Guía 27 MT21 Propiedades y Operatoria de Números Complejos

Matem

ática

GUICEN027MT21-A15V1 1

Propiedades y operatoriade números complejos

GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADANº

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Desafío

Sea el número complejo z, representado como un punto en el plano complejo, como indica la figura. Con respecto al rectángulo que forma z con el eje real, el eje imaginario y el origen, es FALSO afirmar que

z

Im

Re

A) su diagonal mide |z|.B) su perímetro mide Re(z) + Im(z).C) – z es el simétrico de z, con respecto al origen.D) z es el simétrico de z, con respecto al eje real.E) su área mide Re(z) • Im(z).

Mis observacionesResolución

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Marco teórico

Números complejos

Se puede representar como un par ordenado (a, b) y graficar en el

plano complejo.Operatoria

i1 = i5 = i9 = … = ii2 = i6 = i10 = … = – 1 i3 = i7 = i11 = … = – i i4 = i8 = i12 = … = 1

Propiedad:

z • z = |z|2

Es cíclico, dondei 4p siempre es 1, con p entero

positivo.

Los números complejos se suman, restan y

multiplican como si fueran binomios algebraicos.

Para dividir, se multiplica por el inverso

multiplicativo.

Parte real de z: Re(z) = a Parte imaginaria de z: Im(z) = b

Inverso multiplicativo de z:

z – 1 = 1z =

z|z|2

Si z = a + b • i es un número complejo.

i = �– 1

Números complejos: son aquellos de la forma (a + b • i) con a y b números reales e i la

unidad imaginaria.

Módulo de z:

|z| = �[Re(z)]2 + [Im(z)]2

Conjugado de z:

z = a – b • i

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GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA

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Ejercicios PSU

1. Sea m un número real. ¿Qué valores debe tomar m en la expresión (16 – mi)2 para que esta sea un número imaginario?

A) – 4 y 4 D) – 16 y 16 B) – 256 y 256 E) – 32 y 32 C) – 8 y 8

2. Si la suma de dos números complejos conjugados es 4 y su diferencia es 12i, ¿cuáles son los números?

A) 2 y – 2 D) 43 + 12i y 4

3 – 12i

B) 2 + 6i y 2 – 6i E) 4 + 12i y 4 – 12i

C) 6 + 2i y 6 – 2i

3. Sea m un número real positivo. ¿Qué valor debe tomar m para que el cuociente m – 3im + 3i sea un

número imaginario?

A) 13 D) 3

B) 19 E) 9

C) 0

4. Si k es un número real, ¿qué valor debe tomar k para que el cuociente k – i2 – i sea igual a (3 + i)?

A) 0 D) 7 B) 1 E) 13 C) 3

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5. Si i es la unidad imaginaria, la expresión 30i + 20(– i + 3)(i + 3) es igual a

A) 5

4 • (2 + 3i) D) 2 – 3i

B) 2 + 3i E) 54 • (2 – 3i)

C) 2 – 3i10

6. Sean z1 = a + bi y z2 = c + di dos números complejos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) z1 + z2 = z1 + z2 II) z1 : z2 = z1

III) z1 – z2 = z1 – z2

A) Solo I D) Solo I y III B) Solo II E) Solo II y III C) Solo I y II

7. Si i es la unidad imaginaria, la expresión (– 3i)2 • (1 – 2i)2 + 2i es igual a

A) – 94

– 27i4

D) – 274

– 9i4

B) 9

4 + 27i

4 E) 9

4 – 27i

4

C) 274

– 9i4

8. Si i es la unidad imaginaria, ¿cuáles son los valores reales de a y b que satisfacen la igualdad (a + i)2 = 2 + bi?

A) a = �3 b = 2�3 D) a = 3 b = 6 B) a = 1 b = 2 E) a = 1 b = 0 C) a = �3 b = �6

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A9. Sea i la unidad imaginaria. ¿Para qué valor de m la expresión (m + 4 + im)(5 – 2i) es un número real?

A) – 4 D) 83

B) – 207 E) – 6

5

C) 1

10. Si i es la unidad imaginaria, el cuociente (4i20 + 3i3) : (2i5 – 3i6) es igual a

A) 613 + 6i

13 D) 613 – 17i

13

B) 1213

– 15i13

E) – 1213 + 15i

13

C) 185 + 17i

5

11. Si i es la unidad imaginaria, el valor de (3i– 4 + 2i– 3 – i– 2)– 1 es

A) 15

– 110

i D) 15

+ 110

i

B) 12

– 14

i E) – 14

+ 14

i

C) – 15

– 110

i

12. Si i es la unidad imaginaria, el valor de 4i8 + 5i4 + i5

es

A) 21 + 16i D) 21 – 16i17

B) 21 – 16i E) 16 – 21i17

C) 21 + 16i17

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13. Sea i la unidad imaginaria. Si z = 4 – 3i y w = – 2 + i, ¿cuál es el valor de (z– 1 + w–1)?

