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TRIGONOMETRIZATE Guía N°: 92
Duración:
13 horas
Módulo: Ambiente Aprendizaje Cualificar Año: 2020
Metas de Aprendizaje Nº31: Explico formas de medir figuras, situaciones y
fenómenos de tipo circular que ocurren en la vida real, utilizando las magnitudes
adecuadas, e interpreto modelos y fenómenos periódicos usando relaciones y
funciones al resolver problemas con el apoyo de herramientas digitales de diversos
tipos.
PREGUNTAS ESENCIALES:
Se dice que la belleza es subjetiva, pero podemos entenderla como aquello que cumple
con ciertos elementos o características que provocan un placer sensorial en quien lo
percibe.
¿Sabes que hace tu subconsciente para determinar qué le
parece más bello?
¿Crees que la trigonometría tiene relación con el cuerpo
humano?
¿De qué forma podrías relacionar la trigonometría con la
belleza física?
¿C podrías medir la simetría de tu rostro, usando la ómo
trigonometría?
¿ Si usaras la trigonometría para dar simetría a tu rostro; ¿Cómo luciría?
¿Simetría = belleza?
EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE
Identifico y diferencio los triángulos de acuerdo con sus características.
Argumento la demostración del teorema de Pitágoras y algunas identidades
trigonométricas a partir de situaciones de la cotidianidad.
Identifico y argumento situaciones problemas del entorno a las cuales puede darles
solución a través de las razones trigonométricas.
Argumento y demuestro situaciones cotidianas de información adquirida a través del uso
de herramientas digitales, en las que sea necesario emplear la ley de Seno y la ley de
Coseno teniendo en cuenta las características propias de cada triángulo.
Identifico y argumento situaciones problemas en las que se refleja las funciones
trigonométricas comunicando la información a través del uso de herramientas digitales y
recursos en red.
ACTIVIDAD 1
ACTIVIDAD 2
ACTIVIDAD 3
¡RECARGANDO
MEMORIA!
¡CONSTRUYENDO
APRENDO!
¡RETANDO MI CEREBRO!
Materiales Requeridos
Vídeo Beam
Computador, Tablet o celular
Cuaderno de trabajo (por cada estudiante)
Espejo
Regla y/o escuadra
Compas
Transportador
Hojas milimetradas
Lápiz
Esferos de colores o colores
ACTIVIDAD 1: ¡RECARGANDO MI
MEMORIA!
Para dar inicio a tu viaje por el mundo de las razones trigonometricas, debes
antes hacer una pequeña escala en conceptos que has trabajado grados
anteriores. Comienza por observar un video muy interesante, que te permitirá
conocer mas a fondo acerca de las reglas de la atracción en los seres humanos
y como la matemática (geometría), juega un papel muy importante en este
proceso. (ASOMBROSAMENTE-REGLAS DE LA ATRACCION-CAP 1).
https://www.youtube.com/watch?v=6_kagxlA
0b0
Ahora, recuerda algunos conceptos claves para que puedas comprender mejor
el tema que deseas abordar razones trigonométricas, sin tener mayores
complicaciones.
RECORDANDO-ANDO
Movimientos en el plano. Un movimiento en el plano es una
transformación geométrica del plano que conserva los ángulos y las
distancias (la forma y el tamaño). Se distinguen tres tipos
de movimientos: Traslación, giro y simetría.
SIMETRÍA
Una forma geométrica es simétrica si se puede cortar en una línea recta (eje
de simetría) y lo que resulta son dos mitades que son una imagen inversa de
cada cual, como si viéramos una parte reflejada en un espejo.
Después de haber recordado mucho más sobre el concepto de simetría, vas a realizar
un ejercicio muy interesante, basándote en las medidas de tu rostro. Comienza
respondiendo la siguiente pregunta, para esto debes hacer uso del espejo.
¡No olvides registrar tus procesos y resultados en tu cuaderno de trabajo!
1) ACTIVIDAD.
¿Si trazas una línea imaginaria que divida tu rostro verticalmente (eje de
simetría y), percibes diferencias entre ambos lados de tu rostro? Mencionalas
y regístralas en tu cuaderno de trabajo.
2). Ahora, con ayuda de la regla o escuadra, procede a tomar las medidas
respectivas de las distancias del eje de simetría (punto 1), hacia tu ojo
¿Qué es simetría?
https://www.youtube.com/watch?v=beq1odpZXdg
derecho, (punto 2), la medida del punto anterior del eje de simetría (punto 1)
hasta la distancia del centro de tu nariz (punto 3). No olvides siempre
registrar dichas distancias en tu cuaderno de trabajo. (Nota: puedes ir
tomando las medidas correspondientes a las de tu hemisferio facial izquierdo,
realizando el mismo proceso).
