
S= 744
1,063 - 1
0,063
0,75
i= 0,084
i=
i=
1
n
i=
- 1
i=
-
0,75
0,75
Respuesta: el valor de “i” es 0.084 lo que es equivalente al 8.4 %
c) Armando compro un celular en $ 320. Dio un anticipo de $ 120 y acordó pagar
la diferencia en 6 meses, más un cargo adicional de $ 60.00. ¿Qué tasa de
interés simple pago?
Tabla de datos Solución
C= 200 S
%=? 60 % (0.6*100) C
i= ? 0.60
t= 6 meses
n= 0.5 (6/12) 260
I= 60 200
S= 260 (200+60)
1,3 - 1
0,3
0,5
i= 0,6
i=
i=
1
n
i=
- 1
i=
-
0,5
0,5
Respuesta: el valor de “i” es 0.6 lo que es equivalente al 60 %
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 39
Problemas propuestos
Hallar la tasa de interés simple sabiendo que el monto de $ 1800 es:
a) $ 1920 en 5 meses
b) $ 2110 en 150 días
c) $ 1852 en 9 meses
d) $ 1896 en 2 años
e) $ 2000 desde el 09 de marzo hasta el 29 de noviembre
Respuestas: a) 16%; b) 41.33%; c) 3.85%; d) 2.67%; e) 15.09%
Orientaciones tarea: Para poder desarrollar el trabajo extraclase se debe guiar en las fórmulas para calcular el interés simple.
En ocasiones al momento de prestar dinero lo único que se pacta es el valor entregado y el valor a recibir por parte del prestatario al culminar el tiempo del crédito por este motivo se aplica la fórmula de interés simple para saber a qué porcentaje se calculan los intereses.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 40
Actividad de Aprendizaje VII de la Unidad Didáctica I:
Plazo o tiempo
Conociendo el valor futuro, capital inicial y la tasa de interés se puede calcular el
número de períodos a la cual está pactada la transacción financiera.
I
C x in =
Ejemplo 7:
a) ¿En qué tiempo el monto de $ 3000 será $ 3360 al 6% de interés simple?
Tabla de datos Solución
C= 3000 I
%= 6 % C x i
i= 0.06
t= ? 2 años
n= ? 2
I= 360
S= 3360 360
180
n= 2
n=
n=
n=3000 x 0.06
360
b) ¿En qué tiempo $ 1564 se convertirá en $ 792.74 colocado al 9 ¾ % de interés
simple?
Tabla de datos Solución
C= 1564 I
%= 9.75 % (9+(3/4)) C x i
i= 0.0975
t= ? 18 meses
n= ? 1.5
I= 228.74
S= 1792.74 228,74
152,49
n= 1,50003
n=
n=
n=1564 x 0.0975
228,74
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 41
Ejercicios resueltos
a) ¿Qué tiempo es necesario para que $ 967.74 se convierta en $ 1000, invertido
al 5%?
Tabla de datos Solución
C= 967.74 I
%= 5% C x i
i= 0.05
t= ? 8 meses
n= ? 0.666667
I= 32.26
S= 1000 32,26
48,39
n= 0,66667
n=
n=
n=967.74 x 0.05
32,26
b) ¿En qué tiempo un capital de $ 2500 se convertirán en $ 2800 al 4 ½ %?
Tabla de datos Solución
C= 2500 I
%= 4.5% (4 + (1/2)) C x i
i= 0.045
t= ? 2 años 8 meses
n= ? 2.666667
I= 300
S= 2800 300
112,5
n= 2,66667
n=
n=
n=2500 x 0.045
300
c) ¿En qué tiempo un capital de $ 900 se convertirán en $ 998.44 al 8 ¾ % de
interés simple?
Para la determinación del tiempo es muy importante tener en cuenta que este puede ser medido en años, meses o días esto varía de acuerdo a los términos en que se llega al momento de realizar un préstamo. Para el cálculo se procede con la formula general para calcular el interés (I= Cxixn) de la cual despejamos la variable “n”
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 42
Tabla de datos Solución
C= 900 I
%= 8.75% (8 + (3/4)) C x i
i= 0.0875
t= ? 1 años 3 meses
n= ? 1.25
I= 98.44
S= 998.44 98,44
78,75
n= 1,25003
n=
n=
n=900x 0.0875
98,44
d) ¿En qué tiempo se duplica un capital de $ 500 al 6% de interés simple?
Tabla de datos Solución
C= 500 I
%= 6% C x i
i= 0.06
t= ? 16 años 8 meses
n= ? 16.66667
I= 500
S= 1000 500
30
n= 16,6667
n=
n=
n=500 x 0.06
500
Problemas propuestos
En qué tiempo un capital de $ 3000 produce:
a) $ 100 al 4% de interés simple
b) $ 50 al 5% de interés simple
c) $ 270 al 6% de interés simple
d) $ 140 al 8% de interés simple
e) $ 356 al 9 ½ % de interés simple
Respuestas: a) 10; b) 4 meses; c) 1 año 6 meses; d) 7 meses; e) 1 año 3 meses
Orientaciones tarea: Para poder desarrollar el trabajo extraclase se debe guiar en las fórmulas para calcular el interés simple.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 43
Actividad de Aprendizaje VIII de la Unidad Didáctica I:
Descuento
En muchos de los casos ocurre que un pagare o una deuda que debe ser cancelada
en un tiempo determinado, es comprada por una tercera persona lo cual origina el
establecimiento de un descuento, que se aplicara en el momento en que se realice la
transacción es decir se descuenta el valor a la fecha de la adquisición del documento.
Para el cálculo del descuento lo podemos realizar de las siguientes formas:
Descuento comercial. - Es un instrumento de financiación a corto plazo que las
entidades financieras ponen a disposición de sus clientes, para permitirles hacer
líquidos anticipadamente créditos comerciales no vencidos, a cambio del pago de los
intereses y comisiones previamente acordados entre ambas partes. Para su cálculo
aplicamos la siguiente formula:
D= Sdn
Ejemplo 8:
Si el banco realiza operaciones de descuento a 20% anual, y si el señor Díaz desea
descontar el documento el 15 de junio, los $185 000 (el valor nominal del pagaré)
devengarán los siguientes intereses (descuento) durante los 2 meses en que se
adelanta el valor actual del documento:
Tabla de datos
%= 20% D= Sin
i= 0.20
t= 2 meses D= 185000 x 0.20 x 0.166666666
n= 2
S= 185000 D= 6,166.67
D=? 6,166.67
Valor nominal 185,000.00
Descuento 6,166.67
Valor anticipado 178,833.33 Por lo tanto, el señor Díaz recibe $ 178,833.33, que es el valor comercial del
documento el 15 de junio, ya que se aplicó el descuento comercial. Tal como se había
señalado al principio, el descuento se calculó con base en el valor nominal del pagaré.
Descuento real o justo.- a diferencia del descuento comercial o bancario este tipo de
descuento se lo aplica sobre el valor nominal del pagare, y para calcularlo se lo realiza
aplicando la fórmula de interés simple (valor presente):
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 44
Aplicando los datos del ejercicio 8, se procede a calcular el descuento real.
Tabla de datos Solución
%= 20% S
i= 0.20 1 + in
t= 2 meses
n= 0.166666666
S= 185000 1 + (0.20 x 0.166666666)
D=? 5,967.74
1 + 0.033333333
C=
Valor nominal
Valor anticipado
Descuento
C=
C=185000
C=185000
185.000,00
179.032,26
5.967,74
C=185000
1,033333333
179.032,26
Conclusión: Como podemos darnos cuenta el descuento real es inferior al descuento
comercial.
Ejercicios resueltos
a) ¿Cuál es el descuento comercial de un documento que vence dentro de 5
meses, y que tiene un valor nominal de $ 3850, si se le descuenta a una tasa
de 18% tres meses antes de su vencimiento?
Tabla de datos Solución
%= 18% D= Sin
i= 0.18
t= 3 meses D= 3850 x 0.18 x 0.25
n= 0.25 (3/12)
S= 3850 D= 173,25
D=? 173.25
Valor nominal 3.850,00
Descuento 173,25
Valor anticipado 3.676,75 b) ¿Cuál es el descuento real del documento del ejercicio anterior?
C= ___S__
1+in
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 45
Tabla de datos Solución
%= 18% S
i= 0.18 1 + in
t= 3 meses
n= 0.25
S= 3850 1 + (0.18 x 0.25)
D=? 165.79
C=
Valor nominal
Valor anticipado
Descuento
3.850,00
3.684,21
165,79
C=3850
1,045
3.684,21
C=
C=3850
C=3850
1 + 0.045
Ejercicios propuestos
Hallar el valor actual al 6% de descuento simple:
a) $ 2000 con vencimiento en 1 año
b) $ 600 con vencimiento en medio año
c) $ 1500 con vencimiento en 3 meses
d) Un documento por $ 3000 a 240 días con intereses al 7%, fechado el
10 de agosto del 2017 fue descontado el 16 de febrero del 2018 al
5%. Hallar el importe de la operación.
Respuestas: a) $ 120; $ 1880, b) $ 18; $ 582, c) $ 22.50; $ 1,477.50, d) $ 3,078.19
Actividad de Aprendizaje IX de la Unidad Didáctica I:
Ecuaciones de valor equivalente
Muy a menudo ocurre que las empresas o personas naturales realizan más de un
préstamo financiero lo que ocasiona elaborar un cálculo de lo que en realidad el
deudor debe de cancelar en cada uno de los períodos establecidos. Lo que en su
defecto da la determinación de ecuaciones de valor equivalente, estas permiten juntar
todas las deudas contraídas para realizar la cancelación mediante pagos únicos en
cada uno de los periodos.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 46
Recomendaciones Metodológicas para la Resolución de Ecuaciones de Valor.
Lea detenidamente el problema, determine la información numérica y de
carácter literal existente, finalmente identifique la pregunta y establezca la
incógnita para el planteamiento de la ecuación.
Grafique la información en la Recta de Tiempos; el gráfico siempre será de
extremada utilidad, sin embargo, en problemas de fácil interpretación, puede
omitir el gráfico.
Ubique la Fecha Focal, es muy conveniente ubicarla en la incógnita, en el caso
del Interés Simple la fecha focal se ubicará de acuerdo con la información
existente, en los demás casos, puede ubicarla en cualquier parte y obtendrá el
mismo resultado.
Verifique que el tiempo esté expresado en las mismas unidades y de acuerdo
con el tiempo que indica la tasa de interés o rédito; no se olvide que la tasa de
interés, mientras no se diga lo contrario, es anual y que el año tiene 360 días
(año comercial).
Plantee la ecuación de valor, reemplace los términos de la ecuación por las
fórmulas de cálculo y finalmente por los valores conocidos, la ecuación
resultante podrá ser resuelta como cualquier ecuación lineal o de primer grado.
Optimice el uso de la calculadora, fije dos decimales, utilice paréntesis,
memorias y todos los demás recursos que dispone su máquina, de manera que
evite al máximo el redondeo de operaciones.
Para comprobar el resultado obtenido puede utilizar los programas de cálculo
que se encuentran almacenados en el CD adjunto al texto; estos programas
están desarrollados en la Hoja Electrónica de Cálculo Excel, para versión 2010
en adelante.
Ejemplo 9:
Una persona contrajo una deuda hace 8 meses por $200 000 con 40% de interés
simple, que vence dentro de 4 meses. Además, debe pagar otra deuda de $150 000
contraída hace 2 meses, con 35% de interés simple y que vence dentro de dos meses.
Considerando un interés de 42%, ¿qué pago deberá hacer hoy para saldar sus
deudas, si se compromete a pagar $100 000 dentro de 6 meses?
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 47
A su vencimiento, el valor de la primera deuda (A) es:
200000 [1 + 0.40(1)]
200000 (1.4) = 280000
Mientras que su valor en la fecha focal asciende a:
280000
1 + (0.42)(0.333333333)=
280000
1.14= 245614.04
A su vencimiento, el valor de la segunda deuda (B) es:
150000 [1 + 0.35 (0.333333333)] = 167500
Y su valor en la fecha focal:
167500
1 + (0.42)(0.166666666)=
167500
1.07= 156542.06
El valor de $100000 en la fecha focal (C) es:
100000
1 + (0.42)(0.50)=
100000
1.21= 82644.63
Y finalmente como resultado tenemos la suma de A + B y restamos C:
X= 245614.04 + 156542.06 - = 82644.63
X= 319.511.47
Ejercicios propuestos
a) Un comerciante adquiere artículos para su negocio por un valor de $
8600 pagando de contado el 30% y el resto con financiamiento directo del
proveedor; dos meses más tarde realiza un pago de $ 2000 quedando en saldar
la deuda mediante un pago final después de 6 meses. Encontrar el valor del
pago final considerando que el dinero se financia al 7%.
b) Un empresario adquiere una deuda de $ 7500 para pagarse en 10
meses con interés del 8%; tres meses más tarde se realiza un abono de $ 3000
quedando en saldar la deuda mediante un pago final en 2 meses antes del
vencimiento; encontrar el valor del pago final considerando para la liquidación
una tasa del 8.25%. Tómese como fecha focal en 8 meses.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 48
c) Se adquiere una deuda de $ 70000 el día de hoy, si se realiza un pago
de $ 30000 dentro de 2 meses y se compromete a cancelar la deuda mediante
dos pagos iguales a 4 y 6 meses respectivamente, Cuál debe ser el valor de
dichos pagos si se considera un rendimiento del dinero del 11%. Tomar como
fecha focal en 6 meses.
d) Esteban solicita un préstamo de $ 1500 a pagar en 3 meses con un
interés del 10%; otro préstamo de $ 5000 a pagar en 10 meses con un interés
del 9%. En común acuerdo con los acreedores se va a liquidar las deudas
mediante un pago único en 5 meses; hallar el valor del pago único si en la
liquidación se aplica una tasa del 9.5%. Tomar como fecha focal en cinco
meses.
e) Una empresa debe $ 5000 con vencimiento en 3 meses, $ 2000 con
vencimiento en 6 meses y $ 4800 con vencimiento en 9 meses; desea liquidar
sus deudas mediante dos pagos iguales con vencimiento en 6 meses y 12
meses respectivamente. Determinar el importe de cada pago suponiendo para
la liquidación un rendimiento del 6% y tomando como fecha focal la fecha de
un año.
Respuestas: a) $ $ 4.184,03; b) $ 4.788,37; c) $ 21.180,44; d) $ 6.732,18; e) $
5.988,67
Unidad didáctica II:
Título de la Unidad Didáctica I: Interés compuesto
Introducción de la Unidad Didáctica II: El dinero y el tiempo son dos factores que
se encuentran estrechamente ligados con la vida de las personas y de los negocios.
Cuando se generan excedentes de efectivo, se ahorran durante un periodo
determinado a fin de ganar un interés que aumente el capital original disponible; en
otras ocasiones, en cambio, se tiene necesidad de recursos financieros durante un
tiempo y se debe pagar un interés por su uso. En periodos cortos por lo general se
utiliza, como ya se vio, el interés simple. En períodos largos, sin embargo, se utilizará
casi exclusivamente el interés compuesto.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 49
Objetivo de la unidad didáctica II:
Aplicar los conceptos básicos y fórmulas de interés compuesto, para el cálculo del
monto y valor presente de una deuda de manera responsable; y, mediante el análisis
profesional se dará solución al nivel de endeudamiento por parte de las empresas.
Organizador Grafico de la Unidad II:
Actividades de Aprendizaje de la Unidad Didáctica II:
Actividad de Aprendizaje I de la Unidad Didáctica II:
Introducción y conceptos básicos
En el interés simple el capital original sobre el que se calculan los intereses permanece
sin variación alguna durante todo el tiempo que dura la operación. En el interés
compuesto, en cambio, los intereses que se generan se suman al capital original en
periodos establecidos y, a su vez, van a generar un nuevo interés adicional en el
siguiente lapso.
En este caso se dice que el interés se capitaliza y que se está en presencia de una
operación de interés compuesto.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 50
En estas operaciones, el capital no es constante a través del tiempo, pues aumenta al
final de cada periodo por la adición del interés ganado de acuerdo con la tasa
convenida.
