Guia 3 de Analisis Matematico

Todo lo que necesits para tu carrera, encontralo en www.exapuni.com! 0 0

Bienvenido a la serie de guas resueltas de Exapuni! Esta serie de guas resueltas fue hecha por

estudiantes de comunidad Exapuni para facilitar el estudio y con la mejor intencin de ayudar.

Esperamos que te sean tiles. Pods buscar todo el material, responder tus dudas y mucho ms

durante toda tu carrera en www.exapuni.com, sumate!

a)

( ) [ ( )] [ ] ( )

No hay restricciones en el dominio, puede tomar cualquier valor.

( )

( ) [ ( )] [ ] ( )


( )

b)

( ) [ ( )] [ ] ( )


( )

www.exapuni.com Todo para tu Carrera!

Gua 3 Anlisis matemtico (Cs. Econmicas)

2014

( ) ( )

( ) ( )

Ejercicio 1: Calcular y

Todo lo que necesits para tu carrera, encontralo en www.exapuni.com! 1

( ) [ ( )] [ ] ( )


( )

c)

( ) [ ( )] [ ]

El denominador tiene que ser distinto de cero, esto nos restringe el dominio.

( ) { }

( ) [ ( )] [

] (

)

Nuevamente, el denominador tiene que ser no nulo.

( ) { }

d)

( ) [ ( )] [

]

( )

( )

El denominador tiene que ser distinto de cero, esto nos restringe el dominio.

(

)

( )

( )

( )

( )


( ) {

}

( ) [ ( )] [

]

Nuevamente, el denominador tiene que ser no nulo.

( ) {

}

a) La funcin

La funcin tiene como variables:

{ ( )

Por lo tanto, lo que tenemos es:

b) Dar la funcin que permite

La funcin, en realidad, es la misma, salvo que se despeja la otra variable.

Vamos a cambiar el nombre a las variables para que sea ms entendible el procedimiento:

{

Ejercicio 2:


a) ( )

Dado que la raz es par, el argumento (lo que est

adentro de la raz) debe ser positivo (o cero).

Por lo tanto, el conjunto dominio es:

( ( )) { }

La forma ms clsica de expresar los dominios es en forma de intervalos, en este caso:

( ( )) [ )

b) ( )

De la misma manera que en el ejercicio anterior, el

argumento es mayor a cero.


( ( )) { }

En forma de intervalo:

( ( )) [ )

c) ( ))

Argumento

Ejercicio 3: Hallar el dominio y representar grficamente...



( ( )) {

}


( ( )) [

)

d) ( )

Argumento


( ( )) { }


( ( )) ( ]

e) ( )

Atencin, en este caso, como la raz es impar, no hay

restricciones de dominio.


( ( ))

f) ( )

Como la raz es impar, no hay restricciones de dominio.


( ( ))


En este ejercicio, se pide graficar para ver cmo se van modificando las grficas de las funciones

con pequeas modificaciones. Es interesante observar y sacar conclusiones sobre estos

corrimientos que se ven.

a)

| |

y

b)

( )

c)

(

)

d)

( )

e) ( )

(( )

)

( )

| |

Ejercicio 4: Hallar los que verifican...


y

f)

( )

| |

y

a) ( )

( )

( ( ) )

b) ( )

( )

El denominador tiene que ser no nulo.

Ejercicio 5: Calcular y dar el dominio...


( ( ) ) { }

c) ( )

( )


( ( ) ) { }

d) ( )

( )

( )

( )


( ( ) ) { }


e) ( )

( )

La raz es impar, el argumento puede ser positivo o negativo sin problemas.

( ( ) )

f) ( )

( )

A diferencia del punto anterior, la raz es par y el argumento debe ser positivo.

( ( ) ) ( )

g) ( )

( )

( ( ) )

h) ( )


( )

( ( ) )

Lo que es el punto donde comienza a ser ( ) .

( )

Despejando,

El punto ser, entonces,

El planteo es igual al del ejercicio anterior, con otra funcin.

( )

( )

Por lo tanto, los valores son entre cero y .

a) ( )

Ejercicio 6: Una empresa calcula que el costo de produccin...

Ejercicio 7: La funcin demanda de ...

Ejercicio 8: Graficar las siguientes funciones...


Comportamiento en el infinito:

Como se observa en el grfico, la imagen (conjunto de valores de ) va desde hacia arriba.

( ) ( )

b) ( )


Como observamos en el grfico, la imagen es el conjunto de los reales positivos.

( ) ( )

c) ( )

Tiende a Tiende a

Tiende a Tiende a



Como observamos en el grfico, la imagen es el conjunto de los reales positivos.