3). Observa que las líneas correspondientes a las distancias anteriores te están
formando un Angulo recto (90°). Aprovechando dicha característica, construye
un triángulo rectángulo, uniendo los puntos 2 y 3 (hipotenusa). (Nota: realiza
los cálculos correspondientes para tu hemisferio facial izquierdo y registralos
de igual manera en tu cuaderno de trabajo)
4). Con ayuda del teorema de Pitágoras y teniendo previamente las medidas de las
distancias que serán mis catetos, calcula la medida de la distancia entre los puntos 2 y
3; es decir tu hipotenusa. (Nota: realiza los cálculos correspondientes para tu
hemisferio facial izquierdo y regístralos de igual manera en tu cuaderno de
trabajo)
5). Por último, compara las medidas obtenidas para los catetos y las
hipotenusas de ambos hemisferios y registra en tu cuaderno de trabajo las
semejanzas y diferencias encontradas. ¿Encontraste simetría en estas partes
de tu rostro?, ¿podrías verificar si las otras partes de tu rostro son
simétricas? ¿describe el proceso que emplearías para verificarlo?
ACTIVIDAD 2:
¡CONSTRUYENDO APRENDO!
Ahora, que puedes constatar algunas simetrías de tu rostro, mediante el uso de
triángulos rectángulos, entraras con mayor claridad en el mundo de las razones
trigonométricas. Pero para esto es necesario que tengas en cuenta:
RAZÓN: es un vínculo entre dos
magnitudes que son comparables entre sí. Se
trata de aquello que resulta cuando una de las
magnitudes o cantidades se divide o se resta por
otra. Las razones, por lo tanto, pueden
expresarse como fracciones o como números
decimales.
Realiza la siguiente actividad haciendo uso de una hoja milimetrada, regla
compas y transportador. (Construcción del circulo unitario).
Toma la hoja de forma horizontal y comienza a realizar la secuencia de los
pasos.
1. Dibuja una circunferencia de radio 1
2. Toma un sistema de coordenadas con el origen en el centro de la
circunferencia.
3. Divide la circunferencia en 4 cuadrantes, los enumeras en sentido
contrario al movimiento de las manecillas del reloj.
4. Escribe la equivalencia entre grados y radianes
5. Dibuja un ángulo α en el primer cuadrante, su vértice debe coincidir con
el centro de la circunferencia y uno de sus lados debe coincidir con el
semieje positivo de las x
6. Tu grafica debe ser semejante a la siguiente.
RECORDANDO-ANDO
Para expresar que el ángulo α se encuentra en el primer
cuadrante, escribo:
0° ˂ α ˂ 90°
El triángulo rectángulo obtenido en el grafico anterior
tiene como referencia el ángulo α por lo tanto sus
catetos correspondientes son:
X e Y
La hipotenusa es el radio r de la circunferencia.
Tomado de: https://www.vadenumeros.es/cuarto/razones-trigonometricas.htm
Ahora, observa tu gráfico y procede a establecer las razones trigonométricas,
teniendo como referencia siempre el ángulo α, el cateto que está en frente es el
cateto opuesto, cateto y
Siempre teniendo como referencia el ángulo α, el cateto que está al lado, es el cateto
adyacente, cateto x
Es la relación entre cateto opuesto y el cateto
adyacente
RAZONES TRIGONOMETRICAS
RECÍPROCAS
ACTIVIDAD DOS: MANOS A LA OBRA!
Recuerda la actividad trabajada en recargando
mi memoria, donde a partir de la formación de
triángulos rectángulos y el teorema de Pitágoras
puedes comparar simetrías
en tu rostro.
También Puedes usar las
razones trigonométricas
para encontrar longitudes
laterales desconocidas de
un triángulo rectángulo, dadas las medidas de cualquier
lado y cualquier ángulo agudo.
Necesitas encontrar la longitud del lado x, teniendo la longitud de la
hipotenusa.
Si no recuerdas como solucionar el ejercicio, puedes guiarte con este
ejemplo: Calcular el lado y los ángulos faltantes del siguiente triángulo.
Solución:
Para calcular el lado faltante puedes emplear el teorema de Pitágoras
Luego reemplaza la información que conoces, quedando así
Ahora despeja la variable que desconoces y resuelve los cuadrados
Para eliminar el cuadrado que está en el cateto emplea la raíz
cuadrada a los 2 lados de la ecuación
√ √
Resolviendo, tendrías
Para calcular uno de los ángulos, al que llamaras (alfa), tomaras el
lado que conoces como el cateto adyacente (Ca), empleando la razón
Coseno.
