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8/18/2019 GUIA CAL DIF E INT

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GUÍA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Academia de Matemáticas y Física I.C.

1. Aplique el método de inducción matemática para probar las siguientes proposiciones.

a) b)

c)

d)

e) f) es divisible por 6.g)

2. Halle la solución de las siguientes desigualdades de primer orden.

a)

b)

c)

d) e) f) g) La compañía de Jake fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $ 20 y un

costo unitario de $15 . Si los costos fijos son de $ 600 000, determine el número mínimo de

unidades que debe ser vendidas para que la compañía tenga utilidades.

3. Determine el conjunto solución de las desigualdes de segundo orden mostradas a continuación.

a) b) c) d) e) f)

4. Calcule la solución de las siguientes ecuaciones o desigualdades valor absoluto.

a) b) c) d)

e)

f)

g) h) i)

5. Halle el dominio de las siguientes funciones.

a) b) c) d)

e)

f)


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6. Grafique las funciones mostradas abajo.

a) b) c) d)

e)

f)

7. Encuentre el dominio y rango y grafique las siguientes funciones.

a) b) c) g

8. Exprese el perímetro P de un cuadrado en función de su área A.

9. Un cilindro circular recto de radio R está inscrito en una esfera de radio 2R. Encuentre una

fórmula que exprese el volumen V del cilindro en función del radio R.

10. De una hoja cuadrada de cartón de 40 cm por lado se ha de construir una caja sin tapa,

recortando un cuadrado en cada una de las esquinas y luego doblando los bordes hacia arriba.

Si x es la longitud de cuadrado recortado, determine el volumen de la caja en función de x.

11. ¿Cuáles de las siguientes funciones son pares o impares?

a) b) c) d) e) f)

12. Grafique las siguientes funciones periódicas.

a) b) c) con si para

13. Sean y . Realice las operaciones requeridas.a) b) c) d) e)


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14. Calcule y para las funciones mostradas a continuación.a) b) c)

d)

e)

15. Sean . Determine el valor de las siguientes expresiones.a) b) c) d) e)

f)

16. Halle la función inversa.

a) b) c) d)

17. Evalúe sin usar la calculadora.

a) b) c) d) e)

18. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) b) c)

19. Considere las funciones . Complete las siguientes tablas. 2.9 2.99 2.999 2.9999 3.0001 3.001 3.01 3.1

0.9 0.99 0.999 0.9999 1.0001 1.001 1.01 1.1 ¿A qué valor se aproxima la función cuando x se acerca a 3?¿A qué valor se acerca la función cuando x se aproxima a 1?


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20. Calcule el valor de los siguientes límites, si existen.

a) b) c)

d)

e) f) 21. Determine el valor de los siguientes límites, si existen.

a) b) c)

22. Halle el valor del límite lateral señalado.

a) b) c) d)

23. Considere la función mostrada abajo.

¿Existe el límite cuando x tiende a 1?¿Y cuando tiende a -1?

24. ¿Es continua ? ¿La función es continua en ? ¿Para qué valor escontinua la función ?

25. Use la definición de derivada para calcular: a)

b)

c)

.

26. Aplique la definición de derivada para obtener la derivada de las siguientes funciones.

a) b) c) d) e)


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27. Calcule la derivada de las funciones mostradas abajo, aplicando las fórmulas correspondientes.

a) b) c) d)

e)

f)

28. Determine las ecuación de la recta tangente a la curva descrita por en .29. Halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva para .30. Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva descrita por que sea paralela a

la recta .31. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva descrita por

que sea

perpendicular a la recta .32. Encuentre las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (-1,1) que son tangentes a la

curva .33. Para las siguientes funciones trigonométricas calcule su derivada.

a) b) c) d)

e)

f)

g) h) i)

34. Determine la derivada de las funciones exponenciales y logarítmicas mostradas a continuación.

a) b) c) d)

e)

e)

f) g) i) NOTA: .

35. Calcule la primera derivada de las funciones hiperbólicas mostradas abajo.

a)

b)

c)

d) e) f)


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36. Aplique las propiedades de los logaritmos (derivación logarítmica) para calcular la derivada de

las siguientes funciones.

a) b) c) d) e) f)

37. Halle la derivada de las siguientes funciones trigonométricas inversas.

a) b) c) d) e) f)

38. Obtenga la derivada de las funciones hiperbólicas inversas proporcionadas a continuación.

a) b) c) d) e) f)

39. Para las siguientes funciones calcule su primera derivada.

a) b) c) d) e)

40. Considere las funciones implícitas mostradas abajo. Determine la derivada señalada.

a) b) c) d) e) f)

41. Calcule la derivada de orden superior señalada.

a) b) c) d) e) f)


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42. El movimiento de una partícula está descrita por la función . Determine laposición, la velocidad y la aceleración en los tiempos .

