Guía de Investigación de Operaciones I

Investigación de Operaciones I

Instituto Tecnológico Superior de Misantla

Ingeniería Industrial

Gregorio Fernández LambertNoviembre, 2009.

Alumno(a): _______________________________________________________

¿CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS EN LA REALIDAD?

Conocer todos los hechos y relaciones a la problemática

“el saber todo sobre el todo”<lo cual resulta claramente imposible> Identificar todas las alternativas

posibles de solución a un problema<en muchos de los casos esto es

posible>

Conocer todas

Estar bien informado

Ser un optimizador económico, esto es

“maximizar los beneficios económicos y minimizar los

cosos económicos”

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Conocer todas las alternativas

informado

Ser objetivo

¿Cómo se toman las decisiones?

Corazonada

Preferencia

Recomendación

Presión

Temor

Conveniencia

Influencia Experimentación

Base Científica

LA DECISIONES TOMADAS PUEDEN SER BAJO:

RIESGO

INCERTIDUMBRECERTEZA

Elementos de un problema de decisión

TOMA DE DECISIONES :- POR MEDIO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES,- MEDIANTE MÉTODOS ESTADÍSTICO,- ENFOQUE BASADO EN LA INTELIGENCIA ARTIFICIAL

MODELO DE “SIMON” PARA TOMA DE DECISIONES

Defínase el problema

Muchas Soluciones(elévense los criterios)

Búsquense las soluciones

Establézcanse los criterios de solución

SOLUCIÓN SATISFACTORIA

Pocas Soluciones(disminúyanse los criterios)

“Una Solución Satisfactoria, No es siempre es una s olución óptima”

EL PAPEL DE LOS MÉTODOS CUANTITATIVOS DE DECISÓN

Guía en la Toma de decisiones;

Ayuda en la Toma de Decisiones;Ayuda en la Toma de Decisiones;

Automatizar la Toma de Decisiones.

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y TOMA DE DECISIÓN

Técnica y/o herramientas

para la solución de problemas

Juicio; Experiencia;

Intuición; Habilidad;

Sentido RacionalSentido Lógico

para la solución de problemasDestreza; Conocimiento.

Solución deProblemas

TOMA DE DECISIÓN

económicosatisfactoria

CONSTRUCCIÓN DE MODELOS CUANTITATIVOS

MODELO: Representación de algún aspecto de la realidad.

“Intento de representar o explicar algo que forma parte del

mundo real usando menos que esa realidad”


VENTAJAS DE UN MODELO:

Explican y/o predicen el comportamiento de sistemas:

• Menos Recursos;

Financieros; Materiales; Humanos; Espacios.

DESVENTAJAS DE UN MODELO:

Por su naturaleza misma de ser modelos,

son menos que la realidad.


SELECCIÓN DEL MODELO:

Este dependerá tanto del SISTEMA real bajo estudio como del

propósito del estudio, su validez, confiablidad y simplicidad.

“Conjunto organizado de actividades o partes

relacionadas que se persiguen o con un fin común”

Selección del Modelo:

Un modelo es válido si lleva a los mismos resultados que se obtendrían en el mundo real.

El principio de economicidad y simplicidad está presente

La complejidad debe aceptarse sólo cuando sea necesario

El principio de economicidad y simplicidad está presente

en la selección del modelo.


Kennet Boulding sugiere un esquema de clasificación para los sistemas

basado en su complejidad:

Estáticos.- Poseen una estructura pero no movimiento.

Dinámicos.- Poseen estructura y movimiento (siguiendo patrones

determinados).


ENFOQUE DE SISTEMAS

ABIERTO.-

Interactúa con su medio ambiente. EMPRESA

medio ambiente

GobiernosHabitantesMaterialesInformaciónDinero

Bienes y Servicios

comunidad

clientes

CERRADO.-

EMPRESA Bienes y Servicios

GobiernosHabitantesMaterialesInformaciónDinero

medio ambiente excluido

Se construye como un sistema abierto y se

limita a factores relevantes

Clasificación de los modelos:

Llamados también prescriptivos (con frecuencia se usan como guía).

Normativos:

Descriptivos:

Solo describen una realidad potencial del experimento.

Concretos:

Poseen características físicas en común con la realidad que se está modelando.

Abstractos:

No poseen características físicas en común con la realidad que se está modelando.

Modelos de Toma de Decisión

CATEGORIAS

Certidumbre Determinista

CONSECUENCIAS

Riesgo Probabilística

Incertidumbre

Conflicto

Desconocidas

Influenciadas

(tendenciosas)

Uso de Datos para la Toma de Decisión

“Los hechos no dejan de existir porque se ignoren”, y

cuando se ignoran, la posibilidad de tomar una deci sión

adecuada o de alta calidad, es decreciente.

“Sólo en DIOS confío. Los demás traiganme datos”

Uso de Datos para la Toma de Decisión

Datos: Hechos o conceptos conocidos o supuestos.

Representan una base parcial sobre la que se toman

decisiones, dado que nos ayudan a describir los

sistemas del mundo real (generalmente se expresan en

forma numérica).

Continuos Discretos

¿Qué es la Investigación de Operaciones?

“ENFOQUE PARA RESOLVER PROBLEMAS ADMINISTRATIVOS

COMPLEJOS MEDIANTE EL USO DE LAS MATEMÁTICAS Y LA

COMPUTACIÓN”

ADMINISTRATIVOS

MATEMÁTICAS

COMPUTACIÓN

Desde el punto de vista del manejo de recursos.

Para desarrollar un modelo que permita resolver el problema.

Para desplegar el modelo y agilizar el resultado de l problema.

Metodología de la Investigación de Operaciones

Todas las técnicas de solución de problemas tienen algo en común,

esto es, que manejan el mismo enfoque, la misma metodología

La aplicación del METODO CIENTÍFICO.

Modelo general deProgramación Lineal (Maximización o Minimización)

Función Objetivo:

Define la efectividad del modelo como función de la variable de decisión.

Variables de Decisión:Variables de Decisión:

Restricciones:

Son las cantidades que deben deteerminarse en la solución del modelo.

Son aquellas condicionantes que imposibilitarían o restringirían el logro y objetivos del problema.


METODO CIENTÍFICO.

Definición del problema;

Formular un modelo matemático;

que representeel problema o

situación a resolver. Estos

pueden ser Derivar una solución para el modelo;

Validar la solución del modelo;

Implementar resultados.

pueden ser lineales o

No lineales.

