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GUIA DE EJERCICIOS PARA MATEMATICAS 5GUIA DE EJERCICIOS PARA MATEMATICAS 5GUIA DE EJERCICIOS PARA MATEMATICAS 5GUIA DE EJERCICIOS PARA MATEMATICAS 5 La presente guía representa una herramienta para el estudiante para que practique los
temas dictados en matemáticas 5. Al final están las soluciones a los ejercicios que asi lo requiere para que verifiquen los resultados. Tenga presente que algunos ejercicios se escapan de la dificultad del curso sin embargo son importante para ampliar mas el conocimiento de los temas, dicho ejercicios podrían estar señalado y se dará una ayuda para resolverlos. Los temas que se aprecian en la guía son:
1. Funciones de varias variables gráficos y conjuntos. 2. Límites y continuidad. 3. Derivados parciales y diferenciabilidad. 4. Propiedades de la derivada. Regla de la cadena. 5. Gradiente, derivada direccional, plano tangente. 6. Derivadas segundas, derivación implícita. 7. Clasificación de puntos críticos. 8. Extremos condicionados, múltiples de LaGrange. 9. Curvas, longitud de arco, integrales de trayectoria. 10. Integrales dobles. 11. Integrales sobre regiones elementales. Cambio de orden de integración 12. Teorema de Green. 13. Integrales triples 14. Aplicaciones
La guía consta con mas 700 ejercicios.
EXISTEN UN ERROR EN LA IMPRESIÓN DEL DOCUMENTO DONDE SALE EL SIGNO DE INTERROGACION ? DEBE IR UNA “O”.
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GUIA DE EJERCICIOS
DERIVADAS E INTEGRALES EN EL ESPACIO “η”
INDICE. TEMATEMATEMATEMA PAGPAGPAGPAG
DERIVADADERIVADADERIVADADERIVADA 3 FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLES 3 DERIVADAS PARCIAL 3 LÍMITES Y CONTINUIDAD 6 DIFERENCIABILIDAD 11 DERIVADAS DIRECCIONALES Y GRADIENTES 13 LA REGLA DE LA CADENA 15 PLANOS TANGENTE 17 MAXIMOS Y MINIMOS, METODO DE LAGRANGE 19
INTEGRALESINTEGRALESINTEGRALESINTEGRALES 22 INTEGRALES DOBLES E ITERADAS SOBRE RECTANGULOS 22 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES NO RECTANGULARES, COORDENAS POLARES 25 APLICACIONES DE LA INTEGRALES DOBLES, AREA DE UNA SUPERFICIE 29 INTEGRALES TRIPLES, COORDENAS CARTESIANAS, CILINDRICAS Y ESFERICAS 31 INTEGRALES DE LINEAS 35 TEOREMA DE GREEN 37 SOLUCIONES A ALGUNOS EJERCICIOS 39
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DERIVADADERIVADADERIVADADERIVADA
FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLES 1.1.1.1.---- Bosqueje la grafica de f. a.- GHI, JK L 6 M I M 2J b.- GHI, JK L N16 M IO M JO c.- GHI, JK L N16 M 4IO M JO d.- GHI, JK L 3 M IO M JO e.- GHI, JK L PQRSQTS 1 f.- GHI, J, UK L IO V JO V UO ; X Y 0 g.- GHI, J, UK L 9IO M 4JO M UO; X Z [ h.- GHI, J, UK L 4IO M 9JO ; X Z [ i.- GHI, J, UK L PRS\TS\]S; X Y 0 2.2.2.2.---- Determine el dominio de G y dibuje su grafica en [O. a.- GHI, JK L N16 M IO M 4JO b.- GHI, JK L NIO M 4JO V 16 c.- GHI, JK L NIO V JO M 16 d.- GHI, JK L ^N^_QRSQ`TS e.- GHI, JK L HRQTKR\T f.- GHI, JK L ln HIJ M 1K g.- GHI, JK L sinQ^HI V JK 3.3.3.3.---- El potencial eléctrico en un punto HI, J, UK del espacio tridimensional es bHI, J, UK volts, donde
bHI, J, UK L 8N16IO V 4JO V UO Las superficies de nivel de V se llaman superficies equipotenciales. Describa estas superficies para 4,2,1 J O
DERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADAS PARCIALPARCIALPARCIALPARCIAL 4.4.4.4.---- Determine todas las primeras derivadas parciales según sea la cantidad de variables presentes. a.- GHI, JK L H4I M JOKcS b.- GHI, JK L PRcos HJK 1 A continuación se te presenta superficies de nivel. Una superficie de nivel para una función de tres variables es la grafica del
conjunto de puntos en el espacio 3 D cuyas coordenadas satisfacen la ecuación GHI, J, UK L X donde k es una constante.
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c.-GHI, JK L H3IO V JOKQdc d.- GHI, JK L PRT e.- GHe, fK L ln HeO M fOK f.- GHg, UK L g sinQ^ hi
] j
g.- GHk, lK L 3km cosH2lK h.- GHI, JK L R\TNTSQRS
i.- GHI, JK L IO cosHJK M 2I tan J j.- k L PQn cosHl V oK ; pqpn
k.- s L HIO V JO V UOKQdS ; pt
p] l.- s L tanQ^ IJUg ; ptpi
m.- GHI, J, UK L PRT sinhH2UK M PRTcosh H2UK
n.- GHk, l, uK L 4kO sinHlK V 5Pq cosHlK sinHuK M 2cos HuK
5.5.5.5.---- Verifique en los siguientes ejercicios que se cumple la siguiente condición.
vOGvJvI L vOG
vIvJ
a.- GHI, JK L 2IOJm M ImJw b.- GHI, JK L HIm V JOKw
c.- GHI, JK L 3POR cosHJK d.- GHI, JK L tanQ^HIJK
e.- GHI, JK L 2Im M 3IOJ V IJO f.- GHI, JK L PQxy V ln hT
Rj
g.- GHI, JK L sinQ^ mTRS h.- GHI, JK L 4I sinh J V 3J coshHIK
i.- GHI, JK L I cosHJK M JPR j.- GHI, JK L 3I coshHJK M sinQ^ PR
6.6.6.6.---- Calcule la pendiente de la tangente a la curva de intersección de la superficie dada con el plano especificado y el punto dado.
a.- z: 36U L 4IO V 9JO {: I L 3 {f|: H3,2,2K
b.- z: 3U L N36 M 9IO M 4JO {: I L 1 {f|: H1, M2, √^^m K
c.- z: 4U L 5√16 M IO {: J L 3 {f|: h2,3, w√mO j
d.- z: 36IO M 9JO V 2UO V 36 L 0 {: I L 1 {f|: H1, √12, M3K
e.- z: IO V JO V UO L 9 {: J L 2 {f|: H1,2,2K
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27.7.7.7.---- La ecuación de onda ~O pStpRS L pSt
p�S y la ecuación del calor ~ pStpRS L pt
p� son dos de las ecuaciones más importantes en física Hc es una constante). Estas se llaman ecuaciones diferenciales parciales. Muestre que: a.- s L cosHI) cosH~f) J s L PRcosh (~f) satisfacen la ecuación de onda.
b.- s L PQ�� sin(I) J s L fQdSPQ xS
��� satisfacen la ecuación del calor. 8.8.8.8.---- Determine la derivada parcial pedida. a.- G(I, J) L 4IO M 3IJ GR b.- G(I, J) L 3IJ V 6I M JO GT c.- G(I, J) L IJO M 5J V 6 GT c.- G(I, J) L NIO V JO GR d.- G(I, J) L R\OT
RSQT GT e.- G(I, J, U) L IOJ M 3IJO V 2JU GT f.- G(I, J, U) L IO V 4JO V 9UO GR g.- G(I, J, U, k, f) L IJk V JUf V Jkf V Ukf Gq h.- G(k, e, f, s, �, g) L 3kOef V efO� M 2fs�O M f�g V 3sgO G� 9.9.9.9.---- Determine las derivadas parciales de los siguientes ejercicios. GR; GT 3
�. M G(I, J) L � ln(e��(f)) �fT
R �. MG(I, J) L � P���(�)�f
T
R
10.10.10.10.---- Determine las derivadas parciales que se le piden. a.- G(I, J) L 2ImJ V 5IOJO M 3IJO; GRTR GTRR b.- G(I, J) L 3ImJO V 5IOJm V 2I ; GTTR GTRT c.- G(I, J, U) L sin(IJU) ; GT] GRT d.- G(s, �) L ln(~|e(s M �)) ; Gtt� G�t� 11.11.11.11.---- Verifique que g L IOJ V JOU V UOI cumple con
vgvI V vg
vJ V vgvU L (I V J V U)O
2 Estas ecuaciones son tema de matemáticas 7 muy importantes. Aprenderá a resolverlas por el método de la Transformada de
Fourier o La serie de Fourier. SI otra vez series. 3 Este ejercicio hace referencia al Primer Teorema Fundamental del Calculo, aplíquelo para asi obtener la respuesta que se te
pide.
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12.12.12.12.---- Demuestre que sHI, JK satisface la ecuación de LaPlace la cual es: vOsvIO V vOsvJO L 0
a.- sHI, JK L lnHIO V JOK b.- sHI, JK L tanQ^ h ORTRSQTSj c.- sHI, JK L tanQ^ hTRj V RRS\TS d.- sHI, JK L PR sinHJK V PT cosHIK 13.13.13.13.---- Sea las siguientes funciones definidas a trozos calcule lo que se pide. �. MGHI, JK L �Im V JmIO V JO e� HI, JK � H0,0K
0 e� HI, JK L H0,0K � GRH0,0K GTH0,0K
�. M GHI, JK L �IO M IJI V J e� HI, JK � H0,0K0 e� HI, JK L H0,0K � GRH0, JK e� J � 0 GRH0,0K
~. M GHI, JK L � 2IJIO V JO e� HI, JK � H0,0K0 e� HI, JK L H0,0K � GRTH0,0K GTRH0,0K ¿ �I�efP�?
�. MGHI, JK L � IOJOI` V J` e� HI, JK � H0,0K0 e� HI, JK L H0,0K � GRTH0,0K GTRH0,0K ¿ �I�efP�?
P. MGHI, JK L �IO tanQ^ JI – JO tanQ^ IJ e� IJ � 00 e� IJ L 0 � GRTH0,0K GTRH0,0K ¿ �I�efP�?
LÍMITESLÍMITESLÍMITESLÍMITES Y CONTINUIDADY CONTINUIDADY CONTINUIDADY CONTINUIDAD
14.14.14.14.---- Determine el límite indicado o diga si no existe. a.- limHR,TK�HQO,^KHIJm M IJ V 3JOK b.- limHR,TK�HQ^,OK RTQTc
HR\T\^KS c.- limHR,TK�H�,�K ����RS\TS�mRS\mTS d.- limHR,TK�H �,�K ����RS\TS�RS\TS e.- limHR,TK�H�,�K RS\TS
R�QT� f.- limHR,TK�H�,�K R�QT�RS\TS
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15.15.15.15.---- Describa el mayor conjunto S donde sea correcto decir que la función f es continua. a.- GHI, JK L Rc\RTQwRS\TS\^ b.- GHI, JK L ln H1 M IO M JOK c.- GHI, JK L RS\mRT\TS
TQRS d.- GHI, JK L ����HRTKRT e� IJ � 01 e� IJ L 0 � e.- GHI, JK L H4 M IO M JOKQdS 16.16.16.16.---- Sea
GHI, JK L IOJI` V JO HaK Muestre que GHI, JK � 0 cuando HI, JK � H0,0K a lo largo de cualquier recta J L �I HbK Muestre que GHI, JK � O cuando HI, JK � H0,0K a lo largo de la parábola J L IO HcK ¿Qué conclusión da estos dos resultados?
17.17.17.17.---- Sea
GHI, JK L �IO M 4JOI M 2J I � 2J¡HIK I L 2J �
Si la función es continua en todo el plano, encuentre una fórmula para gHxK. 18.18.18.18.---- Cual de las siguientes funciones son continua en H0,0K y cuales son discontinuas. HLeer referencia final de la páginaK4 a.- GHI, JK L RTNRS\TS b.- GHI, JK L RTRS\TS c.- GHI, JK L R¢cRS\TS d.- GHI, JK L IJ. RSQTS
RS\TS e.- GHI, JK L RSTSRS\T� f.- GHI, JK L RTS
RS\T� 4 En ocasiones, es más fácil analizar la continuidad de GHI, JK pasando a coordenadas polares. Sea I L k cosHoK ; J L k sin HoK
las sustituciones correspondientes al cambio polar. Tenga en cuenta que se asume todos los valores entre -1 y 1 en cada
vecinda del origen.