A) – 2 – 16i21 D) 18 + 2i

25

B) – 6 – 2i25 E) – 6 + 2i

65

C) 1 – 5i25

14. Sean los números complejos z = 4 – i ; w = 1 – 3i y v = 6 – 8i, entonces (w – v) • zw

es igual a

A) – 9 – 2i D) – 31 – 39i B) – 9 + 2i E) – 43 – 66i C) – 16 + 38i

15. Si i es la unidad imaginaria, ¿cuáles deben ser los valores de a y b para que se cumpla la igualdad4 + 2bi10 – 6i = 2a – 6i?

A) a = 2 b = – 42

B) a = – 85 b = 102

5

C) a = 20 b = – 150

D) a = 2 b = – 6

E) a = – 42 b = 2

16. El módulo del número complejo z = 1 + ai1 – ai es

A) 1 D) �1 + a2

B) 1 + a2 E) �1 – a2

C) 1 – a2

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17. Dado el número complejo z = – 12 +

�22 i, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) z2 + z + 34 = 0

II) z2 + z = 14

III) z2 = – 14 – �2

2i

A) Solo I D) Solo I y III B) Solo II E) Solo II y III C) Solo III

18. Sea z = (2, 3) un número complejo. ¿Cuál(es) de las siguiente(s) afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) |z| = 13

II) z–1 = ( 213 , – 3

13 ) III) z : z = ( – 5

13 , 1213 )

A) Solo I D) Solo I y III B) Solo II E) Solo II y III C) Solo I y II

19. Si z = �3 + i�2

2 es un número complejo, entonces el valor de (z • z–1) es igual a

A) 1 D) – 15 + 2�6

5 i B) 1

5 + �65 i E) 1

5 – 2�65 i

C) – 710 +

�610 i

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20. La suma de dos números complejos es (2 + i). Si la parte real del primero es 4 y el cuociente entre este y el segundo es un número real, entonces ¿cuáles son los números?

A) (4 + 2i) y (– 2 – i)

B) (4 – 2i) y (– 2 – i)

C) (2 + 13 i) y (2 + 2

3 i)

D) (4 + 23 i) y (2 + 1

3 i)

E) (2 + 2i ) y (2 – i)

21. Si x e y son números reales positivos e i es la unidad imaginaria, ¿para qué valor de y se cumple la igualdad (x – 3i)(y + i) = x + 7i?

A) 9 D) 2

B) 23 E) 1

C) 73

22. Si i es la unidad imaginaria, la solución del sistema (4 + i)x + 2y = 1 + 4i(1 – i)x + iy = 0

es

A) x = – 2 + 9i9 y = 7 + 11i

9

B) x = – 2 + i y = – 3 – i

C) x = 6 + 7i15 y = – 1 + 13i

15

D) x = 11 + 14i14 y = – 1 + 21i

14

E) x = – 7 + i5 y = – 8 + 6i

5

23. Si el número complejo z = (5, 4) es una de las raíces de la ecuación x2 + mx + n = 0, entonces los valores de m y n son, respectivamente

A) 10 y – 41 D) 5 y 4 B) – 10 y – 59 E) – 41 y 10 C) – 10 y 41

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A24. Dados los complejos z1 = 5 – 3i, z2 = 2i – 1 y z3 = – 3 + i. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) z1 + z2 = – i + 4

II) |z1 – z3| = 4�5

III) (z3)– 1 = z

10 A) Solo II D) Solo II y III B) Solo III E) I, II y III C) Solo I y II

25. Si el número complejo que se obtiene al dividir x + 3i6 – 5i está ubicado gráficamente en la bisectriz

del primer cuadrante, ¿cuál es el valor de x?

A) – 3 D) 6

B) – 311 E) 33

C) 3

26. ¿Cuáles son los valores de x e y en la ecuación (x + yi)(3 – 2i) = 13?

A) x = 13 y = 0 D) x = 395 y = 26

5

B) x = 2 y = 3 E) x = 265 y = 39

5

C) x = 3 y = 2

27. Sean los números complejos z = 4 – ai y w = 6 – bi. Se puede determinar el valor numérico de la suma entre el doble de z y w si:

(1) – 2a = b (2) b = 2

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

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28. Sea z = a + bi un número complejo. Se puede determinar que z = 1z , si:

(1) z tiene módulo igual a 1. (2) z es un número real.


29. Sean los números complejos (3 – 6i) y ( 4 + bi ). Se puede determinar que el producto entre ellos es un número imaginario si:

(1) b = – 2 (2) b es un número entero.


30. Se puede determinar el valor numérico de la expresión in + 2, con n un número natural, si:

(1) n se encuentra entre veinte y treinta. (2) n es múltiplo de doce.


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Tabla de corrección Ítem Alternativa Habilidad

1 ASE2 Comprensión3 Aplicación4 Aplicación5 Aplicación6 ASE7 Aplicación8 Aplicación9 ASE10 Aplicación11 Aplicación12 Aplicación13 Aplicación14 Aplicación15 Aplicación16 Aplicación17 ASE18 ASE19 Aplicación20 ASE21 Aplicación22 Aplicación23 Aplicación24 ASE25 ASE26 Aplicación27 ASE28 ASE29 ASE30 ASE

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