DEFINICIÓN DE MODELO

SistemaReal

SistemaReal

AsumidoModelo

Relevantes

Variables

Relevantes

Relaciones

Método

de

Solución

Juicio y Experienciadel tomador

de decisiones

Soluciónal

Modelo

Solución al problema del sistema real

Interpretación

Solución

Decisiones

La solución al problema se dá por la implementaciónn de la solución en el sistema real

Las partes de un MODELO MATEMÁTICO en IO , son:

Variables de Decisión: ¿Qué es lo que se va a decidir?

Función Objetivo: ¿Qué es lo que se quiere lograr?

Restricciones: ¿Qué es lo que nos limitapara lograr el objetivo?

Recursos Objetivos

Estructura de un problema deProgramación Lineal

¿Qué se puedecuantificar?

Requerimientos:• Demandas;• Especificaciones;• Tiempos de entrega; ....• Etcétera...

¿Qué se puedeoptimizar?

Utilidades: MAXIMIZAR

Desperdicios: MINIMIZAR


Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn

sujeto a:a11x1 + a12x2 + ... + anxn <, =, > b1

a x a x a x ba a aa21x1 + a22x2 + ... + anxn <, =, > b2

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn <, =, > bn

x1, x2, ... , xn > 0


Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn


a x a x a x b

Función Objetivo

a a aa21x1 + a22x2 + ... + anxn <, =, > b2

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn <, =, > bn

x1, x2, ... , xn > 0


Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn


a x a x a x b

Coeficiente de la FO

a a aa21x1 + a22x2 + ... + anxn <, =, > b2

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn <, =, > bn

x1, x2, ... , xn > 0


Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn



am1x1 + am2x2 + ... + amnxn <, =, > bn

x1, x2, ... , xn > 0Restricciones


Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn



am1x1 + am2x2 + ... + amnxn <, =, > bn

x1, x2, ... , xn > 0Coeficiente de restricción


Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn



am1x1 + am2x2 + ... + amnxn <, =, > bn

x1, x2, ... , xn > 0Condición del recurso o requerimiento


Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn


a x a x a x b

Recursoso

Requerimientos

a a aa21x1 + a22x2 + ... + anxn <, =, > b2

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn <, =, > bn

x1, x2, ... , xn > 0


Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn



am1x1 + am2x2 + ... + amnxn <, =, > bn

x1, x2, ... , xn > 0Restrición de No - Negatividad


Definición del problema

a resolver

Identificar el Sistema

Desarrollar el Modelo

Observación Cuidadosa Construir el Problema

Formular el Problema

Proponer la Hipótesis

Validación de la

Implementar Resultados

Derivar una Solución

Modificar el Modelo

Es válida la solución

Hipótesis

Sí

No

Requerimientos para resolver un Modelo por PL

Plantearse una F.O. En términos de variables de decisión , es decir, X1, X2, ..., Xn

Las variables del problema deben estar interrelacionadas para generar el “resultado total”

Plantear las restricciones.

Las restricciones deberán estar relacionadas con la disponibilidad oLas restricciones deberán estar relacionadas con la disponibilidad ousos de los recursos, la satisfacción de los requerimientos o elsurtimiento de la demanda (deben ser en forma lineal).

Valores de la variables .

Estos pueden ser fracionarios, pero deben ser mayores o iguales quecero.

Tipos de soluciones

Solución

Factible Básica No-Óptima

No-Básica

Básica

Degenerada

Básica Óptima

Degenerada

No-Factible

El arte de plantear problemas

La habilidad para transformar un problema del mundo real

en un modelo de PL debidamente planteado es un ARTE

RecomendaciónRecomendación

El arte de plantear problemas se mejora con:

• paciencia,

• práctica,

• una estructura apropiada para aprobarlos.

Planteamiento de Problemas

Se tiene un proceso en el cual pueden fabricarse tres

productos distintos. El único recurso limitado para la

operación es la mano de obra, de la cual se disponen 400

horas hombre por semana.

Se sabe que el producto 1 requiere 8 horas de mano de obra

por unidad fabricada; el producto 2 requiere 4 horas por

unidad y el producto 3 requiere 2 horas por unidad.

El margen de contribución a las utilidades del producto 1 es

de $12.00 por unidad; el producto 2 contribuye con $10.00 y

el producto 3 contribuye con $8.00.

Desarrolle un modelo que MAXIMICE las ganancias a través

de la contribución total a utilidades.


Sea:

Paso 1.- Definir las variables:

x1 ≈ unidades del producto 1

x2 ≈ unidades del producto 2

x ≈ unidades del producto 3x3 ≈ unidades del producto 3

Paso 2.- Definir la Función Objetivo:

Max. Z = 12 x1+ +10

x2

8 x3


Paso 3.- Descripción de las restricciones:

Modelo de requerimientos totales:

8x1+ 4x2

+ 2x3

< 4008x1+ 4x2

+ 2x3

Relación Funcional:


Max. Z = 12 x1+ +10 x2 8 x3

< 4008 x1+ 4 x2

+ 2 x3s.a.

x1 x2, > 0

METODO GRÁFICO

• Método de solución de un problema de PL que serestringe a dos variables.

• Proporciona una mejor comprensión del problema yfacilita la interpretación de algunos pasos y resultadosobtenidos en el método de solución algebraico.

ferlam

METODO GRAFICO

La representación gráfica queda definida en el primer plano del eje

cartesiano. Esto no implica que no pueda ser utilizado otro plano

cartesiano, sin embargo, en lo general este puede ser presentado

en cualquier otro si así lo exigen las restricciones.

Las restricciones obtenidas en cada modelación de PL, definen un área

que contienen un número infinito de puntos, la cual NO excede la

desigualdad de restricción.

METODO GRAFICO

Ilustración de la graficación de tres restricciones: A, B, C.

x1

x2

R1

x1

x2

R2

x1

x2

R3

A) B) C)

x1

x2R3

R2

R1

METODO GRAFICO

Obtención de la región factible.

La región factible queda definida por aquellos puntos que satisfacen todas lasrestricciones simultáneamente.

x2

La graficación de las restricciones proporciona la Región Factible (zona factible) y

Solución Óptima.

x1

METODO GRAFICO / procedimiento

1 En una gráfica bidimensional ubicar las restricciones de No Negatividad usando

las variables de decisión X1 , X2 como los ejes de coordenadas.

x

x2

x1

Las restricciones de No Negatividad (X1 , X2 > 0) limitan a

utilizar la parte positiva de los ejes (cuadrante I).

