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GUÍA PARA EXAMEN EXTRAORDINARIO
DE MATEMÁTICAS III
DIRECCIÓN GENERAL DEL BACHILLERATO
CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO Nº 2
“LIC. JESÚS REYES HEROLES”
SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN GENERAL DEL BACHILLERATO
CENTRO DE ESTUDIOS DEL BACHILLERATO 4/2
LIC. JESUS REYES HEROLES
GUÍA DE ESTUDIO DE “GEOMETRÍA ANALÍTICA”
Válido para el periodo de exámenes extraordinarios de:
Mayo 2018
IMPORTANTE:
ES OBLIGATORIO PRESENTAR ESTA GUÍA CONTESTADA EN UN CUADERNO PROFESIONAL PARA TENER DERECHO A REALIZAR EL EXAMEN EXTRAORDINARIO.
La guía deberá presentarse y ser aceptada por el docente que aplicará el examen antes que el alumno haga cualquier trámite o pago.
2018-B
(FEBRERO –
JUNIO 2018)
ANA MARGARITA GRANADOS MOLINA CEB 4/2 LIC. JESUS REYES HEROLES
TURNO VESPERTINO
2
Hoja de asesorías
Es requisito que algún profesor de la academia de Matemáticas del turno vespertino revise
el correcto avance de tu guía, con la finalidad de que llegues lo mejor preparado para
presentar el examen extraordinario.
Bloque I:
Fecha: _____________________ Firma del profesor: _____________________
Bloque II:
Fecha: _____________________ Firma del profesor: _____________________
Bloque III:
Fecha: _____________________ Firma del profesor: _____________________
Bloque IV:
Fecha: _____________________ Firma del profesor: _____________________
Bloque V:
Fecha: _____________________ Firma del profesor: _____________________
Bloque VI:
Fecha: _____________________ Firma del profesor: _____________________
Bloque VII:
Fecha: _____________________ Firma del profesor: _____________________
3
PROPÓSITO GENERAL
Promover el desarrollo de competencias susceptibles de ser empleadas en el contexto en el que se
encuentren los estudiantes, que se manifiesten en la capacidad de resolución de problemas,
procurando que en el aula exista una vinculación entre ésta y la vida cotidiana incorporando los
aspectos socioculturales y disciplinarios que les permitan a los egresados desarrollar competencias
educativas.
Proveer al educando de una cultura general que le permita interactuar con su entorno de
manera activa, propositiva y crítica (componente de formación básica).
Prepararlo para su ingreso y permanencia en la educación superior, a partir de sus
inquietudes y aspiraciones profesionales (componente de formación propedéutica).
Y finalmente promover su contacto con algún campo productivo real que le permita, si ese
es su interés y necesidad, incorporarse al ámbito laboral (componente de formación para el
trabajo).
COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICAS DEL CAMPO DE LAS
MATEMÁTICAS, RELACIONADAS CON LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos
aritméticos, algebraicos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones
reales, hipotéticas y formales.
Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los
contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos,
analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las
tecnologías de la información y la comunicación.
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para
determinar o estimar su comportamiento.
Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del
espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y
argumenta su pertinencia.
Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias,
valores, ideas y prácticas sociales.
4
IMPORTANTE:
DIRECTRICES PARA ENTREGA DE LA GUÍA RESUELTA.
ES DE CARÁCTER OBLIGATORIO PARA PRESENTAR EXAMEN
EXTRAORDINARIO EN CUALQUIER PERIODO DE APLICACIÓN.
SE DEBE PRESENTAR RESUELTA EN CUADERNO CON EL DESARROLLO
COMPLETO DE CADA EJERCICIO DE LOS INDICADORES EN CADA PARTE DE
ESTA GUÍA.
EL CUADERNO DEBE CONTENER NOMBRE DEL ALUMNO Y MATERIA A
PRESENTAR.
EL CUADERNO SE DEBE ENTREGAR A CUALQUIERA DE LOS SIGUIENTES
PROFESORES QUE LE ASESORE: MA. TERESA PLATA JIMÉNEZ, GUSTAVO
PERALTA ENRÍQUEZ, JUAN DOMÍNGUEZ MARTÍNEZ Ó ANA MARGARITA
GRANADOS MOLINA, PARA SU AUTORIZACIÓN UNA SEMANA ANTES DE
LA APLICACIÓN DEL EXAMEN.
