GUIA DE MATEMÁTICA

APELLIDO Y NOMBRE DEL ALUMNO:

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APELLIDO Y NOMBRE DEL PROFESOR:

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DIVISION: ………………………………..

Esta guía está dividida en 2 secciones: Aritmética y Geometría.

ARITMÉTICA

En esta parte vas a poder repasar las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división, sobre los números reales. Para esto te ofrecemos una descripción de cada una y ejemplos. Al final hallarás una pequeña guía de ejercicios para que repases los temas estudiados. INTRODUCCIÓN: La aritmética es la parte de la matemática que estudia los conjuntos numéricos, sus operaciones y, sus propiedades y lo que puede hacerse con ellos. En este apunte contemplamos algunos ejemplos cotidianos para facilitar la interpretación del problema.

En la figura que sigue, te mostramos cómo se contaba el ganado para controlarlo todos los días y no perder animales, sin disponer de un sistema numérico.

SISTEMA DE NUMERACIÓN ÁRABE

La civilización árabe sostuvo contactos culturales con los hindúes, los griegos del Imperio Bizantino y los egipcios, donde adquirieron el conocimiento por medio de las traducciones de las grandes obras de Euclides, Ptolomeo, Arquímedes, Aristóteles, Diofanto, etc. al idioma árabe. El sistema numérico actual (llamado arábigo) no fue inventado por los árabes, sino por los hindúes, ellos recogieron este gran conocimiento y lo introdujeron en Europa, al cero lo llamaron céfer, que en el idioma árabe significa vacío. Este nuevo sistema de numeración muy lentamente fue llegando a occidente reemplazando a los números romanos, que dominaron por muchos siglos. Aunque el primer manuscrito europeo que utilizó los numerales árabes data del año 976 d C, ya en el año 1500 d C la aritmética explicaba el sistema de numeración arábigo con todo lujo de detalles.

¡CURIOSIDAD MATEMÁTICA!

La palabra “cálculo” proviene de la palabra “calculus” que

significa “piedra” en latín. Es por eso que mucha gente fue

operada de “cálculos” en los riñones o la vesícula, es decir,

se le formaron pequeñas “piedritas” en esos órganos.

SISTEMA DE NUMERACIÓN AMERICANO :

Los Mayas habían desarrollado una floreciente civilización en América Central, y entre otros potenciales culturales contaban con un avanzado sistema numérico, en uso por los 400 años antes de Cristo, con cierta semejanza con el romano.

NÚMEROS NATURALES (N) Como “agarrar” proviene de “garra”, usamos manipular para indicar tomar con la mano algún objeto cotidiano (manejarlo). Para indicar cuantos objetos manejamos usamos los números naturales, desde el uno, dos, tres, y hasta donde quieras llegar. Estos objetos manipulables son materiales, pero también contamos objetos que no son tan sólidos, o con forma física, como ser: los días de lluvia, los feriados, las vacaciones, o por ejemplo, los grados de la escuela primaria, o los años de la secundaria. También podemos contar las veces que pasamos por la puerta de calle para entrar y salir de casa. “N” indica el conjunto de los números naturales. Son los que usamos para nombrar y contar cantidades de cosas (objetos).

Operaciones con Números Naturales: • Suma o adición: Siempre es posible con todos los números del conjunto N. Por ejemplo:

8 + 3 = 11

Es conmutativa porque el orden de los sumandos no influye en la suma:

5+4 = 4+5 Además es asociativa, o sea, no de depende del orden en que se agrupan los sumandos:

(2+7)+4 = 2+ (7+4)

• Resta, sustracción o diferencia: Sólo es posible entre minuendo (m) y sustraendo (s) cuando s < m (el sustraendo es menor que el minuendo). Por ejemplo:

12 - 2 = 10

Atención: No es conmutativa ni asociativa.

• Multiplicación o producto: Pueden pensarse como una suma abreviada cuyos sumandos son iguales: Por ejemplo:

3 x 4=3+3+3+3=12

Es conmutativa pues el orden de los factores no altera la multiplicación. Por ejemplo: 3 x 4 = 4 x 3

Si multiplicamos más de dos factores vemos que además es asociativa, pues no depende de la forma en que se agrupen los factores. Por ejemplo:

(3 x 4) x 5 = 3 x (4 x 5)

Es distributiva frente a la suma y a la resta. Por ejemplo: (2 + 5) x 4 = 2 x 4 + 5 x 4

(8 - 3) x 5 = 8 x 5 – 3 x 5

Minuendo

Sustraendo

Sumandos

Factores

Aclaración:

a) El cociente indica

las veces que el

divisor está dentro

del dividendo

b) Todo número al ser

dividido por uno,

conserva su valor

c) La división por cero

está PROHIBIDA.