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19.19.19.19.---- Sea
GHI, JK L IJ IO M JOIO V JO Si HI, JK � 0 y GH0,0K L 0. Muestre que GRTH0,0K � GTRH0,0K mediante lo siguientes pasos.
HaK Muestre que GRH0, JK L lim£�� ¤H�\£,TKQ¤H�,TK£ L MJ para todo y. HbK De manera análoga, muestre que GTHI, 0K L I para toda x. HcK Muestre que GTRH0,0K L lim£�� ¤yH�\£,�KQ¤yH�,�K£ L 1 HdK De manera análoga, muestre que GRTH0,0K L M1
20.20.20.20.---- Muestre que la función definida no es continua en H0,0,0K a.- GHI, J, UK L RT]Rc\Tc\]c ¥�k� HI, J, UK � H0,0,0K J GH0,0,0K L 0 b.- GHI, J, UK L HJ V 1K RSQ]S
RS\]S ¥�k� HI, J, UK � H0,0,0K J GH0,0,0K L 0 21.21.21.21.---- Determine el límite dado aplicando los teoremas de límites. a.- limHR,TK�HO,mKH3IO V IJ M 2JO) b.- limHR,TK�HQ^,`KH5IO M 2IJ V JOK c.- limHR,TK�HO,Q^K mRQOTR\`T d.- limHR,TK�HQO,`K J. NIm V 2Jc e.- limHR,TK�H�,^K R�QHTQ^K�
RS\HTQ^KS f.- limHR,TK�H^,^K HRQ^K�cQHTQ^K�c HRQ^KSc\HTQ^KSc
22.22.22.22.---- Establezca el límite determinado una ¦ Y 0 para cualquier § Y 0 tal que se cumpla la definición de límite. a.- limHR,TK�Hm,OKH3I M 4JK L 1 b.- limHR,TK�HQO,^KH5I V 4JK L M6 c.- limHR,TK�HQ^,mKH3I M 2J) L M9 d.- limHR,TK�HO,`KH5I M 3JK L M2 23.23.23.23.---- Demuestre que el límite a la función dado no existe. lim(R,T)�(�,�) G(I, J)
a.- G(I, J) L RSRS\TS b.- G(I, J) L R�\mRSTS\ORTc
(RS\TS)S
c.- G(I, J) L RSTSR�\T�
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24.24.24.24.---- Demuestre que el límite a la función dada existe. limHR,TK�H�,�K GHI, JK a.- GHI, JK L RST\RTS
RS\TS b.- GHI, JK L Rc\TcRS\TS
c.- GHI, JK L RTNRS\TS d.- GHI, JK L RS\ORTNRS\TS 25.25.25.25.---- Determine si el limite existe o no. a.- limHR,TK�H�,�K RSTS
RS\TS b.- limHR,TK�H�,�K RST�R�\T�
c.- limHR,TK�H�,�K RS\TRS\TS d.- limHR,TK�H�,�K RSTSRc\Tc
26.26.26.26.---- Calcule el límite aplicando propiedades. a.- limHR,TK�HO,OK tanQ^ TR b.- limHR,TK�H¨� m,¨� OK PRQT c.- limHR,TK�H`,OK © ^mRQ`T d.- limHR,TK�HQO,mK ª5I V O JO« 27.27.27.27.---- Determine todos los puntos en los que la función es continua. a.- GHI, JK L ^RQT b.- GHI, JK L ln HIJOK c.- GHI, JK L wRTS\OT^_QRSQ`TS d.- GHI, JK L cosQ^HI V JK e.- GHI, JK L � ORSTR�\TS e�HI, JK � H0,0K0 e�HI, JK L H0,0K � f.- GHI, JK L ¬ R\TRS\TS e� HI, JK � H0,0K0 e�HI, JK L H0,0K � g.- GHI, JK L �Rc\Tc
RS\TS e� HI, JK � H0,0K0 e�HI, JK L H0,0K � h. GHI, JK L ¬ RT|R|\|T| e�HI, JK � H0,0K0 e� HI, JK L H0,0K � i.- GHI, JK L � RSTS
|Rc|\|Tc| e� HI, JK � H0,0K0 e�HI, JK L H0,0K � j.- GHI, JK L RTN^_QRSQTS k.- GHI, JK L secQ^ IJ l.- GHI, JK L sinQ^HI V JK V ln HIJK m.- GHI, JK L sinQ^HIJK n.- GHI, JK L ����HR\TKR\T e� I V J � 0
1 e� I V J L 0�
o.- GHI, JK L ��RSQTS�RQT e� I � JI M J e� I L J �
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28.28.28.28.---- La función es discontinua en el origen debido a que GH0,0K no existe. Determine si la discontinuidad es removible o esencial. Si la discontinuidad es removible, redefina GH0,0K de modo que esta nueva función sea continua en el punto. a.- GHI, JK L RRS\TS b.- GHI, JK L RSTS
RS\TS c.- GHI, JK L RcTSR®\T�
d.- GHI, JK L OTSQmRTNRS\TS e.- GHI, JK L RcQ`RTSRS\TS
29.29.29.29.---- Use las definiciones y teoremas de límites para probar que limHR,T,]K�H�,�,�K GHI, J, UK no existe. a.- GHI, J, UK L Rc\TRS
R�\TS\]� b.- GHI, J, UK L RS\TSQ]SRS\TS\]S
c.- GHI, J, UK L R�\TRc\]SRSR�\T�\]� d.- GHI, J, UK L RSTS]S
R®\T®\]® 30.30.30.30.---- Utilice las definiciones y los teoremas de límites y continuidad para determinar todos los puntos en los que la función dada es continua. a.- GHI, J, UK L R]NRS\TS\]SQ^ b.- GHI, J, UK L ln H36 M 4IO M JO M 9UO)
c.- GHI, J, UK L � mRT]RS\TS\]S e� HI, J, UK � H0,0,0K0 e�HI, J, UK L H0,0,0K � d.- GHI, J, UK L � R]QTS
RS\TS\]S e� HI, J, U, K � H0,0,0K0 e� HI, J, U, K L H0,0,0K � 31.31.31.31.---- Suponga que f y g son funciones de dos variables que satisfacen las condiciones siguientes. Ha) GHfI, fJK L f¯GHI, JK; ¡HfI, fJK L f¯¡HI, JK para alguna n y para toda t. HbK ¡H1,1K � 0 J ¡H1,0K � 0 HcK ¡H1,1K. GH1,0K � ¡H1,0K. GH1,1K Demuestre que
limHR,TK�H�,�KGHI, JK¡HI, JK
NO EXISTE.
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DIFERENCIABILIDADDIFERENCIABILIDADDIFERENCIABILIDADDIFERENCIABILIDAD 32323232....---- Determine el gradiente de la función dada. a.- GHI, JK L ImJ M Jm b.- GHI, JK L IOJ~|eHJK c.- GHI, JK L sinm IOJ d.- GHI, J, UK L IOJ V JOU V UOI e.- GHI, J, UK L IU ln HI V J V UK1 33333333....---- Determine el vector gradiente de la función dada en el punto indicado p. Luego determine la ecuación del plano tangente en p. a.- GHI, JK L IOJ M IJO ¥ L HM2,3K b.- GHI, JK L ImJ V 3IJO ¥ L H2, M2K c.- GHI, JK L cosH°IK sinH°JK V sinH2°JK ¥ L hM1, Oj d.- GHI, JK L RS
T ¥ L H2, M1K 34343434....---- Determine ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la superficie U L J V ImJ en el punto H2,1,9K cuya proyección sobre el plano xy es: a.- Paralela al eje x b.- Paralela al eje y c.- Paralela a la recta I L J 35353535....---- Determine ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la superficie U L IOJm en el punto H3,2,72K cuya proyección sobre el plano xy es: a.- Paralela al eje x b.- Paralela al eje y c.- Paralela a la recta I L MJ 36.36.36.36.---- Calcule la diferencial �g a.- g L 4Im M IJO V 3J M 7 b.- g L J tanHIOK M 2IJ c.- g L I cosHJK M J sinHIK d.- g L IPOT V PQT e.- g L lnHIO V JO V UOK f.- g L RT]R\T\] g.- g L I tanQ^HUK M TS
] h.- g L PT] M cos HIUK
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37.37.37.37.---- Demuestre que f es diferenciable en todos los puntos de su dominio. 5 a.- GHI, JK L mRQ`TRS\±T b.- GHI, JK L sin hTRj V cos hRTj c.- GHI, JK L tanQ^HI V JK V ^RQT d.- GHI, JK L J lnHIK M RT 38.38.38.38.---- Sea GHI, JK L � mRSTRS\TS e� HI, JK � H0,0K 0 e�HI, JK L H0,0K � demuestre que GRH0,0K J GTH0,0K existen y que estas derivadas parciales no son continuas en H0,0K. 39.39.39.39.---- Sea GHI, JK L � RTS
RS\T� e�HI, JK � H0,0K0 e�HI, JK L H0,0K � demuestre que las derivadas parciales con respecto a las variables evaluadas en H0,0K existen pero f no es diferenciable en H0,0K. 40.40.40.40.---- Sea GHI, J, UK L � RTS]R�\T�\]� e�HI, J, UK � H0,0,0K| e�HI, J, UK L H0,0,0K � demuestre que GRH0,0,0K , GTH0,0,0KJ G]H0,0,0K existen y que f no es diferenciable en H0,0,0K 41.41.41.41.---- Aplicando el mismo esquema del ejercicio anterior pero con GHI, J, UK L � mT]R�\TS\]S e� HI, J, UK � H0,0,0K0 e�HI, J, UK L H0,0,0K � 42.42.42.42.---- Demuestre que la función puede ser diferenciable en un punto aunque no se continuamente diferenciable en ese punto.
GHI, JK L �HIO V JOK sin ² 1NIO V JO³ e�HI, JK � H0,0K0 e�HI, JK L H0,0K �
HaK Determine ∆GH0,0K HbK Calcule GRHI, JK J GTHI, JK HcK Demuestre que f es diferenciable en H0,0K utilizando la definición de función diferenciable Hestablecida en claseK y el resultado de los apartados anteriores. HdK Demuestre que GRHI, JK J GTHI, JK no son continuas en H0,0K. 5 Determine las primeras derivadas parciales con respecto a las variables y si esta resultan ser continua en el dominio entonces
la función es diferenciables en sus dominio (teorema)
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43.43.43.43.----Sea GHI, J, UK L � IJUOIO V JO V UO e� HI, J, UK � H0,0,0K
0 e�HI, J, UK L H0,0,0K � Demuestre que f es diferenciable en H0,0,0K.