ES DE SUMA IMPORTANCIA CONSIDERAR QUE SI NO SE CUMPLEN ESTOS
REQUISITOS EN TIEMPO Y FORMA NO HAY POSIBILIDAD DE VALIDAD EL
EXAMEN EXTRAORDINARIO.
5
PROGRAMA DE MATEMÁTICAS III
BLOQUE I. RECONOCE LUGARES GEOMÉTRICOS.
1.1 Sistemas de ejes coordenados. Características y elementos.
1.2 Los lugares geométricos.
En este bloque el alumnado alcanzará desempeños que le permitan reconocer las características
matemáticas que definen un lugar geométrico.
BLOQUE II. APLICA LAS PROPIEDADES DE SEGMENTOS RECTILÍNEOS Y POLÍGONOS
2.1 Características de un segmento rectilíneo.
2.2 División de un segmento en una razón dada.
En este bloque el alumnado alcanzará desempeños que le permitan explorar las posibilidades
analíticas para realizar cálculos métricos de segmentos rectilíneos y polígonos.
BLOQUE III. APLICA LOS ELEMENTOS DE UNA RECTA COMO LUGAR GEOMÉTRICO.
3.1 La pendiente y el ángulo de inclinación de una recta.
3.2 La línea recta. Elementos y su ecuación.
BLOQUE IV. UTILIZA DISTINTAS FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA.
4.1 Ecuación punto – pendiente
4.2 Ecuación de la recta dados dos puntos
4.3 Ecuación pendiente – ordenada al origen
4.4 Ecuación simétrica, general y normal de la recta
4.5 Distancia de un punto a una recta
En los bloques III y IV el alumnado alcanzará desempeños que le permitan realizar un estudio de las
propiedades geométricas de la recta y de sus posibilidades analíticas.
BLOQUE V. APLICA LOS ELEMENTOS Y ECUACIONES DE UNA CIRCUNFERENCIA.
5.1 Funciones trigonométricas en el plano cartesiano y el círculo unitario.
5.2 Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen.
5.3 Elementos de una circunferencia fuera del origen dada su ecuación.
En este bloque el alumnado alcanzará desempeños que le permitan realizar un estudio de las
propiedades geométricas de la circunferencia y de sus posibilidades analíticas.
BLOQUE VI. APLICA LOS ELEMENTOS Y LAS ECUACIONES DE LA PARÁBOLA
6.1 Ecuación de la parábola con vértice en el origen.
6.2 Elementos de una parábola en el origen dada su ecuación.
6.3 Ecuación de la parábola en diversos casos.
6.4 Elementos de una parábola fuera del origen.
En el bloque el alumnado logrará desempeños que le permitan realizar un estudio de las propiedades
geométricas de la parábola y de sus posibilidades analíticas.
BLOQUE VII. APLICA LOS ELEMENTOS Y LAS ECUACIONES DE LA ELIPSE.
7.1 Ecuación de la elipse en diversos casos.
7.2 Elementos de la elipse fuera del origen dada su ecuación.
En el bloque el alumnado logrará desempeños que le permitan analizar las características de elipses
e hipérbolas y se destacan los casos con ejes paralelos a los ejes cartesianos.
6
Investigación bibliográfica.
Por medio de la investigación de respuesta a las siguientes cuestiones.
1) ¿Qué es una pareja ordenada?
2) ¿Qué es el plano coordenado?
3) ¿De qué otra forma se llama al eje X y al eje Y?
4) ¿Qué son las coordenadas?
5) ¿Cuál es la fórmula para encontrar la distancia entre dos puntos P x y P x y1 1 1 2 2 2( , ) ( , ) y ?
6) ¿Qué es la pendiente de una recta?
7) ¿Cuál es la fórmula para encontrar la pendiente m de la recta que pasa por los puntos
P x y P x y1 1 1 2 2 2( , ) ( , ) y ?
8) Si dos rectas con pendiente m m1 2 y , son paralelas, ¿qué relación guardan sus pendientes?
Si A es un ángulo medido en sentido contrario a las manecillas del reloj, entre dos rectas con pendientes
m m1 2 y ,
9) ¿Cuál es la fórmula para encontrar Tan A?
10) Si dos rectas con pendiente m m1 2 y son perpendiculares, ¿Qué relación guardan sus pendientes?
11) ¿Cuales son las fórmulas para encontrar las coordenadas P(x, y) del punto medio de un segmento de
recta?
12) ¿Cuales son las fórmulas para encontrar las coordenadas del punto P(x, y) que divide un segmento de
recta AB en un razón r?