Aclaración:

a) Uno elevado a cualquier exponente, da uno.

b) Cero elevado a cualquier exponente distinto de cero, da cero

c) Todo número distinto de cero, elevado a la cero, da uno.

• División o cociente: La división entre dividendo y divisor da por resultado un cociente y un resto. Por ejemplo:

23 7 2 3 /

Por lo tanto el Dividendo (D) es igual al Divisor (d) multiplicado por el Cociente (c) más el Resto (r), y el Resto es menor que el Divisor. En símbolos: D d r c / Por ejemplo: 23 : 7 = 3 con un resto de 2. Entonces:

23 = 3 x 7 + 2 Si el resto es cero, la división es exacta. La división exacta es la operación inversa de la multiplicación: D: d = c D = c x d Si el resto es distinto de cero, el cociente se llama entero, pues indica la cantidad de veces que el divisor está contenido en el dividendo. Observa que el resto será menor que el divisor para terminar la operación de dividir. ¿Por qué? La división no es conmutativa ni asociativa.

• Potenciación: Es una multiplicación abreviada de factores iguales, involucrando una base, un exponente y una potencia resultante. El exponente indica el número de veces que la base aparece como factor repetido, dando la potencia como resultado. Por ejemplo:

81333343 xxx

La potencia no es conmutativa, porque no se pueden conmutar el exponente con la base, y no es distributiva con la adición ni la sustracción, pero si lo es con respecto al producto y el cociente. Así:

333222 49 4):(9 y 7373 :)( xx

• Radicación: Es la operación inversa de la potenciación de exponente natural. Raíz Cuadrada (o de índice 2): Es el número resultante de la raíz cuadrada que al elevarlo al cuadrado da el número que estaba dentro de la raíz. Por ejemplo: la raíz cuadrada de 49 es:

497 porque 749 22

Raíz Cúbica (o de induce 3): es el número resultante de la raíz cúbica que elevado al cubo da el cubo perfecto. Por ejemplo: la raíz cúbica de 64 es:

644 porque 464 33

La raíz de cualquier índice no es conmutativa, ni asociativa, ni distributiva con la suma ni la resta. Por ejemplo:

734916 a igual es no pero 5 25916 2222

Al igual que la potencia, es distributiva respecto al producto y al cociente. Por ejemplo:

Base

Exponente

Resultado de

la potencia

4 veces

Dividendo Divisor

Cociente Resto

Índice

D = d x c + r

5123827827 y 30 5x636 x 253625 333222 ,::: x

NUMEROS ENTEROS (Z) Los vamos a definir después de varios ejemplos que dan evidencia de su existencia y utilidad en lo cotidiano:

• Tengo una pecera de 35cm de alto con un castillo de cerámica sumergido de unos 28cm desde el fondo hasta su punta más alta. Dicha punta es la referencia que tomo para vigilar el nivel de agua que para mi gusto es de 2cm por encima de esa referencia. Si por unos días no la miro, me pasó alguna vez que el nivel bajó hasta tres centímetros de la punta. Entonces si el nivel está a mi gusto lo llamo +2cm y cuando bajó mucho es -3cm. A la referencia la nombro como nivel cero.

• La era cristiana indica como negativos a los años previos al nacimiento de Jesús, por ejemplo: “Sócrates nació por el 470 antes de Cristo (470 a C), por eso será el año -470”.

• La temperatura también la puedo escribir como negativa o positiva según sea menos o más que cero.

• Para indicar profundidades en el mar, tomamos el valor cero (en metros) como el nivel normal del mar. Si algo está sumergido un metro bajo el agua le asigno la posición -1m, y si lo está a una profundidad de 2m le asigno la posición -2m.

• Para indicar elevaciones por encima del nivel del mar expresamos esa elevación medida desde ese cero. Por ejemplo una sierra montañosa alcanza los 345m le asigno la posición +345m.

