Universidad Catolica del NorteDepartamento de Matematicas

Guıa 7: Numeros ComplejosMA-142

Prof: Fernando Vasquez

1. Resuelva las siguientes ecuaciones

a) z2 − 6z + 10 = 0

b) 4z2 + 4z + 13 = 0

c) z2 − 2z + 2 = 0

d) z2 + z + 1 = 0

2. Considere los complejos de la forma a+ bi. Demuestre:

a) La suma de complejos es conmutativa. Justifique cada paso.

b) El producto de un numero complejo y su conjugado es un numero real.

c) La diferencia entre un numero complejo y su conjugado es un numero imaginario.

3. Efectuar las operaciones indicadas y expresar el resultado en la forma canonica (es decir, la formaa+ bi).

a) (4− 5i) + (2 + 7i)

b) (2 +√−4)− (3−

√−9)

c)1

2− 3i

d) (1 + i)−1 − i−1

e)2

5i

f)13 + i

2 + i

g)i5 + 3

i3 − 1

h) (3 + 4i)(5− 12i)

i) (1− 2i)−2

j)7

1− 3i

k)√−a2 +

1

2

√−4a2 − 1

3

√−9a2

l)

(−3

2+

3

2

√3i

)3

4. Calcular el conjugado y el modulo de los siguientes numeros complejos:

a) 2 + 3i b) −3− 4i c) 2 +√

3i

5. Por factorizacion obtener las 4 raıces de la ecuacion x4 − 16 = 0 y probar que su suma es igual acero.

6. Sea z ∈ C y k ∈ R, demostrar que:

a) k · z = k · zb) k · zn = k(z)n, n ∈ Nc) Imz ≤ |z|

1

7. Calcule

a) i3 b) i4 c) i9

Ahora generalice: i4n, i4n+1, i4n+2 e i4n+3.

8. Mostrar que [(3 + 7i)2

8 + 6i

]=

(3− 7i)2

8− 6i

9. Si |z| = 1, entonces mostrar que ∣∣∣∣az + b

bz + a

∣∣∣∣ = 1

10. Para cualquier par de numeros complejos z1 y z2, se tiene

|z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|,

lo cual se conoce como desigualdad triangular. Demuestre que

||z1| − |z2|| ≤ |z1 + z2|

11. Expresar cada uno de los complejos en su forma polar

a) 2√

3− 2i

b) −7

c) 3i

d)1 + 2i

3− 4i+

2− i5i

12. Efectue las operaciones indicadas; el resultado expreselo en forma polar.

a) [3(cos 45◦ + isen 45◦)][√

2(cos 90◦ + isen 90◦)]

b)8(cos 100◦ + isen 100◦)

4(cos 65◦ + isen 65◦)

c) [3(cos 60◦ + isen 60◦)][2(cos 30◦ + isen 30◦)]

d) [5(cosπ/2 + isenπ/2)] : [10(cosπ/4 + isenπ/4)]

13. En los ejercicios siguientes, llevar cada complejo a la forma polar y luego efectuar las operacionesindicadas. Su resultado expreselo de la forma a+ bi.

a) (3 + 4i)(5− 12i) b)7

1− 3ic) (2 + 3i)5

14. Exprese utilizando la formula de Euler, los siguientes numeros complejos:

a) 2i b) −1−√

3ic) −3

√3

2+

3i

2

d) 2 + 2i

15. Evalue (1 + i)20. Su resultado en la forma a+ bi.

2

16. Pruebe que

a) Im(iz)=Rez; Re(iz)=−Imz

b) |z1 − z2|2 + |z1 + z2|2 = 2(|z1|2 + |z2|2)

17. Use De Moivre y calcule

a) [√

2(cos 30◦ + isen 30◦)]4

b) [√

3(cos 15◦ + isen 15◦)]6

c) (−1 +√

3i)4

d) (1− i)−3

18. Resuelva las siguientes operaciones:

a)i26 − 1

i− 1b)

i35 + 1

−i+ 1c)

(2i− 2)2

2i13 − 2

19. Si z = 6i y w =√

2 +√

2i expresar zw y z/w, usando la formula de Euler.

20. Calcule las seis raıces sextas de −1. Representelas geometricamente.

21. Calcule las cinco raıces quintas de 1− i. Representelas geometricamente.

22. Encuentre todas las soluciones de las siguientes ecuaciones

a) z3 + 8i = 0

b) z6 = −64

c) z5 − 2 = 0

d) z4 + i = 0

e) z3 + 4 = −4√

3i

f) z6 + 7z3 − 8 = 0

3