DERIVADAS DIRECCIONALES Y GRADIENTESDERIVADAS DIRECCIONALES Y GRADIENTESDERIVADAS DIRECCIONALES Y GRADIENTESDERIVADAS DIRECCIONALES Y GRADIENTES 44444444....---- Determine la derivada direccional de f en el punto p en la dirección a. a.- GHI, JK L JO lnHIK ¥ L H1,4K � L � M µ b.- GHI, JK L IO M 3IJ V 2JO ¥ L HM1,2K � L 2� M µ
c.- GHI, JK L PQRT ¥ L H1, M1K � L M� V √3µ d.- GHI, J, UK L IO V JO V UO ¥ L H1, M1,2K � L √2� M µ M X
45454545....---- Determine un vector unitario en la dirección en que f crece mas rápidamente en p. ¿Cuál es la razón de cambio en esta dirección? a.- GHI, JK L Im M Jw ¥ L H2, M1K
b.- GHI, JK L PT sinHIK ¥ L hw¶_ , 0j c.- GHI, J, UK L IOJU ¥ L H1, M1,2K d.- GHI, J, UK L IPT] ¥ L H2,0, M4K 46464646....---- ¿En qué dirección u ocurre que GHI, JK decrece más rápidamente en p? a.- GHI, JK L 1 M IO M JO ¥: HM1,2K
b.- GHI, JK L sinH3I M JK ¥: h¶_ , ¶j 47474747....---- Determine la derivada direccional de GHI, JK L PQR cosHJK en h0, ¶mj en la dirección hacia el origen. 48.48.48.48.---- Calcule la derivada direccional de la función en la dirección del vector unitario U. 6 a.- GHI, JK L 3IO V 4JO; · L cos hm °j � V sin hm °j µ 6 AYUDA: ¸¹GHI, J, UK L ·. ºGHI, J, UK. Donde º es el operador diferencial ºL ppR � V ppT µ V pp] X
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b.- GHI, J, UK L 6IO M 2IJ V JU; · L m» � V O» µ V _» X c.- GHI, JK L ^RS\TS ; · L mw � M w µ 49.49.49.49.---- Calcule el gradiente de la función. a.- GHI, JK L RTRS\TS b.- GHI, JK L PT tanH2IK c.- GHI, J, UK L RQTR\] d.- GHI, J, UK L 3I lnHI V JK e.- GHI, J, UK L PO]HsinHIK M cosHJKK 50.50.50.50.---- Calcule el valor de la derivada direccional en el punto {� para la función en la dirección de U. a.- GHI, JK L IO M 2IJO; · L cosH°K � V sinH°K µ; {� L H1, M2K
b.- GHI, JK L 3ImJ V 4JO M IJ; · L cos h^` °j � V sin h^
` °j µ; {� L h^m °, 2j
c.- GHI, JK L IPOT; · L ^O � V ^
O √3µ {� L H2,0K
d.- GHI, J, UK L cosHIJK V sinHJUK · L M ^m � V O
m µ V Om X; {�H2,0, M3K
e.- GHI, J, UK L lnHIO V JO V UOK ; · L ^√m � M ^
√m µ M ^√m X; {�H1,3,2K
f.- GHI, J, UK L cosH2IK cosH3JK sinhH4UK · L ^√m � M ^
√m µ V ^√m X; {� h ^
^O °, 0,0j
51.51.51.51.---- La densidad en cualquier punto de una placa rectangular situada en el plano xy es ¼HI, JK kilogramos por metro cuadrado, donde:
¼HI, JK L 1NIO V JO V 3
HaK Calcule la tasa de variación de la densidad en el punto H3,2K en la dirección del vector unitario cos hO
m °j � V sin hOm °j µ
HbK Determine la dirección y la intensidad de la máxima tasa de variación de la densidad en H3,2K
LA REGLA DE LA CADENALA REGLA DE LA CADENALA REGLA DE LA CADENALA REGLA DE LA CADENA 52525252....---- Determine vg/vf mediante la regla de la cadena. Exprese su respuesta final en términos de t. a.- g L IOJ M JOI ; I L cosHfK J L sin HfK
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b.- g L PR sinHJK V PT sinHIK ; I L 3f J L 2f
c.- g L ln hRTj ; I L tanHfK J L secOHfK
d.- g L sinHIJUOK ; I L fm J L fO U L f
e.- g L IJ V JU V IU; I L fO J L 1 M fO U L 1 M f
53535353....- Determine vg/vf mediante la regla de la cadena. Exprese su respuesta final en términos de t y s.
a.- g L IO M J¾�HIK; I L ¿� J L eOf
b.- g L lnHI V JK M lnHI M JK ; I L fP¿ J L P¿�
c.- g L NIO V JO V UO; I L cosHefK J L sinHefK U L eOf
d.- g L PRT\]; I L f V e J L e M f U L fO
54545454....- Dada la función determine lo pedido.
a.- U L IOJ, I L 2f V e J L 1 M efO ; �p]p�¿Á^,�ÁQO
b.- U L IJ V I V J , I L k V e V f J L kef ; �p]p¿À
qÁ^,¿ÁQ^,�ÁO
c.- g L IOJ V UO I L ¼ cosHlK sinHuK J L ¼ sinHlK cosHuK ; �pipnÀ
ÂÁ^,nÁ¶,ÃÁÄS
55555555....---- Calcule la derivada parcial indicada en cada caso por medio de dos métodos
HaK Utilice la regla de la cadena.
HbK Realice la sustitución correspondiente para I P J antes de derivar.
a.- s L 3I M 4JO ; I L 5¥Å J L 3¥O M 2Å; ptpÆ ; pt
pÇ
b.- s L IO V JO; I L coshHkK cosHfK ; J L sinhHkK sinHfK ; ptpq ; pt
p�
c.- b L °IOJ ; I L cosHUK sinHkK ; J L UOP� ; pÈp] ; pÈ
pq
56565656....---- Obtenga la derivada parcial indicada.
a.- s L HkO V eOKO V HkO V eOKH3k M 2eK; ptpq ; pt
p¿
b.- s L HkeKHkO M eOK V HkeKHHk M eKOK V HkO M eOKHk M eKO; ptpq ; pt
p¿
16
c.- s L sin�H2UP�KHfOPQ]K� ; ptp] ; pt
p�
d.- s L HtanQ^HkefKKHPQ ¨�HmÉ�\w��KK ; ptpq ; pt
p¿ ; ptp�
e.- s L hq¿jO HkP¿KHkPQ¿K; ptpq ; ptp¿ 57575757....---- Obtenga ÊT
ÊR mediante la sugerencia dada al final.7
a.- Im V Jm L 8IJ b.- 2ImJ V 3IJm L 5
c.- I sinHJK V J cosHIK L 1 d.- cosHI V JK L J sin HIK
58585858....---- Derive implícitamente a z Hz es función de x e yK o utilice la sugerencia al final.8
a.- 3IO V JO V UO M 3IJ V 4IU M 15 L 0
b.- U L HIO V JOKsin HIUK c.- J PRT] cosH3IUK L 5
d.- UPT] V 2IPR] M 4PRT L 3
59595959....---- Sea s L PT cosHIK I L 2f; J L fO calcule pSt
p�S
60606060....- Sea s L 9IO V 4JO, I L k cosHlK , J L k sin HθK calcule pSt
pqS
61.61.61.61.---- Si s L GHI, JK � L ¡HI, JK, entonces las ecuaciones
vsvI L v�
vJ ; vsvJ L v�
vI
Se denominan ecuaciones de Cauchy – Riemann. Demuestre que estas ecuaciones son satisfecha si
s L 12 lnHIO V JOK J � L tanQ^ hJ
Ij
7 Si f es una función diferenciable de la variable x tal que y=f(X) y f está definida implícitamente por la ecuación F(x,y)=0, y si F
es diferenciable y ÌTHI, JK � 0 P�f|�~Pe ÊTÊR L M ÍxHR,TK
ÍyHR,TK
8
p]pR L M ÍxHR,TK
ÍÎHR,TK ; p]pT L M ÍyHR,TK
ÍÎHR,TK
17
62626262....---- Un kilomol de un gas real obedece la ecuación de Van der Walts: si P,V y T son respectivamente, las medidas de la presión, volumen y temperatura absoluta, entonces
h{ V �bOj Hb M �) L [Ð
Donde R es la constante universal de los gases y a y b son constantes que depende del gas particular. Si Ñ es el coeficiente de la expasion del volumen y κ es el coeficiente de compresibilidad, entonces.
Ñ L 1b Óvb
vÐÔ J Õ L M 1b Óvb
v{Ô
Demuestre que vÑv{ L M vÕvÐ
PLANOS TANGENTEPLANOS TANGENTEPLANOS TANGENTEPLANOS TANGENTE
63636363....- Determine la ecuación del plano tangente a la superficie dada en el punto indicado. a.- 8IO V JO V 8UO L 16; h1,2, √O
O j b.- IO M JO V UO V 1 L 0; H1,3, √7K c.- IO V JO M UO L 4; H2,1,1K d.- U L RS
` V TS` ; H2,2,2)
e.- U L IPQOT; H1,0,1K f.- U L IdS V Jd
S ; (1,4,3)
64646464....---- Determine todos los puntos sobre la superficie U L IO M 2IJ M JO M 8I V 4J donde el plano tangente es horizontal.
65656565....---- Determine las ecuaciones paramétricas de la recta que es tangente a la curva de intersección de las superficies
G(I, J, U) L 9IO V 4JO V 4UO M 41 L 0
Y
¡(I, J, U) L 2IO M JO V 3UO M 10 L 0
En el punto (1,2,2).9
9 Sugerencia: Esta recta es perpendicular a ºG(1,2,2) J º¡(1,2,2)
18
66666666....---- Determine las ecuaciones paramétricas de la recta que es tangente a la curva de intersección de las superficies I L UO J J L Um en H1,1,1K. 67676767....- Una abeja sentada en el punto H1,2,1K sobre el elipsoide IO V JO V 2UO L 6. En f L 0 comenzó a volar a lo largo de la recta normal, a una rapidez de 4 ¤�¿Ö×. ¿Cuando y donde toco el plano 2I V 3J VU L 49? 68686868....- Obtenga una ecuación de la recta normal a la superficie en el punto dado. a.- 4IO V JO V 2UO L 26 ; H1, M2,3K b.- IO V JO M UO L 6; H3, M1,2K c.- J L PR cosHUK ; H1, P, 0K d.- U L PmR sinH3JK ; H0, _ °, 1K
e.- U L IdS V Jd
S; H1,1,2K f.- IdS V Jd
S V UdS L 4 H4,1,1K
g.- UIO M IJO M JUO L 18 H0, M2,3K h.- ISc V JSc V USc L 14 ; (M8,27,1K 69696969....---- Si las dos superficies se interceptan en una curva, determine ecuaciones de la recta tangente a la curva de intersección en el punto indicado; si las dos superficies son tangentes en el punto dado, demuéstrelo. a.- IO V JO M U L 8; I M JO V UO L M2 H2, M2,0K b.- IO V JO M 2U V 1 L 0 ; IO V JO M UO L 0 H0,1,1K c.- I L 2 V cosH°JUK J L 1 V sinH°IUK H3,1,2K d.- J L PR sinH2°UK V 2 U L JO M lnHI V 1K M 3 H0,2,1K e.- IO M 3IJ V JO L U 2IO V JO M 3U V 27 L 0 H1, M2,11K f.- IO V JO V UO L 8 JU L 4 H0,2,2K 70707070....---- Utilice el gradiente para obtener una ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto indicado. a.- 9Im M Jm L 1 H1,2K b.- 16I` V J` L 32 H1,2K c.- 2Im V 2Jm M 9IJ L 0 H1,2K d.- I` V 2IJ M Jm L 4 H2, M2K 71717171....---- Demuestre que las superficies 4IO V JO V 9UO L 108 y IJU L 36 son tangentes en el punto H3,6,2K
19
72727272....---- Se dice que dos superficies son perpendiculares en un punto de intersección {� si los vectores normales a las superficies en {� son ortogonales. Demuestre que en el punto H1, M1,2K la superficie IO M 2JU V Jm L 4 es perpendicular a cada miembro de la familia de superficies.
IO V H4~ M 2KJO M ~UO V 1 L 0
MAXIMOS Y MINIMOS, METODO DE LAGRAMAXIMOS Y MINIMOS, METODO DE LAGRAMAXIMOS Y MINIMOS, METODO DE LAGRAMAXIMOS Y MINIMOS, METODO DE LAGRANGENGENGENGE 73737373....---- Determine todos los puntos críticos. Indique si cada uno de estos puntos da un máximo local o un mínimo local o si es un punto silla. HVer referencia pie de página)10
a.- G(I, JK L IO V 4JO M 2I V 8J M 1 b.- GHI, JK L IJO M 6IO M 3JO c.- GHI, JK L IJ d.- GHI, JK L Im V Jm M 6IJ e.- GHI, JK L IJ V OR V T f.- GHI, JK L PQ�RS\TSQ`T� g.- GHI, JK L cosHIK V cosHJK V cosHI V JK ; 0 Ø I Ø ¶O , 0 Ø J Ø ¶O h.- GHI, JK L IO V �O M 2�I cosHJK ; M° Ø J Ø ° 74747474....---- Encuentre el valor máximo global y el valor mínimo global de f en S e indique donde aparece cada uno. a.- GHI, JK L IO V JO z L ÙHI, JK: 0 Ú I Ú 1; M1 Ú J Ú 1Û
b.- G(I, JK L IO M JO V 1 z L ÙHI, JK; IO V JO Ú 1Û c.- GHI, JK L IO M 6I V JO M 8J V 7 z L ÙHI, JK: IO V JO Ú 1Û
75757575....---- Encuentre los extremos relativos de la función de f y localice los puntos silla, si los tiene. a.- GHI, JK L Im V JO M 6IO V J M 1 b.- GHI, JK L 18IO M 32JO M 36I M 128J M 110
c.- G(I, JK L JO M IO V 2I M 4J V 3 d.- GHI, JK L IO M JO V 6I M 8J V 25 e.- GHI, JK L R M _T V IJ f.- GHI, JK L IO M 4IJ V Jm V 4J g.- GHI, JK L 4IJO M 2IOJ M I h.- GHI, JK L J` M 4Jm V 2IO V 8IJ 10
Teorema; Suponga que GHI, JK tiene segundas derivadas parciales continuas en una vecindad de HI�, J�K y que ºGHI�, J�K L0. Sea ¸ L ¸HI�, J�K L GRRHI�, J�KGTTHI�, J�K M GORTHI�, J�K Entonces:
a.- z� ¸ Y 0 J GRRHI�, J�K Ø 0, GHI�, J�K Pe s� ��¾|k ��I��| ¾|~�¾. b.- z� ¸ Y 0 J GRRHI�, J�K Y 0, GHI�, J�K Pe s� ��¾|k �����| ¾|~�¾. c.- z� ¸ Ø 0, GHI�, J�K �| Pe s� ��¾|k PIfkP�| HHI�, J�K Pe s� ¥s�f| e�¾¾�K
d.- z� ¸ L 0, P¾ fP|kP�� �| Pe ~|�~¾sJP�fP.
