Guía de Ejercicios No. 1 de Métodos Cuantitativos III, dic ... Web viewUniversidad Nacional Autónoma de Honduras. Facultad de Ciencias Económicas. Guía de Ejercicios No. 2. DET

Universidad Nacional Autónoma de HondurasFacultad de Ciencias Económicas

Guía de Ejercicios No. 2DET – 385, Métodos Cuantitativos III

2.1: Derivadas de orden superior:

La segunda derivada:

La derivada es una función que proviene de la función mediante diferenciación. Diferenciando la primera derivada se obtiene otra función, llamada segunda derivada, la

cual se simboliza por . En términos del símbolo de diferenciación se define la se-gunda derivada con respecto a como la función obtenida diferenciado dos veces consecutivas, es decir,

La segunda derivada se simboliza comúnmente por

Normalmente, se utilizan las tres primeras notaciones.

Ejemplo ilustrativo 1: Obtenga la segunda derivada de

Ejemplo ilustrativo 2: Obtenga la segunda derivada de

Derivadas de orden mayor que 2:Bajo la suposición de que todas las derivadas existen, puede diferenciarse una función

tantas veces como se desee. La tercera derivada es la derivada de la segunda deri-vada. La cuarta derivada es la derivada de la tercera derivada, y así sucesivamente. Simboli-zamos la tercera y cuarta derivada por:

En general, si es un entero positivo, entonces la –ésima derivada se define por:

Elaborada por: Wilfredo Saravia M.

Ejemplo ilustrativo 3: Obtenga las primeras seis derivadas de

Ejemplo ilustrativo 4: Encuentre una fórmula para

Ejercicios 2.1.

En los ejercicios del 1 al 6, encuentre la segunda derivada de la función dada.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

En los ejercicios del 7 al 12, encuentre la derivada indicada.

7) 8) 9)

10) 11) 12)

– 2 –


En los ejercicios del 13 al 18, encuentre una fórmula para la derivada indicada.

13) 14) 15)

16) 17) 18)

2.2: Aplicación de la derivada en el trazado de curvas:

Crecimiento y decrecimiento de la función y puntos máximos y mínimos locales:

Un valor crítico de una función es un número real tal que o bien no

existe. Una función es creciente en su dominio (o en un intervalo I) si para cualquier

en el dominio de (o en el intervalo I). Una función es decreciente en su dominio (o en un

intervalo I) si para cualquier en el dominio de (o en el intervalo I). Cuando es

creciente, la función va en ascenso, mientras que cuando es decreciente, la función va en

descenso. Parece razonable que, al haber cambio de crecimiento en un valor crítico de

en ]a, b[, se produce o bien un punto máximo relativo de (punto más alto de la gráfica de

en ]a, b[), o bien un punto mínimo relativo de (punto más bajo de la gráfica de en ]a, b[). Esto puede ilustrarse en un gráfico como el siguiente:

Por supuesto, este gráfico únicamente ilustra un caso especial de la propiedad o teorema siguiente:

Criterio de la primera derivada:

Sea f continua y diferenciable en ]a, b[, excepto posiblemente en el valor crítico c.

(1) Si (f es creciente) para a < x < c y (f es decreciente) para c < x < b, enton-ces f tiene un punto máximo relativo en x = c.

– 3 –


(2) Si (f es decreciente) para a < x < c y (f es creciente) para c < x < b, enton-ces f tiene un punto mínimo relativo en x = c.

(3) Si tiene el mismo signo algebraico en a < x < c y c < x < b, entonces f no tiene extremos relativos o locales en el intervalo ]a, b[.

Ejemplo Ilustrativo 1: Trace la gráfica de la función

Primero determinamos los valores críticos, encontrando la primera deriva e igualándola a cero:

Puntos críticos de f:

Seguidamente, completamos la tabla ayudándonos de los cálculos numéricos, los cuales aparecen debajo de la misma.

IntervalosSigno de + – +Conclusión f es creciente f es decreciente f es creciente

Cálculos numéricos:

Los valores escogidos para realizar los cálculos numéricos son toma-dos a criterio personal y el único requisito que deben cumplir es que caigan en los intervalos especificados, por ejemplo – 2 está en el inter-valo 0 en y 4 en

Evaluando la función en los valores críticos se obtiene:

Aplicando el criterio de la primera derivada se concluye que (– 1, 32) es un punto máximo relativo de la función, mientras que (3, 0) es un punto mínimo relativo de la misma.