2 Graficar cada una de las restricciones, tomando en cuenta el tipo de restricción

de que se trate ( > , = , <) . La graficación de las restricciones sobre el cuadrante

delimitarán el área factible (espacio de solución al problema).

Ejemplo para la graficación:

Max Xo = 3X1 + 5X2

s.a 2X1 + X2 < 230

X1 + 2X2 < 250

X2 < 120

X1, X2 > 0

METODO GRAFICO / procedimiento

X1, X2 > 0

À Remplazar el signo de desigualdad con un signo de igualdad.

Á Para cada restricción: asignar arbitrariamente a cada variable el valor de cero ydeducir el valor de la otra variable.

Â Trazar la línea resultante con los valores obtenidos de X1 , X2 sobre el cuadrante.

Ã Identificar el lado factible (dirección) de la línea.

Ä Como resultado del trazado de cada restricción, definir la región factible.

PROCEDIMIENTO:

METODO GRAFICO

Obtención de la Solución Óptima.

Una vez graficadas las restricciones y definida la Región o Zona de Factibilidad, se

grafica la Función Objetivo igualando a ésta a un valor arbitrario. El valor de la FO

puede ser uno aproximado al resultado esperado o bien puede obtenerse el par

ordenado de la Región Factible.

Definido el par ordenado (X , X ), se trazaDefinido el par ordenado (X1 , X2 ), se traza

una recta la cual representa a la FO, la cual

se desplaza paralelamente en la dirección

requerida (Maximización o Minimización)

hasta encontrar el valor (solución única) o los

valores (solución múltiple) de las variables de

decisión X1 , X2 que hagan que la función

objetivo sea óptima.x1

x2

METODO GRAFICO

Solución Óptima.

x2

Valores de las

Función Objetivo

La solución óptima queda definidapor los valores de X1 , X2 que hacende la FO la mejor.

Para Maximización sería el

punto más lejano que toque

la pendiente de la FO

x1

la pendiente de la FO

dentro de la región factible.

¡ RECUERDA !

En la resolución de problemas de PL se pueden observar las siguientes propiedades

geométricas con la consecuente interpretación real:

+ Óptima.- Es decir, que tiene una solución con el valor de las variables que

que hace de la FO la mejor.

+ Infactible.- Es decir, que no existen valores de las variables que satisfagan

todas las restricciones simultáneamente.

+ Ilimitadas.- Es decir, que existen valores factibles de las variables que hacen

la función objetivo tan grande o tan pequeña como se desee.

+ Óptimas múltiples.- Es decir, que existe más de una sola solución óptima.

METODO GRAFICO

CONCLUSIONES:

• Cada solución factible básica de un problema de PL corresponde a un

punto extremo del espacio de soluciones factibles.

• Existe un punto extremo del espacio de soluciones factibles, que puede ser

no único, para el cual la función objetivo alcanza su valor óptimo.

Identificación de los tipos de solución en el métod o gráfico

• Solución Óptima Finita Única.

• Solución Óptima Finita Alternativa o Múltiple.

• Solución Óptima No Acotada.

• Región factible Vacía.

SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA

• Sólo ocurre en un punto extremo.

Óptimo Único

Función Objetivo

Óptimo Único

Función Objetivo

Acotada No - Acotada

Región Factible Acotada

Único

Región FactibleNo - Acotada

Único

SOLUCIÓN ÓPTIMA FINITA, ALTERNATIVA O MÚLTIPLE

Óptimo Alternativos

Función Objetivo

Acotada

Rayo Óptimo

Función Objetivo

No - Acotada

Región Factible Acotada

Región FactibleNo - Acotada

SOLUCIÓN ÓPTIMA NO - ACOTADA

Función Objetivo

Óptimo = + α para Maximización

Región Factible

No - AcotadaÓptimo = - α para Minimización.

REGIÓN FACTIBLE VACÍA

También se conoce como:

• Problema No factible.

• Problema Infactible.

• Problema Inconsistente.

• Problema con región factible vacía.Ejemplo :Ejemplo :

Min Xo = - 2X1 + 3X2

s.a : - X1 + 2X2 < 2

2X1 + X2 < 3

X2 > 4

X1 , X2 > 0

REGIÓN FACTIBLE VACÍA

No se logra limitar

un área

Método Simplex

Considere el siguiente modelo en PL, yresuélvalo por el Método Simplex:

Max Z = 18.5 X1 + 20.0 X21 2

s.a. 0.05 X1 + 0.05 X2 < 1100

0.05 X1 + 0.10 X2 < 1800

0.10 X1 + 0.05 X2 < 2000

X1, X2 > 0

Método Simplex

1er. Paso:

Transforme el modelo a su forma estándar:

Z - 18.5 X1 - 20.0 X2 = 01 2

0.05 X1 + 0.05 X2 + S1 = 1100

0.05 X1 + 0.10 X2 + S2 = 1800

0.10 X1 + 0.05 X2 + S3 = 2000

X1, X2, S1, S2, S3 > 0

Método SimplexEl sistema nos muestra tres ecuaciones con cincovariables, es decir: n = 5, m = 5, por lo tanto se tiene unasistema con solución múltiple.

Cuando n=m, entonces sólo tiene un solución óptima.

El sistema de ecuaciones formado por las restricciones No tieneuna solución única dado que n>m. En general, el Número desoluciones para un sistema con n variables y m ecuaciones donden>m, es:

mCn=n!

m! (n-m)!

5!

3! (5-2)!= = 10 soluciones básicas.

Método Simplex

1er. Paso:Entran al Tableu, las variables que son unitarias (que susvectores son unitarios).

Z - 18.5 X1 - 20.0 X2 = 01 2

0.05 X1 + 0.05 X2 + S1 = 1100

0.05 X1 + 0.10 X2 + S2 = 1800

0.10 X1 + 0.05 X2 + S3 = 2000

X1, X2, S1, S2, S3 > 0

Método Simplex

2do. Paso:

Construir el Tableu:

Base Z X1 X2 S1 S2 S3 Solución

Z 1 - 18.5 - 20.0 0 0 0 0

S1 0 0.05 0.05 1 0 0 1100

S2 0 0.05 0.10 0 1 0 1800

S3 0 0.10 0.05 0 0 1 2000

Esta tabla se le conoce también como Tabla de Solución Básica Inicial, en donde:

S1 = 1100

S2 = 1800

S3 = 2000

Z = 0

En términos de resultado, diríamos que como Z = 0, no se estaría fabricando nada; los recursos materiales se conservan.

