GUÍA DE FACTORIZACIÓN

CASO 1: Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común

Ejemplos :

a) 3 a + 5 ab - 4 ac = a(3 + 5 b – 4 c)

b) a2 + 2 a = a(a + 2)

c) 10 a2 – 5 a + 15 a3 = 5 a ( 2 a – 1 + 3 a2)

d) x4 + x3 - x2 = x2(x2 + x – 1)

Ejercicios: 1) 3x2-15 2) 8x3 - 8x2 - 16x 3) 3mn3 + 3mn -6m 4) 3x3-9xy+3x2y2-3x2y5) 3a2b + 6ab – 5a3b2 + 8a2bx + 4ab2m 6) 34ax2 + 51a2y – 68a y2 7) 4x2 – 8x + 28) x – x2 + x3 – x4 9) a2 –2a3 + 3a4 – 4a5 + 6a6 10) a20 – a16 + a12 – a8 + a4 – a2

CASO 2: Factor común por agrupamiento de términos

Ejemplos:

a) ax + bx + ay + by = (ax + bx) + ( ay + by)

= x(a + b) + y(a + b)

= (a +b) (x + y)

b) 3m2 – 6mn + 4m – 8n = (3m2 – 6mn) + (4m – 8n)

= 3m(m – 2n) + 4(m – 2n)

= (m – 2n) (3m +4)

c) 2x2 – 3xy – 4x + 6y = (2x2 – 3xy) – (4x – 6y)

= x(2x– 3y) – 2(2x – 3y)

= (2x – 3y) (x- 2)

Ejercicios:

1) 3ax – 3x + 4y – 4ay

2) a2 + ab + ax + bx

3) am – bm + an – bn

4) ax – 2bx – 2ay + 4by

5) x2 – a2 + x – a2x

6) 4a3 – 1 – a2 + 4a

7) x + x2 – xy2 – y2

8) 3a2 –7b2x + 3ax –7ab2

9)2am – 2an +2a – m + n – 1

10)3ax – 2by – 2bx –6a +3ay + 4b

CASO 3 Trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplos:a) m2 + 2m + 1 = (m + 1) (m + 1) = (m + 1)2

b) b) 4x2 – 20xy + 25y2 =(2x – 5y)(2x- 5y) = (2x – 5y)2

c) 1 – 16x2 + 64a2x4 = (1 – 8ax2)(1- 8ax2) = (1- 8ax2)2

d) d) x2 + bx + b 2 =(x + b )(x + b) = (x + b )2

4 2 2 2

Ejercicios:

1) 9 – 6x + x2

2) a2 – 10a + 25

3) 16 + 40x2 + 25x4

4) 4x2 – 12xy + 9y2

5) 9b2 – 30a2b + 25a4

6) 9a2+6a+1

7) 25m2-70mn +49n2

8) 400x10 + 40x5 + 1

CASO 4: Diferencia de cuadrados perfectos

Ejemplos:

a) 1 – a2 = (1 + a) (1 – a)

b) 16x2 – 25y4 = (4x + 5y2) (4x – 5y2)

c) 4a2 – 9 = (2a + 3)(2a – 3)

d) 25 – 36x4 = (5 +6x2) (5 – 6x2)

e) 16 – n2 = (4 +n)(4 –n)

Ejercicios:

1) 25y6-9

2) 9z2-1

3) 121h2 - 144k2

4)

1256

x2 - 1

25y12

5)

34x2y -

98

xy2

6) 100 – x2y6

7) 4x2 – 81y4

8) 25x2y4 – 121

9) 100m2n4 – 169y6

10) a2 – 25

CASO 6 : Trinomio de la forma x2 + bx + c

Ejemplos:

a) x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)

b) x2 + 5x – 14 = (x + 7)(x – 2)

c) y2 –8y + 15 = (y – 5) (y – 3)

d) x2– 2x –15=(x – 5) (x + 3)

e) x2 – 7x+ 12=(x –3)(x – 4)

f) x4 – 5x2 – 50 = (x2 – 10) (x2 + 5)

g) x6 + 11x3 – 44 =(x3 + 11) (x3 – 4)

Ejercicios:

1) x2 – 5x – 14

2) x2 – 13x + 40

3) y2 – 9y + 20

4) n2 – 6n – 40

5) x2 – 7x – 30

6) 14 + 5n – n2

7) 21a2 + 4ax – x2

8) x6 – 6x3 – 7

9) x8 + x4 – 240

10) x4 + 5x2 + 4

11) x4 + 7ax2 – 60a2

12) a4b4 –2a2b2 – 99

13) 48 + 2x2 – x4

CASO 7 : Trinomio de la forma ax2 + bx +c

Ejemplos :

a) 6x2 – 7x – 3 = (3x + 1)(2x – 3)

b) 20x2 + 7x – 6 = (4x +3)(5x – 2)

c) 18a2 – 13a – 5 = (18a + 5)(a – 1)

d) 7m2 – 23m + 6 = (7m - 2)(m – 3)

Ejercicios:

1) 2x2 + 3x – 2

2) 12x2 – x – 6

3) 3x2 – 5x – 2

4) 8x2 – 14x – 15

5) 2x2 + 29x + 90

6) 7x2 – 44x – 35

7) 9x2 + 10x + 1

8) 4x2 + x – 33

9) 4x2 + 15x + 9

10) 21x2 + 11x – 2

11) 9x2 + 37x + 4

12) 16m + 15m2 – 15

CASO 8 SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Ejemplos:

1) a3 + b3 = ( a + b) ( a2 – ab + b2)

2) a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

Ejercicios:

1) x3 - 8 =

2) 27x3 + b6 =

3) 8x3 – 125 =

4) 27m6 + 64n9 =

EJERCICIOS DE SIMPLIFICACION.

1)

p2−169p2+16 p+26 2)

3x2−12x+2 3)

x2−8 y+4 y2

x2−4 y2 4)

a2−aba4−a2b2

5)

x3+3 x2−10 xx3−4 x2+4 x

6)

2xa−4 xb3 ya−6 yb 7)

8

x2−1= 2x−1 8)

x+3= 2 x2

2 x−1 9)

2x−1

− 3x+3

=0 10)

−35x−1

= 46−7 x

11)

3x+2

− 4x−2

= 6

x2−4 12)

1x+ 1

x2− 1

x2−1=

13)

3x−5x−1

+ 2 x−7

x2−1+ x−1x+1

= 14)

xx+3

+ x−2

x2−9=

15)

18 x

+ 1

9 x2− 2

12x=

16)

2

x2+2x+ 1

x2−2 x=

17)

32a

+ 43a

+ 56a 18)

1x+ 1

x2− 1

x2−1=

19)

2 x3x+15

− x−3

x2−25− x−12

6 x+ 3 xx−5

= 20)

( x− yx+ y−1):(1−x

2 y )= 21)

(1− 1x−1 ) :(1+ 1

x+1 )=