Con esta información ya puede trazarse la gráfica de la función, pero en este ejemplo particular puede verse que también es solu-

– 4 –

Elaborada por: Wilfredo Saravia M.ción de la función:

Por tanto, la función tiene interceptos con el eje x en los puntos (3, 0) y (– 3, 0) e in-tercepto con el eje y en (0, 27).

Observe que la gráfica de la función, de acuerdo al criterio de la pri-mera derivada, crece en el intervalo hasta alcanzar el máximo relativo o local (– 1, 32), para luego decrecer en el siguiente intervalo

hasta llegar al valor mínimo relativo (3, 0), para finalmente crecer nuevamente en el intervalo

Ejemplo Ilustrativo 2: Trace la gráfica de la función

Luego, los valores críticos de f son x = 1, x = 0 porque y no existe. Seguidamente completamos la tabla ayudándonos de los cálculos numéricos, los cuales aparecen debajo de la misma.

IntervalosSigno de – – +Conclusión f es decreciente f es decreciente f es creciente

Cálculos numéricos:

– 5 –


Algunos valores de f:

Observe que la gráfica de la función f decrece en el intervalopero también decrece en el intervalo es decir, no hay cambio de crecimiento al pasar por y de acuerdo al criterio de la primera derivada no hay un punto extremo relativo (ni máximo ni mínimo) en ese valor crítico La función f sigue decreciendo hasta llevar al punto mínimo relativo o local (1, – 3), para finalmente crecer en el in-tervalo Además, la gráfica corta al eje x en el punto (4, 0).

Observe que cerca de la gráfica de f es casi vertical, debido a que en ese valor la derivada de f no existe. En general, cuando la derivada de una función no existe en un punto, la gráfica es casi vertical (tan-gente con pendiente infinita) o bien presenta un punto en forma de “punta de aguja”.

Concavidad y puntos de inflexión.Hasta ahora sólo hemos dibujado la gráfica de la función sin precisar en su curvatura, imagi-nándonos, en forma natural, la orientación y curvatura de la misma. En los dos ejemplos ante-riores, miramos que hay tramos de la curva que se asemejan a una “antena parabólica”, unas

– 6 –

Elaborada por: Wilfredo Saravia M.veces orientada hacia el “cielo” (cóncava hacia arriba) y otras veces hacia la “tierra” (cóncava hacia abajo).

Criterio de la segunda Derivada:

Sea f una función tal que f ‘’ existe en un intervalo ]a, b[, que contiene al número crítico c.

a) Si f ’’(c) > 0, entonces es un punto mínimo relativo de f.

b) Si f ’’(c) < 0, entonces es un punto máximo relativo de f.

Tanto el criterio de la primera derivada como el criterio de la segunda derivada son útiles para determinar extremos relativos, cada uno de ellos tiene ventajas y desventajas. Para fines gráficos utilizaremos el criterio de la primera derivada y para fines de resolver problemas apli -cados utilizaremos el criterio de la segunda derivada, dado que en el primer caso además de hallar los valores extremos de paso encontramos los intervalos de crecimiento y decrecimien-to, mientras que en el segundo caso únicamente nos interesa los valores que maximizan o minimizan determinada función resultado de una aplicación.

Ejemplo ilustrativo 3: grafique la función

Seguidamente, completamos las siguientes tablas con la ayuda de los cálculos numéri-cos, los que aparecen debajo de las mismas.

IntervalosSigno de – + – +Conclusión f es decreciente f es creciente f es decreciente f es creciente

Intervalos

Signo de + – +Conclusión f es cóncava

hacia arribaf es cóncava hacia abajo

f es cóncava hacia arriba

– 7 –


De la primera tabla y del criterio de la primera derivada podemos con-cluir que (– 1, 0) y (1, 0) son mínimos relativos de la gráfica de f.

De la segunda tabla podemos concluir que son puntos de inflexión de la gráfica de f. Con toda esta información ya podemos trazar la gráfica de f.