Período de capitalización. - el periodo de capitalización lo podemos definir como el
número de veces que el capital se capitaliza, ya que este puede ser convertido anual,
semestral, trimestral o mensual.
Por ejemplo, podemos citar: ¿Cuál es el período de conversión de un depósito que
gana el 6% de interés capitalizable semestralmente?
Para este la convertibilidad está dada semestralmente lo que implica considerar que
durante un año existen 2 semestres, por lo tanto:
Un año 12 meses
Un semestre 6 meses= = 2
En este ejemplo el período de conversión es de 2
Tasa de interés compuesto. - La tasa de interés compuesto se diferencia de la simple
puesto que en esta sufre una conversión de acuerdo al período de convertibilidad o
conversión, cabe destacar que por lo general la tasa está dada anualmente y
dependiendo del acuerdo entre las partes puede ser considerada mensual, trimestral,
etc. En el caso que no se indique alguna capitalización, se entiende que ésta es anual.
Es muy importante que, para la solución de cualquier problema de interés compuesto,
el interés anual sea convertido a la tasa que corresponda de acuerdo con el periodo
de capitalización que se establezca; si el interés se capitaliza mensualmente el interés
anual debe transformarse en interés mensual; si es trimestralmente, a interés
trimestral, etcétera.
El periodo de capitalización y la tasa de interés compuesto siempre deben ser
equivalentes
NOTA IMPORTANTE: Para la solución de cualquier problema de interés compuesto, el interés anual sea convertido a la tasa que corresponda de acuerdo con el periodo de capitalización que se establezca; si el interés se capitaliza mensualmente el interés anual debe transformarse en interés mensual; si es trimestralmente, a interés trimestral, etcétera.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 51
Ejemplo 10:
Un depósito de $ 20000 a 10 años. La tasa de interés es la misma en ambos casos:
12% anual. En el interés simple éste no se capitaliza, en tanto que el interés
compuesto lo hace cada año.
0 20.000,00 20.000,00
1 22.400,00 22.400,00
2 24.800,00 25.088,00
3 27.200,00 28.098,56
4 29.600,00 31.470,39
5 32.000,00 35.246,83
6 34.400,00 39.476,45
7 36.800,00 44.213,63
8 39.200,00 49.519,26
9 41.600,00 55.461,58
10 44.000,00 62.116,96
Monto a interes
simple S= C(1 +in)
Monto a interes
compuesto S= C(1+i)nAño
Como podemos observar en el interés simple el valor del interés es constante,
mientras que el valor del interés compuesto varía conforme van pasando los periodos.
Ejercicios resueltos
a) Una cierta cantidad de dinero es invertida por 5 años 4 meses, al 8% convertible
trimestralmente. Hallar la tasa de interés por período de conversión y el número
de períodos.
Un año 12 meses
Un trimestre 3 meses= = 4
Por lo tanto, i= (0.08/4) ==> 0.02 y n= {(5*4) +4} ==> 24 períodos
b) Una cierta cantidad de dinero es invertida del 10 de octubre del 2011 al 10 de
enero del 2018, al 10% convertible cuatrimestralmente. Hallar la tasa de interés
por período de conversión y el número de períodos.
Un año 12 meses
Un cuatrimestre 4 meses= = 3
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 52
Dìa Mes Año
10 13 2017
10 10 2011
0 3 6
Nota:
En este caso le pedimos un año al 2018,
por lo que en los meses sube a 13 y en a
ño queda 2017, de lo contrario no podrìa
mos restar.
Calculo de tiempo aproximado
Por lo tanto, i= (0.10/3) ==> 0.033333333 y n= {(6*3) +3} ==> 21 períodos.
Ejercicios propuestos
1. ¿Cuál es la tasa de interés por periodo de:
a) 30% anual capitalizable mensualmente?
b) 16% anual capitalizable trimestralmente?
c) 2% trimestral?
d) 15% anual?
e) 18% anual capitalizable semestralmente?
f) 18% anual capitalizable mensualmente?
g) 0.5% mensual?
Respuestas: a) 0.025, b) 0.04, c) 0.005, d) 0.15, e) 0.09, f) 0.015, g) 0.000416667
2. ¿Cuál es la frecuencia de conversión de los ejemplos del problema anterior?
Respuestas: a) 12, b) 4, c) 4, d) 1, e) 2, f) 12, g) 12
Orientaciones tarea: Para poder desarrollar el trabajo extraclase se debe guiar en las fórmulas iniciales y se procede al despeje para encontrar cada una de las incógnitas.
Por lo general, la tasa de interés se expresa en forma anual. Además, junto con ella se indica, si es necesario, su periodo de capitalización. Si el interés se expresa sin mención alguna respecto de su capitalización, se entiende que ésta es anual.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 53
Actividad de Aprendizaje II de la Unidad Didáctica II:
Monto
El monto compuesto es aquel valor que se obtiene del resultado de ir sumando al
capital original el interés compuesto que se obtiene en cada uno de los períodos, para
calcular el monto se aplica la siguiente formula:
S= C (1+i)n
Ejemplo 10:
Se depositan $ 5000 en un banco a una tasa de interés de 8% anual capitalizable
trimestralmente. ¿Cuál será el monto acumulado en 3 años?
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 54
En primer lugar, se debe convertir tanto el tiempo como la tasa de interés al período
de conversión establecido que para este caso es trimestralmente.
Para calcular la tasa de interés mensual, se divide la tasa anual entre la frecuencia de
conversión:
0.08
4
i= 0.02
i=
i=
Tasa de interes anual
Frecuencia de conversion
Mientras que, para determinar n, se multiplica el lapso en años por la frecuencia de
conversión:
Tabla de datos:
Solución
C= 5000 S= C (1 + i)n
%= 8% S= 5000 (1 + 0.02)12
i= 0.08/4 = 0.02 S= 5000 (1.02)12
t= 3 años S= 5000 (1.268241795)
n= 12 (3 x 4) S= 6,341.21
I= $ 1,341.21 (6.341.21 - 5000)
S=? $ 6,341.21
Ejercicios resueltos
El monto compuesto será el que se obtenga al
añadir al capital original el interés compuesto
generado, y se determinará utilizando la fórmula
M = C(1 + i)n
donde i = tasa de interés por periodo
y n = número de periodos de capitalización.
n= Tiempo x Frecuencia de conversion
n= 3 x 4
n= 12
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 55
a) Se invierten $ 2000 durante 6 años al 9% convertible cuatrimestralmente. ¿Cuál
será el interés compuesto?
Tabla de datos: Solución
C= 2000 S= C (1 + i)n
%= 9% S= 2000 (1 + 0.03)18
i= 0.09/3 = 0.03 S= 2000 (1.03)18
t= 6 años S= 2000 (1.702433061)
n= 18 (6 x 3) S= 3,404.87
I=? $ 1,404.87 (3,404.87 - 2000)
S= $ 3,404.87
b) El 20 de marzo del 2001, se invirtieron $ 50 en un fondo que pagaba el 10%
convertible mensualmente. ¿Cuál era el importe del fondo al 20 de Septiembre
del 2017?
Tabla de datos: Solución
C= 50 S= C (1 + i)n
%= 10% S= 50 (1 + 0.008333333)198
i= 0.10/12 = 0.008333333 S= 50 (1.008333333)198
t= 16 años y medio S= 50 (5.171500907)
n= 198 {(16 x 12) + 6} S= 258.58
I= $ 208.58 (258.58 - 50)
S=? $ 258.58
Ejercicios propuestos
1. Hallar el monto compuesto de $ 100 al 5% por:
a. 10 años,
b. 20 años.
c. 30 años.
Orientaciones tarea: Para poder desarrollar el trabajo extraclase se debe guiar en las fórmulas iniciales y se procede al despeje para encontrar cada una de las incógnitas.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 56
En forma aproximada ¿cuándo el monto compuesto es el doble del capital
original?
Respuestas. (a) $ 169.89, (b) $ 265.33, (c) $ 432.19
2. Determine el interés que gana en un año un depósito de $1000 en:
a) Una cuenta de ahorros que paga 20% de interés anual compuesto
semestralmente.
b) Una cuenta de valores que paga 20% de interés anual convertible
trimestralmente.
c) Una cuenta de valores que paga 20% de interés anual pagadero
mensualmente.
Respuestas. (a) $1,210, (b) $ 1,215.51, (c) $ 1,219.39
Actividad de Aprendizaje III de la Unidad Didáctica II:
Tasa nominal, tasa efectiva y tasa equivalente
Se dice que dos tasas anuales de interés con diferentes períodos de conversión son
equivalentes su producen el mismo compuesto al final de un año.
Cuando el interés es convertible más de una vez en el año, la tasa anual dada se
conoce como tasa nominal, mientras que la tasa de interés efectivamente ganada en
un año se le conoce como tasa efectiva anual.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 57
Ejemplo 11:
¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de un depósito bancario de $ 1000
pactado a 18% de interés anual convertible mensualmente?
Tabla de datos: Solución
C= 1000 S= C (1 + i)n
%= 18% S= 1000 (1 + 0.015)12
i= 0.18/12 = 0.015 S= 1000 (1.015)12
t= 1 año S= 1000 (1.195618171)
n= 12 (1 x 12) S= 1,195.62
I= $ 195.62 (1,195.62 – 1,000.00)
S=? $ 1,195.62
Por lo tanto, a tasa equivalente a una tasa anual de 18% convertible mensualmente
es de 19.56% convertible anualmente.
Otra manera de calcular la tasa equivalente es la siguiente: sea i la tasa anual efectiva
de interés, j la tasa de interés anual nominal y m el número de periodos de
capitalización al año, lo que establece que ambas tasas son equivalentes si producen
el mismo interés al cabo de un año.
Por lo tanto, C (1 + i) = C (1 + j/m)m
Lo que nos da como resultado la siguiente formula.
(1 + i) = (1 + j/m)m
i = (1 + j/m) m – 1
Para ejemplarizar tomamos los datos del ejercicio anterior.
i = (1 + j/m)m – 1
i = (1 + 0.015)12 – 1
i = (1.015)12 – 1
i = 1.195618 – 1
I
C
195.62
1000
i= 0.1956
i=
i=
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 58
i = 0.195618
i= 19.56 %
Ejercicios resueltos
1. ¿Cuál es la tasa efectiva que se paga por un préstamo bancario de $250000
que se pactó a 16% de interés anual convertible trimestralmente?
Solución
i = (1 + j/m)m – 1
i = (1 + 0.04)4 – 1
i = (1.04)4 – 1
i = 1.169859 – 1
i = 0.169859
i= 16.98 %
2. Hallar la tasa efectiva i equivalente a j= 0.0525 convertible trimestralmente en
un año.
Solución
i = (1 + j/m)m – 1
i = (1 + 0.013125)4 – 1
i = (1.013125)4 – 1
i = 1.053542 – 1
i = 0.053542
i= 5.35 %
Cuando se trabaja con interés compuesto, es de
importancia fundamental que la tasa de interés
que se maneje sea exactamente la del periodo de
capitalización establecido. Las tasas de interés se
expresan comúnmente en forma anual que indica,
cuando es necesario, sus periodos de
capitalización.
Orientaciones tarea: Para poder desarrollar el trabajo extraclase se debe guiar en las fórmulas iniciales y se procede al despeje para encontrar cada una de las incógnitas.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 59
Ejercicios propuestos
Hallar la tasa nominal convertible:
a) Anualmente es equivalente al 6% convertible trimestralmente
b) Trimestralmente equivalente al 5% convertible semestralmente.
c) Mensualmente equivalente al 5% convertible semestralmente.
Actividad de Aprendizaje IV de la Unidad Didáctica II:
Valor actual o presente.
Al igual que en interés simple hay casos en los que se conoce el valor del monto a
cancelar pero no el valor inicial del crédito a una tasa determinada y a un tiempo
establecido, a ese valor no conocido se le denomina valor presente o valor actual,
para ello se emplea la fórmula del monto S = C (1 + i)n y si despejamos C la fórmula
para calcular el valor presente es:
C = S (1 + i)-n
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 60
Ejemplo 12:
¿Cuánto debe depositarse en el banco si se desea tener un monto de $ 50000 dentro
de 3 años y la tasa de interés es de 20% anual convertible semestralmente?
Tabla de datos: Solución
C= ? $ 28,223.70 C = S (1 + i)-n
%= 20% C= 50000 (1 + 0.10)-6
i= 0.20/2 = 0.10 C= 50000 (1.10)-6
t= 3 años C= 50000 (0.56447393)
n= 6 (3 x 2) C= 28,223.70
I= $ 21,776.30 (50000 – 28,223.70)
S= $ 50000
Ejercicios resueltos
1. Juan Marcet desea adquirir una casa con valor de $ 500000. Le pidieron que
entregue 50% de anticipo y 50% en un plazo de dos años y medio, al término
de la construcción y entrega del inmueble. ¿Cuánto dinero debe depositar en
el banco en este momento para poder garantizar la liquidación de su adeudo,
si la tasa de interés vigente es de 5% anual capitalizable trimestralmente?
Juan Marcet paga en este momento $ 250000 (50% de la operación), y debe
pagar otro tanto en un plazo de dos años y medio, como se aprecia en la
siguiente gráfica:
El valor actual a interés compuesto de una
deuda que vence en el futuro, es lo que se
adeuda al momento en que se calcula, es decir
no incluye los intereses a vencer en el futuro. El
monto es el valor futuro conocido cuyo valor
actual se desea hallar. Es decir, el monto es lo
que pagaré al vencimiento, por concepto de
capital más intereses.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 61
250000
0 1 2 2 1/2
250000
Tabla de datos: Solución
C=? $ 220,795.23 C = S (1 + i)-n
%= 5% C= 250000 (1 + 0.0125)-10
i= 0.05/4 = 0.0125 C= 250000 (1.0125)-10
t= 2 años y medio C= 250000 (0.883180926)
n= 10 (2.5 x 4) C= 220,795.23
I= $ 29,204.77 (250000 – 220,795.23)
S= $ 250000
2. Una compañía minera ha descubierto una veta de manganeso en un país
latinoamericano y debe decidir la conveniencia o inconveniencia de su
explotación. A fi n de poder beneficiar el mineral es necesario realizar una
inversión de $350 000. Sus analistas financieros estiman que la veta producirá
sólo durante 3 años y, de acuerdo con el precio vigente del metal, los ingresos
serían los siguientes: 1er. año 100000, 2o. año 200000 y 3er. año 300000. Si
la tasa de inflación promedio de los próximos tres años es de 40%, ¿resulta
rentable la inversión?
Tabla de datos: Solución
C=? 71,428.57 C = S (1 + i)-n
%= 40% C= 100000 (1 + 0.40)-1
i= 0.40 C= 100000 (1.40)-1
t= 1 año C= 100000 (0.714285714)
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 62
n= 1 C= 71,428.57
I= $ 28,571.43 (100000 – 71,428.57)
S= $ 100000
Tabla de datos: Solución
C=? 102,040.82 C = S (1 + i)-n
%= 40% C= 200000 (1 + 0.40)-2
i= 0.40 C= 200000 (1.40)-2
t= 2 años C= 200000 (0.510204081)
n= 2 C= 102,040.82
I= $ 97,959.18 (200000 – 102,040.82)
S= $ 200000
Tabla de datos: Solución
C=? 109,329.45 C = S (1 + i)-n
%= 40% C= 300000 (1 + 0.40)-3
i= 0.40 C= 300000 (1.40)-3
t= 3 años C= 300000 (0.364431486)
n= 3 C= 109,329.45
I= $ 190,670.55 (300000 – 109,329.45)
S= $ 300000
El valor presente total ($ 282,798.84) es la sumatoria de todos los valores actuales
calculados:
Primer año 71,428.57
Segundo año 102,040.82
Tercer año 109,329.45
282,798.84
Ejercicios propuestos
Hallar el valor presente de:
a) $ 1500 pagaderos en 10 años al 5%
b) $ 2000 pagaderos en 8 ½ años al 5% convertible semestralmente
c) $ 5000 pagaderos en 6 años al 4.8% convertible trimestralmente
d) $ 4000 pagaderos en 5 años 5 meses al 6% convertible semestralmente
Orientaciones tarea: Para poder desarrollar el trabajo extraclase se debe guiar en las fórmulas para calcular el monto o valor futuro a interés compuesto.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 63
e) $ 4000 pagaderos en 5 años 4 meses al 6% convertible trimestralmente
Respuestas: a) $ 920.87, b) $ 1314.39, c) $ 3755.20, d) $ 2903.96, $ 2904.13 e) $
2911.50, $ 2911.58
Actividad de Aprendizaje V de la Unidad Didáctica II:
Tiempo
Como ya se mencionó, la fórmula 3.3 puede utilizarse para resolver cualquier
problema de interés compuesto, pues en ella están involucradas todas las variables
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 64
que lo determinan: monto, capital, tiempo y tasa de interés; conociendo tres de ellas
se despeja y determina la cuarta.
long (S/C)
long (1 + i)n=
Ejemplo 13:
¿En cuánto tiempo se duplicará una inversión de $1000 si se considera una tasa de
interés del 36% anual convertible mensualmente?