13) ¿Qué pasos hay que seguir para trazar la gráfica de una ecuación?
14) ¿Qué es la solución de una ecuación?
15) ¿Qué es una intercepción en X?
16) ¿Qué es un intercepción en Y?
17) ¿Cómo encontramos las intercepciones en X?
18) ¿Cómo encontramos las intercepciones en Y?
19) ¿Cuál es la forma general de la ecuación de una recta?
20) ¿Cuál es la forma Pendiente – ordenada al origen de la ecuación de un recta?
21) ¿Cuál es la fórmula de la ecuación de la recta determinada por dos puntos P x y P x y1 1 1 2 2 2( , ) ( , ) , ?
22) ¿Cuál es la forma simétrica de la ecuación de la recta?
23) ¿Qué puntos de la recta necesitamos conocer para escribir la ecuación en su forma simétrica?
24) ¿Cuál es la fórmula para encontrar la distancia dirigida de una recta Ax + By + C = 0 el punto
P x y1 1 1( , ) ?
25) ¿Qué es la circunferencia?
26) ¿Cuál es la forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia?
27) ¿Cuál es la forma general de la ecuación de la circunferencia?
28) ¿A partir de la forma general de la ecuación de la circunferencia, cómo determinamos el centro (h, k) y
el radio r?
29) ¿Qué es la parábola?
30) ¿Cuáles son los elementos de la parábola?
31) ¿Con que letra se representa la distancia del foco al vértice?
32) ¿Cuáles son las ecuaciones de la directriz de una parábola con vértice en el origen?
33) ¿Cuáles son las ecuaciones de la parábola con vértice en el origen?
34) Cuales son la ecuaciones de la parábola con vértice en (h , k), en su forma estándar?
35) ¿Cuales son las ecuaciones generales de la parábola?
7
PROBLEMAS
Bloque I. Sistema de ejes coordenados.
36) Encontrar la pendiente, inclinación y longitud de recta que une los puntos (-3, 7), (1, -1).
Solución:
1.- En este caso x1 = -3 , y1 = 7, x2 = 1 y y2 = -1.
2.- Resolvemos utilizando las fórmulas respectivas.
3.- La pendiente 24
8
4
8
31
71
)3()1(
)7()1(
12
12
xx
yym
2m
4.- La inclinación 43.632tantanarctan 11 mm
43.63
5.- La longitud 806416)8()4()71())3(1()()( 22222
12
2
12 yyxxd
80d
37) Encuentre la pendiente, el ángulo de inclinación y la longitud del segmento de recta que une cada par de
puntos dados:
a) A(2, 5), B(4, -3)
b) C(-9, 10), D(3, 2)
c) E(0, 0), F(5, 7)
38) Trace una recta que pase por el punto dado que tenga la pendiente o la inclinación indicada.
a) (4,0), m = 2/3 ;
b) (-3,3), m = - 3/4 ;
c) (4,-3), Aº = 150
39) Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos.
a) A(2,3), B(3,7) ;
b) A(-2,5), B(4,-3)
40) Verificar que el triángulo con puntos A(4,-4), B(4,4) y C(0,0) como vértices; es un triángulo
rectángulo.
8
BLOQUE II. Propiedades de segmentos rectilíneos.
41) Determinar si las rectas que pasan por los puntos (1, 2), (3, -8) y (4, 1) , (9, 2) son paralelas,
perpendiculares, u oblicuas.
Solución:
1.- Calculamos la pendiente de las dos rectas:
Recta 1 pasa por (1, 2), (3, -8), en este caso x1 = 1 , y1 = 2, x2 = 3 y y2 = -8.
52
10
2
10
13
28
)1()3(
)2()8(
12
121
xx
yym
51 m
Recta 2 para por (4, 1) , (9, 2), en este caso x1 = 4 , y1 = 1, x2 = 9 y y2 = 2.
5
1
49
12
)4()9(
)1()2(
12
122
xx
yym 5
12 m
2.- Comparamos las pendientes:
Como las pendientes no son iguales, las rectas no son paralelas.
3.- Se realiza el producto 21mm
155
121
mm
Comprobamos que el producto 121 mm
Por lo que concluimos que cumple con el criterio de perpendicularidad, es decir, las rectas son
perpendiculares.
4.- Recuerda que si las rectas no son ni paralelas ni perpendiculares, entonces son oblicuas.