La función va decreciendo y permanece cóncava hacia arriba hasta llegar al punto mínimo local (– 1, 0), de aquí sigue siendo cóncava hacia arriba pero empieza a crecer y, en el punto

de inflexión, sigue siendo creciente pero cambia a cóncava hacia abajo. Después

– 8 –

Elaborada por: Wilfredo Saravia M.sigue creciendo y es cóncava hacia abajo hasta llegar al punto máximo local (0,1) en donde se vuelve decreciente y continúa siendo cóncava hacia abajo hasta llegar al punto de infle-

xión cambiando a cóncava hacia arriba. La función continua decreciendo sin cam-biar concavidad hasta llegar al mínimo local (1, 0), de ahí en adelante continúa creciendo y es cóncava hacia arriba.

Ejemplo ilustrativo 4: grafique la función

Seguidamente, completamos las siguientes tablas con la ayuda de los cálculos numéricos, los que aparecen debajo de las mismas.

IntervalosSigno de – + –Conclusión f es decreciente f es creciente f es decreciente

Intervalos

Signo de – + – +Conclusión f es cóncava

hacia abajof es cóncava hacia arriba

f es cóncava hacia abajo

f es cóncava hacia arriba

– 9 –


Debido a que en este ejercicio hay muchos valores críticos y puntos de inflexión presentamos previamente, antes de hacer la gráfica, una tabla resumen dada a continuación:

Tabla resumen:

Intervalo Conclusión

– 10 –

Elaborada por: Wilfredo Saravia M.f es decreciente y cóncava hacia abajo

Punto de inflexión: f es decreciente y cóncava hacia arriba Punto mínimo local: (– 1, – 4) f es creciente y cóncava hacia arriba Punto de inflexión: (0, 0)f es creciente y cóncava hacia abajo Punto máximo local: (1, 4)f es decreciente y cóncava hacia abajo

Punto de inflexión: f es decreciente y cóncava hacia arriba

En los ejercicios siguientes utilice criterio de la primera derivada para determinar los Interva-los donde la función es creciente o decreciente y encontrar los puntos máximos y mínimos relativos, si existen. Determine asimismo, de acuerdo a los signos de la segunda derivada, los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y donde es cóncava hacia abajo, así como los puntos de inflexión, si existen. Si es posible, encuentre las intersecciones con los ejes coordenados. Finalmente, con toda esta información trace la gráfica de la función.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13)

– 11 –


14) 15) 16)

2.3: Aplicación de máximos y mínimos a la economía:

Para resolver problemas aplicados a la economía como funciones de ingreso, costo, costo promedio y utilidad se utilizan los conceptos matemáticos anteriormente tratados, con la finali -dad de obtener el costo mínimo a determinado nivel de producción de x unidades. O bien se puede estar interesado en el ingreso o utilidad óptimos y a que nivel de producción se obtie -nen. Una vez que se encuentran los valores críticos, utilizaremos el criterio de la segunda derivada para determinar si este valor obtenido corresponde a un valor máximo o mínimo re-lativo de la función.

Ejemplo ilustrativo 1: Una compañía estima que puede vender su producto a un precio uni-tario de p = 200 – 0.15x lempiras y al producir x unidades anuales tener un costo total de C(x) = 4000 + 6x – 0.001x2 lempiras. Encuentre el nivel de producción que maximiza la utilidad total al año, si:

a) No existen restricciones de producción.

b) Con sus máquinas actuales tiene una producción anual máxima de 500 unidades.

Encontraremos primeramente la función ingreso, sabiendo que el in-greso es el producto del precio p por la cantidad x. Es decir,

R(x) = px = (200 – 0.15x) x = 200x – 0.15x2 lempiras.

También sabemos que la utilidad U se define como la diferencia entre el ingreso y el costo:

U(x) = R(x) – C(x) = (200x – 0.15x2) – (4000 + 6x – 0.001x2)U(x) = 200x – 0.15x2 – 4000 – 6x + 0.001x2 = – 4000 + 194x – 0.149x2

Por lo tanto, U’(x) = 194 – 0.298x y la ecuación 194 – 0.298x = 0 tiene la solución x = 651.007 651 unidades. Toca ahora averiguar si se trata realmente de un valor máximo relativo.

a) Como no hay restricciones de producción y x > 0 aplicamos el cri-terio de la segunda derivada.