Tabla de datos Solución
C= 1000 long (S/C)
%= 36% long (1 + i)
i= 0.03 (0.36/12)
t= ? 1 año y 11 meses y 11 dias long (2000 / 1000)
n= ? 23.45 long (1 + 0.03)
I= 1000
S= 2000
0.301029995
0.012837224
n= 23.45
n=
long 2
long (1.03)
n=
n=
n=
Se necesitan 23.45 meses para que el capital invertido se duplique dada una tasa de
3% mensual.
¿En cuánto tiempo se duplicará una inversión de $1000 si se considera una tasa de
interés del 24% anual también convertible mensualmente?
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 65
Tabla de datos Solución
C= 1000 long (S/C)
%= 24% long (1 + i)
i= 0.02 (0.24/12)
t= ? 2 años y 11 meses long (2000 / 1000)
n= ? 35 long (1 + 0.02)
I= 1000
S= 2000
0.301029995
0.008600172
n= 35
n=
long 2
long (1.02)
n=
n=
n=
Se necesitan 35 meses para que el capital invertido se duplique dada una tasa de 2%
mensual.
Ejercicios resueltos
a) ¿En qué tiempo un monto de $ 2500 será $ 3500 al 6% convertible
trimestralmente?
Tabla de datos Solución
C= 2500 long (S/C)
%= 6% long (1 + i)
i= 0.015 (0.06/4)
t= ? 5 años 2 meses y 216 dias long (3500 / 2500)
n= ? 22.60 long (1 + 0.015)
I= 1000
S= 3500
0.146128035
0.006466042
n= 22.60
n=
long 1.4
long (1.015)
n=
n=
n=
Tiempo equivalente y se indicó que especifica la
fecha en la cual pueden ser liquidadas con un
pago único dos o más deudas.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 66
b) ¿Qué día deberá invertir $10000 el matemático Gutiérrez para disponer de
$10512 el 11 de mayo? Suponga que la inversión genera intereses del 13%
compuesto por semanas.
Tabla de datos Solución
C= 10000 long (S/C)
%= 13% long (1 + i)
i= 0.0025 (0.13 / 52)
t= ? 140 dias long (10512 / 10000)
n= ? 20 long (1 + 0.0025)
I= 512
S= 10512
0.021685352
0.001084381
n= 20
n=
long 1.0512
long (1.0025)
n=
n=
n=
Ejercicios propuestos
¿Cuantos años se necesitarán para que:
a) $ 1500 aumenten al doble, al 6% convertible trimestralmente?
b) Un capital de $ 2500 se $ 6000 al 5% convertible semestralmente?
c) Un capital de $ 4000 se $ 5000 al 4% convertible mensualmente?
d) Un capital de $ 4000 se $ 7500 4.6% convertible trimestralmente?
Respuestas: a) 11.64, b) 17.73, c) 5.59, d) 13.74
Orientaciones tarea: Para poder desarrollar el trabajo extraclase se debe guiar en las fórmulas para calcular el monto o valor futuro a interés compuesto.
NOTA IMPORTANTE: Como se calculó el tiempo y tanto por ciento en semanas (52 semanas al año), para conocer la fecha exacta se multiplica el resultado por 7 días que tiene la semana y ese valor haciendo uso de la tabla de tiempo da como resultado que el préstamo debió realizarse 22 de diciembre del año anterior.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 67
Actividad de Aprendizaje VI de la Unidad Didáctica II:
Tasa de interés
Las tasas de interés compuesto no son proporcionales exactamente en el tiempo.
Para determinar la tasa de interés conociendo las otras variables mediante la
aplicación de la siguiente fórmula:
𝒊 = (𝑺
𝑪)
𝟏/𝒏
− 𝟏
Ejemplo 14:
¿A qué tasa de interés se deben depositar $ 15000 para disponer de $ 50000 en un
plazo de 5 años? Considere que los intereses se capitalizan:
a) Semestralmente
𝒊 = (𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎)
𝟏/𝟏𝟎
− 𝟏
i= (3.333333333)0.10 -1
i= 1.127944873 – 1
i= 0.127944873
Dada una tasa de 12.79% semestral (25.58% anual nominal), $15 000 se convertirán
en $ 50000 en 5 años.
b) Trimestralmente
𝒊 = (𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎)
𝟏/𝟐𝟎
− 𝟏
i= (3.333333333)0.05 -1
i= 1.062047491 – 1
i= 0.06204749
Si la frecuencia de conversión se incrementa, la tasa anual nominal requerida
disminuye a 24.8% (0.06204749 × 4 = 0.24818996).
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 68
c) Mensualmente
𝒊 = (𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎)
𝟏/𝟔𝟎
− 𝟏
i= (3.333333333)0.016666666 -1
i= 1.020268893 – 1
i= 0.020268893
Si la frecuencia de conversión es mensual, la tasa requerida es de 2.03% y la tasa
anual disminuye a 24.32%.
Ejercicios resueltos
¿Qué tasa de interés nominal ha ganado un capital de $ 20000 que se ha
incrementado a $ 50000 en 3 años, si dicho interés se capitaliza:
a) Mensualmente?
𝒊 = (𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎)
𝟏/𝟑𝟔
− 𝟏
i= (2.5)0.027777777 -1
i= 1.025779201 – 1
i= 0.025779201
Si la frecuencia de conversión es mensual, la tasa requerida es de 2.58% y la tasa
anual disminuye a 30.96%.
b) Trimestralmente?
𝒊 = (𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎)
𝟏/𝟏𝟐
− 𝟏
i= (2.5)0.083333333 -1
La tasa así expresada recibe el nombre de tasa
nominal =Jm, donde J es la tasa nominal anual
y m es el número de veces que se capitaliza
durante el año (frecuencia de conversión), y
debe distinguirse de la tasa efectiva por
periodo, i, que expresa el interés efectivo
generado (puede ser mensual, semestral,
anual, etc.). Se dice que dos tasas son
equivalentes cuando producen el mismo
interés efectivo en un periodo determinado.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 69
i= 1.079348438 – 1
i= 0.079348438
Si la frecuencia de conversión es trimestral, la tasa requerida es de 7.93% y la tasa
anual aumenta a 31.72%.
c) Semestralmente?
𝒊 = (𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎)
𝟏/𝟔
− 𝟏
i= (2.5)0.166666666 -1
i= 1.164993051 – 1
i= 0.16499305
Si la frecuencia de conversión es semestral, la tasa requerida es de 16.50% y la tasa
anual aumenta a 33%.
d) Anualmente?
𝒊 = (𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎)
𝟏/𝟏
− 𝟏
i= (2.5)1 -1
i= 2.5 – 1
i= 1.5
Si la frecuencia de conversión es anual, la tasa requerida es de 150%.
Ejercicios propuestos
¿A qué tasa de interés se deben depositar $ 2000 para disponer de $ 6000
en un plazo de 4 años? Considere que los intereses se capitalizan:
a) Cuatrimestralmente
b) Bimensualmente
c) Mensualmente
d) Semestralmente
Respuestas: a) 28.76%, b) 28.10%. c) 27.78% d) 29.44
Orientaciones tarea: Para poder desarrollar el trabajo extraclase se debe guiar en las fórmulas para calcular el monto o valor futuro a interés compuesto.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 70
Actividad de Aprendizaje VII de la Unidad Didáctica II:
Ecuaciones de valores equivalentes
Una ecuación de valor no es otra cosa que igualar a una fecha focal establecida cada
una de las obligaciones contraídas, de esta manera podemos decir que cuanto se trata
con interés simple dos conjuntos de obligaciones que son equivalentes en una cierta
fecha pueden no serlo en otra distinta. En interés compuesto, dos conjuntos de
obligaciones que son equivalentes en una fecha también lo son el cualquier otra.
Ejemplo 15:
Rafael Nadal debe a Rogger Federer $ 10000 pagaderos en 2 años y $ 30000
pagaderos en 5 años. Acuerdan que Nadal liquide sus deudas, mediante un pago
único al final de 3 años sobre la base de un rendimiento de 5% convertible
trimestralmente.
0
10000 30000
1 2 X 4 5
Solución: Designemos con X el pago requerido. Tomando el final del tercer año como
fecha focal, la deuda de $ 10000 está vencida en un año y su valor es 10000 (1.0125)4,
la deuda de $ 30000 vence en dos años y su valor es 30000 (1.0125)-8, mientras que
el valor del pago X es X en la fecha local. Igualando la suma de los valores de las
deudas con el valor del pago único en la fecha focal tenemos.
X= C (1 + i)n + S (1 + i)-n
X= 10000 (1.0125)4 + 30000 (1.0125)-8
X= 10000 (1.050945337) + 30000 (0.905398446)
X= 10,509.45 + 27,161.95
X= 37,671.40
Ejercicios resueltos
Una ecuación de valores equivalentes es la que se obtiene al igualar en una fecha de comparación o fecha focal dos flujos distintos de efectivo. Observe que se habla de dos flujos de efectivo y no de dos cantidades, pues un flujo de efectivo puede estar constituido por una o más cantidades que se pagan o se reciben en distintos momentos del tiempo.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 71
Para comprar un automóvil se suscriben tres documentos de $ 15000 a pagar a 30,
60 y 90 días. Se decide liquidar la deuda con dos pagos iguales a 30 y 60 días
considerando una tasa de interés de 1.5% mensual. ¿Cuál es el importe de cada
pago?
0
15000
X X
31 2
15000 15000
X + X (1 + 0.015)-1 = 15000 + 15000 (1 + 0.015)-1 + 15000 (1 + 0.015)-2
X + X (1.015)-1 = 15000 + 15000 (1.015)-1 + 15000 (1.015)-2
X + X (0.985221674) = 15000 + 15000 (0.985221674) + 15000 (0.970661748)
X + 0.985221674X = 15000 + 14,778.32 + 14,559.93
1.985221674X = 44,338.25
44338.25
1.985221674X=
X = 22,334.16
Se deben pagar dos abonos de $ 22,334.16 para saldar la deuda.
Se decide pagar la compra de una maquinaria con valor de $ 80000 en dos pagos de
$ 40000 a 6 meses y un año, más intereses calculados a 20% de interés anual
convertible semestralmente. Luego del transcurso de un trimestre se renegocia la
compra y se determina pagarla mediante tres pagos trimestrales: el primero por $
15000, el segundo por $ 25000 y el tercero por la diferencia, considerando en este
segundo flujo un interés de 24% convertible trimestralmente. ¿Cuál es el importe del
último pago?
Solución: Primeramente, se debe de calcular el monto de los pagos requeridos
tomando en consideración la convertibilidad, así:
Primer pago Segundo pago
S= C (1 + i)n S= C (1 + i)n
S= 40000 (1 + 0.10)1 S= 40000 (1 + 0.10)2
S= 40000 (1.10)1 S= 40000 (1.10)2
S= 40000 (1.10) S= 40000 (1.21)
S= $ 44000 S= $ 48400
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 72
48400
4
X
0
44000
15000 25000
31 2
X+15000 (1 + 0.06)2+ 25000 (1 + 0.06)1 = 44000 (1 + 0.06)1 + 48400 (1 + 0.06)-1
X + 15000 (1.06)2 + 25000 (1.06)1 = 44000 (1.06)1 + 48400 (1.06)-1
X + 15000 (1.1236) + 25000 (1.06) = 44000 (1.06) + 48400 (0.88999644)
X + 16854 + 26500 = 46640 + 43,075.83
X + 43354 = 86715.83
X = 86715.83 - 43354
X = 46,361.83
La operación se liquida con el pago de $ 46,361.83
Ejercicios propuestos
a) Luciano Figueroa debe $ 3000 con vencimiento en 2 años sin intereses; y $
2000 con intereses al 4% convertible trimestralmente, pagaderos en 6 años.
Suponiendo un rendimiento del 5% convertible semestralmente, ¿Cuál sería
el pago único que tiene que hacer dentro de 4 años para liquidar sus
deudas?
b) Rocío Jurado obtiene un préstamo de $ 5000 con intereses al 5%
convertible semestralmente. Acepta pagar $ 1000 dentro de un año, $ 2000
en 2 años y el saldo en 3 años. Hallar el pago final.
Orientaciones tarea: Para poder desarrollar el trabajo extraclase se debe guiar en el procedimiento para resolver las ecuaciones de valor a interés compuesto.
NOTA IMPORTANTE: Para resolver problemas de este tipo, se usan gráficas (de tiempo valor) en las que se colocan las fechas de vencimiento, las obligaciones originales y de pagos, respectivamente. Las ecuaciones de valor se representan con la siguiente ecuación:
Ʃ deudas = Ʃ pagos
Ʃ deudas = Ʃ pagos
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 73
c) Suponiendo una tasa efectiva del 4%, ¿con que pagos iguales X al final de
un año y al final de 3 años, es posible reemplazar las siguientes
obligaciones: $ 2000 con vencimiento en 3 años sin intereses, y $ 4000 con
intereses al 4% convertible semestralmente con vencimiento en 6 años?
d) José José tiene una deuda de $ 500 pagaderos en 2 años y otra de $ 750
pagaderos en 6 años se van a liquidar mediante un pago único dentro de 4
años. Hallar el importe del pago suponiendo un rendimiento del 4%
convertible trimestralmente.
e) Roberto Cabañas debe $ 1000 pagaderos dentro de 3 años. Si hace el de
hoy un pago de $ 400. ¿Cuál será el importe que tendría que hacer en 2
años para liquidar su deuda suponiendo un rendimiento del 5% convertible
semestralmente?
Respuestas: a) $ 5,612.08, b) $ 2,593.40, c) $ 3,127.33, d) $ 1,234.04, e) $ 510.29
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 74
Actividad de Aprendizaje VIII de la Unidad Didáctica II:
Tiempo equivalente
El tiempo equivalente es el tiempo promedio de dos o más deudas. La fecha en la cual
las obligaciones, con vencimiento en fechas diferentes, pueden liquidarse mediante
un pago único igual a la suma de las distintas deudas, se conoce como la fecha
promedio de las deudas.
Ejemplo 16:
¿Cuál es el tiempo equivalente para el pago de unas deudas de $1000 con
vencimiento de 1 año y $3000 con vencimiento en 2 años suponiendo un rendimiento
de 4% convertible trimestralmente?
5 6 7 8
30001000
40 31 2
4000 (1 + 0.01)-4x = 1000 (1 + 0.01)-4 + 3000 (1 + 0.01)-8
4000 (1.01)-4x = 1000 (1.01)-4 + 3000 (1.01)-8
(1.01)-4x = 1000 (0.960980344) + 3000 (0.923483222)
4000
(1.01)-4x = 960.98 + 2770.45
4000
(1.01)-4x = 3,731.43
4000
(1.01)-4x = 0.9328575
-4X log (1.01) = log 0.9328575
X = log 0.9328575
-4 log 1.01
X = - 0.030184692
- 0.017285495
X = 1.75 años
Este resultado indica que, para liquidar la deuda con un pago único, se deberán
entregar $ 4000 transcurridos 1.75 años.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 75
Ejemplo 17:
Una compañía adeuda al banco $ 150000 con vencimiento a 2 trimestres y $ 250000
con vencimiento a 6 trimestres. Desea liquidar la deuda con un pago único. ¿Cuál es
el tiempo equivalente suponiendo un interés de 4.5% trimestral?