Método Simplex

3er. Paso:

Iniciar la solución del problema haciendo uso delCriterio de Optimalidad y Factibilidad.

Criterio de Optimalidad

Caso de Maximización: Se tiene una solución óptima cuando todos los elementos

del renglón Z son positivos o ceros.

Si la solución no es óptima, se selecciona para introducir a la Base,

la variable con el valor más negativo en el renglón Z.

Método Simplex

3er. Paso:


Criterio de Optimalidad

Caso de Minimización: Se tiene una solución óptima cuando todos los elementos

del renglón Z son negativos o ceros.

Si la solución no es óptima, se selecciona para introducir a la Base,

la variable con el valor más positivo en el renglón Z.

Método Simplex

3er. Paso:


Criterio de Factibilidad

La variable que se selecciona para salir de la Base es aquella con elmenor cociente de los elementos del vector solución entre loselementos del vector de la variable que entra a la Base, y que seanmayores que cero.

Método Simplex

Base


Z 1 - 18.5 - 20.0 0 0 0 0

Vector Solución

Ren

gló

n Z

Variables Básicas

En este vector sólo aparecen las variables que dan solución al problema.

Z 1 - 18.5 - 20.0 0 0 0 0

S1 0 0.05 0.05 1 0 0 1100

S2 0 0.05 0.10 0 1 0 1800

S3 0 0.10 0.05 0 0 1 2000

Ren

gló

n Z

Variables que dan solución al problema

Vectores “unitarios” que como consecuencia dan solución al problema. Razón la que las variables de estos vectores

se encuentran en la Base (Vector Base)

Método Simplex


Z 1 - 18.5 - 20.0 0 0 0 0

Dado que la Función es de Maximización, con base al criterio deOptimalidad, X2 es la variable que entra a la Base por ser la variable másnegativa en el renglón Z.

Z 1 - 18.5 - 20.0 0 0 0 0

S1 0 0.05 0.05 1 0 0 1100

S2 0 0.05 0.10 0 1 0 1800

S3 0 0.10 0.05 0 0 1 2000

1100/0.05 = 22,000

1800/0.10= 18,000

2000/0.05= 40,000

De acuerdo al Criterio de Factibilidad, S2 es la variable que se seleccionapara salir de la Base, ya que ella es la que tiene el menor cociente de loselementos del vector solución entre los elementos del vector de la variableque entra a la Base, y que son mayores que cero.

Método Simplex

4to. Paso:

Calcular la Nueva Solución.Para que la variable que entra a la Base forme parte de la solución, el vectorcorrespondiente de la variable en la Tableu -dentro de las variables básicas-debe hacerse unitario, para lo cual se efectuarán operaciones de “renglón” de lasiguiente forma:

1. Dividir todos los elementos del renglón de la variable que sale de Base entreel elemento pivote, el cual se encuentra en la intersección de dicho renglóncon la columna de la variable que se introduce a la Base. Esto hace que elelemento pivote se haga 1 (unitario). Para el caso de este ejercicio, sería0.10.

2. Transformar mediante operaciones de renglón los renglones diferentes al dela variables que sale de la Base, de manera que los elementos en la columnade la variable que se introduce a la Base se hagan cero.

Método Simplex

4to. Paso:

Calcular la Nueva Solución.

( 1 )

Renglón de X2 0

Z

0.5

X1

0.1

X2

0

S1

1

S2

0

S3

1800

Solución

0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10

( 2 ) Ahora, transformar todos los otros elementos del vector para hacerlo ceros.

Renglón de X2 0

Z

0.5

X1

1

X2

0

S1

10

S2

0

S3

18,000

Solución

Método Simplex4to. Paso:

Calcular la Nueva Solución.( 2 )Dado que al transformar todos los otros elementos del vector para hacerlo ceros se afecta a un

elemento de un renglón, todos los elementos del renglón también debe ser afectados por la

operación de renglón.

Base Z X X S S S SoluciónBase Z X1 X2 S1 S2 S3 Solución

Z 1 - 18.5 - 20.0 0 0 0 0

S1 0 0.05 0.05 1 0 0 1100

X2 0 0.5 1 0 10 0 18,000

S3 0 0.10 0.05 0 0 1 2000

Operación del Renglón 1 (R1) para hacer cero al elemento: R3*(20) + R1

X2) 1*(20) + (-20) = 0 ; X1) 0.5*(20) + (-18.5) = - 8.5 ; S1) 0*(20) + 0 = 0; S1) 10*(20) + 0 = 200; S3) 0*(20) + 0 = 0; Solución) 18,000 (20) + 0 = 360,000.

R2

R3

R4

R1

Método Simplex

4to. Paso:


Base X1 X2 S1 S2 S3 Solución

Z - 8.5 0 0 200 0 360,000

S1 0.05 0.05 1 0 0 1100R2

R1

S1 0.05 0.05 1 0 0 1100

X2 0.5 1 0 10 0 18,000

S3 0.10 0.05 0 0 1 2000

R2

R3

R4

Operación del Renglón 2 (R2) para hacer cero al elemento: R3*(-0.05) + R2

X2) 1*(-0.05) + (0.05) = 0 ; X1) 0.5*(-0.05) + (0.05) = 0.025; S1) 0*(-0.05) + 0 = 0; S1) 10*(-0.05) + 0 = - 0.5; S3) 0*(20) + 0 = 0 ; Solución) 18000*(-0.05) + 1100 = 200.

Método Simplex

4to. Paso:



Z - 8.5 0 0 200 0 360,000

S1 0.025 0 1 - 0.5 0 200R2

R1

S1 0.025 0 1 - 0.5 0 200

X2 0.5 1 0 10 0 18,000

S3 0.10 0.05 0 0 1 2000

R2

R3

R4


X2) 1*(-0.05) + (0.05) = 0 ; X1) 0.5*(-0.05) + (0.05) = 0.025; S1) 0*(-0.05) + 0 = 0; S1) 10*(-0.05) + 0 = - 0.5; S3) 0*(-0.05) + 0 = 0 ; Solución) 18000*(-0.05) + 1100 = 200.

Método Simplex

4to. Paso:



Z - 8.5 0 0 200 0 360,000

S1 0.025 0 1 - 0.5 0 200R2

R1

S1 0.025 0 1 - 0.5 0 200

X2 0.5 1 0 10 0 18,000

S3 0.10 0.05 0 0 1 2000

R2

R3

R4


X2) 1*(-0.05) + (0.05) = 0 ; X1) 0.5*(-0.05) + (0.1) = 0.075; S1) 10*(-0.05) + 0 = -0.5; S1) 0*(-0.05) + 0 = 0; S3) 0*(-0.05) + 1 = 1 ; Solución) 18000*(-0.05) + 2000 = 110.