U’’(x) = – 0.298 y U’’(651) = – 0.298 < 0, que según el criterio de la segunda derivada, la utilidad U tiene un máximo relativo en x = 651 y la utilidad máxima es de 59,147.65 lempiras.

b) Como se tiene una producción anual máxima de 500 unidades, se tiene que 0 x 500 y 651 no está en este intervalo, así que los únicos puntos que pueden califican para maximizar la utilidad son x = 0 y x = 500. Si x = 0, la compañía debe abandonar su negocio pues debe dejar de producir su producto y además U(0) = – 4000 significa una pérdida. Luego, el máximo ocurre en x = 500 y la utili-dad máxima es U(500) = 55,750 lempiras

– 12 –

Elaborada por: Wilfredo Saravia M.Ejemplo ilustrativo 2: Si la función de costo para cierto producto es C(x) = x2 + 2,500, encuen-

tre el costo promedio mínimo.

El valor x = – 50 lo descartamos porque las unidades de x deben ser positivas. Luego, si ocurre un mínimo en el costo promedio, este debe ser en x =50. Aplicando el criterio de la segunda derivada tenemos:

Como la segunda derivada, evaluada en el valor crítico, resulta positi-va, se trata de un valor mínimo del costo promedio. Por lo tanto,

lempiras es el costo promedio mínimo.

Sabemos que el ingreso se define por: R(x) = px, donde p es también función de la canti-dad x. Al derivar el ingreso con respecto del precio p se obtiene el resultado siguiente:

Donde el término se representa por la letra griega y recibe el nombre de elastici-dad de la demanda. Además se satisface la relación siguiente:

Dependiendo del valor que toma se tienen las definiciones siguientes:

1) Si < – 1, se dice que la demanda es elástica. 2) Si – 1 < < 0, se dice que la demanda es inelástica. 3) Si = –1, se dice que la demanda es unitaria.

Consideremos ahora la derivada del ingreso respecto a x:

Conviene hacer notar que

– 13 –


Si la demanda es elástica, entonces < – 1, Si la demanda es

inelástica, entonces – 1 < < 0, Si la demanda es

unitaria, Supongamos que p > 0. De la ecuación concluimos que en el intervalo donde la demanda es elástica; por tanto, el ingreso total R(x) ahí es

creciente. Por otra parte, el ingreso marginal en el intervalo donde la demanda es inelástica; por tanto, el ingreso total R(x) ahí es decreciente. Para una demanda unitaria

por tanto, el ingreso total R(x) ahí es constante, no depende del precio ni de la canti-dad porque ambos aumentan en la misma proporción.

Del análisis anterior obtenemos los siguientes resultados:

(1) Si la demanda es elástica, entre más unidades se vendan, el ingreso total del comerciante aumen-ta. Además, si el precio disminuye, el ingreso total aumenta y si el precio aumenta, entonces, el ingreso total disminuye.

(2) Si la demanda es inelástica, entre más unidades se vendan, el ingreso total del comerciante dismi-nuye. Además, si el precio disminuye, el ingreso total disminuye y si el precio aumenta, entonces, el ingreso total aumenta.

(3) Para una demanda unitaria, un aumento o una disminución tanto del precio como de la cantidad no modifican el ingreso total.

Ejemplo ilustrativo 3: Para la ecuación de demanda p = 500 – 2x, verifique que la demanda es elástica y el ingreso total es creciente para 0 < x < 125. Verifique también que la demanda es inelástica y el ingreso total es decreciente para 125 < x < 250.

a) Por ejemplo, para x = 100, Es decir, 0 < x < 125 < – 1. Por tanto, la demanda es elástica y de acuerdo al resultado (1), el ingreso es creciente.

b) Por ejemplo, para x = 200, Por tanto, 125 < x < 250 – 1< < 0. Es decir, la demanda es inelástica y según el resultado (2), el ingreso es decreciente.

– 14 –

Elaborada por: Wilfredo Saravia M.En cada uno de los ejercicios siguientes, p es el precio unitario y x es la cantidad produci-

da por unidad de tiempo, a menos que se especifique otra cosa. Los costos fijos se refieren a costos que permanecen constantes bajo cualquier nivel de producción en un período determi-nado (un ejemplo de ello es el alquiler).

1) Una empresa dispone de L. 3,000 para cercar una porción de terreno adyacente a un río utilizando a este como un lado del área cercada. El costo de la cerca paralela al río es de 5 lempiras por pie lineal instalado y el costo de la cerca para los otros dos lados restantes es de 5 lempiras por pie lineal instalado. Halle las dimensiones del área máxima cercada.