20
i.- GHI, JK L Im V Jm V 3JO M 3I M 9J V 2 j.- GHI, JK L PRsin HJK k.- GHI, JK L PRT l.- GHI, JK L Im V Jm M 18IJ 76767676....---- Obtenga los extremos absolutos de la función cuyo dominio es la región acotado y cerrada R del plano xy. a.- La función 2 V 2I V 6J M IO M JO R es la región triangular cuyos lados son el eje I, el eje J y la recta I V J L 5 b.- GHI, JK L IO M 2IJ V 2J; [ es la región acotada por la parábola J L 4 M IO y el eje x. c.- GHI, JK L Jm M IO M 3J R es la región limitada por la circunferencia IO V HJ M 1KO L 1. d.- GHI, JK L sinHIK V sin HJK R es la región acotado por el cuadrado cuyos vértices son H0,0K; H°, 0K; H0, °K; H°, °K 77777777....---- Obtenga tres números positivos cuyo producto sea 24 de manera que su suma sea lo más pequeña posible. 78787878....---- Encuentre el punto del plano 3I V 2J M U L 5 que este mas cerca al punto H1, M2,3K y calcule la distancia mínima. 79797979....---- Obtenga los puntos de la curva de intersección del elipsoide IO V 4JO V 4UO L 4 y el plano I M 4J M U L 0 que estén más cerca del origen y calcule la distancia mínima. 80808080....---- Calcule el volumen del mayor paralelepípedo rectangular que pueda inscribirse en el elipsoide 36IO V 9JO V 4UO L 36 si las aristas deben ser paralelas a los ejes coordenados. 81818181....---- Determine el mínimo de GHI, JK L IO V JO sujeta a la restricción ¡HI, JK L IJ M 3 L 0 82828282....---- Determine el máximo de GHI, JK L 4IO M 4IJ V JO sujeta a la restricción ¡HI, JK L IO V JO L 1 83838383....---- Determine el mínimo de GHI, JK L IO V 4IJ V JO sujeta a la restricción ¡HI, JK L I M J M 6 L 0 84848484....---- Determine el mínimo de GHI, J, UK L IO V JO V UO sujeta a la restricción ¡HI, J, UK L I V 3J M2U L 12 85858585....-Determine el máximo de GHI, J, UK L 4I M 2J V 3U sujeta a la restricción ¡HI, J, UK L 2IO V JO M3U L 0 86868686....---- Determine la mínima distancia entre el origen y el plano I V 3J M 2U L 4. 87878787....---- Determine la distancia mínima del origen a la recta de intersección de los dos planos
I V J V U L 8 ; 2I M J V 3U L 28
21
88.88.88.88.---- Utilice el método de multiplicadores de LaGrange para determinar los puntos críticos de la función sujeta a la restricción. a.- GHI, JK L 4IO V 2JO V 5 [: IO V JO M 4J L 0 b.- GHI, J, UK L IO V JO V UO [: 3I M 2J V U M 4 L 0 c.- GHI, J, UK L IO V JO V UO [: JO M IO L 1 89.89.89.89.---- Utilice el método de multiplicadores de LaGrange para determinar los extremos absolutos de f sujeta a la restricción. También determine los puntos en los que ocurren los extremos. a.- GHI, JK L IOJ [: IO V 8JO L 24 b.- GHI, J, UK L IJU [: IO V 2JO V 4UO L 4 c.- GHI, J, UK L Jm V IUO [: IO V JO V UO L 1
90.90.90.90.- Calcule los valores máximos y mínimos absolutos de f en la región indicada. a.- GHI, JK L IOJ [: IO V 8JO Ú 24 b.- GHI, J, UK L Jm V IUO [: IO V JO V UO Ú 1
91.91.91.91.- Utilizando LaGrange calcule el valor mínimo absoluto de f si GHI, J, UK L IO V JO V UO con las dos restricciones I V J V 2U L 1 J 3I M 2J V U L M4
22
INTEGRALESINTEGRALESINTEGRALESINTEGRALES
INTEGRALES DOBLES E ITERADAS SOBRE RECTANGULOSINTEGRALES DOBLES E ITERADAS SOBRE RECTANGULOSINTEGRALES DOBLES E ITERADAS SOBRE RECTANGULOSINTEGRALES DOBLES E ITERADAS SOBRE RECTANGULOS 1111....---- Evalué Ü GHI, JKÝ �Þ, donde f es la función dada, y [ L ÙHI, JK: 1 Ú I Ú 4, 0 Ú J Ú 2Û. a.- GHI, JK L ßM1 1 Ú I Ú 4, 0 Ú J Ú 12 1 Ú I Ú 4, 1 Ú J Ú 2 � b.- GHI, JK L �2 1 Ú I Ø 3, 0 Ú J Ø 11 1 Ú I Ø 3, 1 Ú J Ú 23 3 Ú I Ú 4, 0 Ú J Ú 2 � c.-GHI, JK L �2 1 Ú I Ú 4, 0 Ú J Ø 13 1 Ú I Ø 3, 1 Ú J Ú 21 3 Ú I Ú 4, 1 Ú J Ú 2 � 2222....---- Suponga
[ L ÙHI, JK: 0 Ú I Ú 2, 0 Ú J Ú 2Û ; [^ L ÙHI, JK: 0 Ú I Ú 2, 0 Ú J Ú 1Û [O L ÙHI, JK: 0 Ú I Ú 2, 1 Ú J Ú 2Û
Suponga, además que à GHI, JK�Þ L 3Ý
; à ¡HI, JK�ÞÝ
L 5 J à ¡HI, JK L 2Ýd
Usando estas suposiciones evalué cada una de las siguientes:
a.- Ü �3GHI, JK M ¡HI, JK��ÞÝ b.- Ü �2GHI, JK V 5¡HI, JK��ÞÝ
c.- Ü ¡HI, JK�ÞÝS d.- Ü H2¡HI, JK V 3K�ÞÝd
3333....---- Calcule Ü H6 M JK�ÞÝ , donde [ L ÙHI, JK: 0 Ú I Ú 1, 0 Ú J Ú 1Û. 11 4444....---- Calcule Ü H1 V IK�ÞÝ , donde [ L ÙHI, JK: 0 Ú I Ú 2, 0 Ú J Ú 1Û 5555....---- Evalué la integral iterada. a.- á á IJm�J�IOR�O b.- á á �J�IT�� 11
Sugerencia. La integral representa un sólido básico, dibuje y determine su área usando teoría fundamental.
23
c.- á á N9 V JOT� �I�J� d.- á á RTÖx^ �J�IQ^ e.- á á ©TRTTS �I�J` f.- á á ©TRRRS �J�I` g.- á á |I M J|� �J�I� h.- á á IOPRTR� �J�Im� i.- á á sin H4I M JKR
� �J�I¶¶/O j.- á á sin hT
RjTS� �I�J¶
¶/O 6666....---- Calcule el valor de la integral doble dada. a.- Ü sinHIK �ÞÝ ; [ Pe ¾� kP¡�|� �~|f��� ¥|k ¾�e kP~f�e J L 2I; J L ^
O I J I L °
b.- Ü cosHI V JK �Þ; [ Pe ¾� kP¡�|� �~|f��� ¥|k ¾�e kP~f�e J L I J I L ° J P¾ PµP I.Ý
c.- Ü ION9 M JO�ÞÝ ; [ Pe ¾� kP¡�|� �~|f��� ¥|k ¾� ~�k~s�GPkP�~�� IO V JO L 9
d.- Ü TSRS �ÞÝ ; [ Pe ¾� kP¡�|� ¾���f��� ¥|k ¾�e kP~f�e J L I; J L 2 J ¾� â�¥Pk�|¾� IJ L 1
7777....---- Utilice integrales dobles para calcular el area de la región limitada por las curvas del plano xy. Dibuje la región. a.- J L Im J J L IO b.- JO L 4I J IO L 4J c.- J L IO M 9 J J L 9 M IO d.- IO V JO L 16 J JO L 6I 8888....---- Exprese como una integral iterada la medida del volumen del solido limitado por el elipsoide.
IO�O V JO
�O V UO~O L 1
9999....---- Cambie el orden de integración y realice la integral indicada. a.- á á sinH°JmK`
√R �J�I`� b.- á á PRS�I�J^
T^
� 10101010....---- Evalué cada una de las integrales iteradas. a.- á á IOJ �J�Um
^O
� b.- á á HI V JOKO^ �J�I`
Q^ c.- á á HIO V JOKO^ �I�J^
Q^
d.- á á PR\T¨� O� �J�I¨� m
� e.- á á I PRT^� �J�I^
� f.- á á 2I NIO V J^� �I�J^
� g.- á á T
HRT\^KS^
� �I�J^� h.- á á T
^\RSO
� �J�I^�
24
11111111....---- Evalué la integral iterada doble en R. a.- Ü IJm�Þ ; [ L ÙHI, JK: 0 Ú I Ú 1, M1 Ú J Ú 1ÛÝ b.- Ü HIO V JOK�Þ ; [ L ÙHI, JK : M 1 Ú I Ú 1, 0 Ú J Ú 2ÛÝ
c.- Ü IJ √1 V IO�Þ ; [ L ãHI, JK: 0 Ú I Ú √3 , 1 Ú J Ú 2äÝ 12121212....- Bosqueje el sólido cuyo volumen es la integral iterada dada. a.- á á RO �I�JO�� b.- á á H2 M I M JK�J�I�� c.- á á HIO V JOKO� �J�IO� d.- á á H4 M JOKO� �J�IO� 13131313....---- Muestre que si GHI, JK L GHIK. âHJK entonces.
� � GHI, JK�I�J�
åæ L � ¡HIKå
æ �I. � âHJK�JÊ�
14141414....---- Utilizando la propiedad anterior determine el valor de la integral. � � IJPRS
1 V JO ^�
√¨� O� �J�II
15151515....---- Evalué � � IJPRS\TS^
� �J�I^�
16161616....---- Calcule el volumen del solido encerrado entre la superficie U L cosHIK cos HJK y el plano xy, donde – ° Ú I Ú °, M° Ú J Ú ° 17171717....---- Evalué la integral iterada. a.- á á |IOJm|Q^ �J�IOQO b.- á á çIOèJm�J�IQ^OQO c.- á á çIOè|Jm|Q^ �J�IOQO 18181818....---- Evalué
� � 8IHIO V JO V 1KO^
� �J�I√m�
25
INTEGRALESINTEGRALESINTEGRALESINTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES NO RECTANGULARES, COORDENAS POLARESDOBLES SOBRE REGIONES NO RECTANGULARES, COORDENAS POLARESDOBLES SOBRE REGIONES NO RECTANGULARES, COORDENAS POLARESDOBLES SOBRE REGIONES NO RECTANGULARES, COORDENAS POLARES
19191919....---- Evalué las integrales que se le presentan continuación. a.- á á IOmR
� �J�I�^ b.- á á JRQ^
� �J�IO^ c.- á á HIOR
�^
Qm M Jm)�J�I
d.- á á IPTcOTQT �I�Jm
^ e.- á á mRS\TS
R� �J�Iw
^ f.- á á k √O��� Hn)√O �k�lÄ
��
g.- á á secOHl)mq¶/` �l�k¶/é
� h.- á á PRcos HJ)��� HT)� �I�JÄ
S� i.- á á 6k cosHlK �k�l��� HnK�¶/O¶/_ 20202020....---- Evalué la integral doble dada cambiándola por una integral iterada. a.- Ü IJ�Þê : z Pe ¾� kP¡�|� �~|f��� ¥|k J L IO J L 1. b.- Ü HI V JK�Þê : z Pe ¾� kP¡�|� fk���¡s¾�k ~|� �Pkf�~Pe (0,0); H0,4K; H1,4K c.- Ü HIO V 2JK�Þê : z Pe ¾� kP¡�|� P�fkP J L IO J L √I
d.- Ü (IO M IJ)�Þê : z Pe ¾� kP¡�|� P�fkP J L I J L 3I M IO
e.- Ü h O^\RSj �Þ: z Pe ¾� kP¡�|� fk���¡s¾�k ~|� �Pkf�~Pe P� (0,0); H2,2); H0,2)ê
f.- Ü I�Þê : z Pe ¾� kP¡�|� P�fkP J L I J L Im. 12 21212121....---- Bosqueje el sólido dado. Luego determine el volumen mediante integración doble. a.- Tetraedro acotado por los planos de coordenadas y el plano U L 6 M 2I M 3J b.- Tetraedro acotado por los planos de coordenadas y el plano 3I V 4J V U M 12 L 0 c.- La cuña acotada por los planos de coordenadas y los planos I L 5 y J V 2U M 4 L 0 d.- El sólido en el primer octante acotado por los planos de coordenadas y los planos 2I V J M 4 L 0 y 8I V J M 4U L 0 e.- El sólido en el primer octante acotado por la superficie U L 9 M IO M JO y los planos coordenados. f.- El sólido acotado por el cilindro parabólico IO L 4J y los planos U L 0 5J V 9U M 45 L 0 12
Observar que esta grafica se divide en dos partes.