42) Hallar las pendientes de las rectas que pasan por los dos pares de puntos. Luego, decir si las rectas son
paralelas, perpendiculares o si se intersecan oblicuamente.
a) A(1,8), B(-3,-4) ;
b) C(-1,8), D(0,10)
c) A(2,-3), B(0,2) ;
d) C(1,0), D(6,2)
43) Encontrar el ángulo entre las rectas que pasan por los pares de puntos: (4, 5), (3, 2) y (2, -2), (0, 6).
Solución:
1.- Se determina la pendiente de las dos rectas
Recta 1 pasa por (4, 5), (3, 2), en este caso x1 = 4 , y1 = 5, x2 = 3 y y2 = 2.
31
3
43
52
)4()3(
)5()2(
12
121
xx
yym
31 m
Recta 2 para por (2, -2) , (0, 6), en este caso x1 = 2 , y1 = -2, x2 = 0 y y2 = 6.
42
8
20
26
)2()0(
)2()6(
12
122
xx
yym
42 m
2.- Sustituimos estos valores en la fórmula:
12
12
1tan
mm
mm
Luego: 63.011
7
)12(1
34
)3)(4(1
)3()4(
1tan
12
12
mm
mm
3.- Se determina el ángulo:
21.3263.0tan63.0arctan 1
21.32
9
44) Hallar las pendientes de las rectas que pasan por los pares de puntos dados y encontrar el ángulo entre
ellas.
a) (2, 1), (-3, 1) y (3, 4), (5, 0).
b) (1, 3), (2, 6) y (2, -1), (0, -5).
c) (1, 3), (3, 9) y (-1, 4), (3, -7).
45) Encontrar el punto medio del segmento de recta delimitado por los puntos (8, -2), (-4, 5).
Solución:
1.- En este caso x1 =8, y1 = -2, x2 = -4 y y2 = 5
2.- Las coordenadas del punto medio se determinan por separado a partir de su fórmula correspondiente.
22
4
2
48
2
21
xx
x 2x
5.12
3
2
52
2
21
yy
y 5.1y
3.- Por lo que el punto medio es: (2, 1.5) )5.1,2(mp
46) Hallar las coordenadas del punto medio del segmento delimitado por cada par de puntos dados.
a) A(4,3), B(-4,-3)
b) C(5,7), D(3,-3)
47) Hallar las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo cuyos vértices son : A(1,2),
B(2,5), C(6,3)
48) Hallar las coordenadas del punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos vértices son
A(2,2), B(6,3), C(5,7), y demostrar que el punto medio es equidistante de los tres vértices.
49) Hallar el punto de intersección de las diagonales del paralelogramo. A(3,0), B(7,0), C(9,3), D(5,3)
50) Encontrar el punto P(x, y) tal que la razón de AP a PB sea r, donde A(-1,-3), B(8, 0), r = 2.
Solución:
1.- En este caso x1 =-1, y1 = -3, x2 = 8 y y2 = 0, r = 2
2.- Las coordenadas del punto P se determinan por separado a partir de su fórmula correspondiente:
rxx
xx
2
1
; ryy
yy
2
1
3.- Se sustituyen los valores en las fórmulas.
28
)1(
x
x ; 2
0
)3(
y
y
4.- Resolviendo las ecuaciones:
5
3
15
153
1162
2161
)8(21
x
x
x
xx
xx
xx
;
1
3
3
33
32
23
)(23
y
y
y
yy
yy
yy
5.- Por lo que el punto es: P(5, -1)
10
51) Hallar el punto P(x , y) tal que la razón de AP a AB sea igual a r.
a) A(-1,0), B(3,2), r = 1/3
b) A(6,-2), B(-1,7), r = 2
c) A(0,0), B(6,2), r = 3
d) A(2,5), B(5,-2), r =2/5
Bloque III. La línea recta
52) Encontrar las intersecciones con los ejes y la pendiente de la recta 01232 yx
Solución:
1.- Recordemos que (a, 0) y (0, b) son las intersecciones con los ejes x y y respectivamente y m
es la pendiente, donde A
Ca ,
B
Cb y
B
Am
2.- De la ecuación de la recta, podemos obtener los valores de A, B, y C, que en este caso son:
A = 2 , B = -3 y C = -12.
3.- Sustituyendo valores, entonces tenemos:
62
12
a ; 4
3
12
b ; 66.0
3
2
m
4.- Por lo que la intersección en el eje x es (6, 0), la intersección en el eje y es (0, -4) y la
pendiente es 66.0 m
5.- Para trazar la gráfica, se ubican los puntos de intersección en el plano cartesiano y se unen con una
línea recta.
