UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

GUIA CONTROL 2 COMPLEMENTOS DE MATEMATICA

1. Calcular ∫ |𝑧 − 𝑖|𝑧̅ 𝑑𝑧

𝑆 cuando:

a. S es el trazo −1 ≤ 𝑥 ≤ 1; 𝑦 = 1 recorrido desde (-1,1) hacia (1,1).

b. S es la semicircunferencia superior de centro (0,1) y radio unitario recorrida

en sentido anti-horario.

2. Sea 𝑓(𝑧) analítica en |𝑧 − 𝑧0| ≤ 𝑟 . Demuestre que:

𝑓(𝑧0) =1

2𝜋∫ 𝑓(𝑧0 + 𝑟 𝑒𝑖𝜃)𝑑𝜃

2𝜋

0

3. Calcular:

∫3𝑧 − 2

(𝑧 − 1)3𝑧

𝑆

𝑑𝑧

a. S: 𝑧(𝑡) = 1 + 𝑟 𝑒𝑖𝑡; 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 0 < 𝑟 < 1

b. S: 𝑧(𝑡) = 𝑟 𝑒𝑖𝑡; 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 1 < 𝑟

4. Calcular:

∫𝑑𝜃

1 − 2𝑎 cos 𝜃 + 𝑎2

2𝜋

0

0 < 𝑎 < 1

5. Calcular todos los posibles valores de:

∫𝑒𝑧

𝑧(1 − 𝑧)3

𝑆

𝑑𝑧