26
g.- El sólido en el primer octante acotado por la superficie U L PRQT, el plano I L J I L 1 J L 0 h.- El sólido en el primer octante acotado por los cilindros circulares IO V UO L 16, JO V UO L 16 y los planos coordenados. 22222222....---- Cambie el orden de integración de las integrales iteradas.13
a.- á á GHI, JKR� �J�I^
� b.- á á GHI, JK�I�JOTTS
O� c.- á á GHI, JKRd
�RS �J�I^
�
d.- á á GHI, JK�J�IRRc
^^/O e.- á á GHI, JKT
QT^
� �I�J f.- á á GHI, JK�I�JNT\^QNT\^
�Q^
23232323....---- Evalué
à sin HJmKê
�Þ
Donde S es la región acotada por J L √I, J L 2 J I L 0 14 24242424....---- Evalué las integrales iteradas. a.- á á kOsin HlK��� HnK
� �k�l¶/O� b.- á á k��� HnK
� �k�l¶/O�
c.- á á kO�k�l��� HnK�
¶� d.- á á k sin HlK^Q��� HnK
� �k�l¶�
25252525....---- Calcule el área de la región dada S calculando Ü k�k�lê . Primero dibuje la región. a.- z Pe ¾� kP¡�|� �P�fk| �P¾ ~�k~s¾| k L 4 cosHlK J GsPk� �P¾ ~�k~s¾| k L 2 b.- z Pe ¾� �P�|k kP¡�|� �~|f��� ¥|k l L ¶
_ J k L 4 sin HlK c.- z Pe ¾� kP¡�|� �P�fk| �P¾ ~�k��|��P k L 6 M 6sin HlK d.- z Pe ¾� kP¡�|� GsPk� �P¾ ~�k~s¾| k L 2 J �P�fk| �P ¾� ¾P���e~�f� kO L 9cos H2lK 13
OJO, no basta con solo invertir los diferenciales de lugar, también debe cambiar el orden de integración, no se deje llevar y
tan solo los cambie, debe DIBUJAR la figura para ver como se determina los NUEVOS límites de integración. ALGUNAS VECES
ES PREFERIBLE CAMBIAR EL ORDEN DE INTEGRACION PARA QUE LA INTEGRAL SEA MAS SENCILLA DE RESOLVER. 14
Piense detalladamente este ejercicio. Recuerde que si no logra resolver la integral siempre puede invertir el orden de
integración para así obtener una integral más sencilla. Deténgase a pensar cual orden es el más apropiado.
27
26262626....---- Realice el cambio a coordenadas polares y evalué la integral. Bosqueje la región de integración. a.- Ü PRS\TS�Þê , z: IO V JO L 4 b.- Ü N4 M IO M JOê �Þ, z Pe P¾ eP~f|k ~�k~s¾�k �P¾ ¥k��Pk ~s��k��fP �P¾ ~�k~s¾�k IO V JO L 4 P�fkP J L 0 J J L I c.- Ü J�Þê z Pe P¾ kP~f��¡s¾| ¥|¾�k �P¾ ¥k��Pk ~s��k��fP �P�fk| �P IO V JO L 9 J GsPk� �P IO V JO L 1 d.- á á sinHIO V JOKN^QTS
� �I�J^� e.- á á HIO V JOKQd
S√ORQRS� �J�IO
^ 27272727....---- Calcule el volumen del sólido en el primer octante abajo del paraboloide U L IO V JO y dentro del cilindro IO V JO L 9 usando coordenadas. 28282828....---- Use coordenadas polares para calcular el volumen del solido acotado por arriba por 2IO V 2JO V UO L 18, abajo por U L 0 y lateralmente por IO V JO L 4 29292929....---- Cambie a coordenadas rectangulares y luego evalué.
� � km sinOHlK �k�lQw�ë� HnK
�
`¶m
m¶`
30303030....---- Sean
b L à sin hNIO V JOj �Þê
J ì L à Àsin hNIO V JOjÀ �Þê
Donde S es la región dentro del círculo IO V JO L 4°O a.- Sin calcular, determine el signo de V b.- Evalué V c.- Evalué W.
28
Coordenadas polares. 31313131....---- Utilice integrales doble para calcular el área de la región indicada. a.- La región ubicada dentro del cardiode k L 2H1 V sinHlKK b.- Una hoja de la rosa k L � cos H2lK c.- La región ubicada dentro de la cardiode k L �H1 V cosHlKK y fuera de la circunferencia de k L �. d.-La región ubicada dentro de la circunferencia k L 1 y fuera de la lemniscata kO L cos H2lK e.- La región ubicada dentro del caracol k L 3 M cos HlK y fuera de la circunferencia k L 5 cosHlK 32323232....---- Obtenga el volumen del sólido. a.- El sólido limitado por el elipsoide UO V 9kO L 9 b.- El sólido cortado en la esfera UO V kO L 16 por el cilindro k L 4 cos HlK c.- El sólido sobre el plano polar limitado por el cono U L 2k y el cilindro k L 1 M cos HlK d.- El sólido limitado por el paraboloide U L 4 M kO, el cilindro k L 1 y el plano polar. 33333333....---- Evalué por medio de coordenadas polares la integral
à INIO V JO �Þ
Ý
Donde R es la región del primer cuadrante limitada por la circunferencia IO V JO L 1 y los ejes coordenados. 34343434....---- Calcule el are de la porción de la superficie de la esfera IO V JO V UO L 4I cortada por un manto del cono JO V UO L IO 35353535....---- Determine el área de la porción de la superficie de la esfera IO V JO V UO L 36 que se encuentra dentro de cilindro IO V JO L 9 36363636....---- Calcule el área de la porción de la superficie de la esfera IO V JO V UO L 4U que se encuentra dentro del paraboloide IO V JO L 3U. 37373737....---- Calcule el área de la superficie cortada en el paraboloide hiperbolico JO M IO L 6U por el cilindro IO V JO L 36.
29
APLICACIONES APLICACIONES APLICACIONES APLICACIONES DE LA INTEGRALES DOBLES, AREA DE UNA SUPERFICIEDE LA INTEGRALES DOBLES, AREA DE UNA SUPERFICIEDE LA INTEGRALES DOBLES, AREA DE UNA SUPERFICIEDE LA INTEGRALES DOBLES, AREA DE UNA SUPERFICIE 38383838....---- Determine la masa HmK y el centro de masa HIí, JîK de la lamina acotada por las curvas dadas y con la densidad indicada. a.- I L 0, I L 4, J L 0 , J L 3, ¦HI, JK L J V 1 b.- J L 0, J L N4 M IO; ¦HI, JK L J c.- J L 0, J L sinHIK , 0 Ú I Ú °; ¦HI, JK L J d.- J L ^
R , J L I , J L 0 , I L 2 , ; ¦HI, JK L I e.- J L PR , J L 0, I L 0, I L 1 ; ¦HI, JK L 2 M I V J f.- k L 1 V cosHlK ; ¦HI, JK L k 39393939....---- Determine los momentos de inercia ïR , ïT P ï] para la lámina acotada por las curvas dadas y la densidad indicada. a.- J L √I, I L 9 , J L 0; ¦HI, JK L I V J b.- J L IO, J L 4; ¦HI, JK L J c.- El cuadrado con vértices H0,0K; H0, �K; H�, �K; H�, 0K ; ¦HI, JK L I V J d.- El triangulo con vértices H0,0K; H0, �K; H�, 0K; ¦HI, JK L IO V JO 40404040....---- Determine el radio de giro de la lámina del problema H39.c) con respecto al eje x. 41414141....---- Recuerde la lamina del problema (39.c) para la que encontramos ïT L wæS
^O . Calcule Ha) Masa Hb) Ií Hc) ïð donde L es una recta que pasa por HIí , Jî) paralela al eje y.
42424242....---- Determine el área de la superficie indicada. En cada caso dibuje la región. a.- La parte del plano 3I V 4J V 6U L 12 que esta arriba del rectángulo del plano xy con vértices H0,0K; H2,0K; H2,1K; H0,1K b.- La parte del plano 3I M 2J V 6U L 12 acotada por los planos I L 0, J L 0 J 3I V 2J L 12 c.- La parte de la superficie U L N4 M JO directamente arriba del cuadrado en el plano xy con vértices H1,0K; H2,0K; H2,1K; H1,1K
30
d.- La parte de la superficie U L N4 M JO en el primer octante que está directamente arriba del círculo IO V JO L 9 en el plano IJ. e.- La parte de la superficie U L RS
` V 4 cortada por los planos I L 0, I L 1, J L 0, J L 2 f.- La parte de la esfera IO V JO V UO L �O dentro del cilindro elíptico �OIO V �OJO L �O�O,�|��P 0 Ø � Ú � g.- La parte del cilindro IO V JO L �J dentro de la esfera IO V JO V UO L �O, � Y 0. 15 h.- La superficie del solido dado por la intersección de los dos cilindros sólidos IO V UO Ú�O J IO V JO Ú �O 16 43.43.43.43.---- Una lamina tiene la forma de una región rectangular limitada por las rectas I L 3 y J L 2 y los ejes coordenados. La densidad superficial en cualquier punto es IJO kilogramos por metro cuadrado. 44.44.44.44.---- Una lamina tiene la forma de la región del primer cuadrante limitada por la parábola J L IO y la recta J L 1 y eje y. La densidad superficial en cualquier punto es HI V JK. 45.45.45.45.---- Una lámina tiene la forma de la región limitada por la curva J L PR , la recta I L 1 y los ejes coordenados. La densidad superficial varía como la distancia desde el eje x. 46.46.46.46.---- Una lámina tiene la forma de la región limitada por la curva J L √I y la recta J L I. La densidad superficial varia como la distancia desde el eje y.
47.47.47.47.---- Calcule el momento de inercia de la lámina homogénea con respecto al eje indicado.
a.- La lamina limitada por 4J L 3I, I L 4 y eje x con respecto a la recta I L 4 b.- Una lámina tiene la forma de la región limitada por la parábola IO L 4 M 4J y el eje x, con respecto al eje x. c.- Una lamina tiene la forma de la región acotada por un triangulo cuyos lados miden � metros, � metros y ~ metros; con respecto al lado que mide � metros. 48.48.48.48.---- Calcule el área de la superficie del primer octante cortada en el cono IO V JO L UO por el plano I V J L 4 49.49.49.49.---- Obtenga el área de la porción de superficie del cilindro IO V UO L 4 que esta dentro del cilindro IO V JO L 4. 15
Proyecte sobre el plano yz para obtener la región de integración. 16
áH1 V sinHlKKQ^ �l L M tan h¶QOn` j V ñ
31
50.50.50.50.---- Determine el área de la porción de superficie del cono IO V JO L UO que se encuentra dentro del cilindro IO V JO L 2I. 51.51.51.51.---- Obtenga el área de la porción del plano I L U que esta entre los planos J L 0 J J L 6 y dentro del hiperboloide 9IO M 4JO V 16UO L 144.