40
150000
31 2 5 6 7 8
250000
400000 (1 + 0.045)-x = 150000 (1 + 0.045)-2 + 250000 (1 + 0.045)-6
400000 (1.045)-x = 150000 (1.045)-2 + 250000 (1.045)-6
(1.045)-x = 150000 (0.915729951) + 250000 (0.767895738)
400000
(1.045)-x = 137359.49 + 191973.93
400000
(1.045)-x = 329733.42
400000
(1.045)-x = 0.82433355
-X log (1.045) = log 0.82433355
X = log 0.82433355
- log 1.045
X = - 0.083897024
- 0.01911629
X = 4.39 trimestres
Este resultado indica que, para liquidar la deuda con un pago único, se deberán
entregar $ 400000 transcurridos 4.39 trimestres
Las ecuaciones de valores equivalentes, que
se presentaron en el capítulo 2, se aplicaron en
éste a la resolución de problemas en los que es
necesario igualar dos flujos de efectivo
(ingresos y egresos) utilizando interés
compuesto. A diferencia del interés simple, se
demostró que el resultado será el mismo sin
importar la fecha focal que se seleccione para
igualar los flujos.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 76
Unidad didáctica III:
Título de la Unidad Didáctica III: Anualidades simples, ciertas, vencidas e
inmediatas
Introducción de la Unidad Didáctica III: En préstamos, como en adquisiciones de
bienes, generalmente los pagos que se efectúan son iguales en intervalos de tiempo
y todo indica que la medida común es un año, a menos que se indique lo contrario. A
veces sucede que son quincenales, mensuales, bimestrales, trimestrales, tanto para
tasas como para los pagos en el tiempo; cuando esto pasa, se habla de convertibilidad
de las tasas, cuando coincide tiempo y tasa y el pago de la deuda, o bien cuando
todos difieren. El cobro quincenal del sueldo, el pago mensual de la renta de la casa
o del departamento, los abonos mensuales para pagar un automóvil, el pago anual de
la prima de seguro, los dividendos semestrales sobre las acciones, etc. Es así que
hablamos de anualidades.
Objetivo de la unidad didáctica III:
Calcular el monto y valor presente de anualidades ciertas ordinarias, que permita un
análisis responsable de los fondos con los que cuenta una empresa, para la oportuna
toma de decisiones.
Organizador Grafico de la Unidad III:
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 77
Actividades de Aprendizaje de la Unidad Didáctica III:
Actividad de Aprendizaje I de la Unidad Didáctica III:
Introducción y terminología
Una anualidad se define como una serie de pagos generalmente iguales que se
realizan a intervalos de tiempo iguales. En su sentido más amplio, el concepto
anualidad se usa para indicar el pago o depósito de una suma fija a intervalos
regulares de tiempo, periodos que pueden ser mensuales, bimestrales, trimestrales,
cuatrimestrales, semestrales, etcétera. Algunos ejemplos de anualidades son:
Los pagos mensuales por renta.
El cobro quincenal o semanal de sueldos.
Los abonos mensuales a una cuenta de crédito.
Los pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida
Se conoce como intervalo o período de pago al tiempo que transcurre entre un pago
y otro, y se denomina plazo de una anualidad al tiempo que pasa entre el inicio del
primer periodo de pago y el final del último. Renta es el nombre que se da al pago
periódico que se hace. También hay ocasiones en las que se habla de anualidades
que, o no tienen pagos iguales, o no se realizan todos los pagos en intervalos iguales.
Nomenclatura
C
Representa el capital inicial, llamado también principal. Suele
representarse también por las letras A o P (valor presente).
S
Representa el capital final, llamado también monto o dinero incrementado.
Es el valor futuro de C.
R Es la renta, depósito o pago periódico.
% Es la tasa nominal de interés calculada para un periodo de un año. Se
expresa en tanto por uno o tanto por ciento.
i
Es la tasa de interés por periodo de tiempo y representa el costo o
rendimiento por periodo de capitalización de un capital ya sea producto de
un préstamo una cantidad que se invierte. Es el cociente de dividir la tasa
nominal entre la frecuencia de conversión.
t Es el tiempo que permanece prestado o invertido un capital.
n Es el número de periodos de que consta una operación financiera a
interés compuesto.
Finalmente, para estudiar las anualidades, tomando en cuenta su clasificación, en
cada caso, se deberán resolver los problemas siguientes:
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 78
1. Determinar el monto (M) o valor actual (C) de una serie de anualidades.
2. Establecer el valor de la anualidad (renta = R) en la etapa del monto o del valor
actual.
3. Precisar la tasa (i) en función del monto o del valor actual.
4. Determinar el tiempo (n) en los problemas de monto y de valor actual (más el
tiempo diferido, cuando se trate de esta clase de anualidades).
Actividad de Aprendizaje II de la Unidad Didáctica III:
NOTA IMPORTANTE: Es muy importante señalar que lo mismo que en el interés compuesto, en donde las variables n (números de pagos) e i (tasa de interés), se expresan en la misma medida de tiempo, en las anualidades se agrega una variable, la renta (R), que debe estar en la misma medida de tiempo.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 79
Tipos de anualidades
A las anualidades las podemos clasificar según los siguientes criterios:
CRITERIO TIPO
a) Intereses Simples ---------- Generales
b) Tiempo Ciertas ---------- Contingentes
c) Pagos Ordinarias -------- Anticipadas
d) Iniciación Inmediatas ------- Diferidas
a) Tiempo. Este criterio de clasificación se refiere a las fechas de iniciación y de
terminación de las anualidades:
Anualidad cierta. Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Por
ejemplo, al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha en que se
debe realizar el primer pago, como la fecha para efectuar el último.
Anualidad contingente. La fecha del primer pago, la fecha del último
pago, o ambas, no se fijan de antemano; depende de algún hecho que
se sabe que ocurrirá, pero no se sabe cuándo. Un caso común de
anualidad contingente son las rentas vitalicias que se otorgan a un
cónyuge tras la muerte del otro. El inicio de la renta se produce cuando
el cónyuge muere, pues se sabe que este morirá, pero no se sabe
cuándo.
b) Intereses. En este caso:
Anualidad simple. Cuando el periodo de pago coincide con el de
capitalización de los intereses. Un ejemplo muy simple seria el pago de
una renta mensual X con intereses del 1.8% mensuales.
Anualidad general. A diferencia de la anterior, el período de pago no
coincide con el período de capitalización: el pago de una renta semestral
con intereses de 30% anuales.
c) Pagos. De acuerdo con los pagos:
Anualidad vencida. También se la conoce como anualidad ordinaria y,
como su primer nombre lo indica, se trata de casos en los que los pagos
se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada período de pago.
Anualidad anticipada. Es aquellas en la que los pagos se realizan al
principio de cada período.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 80
d) Iniciación. De acuerdo con el momento en que se inicia:
Anualidad inmediata. Es el caso más común. La realización de los
cobros o pagos tiene lugar en el período que sigue inmediatamente a la
formalización del trato: hoy se compra a crédito un artículo que se va a
pagar en mensualidades, la primera de la cuales debe realizarse en ese
momento o en un mes después de adquirida la mercadería (anticipada
o vencida).
Anualidad diferida. Se pospone la realización de los cobros o pagos, el
día de hoy se compra un artículo a crédito, para pagar con abonos
mensuales, el primero de los cuales debe efectuarse 6 meses después
de adquirida la mercancía.
De acuerdo con las anteriores clasificaciones se pueden distinguir diversos tipos de
anualidades:
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 81
VencidasInmediatas
diferidas
Ciertas
AnticipadasInmediatas
diferidas
Simples
VencidasInmediatas
diferidas
Contingentes
AnticipadasInmediatas
diferidas
Anualidades
VencidasInmediatas
diferidas
Ciertas
AnticipadasInmediatas
diferidas
Generales
VencidasInmediatas
diferidas
Contingentes
AnticipadasInmediatas
diferidas
Actividad de Aprendizaje III de la Unidad Didáctica III:
NOTA IMPORTANTE: De estos 16 tipos de anualidades, el más común es el de las simples, ciertas, vencidas e inmediatas que, por esta razón, se analizará en primer lugar en la sección siguiente.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 82
Monto
El monto de las anualidades ordinarias o vencidas es la suma de los montos de todas
y cada una de las rentas que se realizan hasta el momento de realizar la última.
Ejemplo 18:
Una persona decide depositar $ 6,000.00 al fin de cada mes en una institución
financiera que le abonará intereses del 12% convertible mensualmente: el 1%
mensual durante 6 meses. Se pide calcular y conocer el monto que se llegue a
acumular al final del plazo indicado.
CONCEPTO CANTIDAD
Deposito al final del primer mes 6.000,00
Intereses por el segundo mes (6000 x 0.01) 60,00
Suma 6.060,00
Deposito al final del segundo mes 6.000,00
Monto al final del segundo mes 12.060,00
Intereses por el tercer mes (12060 x 0.01) 120,60
Deposito al final del tercer mes 6.000,00
Monto al final del tercer mes 18.180,60
Intereses por el cuarto mes (18180.60 x 0.01) 181,81
Deposito al final del cuarto mes 6.000,00
Monto al final del cuarto mes 24.362,41
Intereses por el quinto mes (24.362,41 x 0.01) 243,62
Deposito al final del quinto mes 6.000,00
Monto al final del quinto mes 30.606,03
Intereses por el sexto mes (30.606,03 x 0.01) 306,06
Deposito al final del sexto mes 6.000,00
Monto final (al termino del sexto mes) 36.912,09
Fórmula para calcular el monto futuro de una anualidad simple, cierta,
ordinaria
Se conoce la renta, la tasa nominal, la frecuencia de conversión y el plazo de tiempo,
y donde:
(1 + i)n - 1
iRS=
Tabla de datos
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 83
R= el pago periódico de una anualidad,
i= la tasa de interés por período de interés,
n= el número de intervalos de pago,
S= el monto de una anualidad,
A= el valor presente de una anualidad.
Ejemplo 19: Aplicando los datos del ejercicio anterior, obtendremos los siguientes
resultados.
Tabla de datos
R= 6000
i= 0.01 (0.12/12)
n= 6
S= ? 36,912.09 (1 + 0.01)6 – 1
0.01
(1.01)6 – 1
0.01
1.061520151 – 1
0.01
0,061520151
0,01
S= (6,1520151)
S=
Solución
6000
36,912.09
6000S=
S= 6000
S= 6000
S= 6000
RS= (1 + i)n – 1
i
Ejercicios resueltos
NOTA IMPORTANTE: Como podemos darnos cuenta el valor del monto coincide tanto aplicando la fórmula de anualidad, como la de interés compuesto en cualquiera de los casos siempre será el valor del monto igual, indistintamente de la fórmula que se aplique.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 84
Calcular el monto futuro de una serie de depósitos semestrales de $ 50,000.00 durante
2 años en una cuenta bancaria que rinde:
a) El 5% capitalizable cuatrimestralmente
Tabla de datos
R= 5000
%= 5%
i= 0.016666666 (0.05/3)
t= 2 años (1 + 0.016666666)6 – 1
n= 6 (2 x 3) 0.016666666
S= ? 31,278.13
(1.016666666)6 – 1
0.016666666
1.104260424 – 1
0.016666666
0.104260424
0.016666666
S= (6,255625714)
S=
Formula
5000
31,278.13
5000S=
S= 5000
S= 5000
S= 5000
RS= (1 + i)n – 1
i
b) El 6% capitalizable mensualmente
Tabla de datos
R= 5000
%= 6%
i= 0.005 (0.06/12)
t= 2 años (1 + 0.005)24
– 1
n= 24 (2 x 12) 0.005
S= ? 127,159.78
(1.005)24
– 1
0.005
1.127159776– 1
0.005
0.127159776
0.005
S= (25.43195524)
S=
Solución
5000
127,159.78
5000S=
S= 5000
S= 5000
S= 5000
RS= (1 + i)n – 1
i
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 85
Ejercicios propuestos
a) En los últimos 10 años, Rajoy ha depositado $ 500 al final de cada año
en una cuenta de ahorro, la cual paga el 3 ½ %. ¿Cuánto había en la
cuenta después de haber realizado el décimo pago?
b) El día de hoy, Francescoli compra una anualidad de $ 2500 anuales
durante 15 años, en una compañía de seguro que utiliza el 3% anual. Si
el primer pago vence en 1 año. ¿Cuál fue el costo de la anualidad?
c) Luis Felipe ahorra $ 600 cada medio año y los invierte al 3% convertible
semestralmente. Hallar el valor del importe de sus ahorros después de
10 años.
d) ¿Qué cantidad se acumularía en un semestre si se depositaran $100
000 al finalizar cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 6%
anual convertible mensualmente?
e) ¿Cuál es el monto de $20 000 semestrales depositados durante 4 años
y medio en una cuenta bancaria que rinde 12% capitalizable
semestralmente?
Respuestas: a) $ 5,865.70, b) $ 29,844.84, c) $ 13,874.20, d) $ 607,550.19, e) $
229,826.32
Una anualidad, se refiere a una serie de flujos
normalmente de un mismo monto y períodos
iguales. Pueden ser abonos o pagos y lo más
importante, no necesariamente deben ser de
periodicidad anual, sino mensual, quincenal,
bimestral etc.
Un ejemplo clásico de convenio es cuando
adquirimos un automóvil, aquí ya sabemos
cuándo principia y cuándo termina el plazo
que nos dan para liquidar nuestro auto.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 86
Actividad de Aprendizaje IV de la Unidad Didáctica III:
Valor actual
Cuando la época del cálculo coincide con la iniciación de la serie de pagos o rentas,
el valor equivalente de la serie es actual. El lapso que transcurre entre la fecha de la
entrega del valor actual y el vencimiento de la primera anualidad será igual a cada
periodo que separa a las demás rentas.
Ejemplo 20:
Se tienen seis pagarés con vencimientos escalonados en forma trimestral cada uno
de $ 5,000.00, y se quieren liquidar el día de hoy, aplicando una tasa del 5%
trimestralmente.
Numero de cuota Operación C= R (1 + i)-n
Resultado
Primera cuota C= 5000 (1 + 0.05)-1
4.761,90
Segunda cuota C= 5000 (1 + 0.05)-2
4.535,15
Tercera cuota C= 5000 (1 + 0.05)-3
4.319,19
Cuarta cuota C= 5000 (1 + 0.05)-4
4.113,51
Quinta cuota C= 5000 (1 + 0.05)-5
3.917,63
Sexta cuota C= 5000 (1 + 0.05)-6
3.731,08
VALOR ACTUAL DE LA DEUDA 25.378,46
Por lo tanto, ¿Qué cantidad habrá que invertir al 5% trimestralmente para tener
derecho a recibir seis rentas de $ 5.000,00 cada una? De acuerdo a la resolución
anterior, se sabe que el valor actual de la deuda es de $ 25.378,46. Comprobemos si
con el importe de seis pagos de $ 5,000.00 cada uno el deudor salda su cuenta.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 87
CONCEPTO CANTIDAD
Capital invertido 25.378,46
Intereses del primer trimestre (0.05) 1.268,92
Suma 26.647,38
Menos el pago de la primera cuota 5.000,00
Saldo al final del primer trimestre 21.647,38
Intereses sobre el saldo (0.06 1.082,37
Suma 22.729,75
Menos el pago de la segunda cuota 5.000,00
Saldo al final del segundo trimestre 17.729,75
Intereses sobre el saldo (0.06 886,49
Suma 18.616,24
Menos el pago de la tercera cuota 5.000,00
Saldo al final del tercer trimestre 13.616,24
Intereses sobre el saldo (0.06 680,81
Suma 14.297,05
Menos el pago de la cuarta cuota 5.000,00
Saldo al final del cuarto trimestre 9.297,05
Intereses sobre el saldo (0.06 464,85
Suma 9.761,90
Menos el pago de la quinta cuota 5.000,00
Saldo al final del quinto trimestre 4.761,90
Intereses sobre el saldo (0.06 238,10
Suma 5.000,00
Menos el pago de la sexta cuota 5.000,00
Fórmula para calcular el valor presente de una anualidad simple, cierta,
ordinaria
1 - (1 + i)-n
iRC=
NOTA IMPORTANTE: El valor presente o actual de las anualidades ordinarias se puede presentar en alguna de estas dos modalidades:
a) Como el descuento de una serie de anualidades, que vencen escalonadamente y están separadas por intervalos iguales de tiempo.
b) Como la determinación de un capital que, invertido a interés, proporciona una serie de rentas futuras.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 88
Ejercicios resueltos
a) Empleando los datos del ejercicio anterior, calcular su valor presente o valor
actual.