Método Simplex

4to. Paso:



Z - 8.5 0 0 200 0 360,000R1

S1 0.025 0 1 - 0.5 0 200

X2 0.5 1 0 10 0 18,000

S3 0.075 0 0 - 0.5 1 1100

R2

R3

R4

Nueva Solución:

S1 = 200

X2 = 18,000

S3 = 1100

Z = 360,000

Método Simplex

4to. Paso:



Z - 8.5 0 0 200 0 360,000R1

S1 0.025 0 1 - 0.5 0 200

X2 0.5 1 0 10 0 18,000

S3 0.075 0 0 - 0.5 1 1100

R2

R3

R4

Nueva Solución:

S1 = 200

X2 = 18,000

S3 = 1100

Z = 360,000

Método Simplex

4to. Paso:



Z 0 0 340 30 0 428,000R1

X1 1 0 40 - 20 0 8,000

X2 0 1 0 20 0 14,000

S3 0 0 - 3 1 1 500

R2

R3

R4

Solución óptima:

X1 = 8,000

X2 = 14,000

S3 = 500

Z = 428,000

Solución por Gauss-JordanMax Z = 18.5 X1 + 20.0 X2

s.a. 0.05 X1 + 0.05 X2 < 11000.05 X1 + 0.10 X2 < 18000.10 X1 + 0.05 X2 < 2000

X1, X2 > 0

El sistema de ecuaciones formado por las restricciones No tieneEl sistema de ecuaciones formado por las restricciones No tieneuna solución única dado que n>m. En general, el Número desoluciones para un sistema con n variables y m ecuaciones donden>m, es:

mCn=n!

m! (n-m)!

5!

3! (5-2)!= = 10 soluciones básicas.

Dado que n-m = 2; para la construcción de la matriz, debemosasignar le 0 (cero) en cada interacción a dos variables.

Solución por Gauss-Jordan

Solución

BásicaX1 X2 S1 S2 S3 F.O.

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

Creación de la Tabla: por cada solución básica se asignan ceros a dos variables.

4 0 0

5 0 0

6 0 0

7 0 0

8 0 0

9 0 0

10 0 0

Solución por Gauss-JordanZ - 18.5 X1 - 20.0 X2 = 0

0.05 X1 + 0.05 X2 + S1 = 1100

0.05 X1 + 0.10 X2 + S2 = 1800

0.10 X1 + 0.05 X2 + S3 = 2000

X1, X2, S1, S2, S3 > 0

Solución Básica Inicial:

S1 S2 S3 Solución

1 0 0 1100

0 1 0 1800

0 0 1 2000


Solución


1 0 0 1100 1800 2000 0

2 0 0

3 0 0

Solución Básica Inicial:

4 0 0

5 0 0

6 0 0

7 0 0

8 0 0

9 0 0

10 0 0


Solución 2:

X2 S2 S3 Solución

0.05 0 0 1100

0.10 1 0 1800

0.05 0 1 2000

X2 S2 S3 Solución

0.05 0 0 1100

0.10 1 0 1800

0.05 0 1 2000

R1

0.05

0.05 0 1 2000

R1*(-0.10) + R2

X2 S2 S3 Solución

1 0 0 22000

0.10 1 0 1800

0.05 0 1 2000R1*(-0.05) + R3

X2 S2 S3 Solución

1 0 0 22000

0 1 0 - 400

0 0 1 900


Solución


1 0 0 1100 1800 2000 0

2 0 22000 0 - 400 900 440,000

3 0 0

4 0 0

Solución No factible

4 0 0

5 0 0

6 0 0

7 0 0

8 0 0

9 0 0

10 0 0

Solución por Gauss-JordanSolución


1 0 0 1100 1800 2000 0

2 0 22000 0 - 400 900 440,000

3 0 18000 200 0 1100 360,000

4 0 40000 -900 - 2200 0 800,000

5 22000 0 0 700 -200 407,000




Solución No factible6 36000 0 -700 0 -1600 666,000

7 20000 0 100 800 0 370,000

8 8000 14000 0 0 500 428,000

9 18000 4000 0 500 0 413,000

10 14676.6 10666.6 - 166.6 0 0



5 Soluciones Básicas No Factibles;

1 Solución Básica Factible Óptima;

4 Soluciones Básicas Factibles No Óptimas;

0 Soluciones Básica Degeneradas.

Z = 428,000;

X1 = 8,0001;

X2 = 14,000;

S3 = 500.

Método Gráfico

Max Z = 18.5 X1 + 20.0 X2

s.a. 0.05 X1 + 0.05 X2 < 11000.05 X1 + 0.10 X2 < 18000.10 X + 0.05 X < 2000

Importante:

Este método de solución es sólo para modelos con dos variables de decisión.

0.10 X1 + 0.05 X2 < 2000

X1, X2 > 0

Método Gráfico

Max Z = 18.5 X1 + 20.0 X2

s.a. 0.05 X1 + 0.05 X2 < 11000.05 X1 + 0.10 X2 < 18000.10 X + 0.05 X < 2000

Importante:

Este método de solución es sólo para modelos con dos variables de decisión.

0.10 X1 + 0.05 X2 < 2000

X1, X2 > 0

0.05 X1 + 0.05 X2 < 1100

Obtención de pares ordenados a partir de cada restricción:

Sí , X1 = 0, X2 = 22000

Haciendo X1 = 0

Sí , X2 = 0, X1 = 22000

Haciendo X2 = 0

Punto 2: (22000, 0)Punto 1: (0, 22000)

Método Gráfico

Graficar en el Primer Plano:

Punto 2: (22000, 0)Punto 1: (0, 22000)

X2

Restricción:

0.05 X1 + 0.05 X2 < 1100

X10

(0, 22000)

(22000, 0)

VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX“Método de Penalización o Método de las EMES”

Ejemplo: Hallar la solución óptima del siguiente problema:

Máx X0 = 3X1 + 2X2 + 3X3

s.a. 2X + X + X < 2s.a. 2X1 + X2 + X3 < 23X1 + 4X2 + 2X3 > 82X1 + 3X2 + X3 = 6

Xj > 0


PROCEDIMIENTO:PASO 1:Escribir el problema en forma estándar e incorporar la función objetivo a las restricciones:

X - 3X - 2X - 3X = 0X0 - 3X1 - 2X2 - 3X3 = 02X1 + X2 + X3 + S1 = 23X1 + 4X2 + 2X3 - S2 = 82X1 + 3X2 + X3 = 6


PROCEDIMIENTO:PASO 2:Como existen tres restricciones, deben existir tres vectores unitarios. Observamos en el caso que sólo existe uno (S1), ya que S2 es negativo, debemos insertar variables artificiales.