• Las cuestiones de dinero también las puedo pensar así: Si cobro lo indico positivo y si lo gasto será negativo. Por ejemplo: si Ana pide a su mamá $ 10 y va a comprar a la librería y gasta $ 7, le quedan $ 3:

$ 10 (recibe Ana) – $ 7 (gasta) = $ 3 (conserva) Pero ¿qué pasa si gasta otros $ 5? Queda debiendo $ 2. Esto lo podemos expresar así: $ 3 (que conservaba) – $ 5 (gasta) = – $ 2 (queda debiendo) Teniendo en cuenta los números que antes llamamos naturales, y estos últimos que se les parecen pero que son negativos, los reunimos (positivos y negativos) y formamos el conjunto de los números enteros, que llamaremos “Z”. Este conjunto contiene una sucesión cerca del cero como la siguiente: …,-3,-2,-1, 0,+1,+2,+3,…

Los números podemos representarlos en forma vertical, como en un

termómetro, con los números positivos “arriba” del cero y los negativos por

“debajo” del cero. Los podemos prolongar hacia arriba y hacia abajo tanto

como uno quiera.

Pero también podemos representarlos sobre una recta horizontal, separados un centímetro entre ellos, marcando el cero en el centro:

Operaciones con Números Enteros: • Suma o adición: Siempre es posible con todos los números del conjunto Z. Por ejemplo:

4 + 2 = 6 –3 + 7 = 4

• Resta, sustracción o diferencia: Siempre es posible con todos los números del conjunto Z. Por ejemplo: –3 – 7 = – 10 5 – 2 = 3

¿Cómo resuelvo: 2 – (– 7)? En este caso, el primer signo negativo “invierte” el significado del número –7, es decir, lo convierte en positivo. Por eso decimos que el signo “menos” delante de un paréntesis cambia el sentido del resultado contenido en dicho paréntesis.

En la vida cotidiana hay cosas que no tienen sentido asignarle valores negativos, pero a otras cantidades sí tiene sentido atribuirles significado a ambas cantidades, positivas y negativas:

- El tiempo transcurre siempre hacia el futuro, y no lo hace hacia el pasado. Pero con nuestra imaginación suponemos trasladarnos al pasado, estando parados en el presente. Nos imaginamos del siglo pasado los goles de Maradona, los triunfos de Fangio, los logros de nuestros premios Nóbel. Más antiguamente las obras de Beethoven, Rembrandt, Galileo, Lutero, Gregorio 1º, Mahoma, Aristóteles y Moisés. Además le atribuimos el primer año de la era, al del nacimiento de Jesús.

- Las temperaturas del norte argentino casi siempre son positivas y las del sur casi siempre negativas.

• Multiplicación o producto: La multiplicación de números enteros da por resultado otro número entero. Es conmutativa: 2 x 4 = dos veces cuatro = 4 + 4 4 x 2 = cuatro veces dos = 2 + 2 + 2 + 2 Es asociativa: 3 x 5 x 2 = (3 x 5) x 2 = 3 x (5 x 2) Es distributiva respecto de la suma y la resta

2 x 4 = 2 x (3 + 1) = 2 x 3 + 2 x 1 = 6 + 2 = 8 2 x 4 = 2 x (6 - 2) = 2 x 6 – 2 x 2 = 12 – 4 = 8

Si uno de los factores es negativo, el producto da el mismo valor numérico que daría si fueran positivos los dos, pero con signo negativo:

3x (-2) = (-2) + (-2) + (-2) = - 6

Pronto aprenderás a reemplazar el signo “x” de la multiplicación por “.”

• División o cociente: La división entre dos números enteros no siempre es exacta, por lo tanto, no siempre el resultado de la división está dentro del campo de los números enteros. Por ejemplo:

10 : 5 = 2 El resultado es un número entero 5 : 2 = 2,5 El resultado no es un número entero

La división es sólo distributiva a derecha respecto de la suma o de la resta. Por ejemplo:

(10 + 2) : 2 = 10 : 2 + 2 : 2 = 5 + 1 = 6 Pero no lo es al revés. Por ejemplo: 12 : (2 + 4) = 12 : 2 + 12 : 4 = 6 + 3 = 9