Tabla de datos
R= 5000
%= 5%
i= 0.05
n= 6 1 - (1 + 0.05)6
S= ? 25,378.46 0.05
1 - (1.05)6
0.05
1 - 0.746215396
0.05
0.253784603
0.05
(5.075692067)
C=
C=
Solución
5000
25,378.46
5000C=
C= 5000
C= 5000
C= 5000
RC= 1 - (1 + i)-n
i
b) ¿Cuál es el valor en efectivo de una anualidad de $ 2000 al final de cada 2
meses durante 3 años con un interés del 8% capitalizable bimestralmente?
Tabla de datos
R= 2000
%= 12%
i= 0.02 (0.12/6)
t= 3 años 1 - (1 + 0.02)-18
n= 18 (3 x 6) 0.02
S= ? 29,984.06
1 - (1.02)-18
0.02
1 - 0.700159375
0.02
0.299840625
0.02
(14.99203125)
C=
Solución
2000
29,984.06
2000C=
C= 2000
C= 2000
C= 2000
RC= 1 - (1 + i)-n
i
C=
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 89
Ejercicios propuestos
a) ¿Cuál es el valor actual de una renta trimestral de $ 4500 depositada al final
de cada uno de siete trimestres, si la tasa de interés es de 9% trimestral?
b) ¿Cuál es el valor en efectivo de una anualidad de $1000, que se pagan al
final de cada 3 meses durante 5 años, suponiendo un interés anual de 16%
convertible trimestralmente?
c) ¿Cuál es el valor actual de un refrigerador adquirido mediante 52 abonos
semanales “chiquititos”, vencidos, de $240? Considere un interés anual de
15% convertible semanalmente.
d) Hallar el valor presente de una anualidad de $ 100 al final de cada tres
meses durante 15 años, suponiendo un interés del 5% convertible
trimestralmente.
e) Hallar el valor presente de una anualidad de $ 500 trimestrales durante 8
años 9 meses, al 6% convertible trimestralmente.
Respuestas: a) $ 22,648.28, b) $ 13,590.33, c) $ 11,573.52, d) $ 4,203.46, e) $
13,537.80
Actividad de Aprendizaje V de la Unidad Didáctica III:
Literalmente, la palabra anualidad significa
“periodos de tiempo de un año”, en el campo de
las operaciones financieras tiene una definición
más amplia, ya que una anualidad estará
relacionada con periodos que no necesariamente
son anuales sino de cualquier magnitud:
semestres, meses, semanales o incluso diarios
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 90
Renta
Llamamos renta al valor que se cancela a intervalos iguales de pago. Para calcular la
renta de una anualidad simple, cierta, ordinaria, aplicamos las siguientes fórmulas
para calcular:
a) Si se conoce el capital inicial, la tasa de interés nominal o por periodo de
capitalización, la frecuencia de conversión y el plazo de tiempo o número de
periodos de capitalización:
Ci C
1 - ( 1+ i)-n
1 - ( 1+ i)-n
i
R= Ò R=
b) Si se conoce el monto futuro, la tasa de interés nominal o por periodo de
capitalización, la frecuencia de conversión y el plazo de tiempo o número de
periodos de capitalización:
Si S
( 1+ i)n
- 1 ( 1+ i)n - 1
i
R= Ò R=
Ejemplo 21:
¿Cuánto debe invertir el señor Wong al final de cada mes durante los próximos 10
años en un fondo que paga 10.5% convertible mensualmente con el objeto de
acumular $ 100000 al realizar el último depósito?
Aplicando ambas fórmulas tendremos los siguientes valores de R.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 91
Tabla de datos
R=? 474.35
%= 10.50%
i= 0.00875 (0.105/12)
t= 10 años
n= 120 (10 x 12)
S= 100000
R=
Solución
R=S
i
(1 + i)n - 1
R=(1 + 0.00875)
120 - 1
100000
R=100000
2.844629618 - 1
0.00875
R=100000
(1.00875)120
- 1
0.00875
0.00875
R=100000
1.844629618
0.00875
R=100000
210.8148135
474.35
Tabla de datos
R=? 474.35
%= 10.50%
i= 0.00875 (0.105/12)
t= 10 años R=
n= 120 (10 x 12)
S= 100000
R=
R=
Solución
R=Si
(1 + i)n - 1
100000 (0.00875)
474.35
R=875
1.844629618
(1 + 0.00875)120
- 1
R=875
2.844629618 - 1
875
(1.00875)120
- 1
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 92
Ejemplo 22:
Una persona adquiere hoy a crédito una computadora cuyo precio es de $ 19750 y
conviene en pagarla con 4 mensualidades vencidas. ¿Cuánto tendrá que pagar cada
mes si se le cobran 1.8% mensual de interés?
Tabla de datos
R=? 5,161.67
%= 1.8%
i= 0.018
t= 4 meses
n= 4
C= 19750
R=
Solución
R=C
i
1 - (1 + i)-n
R=1- (1 + 0.018)
-4
19750
R=19750
1- (1.018)-4
0.018
0.018
R=19750
1- 0.931126931
0.018
$ 5,161.67
R=19750
0.068873068
19750
0.018
R=3.826281604
NOTA IMPORTANTE: Como nos podemos dar cuenta mediante la aplicación de cualquiera de las dos fórmulas el valor de la cuota es igual, lo que implica que el Sr. Wong debe realizar 120 abonos de $ 474.35 para poder reunir $ 100000
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 93
Tabla de datos
R=? 5,161.67
%= 1.8%
i= 0.018
t= 4 meses
n= 4
C= 19750
R= $ 5,161.67
R=355.50
0.068873068
R=355.50
1- 0.931126931
R=1- (1 + 0.018)
-4
19750 (0.018)
R=355.50
1- (1.018)-4
Solución
R=Ci
1 - (1 + i)-n
Ejercicios resueltos
a) ¿Cuál es la renta mensual que se requiere para obtener $30,760.08 durante 6
meses si se invierte con el 12% capitalizable mensualmente?
NOTA IMPORTANTE: Mediante la aplicación de cualquiera de las dos fórmulas el resultado de la operación va a resultar igual por lo tanto el valor a cancelar cada mes será $ 5,161.67 para cancelar un monto de $ 19,750.00
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 94
Tabla de datos
R=? 5000
%= 12%
i= 0.01 (0.12/12)
t= 6 meses R=
n= 6
S= 30760.08
R=
R=
Solución
R=Si
(1 + i)n - 1
30,760.08 (0.01)
5000
R=307.60
0.061520151
(1 + 0.01)6 - 1
R=307.60
1.061520151 - 1
307.60
(1.01)6 - 1
b) Enzo Francescoli compra un auto usado en $ 13500 y acuerda pagar $ 2250
de cuota inicial y la diferencia en 18 abonos mensuales, el primero con
vencimiento en un mes. Si el concesionario carga el 12% convertible
mensualmente, ¿Cuál es el valor del abono mensual?
Tabla de datos
R=? 686.05
%= 12%
i= 0.01 (0.12/12)
t= 18 meses
n= 18
C= 11250
R= $ 686.05
R=11250
0.163982685
11250
0.01
R=16.39826858
0.01
R=11250
1- 0.836017314
0.01
R=1- (1 + 0.01)
-18
11250
R=11250
1- (1.01)-18
0.01
Solución
R=C
i
1 - (1 + i)-n
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 95
Problemas propuestos
a) Calcular los depósitos semestrales necesarios en una cuenta de ahorros
que paga el 8% con capitalización semestral, para obtener en 5 años un
capital de $ 20000.
b) Calcular los pagos por semestres vencido, necesarios para cancelar el
valor de $ 100.00 de una propiedad comprada a 8 años plazo con el
interés del 9% capitalizable semestralmente.
c) Un comerciante vende televisores en $ 6500 precio de contado. Para
promover sus ventas idea el siguiente plan de ventas a plazos con cargo
del 1% mensual de interés. Cuota inicial de $ 1200 y el saldo en 18
abonos mensuales. ¿Cuál es el valor de las mensualidades?
d) Para mantener en buen estado cierto puente es necesario repararlo cada
6 años con un costo de $ 85.000. El concejo del municipio al cual
pertenece el puente decide establecer una reserva anual para proveer
los fondos necesarios para las reparaciones futuras del puente. Si esta
reserva se deposita en una cuenta que abona el 8% de interés, hallar el
monto de la reserva anual.
Respuestas: a) 1,665.82, b) $ 8,901.54, c) $ 323.20, d) $ 11,586.81,
Al igual que en las anualidades vencidas, en algunos casos
se requiere conocer el valor de la renta para lo cual se
pueden utilizar las fórmulas para calcular el valor presente o
para el monto, dependiendo los datos con los que se cuente
(valor futuro o monto).
Una vez que se identifica, si se cuenta con el valor actual o
el monto de la anualidad, junto con el resto de los datos, se
sustituyen éstos en la fórmula correspondiente, se realizan
las operaciones que se puedan para simplificar la operación
y por último se despeja el valor de la renta.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 96
Actividad de Aprendizaje VI de la Unidad Didáctica III:
Plazo
El plazo o tiempo de una anualidad se calcula por medio del número de períodos de
pago n.
Fórmulas para calcular el tiempo o plazo en una anualidad simple, cierta,
ordinaria.
Para el cálculo en este tipo de anualidades se tiene que tener en consideración lo
siguiente:
a) Si se conoce el monto futuro, la renta, la tasa nominal o la tasa efectiva por
período y la frecuencia de conversión:
M
Ri + 1Ln { }
n=Ln (1 + i)
b) Si se conoce el capital inicial, la renta, la tasa nominal o la tasa efectiva por
período y la frecuencia de conversión:
C
Ri
1Ln
n=Ln (1 + i)
1 -
Ejemplo 23:
¿Cuántos pagos deben realizarse para llegar a acumular $ 30,760.08 si se depositan
$ 5,000.00 mensuales con una tasa de interés del 12% compuesto mensual?
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 97
Tabla de datos Solución
R= 5000 S
%= 12% R
i= 0.01 (0.12/12)
t= ? 6 meses
n= ? 6 30,760.08
C= 30,760.08 5000
n=
n=
n=
Ln
n=
Ln 1.06152016
0.025928246
0.004321374
n=0.004321374
6.152016 x
n=
n=
0.004321374
0.06152016 +1Ln
6
Ln (1.01)
Ln { 0.01 + 1 }Ln (1 + 0.01)
Ln { 0.01 + 1 }
i + 1{ }Ln (1 + i)
Ejemplo 24:
¿Cuántos pagos bimestrales vencidos de $ 1,550.00 se tendrían que hacer para
saldar una deuda pagadera hoy de $8,000.00 si el 1er. pago se realiza dentro de 2
meses y el interés es del 2.75% bimestral? Expresar el resultado en años, meses y
días.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 98
Tabla de datos Solución
R= 1,550.00
%= 2.75 % C
i= 0.0275 R
t= ? 11 meses 9 dias
n= ? 5.642592
C= 8,000.00
8000
1550
{1 - 5161290323 x 0.0275}
{1 - 0.141935483}
Ln
0.066480056
0.01178183
n=
Ln1
Ln (1.0275)n=
1
{1 - x i}Ln
n=
Ln1
{1 -
Ln (1 + i)
n=Ln (1 + 0.0275)
x 0.0275}
Ln1
n=0.01178183
Ln1
n=0.01178183
0.858064517
5.642592
n=
1.165.413.533
0.01178183n=
Hay ocasiones en las que es necesario determinar el número de
pagos o de depósitos que se requieren para cubrir una anualidad
anticipada. Al igual que con las anualidades vencidas, el número
de rentas se puede determinar utilizando las fórmulas para
calcular el monto o el valor actual, dependiendo de los datos con
los que se cuente.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 99
Ejercicios propuestos
a) ¿Cuántos pagos de $ 607.96 al final de mes tendría que hacer el
comprador de una lavadora que cuesta $8 500, si da $2 550 de enganche y
acuerda pagar 24% de interés capitalizable mensualmente sobre el saldo?
b) Una persona desea acumular $300 000. Para reunir esa cantidad decide
hacer depósitos trimestrales vencidos en un fondo de inversiones que rinde
12% anual convertible trimestralmente. Si deposita $5 000 cada fi n de
trimestre, ¿dentro de cuánto tiempo habrá acumulado la cantidad que
desea?
c) Pablo Neruda adquiere un auto de $ 3250 con una cuota inicial de $ 500.
Un mes después empezara una serie de pagos mensuales de $ 100 cada
uno. Si le cargan intereses de 12% convertible mensualmente. ¿Cuántos
pagos completos deberá hacer?
d) Al cumplir 45 años, Andrea depósito $ 1000 en un fondo que pago el 3 ½
%, y continúo haciendo depósitos similares cada año, el ultimo al cumplir
64 años. A partir de los 65 años Andrea desea realizar retiros anuales de $
2000. ¿Cuántos retiros podrá hacer?
Respuestas: a) 11, b) 105, c) 32, d) 19
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 100
Actividad de Aprendizaje VII de la Unidad Didáctica III:
Tasa de interés
Debido a que la tasa de interés se encuentra en el numerador y en el denominador de
las fórmulas de monto y valor actual de una anualidad simple, cierta, ordinaria, no se
puede despejar por lo que se usa para su cálculo, el procedimiento llamado de
prueba y error a base de iteraciones sucesivas.
También se puede utilizar una calculadora programable, calculadora financiera o una
computadora con software financiero.
a) Si se conoce el capital inicial, la renta, la frecuencia de conversión y el plazo de
tiempo o número de periodos de capitalización:
C = 1 - (1 + i)-n
R i
b) Si se conoce el monto futuro, la renta, la frecuencia de conversión y el plazo de
tiempo o número de periodos de capitalización:
S = (1 + i)n -1
R i
Ejemplo 25:
¿A qué tasa se aplicó una serie de 6 pagos mensuales de $ 5,000.00 cada uno, para
acumular, al final de los mismos, $30,760.08?
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 101
Tabla de datos
R= 5000
i= ? 0.01 M (1 + i)n
- 1
t= 6 meses R i
n= 6
C= 30,760.08 30,760.08 (1 + i)6- 1
5000 i
(1 + i)6- 1
i
Si i= 0.005 (1.005)6- 1
0.005
Si i= 0.012 (1.012)6- 1
0.012
Si i= 0.01 (1.01)6- 1
0.016.152015
Solución
=
=6.152.016
= 6.075501879
= 6.182906045
=
=
Ejemplo 26:
Un deudor requiere pagar hoy $ 175,000.00 pero al no disponer de esa cantidad
acuerda con el acreedor liquidar en 6 mensualidades de $ 31,000.00 cada una la 1ª
de ellas dentro de un mes.