INTEGRALES TRIPLES, COORDENAS CARTESIANASINTEGRALES TRIPLES, COORDENAS CARTESIANASINTEGRALES TRIPLES, COORDENAS CARTESIANASINTEGRALES TRIPLES, COORDENAS CARTESIANAS,,,, CILINDRICASCILINDRICASCILINDRICASCILINDRICAS YYYY ESFERICASESFERICASESFERICASESFERICAS 52525252....- Evalué las integrales iteradas. a.- á á á �U�J�IRQ^
TOR
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Qm b.- á á á �I�J�UmT\R�
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O� c.- á á á �I�J�UT\O]
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d.- á á á 6IJOUm�I�J�UO^
`QO w
� e.- á á á 2IJUNR/]�
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O� �J�I�U
f.- á á á sinHI V J V UK �I�J�UT�
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ÄS� g.- á á á 3IJU �U�J�I©Sy
x�
R\^RQ^
`QO
h.- á á á sin hRTj �I�J�UOT]
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���HO]KÄS�
53535353....---- Bosqueje el sólido S. Luego escriba una integral iterada para
ò GHI, J, UK�bê
a.- z L óHI, J, UK: 0 Ú I Ú 1, 0 Ú J Ú 3, 0 Ú U Ú ^_ H12 M 3I M 2JKô
b.- z L ãHI, J, UK: 0 Ú I Ú N4 M JO; 0 Ú J Ú 2, 0 Ú U Ú 3ä c.- z L óHI, J, UK: 0 Ú I Ú NJ; 0 Ú J Ú 4, 0 Ú U Ú m
O Iô d.- z L ãHI, J, UK: 0 Ú I Ú JO; 0 Ú J Ú √U; 0 Ú U Ú 2ä e.- S es la región del primer octante acotada por la superficie U L 9 M IO M JO y los planos de coordenadas. f.- S es la menor región acotada por el cilindro IO V JO M 2J L 0 y los planos I M J L 0, U L0 J U L 3
32
54545454....---- Use integrales iteradas para determinar las cantidades indicadas. a.- El volumen del sólido en el primer octante acotado por J L 2IO J J V 4U L 8 b.- El volumen del sólido en el primer octante acotado por el cilindro elíptico JO V 64UO L 4 y el plano J L I c.- El volumen del solido acotado por los cilindros IO L J J UO L J y el plano J L 1 d.- El centro de masa del tetraedro acotado por los planos I V J V U L 1, I L 0, J L 0 J U L 0 si la densidad es proporcional a la suma de las coordenadas del punto. e.- El centro de masa del solido acotado por el cilindro IO V JO L 9 y los planos U L 0 J U L 4 si la densidad es proporcional al cuadrado de la distancia al origen. f.- El momento de inercia ïR en torno del eje x del solido acotado por el cilindro JO V UO L 4 y los planos I M J L 0, I L 0 J U L 0 si la densidad ¦HI, JK L U. 17 55555555....- Cambie el orden de integración, como se te indica. a.- á á á GHI, J, UKN^QTSQ]S� �I�U�J N^QTS�� ; �U�J�I b.- á á á GHI, J, UK`QOTQ]�`QOT� �I�U�JO� ; �U�J�I c.- á á á GHI, J, UKOQR� �U�J�IéQRS�O� ; �J�I�U d.- á á á GHI, J, UKOQR�éQRS� �U�J�IO� ; �U�I�J 56565656....---- Una lata de refresco llena, de altura h, esta sobre el plano IJ. Perfore un agujero en la base y observe Uí Hla coordenada z del centro de masaK cuando el refresco se derrama. Comenzando en £O, Uí baja gradualmente a un mínimo luego sube a £O cuando la lata esta vacía. Muestre que Uí es mínimo cuando coincide con la altura de la lata ¿valdría la misma conclusión para una botella de refresco? 57575757....---- Use coordenadas cilíndricas para determinar la cantidad indicada. a.- El volumen del solido acotado por el paraboloide U L IO V JO y el plano zL4 b.- El volumen del solido acotado por arriba por la esfera IO V JO V UO L 9, abajo por el plano zL0 y lateralmente por el cilindro IO V JO L 4 17
Tendrá que desarrollar su propia formula: rebanar, aproximar, integrar.
33
c.- El volumen del solido bajo la superficie U L IJ, por arriba del plano IJ y dentro del cilindro IO V JO L 2I d.- El centro de masa del solido homogéneo acotado por arriba por U L 12 M 2IO M 2JO y abajo por U L IO V JO e.- El centro de masa del solido homogéneo dentro de IO V JO L 4, fuera de IO V JO L 1 y abajo por U L 12 M IO M JO y arriba U L 0 58585858....---- Determine la masa de un sólido dentro de una esfera de radio 2� y fuera de un cilindro circular de radio a cuyo eje es diámetro de la esfera si la densidad es proporcional al cuadrado de la distancia al centro de la esfera. 18 59595959....---- Utilice coordenadas esféricas pero resolver la integral
� � � HIO V JO V UO)mO
ÎQRSQ]S
QÎQRSQ]S
ÎQRS
Q√éQRS�J�U�I
m
Qm
60606060....----Muestre que el jacobiano para el cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas tiene valor k 61616161....---- Muestre que el jacobiano para el cambio de coordenadas cartesianas a esféricas tiene valor ¥Osin HuK 62626262....---- Determine el volumen del elipsoide RS
æS V TSåS V ]S
�S Ú 1 haciendo el cambio de variable I L s�, J L ��, U L ~g Determine también el momento de inercia de este solido en torno del eje z, suponiendo que tiene densidad constante k. 63.63.63.63.---- Evalué la integral iterada o la integral triple. a.- á á á I^\TSOT �U^\R� �J� �I b.- á á á IJR\RT^ �U�J�IR�O c.- á á á JP]¨� HRK� �U�I�JTSTO d.- á á á ]RS\]S√m]� �I�U�JT�O� e.- õ HIO V UOK�bê e� z Pe ¾� kP¡�|� ¾���f��� ¥|k P¾ fPfk�P�k| G|k���| ¥|k 12I V 2J V 15U L 60 J ¾|e ¥s�f|e ~||k�P���|e. 18
Use coordenadas esféricas para determinar lo que se pide.
34
f.- õ JU�bê e� z Pe ¾� kP¡�|� �~|f��� ¥|k P¾ fPfk�P�k| ~sJ|e �Pkf�~Pe e|� H0,0,0K; H1,1,0K; H1,0,0K; H1,0,1K g.- õ I�b;ê e� z Pe P¾ fPfk�P�k| ¾���f��| ¥|k ¾|e ¥¾��|e I V 2J V 3U L 6 ; I L 0 ; J L 0 ; U L 0 h.- õ JO�b; ê e� z Pe ¾� kP¡�|� �~|f��� ¥|k ¾|e ~�¾���k|e IO V J L 1 ; UO V J L 1 J P¾ ¥¾��| J L 0 i.- õ IJU�bê e� z Pe ¾� kP¡�|� �~|f��� ¥|k ¾|e ~�¾���k|e IO V JO L 4 ; IO V UO L 4 64.64.64.64.---- Calcule el volumen del solido del primer octante limitado inferiormente por el plano IJ, superiormente por el plano U L J y lateralmente por el cilindro JO L I y el plano I L 1 65.65.65.65.---- Determine el volumen del solido del primer octante acotado por el cilindro IO V UO L 16 y el plano I V J L 2 y los tres planos coordenados. 66.66.66.66.---- Obtenga el volumen del solido del primer octante limitado por los cilindros IO V JO L 4 y IO V 2U L 4 y los tres planos coordenados. 67.67.67.67.---- Calcule el volumen del solido acotado poro el cono elíptico 4IO V 9JO M 36UO L 0 y el plano U L 1. 68.68.68.68.---- Determine el volumen del solido ubicado sobre el paraboloide elíptico 3IO V JO L U y debajo del cilindro IO V U L 4. 69.69.69.69.- Calcule la masa del solido limitado por la superficie U L IJ y los planos I L 1 J L 1 U L 0 La densidad volumétrica en cualquier punto del solido es 3NIO V JO kilogramos por metro cubico. 70.70.70.70.- Evalué la integral iterado por coordenas cilíndricas y esféricas. a.- á á á keP~mHlKq�ö¿HnK
� �U�k�læ�
¶/`� b.- á á á kOcos HlKq¿÷¯HnK
� �U�k�lO��� HnKO��� HnK
¶/`�
c.- á á á kP]^� �U�k�l`
O¶
� d.- á á á ¥mO� sin HuK¶
� �¥�u�lO¶�
e.- á á á ¼Osin HlKO¶� �u�¼�lO���� HnK
�¶/`
� f.- á á á ¼m sinOHlK sin HuKæ ��� HnK� �¼�l�uÃ
¶/`¶/O
¶/`
35
71.71.71.71.---- Si S es el sólido del primer octante limitado por la esfera IO V JO V UO L 16 y los planos coordenados evalué la integral õ IJU�bê HUtilice los diferentes tipos de coordenadasK. 72.72.72.72.---- Determine el volumen del solido limitado por el paraboloide IO V JO V U L 1 y el plano IJ. 73.73.73.73.---- Calcule el volumen del solido limitado por el cilindro IO V JO L 2J el paraboloide IO V JO L 2U y el plano IJ. 74.74.74.74.---- Determine el volumen del solido ubicado dentro de la esfera IO V JO V UO L 4U y que se encuentra arriba del cono IO V JO L UO 75.75.75.75.---- Obtenga el volumen del sólido que se encuentra dentro de la esfera IO V JO V UO L 2U y arriba del paraboloide IO V JO L U 76.76.76.76.---- Evalué la integral iterada empleando coordenadas cilíndricas o coordenadas esféricas. a.- á á á NIO V JO√éQRS
� �J�I�Um�
`� b.- á á á ]
NRS\TSN^QRSQTS
� �U�J�I√^QRS�
^�
c.- á á á UO�U�I�JNOQRSQTSNRS\TS
N^QTS�
^� d.- á á á ^
RS\TS\]S �UN`QRSQTS� �J�IN`QTS
�O
�
INTEGRALES DE LINEASINTEGRALES DE LINEASINTEGRALES DE LINEASINTEGRALES DE LINEAS 77777777....---- Evalué cada integral de línea. a.- á HIm V JK�e; ñ Pe ¾� ~sk�� I L 3f, J L fm, 0 Ú f Ú 1ø b.- á IJSù�e; ø ñ Pe ¾� ~sk�� I L O f , J L fùS , 0 Ú f Ú 1 c.- á IPT�e; ø ñ Pe P¾ eP¡�P�f| �P kP~f� �P HM1,2K� H1,1K d.- á HIO V JO V UOK�e;ø ñ Pe ¾� ~sk�� I L 4 cosHfK , J L 4 sinHfK , U L 3f, 0 Ú f Ú 2° e.- á J�I V IO�Jø ; ñ Pe ¾� ~sk�� P� ��¡s¾| kP~f� �P H0, M1K� H4, M1K� H4,3K f.- á Jm�I V Im�Jø ; ñ Pe ¾� ~sk�� I L 2f, J L fO M 3, M2 Ú f Ú 1 g.- á J�I V I�Jø ; ñ Pe ¾� ~sk�� J L IO, 0 Ú I Ú 1 h.- á IU�I V HJ V UK�J V I�U; ø ñ Pe ¾� ~sk�� I L P� , J L PQ� , U L PO� , 0 Ú f Ú 1
36
78787878....---- Resuelva
� HI V J V UK�I V HI M 2J V 3UK�J V H2I V J M UK�U;ø
ñ Pe P¾ eP¡�P�f| �P kP~f� �P H0,0,0K� H2,3,4K 79797979....---- Sea ÌHI, JK L HIO M JmK� V IJOµ; ñ Pe ¾� ~sk�� I L fO, J L fm . M 1 Ú f Ú 0, calcule el trabajo realizado por el campo F sobre una particular al moverse en C. 80808080....---- Sea ÌHI, JK L PR� M PQTµ; ñ Pe ¾� ~sk�� I L 3 lnHfK , J L lnH2fK , 1 Ú f Ú 5 calcule el trabajo realizado por el campo F sobre una particular al moverse en C. 81818181....- Sea ÌHI, J, UK L H2I M JK� V 2U µ V HJ M UKX; ñ Pe P¾ eP¡�P�f| �P kP~f� �P H0,0,0K� H1,1,1K calcule el trabajo realizado por el campo F sobre una particular al moverse en C. 82828282....- Sea ÌHI, J, UK L J � V U µ V I X; ñ Pe ¾� ~sk�� I L f, J L fO, U L fm, 0 Ú f Ú 2 calcule el trabajo realizado por el campo F sobre una particular al moverse en C. 83838383....---- Evalué la integral de línea sobre la curva C. a.- á J�I V I�Jø ; ñ: [HfK L f� V fOµ ; 0 Ú f Ú 1 b.- á 2IJ �I M 3I �Jø ; ñ: [HfK L 3fO M fµ; | Ú f Ú 1 c.- á 2IJ�I V HIø M 2JK�J ; ñ: [HfK L sinHfK � M 2 cosHfK µ; 0 Ú f Ú ° d.- á IJ �I M JO�Jø ; ñ: [HfK L fO� V fmµ, �Pe�P P¾ ¥s�f| H1,1K�¾ ¥s�f| H4, M8K e.- á HI M JK�I V HJ V IK�Jø ; ñ: IO V JO L 4, ¥�kf�P��| �P H2,0KeP�f��| â|k�k�|. f.- á HI M 2JK�I V IJ�J;ø ñ: [HfK L 3 cosHfK � V 2 sinHfK µ; 0 Ú f Ú O ° g.- á J sinHIK �I M cosHIK�Jø ; ñ: eP¡P�P�f| �P kP~f� �P h^
O °, 0j � H°, 1K
h.- á 9IOJ�I V H5IO M JK�J; ñ: J L Im V 1 �Pe�P H1,2K� H3,38Kø i.- á HIO V IJK�I V HJO M IJK�J; ñ: J L I �Pe�P H0,0K� H2,2Kø j.- á HIO V IJK�I V HJO M IJK�J; ñ: IO L 2J �Pe�P H0,0K� H2,2Kø
37
k.- á HIJ M UK�I V PR�J V J�U; ñ: eP¡�P�f| �P kP~f� �P H1,0,0K� H3,4,8Kø l.- á HIJ M UK�I V PR�J V J�U; ñ: [HfK L Hf V 1K� V fOµ V fmX ; 0 Ú f Ú 2ø
TEOREMA DE GREENTEOREMA DE GREENTEOREMA DE GREENTEOREMA DE GREEN 84848484....---- Use el Teorema de Green para evaluar la integral de línea dada. Dibuje la región dada. a.- ú 2IJ�I V JO�Jø , donde C es la curva cerrada formada por J L RO y J L √I entre H0,0KJ H4,2K b.- ú NJ�I V √I�Jø , donde C es la curva cerrada formada por J L 0, I L 2 y J L RS
O c.- ú H2I V JOK�I V HIO V 2JK�Jø , donde C es la curva cerrada formada por J L 0, I L2 J J L Rc
` d.- ú IJ�I V HI V JK�Jø , donde C es el triangulo con vértices (0,0), (2,0) y (0,1)
e.- ú (IO V 4IJ)�I V (2IO V 3J)�Jø
, donde C es la elipse 9IO V 16JO L 144
f.- ú (PmR V 2J)�I V (IO V sin(J))�Jø
, donde C es el rectángulo con vértices (2,1) (6,1) (6,4)
y (2,4)
85858585....---- Determine el área de la región indicada S. Haga un bosquejo.19
a.- S esta acotada por las curvas J L 4I J J L 2IO
b.- S esta acotada por las curvas J L^
OIm J J L IO
86868686....---- Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea.