Al incorporar las variables artificiales, recordar que debemos penalizar la función objetivo con “un valor muy superior a cero” al que definiremos como “M”. Para ello primero, insertemos las variables artificiales en las restricciones que sea necesario, y ello es en donde no se tenga un vector unitario:

X0 - 3X1 - 2X2 - 3X3 = 02X1 + X2 + X3 + S1 = 23X1 + 4X2 + 2X3 - S2 + A1 = 82X1 + 3X2 + X3 + A2 = 6


PROCEDIMIENTO:PASO 2:

Una vez colocadas las variables artificiales en las restricciones, ahora penalizar la función objetivo con una valor “Muy Grande” a través de “M”:

Max X0 = 3X1 + 2X2 + 3X3 -MA1 -MA2 = 0

entonces:

X0 - 3X1 - 2X2 - 3X3 + MA1 + MA2 = 02X1 + X2 + X3 + S1 = 23X1 + 4X2 + 2X3 - S2 + A1 = 82X1 + 3X2 + X3 + A2 = 6


PROCEDIMIENTO:PASO 3:Incorporar el sistema al Tableu: Como A1 y A2 alteran las ecuaciones, en la primera oportunidad deben salir del sistema.

Base X0 X1 X2 X3 S1 S2 A1 A2 Solución

X0 1 -3 -2 -3 0 0 M M 0

X0` 1-3M-3-5M-3

-4M-2-7M-2

-2M-3-3M-3

00

MM

00

M0

-8M-14M

S1 0 2 1 1 1 0 0 0 2

A1 0 3 4 2 0 - 1 1 0 8

A2 0 2 3 1 0 0 0 1 6

R1

R2

R3

R4

R3(-M)+R1 R4(-M)+R1


PROCEDIMIENTO:PASO 4:Resolver el problema aplicando el criterio de optimalidad y factibilidad.


X0` 1 -5M-3 -7M-2 -3M-3 0 M 0 0 -14M

S1 0 2 1 1 1 0 0 0 2

A1 0 3 4 2 0 - 1 1 0 8

A2 0 2 3 1 0 0 0 1 6

Cociente

2/1= 2

8/4= 2

6/3= 2

¿cuál sale?




X ` 1 -5M-3 -7M-2 -3M-3 0 M 0 0 -14M

Cociente

X0` 1 -5M-3 -7M-2 -3M-3 0 M 0 0 -14M

S1 0 2 1 1 1 0 0 0 2

A1 0 3 4 2 0 - 1 1 0 8

A2 0 2 3 1 0 0 0 1 6

2/1= 2

8/4= 2

6/3= 2

Como los tres cocientes son iguales, es recomendable utilizar algún método de“desempate”, de tal forma que no se cicle el proceso de solución. Para elloestudiaremos dos métodos:

• PERTURBACIÓN.• LEXICOGRÁFICO.

VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX“Método de Desempate”

PERTURBACIÓN:

Este método modifica los recursos (bi).

bi = bi + âi1ε1 + a

i2ε2 + a

i1ε3 + . . . + â

inεn

en donde ε adopta valores cercanos a cero : ε→ 0

Supongamos que ε = 0.01

Ѣ1

= 2 + 2(0.01)1 + 1(0.01)2 + 1(0.01)3 + 1(0.01)4 + 0(0.01)5 + 0(0.01)6 + 0(0.01)7 = 2.02

Ѣ2

= 8 + 3(0.01)1 + 4(0.01)2 + 2(0.01)3 + 0(0.01)4 - 1(0.01)5 + 1(0.01)6 + 0(0.01)7 = 8.03

Ѣ3

= 6 + 2(0.01)1 + 3(0.01)2 + 1(0.01)3 + 0(0.01)4 + 0(0.01)5 + 0(0.01)6 + 1(0.01)7 = 6.01


PERTURBACIÓN:Una vez obtenidos los valores br afectados, recalcular los cocientes con los nuevos valores b

r:

S1

= 2.02/1 = 2.02S1

= 2.02/1 = 2.02

A1

= 8.03/4 = 2.0075

A2

= 6.02/3 = 2.006

Sale de la Base


LEXICOGRÁFICO:

Considera los elementos de los vectores unitarios para obtener cocientes básicos. Si el producto cociente no logra ser desempatado, se proseguirá con el siguiente vector.

En nuestro caso tenemos tres vectores. El vector primario es S1 , el

secundario A1

, y el terciario A2. Ellos se aprecian en la Base del Tableu, en

el orden de aparición de sus restricciones respectivas.A cuerdo a nuestro caso, el primer desempate se da como sigue:

Ѳ1 = 1er vector básico/yrk ,si existe empate, se prosigue con el

segundo vector Ѳ2 , hasta su agotamiento.


LEXICOGRÁFICO:

Variable en la

Base

Ѳ1 Ѳ2 Ѳ3

S1 2/1 = 2 1/1 = 1

A 8/4 = 2 0/4 = 0 ¼ = 0.25A1 8/4 = 2 0/4 = 0 ¼ = 0.25

A2 6/3 = 2 0/3 = 0 0/3 = 0

Menor cociente




X0` 1 -5M-3 -7M-2 -3M-3 0 M 0 0 -14M

S1 0 2 1 1 1 0 0 0 2

A1 0 3 4 2 0 - 1 1 0 8

A2 0 2 3 1 0 0 0 1 6

Cociente

2/1= 2

8/4= 2

6/3= 2

¿cuál sale?



Base X1 X2 X3 S1 S2 A1 Solución

X0-1/3 M – 5/3 0

-2/3 M–7/3

0 M 0 4

S14/3 0 2/3 1 0 0 0

A11/3 0 2/3 0 - 1 1 0

X22/3 1 1/3 0 0 0 2



Base X1 X2 X3 S1 S2 Solución

X0-1/2 0 0 0 -7/2 M 4

S11 0 0 1 1 0

X31/2 0 1 0 - 3/2 0

X21/2 1 0 0 1/2 2



Solución Factible Óptima Degenerada:

Base X1 X2 X3 S1 S2 Solución

X03 0 0 7/2 0 4

S21 0 0 1 1 0

X32 0 1 3/2 0 0

X20 1 0 - 1/2 0 2

X0 = 4;S2=0;X3=0;X2=2.