43. para las siguientes funciones aplique el teorema de Rolle en el intervalo señalado.

a) b) c) 44. Determine si las funciones dadas satisfacen la hipótesis del teorema del valor medio en el

intervalo indicado, de ser así halle todos los valores de c que cumplan con dicho teorema.

a) b) c)

45. Halle los intervalos donde las funciones son crecientes y decrecientes.

a) b) c) d) e)

46. Aplique el criterio de la primera derivada para hallar los máximos y mínimos relativos de las

siguientes funciones.

a) b) c) d) e)

47. Obtenga los extremos absolutos de las funciones mostradas a continuación, en el intervalo

señalado.

a)

b)

c)

48. Calcule los intervalos donde las siguientes funciones son cóncavas hacia arriba y cóncavas

hacia abajo.

a) b) c) d) e)


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49. Aplique el criterio de la segunda derivada para hallar los máximos y mínimos relativos y puntos

de inflexión de las siguientes funciones.

a) b) c) d) e) f)

50. Encuentre dos números no negativos cuya suma sea 60 y su producto sea máximo.

51. Determine el máximo volumen de un cilindro circular recto que se puede inscribir en una esfera

de radio .52. La deflexión de una viga de longitud es , donde es la distancia a

un extremo de la viga. Determine el valor de

que produce la máxima deflexión.

53. Una página rectangular ha de contener 24 pulgadas cuadradas de impresión. Loa márgenes de

la parte superior y de la parte inferior van a ser de 1.5 pulgadas y los márgenes de la izquierda

y la derecha corresponderán a una pulgada. ¿Cuáles deber ser las dimensiones de la página

para que se use la menor cantidad de papel?.

54. El alcance de un proyectil lanzado con una velocidad inicial y a un ángulo medido conrespecto a la horizontal es , donde es la aceleración de la gravedad. Determineel ángulo para el cual el alcance es máximo.

55. Si el número de turistas que hacen un recorrido en autobús a una ciudad es exactamente 30,

una empresa cobra $20 (dólares) por persona. Por cada persona adicional a las 30, se reduce

el cobro personal en $0.50. ¿Cuál es el número de turistas que debe llevar un autobús para

maximizar los ingresos de la empresa?

56. Se va a construir una caja rectangular abierta con base cuadrada y un volumen de 32000 .¿Cuáles son las dimensiones que requieren la menor cantidad de material?

57. Bosqueje la gráfica de la funciones mostradas a continuación, hallando sus simetrías, máximos

y mínimos, puntos de inflexión y asíntotas.

a)

b)

c)

d) e)

58. Un cubo se expande con el tiempo. ¿Cómo se relaciona la razón de aumento de volumen con

la razón de incremento de la longitud de su lado?

59. Un disco metálico se dilata con el calor. Si su radio aumenta a razón de , ¿con quérapidez aumenta el área de una de sus caras cuando su radio es de

?


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60. Cuando un depósito de agua en forma cilíndrica de 40 pies de diámetro se descarga, el nivel

del agua disminuye a razón constante de 1.5 pies por minuto. ¿Con qué rapidez está

disminuyendo el volumen de agua?

61. Aplique la regla de L’Hopital para determinar el valor de los siguientes límites, si es q ue existen.

a) b) c) d) e)

f) g)

62. Determine las series de Taylor de las funciones dadas a continuación, desarrolladas alrededor

del punto indicado.

a) b) c) d) e) f)

63. Calcule el valor de las siguientes sumas.

a) b) c) d)

64. Escribe en la notación se suma las siguientes expresiones.

a) b) c) d) e)

65. Halle una fórmula para las siguientes sumas.

a) b) 66. Obtenga el área de la región delimitada por la gráfica de la función dada y el eje X sobre el

intervalo señalado, aplicando las sumas de Riemann.

a) b) c) d) e)


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67. Halle el resultado de las siguientes integrales.

a) b) c) d)

e)

68. Aplique un cambio de variable apropiado para determinar el valor de las integrales dadas.

a) b) c) d) e) f)

69. Use el método de integración por partes para determinar el resultado de las siguientes

integrales.

a) b) c) d) e) f) e)

70. Calcule el resultado de las siguientes integrales aplicando el método de las fracciones

parciales.

a) b) c) d) e) f) g) h)

71. Determine las siguientes integrales indefinidas de funciones trigonométricas.

a)

b)

c)

d)

e) f) g) h) i) j) k)


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72. Aplique la sustitución trigonométrica apropiada para calcular el valor de las integrales

mostradas a continuación.

a) b) c) d) e) f)

73. Obtenga el valor de las siguientes integrales definidas.

a) b) c) d) e) f) g)

74. Calcule el área de las funciones dadas en el intervalo señalado (es conveniente que realice las

gráficas de las funciones en el intervalo dado)..

a) b) c) d) e) f)

75. Determine el área de la región delimitada por las curvas dadas.

a) b) c) d) e) f) g) h)

76. Calcule el volumen del sólido de revolución generado al girar la región dada, en torno al eje

señalado.

a) b) c) d) e) f) g)


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77. Halle la longitud de arco de las curvas descritas por las funciones dadas sobre el intervalo

indicado.

a) b) c) d) e)

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