53) Encontrar las intersecciones con los ejes y la pendiente de la recta dada. Trazar su gráfica.
a) 01624 yx
b) 02482 yx
c) 0102 yx
d) 062 y
e) 0205 x
11
BLOQUE IV. Distintas formas de la ecuación de la recta.
Forma Punto – pendiente de la ecuación de la recta.
54) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (3, 7) y tiene pendiente 4
Solución:
1.- Conociendo un punto por donde pasa la recta y la pendiente, en este caso: x1 = 3 , y1 = 7 y 4 m
2.- Utilizando la fórmula correspondiente a la ecuación de la recta:
)( 11 xxmyy 3.- Sustituyendo los valores: )3(47 xy 4.- Resolviendo y simplificando:
1247 xy
0127-y4x-
05y4x- 5.- La ecuación de la recta es:
05y4x-
55) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (-1, 6) y tiene pendiente 5/3
Solución:
1.- En este caso: x1 = -1 , y1 = 6 y 3
5 m
2.- Utilizando la fórmula correspondiente a la ecuación de la recta:
)( 11 xxmyy
3.- Sustituimos estos valores en la fórmula:
))1((3
56 xy
4.- Resolviendo y simplificando:
051835
55183
)1(5)6 3(
yx
xy
xy
02335 yx 5.- La ecuación de la recta es:
02335 yx
56) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente indicada.
a) La recta que pasa por (4, 2) con pendiente 1.
b) La recta que pasa por el origen con pendiente -2.
c) La recta que pasa por (2, -3) con pendiente 3/4.
57) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A con pendiente m .
a) A m( , ), / 2 5 1 2 ;
b) 2 ),6,3( mA
12
Ecuación de la recta determinada por dos puntos.
58) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por (1, -7) y (-2, 3)
Solución:
1.- Conociendo dos puntos por donde pasa la recta, en este caso x1 = 1 , y1 = -7, x2 = -2 y y2 = 3.
2.- Utilizamos la fórmula:
)( 1
12
121 xx
xx
yyyy
3.- Sustituimos los valores en dicha ecuación:
)1(12
)7(3)7(
xy
4.- Resolviendo y simplificando:
)1(3
107
xy
)1(10)7 3(- xy
)1010213- xy
01021310- yx
011310- yx
5.- La ecuación de la recta es:
011310- yx
59) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el par de puntos dados:
a) Pasa por (1, 4) y (2, 3)
b) Pasa por (-5, 7) y (0, -2)
c) Pasa por (5 , -2) y (2, -2)
60) Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B en cada uno de los ejercicios siguientes :
a) A B( , ), ( , )4 1 2 5 ;
b) A B( , ), ( , )11 4 3
Forma simétrica y forma pendiente – ordenada al origen de la ecuación de la recta.
0CBA
GENERAL
yx 1
SIMÉTRICA
b
y
a
x bmxy
ORDENADA-PENDIENTE
61) Escribir la ecuación de la recta 12x + 3y – 24 = 0 en su forma simétrica y pendiente-ordenada al origen.
Solución:
1.- Para reescribir la ecuación de la recta debemos encontrar primero los valores de a, b y m, que son las
intersecciones con los ejes y la pendiente, en este caso:
212
24
A
Ca , 8
3
24
B
Cb y 4
3
12
B
Am
2.- De donde deducimos las rectas:
Forma Simétrica 182
yx y Forma Pendiente-ordenada
84 xy
13
62) Escribir la ecuación de la recta en su forma pendiente-ordenada y en su forma simétrica.
a) 030105 yx
b) 02827 yx
c) 0105 yx
63) Dar la pendiente y la intersección en y de cada recta representada por las ecuaciones. Reducir cada
ecuación a la forma pendiente –ordenada al origen.
a) 3x + 7y - 6 = 0 ;
b) 5x + 5y - 1 = 0 ;
c) 3x + 3y +4 =0
64) Escribir la ecuación de la recta determinada por la pendiente m y la intersección en y que es b .
a) m b 05 4. , ;
b) m b 7 0, ;
c) m b 8 7,
65) Hallar la ecuación de la recta en su forma simétrica con a como intersección en x y b como
intersección en y .
a) a b 3 4, ;
b) a b 6 5, ;
c) a b 4 5 5 3/ , /
66) Expresar cada una de las ecuaciones siguientes en la forma simétrica.
a) 3x + 2y = 6 ;
b) 4y = 9x + 36 ;
c) 6x + 3y = 12 ;
d) 7x - 2y = 4
67) Encontrar las ecuaciones de la recta paralela y perpendicular a 084 yx , y que pasan por (3, 7)
Solución:
1.- En este caso A = 1, B = 4, x1 = 3 , y1 = 7.