Luego reemplaza la información que conoces, quedandote así
Cancelando las unidades, te quedaría así
Ahora emplearas la función inversa para despejar el ángulo
⁄
Siempre que calcules ángulos debes verificar que este
activada la calculadora en modo “Deg”. Empleando la
calculadora científica, (para obtener la función invertida,
utiliza la tecla shift y luego la función a emplear, en este
caso “cos”) sabrías que el ángulo es
Para calcular el ángulo faltante, suma los 2 que conoces, el ángulo
recto y el agudo que hallaste de 30º, y luego resta esta suma a los
180º que suman los ángulos que forman un triángulo.
Con la ayuda de la regla y el transportador, dibuja en tu cuaderno de
trabajo cada triángulo rectángulo, teniendo en cuenta la información
dada y da solución a cada uno de los triángulos obtenidos, haciendo
uso de las razones trigonométricas.
a. y
b. y
c. y
d. y
Plantea 2 situaciones de tu vida cotidiana, donde puedas emplear las
razones trigonométricas, realiza las representaciones graficas de cada
situación y soluciónalas en tu cuaderno de trabajo.
Camilo tiene una escalera de 2m de longitud, debe emplearla para bajar
un cuadro que está a una altura de 1,50 m. ¿cuál debe ser la inclinación
de la escalera para bajar el cuadro? Realizo la representación y
respectiva solución en mi cuaderno de trabajo.
¡¡ BUSCO A MI PROFE!! Si alguno de los triángulos no te
genera los resultados esperados,
acércate a tu docente acompañante
para verificar procesos y resultados.
¿y cómo se solucionan los
triángulos que no son
rectángulos?
La trigonometría es una herramienta eficaz que te ayuda a dar solución a
cualquier tipo de triángulos, para los triángulos que no son rectángulos existen
2 teoremas que te permiten solucionarlos
¿Cómo saber cuándo aplicar el
teorema del seno?
El teorema de los senos es utilizado para resolver problemas en los que se
conocen dos ángulos del triángulo y un lado opuesto a uno de ellos. También
se usa cuando conocemos dos lados del triángulo y un ángulo opuesto a uno de
ellos.
¿Y en la vida para qué sirve el teorema del seno?
Cálculo de la altura de un árbol
Hallar el ángulo de elevación del suelo
Plano para construcción de puentes
Estudio y dibujo de carriles de una autopista
Ubicación de un foco de incendio
La altitud de una montaña y otros casos.
Observa atentamente los siguientes videos:
LEY DE SENOS Y COSENOS
https://www.youtube.com/watch?v=r8S57zkpPAw
https://www.youtube.com/watch?v=Hv7BhKrZil0
LA LEY DE SENOS es la relación entre los
lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos).
Simplemente, establece que la relación de la longitud de un
lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es
igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado. En
el triángulo oblicuo ABC con lados a, b y c, entonces
¡¡¡ Es importante tener en cuenta!!!
la forma como se nombran las partes del triángulo,
al momento de emplear la ley de Senos o la ley de
Cosenos. Se debe establecer la relación entre el
lado y el ángulo opuesto a este, se mencionan con la
misma letra, recibiendo el lado la letra en minúscula
y el ángulo la letra en mayúscula.
1. En tu cuaderno de trabajo, grafica 5 triángulos distintos que no sean
triángulos rectángulos, empleando para ello la regla o escuadra.
2. Dale nombres a los lados y ángulos de cada uno de los triángulos que empleaste
en la actividad anterior, teniendo en cuenta lo señalado en el recuadro anterior.
¡¡¡¡ BUSCO A MI PROFE!!!! Para despejar tus dudas acercate al docente acompañante
y verifica tus procesos y resultados.
3. Verifica que las leyes se cumplan, en cada uno de los triángulos, realizando los
procesos matemáticos en tu cuaderno de trabajo.
Si no recuerdas como solucionar el ejercicio, puedes guiarte por medio de los
siguientes ejemplos:
LA LEY DE COSENOS es usada para
encontrar las partes faltantes de un triángulo no
rectángulo (oblicuo) cuando ya se conocen las
medidas de 2 lados y la medida del ángulo incluido
en ellos (LAL) o las longitudes de los 3 lados son
conocidas. En cualquiera de estos dos casos es
imposible usar la ley de senos porque no podemos
establecer una proporción que pueda resolverse.
