PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEFACULTAD DE MATEMATICASDEPARTAMENTO DE MATEMATICASegundo Semestre de 2010

MAT 1630 - Calculo IIIGua I.

Los siguientes ejercicios complementan los hallados en las secciones 12.4 y12.5 y en todo el captulo 14 del texto gua (Stewart, IV Ed.) as como en lassecciones correspondientes del texto de Pita Ruiz.

1. Escriba explcitamente (como conjunto de puntos en el espacio Rn cor-respondiente) cada una de las siguientes bolas abiertas.

a) B(3, 0.5) en R b) B((2,3), 0.1) en R2

c) B((1, 1, 4), 2) en R3 d) B((2,1, 9, 3, 5), 1) en R5

2. Verifique que el semiplano superior A = {(x, y) | y > 0} es un conjuntoabierto, tomando un punto cualquiera p = (x0, y0) A y consiguiendouna bola B con centro en p y (algun) radio r > 0 que quede completa-mente contenida en A.

3. Demuestre que el espacio Rn es un conjunto abierto en Rn.

4. Verdadero o falso? La interseccion de dos conjuntos abiertos en Rn o esvaca o contiene una infinidad de puntos ( es decir, no puede constar deun numero finito de puntos). Justifique su respuesta.

5. Sean A y B dos conjuntos abiertos en Rn. Demuestre que su union AB

y su interseccion AB son tambien conjuntos abiertos en Rn.

6. Demuestre que el conjunto A = {p} formado por un solo punto p Rnno es un conjunto abierto en Rn. Es cerrado tal conjunto?

7. Sea S = {(x, y, z) R3 | 0 < x < 1, y2 + z2 1}. Determinar elconjunto de punto de puntos interiores de S y la frontera, S, de S.

1

8. Determine A para el conjunto A = {1/n R |n = 1, 2, 3, . . . }.

9. En los siguientes ejercicios obtenga la ecuacion de la superficie obtenidaal girar la curva plana alrededor del eje indicado. Grafique.

a) x2 = 4y en el plano XY, alrededor del eje Y.

b) x2 = 4y en el plano XY, alrededor del eje X.

c) 9y2 4z2 = 144 en el plano Y Z, alrededor del eje Z.

10. En los siguientes ejercicios dibuje el grafico e identifique la superficie :

a) 4x2 + 9y2 + z2 = 36

b) 4x2 + 9y2 z2 = 36c) x2 = y2 z2d) x2 = 2y + 4z

11. En los siguientes ejercicios determine el dominio de f y dibujelo comouna region de R2.

a) f(x, y) =1

x2 + y2 1b) f(x, y) =

1 x2 y2

c) f(x, y) =x2 4y2 + 16

d) f(x, y) =x4 y4x2 y2

e) f(x, y) = cos1(x y)f ) f(x, y) = log (x2 + y)

12. En los siguientes ejercicios determine el dominio de f y dibujelo comouna region de R3.

a) f(x, y, z) =x+ y + z

x y zb) f(x, y, z) =

16 x2 4y2 z2

c) f(x, y, z) = log x+ log y + log z

d) f(x, y, z) = log(4 x2 y2) + |z|

2

e) f(x, y, z) = xz cos1(y2 1)

13. En los siguientes ejercicios dibuje un mapa de contornos de f que muestrelas curvas de nivel para los numeros indicados

a) f(x, y) =16 x2 y2 para 0, 1, 2, 3 y 4

b) f(x, y) = 6 2x+ 2y para 10, 6, 2, 0, 2, 6 y 10c) f(x, y) = x2 y2 para 16, 9, 4, 0, 4, 9 y -16d) f(x, y) = exy para 1, 2, e, 4, 1/4 y 1/e

e) f(x, y) = log(xy) para 0, 1, 2, 4, 1, 2 y 4

14. Describa las superficies de nivel de las funciones

a) f(x, y, z) = x2 + y2 zb) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 4x 2y 6zc) f(x, y, z) = x2 + z2 + 25

15. Establecer que si existe o no el lmite de la funcion en el origen para lassiguientes funciones. Si existe hallarlo y si no, explicar por que:

(i)3x 2y2x 3y

(ii)3y 4x5x 7y

(iii)x2 y2x2 + y2

(iv)x2

x2 + y2

(v)x4y4

(x2 + y4)3

(vi)xy

x2 + y2

(vii)senxy

y4

(viii)x2y

x4 + y2

(ix)x3y

x2 + y4

(x)xy2

(x2 + y2)x2 + y2

(xi)x3 + y3

x y

(xii)x3 + y3

x2 + y

(xiii)x6y3

x12 + y6

(xiv) | x |x2 y2x2 + y2

3

16. Calcular los lmites siguientes (o justificar por que no existen si fuese elcaso):

(i) lm(x,y)(0,0)

x2y

x2 + y2

(ii) lm(x,y)(1,2)

3 x+ y4 + x 2y

(iii) lm(x,y)(0+,1)

x+ y 1x1 y

(iv) lm(x,y)(1,2)

xy 2x+ y 2(x+ 1)2 + (y 2)2

(v) lm(x,y)(0,0)

sen(x2 + y2)

x2 + y2

(vi) lm(x,y)(0,0)

sen(xy2)

x2 + y2

(vii) lm(x,y)(0,0)

exy 1x

(viii) lm(x,y)(0,0)

xy

x2 + y2 + 2

(ix) lm(x,y)(0,0)

senxy

x

(x) lm(x,y)(0,0)

exy

x+ 1

17. Existira

lm(x,y,z)(0,0,0)

xy + yz + zx

x2 + y2 + z2?

18. Sea:

f(x, y) =

x yx3 y si. y 6= x

3

1 si : y = x3

Evaluar los lmites de f(x, y) cuando (x, y) (1, 1) primero a travesde la recta de ecuacion x = 1 y posteriormente a traves de la recta deecuacion y = 1. Que se deduce en relacion con la continuidad de f(x, y)en (1, 1)?

19. Demostrar que la funcion

f(x, y) =

xyx2 + y2

si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

es continua en el origen.

20. Demostrar que la funcion:

f(x, y) =

x3 + y3

x y si x 6= y

0 si x = y

4

no es continua en el origen.

21. Sea

f(x, y) =

1 cosxy

ysi y 6= 0

si y = 0

sera posible encontrar un valor de para que f sea continua en (x, 0)?

22. Hallar el conjunto de puntos de discontinuidad de las funciones:

(i) f(x, y) = logx2 + y2 (ii) f(x, y) =

1

(x y)2 (iii) f(x, y) =1

1 x2 y2 z2 .

5