( ) ( )

d) ( )


Como observamos en el grfico, la imagen es el conjunto de los reales mayores a .

( ) ( )

a) ( ) ( )

Tiende a Tiende a

Tiende a Tiende a

Ejercicio 9: Calcular el dominio de las siguientes funciones...


Como restriccin al dominio, tenemos la condicin de que el argumento de un logaritmo

debe ser positivo.

En este caso,

( ( )) ( )


( ( ))

b) ( ) ( )


debe ser positivo.

Tiende a Tiende a


En este caso,

( ( )) ( )


( ( ))

c) ( ) ( )


debe ser positivo.

En este caso,

( ( )) ( )


( ( ))

Tiende a Tiende a

Tiende a Tiende a


d) ( ) ( )


debe ser positivo.

En este caso,

( ( )) { }


( ( ))

a) ( )

El grfico correspondiente es el V.

Tiende a Tiende a

Ejercicio 10: Dadas las funciones...


Hallamos la funcin inversa:

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

Graficando:

b) ( )

El grfico correspondiente es el I.



( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

Graficando:

c) ( )

El grfico correspondiente es el IV.



( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

Graficando:

d) ( ) (

)

El grfico correspondiente es el III.



(

)

(

)

( )

Graficando:

e) ( ) ( )

El grfico correspondiente es el VI.



( )

( )

( )

Graficando:

f) ( ) ( )

El grfico correspondiente es el II.



( )

( )

( )

Graficando:

Este es un ejercicio tpico de anlisis de funciones.

( ) ( )

Descripcin Desarrollo Respuesta

Dominio

( ( )) ( )

Ejercicio 11: Para las siguientes funciones...


Ceros ( )

{ }

Positividad ( ) ( )

( )

Negatividad ( ) ( )

( )

( ) ( )


Dominio

| | ( ( )) ( )( )

Ceros ( )

| |

{ }

Positividad ( ) ( )

| |

( )( )

Negatividad ( ) ( )

( )

( ) ( )


Dominio

( ( )) ( )

Ceros ( )

{ }

Positividad ( ) ( )

( )

Negatividad ( ) ( )

( )


( ) ( )


Dominio

( ( )) ( )

Ceros ( )

{

}

Positividad ( ) ( )

(

)

Negatividad ( ) ( )

(

)

Este es un simple ejercicio para estar en condiciones de hacer despejes utilizando

logaritmos.

a)

( )

b)

( )

( )

c) ( )

d)

Ejercicio 12: Hallar los que verifican.


e)

f)

a) ( )

(

)

( )

( ) ( )

Como mencionamos anteriormente, el argumento del logaritmo tiene que ser positivo,

Ejercicio 13: Hallar ( ) e indicar su dominio.


( ( )) ( )

b) ( ) ( )

( )

( )

( ( ))

c) ( )

( )

( )

( ) ( )


( ( )) (

)

d) ( ) ( )

( )

( )


( )

( ( ))

e) ( )

(

)

(

)

(

)

( ) (

)


( ( )) ( )

f) ( ) ( )

( )

( )


| |

( ( ))

a) A cunto ascender el capital

La funcin que vamos a analizar es de la forma:

( )

(

(

)

)

Funcin para clculo en inters compuesto.

Para el caso particular del enunciado, tenemos que:

( )

(

)

( ) (

)

( )

Atencin, cuando reemplazamos variables en ecuaciones es de vital importancia mirar que

las unidades sean las adecuadas.

En este caso, la unidad de tiempo es en meses.

Por lo tanto, el ejercicio nos pide:

( ) ( )

b) Y al cabo de ?

Ejercicio 14: Un capital se deposita


Este punto se resuelve igual al anterior.

( ) ( )

c) Cunto deber invertirse

La ganancia es de la forma ( ) ( )

Por lo tanto, planteamos que:

(

)

(

)

( )

d) En cunto tiempo se triplicar

Lo que se pide es el momento en que ( ) .

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

a) Cul es el capital inicial?

La funcin inicial es ( ) ( ) .

Del ejercicio anterior, tenemos que el inters compuesto es de la forma (

) .

Igualando, tenemos:

( ) (

)

El capital inicial es

b) Cul es el inters?

De la igualdad anterior, tenemos

Ejercicio 15: Si la funcin exponencial


a) Cuntos habitantes habr en el ao 2010?

La frmula que se utiliza para calcular la cantidad de habitantes a partir del ao 2004 es

( )

, donde es la cantidad de aos transcurridos desde el 2004. Es decir, se calcula

como

Para conocer , nicamente necesitamos hacer la cuenta .