2.- La ecuación de la recta paralela está dada por:
11A ByAxByx
3.- Al sustituir los valores tenemos:
743141 yx
2834 yx
0314 yx
4.- La ecuación de la recta perpendicular está dada por:
11B AyBxAyx
5.- Sustituimos los valores
713414 yx
7124 yx
054 yx
14
68) Encontrar la ecuación de la recta paralela y perpendicular a la recta dada y que pasa por el punto indicado
a) 0832 yx , (1, 5)
b) 074 yx , (0, 4)
69) Hallar las ecuaciones de dos rectas que pasen por A, una paralela y la otra perpendicular a la recta
definida por la ecuación dada.
a) A(2 , -1), 2x - 2y - 5 = 0 ;
b) A(6 , 0), 3x + 4y - 2 = 0
70) Encontrar la ecuación de la mediatriz del segmento de recta que une los puntos (6, 8) , (3, 9)
Solución:
1.- En este caso x1 = 6 , y1 = 8, x2 = 3 y y2 = 9.
2.- La ecuación de la mediatriz es:
22 21
12
1221 xxx
yy
xxyyy
2.- Sustituir los valores y resolver
2
36
89
63
2
98 xy
5.41
35.8
xy
5.435.8 xy
5.1335.8 xy 053x- y
3.- La ecuación de la mediatriz es:
053x- y
71) Encontrar la ecuación de la mediatriz del segmento de recta que pasa por los puntos dados.
a) (-3, -1) , (4, 2)
b) (0, 0) , (7, 3)
72) Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que une las puntos D y E en cada uno de los problemas
siguientes :
a) D(0 , - 4), E(4 , 6) ;
b) D(0 , 0), E(8 , 10)
73) Obtener los valores de A, B y C en la ecuación Ax + By + C = 0 de una recta que pasa por los puntos
dados. Hallar también la ecuación de la recta.
a) (3,2) y (5, 4)
b) (2,1) y (5,6)
c) (-1, 2) y (-2, -1)
15
74) Transformar a la forma normal la ecuación de la recta dada e indique su distancia al origen.
a) 7x + 4y - 28 = 0
b) 3x + 2y - 6 = 0
c) 3x + 4y = 12
75) Encontrar la distancia de la recta 0224x y , al punto (-5, -2)
Solución:
1.- En este caso A = 4, B = 2, C = -2, x1 = -5 , y1 = -2.
2.- Se sustituye directamente en la fórmula:
22
11Axd
BA
CBy
3.- Sustituyendo y resolviendo:
22 24
2-2(-2)4(-5)d
416
2420d
20
26d
47.4
26d
81.5d
76) Encontrar la distancia de la recta dada al punto indicado.
a) 01025 yx , (12, -3)
b) 01002015 yx , (5, 10)
c) 0136 yx , (-2, 1)
77) Hallar la distancia dirigida de la recta al punto en cada uno de los siguientes ejercicios.
a) x + y + 4 = 0, (5 , 4) ;
b) x + 2y = 6, (2 , 2)
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BLOQUE V. La circunferencia.
78) Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro en C(2, -5) y con radio r = 4 y llevarla a su forma
general.
Solución:
1.- Recordemos que la ecuación de la circunferencia con centro en C(h, k) y radio r está dada por:
222 )()( rkyhx
2.- En este caso h = 2 , k = -5 y r = 4
3.- Por lo que al sustituir los valores en la ecuación tenemos:
222 )4())5(())2(( yx
16)5()2( 22 yx
4.- De donde 16)5()2( 22 yx es la ecuación en la forma centro – radio.
5.- Para llevarla a la forma general se deben desarrollar los binomios al cuadrado e igual a cero, es decir,
llevar la ecuación a la forma 022 FEyDxyx , así tenemos:
16)5()2( 22 yx
016)2510()44( 22 yyxx
01625410422 yxyx
01310422 yxyx
6.- La ecuación de la circunferencia en su forma general es:
01310422 yxyx
7.- Su gráfica correspondiente es:
79) Encontrar la ecuación de la circunferencia en su forma centro – radio y llevarla a su forma general.