2) (Costo promedio) Un fabricante encuentra que el costo total C de producir determinado artículo está dado por la función:

C(x) = 0.05 x2 + 5x + 500

¿Para que nivel de producción x será mínimo el Costo promedio por unidad?

3) (Gastos de un automóvil) El costo por hora C de operar un automóvil está dado por

C(v) = 0.12v – 0.012v2 + 0.08, 0 v 60,

donde v es la velocidad en millas por hora. ¿A qué velocidad es el costo por hora un mí-nimo?

4) (Ingreso) La ecuación de demanda para un monopolista es p = 30 – 5x. ¿A qué precio se maximiza el ingreso?

5) (Ingreso) La ecuación de demanda para un monopolista es:

Encuentre el valor de p para el cual se obtiene el ingreso máximo.

6) (Utilidad) El costo fijo mensual de operar una planta manufacturera de muebles se 8,000 lempiras y hay un costo variable de 110 lempiras por unidad producida. El fabricante esti-ma que la función de demanda mensual de muebles está dada por la ecuación:

a) Escriba expresiones para las funciones de costo C(x), ingreso R(x) y utilidad U(x).

– 15 –

Elaborada por: Wilfredo Saravia M.b) Encuentre el valor de x que maximiza la utilidad.

c) Encuentre el valor (en lempiras) de la utilidad máxima y grafique la función de utili-dad.

7) (Costo marginal) El costo total de producir y vender x unidades de una mercancía en parti-cular está dada por:

C(x) = x3 – 9x2 + 33x + 1,000

Encuentre:

a) El nivel de producción para el cual el costo marginal es mínimo.

b) El costo marginal mínimo.

8) (Costo promedio) El costo total de producir y comercializar x unidades de cierta mercancía está dada por:

¿Para que valor de x es mínimo el costo promedio?

9) (Utilidad) La función de demanda para un producto es:

p = 72 – 0.04x

y la función de costo es:C(x) = 500 + 30x

¿A qué nivel de producción x se maximiza la utilidad? ¿A qué precio ocurre esto y cuál es la utilidad?

10) (Utilidad) Para un monopolista, el costo unitario es de 3 lempiras y la ecuación de deman-da es:

¿Cuál es la cantidad x que dará la utilidad máxima? ¿A qué precio ocurre esto y cuál es la utilidad?

11) (Utilidad) Para un monopolista, la demanda de un producto es:

p = 42 – 4xy la función de costo promedio es:

Encuentre el precio que maximiza la utilidad.

12) (Utilidad) Para un monopolista, la demanda de un producto es:

– 16 –

Elaborada por: Wilfredo Saravia M.y la función de costo promedio es:

Encuentre el precio y el nivel de producción que maximiza la utilidad. A este nivel, de-muestre que el ingreso marginal es igual al costo marginal.

13) (Utilidad) Un fabricante puede producir cuando mucho 120 unidades de cierto artículo cada año. La ecuación de demanda para este producto es:

p = x2 –100x + 3,200

y la función de costo promedio es:

Determine de producción donde se alcanza la utilidad máxima y el valor de la misma.

14) (Costo) Un comerciante ha determinado que, para cierto producto, el costo promedio por unidad está dado por:

donde 2 x 10.

a) ¿A qué nivel dentro del intervalo [2, 10] debe fijarse la producción para minimizar el costo total? ¿Cuál es el costo total mínimo?

b) Si la producción tuviese que encontrarse dentro del intervalo [5, 10], ¿Qué valor de x minimizará el costo total?

15) (Ingreso) Una empresa de cable de televisión tiene 5,000 suscriptores que pagan cada uno 250 lempiras mensuales, puede conseguir 1,000 suscriptores más por cada 20 lempiras menos en la renta mensual. ¿Cuál será la renta que maximiza el ingreso y cuál será ese ingreso?

Ayuda: El nuevo precio (renta) está dado por:

16) (Utilidad) La ecuación de demanda para el producto de un monopolista es:

p = 600 – 2xy la función de costo total es:

a) Encuentre la producción y el precio que maximizarán la utilidad y determine la utilidad correspondiente.

b) Si el gobierno impone un impuesto de 22 lempiras por unidad al fabricante (que se agregaría al costo total), ¿Cuáles serán entonces la producción y el precio que maxi-mizarán la utilidad? ¿Cuál es ahora la utilidad?

c) Suponga que el gobierno, además del impuesto de 22 lempiras por unidad le impone al fabricante una cuota de 100 lempiras por licencia de operación. Esta es una canti-

– 17 –

Elaborada por: Wilfredo Saravia M.dad global independiente de la producción. Demuestre que el precio y la cantidad per-manecen iguales. Sin embargo, indique por qué se tendrá una menor utilidad.

