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derivadas
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Vicerrectora Acadmica Direccin de Servicios Acadmicos
Subdireccin de Servicios a Escuelas
SOLUCIONES GUA N 4 DE CLCULO I
Ejercicio N1
a)
() ()
Tiempo Deuda -Tasa de crecimiento de la deuda
-Razn de cambio de la deuda
Aos Millones
dlares
-
-Millones dlares por ao
b) = [0,20]
c) La deuda de estados unidos al inicio de 1990 es de 3.247,7 millones de dlares
d) Derivada : 85,27182,5777,1044,0 23 ttt
dt
df
Valor: 65,330)10( dt
df
Transcurrido 10 aos la tasa de crecimiento de la deuda nacional de EEUU
corresponde a 330,65 millones de dlares por ao (o 330.650.000 dlares
por ao)
Ejercicio N2
a)
() ()
Tiempo Poblacin -Tasa de crecimiento de la poblacin
-Razn de cambio de la poblacin
Aos Miles
habitantes
-
-Miles de habitantes por ao
b) = [0,12]
c) Dentro de 5 aos se estima que la poblacin sea de 322.521 habitantes
Derivada :
te
dt
dp 75,075,0
Valor: 544,640)9( dt
dp
La tasa de crecimiento de la poblacin trascurrido nueve aos ser de 640.544
personas por ao (o 640,544 miles de habitantes por ao)
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Ejercicio N3
a) () ()
Tiempo Impuesto
Predial
-Tasa de crecimiento del impuesto
-Razn de cambio del impuesto
Aos Miles de
pesos
-
-Miles de peso por ao
b) Derivada : xx exexxI )50(2 2
Valor: 02176,39536)6( I
Posibles interpretaciones:
- La tasa de crecimiento del impuesto predial a inicios del ao 2011
corresponde a 39.536.022 pesos por ao (o 39.536,022 miles de pesos
por ao)
- La razn de cambio del impuesto predial a inicios del ao 2011
corresponde a 39.536.022 pesos por ao (o 39.536,022 miles de pesos
por ao)
Ejercicio N4
Derivada : t
etV8,0
10)(
Valor: 9815,545)5( V
La tasa de crecimiento de las ventas trascurrido 5 meses corresponde a 545.982
pesos por mes. (o 545,982 miles de pesos por mes)
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Ejercicio N5
a) () () ()
Tiempo Posicin Rapidez Instantnea Aceleracin Instantnea
Minutos km -
-Kilmetros por minutos
- 2
-Kilmetros por minutos2
b)
Derivada : tts 04,0)( 04,0)( ts
Valor: 23)30( s 2,1)30( s 04,0)30( s
Interpretacin:
- A los 30 minutos de su partida el ciclista se encuentra en el kilmetro 23
-La rapidez instantnea a los 30 minutos de su partida corresponde a 1,2
km/min
-La aceleracin instantnea a los 30 minutos corresponde a 0,04 km/min2
Ejercicio N6
Derivada : 53523)( xx exextd
535266)( xxex exexxetd
Valor: 31,7)3( d 69,67)4( d
La rapidez instantnea del automvil a las 3 horas es de 7,3 km/h y su aceleracin
instantnea a las 4 horas corresponde a 67,7 km/h2.
Ejercicio N7
a) () () ()
Tiempo Posicin Rapidez Instantnea Aceleracin Instantnea
minutos cm -
-centmetros por minuto
- 2
-centmetros por minutos2
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b) = [0,3]
c) Inicia su recorrido a los 45 cm del punto de partida
c) Derivada : 1823)(
2 ttxf 26)( txf
Valor: 26)2( f 10)2( f
La rapidez instantnea que lleva el carro a los 2 minutos corresponde a 26
cm/min y la aceleracin instantnea es de 10 cm/min2 .
Ejercicio N8
a)
() ()
Tiempo Volumen -Razn de cambio del volumen
-Taza de decrecimiento del volumen
minutos galones -
-Galones por minutos
b) () = 100.000 2 1
60 (1
60) () =
10.000
3 (1
60)
c) Valor: 66,1666)30( V
Posibles interpretaciones:
-La rapidez instantnea a los 30 minutos, con la que el agua sale del
depsito corresponde a 1.667 galones por minuto.
-A los 30 minutos, el agua sale del depsito a una razn de 1.667 galones por
minuto
Ejercicio N9
Derivada :
222
81,0
215,081,015,0)(
t
tttxc Valor: 0207,0)2( c
Posibles interpretaciones:
-A las dos horas la concentracin de medicamento est disminuyendo en 0,0207
ml/hr.
-La rapidez con la que disminuye la concentracin de medicamento a las dos horas
de su aplicacin es de 0,0207 ml/hr
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Ejercicio N10
Derivada :
222
1
21024124)(
t
ttttp
Valor: 6804733,5)5,1( p
Posibles interpretaciones
-La rapidez instantnea a las 1,5 horas con la que disminuye la poblacin, es de
5.680 bacterias por hora.
-la tasa de decrecimiento de la poblacin a las 1,5 horas es de 5.680 bacterias
por hora.