NOTA IMPORTANTE: Mediante la aplicación de la técnica del tanteo hemos demostrado que el porcentaje de interés que se aplicó en esta operación fue del 12% anual es decir 0.01 corresponde la tasa de interés para en 6 meses cancelar un monto de $ 30,760.08.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 102
Tabla de datos
R= 31000
i= ? 1.77 C 1 - (1 + i)-n
t= 6 meses R i
n= 6
C= 175000 175000 1 - (1 + i)-6
31000 i
1 - (1 + i)-6
i
Si i= 0.02 1 - (1.02)-6
0.02
Si i= 0.018 1 - (1.018)-6
0.018
Si i= 0.0177 1 - (1.0177)-6
0.01775.645169496
Solución
=
=5.645161
= 5.601430891
= 5.639434775
=
=
Para el cálculo de la tasa de interés en las anualidades ciertas
ordinarias, aplicamos dos fórmulas las mismas que están
relacionadas con el monto y el capital dependiendo del caso,
el resultado no se podrá realizar de manera directa y efectiva
lo cual en muchos de los casos puede ocasionar retraso al
momento de obtener dicho valor.
NOTA IMPORTANTE: En el caso que se conozca el capital de una anualidad, se aplica de igual manera el método de tanteo para ir verificando al azar cual es el porcentaje que se aplicó en una operación, para el caso de nuestro ejemplo la tasa mensual aplicada es del 1.77% para poder realizar retiros de $ 31000 cada mes.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 103
Ejercicios propuestos
a) Calcular con qué tasa de rendimiento semestral se acumulan $ 400000
con 15 depósitos semestrales de $ 12000.
b) Lucero de la Mañana debe pagar hoy $ 350000. Como no tiene esa cantidad
disponible, platica con su acreedor y acuerda pagarle mediante 6 abonos
mensuales de $ 62000, el primero de ellos dentro de un mes. ¿Qué tasa de
interés va a pagar?
c) ¿A qué tasa nominal convertible semestralmente se acumulan $ 500000 en el
momento de realizar el último de 15 depósitos semestrales de $ 10 000?
Respuestas: a) 10.60%, b) 1.80%, c) 31.21%
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 104
Unidad didáctica IV:
Título de la Unidad Didáctica I: Anualidades anticipadas y diferidas
Introducción de la Unidad Didáctica IV: De acuerdo a su clasificación las
anualidades pueden ser de acuerdo a cuatro criterios:
Criterio Tipo de anualidad
a) Intereses Simples y generales
b) Tiempo Ciertas y contingentes
c) Pagos Vencidas y anticipadas
d) Iniciación inmediatas y diferidas
A partir de estas cuatro características se pueden presentar 16 tipos distintos de
anualidades, de las cuales las más comunes son las simples, ciertas, vencidas e
inmediatas (ASCVI), que se estudiaron en el capítulo anterior. Aunque hay varias
maneras de resolver los otros 15 tipos de anualidades, para simplificar el análisis se
acostumbra abordarlas a partir de las fórmulas ya vistas de las ASCVI.
Objetivo de la unidad didáctica IV:
Calcular anualidades anticipadas y diferidas, para la elaboración de diagramas de flujo
de caja en la toma de decisiones de manera transparente, mediante el desarrollo de
ecuaciones equivalentes.
Organizador Grafico de la Unidad IV:
ANUALIDADES ANTICIPADAS Y DIFERIDAS
Introducción
Monto y valor actual
anualidades anticipadas
Renta, plazo e interés
anualidades anticipadas.
Monto y valor actual
anualidades diferidas
Renta, plazo e interés
anualidades anticipadas.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 105
Actividades de Aprendizaje de la Unidad Didáctica IV:
Actividad de Aprendizaje I de la Unidad Didáctica IV:
Introducción
Hasta el momento se han analizado las anualidades vencidas y algunos casos donde
se presentan; sin embargo, en la realidad, no todas las situaciones con pagos
constantes en tiempos iguales se refieren a anualidades de este tipo, existen
situaciones tales como la renta de un departamento, la cual no se paga al término del
mes sino al principio, o la compra de un coche donde los pagos se realizan el primer
día de cada mes y no los días de corte.
En esta unidad analizaremos situaciones como las mencionadas anteriormente,
enfocaremos el estudio a las anualidades anticipadas, el cálculo del monto que
representan, su valor presente, el número de pagos y la renta que implican.
A diferencia de las anualidades vencidas, que se pagan al final de cada periodo, las
anticipadas se cubren al comienzo de cada periodo.
Ordinarias R R R R R
Anticipadas R R R R R
En las anualidades ordinarias, la primera anualidad se paga al final del periodo,
mientras que en las anticipadas se realiza al comenzar. Por eso, el pago de la última
renta ordinaria coincide con la terminación del plazo de tiempo estipulado en la
operación; esto hace que no produzca intereses y que su inversión se haga solamente
como complemento del monto de las rentas. En tanto, en las anualidades anticipadas,
la última renta se paga al principio del último periodo: sí produce intereses.
Actividad de Aprendizaje II de la Unidad Didáctica IV:
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 106
Monto y valor actual
Una anualidad anticipada es aquella cuando los pagos se llevan a cabo al inicio de
cada periodo. Para poder calcular el monto de una anualidad anticipada, a cada renta
se le agregan los intereses que se generen entre la fecha del pago y el plazo. Este
tipo de anualidades es común en transacciones como pagos de primas de seguros,
los pagos por alquiler de un departamento, entre otros.
Fórmulas para calcular el monto futuro y valor presen de una anualidad simple,
cierta, anticipada
Si se conoce la renta, la tasa nominal, la frecuencia de conversión y el plazo de tiempo
aplicamos la siguiente formula:
(1 + i)n
- 1
i
Ò
(1 + i)n+1
- 1
i
S= R (1 + i)
S= R{ -1}
Ejemplo 27:
Si se hacen 6 depósitos trimestrales anticipados de $25,000.00 cada uno con una tasa
del 20% capitalizable trimestralmente, ¿cuál es el monto futuro?
NOTA IMPORTANTE: Para calcular el valor del monto en una anualidad anticipada se podrá aplicar cualquiera de las dos fórmulas, puesto que el resultado al final de la operación no sufrirá ninguna alteración en su valor
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 107
Tabla de datos
R= 25000 (1 + i)n
- 1
i= 0.05 i
t= 1 año y seis meses
n= 6 (1 + 0.05)6
- 1
S= ? 178,550.21 0.05
(1.05)6
- 1
0.05
1.340095641 - 1
0.05
0.340095641
0.05
S= 25000 (6.801912813) (1.05)
S=
(1 + 0.05)
178,550.21
Solucion:
S= 25000 (1.05)
S= 25000 (1.05)
S= 25000 (1.05)
S= R (1 + i)
S= 25000
En ocasiones, no es el monto lo que se requiere conocer, sino el valor presente o
actual de una anualidad anticipada, ya que esto representa el precio de contado, el
valor de una deuda al momento de contraerla, etcétera.
(1 + i)-n
- 1
i
Ò
1 - (1 + i)-n+1
i
C= R (1 + i)
C= R{ 1+ }
NOTA IMPORTANTE: Al igual que en el caso del monto el valor presente en una anualidad anticipada no sufrirá ninguna alteración puesto que de cualquiera de las dos formas el resultado será igual.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 108
Ejemplo 28:
¿Cuál es el capital de 6 depósitos trimestrales anticipados de $ 25,000.00 si se
calculan con 20% compuesto trimestralmente?
Tabla de datos
R= 25000 1 - (1 + i)-n
i= 0.05 i
t= 1 año y seis meses
n= 6 1 - (1 + 0.05)-6
C= ? 133,236.92 0.05
1 - (1.05)-6
0.05
1 - 0.746215396
0.05
0.253784603
0.05
S= 25000 (5.075692067) (1.05)
S=
(1 + 0.05)
133,236.92
Solucion:
S= 25000 (1.05)
S= 25000 (1.05)
S= 25000 (1.05)
S= R (1 + i)
S= 25000
En la presente unidad se expuso la definición de las anualidades
anticipadas, como aquellas en las que los pagos se realizan al
principio de cada período y no al final como ocurre en las
anualidades vencidas.
Al igual que en las anualidades vencidas, el monto (S) es la suma
de los pagos en el momento de vencimiento de la anualidad,
mientras que para determinar el valor actual o presente de una
anualidad anticipada (C), tenemos que regresar en el tiempo
todas las rentas menos una (la primera), ya que este pago se
encuentra en la fecha de evaluación, que en este caso es el inicio
de la anualidad.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 109
Ejercicios propuestos
a) Una persona alquila una bodega por $28 000 mensuales, realizando sus
pagos el primer día de cada mes. Propone al propietario pagarle el
alquiler de todo el año, al momento de firmar el contrato, si la tasa de
interés en ese momento es de 30% anual capitalizable mensualmente.
¿Cuál será el pago único que realizará a la firma del contrato?
b) El señor Márquez deposita $1 500 al principio de cada mes en una
cuenta bancaria que paga una tasa de interés de 32.4% anual
capitalizable mensualmente. ¿Cuál es su saldo después del primer año
de ahorro?
c) La empresa Papel del Futuro, S. A. sabe que dentro de 5 años requerirá
cambiar una máquina, si decide realizar depósitos trimestrales
anticipados de $15 720 en una cuenta de ahorros que le paga 37.2%
anual capitalizable trimestralmente, ¿cuál será el precio de la máquina
cuando se compre?
d) Un individuo deposita en su cuenta de ahorro la suma de $ 250 al
principio de cada año. Cuanto tendrá al final de 8 años, si su Banco le
reconoce una tasa de interés del 3%.
e) Una compañía alquila un terreno de $ 4 000 mensuales y propone al
propietario pagar el alquiler anual al principio de año con la tasa del 12%
capitalízatele mensualmente. Hallar el valor presente del alquiler.
Respuesta: a) $ 294,397.84, b) $ 21,493.91, c) $ 909,186.46, d) $ 2,289.78, e) $
45,470.51
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 110
Actividad de Aprendizaje III de la Unidad Didáctica IV:
Renta, plazo e interés
Cuando se desea conocer cualquiera de estos tres conceptos, se utilizan las fórmulas
de las anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas. El cálculo de la anualidad
representa determinar el importe de los pagos o la renta que es necesario realizar en
periodos de tiempo definidos a una tasa de interés determinada y a un plazo estipulado
para acumular una cantidad de dinero, donde el inicio de los pagos comienza al inicio
de cada periodo.
Fórmulas para calcular la renta de una anualidad simple, cierta, anticipada
En el caso de la renta se aplicarán dos fórmulas dependiendo de lo que se requiera,
por lo tanto.
a) Si se conoce el capital inicial, la tasa de interés nominal o por periodo de
capitalización, la frecuencia de conversión y el plazo de tiempo o número de
períodos de capitalización:
Ci
1 + i - (1 + i)-n+1R=
b) Si se conoce el monto futuro, la tasa de interés nominal o por periodo de
capitalización, la frecuencia de conversión y el plazo de tiempo o número de
períodos de capitalización:
Si
(1 + i)n+1
-1 - iR=
Ejemplo 29:
En una tienda se vende una bicicleta por $1800 al contado o mediante 5 abonos
mensuales anticipados. Si el interés que aplica la tienda es de 32.4% convertible
mensualmente, calcule el valor del pago.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 111
Tabla de datos
R= ? 379.43 Ci
i= 0.027 1 + i - (1 + i)-n+1
t= 5 meses
n= 5
C= 1800 1 + 0.027 - (1 + 0.027)-5+1
48.60
1.027 - (1.027)-4
1.027 - 0.898914168
48.60
0.128085831
R= 379.43
1800 (0.027)
48.60
Solucion:
R=
R=
R=
R=
R=
Ejemplo 30:
La señora Gavaldón debe pagar $ 90000 dentro de 2 años y, para reunir esta cantidad,
decide hacer 12 depósitos bimestrales en una cuenta de inversión que rinde 1.2%
bimestral de interés. ¿De cuánto deben ser sus depósitos si hoy realiza el primero?
Tabla de datos
R= ? 6,934.57 Si
i= 0.012 (1 + i)n+1
-1 - i
t= 2 años
n= 12 (2 x 6 bimestres)
S= 90000 (1 + 0.012)12+1
-1 - 0.012
1080
(1.012)13
-1.012
1.16774136 - 1.012
1080
0.155741359
R= 6,934.57
90000 (0.012)
1080
Solucion:
R=
R=
R=
R=
R=
Fórmulas para calcular el tiempo o plazo en una anualidad simple, cierta,
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 112
anticipada
a) Si se conoce el capital inicial, la renta, la tasa nominal o la tasa efectiva por
periodo y la frecuencia de conversión:
Ci
RLn { 1 + i - }
Ln (1 + i)n= 1 -
b) Si se conoce el monto futuro, la renta, la tasa nominal o la tasa efectiva por
periodo y la frecuencia de conversión:
Si
RLn { 1 + i + }
Ln (1 + i)n= -1
Ejemplo 31:
Una compañía fabricante de cocinas integrales ofrece uno de sus modelos con
un precio de contado de $ 13,069.63, mediante pagos mensuales anticipados de $
750 con un cargo de 18% de interés convertible mensualmente. ¿Cuántos pagos han
de efectuarse para liquidar la cocina?
Tabla de datos Solucion
R= 750 Ci
i= 0.015 (0,18/12) R
t=? 1 año 8 meses
n= ? 20
C= 13,069.63 13,069.63 x 0,015
Ln { 1,015 - 0,2613926 }
Ln { 0,7536074 }
Ln (1,015)
-0,122854845
0,006466042
n= 1 - (-19)
n= 1 -
n= 1 -
n= 1 - Ln (1,015)
Ln (1,015)
}
Ln (1 + 0,015)
Ln { 1,015 -
n= 1 - 750
196,04445
Ln { 1 + 0,015 - }
n= 1 - 750
Ln { 1 + i - }
Ln (1 + i)n= 1 -
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 113
Ejemplo 32:
Lupita desea reunir $ 480000 para la compra de un departamento, para lo cual
deposita $ 17500 mensuales anticipados en una cuenta bancaria que paga 24% de
interés anual convertible mensualmente. ¿Cuántos depósitos debe efectuar Lupita
para reunir lo que necesita?
Tabla de datos
R= 17500
i= 0.02 (0,24/12) Si
t=? 1 año 10 meses R
n= ? 22
S= 480000
Ln { 1,02 + 0,548571428}
0,1955043
0,008600172
n= 22,7326035 - 1
n= 21,73
Solucion
Ln { 1 + 0,02 + }
n=
480000 x 0,02
Ln { 1 + i + }
Ln (1 + i)n= -1
-1Ln (1 + 0,02)
Ln { 1,02 + }
17500
n=
n= -1
9600
17500
0,008600172
n= -1
-10,008600172
n= -10,008600172
Ln { 1,568571429}
Fórmulas para calcular la tasa de interés de una anualidad simple, cierta,
anticipada
a) Si se conoce el capital inicial, la renta, la frecuencia de conversión y el plazo de
tiempo o número de periodos de capitalización:
C 1 - (1 + i)-n+1
R i= 1 +
b) Si se conoce el monto futuro, la renta, la frecuencia de conversión y el plazo de
tiempo o número de periodos de capitalización:
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 114
S (1 + i)n+1
- 1
R i= -1
Ejemplo 33:
¿Cuál es la tasa de interés si se realizan 6 depósitos trimestrales anticipados de
$25,000.00 para obtener un monto de $ 178,550.21?
Tabla de datos Solucion
R= 25000 S (1 + i)n+1
- 1
i=? 0,05 (0,20/4) R i
t= 1 año y medio
n= 6 (1,5*4) 178550,21 (1 + i)6+1
- 1
S= 178,550,21 25000 i
(1 + i)6+1
- 1
i
(1 + 0,04)6+1
- 1
0,04
(1 + 0,055)6+1
- 1
0,055
(1 + 0,05)6+1
- 1
0,05Si 0,05 -1 = 7,142008
7,1420084
-1Si 0,04 = 6,898294
Si 0,055 -1 = 7,266894
= -1
= -1
= -1
NOTA IMPORTANTE: En el caso para la determinación de la tasa de interés se aplica la fórmula de anualidades anticipadas y a continuación se procede a realizar la técnica del tanteo.
