Universidad de Valparaıso Ingenierıa Civil Industrial

Guıa de ejercicios

Polinomios

1. En cada caso, determine el residuo al dividir p(x) por q(x)

a) p(x) = x3 − 5x2 + x− 1 ; q(x) = x− 3

b) p(x) = x4 + 2x3 − 5x2 + 7x− 20 ; q(x) = x + 4

c) p(x) = x7 + 128 ; q(x) = x + 2

2. Determine el valor de m ∈ R, de modo que:

a) p(x) = 2mx3 − 3x + 1, sea divisible por x + 1

b) p(x) = x3 − 3mx2 + x− 1 de resto 1 al dividirlo por x + 1

3. Sea p(x) = kx3 + k2x− 2k2 − 1 y p(2) = 3; determine p(-1)

4. En cada caso, determine el valor de k, para que:

a) p(1) = 2 en p(x) = 2x3 − 3x + k

b) p(2) = 2− k en p(x) = 2x3 − kx2 + x

5. En cada caso, construya el polinomio de menor grado, tal que el coe-ficiente principal sea 1 y tenga como raıces a:

a) 3 y -2

b) -2 (multiplicidad 3) y 1 (multiplicidad 2)

c) 14 , -5 y −2

3

6. En cada caso, determine el valor de k para que

a) q(x) = x− 1 sea un factor de p(x) = 2x2 − x + k

b) q(x) = 2x− 1 sea un factor de p(x) = 3x3 − 7x2 + x− 2k

7. Determine A y B para que:

a) p(x) = Ax3 − x2 + Bx− 2, sea divisible por x + 1 y x− 2

b) Si se divide p(x) = 2x3 −Ax3 + Bx + 3 por x− 1 de resto 2 y sise divide por x + 2 de resto 5

8. Analice el numero de raıces reales positivas y negativas

a) p(x) = 2x3 − 4x2 + x− 3

b) p(x) = x5 + x2 − x + 1

c) p(x) = x3 + 3x2 + 5

1Algebra

Profesor: Omar Gonzalez

Universidad de Valparaıso Ingenierıa Civil Industrial

9. Encontrar el menor entero positivo y el mayor entero negativo quesean cota superior e inferior respectivamente, de los ceros reales de:

a) p(x) = x3 − 2x2 + 3

b) p(x) = x4 − x2 + 3x + 2

c) p(x) = x5 − x + 1

10. Determine las posibles raıces racionales

a) p(x) = x3 + 3x2 − 6x− 8

b) p(x) = 2x4 − 2x3 − 2x2 + 8x− 8

11. Sea el polinomio p(x) = x6 + 1; factorizar p(x) en R [x] y en C [x]

12. Sea p(x) = 8x5 + 4x4 + 14x3 − 7x2 − 4x− 2

a) Determine p(-2)

b) Determine el cuociente y el resto al dividir p(x) por x2 − 2x + 2

c) Determinar las raıces reales de p(x)

d) Descomponga p(x) en factores lineales y/o cuadraticos irreducti-bles en R

13. En el polinomio p(x) = 2x3 +ax2 + bx− 8, se sabe que es divisible porx− 1, en cambio, al dividirlo por x− 2 da resto 4. Determine a y b.

14. Sea p(x) = 6x3 −m2x2 + nx− 3m

Determine m,n ∈ R, tal que se cumplan simultaneamente las siguientescondiciones:

a) p(x) sea divisible por x + 1

b) Al dividir p(x) por x− 2 da resto 21

c) p(x) ∈ Z [x]

15. Obtenga el polinomio p(x) ∈ Z [x], de menor grado, tal que,

p(√

5−√

3) = 0 y p(1−√

2) = 0

16. Factorizar en R y en C los siguientes polinomios

a) p(x) = 2x3 + x2 − 7x− 6

b) p(x) = 3x3 + x2 − 12x− 4

c) p(x) = 3x4 − 9x2 + 6

d) p(x) = x4 + 2x3 − 4x2 − 5x− 6

e) p(x) = 3x5 + 2x4 − 15x3 − 10x2 + 12x + 8

2Algebra

Profesor: Omar Gonzalez

Universidad de Valparaıso Ingenierıa Civil Industrial

17. Resolver en R y en C

a) x5 − x4 + 8x2 − 9x− 15 = 0

b) x4 − x3 = x− x2

c) x3 + 17x = 5x2 + 13

d) 2x4 − x3 − 4x2 − 6x + 4 = 0

e) x4 + 6x3 − 7x = 0

18. Descomponga en fracciones parciales:

a)x2 + x + 1

x3 − x2 − 2x

b)x2 + x + 1

(x− 1)(x + 1)3

c)2x2 + x

x3 − 1

d)2x4 − 2x3 + 3x2

x3 − 1

e)2x4 − 2x3 + 8x2 − 5x + 6

(x− 1)(x2 + 2)2

f )1 + 2x2 + 3x4

x(x2 + 1)2

3Algebra

Profesor: Omar Gonzalez