Unidad II: Vectores

1) Sean P = −2,−1 Q = −3,−3 R = −1,−4M = 1,4 N = 4,6 puntos de ℝ2

a) Graficar y determinar las coordenadas de los vectores

PQ,RP,QR,MN

b) Representar los vectores PQ,RP,QR,MN como vectores

cuyo origen sea el punto 0,0, llamar a estos nuevos vectores

a = PQ, b = RP, u = QR, v = MN

c) Determine la direccion y modulo de los vectores a , b , u , v

d) Determine las componentes rectangulares de a , b , u , v

e) Determine el angulo entre los vectores a y b , y el angulo

entre u y v

f) Determine si a es combinacion lineal de u ,v y b

g) ¿Es b combinacion lineal de u ,v?justificar

2) Considere los vectores a = 4,3; b = 0,6; u = −2,−3v = −1,5 en ℝ2

a) Graficar los vectores a , b , u , v

b) Calcular y graficar el vector w = a + b + u + vc) Deterimnar y representar la proy

ba y la proy u v

d) Calcular el valor de a ⋅ b − u ⋅ v

e) Determinar si ab o si uv

3) Dados los vectores u = 1,−5,2, v = 3,4,−1w = 1,0,−1, z = 1,1,−1

a) Determinar ‖u + v − w + z ‖

b) Calcular la proy v u y proyw z

c) Calcular w ⋅ z , u × v

d) Encontrar el valor de k, para que el vector u sea perpendicular

al vector x = 7,2,k

e) ¿Es el vector x = 6,27,−9 paralelo a y = u − v?

f) Calcular el angulo entre w y z

g) ¿Es v combinacion lineal de u ,w, z ?justificar

4) Hallar un vector perpendicular a u = 5,−1,2 yv = −1,2,−2

5) Calcular el area del triangulo determinado por los vectores

u = 3,7,−6 y v = 4,1,−2

6) Calcular el volumen del paralelepipedo determinado por

u = 3,−5,1 v = 7,4,2 y w = 0,6,1

7) Hallar el valor de k, para que los vectores

u = 3,−5,1 v = 7,4,2 y w = 1,14,ksean coplanares

8) Calcular el volumen del paralelepipedo determinado por

u = 1,2,3 v = −1,1,0 y w = u × v

9) Dados los vectores u = x − 1,2x − 4,3x − 9 v = x2 − 1,x2 − 4,x2 − 9¿para que valores de x los vectores son paralelos?

10) Dados los vectores v = 1,0,−1 u = 1,−1,1. Encontrar un vectorque w cumpla con: wv , w//u y ‖w‖ = 2

11) Dados los vectores u = 1,0,1; v = 1,1,1;w = 4,6,2;z = 1,0,−1¿es w combinacion lineal de u , v , z ?justificar

12) Sean v = −1,0; u = 1,3 y x vectores en ℝ2. Encuentre el valor de

c ∈ ℝ de modo que la ecuacion 2x − 3v = 4x + cu tenga a 1,− 3

2

como conjunto solucion.

R: c = 1

4

13) Sean x = 2 i − j + k ; y = i + 2 j − k ; z = 2,−11,7 vectores en ℝ3.

a) Encuentre α,β en ℝ tal que z = αx + βyR: α = 3,β = −4

b) Sea w = 2,11,7,encuentre α,β en ℝsi es posible) tal que w = αx + βy

R: No es posible

14) Encuentre los vectores z en ℝ2 tal que z + 2,1 tenga magnitud 3 5

y simultaneamente sea un multiplo escalar del vector 1,−1R: −5,5; 4,−4

15) En el primer octante del espacio ℝ3 se ubica una habitacion cubica,

de lado a metros, de modo que uno de sus vertices coincida con el

origen 0,0,0, desde donde se lanza una particula en linea recta convelocidad constante.

Si despues de un segundo la particula esta en el punto a5, a3, a2,

determine:

a) con que pared chocara la particula.

R: pared paralela al plano XY

b) en que instante se produce el choque.

R: a los 2 seg.

c) en que punto de la pared chocara la particula.

R: 2a5, 2a3,a

d) que distancia habra recorrido la particula desde que se lanza

hasta que se produce el choque.

R: 19a15mts.

16) Sean x = 2,4,1 y L una recta en la direccion del vectory = 6,0,0. Calcular la magnitud de la proyeccion de x sobrela recta L.

R: 2

17) Demuestre que los puntos 0,2,1; 2,1,3; 1,6,2; 3,5,4 sonlos vertices de un rectangulo y determine su area.

R: 9 2

18*) Sean u = 2,−1.1; v = 3,−4,−4. Encuentre un vector w en ℝ3

tal que los extremos de u , v , w sean los vertices de un triangulo

rectangulo.

19*) Sean u , v vectores no nulos en ℝ3, tales que u es perpendicular a v .

Demuestre que para todo λ en ℝ se tiene que ‖u + λv ‖ ≥ ‖u‖

20) Determine el seno del angulo entre los vectores u = 1,0,−1v = 1,1,1R: π

2

21) Sean x = 1,2,3; y = 0,1,1 vectores de ℝ3.Verificar que

los vectores son linealmente independientes.

22) Sean los vectores u = 1,0,1; v = 1,1,1;w = 4,6,2¿son liealmente independientes? justificar.

23) Dados los vectores u = 1,−1; v = 2,3;w = 4,3.Pruebe que estos vectores NO son L.i.

24) Determinar y respresentar el espacio generado por el vector

u = 2,5.R: L : x,y = 0,0 + t2,5; t ∈ ℝ

25) Determinar y representar el espacio generado por los vectores

u = 1,0,1; v = 1,1,1R: π : −x + z = 0

26) Determinar y representar el espacio generado por los vectores

u = 2,1,3; v = −1,2,1R: π : x + y − z = 0

27) Encuentre condiciones sobre a,b,c en ℝ para que el vector a,b,csea combinacion lineal de los vectores 1,−1,2; 0,−1,1; 1,0,1.R: −a + b + c = 0

28) Determine los valores de k en ℝ para que los vectores 2,1,0;1,k, 3; 0,2,−4 sean L.i.R: k ≠ −1