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Integrales doblesGua electrnica de estudio para el
estudiante
Dr. M. Ranfer Gutierrez [email protected]
IntroduccinEsta gua electrnica de estudio le ayudar, mediante la
utilizacin de grficas interactivas, a comprender:
El problema geomtrico que da origen a la integral doble. La
intepretacin geomtrica de una integral doble cuando el integrando
es positivo. La interpretacin geomtrica del clculo de integrales
iteradas en una integral doble.
Estudie con detenimiento la gua, procurando realizar todas las
actividades que en ella se piden. No se conforme con nicamente leer
y aproveche la capacidad que tiene Maple de poder manipular grficas
en 3D.
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ObjetivosAl finalizar esta gua de estudio asegrese de que es
capaz de:
Aproximar el valor de cualquier integral doble, sobre una regin
rectangular, utilizando una doble suma de Riemann.Explicar el
significado geomtrico de una integral doble de una funcin sobre una
regin R cualquiera. Explicar el significado geomtrico de cada una
de las integraciones que se
realizan al calcular .
Comprendiendo el problema geomtrico que origina la definicin de
integral dobleRecuerde que en clculo de una variable, el problema
geomtrico que da origen a la integral definida es el de calcular el
rea encerrada por debajo de la grfica de cualquier funcin y por
encima del eje , en el intervalo . En la figura de abajo, que usted
debe estar en capacidad de comprender, se ilustra la idea que da
lugar a la definicin de integral definida de funciones de una
variable real:
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Recuerde que en clculo de funciones de dos variables reales, el
problema geomtrico que da origen a la integral doble es el de
calcular el volumen encerrado por encima de cierta regin R del
plano y por debajo de la grfica de cierta funcin sobre esa
regin.
En la figura de abajo, a la izquierda, se ilustra un ejemplo, en
el cual la regin R corresponde a un crculo de radio 4 y . La figura
de la derecha corresponde a la aproximacin del volumen buscado
mediante una particin de la regin rectangular , (la cual contiene a
R) y luego, como puede observar al hacer clic sobre la figura de la
derecha y presionando constantemente el botn en la barra de
herramientas de arriba, al hacer una
particin cada vez ms fina, la aproximacin es cada vez mejor como
puede notarse porque el slido formado por los prismas rectangulares
cada vez adquieren una apariencia ms parecida a la del slido de la
figura de la izquierda. En la figura de la derecha la altura de
cada prisma rectangular se ha tomado escogiendo como punto
el punto medio de cada uno de los rectngulos de la particin.
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Using a midpoint Riemann sum, an
approximation of K4
4
K4
4f x, y dy dx,
where f x, y = 16 K x2 K y2. Actual value: 341.33.
Comprendiendo la definicin de integral doble
Para facilidad de comprensin de las ideas, suponga que la regin
R es el rectngulo definido por , . Esa regin se partir en una
cuadrcula como se ilustra en la siguiente figura, y de cada
rectngulo se escoge un punto
para formar la suma de Riemann que sirve de definicin pra
integral doble (aqu se utilizan, para facilidad de localizacin, los
subndices y para denotar nmero de fila y de columna respectivamente
del rectngulo en la cuadrcula):
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La figura de arriba y la siguiente sirven de base para la
definicin de integral doble (sobre la regin rectangular que se est
considerando en este ejemplo)
(1)
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donde representa el nmero de rectngulos en los que se ha
dividido la regin R.
Ejercicio de comprensin
(a) Aplique (1) si R= y , con una particin de R en 9 rectngulos
de igual tamao. Considere el punto
como el punto medio de cada uno de los nueve rectngulos en los
que
dividir la regin R. Abajo se muestra la grfica de sobre la regin
R, tal como lo puede verificar si rota la figura de tal forma que
el eje apuntedirectamente hacia usted. Solucin: 216.
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(b) Utilizando nicamente frmulas de geometra, calcule el volumen
exacto del slido descrito en el inciso anterior.(c) Ahora utilice
integrales dobles para calcular el volumen exacto del slido. Por
supuesto, los resultados de los incisos (b) y (c) deben ser
iguales.
Qu significa, geomtricamente, cada una de las integraciones
que se realiza al calcular sobre una regin R
rectangular?
Caso 1:
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,
Para comprender mejor el significado geomtrico de la
integral
(2)
considere el caso particular .
Observe la figura de la derecha de abajo, en la cual el plano ha
sido
graficado en la regin . Note el rectngulo celeste, perpendicular
al plano xy, que se muestra en la figura. El rea de ese rectngulo
est dada por
ya que la base tiene tamao 5 y la altura est por Observe que el
rea de
ese rectngulo es funcin de , por lo cual se ha escrito
explcitamente . Para
obtener (3) no se ha utilizado en lo absoluto el concepto de
integrales dobles; ms bien, nicamente geometra elemental.