En el triángulo oblicuo ABC con lados a, b y c,
entonces
a. Calcular el ángulo y los lados faltantes del
siguiente triángulo.
Solución:
Lo primero que debes hacer para solucionar
correctamente el ejercicio es darle nombre a cada parte del triángulo, como
se muestra en la siguiente figura.
Para calcular el ángulo faltante, al que llamaras C, suma los 2 que conoces, el
ángulo A y el ángulo B, y luego resta esta suma a los 180º que suman los
ángulos que forman un triángulo.
Luego establece la relación de la cual conoces toda la información, en este
caso el lado a y el ángulo A; y relacionala con la que tiene un dato
desconocido. Como se muestra a continuación
Luego reemplaza la información que conoces, quedandote así
Ahora despeja la variable que desconoces
Empleando la calculadora científica, obten el valor de la b
Para calcular el dato faltante puedes emplear el método anterior
estableciendo la relación del lado a y el ángulo A; y relacionala con la que
tiene un dato desconocido. Como se muestra a continuación
Luego reemplaza la información que conoces, quedandote así
Ahora despeja la variable que desconoces
Empleando la calculadora científica, obten el valor de la c
Para calcular el lado faltante puedes emplear el teorema de
Pitágoras
b. Calcula el lado y los ángulos faltantes en la figura.
Solución:
Lo primero que debes hacer para solucionar correctamente el ejercicio es
darle nombre a cada parte del triángulo, como se muestra en la siguiente
figura.
Luego establece la relación que conoces, en este caso el lado a y el ángulo A;
y relacionala con la que tiene un dato desconocido. Como se muestra a
continuación
Luego reemplaza la información que conoces, quedandote así
Ahora despeja la variable que desconoces
Ahora emplea la función inversa para despejar el ángulo
Emplea la calculadora científica y obten el valor del
ángulo C (recuerda colocar los paréntesis al momento de
utilizar la calculadora)
Para calcular el ángulo faltante, al que llamaras B, suma los 2 que conoces, el
ángulo A y el ángulo C, y luego resta esta suma a los 180º que suman los
ángulos que forman un triángulo.
Para calcular el dato faltante puedes emplear el método establecido en el
ejercicio anterior estableciendo la relación del lado a y el ángulo A; y
relaciónala con la que tiene un dato desconocido. Como se muestra a
continuación
c. Calcula el lado y los ángulos faltantes en la figura.
Solución:
Lo primero que debes hacer para solucionar correctamente el ejercicio es
darle nombre a cada parte del triángulo, como se muestra en la siguiente
figura.
Toma la ecuación de la ley de coseno y reemplaza la información que ya
conoces.
Luego despeja la variable que desconoces
√ √
√
Empleando la calculadora científica, obten el valor de
la a (recuerda colocar los paréntesis al momento de
utilizar la calculadora)
Para calcular el ángulo B, toma la ley de coseno y
reemplaza la información que ya conoces
Luego despeja la variable que desconoces
Ahora emplea la función inversa para despejar el ángulo
d. Calcula los ángulos del siguiente triángulo.
Solución:
Lo primero que debes hacer para solucionar correctamente el ejercicio es
darle nombre a cada parte del triángulo, como se muestra en la siguiente
figura.
Toma la ecuación de la ley de coseno y reemplaza la información que ya
conoces.
Luego despeja la variable que desconoces
Ahora emplea la función inversa para despejar el ángulo
Empleando la calculadora científica, obten el valor del
ángulo A (recuerda colocar los paréntesis al momento de
utilizar la calculadora)
Para calcular el ángulo B, toma la ley de coseno y reemplaza la información
que ya conoces
Luego despeja la variable que desconoces
Ahora emplea la función inversa para despejar el ángulo
Empleando la calculadora científica, obten el valor del ángulo B (recuerda
colocar los paréntesis al momento de utilizar la calculadora)
Para calcular el ángulo faltante, al que llamaras C,
suma los 2 que conoces, el ángulo A y el ángulo B, y
luego resta esta suma a los 180º que suman los
ángulos que forman un triángulo.
¡¡ BUSCO A MI PROFE!! Si alguno de los triángulos no te generan los resultados
esperados, acércate a tu docente acompañante para
verificar procesos y resultados.
Se tiene un triángulo cuyos lados b y c miden 45 y 66 cm respectivamente y
cuyo ángulo α mide 47°. Halla cuánto mide el lado a del triángulo.
Si cierto triángulo tiene un lado de 25.5 cm y otro de 37.5 cm y sus
respectivos ángulos opuestos son de 37° y 62°, ¿cuánto mide el otro lado?