17) (Elasticidad de la demanda) Para la ecuación de demanda lineal p = 13 – 0.05x. Determine si la demanda es inelástica, elástica o de elasticidad unitaria, a los siguientes niveles de precios:

a) p = 10, b) p = 3 c) p = 6.5.

18) (Elasticidad de la demanda) ¿Para qué valor (o valores) de x tienen elasticidad unitaria las siguientes ecuaciones de demanda?

a) p = 26 – 0.1x. b) p = 1,200 – x2.

19) (Elasticidad de la demanda) La ecuación de demanda para un producto es:

x = 500 – 40p + p2

donde p es el precio (en lempiras) y x es la cantidad demandada (en miles). Encuentre la elasticidad de la demanda cuando p = 15. Si el precio de p = 15 se incrementa 0.5%, ¿Cuál es el cambio aproximado en la demanda?

20) (Elasticidad de la demanda) La ecuación de demanda para cierto producto es:

donde p es el precio. Encuentre la elasticidad de la demanda cuando p = L.30 y use este valor para calcular el cambio porcentual aproximado de la demanda si el precio de L.30 se baja a L.28.50.

21) (Elasticidad de la demanda) La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es:

a) Verifique que x = 20 cuando p = 2.

b) Determine la elasticidad de la demanda cuando p = 2. ¿Es la demanda elástica, ine-lástica o tiene elasticidad unitaria en ese punto?

c) Si el precio (cuando p = 2) disminuye en un 2%, ¿Cuál es el número aproximado de unidades en que la demanda cambia?

d) Si el precio (cuando p = 2) disminuye en un 2%, ¿el ingresos total crecerá, disminuirá o permanecerá constante?

22) (Elasticidad de la demanda) Dada la ecuación de demanda: x2(1 + p2) = p, determine de la demanda cuando p = 9.

23) (Elasticidad de la demanda) La ecuación de demanda de un producto es:

a) Determine la elasticidad de la demanda cuando p = 4 y clasifíquela como de-manda elástica, inelástica o de elasticidad unitaria a este nivel de precio.

– 18 –

Elaborada por: Wilfredo Saravia M.b) Si el precio disminuye el 2% (de L. 4 a L. 3.92), utilice la respuesta de la parte a)

para estimar el cambio porcentual correspondiente en la cantidad vendida.

c) ¿Resultarán los cambios en la parte b) en un incremento o en una disminución en el ingreso? Explique su respuesta.

24) (Elasticidad de la demanda) Un fabricante de puertas de aluminio puede vender actual-mente 500 puertas por semana al precio de L. 800 cada una. Si el precio se baja a L. 750 cada una podrían venderse 50 puertas adicionales por semana. Estime la elasticidad ac-tual de la demanda para las puertas y también el valor actual de la función de ingreso marginal del fabricante.

25) Dada la ecuación de demanda:

p = 1,000 - x2,donde 5 x 30, ¿Para que valor de x es un máximo? ¿Para qué valor es un míni-mo?

26) Dada la ecuación de demanda:

donde 5 x 95, ¿Para que valor de x es un máximo? ¿Para qué valor es un míni-mo?

2.4: Diferenciación implícita.

La diferenciación implícita es una técnica para diferenciar funciones que no están en la forma usual y = f(x). Cuando tenemos una ecuación en las variables x e y, en donde, posible-mente, no se pueda despejar y en términos de x, conviene suponer que y es al menos, una función de x (podría suceder que existiera más de una función o ninguna). Por ejemplo en la

ecuación x2 + y2 = 9 existen dos funciones explícitas de x que son: En cambio, en la ecuación x2 + y2 + 9 = 0 no existe ninguna función explícita de x porque la suma de tres números reales no negativos nunca es cero (excluiremos este caso en nuestro

análisis). Si calculamos la derivada de y de obtenemos:

– 19 –


Por tanto, partiendo de cualquiera de las funciones explícitas llegamos al resultado:

Podemos llegar al mismo resultado, si suponemos, como dijimos anteriormente que y es al menos una función de x y recordar esto cada vez que derivamos una expresión en la varia-ble y también debe derivarse y, es decir, se debe de aplicar la regla de la cadena. Por ejem-plo,

Donde representa la derivada con respecto a x.