El número 1 es un

elemento neutro

para la

multiplicación, ya

que a cualquier

número que lo

multiplique por 1,

me vuelve a dar el

mismo número

Divisibilidad de enteros: Es una parte de la operación “Cociente de enteros”, porque ahora veremos sólo los cocientes que resultan exactos. Pensemos en ¿cuántos grupos iguales se pueden formar con 24 elementos? Como grupos, puedo formar: 1 de 24 elementos 24 : 24 = 1 solo grupo

2 de 12 24 : 12 = 2 grupos 3 de 8 24 : 8 = 3 4 de 6 24 : 6 = 4 6 de 4 24 : 4 = 6 8 de 3 24 : 3 = 8 12 de 2 24 : 2 = 12 24 de 1 24 : 1 = 24

Podemos preguntarnos ¿cuáles son todos los números que dividen a 24? Vemos que 24 puede dividirse por los números de grupos posibles y también por los números de elementos de los grupos posibles. Y ¿por ninguno otro, ya? ¿Se podrá dividir por algún otro número entero? ¿Se agotaron los divisores enteros de 24? NO, no se agotaron, faltan los negativos. Aunque no podamos darle un significado a las siguientes divisiones, en nuestro contexto, queremos que las conozcan, por lo útiles que serán:

24 : (– 1) = – 24 24 : (– 2) = – 12 24 : (– 3) = – 8 24 : (– 4) = – 6 24 : (– 6) = – 4 24 : (– 8) = – 3 24 : (– 12) = – 2

Además: 24 : (– 24) = – 1 24 = 2 x 12 12 = 2 x 6 6 = 2 x 3

Por tanto: 24 = 2 x 12 = 2 x 2 x 6 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3 pues 2 y 3 son los factores primos

12 6 Otro ejemplo: 12

60 = 2 x 30 30 = 2 x 15 15 = 3 x 5 60 = 2 x 30 = 2 x 2 x 15 = 2 x 2 x 3 x 5 = 2 2 x 3 x 5

Factores primos componentes de un número entero:

REGLA DE LOS SIGNOS:

Esta regla te permite saber qué signo tendrá un resultado, según el signo de los factores:

( + ) x ( + ) = ( +) Se lee: “más por más, más”

( + ) x ( - ) = ( - ) Se lee: “más por menos, menos”

( - ) x ( - ) = ( +) Se lee: “menos por menos, más”

( - ) x ( + ) = ( - ) Se lee: “menos por más, menos”

O sea, el producto de factores de distinto signo da un resultado negativo, y el producto de

signos iguales es positivo. La misma “Regla de los Signos” se aplica en la división. Por

ejemplo:

5 x 3 = 15 15 : 3 = 5

5 x (- 3) = - 15 15 : (-3) = - 5

(- 5) x (- 3) = 15 (- 15) : (-3) = 5

(- 5) x 3 = - 15 (- 15) : 3 = - 5

Este tema lo desarrollarás mejor durante el transcurso de 1º año.

Para encontrar todos los factores primos componentes de un entero, hay que formar los cocientes exactos, con los enteros desde el 2 en adelante, que sean posibles, por ejemplo:

54 2 96 2 27 3 48 2 9 3 24 2 3 3 12 2 96 = 2 5 x 3 1 54 =2 x 3 3 6 2 3 3

1 De la descomposición en factores primos obtenemos todos los:

Divisores de 54: 54, 27, 18, 9, 6, 3, 2 Divisores de 96: 96, 48, 32, 24, 16, 12, 8, 6, 4, 3, 2

Observemos que el mayor divisor de un entero no puede superar su mitad ¿por qué? Otra pregunta obligada es: ¿cómo obtengo todos los divisores posibles de un entero? Una respuesta: formando todos los productos posibles con los factores primos del entero.

MAXIMO DIVISOR COMUN (MDC): Dos números enteros distintos pueden tener divisores comunes y, sólo en ese caso, se puede buscar el mayor que divida a ambos. El MDC es el producto de los factores primos comunes con el menor exponente con que aparecen.