Graficar.
a) C(0, 0), r = 3
b) C(0, -4), r = 4
c) C(-2, 5), r = 5
d) C(-1, -6), r = 8
e) C(1, 1), r = 1
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80) En los siguientes ejercicios escribe la ecuación de la circunferencia, que satisface las condiciones dadas,
en su forma general.
a) Centro (3, -4) , radio 6.
b) Centro (5, -2) , radio 13.
c) El segmento que une A (0,0) y B (6, -8) es un diámetro.
d) El círculo es tangente al eje y , y el centro está en (5 , 3).
e) El círculo es tangente al eje x , y el centro está en (-3, -4).
81) Reduzca la ecuación de la circunferencia 02012822 yxyx a su forma centro – radio.
Solución:
1.- Recordemos que el centro C(h, k) y el r están determinados por:
2
Dh 2
Ek y 4
4222 FED
r
2.- En este caso D = 8, E = -12, y F = -20
3.- Por lo que al sustituir los valores podemos obtener el centro y el radio:
42
8h 72
4
8014464
4
)20(4)12()8( 222
r
62
12
k 72r
4.- De donde el centro es C(-4, 6) y el radio 72r , por lo que la ecuación de la circunferencia en su
forma centro – radio es:
72)6()4( 22 yx
5.- Su gráfica correspondiente es:
82) Reducir cada una de las ecuaciones de la circunferencia a la forma centro - radio.
a) x y x y2 2 6 4 12 0
b) x y x y2 2 8 2 1 0
c) 01622 yx
d) 015222 yyx
e) 08622 xyx
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BLOQUE VI. Elementos y ecuaciones de la parábola.
Parábola con vértice en el origen.
Es importante recordar los elementos de la parábola antes de resolver algunos ejemplos. Recuerde que
existen dos tipos de parábolas, según el término cuadrático de su ecuación; en cada gráfica de la parábola se
deben identificar sus elementos: Vértice, Foco, Lado Recto con sus extremos, ecuación de la Directriz y del
Eje cuando sea necesario.
En este caso, si p es positivo, la parábola abre a la derecha y si p es negativo abre a la izquierda.
En este otro caso, si p es positivo, la parábola abre hacia arriba y si p es negativo abre hacia abajo.
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83) Encontrar las coordenadas del foco, el lado recto, y la ecuación de la directriz de la parábola xy 162 .
Trazar la gráfica correspondiente.
Solución:
1.- La ecuación de la parábola horizontal tiene la forma:
pxy 42 2.- De donde deducimos que 4p = 16.
3.- Esto implica que p = 4, como el parámetro es positivo, la parábola abre hacia la derecha.
4.- De ahí que la longitud del lado recto LR = 16.
5.- La ecuación de la directriz la determina el término no cuadrático de la ecuación, que en este caso, es
el opuesto de p = 4, así, su ecuación es 4x
6.- Su gráfica es:
84) Encontrar las coordenadas del foco, el lado recto, y la ecuación de la directriz de la parábola yx 82 .
Trazar la gráfica correspondiente.
Solución:
1.- La ecuación de la parábola vertical tiene la forma:
pyx 42 2.- De donde deducimos que 4p = -8.
3.- Esto implica que p = -2, como el parámetro es negativo, la parábola abre hacia abajo.
4.- Como la longitud del lado recto es el valor absoluto de 4p, entonces LR = 8.
5.- La ecuación de la directriz la determina el término no cuadrático de la ecuación, que en este caso, es
el opuesto de p = -2, así, su ecuación es 2y
6.- Su gráfica es:
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85) En los siguientes ejercicios hallar las coordenadas del foco, los extremos y la longitud del lado recto, y
la ecuación de la directriz para cada una de las parábolas dadas. Trazar la gráfica correspondiente.
a) xy 42
b) y x2 16
c) yx 42
d) x y2 10
e) 0202 xy
f) 082 yx
g) 0242 2 xy
h) 084 2 yx
86) Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en (8, 0). Trazar su gráfica.
Solución:
1.- Al ubicar el foco en el plano, vemos que la distancia focal (del vértice al foco) es 8, por lo tanto,
p = 8 y como la gráfica de la parábola envuelve al foco, ésta abre hacia la derecha, por lo que la
ecuación tiene la forma:
pxy 42
2.- Multiplicamos el valor de p por 4 y entonces: 32)8)(4(4 p
3.- Como 324 p la ecuación de la parábola queda:
xy 322
4.- La longitud del lado recto es el valor absoluto de 4p, es decir, LR = 32.