a.- ú (I V J)�I V IJ�Jø
, donde C es la curva cerrada determinada por el eje x, la recta I L 2
y la curva 4J L Im
19
Para determinar este tipo de área se aplica el teorema de Green y se obtiene la siguiente igualdad. Þ(e) L^
Oú MJ �I V
ø
I�J
38
b.- ú JO�I V IO�Jø , donde C es la curva cerrada determinada por el eje x la recta I L 1 y la curva J L IO c.- ú HMIO V IK�Jø donde C es la curva cerrada determinada por la recta I M 2J L 0 y la parábola I L 2JO d.- ú HIO V JK�Iø , donde C es la curva cerrada determinada por el eje x y la parábola J L 4 M IO e.- ú HcosHJKK�I V cosHIK �Jø , donde C es el rectángulo cuyos vértices son H0,0K; hm °, 0j ; hm °, ^ °j ; h0, ^ °j f.- ú PR\T�I V PR\T�Jø , donde C es la circunferencia IO V JO L 4 g.- ú Hsin`HIK V PORK�I V HcosmHJK M PTK�Jø , donde C es la curva I` V J` L 16 87.87.87.87.---- Utilizando el teorema de Green determine el área que se le indica. a.- La región limitada por el cuadrilátero cuyos vértices son H0,0K; H4,0K; H3,2K; H1,1K b.- La región cuya frontera es la circunferencia IO V JO L �O c.- La región limitada por las graficas J L IO; J L √I d.- La región acotada por la parábola J L 2IO y la recta J L 8I
39
SOLUCIONES A ALGUNOS EJERCICIOS.
DERIVADAS
PREGUNTA 2.
a.- Elipse. RS^_ V TS
` Ø 1.
b.- Hipérbole. 4JO M UO Ø 16
c.- Elipse RS^_ V TS
` Y 1
d.- Elipse IO V 4JO Ø 1
e.- Plano IJ excepto la recta J L MI.
f.- Hipérbola dentro de IJ L 1
g.- Entre las rectas I V J L 1 ; I V J L M1
PREGUNTA 3.
Son elipsoides de semiejes Oü , `
ü , ±ü para X L 4,2,1, ^
O PREGUNTA 6.
a.- p]pT L 1 b.-
p]pT L ±
m√^^ c.- p]pR L M w
`√m
d.- p]pT L M m
O √3 e.- p]pR L M ^
O
PREGUNTA 13.
a.- GRH0,0K L 1 ; GTH0,0K L 1
b.- GRH0, JK L M1 ; GRH0,0K L 1
c.- GRTH0,0K J GTRH0,0K ý| �I�efP�. d.- GRTH0,0K L 0 ; GTRH0,0K L 0
e.- GRTH0,0K L M1 ; GTRH0,0K L 1
PREGUNTA 14.
a.- 2 b.- ∞ c.- 1 d.- 1 e.- ∞ f.- 0
PREGUNTA 17.
¡HIK L 2I
PREGUNTA 21.
a.- 0 b.- 29 c.- M4 d.- 0 e.- 0 f.- 0
PREGUNTA 22.
a.- ¦ L ^» § b.- ¦ L ^
√`^ § c.- ¦ L ^m § d.- ¦ L ^
√m` §
PREGUNTA 25.
a.- Si existe, por definición de limite.
b.- Si existe por teorema de emparedado. 0 Ø RST�R�\T� Ø IO
c.- No existe.
d.- No existe
PREGUNTA 26
a.- ^` ° b.-
mO "~||k�P����e ¥|¾�kPe"
c.- ^O d.- M6 (demostrar continuidad)
PREGUNTA 27.
a.- [O menos J L I
b.- En el primer y cuarto cuadrante.
c.- Menos en la elipse 4IO V JO L 16
d.- |I V J| Ø 1 e,f.- [O �P�|e H0,0K
g,h,i,n.- [O j.- Dentro IO V JO L 16
k.- |IJ| � 1
l.- Primero y Tercer cuadrante y |I V J| Ø 1
m.- |IJ| Ø 1 o.- Excepto en H0,0K J J L I
40
PREGUNTA 28.
a.- No existe, Esencial. b.- GH0,0K L 0
c.- No existe, esencial. d.- GH0,0K L 0
e.- GH0,0K L 0
PREGUNTA 30.
a.- Fuera de la esfera IO V JO V UO L 1
b.- Dentro del elipsoide 4IO V JO V 9UO L 36
c.- [m d.- [m M Ù0,0,0Û
PREGUNTA 31.
Se tiene que:
limHR,TK�H�,�KTÁ�GHI, JK¡HI, JK L limR��
GHI, 0K¡HI, 0K L limR��
I¯GH1,0KI¯¡H1,0K L GH1,0K
¡H1,0K
Y además.
limHR,TK�H�,�KTÁRGHI, JK¡HI, JK L limR��
GHI, IK¡HI, IK L limR��
I¯GH1,1KI¯¡H1,1K L GH1,1K
¡H1,1K
Los límites no son iguales por lo cual No existe.
PREGUNTA 33.
a.- U L M21I V 16J M 60
b.- U L M2°J V ° M 1
c.- U L M4I M 4J
PREGUNTA 34.
a.- I M 2 L ]Qé^O J L 1
b.- I L 2 TQ^^� L ]Qé
^�
c.- RQOQ^ L 1 M J L ]Qé
QOO
PREGUNTA 35.
a.- RQm
O L ]Q»Oé_ J L 2
b.- I L 3 TQOQm L ]Q»O
QmO`
c.- HI M 3K L 2 M J L ]Q»OQ_�
PREGUNTA 37.
a.b.c.d.- Sus Derivadas Parciales son Continuas en su
Dominio.
PREGUNTA 44.
a.- 8√2 b.- M O»√w c.-
QÖQÖ√mO d.- √2 M 1
PREGUNTA 45.
a.- ^
^m �12, M5� b.- �M √mO , ^
O� c.-
^√O^ �M4,2, M1� d.-
^√_w �1, M8,0�
PREGUNTA 46.
a.- ^
√w �M1,2� b.- ^
√^� �M3,1�
PREGUNTA 47.
¸s L PQR sinHJK � k�U|� �P √32
PREGUNTA 50
a.- 6 b.- O^O √2 c.-
^O V 2√3 d.- M2
e.- M `» √3 f.- M `
m √3
PREGUNTA 51.
a.- M ^_` hM m
O V √3j
b.- ^
_` √13 P� M H3� V 2�K
PREGUNTA 52.
a.- HsinHfK V cosHfKKH1 M 3 sinHfK cosHfKK
b.- 3Pm� sinH2fK V 3PO� cosH3fK V 2Pm� cosH2fK V2PO� sinH3fK
c.- ^Q���SH�K
���H�K d.- 7f_ cosHf»K
e.- M4fm V 2f M 1
41
PREGUNTA 53.
a.- eO h1 M 2fQm M ln h¿�jj
b.- OÖ�H��d KH¿�Q^K
�SÖS�QÖS��
c.- e`fH1 V e`fOKQdS d.- 0
PREGUNTA 54.
a.- 72 b.- 5 c.- M8
PREGUNTA 63.
a.- 4I V J V 2√2U L 8
b.- I M 3J V √7U L M1
c.- 2I V J M U L 4
d.- I V J M U L 2
e.- I M 2J M U L 0
f.- RO V T
` M U L M mO
PREGUNTA 64.
U L M14 PµP�¥¾| H3, M1, M14K
PREGUNTA 65.
�I L 1 V 32fJ L 2 M 19fU L 2 M 17f�
PREGUNTA 66.
�I L 1 V 2fJ L 1 V 3fU L 1 V f�
PREGUNTA 67.
A los 3 segundos en H5,10,9K
PREGUNAT 68.
a.- RQ^
O L T\OQ^ L RQm
m
b.- RQm
m L HJ V 1K
c.- RQ^
Ö L TQÖQ^ U L 0
d.- 3I M HU M 1K L 0
e.- I M 1 L J M 1 L ]QOQO
f.- HI M 4K L TQ^O L ]Q^
O
g.- R
Q` L T\OQé L ]Qm
^m
h.- R\±Qm L TQO»
O L H]Q^K_
PREGUNTA 69.
a.- RQO
` L T\OQ^ L ]
O�
b.- Son tangentes en {H0,1,1K
c.- I L 3 HTQ^Km¶ L U M 2
d.- R
^Q±¶ L TQOm¶ L 1 M U
e.- RQ^^» L T\O
O� L ]Q^^Q`
f.- Son tangentes.
PREGUNTA 70.
a.- 9I M 4J L 1
b.- 2I V J L 4
c.- M4I V 5J L 6
d.- 7I V 2J L 10
PREGUNAT 73.
a.- H1, M1K min local.
b.- H0,0K Max local H3, �6KPto Silla.
c.- H0,0K Pto Silla.
d.- H0,0K Pto Silla. H2,2K Min local.
e.- H1,2K min local.
f.- H0,2K Max local.
g.- No Hay
h.- H0,0K min local.
42
PREGUNTA 74.
a.- H0,0K min H3,4K Max global.
b.- H0, �1Kmin H�1,0K max global.
c.- hmw , `
wj min global. hM mw , M `
wj Max global.
PREGUNTA 75.
a.- h0, M ^Oj pto silla h4, M ^
Oj mínimo relativo
b.- Nada
c.- H1,2KPto Silla.
d.- HM3, M4KPto Silla.
e.- hM ^` , 16j Pto Silla.
f.- h`m , O
mj Pto Silla, H4,2Kmínimo relativo.
g.- h0, ^OjPto Silla h0, M ^
Oj Pto Silla.
h.- H0,0KPto Silla HM8,4KMin Absoluto H2, M1Kmin Rela
i.- H1,1KMin Re H1, M3K Silla HM1,1KSilla, HM1, M3KMax Re
j.- Nada
k.- H0,0KPto Silla
l.- H0,0KPto Silla H6,6K min relativo.
PREGUNTA 76.
a.- H1,3K Max H5,0K min
b.- HM1,3K max H0,0Kmin H1,1K silla.
c.- h^O ° , ^
O °j max H0,0KH0, °KH°, °K min
PREGUNTA 78.
Ó4114 , M 57 , 3314Ô ���� L 914 √14 PREGUNTA 79
Ó0, M 1√17 , M 4
√17Ô Ó0, M 1√17 , 4
√17Ô
PREGUNTA 80.
b L 163 √3
PREGUNTA 81.
H1,3K es mínimo junto con el conjunto de número que
cumplan IJ L 3
PREGUNTA 82.
Mínimos h ^√w , O
√wj hM ^√w , M O
√wj
Máximos h O√w , M ^
√wj hM O√w , ^
√wj
PREGUNTA 83.