Debido a que la tasa de interés se encuentra en el
numerador y en el denominador de las fórmulas de
monto y valor actual de una anualidad simple,
cierta, anticipada, no se puede despejar por lo que
se usa para su cálculo, el procedimiento llamado
de prueba y error a base de iteraciones sucesivas.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 115
Ejercicios propuestos
a) Una persona deposita $900 al principio de cada mes en una cuenta bancaria
que paga una tasa de interés de 36% anual capitalizable mensualmente.
¿Cuál es su saldo después de 4 años de ahorro?
b) El señor González alquila un departamento por $4 000 mensuales,
realizando sus pagos el primer día de cada mes. Propone al propietario
pagarle el alquiler de todo el año al momento de firmar el contrato. Si la tasa
de interés en ese momento es de 24% anual capitalizable mensualmente,
¿cuál será el pago único que realizará a la firma del contrato?
c) ¿Cuánto se debe depositar al principio de cada bimestre, en una cuenta de
ahorros que paga 11.4% de interés con capitalización bimestral, para que al
final de 4 años se tengan reunidos $ 125000?
d) Ricardo Sosa quiere comprar una computadora cuyo precio de contado es
de $18 700. Si la tienda le da la oportunidad de pagarla con 18
mensualidades anticipadas, ¿de cuánto será cada pago mensual si le
cargan una tasa de interés de 24% anual convertible mensualmente?
e) Una tienda departamental ofrece telepantallas a un precio de contado de $
16,920.00, mediante pagos mensuales de $ 2100.00 con un cargo de 18%
de interés convertible mensualmente. ¿Cuántos pagos han de efectuarse
para liquidar la telepantalla?
Respuestas: a) $ 96,786.58, b) $ 43,147.39, c) $ 4,081.71, d) $ 1,222.87, e) 9
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 116
Actividad de Aprendizaje IV de la Unidad Didáctica IV:
Cálculo del monto de anualidades diferidas
Se utilizan las mismas fórmulas de una anualidad simple cierta ordinaria o anticipada,
ya que lo único que se modifica es el inicio del primer pago o depósito, el cual se
efectúa hasta después de transcurrido un intervalo de tiempo desde el momento en
que la operación quedó formalizada.
El resultado del monto futuro de una anualidad diferida es exactamente el mismo
que el de una anualidad inmediata.
El monto de las anualidades diferidas vencidas es igual al de las anualidades
ordinarias, en las mismas condiciones de importe de la renta, plazo o tiempo y
tasa de interés. Esto se debe a que, durante el tiempo diferido, no se realiza ningún
pago o depósito. En el ejercicio 2, en el inciso b, se considera y comprueba el monto
de una anualidad diferida.
Ejemplo 34:
Una tienda departamental pone en el mes de mayo su plan de ventas “Compre ahora
y pague hasta agosto”. El señor Gómez decidió aprovechar la oferta y adquirir 3 trajes
que le entregaron inmediatamente. Si acordó pagar mediante 4 mensualidades de $
975 cada una a partir de agosto, con un cargo de 18% anual convertible
mensualmente, ¿cuál es el precio que se tendría que haber pagado por sus trajes si
se comprara en la misma fecha que se realizará el último pago?
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 117
Tabla de datos
R= 975
%= 18%
i= 0.015 (0.18/12)
n= 4 (1 + 0.015)4 – 1
S= ? ,3,988,63 0,015
(1.015)4 – 1
0,015
1.061363551 – 1
0,015
0,06136355
0,015
S= (4,090903375)
S=
Formula
975
3,988,63
975S=
S= 975
S= 975
S= 975
RS= (1 + i)n – 1
i
Ejemplo 35:
Se desea establecer un fondo, para que un hospital que estará terminado dentro de 6
años, reciba una renta anual de $ 3500 por 20 años. Hallar el valor del fondo si gana
el 8% de interés.
Tabla de datos
R= 3500
%= 8%
i= 0.08 (8/100)
n= 20 (1 + 0.08)20
– 1
S= ? 160.166,88 0,08
(1.08)20
– 1
0,08
4,660957144 – 1
0,08
3,660957144
0,08
S= (45,7619643)
S=
Formula
3500
160.166,88
3500S=
S= 3500
S= 3500
S= 3500
RS= (1 + i)n – 1
i
Ejercicios propuestos
a) Un señor desea que su hija de 15 años reciba desde que cumpla 18 años en
forma semestral, una cantidad de $ 6000.00 durante 5 años. ¿Cuánto habrá
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 118
acumulado la hija a los 23 años si decide invertirlos en un fondo que le
proporciona el 18% anual convertible mensualmente?
b) Cuando cumpla 22 años un niño que hoy tiene diez deberá recibir la suma
de $ 2500.00 al final de cada trimestre durante 15 años. Si esta cantidad se
invierte a medida que se recibe, de manera que produzca el 5% de interés anual
convertible trimestralmente, ¿qué cantidad tendrá este niño cuando cumpla 37
años?
c) Una persona de 20 años desea invertir, desde que cumpla 30 años, una
cantidad de $ 8000.00 anuales al principio de cada año. ¿Qué cantidad habrá
acumulado cuando cumpla 45 años, si el banco le otorga una tasa de interés
efectiva del 12% anual?
d) Después de 5 años, y al final de cada año, pensamos invertir $10 000.00.
¿Qué cantidad tendremos dentro de 20 años si la tasa de interés efectiva que
nos otorgan es del 8% anual?
Respuestas: a) $ 101,328.55, b) $ 221,436.26, c) $ 334,026.24, d) $ 271, 521.14
Actividad de Aprendizaje V de la Unidad Didáctica IV:
Cálculo del valor presente de anualidades diferidas
Se utilizan las mismas fórmulas de una anualidad simple cierta ordinaria o anticipada,
ya que lo único que se modifica es el inicio del primer pago o depósito, el cual se
efectúa hasta después de transcurrido un intervalo de tiempo desde el momento en
que la operación quedó formalizada.
En este caso, es importante considerar el plazo diferido, que se llama también plazo
de gracia, para traer a valor presente al inicio de la operación el valor actual de la
anualidad simple, cierta, ordinaria.
El valor presente de las anualidades ordinarias coincide con la iniciación del tiempo
de pago, en tanto que el valor actual de las anualidades diferidas se sitúa en el
comienzo del tiempo diferido. En otras palabras, el valor actual de las anualidades
diferidas se calcula a una fecha anterior de aquella a la cual se
calcula el valor presente de las anualidades ordinarias. Así, en el ejemplo del diagrama
siguiente, el valor actual de las anualidades diferidas se calcularía en el 0, en tanto
que, si no existiera el tiempo diferido y nos encontráramos frente a un caso de
anualidades ordinarias, su valor actual se determinaría en el 4.
Para encontrar el valor actual de las anualidades diferidas, se puede calcular el valor
presente como si se tratara de anualidades ordinarias a la fecha en que se inicia el
periodo de pago. Conocido ese valor, lo descontamos por el tiempo diferido para
regresarlo, en el tiempo, a la fecha de iniciación del periodo de aplazamiento.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 119
Lo anterior, en forma de diagrama, se expresa de la siguiente manera:
1 - (1 + i)-n
i(1 + i)
-mC= R
Ejemplo 36:
Calcula el valor actual de una renta semestral de $3 200 efectuada durante 6 años, si
el primer pago se debe realizar dentro de año y medio, si consideramos una tasa de
32% capitalizable semestralmente.
Tabla de datos Solucion
R= 3200 1 - (1 + i)-n
%= 32% i
i= 0.16(0.32/2)
n= 12 (2 x 6) 1 - (1 + 0,16)-12
C= ? 12,359,35 0,16
1 - (1,16)-12
0,16
1 - 0,168462844
0,16
0,831537155
0,16
C= 3200 (5,197107222) (0,743162901)
C= 12,359.35
C= 3200 0,743162901
C= 3200 (1,16)-2
C= 3200 0,743162901
(1 + i)-mC= R
C= 3200 (1 + 0,16)-2
Ejercicios propuestos
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 120
a) Hallar el Valor Futuro y el Valor Actual de la anualidad anticipada: $2500
anuales durante 7 años al 8% efectivo anual.
b) Hallar el Valor Futuro y el Valor Actual de la anualidad anticipada: $1500
trimestrales, durante 7 años al 7% convertible trimestralmente.
c) Calcular el valor de contado de una propiedad vendida a 10 años plazo
con pagos de $ 3000 trimestrales por trimestre anticipado; si la tasa de interés
del 12% convertible trimestralmente.
d) Un equipo puede ser adquirido mediante $ 150 de cuota inicial y $ 150
mensuales, por los próximos 12 meses; suponiendo intereses al 7% convertible
mensualmente, cual es el valor de contado del equipo?
e) Una persona recibe tres ofertas por la venta de su propiedad: (a) $ 500000
de contado, (b) $ 300000 de contado y $ 60000 semestralmente durante 2 años,
(c) $ 25000 por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de $ 320000 al
finalizar el cuarto año; Que oferta debe preferir si la tasa nominal de interés es
del 8%, capitalizable de acuerdo con la transacción.
Respuestas: a) $ 24,091.57; $ 14,057.20, b) $ 54,544.94; $ 33,557.59, c) $ 71,424.65,
d) $ 1,883.57, e) ?
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 121
Unidad didáctica V:
Título de la Unidad Didáctica V: Amortización
Introducción de la Unidad Didáctica V: Una de las aplicaciones más importantes de
las anualidades en las operaciones de negocios está representada por el pago de
deudas que devengan intereses.
Cuando una deuda se liquida en una serie de pagos periódicos de igual valor y si se
paga el interés que se adeuda al momento que se efectúan los pagos, también se
estará liquidando una parte del capital inicial. A medida que la deuda se va pagando,
se reducirá el interés sobre el saldo insoluto.
Objetivo de la unidad didáctica V:
Elaborar tablas de amortización y fondo de amortización, mediante la aplicación de
manera ética y profesional de las diferentes fórmulas para la determinación del valor
de la amortización y del fondo de amortización.
Organizador Grafico de la Unidad V:
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 122
Actividades de Aprendizaje de la Unidad Didáctica V:
Actividad de Aprendizaje I de la Unidad Didáctica V:
INTRODUCCIÓN
Amortización es el método por el cual se va liquidando una deuda en pagos parciales.
El importe de cada pago sirve para solventar los intereses. Las deudas se amortizan
con pagos periódicos iguales. Se hacen depósitos periódicos iguales en un fondo de
amortización que genera intereses para amortizar una deuda futura.
Para encontrar cada una de las variables o incógnitas, se utiliza la fórmula del valor
actual de los diversos tipos de anualidades. Generalmente, se calcula con base en el
valor actual de las anualidades ordinarias.
En la amortización se demuestra que:
1. El capital va disminuyendo conforme se van dando los pagos hasta su
liquidación total.
2. Al ir reduciéndose el capital, los intereses también van descendiendo.
3. La amortización del capital va aumentando conforme pasan los periodos, al ir
disminuyendo –en la misma proporción– los intereses.
AMORTIZACIÓN
Introducción
Importe de los pagos en una amortización
Tablas de amortización
Fondo de amortización
Tablas de fondo de amortización
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 123
4. Si se quieren conocer las amortizaciones de los diferentes periodos, basta
multiplicar la primera amortización por la razón: (1 + i)n , donde n es el número
de periodos que faltan para llegar a la amortización del periodo
correspondiente.
5. La suma de las amortizaciones será igual al valor actual o capital inicial del
préstamo.
Nomenclatura
C Representa el capital inicial, llamado también principal. Suele
representarse también por las letras A o P (valor presente).
R Es la renta, depósito o pago periódico.
% Es la tasa nominal de interés calculada para un periodo de un año. Se
expresa en tanto por uno o tanto por ciento.
i Es la tasa de interés por periodo de tiempo y representa el costo o
rendimiento por periodo de capitalización de un capital ya sea producto
de un préstamo o de una cantidad que se invierte. Es el cociente de dividir
la tasa nominal entre la frecuencia de conversión m
m Es la frecuencia de conversión o de capitalización y representa el número
de veces que se capitaliza un capital en un año.
t Es el número de años que permanece prestado o invertido un capital.
n Es el número de periodos de que consta una operación financiera a
interés compuesto.
SI Es el saldo insoluto de capital o pendiente de amortiza en cualquier fecha.
CA Es el importe de capital por amortizar en cualquier fecha.
DAC Son los derechos del acreedor sobre un bien y se obtienen considerando
el saldo insoluto de capital a determinada fecha y en forma porcentual.
DAD Son los derechos adquiridos por el deudor sobre el bien y considera la
cantidad amortizada a determinada fecha y en forma porcentual.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 124
Actividad de Aprendizaje II de la Unidad Didáctica V:
Determinación del importe del pago periódico para amortizar una
deuda.
Se calcula mediante la utilización de la fórmula para el valor presente de una anualidad
simple, cierta, ordinaria y se considera una amortización de capital a base de pagos e
intervalos de tiempo iguales.
Se conoce el capital inicial que se adeuda, la tasa de interés nominal o periodo de
capitalización, la frecuencia de conversión y el plazo de tiempo o número de
periodos de capitalización:
Ci C
1 - ( 1+ i)-n
1 - ( 1+ i)-n
i
R= Ò R=
Ejemplo 37:
Un préstamo de $ 4,000.00 se va a amortizar por medio de 8 pagos mensuales
iguales. Hallar el valor del pago mensual si la tasa de interés es del 34% capitalizable
mensualmente.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 125
Tabla de datos
R=? 565,83
%= 34%
i= 0.028333333 (0.34/12)
t= 8 meses
n= 8
C= 4000
R= $ 565,83
R=4000
0,200297063
4000
0,028333333
R=7,069308203
0,028333333
R=4000
1- 0.799702936
0,028333333
R=1- (1 + 0.028333333)
-8
4000
R=4000
1- (1.028333333)-8
0,028333333
Solución
R=C
i
1 - (1 + i)-n
Ejemplo 38:
El señor Jiménez tiene una deuda de $ 150000, la cual debe estar liquidada dentro de
5 años, para lo cual realiza pagos bimestrales iguales. Si la tasa de interés vigente es
de 20.4% anual compuesto bimestralmente, ¿de cuánto debe ser cada pago
bimestral?
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 126
Tabla de datos
R=? 8,053,84
%= 20,40%
i= 0.034 (0.204/6)
t= 5 años
n= 30 (5x6)
C= 150000
R= $ 8,053,84
R=150000
0,633238418
150000
0,034
R=18,62465936
0,034
R=150000
1- 0,366761581
0,034
R=1- (1 + 0.034)
-30
150000
R=150000
1- (1.034)-30
0,034
Solución
R=C
i
1 - (1 + i)-n
Ejemplo 39:
Una empresa adquiere una máquina que vale $95 000 mediante una serie de pagos
periódicos semestrales durante 7 años y una tasa de interés de 24% anual
capitalizable semestralmente. ¿De cuánto debe ser cada pago semestral?
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 127
Tabla de datos
R=? 14,332,77
%= 24%
i= 0.12 (0.24/2)
t= 7 años
n= 14 (7x2)
C= 95000
R= $ 14,332,77
R=95000
0,795380187
95000
0,12
R=6,628168228
0,12
R=95000
1- 0,204619812
0,12
R=1- (1 + 0.12)
-14
95000
R=95000
1- (1.12)-14
0,12
Solución
R=C
i
1 - (1 + i)-n
Ejercicios propuestos
a) ¿De cuánto deben ser los pagos trimestrales necesarios para liquidar una
deuda de $ 740000, que debe estar pagada dentro de 10 años, si la tasa de
interés es de 28% anual convertible trimestralmente?
b) Carlos Álvarez compró una casa con valor de $890 000 mediante un crédito
hipotecario, el cual amortiza mediante pagos mensuales iguales, con duración
de 15 años, que tienen un interés de 9% con capitalización mensual. ¿Cuál es
el valor de cada uno de los pagos mensuales?
c) ¿Cuál es el valor de los pagos semestrales que se realizan durante 5 años
para cubrir una deuda de $75 000 si la tasa de interés es de 15% anual
convertible semestralmente?
d) Si compras un carro con valor de $138 000 mediante un crédito que se
amortiza con 52 pagos mensuales y una tasa de interés de 21% anual
convertible mensualmente, ¿de cuánto será cada pago?