¿Cuál es el valor del ángulo γ del siguiente triángulo si se sabe que los
lados a, b y c miden 6, 8 y 12 cm respectivamente?
¡PON MUCHA ATENCIÓN!
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Las identidades de la Trigonometría son ecuaciones que contienen funciones
trigonométricas y que son equivalentes para todos y cada uno de los valores
de las variables involucradas. Las identidades trigonométricas son la base de
los ejercicios de Trigonometría que podemos llevar a cabo.
PERO… ¿Cuáles son las identidades trigonométricas?
Las identidades trigonométricas hacen referencia a todas las variables
posibles de ángulos que pueden aparecer en una figura geométrica. ¿Por qué
son fundamentales en matemáticas? Porque sirven de base para la
demostración de otras entidades más complejas. Las identidades en la
Trigonometría se utilizan para simplificar expresiones trigonométricas; es
decir, nos sirven para mostrar que cada vez que se cumple la primera
expresión, se va a cumplir la segunda.
A continuación, podrás observar un video donde comprenderás mucho más
de las identidades trigonométricas.
1. En una ficha de cartulina escribe las identidades que te permitió conocer el
vídeo anterior y en tu cuaderno plasma la demostración de 3 de esas identidades.
Nota: No olvides guardar muy bien tu ficha con el resumen en tu cuaderno.
Recuerda escribir en tu cuaderno lo aprendido a través de los vídeos.
Identidad: es la constatación de que dos objetos que matemáticamente
se escriben diferente, son de hecho el mismo objeto. En particular, una
identidad es a una igualdad entre dos expresiones, lo que es cierto sean
cuales sean los valores de las distintas variables empleadas. Las identidades,
al confirmarse invariablemente su igualdad, suelen utilizarse para
transformar una expresión matemática en otra equivalente, particularmente
para resolver una ecuación.
Sustituir: Reemplazo o cambio por una persona, cosa u objeto que cumpla
la misma función o que represente lo mismo.
Observa atentamente los siguientes videos:
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS https://www.youtube.com/watch?v=3FjBlgSSlok
Observa atentamente los siguientes videos:
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
https://www.youtube.com/watch?v=jDAsavdm7Mc
Identidades Pitagóricas
2. En una ficha de cartulina escribe las identidades que te permitió conocer el
vídeo anterior y en tu cuaderno plasma la demostración de 2 de esas identidades.
¡¡ BUSCO A MI PROFE !! Si alguna de las actividades no te genera los resultados
esperados, acércate a tu docente acompañante para verificar
procesos y resultados.
ACTIVIDAD 3: ¡RETANDO MI CEREBRO!
1. Prueba la veracidad de las siguientes expresiones, empleando para ello las
identidades trigonométricas que plasmaste en las fichas de cartulina.
a. b.
c.
d. e.
2. Simplifica cada expresión a su forma mínima empleando las identidades
trigonométricas.
Si no recuerdas como dar solución a las actividades
anteriores, puedes guiarte con los siguientes ejemplos:
a. Prueba la veracidad de la siguiente expresión
Solución:
Lo primero que debes hacer para probar la veracidad de la expresión es
seleccionar un termino de la expresión y mantener el otro intacto.
Para este ejercicio mantendras el primer termino intacto y desarrollaras el
segundo; ahora sustituye las expresiones del segundo termino con las
identidades, como se muesta a continuación
Luego soluciona la suma de las dos fracciones, quedando de la siguiente
manera
Para continuar aplica la ley de extremos y medios, ejecutada para la división
de fracciones, como se te muestra a continuación
Dado que la expresión multiplica al denominador y al numerador puedes
dividirlas entre sí, quedando de la siguiente manera
El numerador de la fracción es una identidad pitagórica, ahora puedes
sustituirla y la expresión continua así
La fracción es una de las identidades recíprocas, ahora puedes sustituirla,
quedando de la siguiente manera
b. Simplifica la siguiente expresión empleando las identidades trigonométricas
Solución:
Para iniciar sustituye por identidades trigonométricas pitagóricas, quedando
de la siguiente forma
Continua sustituyendo las identidades recíprocas y las cocientes, como se
muestra en la expresión
Para continuar aplica la ley de extremos y medios, ejecutada para la división
de fracciones, como se muestra a continuación
Dado que la expresión también puede escribirse de la forma
Puedes cancelar los terminos que se repiten tanto en el numerador como en el
denominador, quedando de la siguiente forma
La expresión es una identidad cociente, al sustituirla queda la siguiente
expresión