Ejemplo ilustrativo 1: Encuentre por diferenciación implícita si x2 + y2 = 9.

Procedemos de la forma siguiente:

Observe que obtuvimos el mismo resultado que encontramos anterior-mente.

Este trabajo para hallar la derivada lo podemos sistematizar de la manera siguiente:

Procedimiento para diferenciación implícita:

– 20 –

Elaborada por: Wilfredo Saravia M.En una ecuación que define implícitamente a y como una función diferenciable de x, la

derivada puede encontrarse como sigue:

(1) Diferenciar ambos miembros de la ecuación con respecto a x. (Aplicar en ambos lados).

(2) Agrupe todos los términos que contengan en un miembro de la ecuación y agrupe los demás términos en el otro miembro.

(3) Tome como factor común en el miembro que contiene los términos

(4) Despeje

Ejemplo ilustrativo 2: Encuentre si x3 – 4x2y2 + 27= y4.

Ejemplo ilustrativo 3: Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva x3 = (y – x2) 2 en el punto (1, 2).

Observe que (1, 2) es un punto de la curva dada. Necesitamos encon-trar la pendiente de la recta tangente, es decir, la derivada evalua-da en el punto (1, 2).

– 21 –


1) En los ejercicios siguientes del (a) al (w), encuentre por diferenciación implícita.

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

m) n) ñ)

o) p) q)

r) s) t )

u) v) w)

2) Si encuentre en el punto (– 1, 2).

3) Si encuentre en el punto (1, 1).

4) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la hipérbola en el punto (0, 4) y también en el punto (a, b).

3 3 4 3x y xy

– 22 –

Elaborada por: Wilfredo Saravia M.5) Encuentre la pendiente de la tangente a la gráfica en el punto (2, 0).

6) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la curva en el punto (– 1, 3).

7) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la curva en el punto (3, 2).

8) (Propensión marginal al consumo) Los Ahorros S de un país se definen implícitamente en términos de su ingreso nacional I por medio de la ecuación:

donde S e I están dados en miles de millones de lempiras. Encuentre la propensión marginal al consumo cuando I = 16 y S = 12.

Ayuda: C + S = I o bien donde S es el ahorro y C es el consumo.

2.5: Diferenciación logarítmica.

Existe una técnica denominada diferenciación logarítmica, que a menudo simplifica la diferenciación de y = f(x) cuando f(x) contiene productos, cocientes o potencias. El procedi-miento es como sigue:

Procedimiento para diferenciación logarítmica:

Para diferenciar y = f(x).

(1) Tome el logaritmo natural de ambos miembros de la ecuación. Esto resulta en

ln(y) = ln[f(x)]

(2) Simplifique Ln[f(x)] por medio de las propiedades de los logaritmos:

(a) ln(AB) = ln(A) + ln(B) (d) ln(1) = 0

(b) ln = ln(A) – ln(B) (e) ln(e) = 1

(c) ln = B ln(A) (f) ln(ex) = x

(3) Diferencie ambos miembros con respecto a x. No olvidar que por la regla

de la cadena y recordar que para toda función U diferenciable en la variable x.

– 23 –

Elaborada por: Wilfredo Saravia M.(4) Despeje

(5) Exprese su respuesta únicamente en términos de x. Es decir, debe sustituir la variable y por la función f(x).

Ejemplo ilustrativo 1: Encuentre si

Ahora que tenemos todas las expresiones simplificadas, procedemos a diferenciar am-bos miembros de la última ecuación.

Finalmente, despejamos sustituyendo la variable y por su expresión original en tér-minos de la variable x.

– 24 –


Ejemplo ilustrativo 2: Encuentre si

Tomando logaritmos en ambos miembros y simplificando:

Derivando ambos lados y tomando en cuenta la derivada de un pro-ducto se obtiene:

Despejando para resulta:

Ejemplo ilustrativo 3: Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva

en el punto en que x = 1.