Por ejemplo: Hallar el MDC entre 42 y 63 Los factores primos de cada uno son:

42 = 2 x 3 x 7 63 = 3 x 3 x 7

Los divisores son: Divisores de 42: 2, 3, 6, 7, 14, 21 Divisores de 63 3, 7, 9 ,21

Por lo tanto, el MDC entre 42 y 63 es 21, porque los factores primos comunes con el menor exponente son el “3” y el “7”. Por lo tanto: 3 x 7 = 21

MÍNIMO MÚLTIPLO COMÚN (mmc): Un número entero es múltiplo de todos sus divisores. Entonces contiene a todos sus divisores como factores primos y no primos. El mmc es el producto de los factores primos comunes y no comunes con el mayor exponente con que aparecen

Por ejemplo: Hallar el mmc entre 12 y 15 Los factores primos de cada uno son: 12 = 2 x 2 x 3 = 2 2 x 3 15 = 3 x 5 Los divisores son:

Divisores de 12 : 2, 3, 4, 6 Divisores de 15 : 3, 5

Por lo tanto, el mmc entre 12 y 15 es 60, porque los factores primos comunes y no comunes (con el mayor exponente) son “2 2 ”, “3” y “5”. Por lo tanto: 2 2 x 3 x 5 = 60

NÚMEROS RACIONALES (Q) Nuevamente los vamos a definir después de varios ejemplos que dan evidencia de su existencia y utilidad en lo cotidiano:

• Mi reserva de gaseosa es de tres botellas llenas enteras más la que está en uso. No me descuido y las vigilo diariamente, porque mi hermano también toma. Con una de dos litros y cuarto, lleno ocho vasitos de los míos, entonces puedo controlar cuánto toman los demás. Pero ¿cómo escribo dos litros y cuarto? Bien, lo dejaremos pendiente hasta explicar el tema de números racionales.

• Una pizza se puede cortar en 6, 8,12 o la cantidad de porciones que uno quiera. Si la divido en 6, literalmente dije “1 pizza : 6 porciones”, donde los dos puntos “:” son la división, o sea “1” dividido en “6”.

La pizza es un entero y la porción es un sexto (1/6) de ese entero. Si la divido en 8 porciones o en 12, cada porción es 1/8 o 1/12 del entero. Pero ¿se puede dividir el 1 con el 6 como divisor,

en 1/6? Parecería que el cociente da cero, pero cuando la corto no da cero, sino que da una porción. Si en vez de llamarla una pizza, la llamo “6 porciones dividido 6 comensales” obtengo una porción por comensal. Si quisieran comer sólo 3 comensales, tendría 6 porciones dividido entre 3 comensales, entonces da 2 porciones por comensal.

• La mesa de mi cocina tiene un largo de 1234 mm (ó 1,234 m). Significa que mide: 1m con 2dm con 3cm y con 4mm, o también lo indico como: 1m+2dm+3cm+4mm

Hay que entenderlo también en esta forma: 1234mm = (1x1000+2x100+3x10+4) mm, y poder ponerlos en columna para sumar.

Hasta acá tratamos a los números racionales sin definirlos formalmente. Se llama NÚMERO RACIONAL a todo número que resulta de la división de dos enteros (con el divisor distinto de cero). Por ejemplo:

1 : 4 = 1 4

A los números racionales se los puede expresar como fracción o en forma decimal. Por ejemplo:

0,25 = 25 = 1 100 4

Operaciones con Números Racionales: • Suma o adición: Siempre es posible con todos los números del conjunto “Q”.

- Suma de decimales: Si se suman números decimales, es necesario recordar que hay que alinear las cifras con el

mismo orden de magnitud o jerarquía decimal. Por ejemplo vamos a sumar 293, 61 (2 centenas, 9 decenas, 3 unidades, 6 décimos y 1 centésimo) con 16,34 (1 decena, 6 unidades, 3 décimos y 4 centésimos). Hay que alinear las cifras desde la coma hacia ambos lados, y sumar:

+ 293,61 16,34 309,95

Pero en cambio qué pasa si decimos: 0,804 km más 302 m más 50300 cm. Aquí ¿cuál es la unidad?

50300 cm = 5030 dm = 503 m = 0,503 km 804 m = 0,804 km 302 m = 0,302 km

Y ahora sí sólo queda sumar. - Suma de fracciones:

Vamos a verlo en un ejemplo: Sea sumar dos fracciones como 5

2

4

1y .