Sustituyendo en la ecuacin *, obtenemos la cantidad de habitantes:

( )

b) Cundo habr ms de 50 millones de habitantes?

El procedimiento es el inverso, tenemos el valor de y queremos

averiguar el valor de . De la misma manera, sustituimos en la ecuacin * y despejamos.

(

) ( )

(

)

( )

c) Cundo se duplicar el nmero de habitantes del ao 2004?

Primero queremos saber cul es la cantidad de habitantes para el ao 2004. Para este caso,

. Sustituyendo en la ecuacin *,

( )

Ejercicio 16: El nmero de habitantes de la Repblica Argentina


Por lo tanto, queremos saber el valor de para el que la cantidad de habitantes es

.

Sustituyendo en la ecuacin *,

(

) ( )

(

)

( )

Es decir, esto ocurrir en el ao

La funcin con la que trabajamos en este ejercicio es ( ) .

Segn el enunciado, se busca el valor de para el que . Sustituyendo en la ecuacin, de la

misma manera que en el ejercicio anterior,

(

) ( )

(

)

(

)

Este valor no es posible porque las unidades son nmeros enteros.

Las demanda de productos puede ser o . En cada caso, los precios son:

( )

( )

Ejercicio 18: La funcin demanda de un producto

Ejercicio 19: La funcin demanda de un producto


a) Graficar aproximadamente esta funcin.

( )

La grfica de la funcin es:

Es recomendable elegir algunos puntos y armar una tabla con tres puntos.

b) Expresar en funcin de .

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

Ejercicios surtidos:

No recomiendo perder tiempo en un ejercicio como este, no aporta nada.

Vamos a utilizar la frmula de inters compuesto que vimos en el ejercicio 14.

Ejercicio 1: Escribir los siguientes

Ejercicio 2: Un capital de $10.000 se invierte


( ) (

)

Sustituyendo con los datos del ejercicio,

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

( )

( )

( )

La cantidad de perodos (aos) completos es 7, nuevamente aparece la necesidad de

trabajar con nmeros enteros.

La curva de la funcin es de la forma:

Observando los, vemos que tiene un vrtice en , en el medio entre las dos races. En

el vrtice, las funciones cuadrticas, cambian de crecimiento a decremiento o viceversa. Por lo

tanto, nos marca el lmite entre los dos intervalos que nos piden.

El intervalo de crecimiento es ( )y el de decrecimiento es ( ).

Ejercicio 3: El conjunto de positividad de una funcin cuadrtica


Haciendo un poco de memoria, recordamos que el punto de equilibrio es la interseccin

entre la oferta y la demanda. Si no lo records, pods volver al ejercicio 14 de la gua anterior para

repasarlo.

( ) ( )

| |

a) La ecuacin de oferta de cierto producto

Lo nico que tenemos que hacer es despejar el valor de de la ecuacin.

Ejercicio 5: La funcin de demanda de un producto

Ejercicio 6: Hallar el valor de a

Ejercicio 7: En cada uno de los problemas


(

) ( ) aplicando logaritmo natural a ambos miembros

(

)

(

) opcin I.

b) La curva de oferta

Como hicimos en el ejercicio 5, vamos a igualar la oferta y la demanda.

( ) ( )

( )

, tomamos solo la solucin positiva.

Para calcular el precio, podemos reemplazar en cualquiera de las dos ecuaciones (recordar

que el punto de la interseccin pertenece a las dos funciones).

( ) ( )

Elegimos la opcin I.

c) La funcin ( ) ( )

Para comenzar, necesitamos que el argumento del logaritmo sea positivo. Por lo tanto,

primera condicin


(

)

El intervalo de positividad lo podemos hallar, buscando los valores en que ( ) .

( )

segunda condicin

( )

La interseccin de ambas condiciones es (

)( ) ( )

Finalmente, el intervalo de positividad es ( )

La opcin II es la nica incluida en el intervalo de positividad.

d) El dominio natural de ( )

El dominio natural es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente

( ) dentro de la funcin sin importar las restricciones de dominio que se le impongan.

En este caso, el argumento del logaritmo tiene que ser positivo.

( ) opcin I.

e) El vrtice de la parbola de ecuacin ( )

La parbola est expresada en forma cannica:

( ) ( )

Donde ( ) es el vrtice de la parbola.

En nuestro caso:


(

)

Finalmente, el vrtice es ( ) opcin I.

Esta gua fue hecha con la mejor intencin, con la mayor profesionalidad posible y como

un aporte til para la comunidad. Si encontrs algn detalle, pods dejarnos tus

comentarios en www.exapuni.com para que mejoremos el material al mximo!

Documents

Guia 3 de Analisis Matematico