Encontramos primero la derivada de y utilizando diferenciación logarít-mica:

– 25 –


Si x = 1, entonces y = 1 y Luego la ecuación de la recta tangen-te a la curva estará dada por:

1. En los ejercicios del (a) al (l) encuentre por diferenciación logarítmica.

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

2. En los ejercicios del (a) al (h) encuentre

– 26 –


a) b) c) d)

e) f) g) h)

3. Si encuentre cuando x = 1.

4. Si encuentre cuando x = e.

5. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto en que x = 0.

6. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto para el cual x = – 1.

7. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto para el cual x = 1.

8. Si encuentre cuando x = 2.9. (Elasticidad de la demanda) La ecuación de demanda de un producto es:

a) Demuestre que cuando se demandan 200 unidades. Utilice diferenciación logarítmica.

b) Con el resultado de la parte a), determine la elasticidad de la demanda cuando se demandan 200 unidades. A este nivel, ¿es la demanda elástica, inelástica o es de elasticidad unitaria?

c) Utilice el resultado de la parte b) para estimar el precio por unidad si la demanda dis -minuye de 200 a 188 unidades.

d) Si la demanda actual es de 200 unidades, ¿deberá el fabricante aumentar o disminuir el precio para incrementar el ingreso? Justifique su respuesta.

2.5: Diferenciales.

Sea y una función diferenciable de x y sea un cambio en x, donde puede ser cualquier número real. Entonces, la diferencial de y, simbolizada dy o d[f(x)], está definida por:

– 27 –

Elaborada por: Wilfredo Saravia M.Observe que dy es una función de dos variables, es decir, depende de x y también de

Esto puede interpretarse geométricamente. En la figura siguiente, el punto P(x, f(x)) está sobre la ecuación y = f(x). Supongamos que x se incrementa en un número real esto es, cambia al nuevo valor Entonces, el nuevo valor de la función es y se obtie-ne un nuevo punto sobre la curva, el punto Q( ).

Por P pasa una recta horizontal y por Q una recta vertical, ambas se intersecan en el

punto S. La recta tangente a la curva y = f(x) en el punto P, interseca al segmento en el pun-to R., formando el triángulo rectángulo PRS. Observe que dy = RS, es la longitud del cateto vertical; mientras que es la longitud del segmento vertical más largo que correspon-de al cateto vertical del triángulo rectángulo PQS. Observe además que la pendiente de la

recta tangente a la curva y = f(x) en el punto P está dada por y que Por lo tanto,

Aunque y dy tienen diferente longitud, cuando es pequeño, dy es una buena apro-ximación de y podemos establecer las siguientes fórmulas:

– 28 –

Elaborada por: Wilfredo Saravia M.El símbolo significa que son valores que están muy cercanos. Para fines prácticos, las

fórmulas (2) y (4), para valores pequeños de sirven para dar una buena estimación tanto de como de Ejemplo ilustrativo 1: Si y = (x2 + 1)5, encuentre dy en términos de x y dx. Luego evalúela

cuando x = 1 y

Ejemplo ilustrativo 2: Dada la función de ingreso R(x) = 4,000x + 50x2 - x3, utilice diferenciales para encontrar el cambio aproximado en el ingreso si el número de unidades se incrementa de x = 50 a x = 51. Encuentre además el cam-bio exacto.

El cambio aproximado en el ingreso es:

El cambio exacto en el ingreso es:

Ejemplo ilustrativo 3: Utilice diferenciales para estimar el valor aproximado de ln(1.02).

x = 1, dx = 1.02 y f(x) = ln(x).

1) En los ejercicios siguientes del (a) al (l), encuentre la diferencial de la función dada en

términos de x y dx.

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

– 29 –


j) k) l)

2) En los ejercicios siguientes del (a) al (f), encuentre dy y y para los valores de x y dx da-dos.

a) b)

c) d)

e) f)

3) Sea

a) Evalúe f(1).b) Utilice diferenciales para estimar el valor de

4) Sea

a) Evalúe f(1).b) Utilice diferenciales para estimar el valor de

5) En los ejercicios del (a) al (h) aproxime cada expresión por medio de diferenciales:

a) b) c) d) e) f) g) h)

– 30 –

Documents

Guía de Ejercicios No. 1 de Métodos Cuantitativos III, dic ... Web viewUniversidad Nacional Autónoma de Honduras. Facultad de Ciencias Económicas. Guía de Ejercicios No. 2. DET