Ejercicio N11
a) Variables Significado Unidad de Medida
Cantidad de fertilizante Kilos
() Ingreso pesos
()
-Ingreso marginal
-Tasa de crecimiento de los ingresos
-Razn de cambio de los ingresos
-
-Pesos por kilo
() costos pesos
()
-Costo marginal
-Tasa de crecimiento de los costos
-Razn de cambio de los costos
-
-Pesos por kilo
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b) Derivada : xxI 418000)(
c) Valor: 200.538)30( I
- Al vender 30 kilos de fertilizante, el ingreso ser de 538.200 pesos
Valor: 880.17)30( I
Posibles interpretaciones:
- Si la produccin es de 30 kilos de fertilizante, la tasa de crecimiento del
ingreso ser de 17.880 pesos por kilgramo
- Si la produccin es de 30 kilos de fertilizante, el ingreso marginal ser de
17.880 pesos por kilgramo
d) Derivada : xxC 21000)(
e) Valor: 900.30)30( C
- El costo de 30 kilos de fertilizante ser de 30.900 pesos
Valor: 1060)30`( C
Posibles interpretaciones:
- Si la produccin es de 30 kilos de fertilizante, la tasa de crecimiento del costo
ser de 1.060 pesos por kilgramo
- Si la produccin es de 30 kilos de fertilizante, el costo marginal ser de
1.060 pesos por kilgramo
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Ejercicio N12
a)
Variables Significado Unidad de Medida
Cantidad de productos unidades
() Ingreso dlares
() =
-Ingreso marginal
-Tasa de crecimiento de los ingresos
-Razn de cambio de los ingresos
-
-dlares por unidad
() costos pesos
()
=
-Costo marginal
-Tasa de crecimiento de los costos
-Razn de cambio de los costos
-
-dlares por unidad
b) Derivada : 50)( xIM y 01,0)( xCM Valor: 50)700( IM y 01,0)700( CM
- Si la produccin es de 700 unidades, la tasa de decrecimiento del costo ser
en 0,01 dlares por unidad
O Si la produccin es de 700 unidades, el costo marginal ser de -0,01
dlares por unidad
- Si la produccin es de 700 unidades, la tasa de crecimiento del ingreso ser
de 50 dlares por unidad
O Si la produccin es de 700 unidades, el ingreso marginal ser de 50
dlares por unidad
Ejercicio N13
Derivada : 40)( xc xxi 02,0100)( Valor: 40)24( c 82,98)59( i
- Si la produccin es de 24 litros, la tasa de crecimiento del costo ser en 40
dlares por litro.
O Si la produccin es de 24 litros, el costo marginal ser de 40 dlares por litro
- Si la produccin es de 59 litros, la tasa de crecimiento del ingreso ser de 98,9
dlares por litro
O Si la produccin es de 59 litros, el ingreso marginal ser de 98,9 dlares por
litro
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Ejercicio N14
Derivada : 25,0
5,0
101
5)(
t
t
e
etp
Valor: 123,0)5( p
Posibles interpretaciones
-La rapidez instantnea de esparcimiento del rumor a las 5 horas corresponde a un
12,3% de la poblacin por hora
-la tasa de crecimiento del rumor a las 5 horas corresponde a un 12,3% de la
poblacin por hora
Ejercicio N15
Derivada : 22
10
12,0)(
tt
etetC
Valor: 0223,0)3(0)2(06,0)1( CCC
-la tasa de crecimiento del % de alcohol en la sangre a cabo de una hora es de
0,06% por hora, es decir, el % de alcohol est aumentando en la sangre a 0,06%
por hora.
-la tasa de crecimiento del % de alcohol en la sangre a cabo de dos hora es de
0,0% por hora, es decir, el % de alcohol no est aumentando en la sangre.
-la tasa de decrecimiento del % de alcohol en la sangre a cabo de tres horas es de
0,02% por hora, es decir, el % de alcohol est disminuyendo en la sangre a 0,02%
por hora.
Ejercicio N16
Derivada : 22
2
16
80050
t
ttp Valor: 56,03 p ; 39,07 p
- A los 3 das del primer caso reportado la rapidez con que aumenta del % de
estudiantes que sufre la enfermedad es de 0,56% por da. En otras palabras a los 3
das la tasa de crecimiento del % de estudiantes que sufre la enfermedad es de
0,56% por da
- A los 7 das del primer caso reportado la rapidez con que disminuye % de
estudiantes que sufre la enfermedad es de 0,39% por da. En otras palabras a los 7
das la tasa de decrecimiento del % de estudiantes que sufre la enfermedad es de
0,39% por da
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Ejercicio N17
Derivada : () = 32 4 + 6 Valor: (0,5) = 4,75
La corriente que pasa a los 0,5 minutos por el alambre corresponde a 4,75 amperes
(coulombs/seg.).
Ejercicio N18
Derivada : 512 xtp Valor: 12510 p Transcurridas 10 semanas la tasa de crecimiento de la poblacin corresponde a 125
personas por semana.
Ejercicio N19
Derivada : xextp 04,05020 Valor: 11,39115 p - A los 15 das la poblacin crecer a una razn de 391 conejos por da
- La tasa de crecimiento a los 15 das ser de 391 conejos por da
Ejercicio N20
Derivada : 50)( xc 100)( xi Valor: 100)60( i 50)50( c
- Si la produccin es de 50 unidades, la tasa de crecimiento del costo ser en 50
dlares por unidad
- Si la produccin es de 60 unidades, la tasa de crecimiento del ingreso ser de 100
dlares por unidad
Ejercicio N21
Derivada : 3618)(
55369)( 2
ttd
tttd Valor:
63)5,1(
163)2(
d
d
La rapidez instantnea del carrito a los 2 minutos es de segcm163
La aceleracin instantnea del carrito a los 1,5 minutos es de 263 segcm