MÉTODO DOBLE FASE

Este método surge como alternativa a la resolución con el método

de la “M”, y como su nombre lo indica, se resuelve, en dos fases.

Este método atiende casos en los que puede encontrarse restricciones

no sólo del tipo <, sino también del tipo >, o en su forma estándar ( = ).

MÉTODO DOBLE FASE

En la fase I, se intenta determinar una solución básicafactible a partir de la minimización de la función objetivoartificial, obtenida ésta como suma de todas las variablesartificiales consideradas (o maximización con signoartificiales consideradas (o maximización con signonegativo de las variables artificiales).

Si el valor de este objetivo artificial es cero, tendremosuna solución inicial para el problema original, y entoncesse pasa a la fase II. En otro caso, el problema esinfactible.

MÉTODO DOBLE FASE

En la fase II, se aplica el método simplex al problemaoriginal (si no se tienen variables artificiales en la base alfinal de la fase I), utilizando la solución básica obtenida enla primera fase, como solución de partida.

Si al final de la fase I existen en la base variablesartificiales (con valor a cero), la función objetivo que seconsidera es la original del problema más esas variablesartificiales, a las que se les asigna un coeficiente cj nulo.

Cuidar que al principio de la fase II se prescinda de lascolumnas correspondiente a las variables artificiales queestuviesen en la base al final de la fase I.

MÉTODO DOBLE FASE

Algoritmo de solución

Paso 0. Poner el modelo en la forma estándar.

Modelo Forma E stándar

Min X0 = 4 X1 + X2

s.a. 3 X1 + X2 = 34 X1 + 3 X2 > 6

X1 + 2 X2 < 4

X1, X2 > 0

X0 - 4X1 - X2 – A1 + 0S1 – A2 + 0S2 = 03 X1 + X2 + A1 = 34 X1 + 3 X2 - S1 + A2 = 6

X1 + 2 X2 + S2 = 4

MÉTODO DOBLE FASE


Paso 1.

Modificar el objetivo considerando la maximización de

FASE I.

Modificar el objetivo considerando la maximización dela función objetivo artificial Zº, la cual se construyecambiando los coeficientes de la función objetivo delPaso 0 colocándoles -1 a las variables artificiales, y 0 alresto.

X0 - 4X1 - X2 – 1 A1 + 0S1 – 1A2 + 0S2 = 0

MÉTODO DOBLE FASE


Paso 2.

• Construir el Tableu.

FASE I.

• Construir el Tableu.• Colocar la función objetivo artificial Zº (penalizada)

como una fila (renglón) dentro del Tableu.• Sumar los elementos de filas (renglones) de las

variables artificiales que se encuentren en la base acada elemento de cada vector a la función objetivooriginal, y crear una nueva función objetivo Z*.

MÉTODO DOBLE FASE


Paso 2.

FASE I.

Base X1 X2 S1 S2 A1 A2 Solución

Zº 0 0 0 0 -1 -1 0

Z* 7 4 -1 0 0 0 9

A1 3 1 0 0 1 0 3

A2 4 3 -1 0 0 1 6

S2 1 2 0 1 0 0 4

X1 = 4 + 3 + 0 = 7; S1 = -1 + 0 + 0 = -1; A1 = 0 + 1 - 1 = 0

MÉTODO DOBLE FASE


Paso 2: Iniciar el proceso.

FASE I.

Recordar que para eliminar del problema a las varia bles artificiales, la FO se reemplaza Temporalmente por la

Minimización de la suma de dichas variables”

Base X1 X2 S1 S2 A1 A2 Solución

Z* 7 4 -1 0 0 0 9

A1 3 1 0 0 1 0 3

A2 4 3 -1 0 0 1 6

S2 1 2 0 1 0 0 4

Minimización de la suma de dichas variables”

MÉTODO DOBLE FASE


Paso 2: Iteración Nº 1. La solución no es óptima.

FASE I.

Observe que como A1 salió de la base,ésta ya no aparece en el Tableu actual.

Base X1 X2 S1 S2 A2 Solución

Z* 0 5/3 -1 0 0 2

X1 1 1/3 0 0 0 3

A2 0 5/3 -1 0 1 6

S2 0 5/3 0 1 0 4

ésta ya no aparece en el Tableu actual.

MÉTODO DOBLE FASE


Paso 2: Iteración Nº 2. Solución óptima de la Fase I.

FASE I.

Base X1 X2 S1 S2 SoluciónBase X1 X2 S1 S2 Solución

Z* 0 0 0 0 0

X1 1 0 1/5 0 3/5

X2 0 1 -3/5 0 6/5

S2 0 0 1 1 1

MÉTODO DOBLE FASE


Conclusión:

Dado que se tiene una solución óptima en la fase I, y las

FASE I.

Dado que se tiene una solución óptima en la fase I, y las

variables artificiales A1, y A2 han sido eliminadas,

entonces el problema original sí tiene una solución

factible, y para determinar ésta, se continua con la fase II.

MÉTODO DOBLE FASE


Conclusión:

Si se llegase a presentar una solución óptima y las

FASE I.

Si se llegase a presentar una solución óptima y las

variables artificiales no lograran ser eliminadas, puede

ocurrir que no exista una solución factible para el

problema, y puedan darse contradicciones, por ejemplo

que X1 < 5, y X1 > 20, lo cual No puede ser; o bien que el

problema inicial no esté adecuadamente planteado.

MÉTODO DOBLE FASE


El proceso inicia con la incorporación de la funciónobjetivo original al Tableu óptimo de la fase I, y seprocede a efectuar los ajustes necesarios para que las

FASE II.

procede a efectuar los ajustes necesarios para que lasvariables que deciden al problema continúen siendounitarias.

Una ves arreglado el Tableu, se continua con laaplicación de los criterios de Optimalidad yFactibilidad según la FO original , hasta llegar a lasolución óptima final.

MÉTODO DOBLE FASE


Paso 3: Incorporación de Z 0 original al Tableu.

FASE II.

Base X1 X2 S1 S2 SoluciónBase X1 X2 S1 S2 Solución

Z0 -4 -1 0 0 0

Z0 0 0 1/5 0 18/5

X1 1 0 1/5 0 3/5

X2 0 1 -3/5 0 6/5

S2 0 0 1 1 1

Incorporación de Z0 original.