Pto Mínimo H 3, M3K
PREGUNTA 84.
Ó67 , 187 , M 127 Ô
PREGUNTA 85. H1,1,1K
PREGUNTA 86.
� L Ó87ÔO
PREGUNTA 88.
a.- Punto críticos H0,0K H0,2K
b.- h_» , M `
» , O»j
c.- H0,1,0K H0, M1,0K
PREGUNTA 89.
a.- Max Absoluto H�4,1K Min Absoluto H�4, M1K
b.- ²©`m , ©`
m , ©^m³ Máximo ²M √`
m , M √`m , ©^
m³Minimo
PREGUNTA 90.
a.- H0,0K, y la frontera
b.- Toda la frontera.
43
PREGUNTA 91
Mínimo
ÓM 1115 , 1615 , 13Ô
INTEGRALES
PREGUNTA 1
a.- 3 b.- 12 c.- 13
PREGUNTA 2
a.- 4 b.- 31 c.- 3 d.- 10
PREGUNTA 3
112
PREGUNTA 4
4
PREGUNTA 5
a.- 12 b.- 8 c.- 98/3 d.- 2/3 e.- M `éw f.- M `�m
O^
g.- ^m h.- M5 i.-
^m j.-
m± °O V ^
O ° V 1
PREGUNTA 6
a.- mO ° b.- M2 c.-
±_`w d.-
é`
PREGUNTA 7
a.- ^
^O b.- ^_m c.- 72 d.-
`m �4° V √3�
PREGUNTA 8
b L 43 °��~
PREGUNTA 9
a.- 0 b.- ^O HP M 1K
PREGUNTA 10
a.- mOm b.-
^^w_ c.-
^_m d.- 2 e.- P M 2
f.- `
^w �31 M 9√3� g.- 1 M lnH2K h.- ¶O
PREGUNTA 11
a.- 0 b.- O�m c.-
»O
PREGUNTA 13
� � ¡HIKâHJKÊ� �J�Iå
æ L�^ � ¡HIKåæ � âHJKÊ
� �I�J L�O
� ¡HIK�Iåæ � âHJKÊ
� �J
1.- Linealidad de integración con respecto a (y)
2.- Linealidad de integración con respecto a (x).
PREGUNTA 14
14 lnH2K
PREGUNTA 15
ÓP M 12 ÔO
PREGUNTA 16
16
PREGUNTA 17
a.- ±m b.- 0 c.- 5 M √3 M √2
PREGUNTA18
Cambie el orden de integración y obtenga que
° M 2 arctan Ó12Ô
PREGUNTA 19
a.- ¾ b.- ^_ c.-
_^w d.-
^O HPO» M PK e.-
m` ° lnH5K
f.- ^± H2 M °K g.-
^é H3 lnH2K M °K h.- P M 2 i.-
^± H2 M °K
44
PREGUNTA 20
a.- 0 b.- 6 c.- O»»� d.- M ±
^w e.- `
¨�HOK M lnH5K f.- 0
PREGUNTA 21
a.- 6 b.- 24 c.- 20 d.- O�m e.-
±^± ° f.- 72
g.- ^O HP V PQ^ M 2K h.-
^O±m
PREGUNTA 22
a.- á á GHI, JK�I�JT�
b.- á á GHI, JK�J�I√RxS�
c.- á á GHI, JK√TT� �I�J�
d.- á á GHI, JKTdc^/O �I�J^/O^/± V á á GHI, JKTdc
T �I�J^/O
e.- á á GHI, JKQR �J�I�Q^ V á á GHI, JKR �J�I�
f.- á á GHI, JK�RSQ^ �J�IQ^
PREGUNTA 23
1 M cosH8K3
PREGUNTA 24
a.- ^
^O b.- ^± ° c.-
`é d.-
`m
PREGUNTA 25
a.- 2 hOm ° V √3j b.-
Om ° M √3
c.- 54 ° d.- √65 M 4 cosQ^ h`éj
PREGUNTA 26
b.- ^O ° c.- 8° d.-
»m e.-
^O °�M√3 V 2�
PREGUNTA 27
818 °
PREGUNTA 28
°3 Ó18mO M 10mOÔ
PREGUNTA 29 *
625 ²1 V 3√312 ³
PREGUNTA 30
a.- Negativo b.- b L M4°O c.- ì L 8°O
PREGUNTA 31
a.- 6° b.- ^± �O° c.-
^` �OH8 V °K d.-
^`
e.- ^»` ° V 6√3
PREGUNTA 32
a.- 4° b.- ^O±
é H3° M 4K c.- ^�m ° d.-
»O °
PREGUNTA 33
ï L 12
PREGUNTA 34
Þ L 8°
PREGUNTA 35
Þ L 6√36 M kO
PREGUNTA 36
Þ L 2√4 M kO
PREGUNTA 37
Þ L 6°�5√5 M 1�
PREGUNTA 38 “CM Centro de Masa”
a.-30 ñ H2,1,8K b.- ^_m ñ h0, m
± °j
c.- ¶` ñ h¶
O , ^_é °j d.-
`m ñ ÓO^
^_ , mmO H1 V 4 lnH2KKÔ
45
e.- ÖS\±ÖQ^m
` ñ L hR� , T
� j I L ±Öc\O»ÖSQwm»O
J L ÖSQ±Ö\mm±
f.- wm ° ñH1.05, 0K
PREGUNTA 39
a.- ïI L »wmmO± ïJ L `^wwm
± ïU L 5463
b.- ïI L O�`±é ïJ L w^O
O^ ïU L ^w±»O_m
c.- ïI L w^O �w ïJ L w
^O �w ïU L w_ �w
d.- ïI L »^±� �_ ïJ L »æ®
^±� ïU L »é� �_
PREGUNTA 40
k L Ó 512ÔO �
PREGUNTA 41
a.- �m b.- »
^O � c.- ï¾ L ^^^`` �w
PREGUNTA 42
a.- √_^
m b.- 14 c.- ¶m d.- 4
e.- √wO V 2 ln h√w\^
O j
f.- 4°��� M √�O M �O �
g.- 2�O�√2 V ln�1 V √2�� h.- 8�O
PREGUNTA 43
� L 32
PREGUNTA 44
� L 1320
PREGUNTA 45
¼HI, JK L XJ LY � L 14 XHPO M 1K
PREGUNTA 46
¼HI, JK L XI LY � L 14 X°
PREGUNTA 47
a.- 16 X b.- _`
^�w X
c.- Oü
mæS �eHe M �KHe M �KHe M ~K� ; e L ^O H� V � V ~K
PREGUNTA 48
Þ L 2
PREGUNTA 49
Þ L 32
PREGUNTA 50
Þ L 2√2°
PREGUNTA 51
Þ L 725 �2 V √2 ln�1 V √2��
PREGUNTA 52
a.- M40 b.- 55 c.- ^±é
O d.- 72.3. _Ow`
e.- Om f.-
^m g.- 156 h.- M ^
± °
PREGUNTA 53
a.- á á á GHI, J, UKdS�cx�Sy®�m�� �U�J�I
b.- á á á GHI, J, UKN`QTS�O� �I�J�Um�
c.- á á á GHI, J, UKcSR�√T�� �U�I�J
d.- á á á GHI, J, UKTS�√]�O� �I�J�U
e.- á á á GHI, J, UKéQRSQTS�
NéQRS�m� �U�J�I
f.- á á á GHI, J, UKNOTQTST �I�J�U�m�
46
PREGUNTA 54
a.- ^O±^w b.-
^m c.- 2 d.- h `
^w , `^w , `
^wj e.- h0,0, ^w�wé j
f.- ïI L ^_m
PREGUNTA 55
a.- á á á GHI, J, UKN^QRSQTS� �U�J�IN^QRS
��
b.- á á á GHI, J, UK`QRQOT�OQdSR� �U�J�I�
c.- á á á GHI, J, UKéQRS�OQ]� �J�I�UO�
d.- á á á GHI, J, UKOQR� �U�I�JO�w� V á á á �U�I�JOQR�NéQT�éw
PREGUNTA 57
a.- 108 ° b.- 96 ° c.- ^O ° d.- 4°
PREGUNTA 63
a.- ^
^� b.- ^±é`� c.-
`»O` d.-
Om ° e.- 41
f.- ^
^O� g.- 9 h.- ^m i.-
_`m
PREGUNTA 64 b L ^`
PREGUNTA 65
b L 83 ° V 12√3 M 643
PREGUNTA 66 b L mO °
PREGUNTA 67 b L 2°
PREGUNTA 68 b L 4°
PREGUNTA 69 � L Ow �2√2 M 1�
PREGUNTA 70.
a.- ^m �m b.-
^O c.- 6°HP M 1K d.- 16°
e.- °�m f.- ^` �`�√2 M 1�
PREGUNTA 71 ï L Ow_m
PREGUNTA 72 b L ^O °
PREGUNTA 73 b L m` °
PREGUNTA 74 8°
PREGUNTA 75 b L »_ °
PREGUNTA 76
a.- 18° b.- ^_ ° c.-
^^w °�2√2 M 1� d.- °
PREGUNTA 77
a.- 14�2√2 M 1� b.- ^
`w� h26cS M 1j
c.- √5POH1 M 3PQ^K d.- 160° V 120°m
e.- 60 f.- ±O±mw
g.- 1 h.- ^` P` V O
m Pm M P V ^O PQO M w
^O
PREGUNTA 78 27
PREGUNTA 79 M »``
PREGUNTA 80 123,6
PREGUNTA 81 mO
PREGUNTA 82 `^O^w
PREGUNTA 83
a.- 1 b.- M O^w c.- ° M ±
m d.- émé
» e.- 8°
f.- 3° M ^O g.- 1 h.- 1506 i.-
^_m j.-
_O^m
k.- wOm V 2HPm M PK l.- 2Pm V 2P V mO±
^w
PREGUNTA 84
a.- M _`^w b.- M m√O
w c.- »Omw d.-
^m e.- 0 f.- 72
PREGUNTA 85 a.- ±m b.-
Om
PREGUNTA 86
a.- 0 b.- 0 c.- 0 d.- 2° * e.- 50 *
47
PUNTOS FINALES.PUNTOS FINALES.PUNTOS FINALES.PUNTOS FINALES. 1.- Matemáticas 5 corresponde a lo que sería el curso de matemáticas 1,2 pero en esta se estudias funciones de dos o más variables. 2.- En cuanto los limites, le recomiendo ver bien como acotar los límites por definición porque sucede que si son acotado muchos el límite no existe HP. µ |sin Ho)| Ú 1) como primera aproximación podría acotar la función seno a 1, pero hay casos en que no se puede hacer, preste mucha atención a estos pequeños detalles. 3.- En cuanto a la integración, siempre dibuje las funciones para que tenga una idea de los límites de integración, y si va a utilizar métodos de coordenadas polares o cilíndricas tenga en mente de cambiar los diferenciales más el jacobiano que aparecen en este tipo de integración. 4.- Para finalizar el teorema de Green le será muy útil para desarrollar ejercicios a futuro Hmatemáticas 6) por los momentos debe Ud. Verificar las hipótesis del teorema para luego proceder a aplicar sus resultados.
SIRVASE DE AYUDA PARA PRATICARSIRVASE DE AYUDA PARA PRATICARSIRVASE DE AYUDA PARA PRATICARSIRVASE DE AYUDA PARA PRATICAR MATEMATICAS 5. PRIMER PARCIAL Y SEGUNDO MATEMATICAS 5. PRIMER PARCIAL Y SEGUNDO MATEMATICAS 5. PRIMER PARCIAL Y SEGUNDO MATEMATICAS 5. PRIMER PARCIAL Y SEGUNDO
PARCIAL.PARCIAL.PARCIAL.PARCIAL.
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QUE DICE Y QUE DEBERIA DECIR. REFERENCIA BIBLIOGRAFICA.REFERENCIA BIBLIOGRAFICA.REFERENCIA BIBLIOGRAFICA.REFERENCIA BIBLIOGRAFICA.
J. Marsden y A. Tromba. Cálculo Vectorial. 4ta edición. Addison-Wesley. T. Apostol. Calculus. Volumen II. 2da edición. Editorial Reverté.
PARA MAYOR INFORMACION.PARA MAYOR INFORMACION.PARA MAYOR INFORMACION.PARA MAYOR INFORMACION. Revise: Purcell, Varbery, CALCULO Pearson, Prentice Hall, Octava edición, Capítulos 15 y 16. Leithold, El Cálculo, séptima edición capítulos 12 y 13.
AAAAccccttttuuuuaaaalllliiiizzzzaaaaddddaaaa Diciembre 2009. CCCCrrrreeeeaaaaddddoooo por Miguel Guzmán