Deslice la barra espaciadora que est debajo de la figura de la
derecha ("Control para x") y verifique para algunos valores
particulares de que el rea del rectngulo celeste dada por (3) es
correcta (por ejemplo, casos fciles de verificar corresponden a ).
Ahora lea la informacin de la columna de la izquierda de la tabla
de abajo.
Suponga que usted est en su curso de clculo diferencial y quiere
calcular el rea A(x) de la regin que se muestra en la figura de
esta columna (baje el cursor para verla!). En este caso, si usted
rota la figura de tal forma que el
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eje apunte directamente hacia usted, lequedara una figura que
luce igual a las empleadas en clculo diferencial de una variable
para calcular reas, excepto queel eje vertical aqu se llama y el
eje horizontal .
El rea de la regin estara dada por
Pero como ,
y quedara una funcin de , lo cual no es de extraar ya que
dependiendo del valor de as ser la forma de la regin y por tanto su
rea. En la figura de la derecha, por ejemplo, aunque la forma es
siempre rectangular, el rea va cambiando conforme vara el valor de
xcon la barra.
Conclusin: En la integral doble
Control para X
4.03.02.01.00.0
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la integral proporciona una
funcin de que permite calcular el reade la regin indicada en la
figura de arriba de esta columna. Asumimos
Aplicado la conclusin de arriba a la figura de la columna de la
derecha, se obtiene:
la cual coincide con (3).
Y cmo interpretar la integral ms externa en ? En la figura
de abajo, mueva la barra deslizante y observe cmo va variando la
forma del slido y el volumen del mismo. Utilice frmulas de geometra
elemental para verificar queel volumen indicado es correcto en
algunos casos sencillos. Por ejemplo, si , puede calcular el
volumen de la regin que no est coloreada en rojo y restarla del
volumen total cuando . Recuerde que todas las figuras pueden ser
rotadas para estudiarlas mejor.
Lea ahora la columna izquierda de la tabla de abajo.
Recuerda, de su curso de clculo diferencial, el tema de slidos
de
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seccin transversal conocida?
La figura siguiente le ayudar a recordarlo que aprendi sobre el
tema de slidosde seccin transversal conocida:
Como recordar de su curso de clculo diferencial de una variable,
el volumen de un slido de secciones transversales conocidas est
dado por
Como ya se discuti anteriormente,
por lo que resulta claro, recordando el tema de slidos de
secciones transversales conocidas de clculo diferncial, que la
integral ms externa de
permite calcular el volumen del slido.
Conclusin: En la integral doble
4.03.02.01.00.0
Volumen = 17.99
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la integral ms externa permite obtener el volumen del slido
cuyas secciones transversales estn dadas por .
Qu sucede si se invierte el rden de integracin en ? En el
siguiente apartado se responde a esta pregunta.
Caso 2: ,
Nuevamente considere el caso particular .
Estudie detenidamente las figuras de abajo y repita todos y cada
uno de los razonamientos del apartado del caso 1 (razonamientos
geomtricos y luego utilizando clculo integral de una variable real)
hasta que llegue a comprender que la integral
proporciona una funcin la cual corresponde ahora, por el rden
de
integracin que se est llevando a cabo, al rea del tringulo
celeste mostrado en la figura de la derecha de abajo. A la
izquierda tiene una figura similar a la del caso 1 para ayudarse en
el anlisis. No crea nicamente por fe que el resultado es correcto!
Realice el razonamiento ya que eso le permitir tener una comprensin
ms profunda de las integrales dobles.
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Control para Y
5.04.03.02.01.00.0
Finalmente, aydese de la figura de abajo (similar al caso 1,
pero ahora modificada para el rden de integracin escogido) y
asegurese de comprender que la integral ms externa en
le permite obtener el volumen del slido cuyas secciones
transversales estn dadas por
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5.04.03.02.01.00.0
Volumen = 4.89
Caso general regin tipo II
A manera de generalizacin del caso 2, observe la figura de abajo
y estdiela detenidamente. Se da cuenta que es una situacin similar
al caso 2, excepto que ahora ya no toma nicamente dos valores ( y )
sino van cambiando de acuerdo alas funciones y ?
Haga clic sobre la figura de abajo y fije los ngulos en los
valores indicados ms adelante, para tener una mejor vista y
comparar con la figura de la columna de la izquierda:
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Ejercicio de comprensinAhora construya un grfico similar al caso
general regin tipo II, pero aplicado a la generalizacin del caso 1.
Antes de ver la respuesta, trate por usted mismo ya que eso le
permitir verificar si realmente ha comprendido las ideas
expuestas.
Solucin
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Un ltimo ejercicio de comprensin
Evale en la regin rectangular R definida como
plantandola como una regin tipo I y luego como una regintipo II.
En cada caso interprete la integral ms interna como o , segn
corresponda, y construya un grfico en el que se muestre la regin
R, la grfica de , y la grfica correspondiente a o segn el tipo
de
regin que est considerando.
Solucin
si R est definida como .
Para el caso ,
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Para el caso