Renglón Z0 ajustado.

El ajuste se realizamediante operaciónde renglón.

MÉTODO DOBLE FASE


Paso 4: Continuar aplicando los criterios deOptimalidad y Factibilidad..

FASE II.

Base X1 X2 S1 S2 Solución

Z0 0 0 1/5 0 18/5

X1 1 0 1/5 0 3/5

X2 0 1 -3/5 0 6/5

S2 0 0 1 1 1

MÉTODO DOBLE FASE


Solución óptima

FASE II.

Base X1 X2 S1 S2 Solución

Z0 0 0 0 -1/5 17/5

X1 1 0 0 -1/5 2/5

X2 0 1 0 3/5 9/5

S1 0 0 1 1 1

Z0 = 17/5

X1 = 2/5

X2 = 9/5

DUALIDAD

• La programación lineal puede ser usada para resolver unaextensa variedad de problemas propios de los negocios, ya seapara maximizar utilidades o minimizar costos.

Antecedentes:

para maximizar utilidades o minimizar costos.

• Las variables de decisión, en cada caso la solución óptima,explica cómo podrían ser asignados los recursos para obtenerun objetivo establecido.

DUALIDAD

Todo problema de PL tiene asociado a él otro

problema cuya formulación se deriva del

primero. Un problema es llamado “primo”

(primero) y el otro dual.(primero) y el otro dual.

Ahora veremos que a cada problema de programación lineal se le asocia otro problema de programación lineal, llamado el problema de

programación dual.

DUALIDAD

La “solución óptima” del problema de programación dual, proporcionainformación respecto del problema de programación original, tal como:

1. los precios en el mercado o los beneficios de los recursos escasosasignados en el problema original.asignados en el problema original.

2. la solución óptima del problema original y viceversa.

Normalmente llamamos al problema de programación lineal original el problema de programación primal.

DUALIDAD

Problema Dual cuando el primo está en la forma canó nica:

Primo: Max X0 = ∑ Cj Xj Dual: Min X0 = ∑ bi YI

s.a. ∑ aij Xj < bi ; i = 1, 2, …, m. ∑ aij Xi > Cjj=1

n

j=1

n

s.a. ∑ aij Xj < bi ; i = 1, 2, …, m. ∑ aij Xi > Cj

Xj > 0 Yi > 0

en donde Yi , es la variable dual asociada a la i-ésima restricción primal.

“A PARTIR DEL DUAL PODEMOS TOMAR DECISIONES”

j=1

n

j=1

j=1

n

j=1

DUALIDAD

El problema DUAL se obtiene del problema primo de la siguiente manera, y viceversa:

1. Cada restricción en un problema corresponda a una variabl e en el otro.2. Los elementos del lado derecho de las restricciones en el p roblema son iguales a los

coeficientes respectivos de la F.O. en el otro.3. Un problema busca Maximizar y el otro Minimizar.4. El problema de Maximizar tiene problemas de “ < “ y el de Minimizar, tiene “ > “.5. Las variables en ambos problemas son No-Negativas .5. Las variables en ambos problemas son No-Negativas .

Max X0 = C1 X1 + C2 X2

s.a. a11 X1 + a12 X2 < b1

a21 X1 + a22 X2 < b2

X1 , X2 > 0

Min X0 = b1 Y1 + b2 Y2

s.a. a11 y1 + a12 y2 > C1

a21 Y1 + a22 Y2 > C2

Y1 , Y2 > 0

PRIMO: DUAL:

DUALIDAD

del primo al Dual del Dual al Primo

Max Min

Restricción < Variables >

Restricciones = Variables irrestrictas

Correspondencia Primal-Dual

Restricciones = Variables irrestrictas

Restricciones > Variables < 0

Variables > 0 Restricciones >

Variables irrestrictas Restricciones =

Variables negativas (0 < ) Restricciones <

DUALIDAD

Durante una solución PRIMO, encontraremos que los valores d e lasiteraciones en el Primo SERÁN MAYORES que los valores de laiteraciones del DUAL, sin embargo al final (la última iterac ión) se llega almismo resultado.

Tipos de soluciones

PRIMO DUAL

Óptimo Óptimo

No Factible o No Acotado No Factible

No Factible No Acotado o No Factible

DUALIDAD

“Precio Sombra”

Se define como la proporción con que mejora el valor de la función

objetivo a partir de la i - ésima restricción , dependiendo si se trata

de maximización tiende a aumentar, y a disminuir cuando es de

minimización.

DUALIDADESTUDIO DE UN CASO PARA LA INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DEL

MODELO DUAL”

Una compañía produce dos tipos de artículos: la unidad del Ti po I quese vende a $106 pesos, y la del Tipo II a $144 pesos.

Para el presente mes la empresa cuenta con 2000 minutos de man o deobra en el departamento de ensamble, 1800 minutos en eldepartamento de revisión, y con 1000 minutos en el departame nto deempaque .empaque .

El número de minutos requeridos en cada departamento para lafabricación de una unidad de cada uno de los artículos se prop orcionaen la siguiente Tabla.

ArtículoTiempo disponible (min) en los departamentos

Ensamble Revisión Empaque

Tipo I 3 2 1

Tipo II 2 3 2


MODELO DUAL”

Otros datos:

Pago por cada minuto de trabajo en departamentos

Ensamble Revisión Empaque

$10 $8 $20

El administrador de la empresa desea determinar el programa deproducción que maximice la utilidad total del mes de la compa ñía.


MODELO DUAL”

Tabla de costos, y determinación de la utilidad neta por artí culo:

ConceptoArtículo

Tipo I Tipo II

Precio de Venta 106 144Precio de Venta 106 144

Costo de producción 66 84

Costo de ensamble 30 20

Costo de revisión 16 24

Costo de empaque 20 40

Utilidad unitaria neta 66 84

DUALIDAD

Construcción del modelo

Definición de la variable:

Sea Xi, el número de artículos del Tipo i (i= 1, 2) que deben producirse

mensualmente, a fin de maximizar la utilidad de la compañía.

Máx X0 = 40X1 + 80X2

s.a. 3X1 + 2X2 < 2000 min (depto. ensamble)2X1 + 3X2 < 1800 min (depto. revisión)X1 + 2X2 < 1000 min (depto. empaque)

Xi > 0; Vi

DUALIDAD

Win QSB

DUALIDAD

Solución mediante Win QSB

Incremento en $ por cada minuto que se incremente en los departamentos.

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Guía de Investigación de Operaciones I