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 128
Actividad de Aprendizaje III de la Unidad Didáctica V:
Tablas de amortización.
Para su mayor comprensión, las amortizaciones pueden representarse en una
matriz donde:
Las columnas representan lo siguiente:
1. La primera muestra los periodos (n).
2. La segunda da el importe de la renta o pago (R).
3. La tercera indica los intereses (I) y resulta de multiplicar el saldo insoluto (SI)
anterior por la tasa de interés del periodo (i).
4. La cuarta señala la amortización (A) del periodo y resulta de restar al pago del
periodo (R) los intereses del mismo (I).
5. La quinta revela la amortización acumulada (AA), consecuencia de la suma de la
amortización acumulada (AA) del periodo anterior más la amortización (A) del
periodo en estudio.
6. La sexta expresa el saldo insoluto de la deuda, que se obtiene al hacer alguno de
estos procedimientos:
Restar al capital inicial (C) la amortización acumulada (AA) hasta ese periodo.
Restar el saldo insoluto del periodo anterior (SI) la amortización del periodo (A).
Con el fin de mostrar el comportamiento de una deuda que se está amortizando,
periodo a periodo, es conveniente la elaboración de una tabla de amortización, la cual
se puede definir como un cuadro o tabla donde se muestra tanto la cantidad pagada
de intereses como la cantidad pagada de capital.
Ejemplo 40: tomando los datos del ejemplo 37 se procede a elaborar una tabla de
amortización:
B= R C= E x i D= B - C E= E1
- D
PeriodosPago
mensualIntereses Amortizacion
Saldo
insoluto
0 4.000,00
1 565,83 113,33 452,50 3.547,50
2 565,83 100,51 465,32 3.082,19
3 565,83 87,33 478,50 2.603,68
4 565,83 73,77 492,06 2.111,63
5 565,83 59,83 506,00 1.605,62
6 565,83 45,49 520,34 1.085,29
7 565,83 30,75 535,08 550,21
8 565,83 15,62 550,21 -
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 129
Interpretación:
Como se puede apreciar en la tabla, el pago mensual es igual durante los 8 períodos,
mientras que el valor de los intereses va disminuyendo en cada uno de los pagos,
mientras que la amortización va creciendo, y por último el saldo insoluto va
disminuyendo.
Ejercicios resueltos.
a) Antonio compra una casa valuada en $ 230,000.00 y paga $ 15,000.00 de
enganche. Antonio obtiene un préstamo hipotecario a 20 años por el saldo. Si
se cobra un interés del 29% capitalizable cada mes, ¿cuál sería el valor del
pago mensual? Elabórese una tabla de amortización para los primeros 10
meses.
Tabla de datos
R=? 5,212.74
%= 29%
i= 0.024166666 (0.29/12)
t= 20 años
n= 240 (20 x 12)
C= 215000 (230000 -15000)
R= $ 5,212.74
R=215000
0.996757252
215000
0.024166666
R=41.24512881
0.024166666
R=215000
1- 0.003243748
0.024166666
R=1- (1 + 0.024166666)
-240
215000
R=215000
1- (1.024166666)-240
0.024166666
Solución
R=C
i
1 - (1 + i)-n
NOTA IMPORTANTE: Amortización puede definirse como el proceso mediante el cual se extingue gradualmente una deuda y sus intereses por medio de una serie de pagos o abonos al acreedor.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 130
Tabla de amortización
B= R C= E x i D= B - C E= E1
- D
PeriodosPago
mensualIntereses Amortizacion
Saldo
insoluto
0 215.000,00
1 5.212,74 5.195,83 16,91 214.983,09
2 5.212,74 5.195,42 17,32 214.965,78
3 5.212,74 5.195,01 17,73 214.948,04
4 5.212,74 5.194,58 18,16 214.929,88
5 5.212,74 5.194,14 18,60 214.911,28
6 5.212,74 5.193,69 19,05 214.892,23
7 5.212,74 5.193,23 19,51 214.872,72
8 5.212,74 5.192,76 19,98 214.852,74
9 5.212,74 5.192,27 20,47 214.832,27
10 5.212,74 5.191,78 20,96 214.811,31
b) Una deuda de $100,000.00 se debe liquidar en 6 pagos mensuales a una tasa
del 24% convertible mensualmente.
NOTA IMPORTANTE: En este caso solo se está realizando la tabla de amortización por los 10 primeros períodos, y en la cual podemos observar que el valor de los intereses es muy alto en función del crédito otorgado.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 131
Tabla de datos
R=? 17,852.58
%= 24%
i= 0.02 (0.24/12)
t= medio año
n= 6 (0.5 x 12)
C= 100000
R= $ 17,852.58
R=100000
0.112028617
100000
0.02
R=5.601430891
0.02
R=100000
1- 0.887971382
0.02
R=1- (1 + 0.02)
-6
100000
R=100000
1- (1.02)-6
0.02
Solucion
R=C
i
1 - (1 + i)-n
Tabla de amortización
B= R C= E x i D= B - C E= E1
- D
PeriodosPago
mensualIntereses Amortizacion
Saldo
insoluto
0 100.000,00
1 17.852,58 2.000,00 15.852,58 84.147,42
2 17.852,58 1.682,95 16.169,63 67.977,79
3 17.852,58 1.359,56 16.493,02 51.484,76
4 17.852,58 1.029,70 16.822,88 34.661,88
5 17.852,58 693,24 17.159,34 17.502,54
6 17.852,58 350,04 17.502,54 -
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 132
Ejercicios propuestos
Construya la tabla de amortización de las siguientes situaciones financieras:
a) Se tiene una deuda de $ 720000, la cual se amortiza con 8 pagos trimestrales
con una tasa de interés de 20% anual con capitalización trimestral.
b) Andrés Franco adquirió una computadora con valor de $ 28500, la cual
acordó liquidar mediante 6 pagos bimestrales aumentando 18% de interés
anual convertible bimestralmente.
c) Laura Ortiz adquirió ropa en el Palacio de Hierro con valor de $ 7500. Se
ofrece una promoción en la cual dan la oportunidad de liquidar su ropa mediante
6 pagos mensuales, considerando un interés de 12% anual capitalizable
mensualmente.
d) Rafael Ortega contrajo una deuda por $125 600, la cual amortiza mediante
8 pagos bimestrales con una tasa de interés de 36% anual con capitalización
bimestral.
Actividad de Aprendizaje IV de la Unidad Didáctica V:
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 133
Fondos de amortización.
Es el método por el cual se provee el monto, por medio de una serie de rentas o pagos,
para liquidar una deuda. Asimismo, funciona para ahorrar o recuperar el valor histórico
de un activo. Esto se realiza invirtiendo una serie de pagos iguales, en periodos
iguales, durante el lapso de vida útil del bien, con la finalidad de acumular un monto
disponible en efectivo para volver a comprar el sustitutivo del activo al término de su
uso.
Esta práctica es muy útil financieramente, aun cuando, al llegar al fin de su vida
útil, la cantidad acumulada no llegue a cubrir el costo del bien. En este rubro, se utilizan
las fórmulas del monto o valor futuro de las diferentes anualidades, generalmente, la
del monto de anualidades ordinarias.
Tablas de fondo de amortización
En este método se utiliza, al igual que en la amortización, una matriz, en donde las
columnas se conforman así:
1. La primera expresa los periodos (n).
2. La segunda, los pagos o rentas (R).
3. La tercera, los intereses (I) del periodo y resulta de multiplicar el saldo final (M) del
periodo anterior por la tasa de interés (i).
4. La cuarta, la cantidad que se acumula al fondo (CA) y se calcula sumando la renta
(R) más los intereses (I) del periodo.
5. La quinta, el saldo final (M), resultado de la suma del saldo final (M) del periodo
anterior más la cantidad que se acumula (CA) al fondo del periodo.
Ejemplo 41:
Una deuda de $ 5000 con vencimiento al termino de 5 años, sin intereses, va a ser
liquidada mediante el sistema de fondo de amortización. Si se van a hacer 8 depósitos
semestrales iguales, el primero con vencimiento en 6 meses, en un fondo que gana el
3% convertible semestralmente, hallar el importe de cada uno de los depósitos.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 134
Tabla de datos
R=? 592.92
%= 3%
i= 0.015(0.03/2)
t= 4 años
n= 8 (4 x 2)
S= 5000
R=
Solucion
R=S
i
(1 + i)n - 1
R=(1 + 0.015)
8 - 1
5000
R=5000
1.126492587 - 1
0.015
R=5000
(1.015)8 - 1
0.00875
0.015
R=5000
0.126492586
0.015
R=5000
8.432839106
$ 592.92
Ejemplo 42:
La vida útil de un cierto equipo industrial que acaba de ser adquirido por una compañía
es de 5 años. Con el fin de reemplazarlo al final de este tiempo, la compañía establece
un fondo de amortización efectuando depósitos anuales en una cuenta bancaria que
paga el 9.6%, anual. Si se estima que el equipo costará $ 42740 dólares, halle el valor
del depósito.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 135
Tabla de datos
R=? 7,056.68
%= 9,60%
i= 0.096
t= 5 años
n= 5
S= 42740
R=
R=42740
6,056668615
$ 7,056.68
0,096
R=42740
0,581440187
0,096
R=(1 + 0.096)
5 - 1
42740
R=42740
1.581440187 - 1
0,096
R=42740
(1.096)5 - 1
0,096
Solucion
R=S
i
(1 + i)n - 1
Ejercicios propuestos
a) Una persona desea reunir $1,350.00 para comprar una cámara fotográfica
dentro de 3 meses. ¿Cuánto deberá depositar cada quincena en una cuenta
bancaria que paga el 20% de interés capitalizable quincenalmente?
b) Alejandro Hernández compró equipo para un consultorio dental, por el cual
tiene que pagar la cantidad de $ 119500 dentro de año y medio. Alejandro
decide reunir el dinero mediante depósitos bimestrales en una cuenta bancaria
que genera 24% anual capitalizable bimestralmente. ¿De cuánto debe ser cada
depósito?
c) La Señora Gómez se va a jubilar dentro de 8 años. Para entonces desea
tener en el banco $ 500000, cantidad con la que piensa iniciar un negocio.
¿Cuánto debe depositar cada trimestre si el banco ofrece una tasa de interés
de 20% anual con capitalización trimestral?
d) El hijo del señor Roberto Flores entrará a la universidad dentro de 10 años.
De acuerdo con datos estadísticos, el costo de estudiar una carrera para
entonces será de $ 156000, por lo cual decide crear un fondo de ahorro con
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 136
depósitos mensuales en una cuenta bancaria que paga 32% anual capitalizable
mensualmente. ¿Cuánto debe depositar Roberto cada mes?
e) ¿Cuánto se debe pagar semestralmente por un seguro escolar que ofrece
cubrir un monto de $820 000 dentro de 10 años, si la tasa de interés vigente es
de 22.5% anual compuesto semestralmente?
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 137
Actividad de Aprendizaje V de la Unidad Didáctica V:
Tablas de Fondos de amortización.
De la misma forma como ocurre con las amortizaciones, en el caso del fondo de
amortización también es necesario conocer su comportamiento para saber cuánto se
lleva ahorrado en cualquier momento, cuánto se está ganando por concepto de
intereses en cada periodo o simplemente cuánto aumenta en realidad nuestro ahorro
con cada depósito.
Al documento que nos permite analizar de manera detallada el comportamiento de un
fondo de amortización (fondo de ahorro) se le conoce como tabla del fondo de
amortización.
Ésta es una herramienta que permite establecer cuánto se deposita, cuánto se genera
de interés y cuánto se tiene ahorrado en cualquier momento, etcétera.
Algunos conceptos importantes para construir la tabla de un fondo de amortización
son:
Interés ganado. Representa el interés generado por el capital existente en el fondo,
es decir, el interés que se genere sobre la cantidad que tenga ahorrada hasta ese
momento, el cual se va a ir agregando al ahorro, a diferencia de lo que ocurre en la
amortización donde el interés lo paga el cliente, y no lo cobra como en el caso del
fondo de amortización.
Agregado al fondo. Representa la cantidad real que se agrega al fondo con cada
depósito, y está integrado por el interés generado y el depósito mismo (renta). El
AGREGADO AL FONDO
INTERESDEPOSITO
(RENTA)
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 138
agregado al fondo corresponde a la suma del depósito y el interés generado en ese
periodo.
Total en el fondo o acumulado en el fondo. Corresponde a la cantidad total que se
ha acumulado en el fondo en cualquier momento, y se obtiene sumando el agregado
al fondo y el acumulado del periodo anterior.
De la misma forma, las tablas de amortización deben contener algunos elementos
clave; las tablas del fondo de amortización también deben proporcionar algunos
elementos fundamentales (número de depósito, valor de los depósitos, interés
ganado, agregado al fondo y acumulado en el fondo), aunque cada institución
financiera puede agregar más información en sus tablas, y ordenar la información de
acuerdo con sus propias necesidades; sin embargo, nosotros manejaremos las tablas
de fondo de amortización de la siguiente forma:
Períodos Deposito Intereses Incremento
al fondo
Importe al
final del
periodo
En esta
columna se
anota el
número de
depósitos
que
corresponde.
Esta
columna
indica el
valor de
cada uno
de los
depósitos a
realizar (R)
la cual se
obtiene con
las fórmulas
de las
anualidades
vencidas.
Esta
columna
corresponde
al interés
generado
sobre el
valor
acumulado
en el fondo,
el mismo
que se
obtiene
multiplicando
la tasa de
interés por el
valor
acumulado
en el periodo
anterior.
Es la
cantidad
total que se
agregara en
la cuenta en
cada
periodo y se
la obtiene
sumando el
valor del
depósito y
el interés
generado.
Es la
cantidad de
dinero que
se tiene
acumulado
en el fondo.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 139
Ejemplo 43:
Elaborar una tabla de fondo de amortización en función de los datos del ejemplo 41.
Tabla de fondo de amortización
B= R C= E x i D= B + C E= E1
+ D
Periodos Deposito InteresesIncremento al
fondo
Importe del
fondo al final
del periodo
1 592,92 - 592,92 592,92
2 592,92 8,89 601,81 1.194,73
3 592,92 17,92 610,84 1.805,57
4 592,92 27,08 620,00 2.425,58
5 592,92 36,38 629,30 3.054,88
6 592,92 45,82 638,74 3.693,63
7 592,92 55,40 648,32 4.341,95
8 592,92 65,13 658,05 5.000,00
Ejercicios propuestos
a) Una deuda de $ 400000 vence dentro de 5 años. Para su cancelación, se crea
un fondo de amortización con pagos semestrales que ganan 44% anual
compuesto semestralmente. Construye la tabla que describe este fondo.
b) Una persona requiere cubrir dentro de un año una deuda de $ 98000, para lo
cual decide crear un fondo de amortización con pagos bimestrales, en una
cuenta de interés que paga 16% anual capitalizable bimestralmente. Construye
la tabla del fondo de amortización para este caso.
c) Gaby crea un fondo de amortización con 8 depósitos trimestrales, para reunir $
187620, en una institución financiera que ofrece un interés de 28% anual
compuesto trimestralmente.
NOTA IMPORTANTE: Una suma de dinero que se va acumulando con el fin de obtener un determinado monto se llama fondo de amortización. El fondo de amortización generalmente se forma invirtiendo cantidades iguales al final de periodos iguales; esto significa que el valor del fondo, al final de un cierto tiempo, corresponde al monto de una anualidad ordinaria.
Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 140
d) Angélica requiere juntar $ 12800 en cinco meses, para lo cual realiza depósitos
mensuales en un fondo de amortización que le paga 48% de interés anual con
capitalización mensual.
e) Una deuda de $ 680500 se debe liquidar dentro de un año, por lo cual se forma
un fondo de ahorro con depósitos mensuales y una tasa de interés de 24%
anual convertible mensualmente.