5.- La ecuación de la directriz la determina el término no cuadrático de la ecuación que es el opuesto de
p = 8, así, su ecuación es 8x .
6.- Su gráfica es:
87) En los siguientes ejercicios escribir la ecuación de la parábola con vértice en el origen que satisface las
condiciones dadas. Trazar la gráfica, el lado recto y la directriz.
a) Foco (5 , 0) ;
b) Foco (0 , 3) ;
c) Foco (-4 , 0) ;
d) Foco (0 , -2)
e) Directriz 02 x
f) Directriz 04 y
g) Directriz 08 x
h) Directriz 012 y
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Parábola con vértice fuera del origen.
Los elementos de la parábola son los mismos ya sea que el vértice esté o no en el origen, sólo hay una
traslación de los ejes, por lo que a cada elemento relacionado con x se le suma h y a cada elemento
relacionado con y se le suma k, excepto en la ecuación, en ésta, se restan.
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88) Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en (5, 1) y foco en (5, 4). Trazar su gráfica.
Solución:
1.- Primero graficamos el vértice y el foco de la parábola, que son los elementos conocidos.
2.- Luego, por estos puntos, para el eje de la parábola que cruza el eje x en x = 5.
3.- Enseguida, ubicamos la directriz que se encuentra opuesta al foco a 3 unidades del vértice y atraviesa
el eje y en y = -2.
4.- Como la distancia focal (del vértice al foco) es p = 3, entonces, la longitud del lado recto LR = 12.
5.- Los extremos del lado recto los podemos ubicar trazando un segmento de recta perpendicular al eje
que pase por el foco contando la mitad del LR a cada uno de los lados del foco.
6.- Finalmente, la ecuación de la parábola, que en este caso abre hacia arriba, tiene la forma
)(4)( 2 kyphx , y sustituyendo los valores nos queda:
)1(12)5( 2 yx
7.- Su gráfica correspondiente es:
89) En cada uno de los siguientes ejercicios expresar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones
dadas, en la forma estándar y trazar la gráfica correspondiente.
a) Vértice en (3, 2), foco en (3, 4).
b) Vértice en (-6, -4), foco en (0, -4).
c) Vértice en (4, -2), foco en (4, -8).
d) Vértice en (8, 3), foco en (2, 3).
e) Vértice en (4, 1), directriz x = 2.
f) Vértice en (5, 1), directriz y = -3.
g) Foco en (2, -3), directriz x = 6.
h) Foco en (2, 0), directriz y = -4
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Ecuación de la parábola , forma general y forma estándar.
90) Expresar la ecuación general de la parábola 09282 yxy en su forma estándar.
Solución:
1.- Primero dejamos en el 1er miembro de la ecuación, los términos que tienen a la variable cuadrática, y
el resto los pasamos a 2do miembro:
9822 xyy
2.- Después completamos el Trinomio Cuadrado Perfecto en el 1er miembro y lo complementamos en el
2do miembro para conservar la igualdad de la ecuación:
198122 xyy
Recuerda que el TCP se completa sacando la mitad al coeficiente del término no cuadrático y luego
elevándolo al cuadrado.
3.- Luego, factorizamos ambos miembros de la ecuación:
88)1( 2 xy
)1(8)1( 2 xy
4.- Finalmente, encontramos la ecuación de la parábola en su forma estándar:
)1(8)1( 2 xy
91) Expresar cada ecuación en la forma estándar. Dar las coordenadas del vértice, el foco y los extremos del
lado recto. Trazar la gráfica.
a) y x2 8 8 0 ;
b) x x y2 4 16 4 0
c) 0842 yx
d) 09642 yxy
e) 084122 yxy
f) 011422 yxx
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Bibliografía
Gordon Fuller, “Geometía Analítica”, Ed. C. E. C. S. A. 1994.
Earl W. Swokowski, “Álgebra y trigonometría con geometría analítica”, Ed. Thomson Learning, 2002.
Joaquín Ruíz Basto, “Matemáticas III, Geometría Analítica” , Ed. Patria, 2008.
Juan Antonio Cuellar, “Matemáticas III, Geometría Analítica”, Ed. Mc Graw – Hill, 2008.
Arnoldo Bernal Argüello, “Geometría Analítica”, Ed. Wiltees, 2008.