Primero haremos la suma gráficamente: Para ello representaremos un rectángulo dividido en las partes que indica el denominador, y remarcamos de ellas las que indica el numerador:

1 4

1/4 2/4 3/4

Hacemos lo mismo con 1/5:

1 5

1/5 2/5 3/5 4/5

Los rectángulos sombrados tienen distinta medida para 1/4 que para 1/5. Por tanto, seguimos dividiendo los rectángulos sombreados hasta encontrar una medida común. Para ellos vamos a dividir a 1/4 en 5 partes iguales, y a 1/5 en 4 partes iguales:

Numerador

Denominador

Divido en 4 partes iguales

Divido en 5 partes iguales

Número de rectángulos sombreados

Número de partes en que divido al rectángulo

Número de partes en que divido al rectángulo

Número de rectángulos sombreados

1/4 2/4 3/4

1/5 2/5 3/5 4/5 Cada rectángulo original quedó dividido en 20 partes iguales, por lo tanto, ahora sí se pueden sumar los rectángulos sombreados que son 13 de 20. Por tanto: 1/4 + 2/5 = 13/20

Para hacer la suma en forma analítica hay que buscar primero el mmc entre los

denominadores de las 2 fracciones, para que ambas tengan un mismo “denominador común”:

El mmc entre 4 y 5 es: 4 x 5 = 20 Que sería algo equivalente a multiplicar y dividir por cinco a 1/4, y por cuatro a 2/5:

20

13

20

8

20

5

45

42

54

51

5

2

4

1

Otra forma más rápida para poder sumar puede ser: 1 + 2 = 5 + 8 = 13 4 5 20 20

Resumiendo: - Para hallar el denominador, hallo el mmc. - Para hallar el numerador tengo que hacer lo siguiente: Al denominador

común “20” lo divido por “4” y lo multiplico por el “1”. Eso da “5”. Luego al denominador común “20” lo divido por “5” y lo multiplico por el “2”. Eso da “8”. Sumo los dos resultados y obtengo el total que da “13”

Otro ejemplo: sumemos tres fracciones : 1/5, 2/3 y 2/4 El mmc entre “5”, “3” y “4” es 5x3x22 = 60. Entonces el denominador común es “60”:

60

52

60

301012

4

2

6

1

5

1

Nótese que este resultado puede simplificarse hasta 15

13, por eso el resultado también es

éste.

• Resta, sustracción o diferencia: Siempre es posible con todos los números del conjunto Q. Para realizar las operaciones de restas, se procede en forma similar a lo explicado para las sumas, pero restamos en lugar de sumar.

• Multiplicación o producto: - Multiplicación de números decimales:

Es igual que los enteros descuidando las comas y afectamos al producto con los decimales de ambos factores.

Como cada factor tiene dos decimales cada uno y el resultado tendrá cuatro.

- Multiplicación de fracciones:

Planteamos ejemplos sencillos para ver qué significa multiplicar por una fracción. Empezaremos viendo un ejemplo donde multiplicamos un número entero por una fracción: Sea “uno por tres séptimos”: 1 x 3

7

3

7

3

1

1

7

31

1 x 7

Resumiendo: Los 2 números de arriba (del numerador) se multiplican entre sí. Lo mismo ocurre con los 2 números de abajo (del denominador).

75,42

x 0,13

22626

7542

9,8046

Numerador

Denominador

Y mucho más fácil es multiplicar una fracción por un entero como 2/3 por 5, que da:

3

10

1

5

3

2

Veamos ahora otro ejemplo, donde se multiplican dos fracciones: Sea multiplicar 5/4 por

3/7:

28

15

7

3

4

5

• División de fracciones: Primero haremos la división en forma gráfica: Para ello representaremos un rectángulo dividido en las partes que indica el denominador, y remarcamos de ellas las que indica el numerador: Por ejemplo: 6/7 dividido 2: Vamos a dividir primero un rectángulo en 7 partes iguales. De ella vamos a sombrear 6

partes:

1/7 3/7 6/7

Ahora bien, de las 6 partes sombreadas tengo que quedarme con la mitad, porque recordemos que la división propuesta era 6/7 dividido 2, o sea, la mitad de 6/7:

1/7 3/7 6/7

Por tanto, 6/7 divido 2 es 3/7.

Ahora veamos en forma analítica: Podemos pensar al número “2” como la fracción “4/2”. Para facilitar las cuentas es conveniente invertir a este divisor “4/2” por “2/4” y así invertir también la operación pasando de ser una “división por 2 o 4/2” a una “multiplicación por 2/4”. De esta forma se procede como si fuera un multiplicación de fracciones:

7

3

28

12

4

2

7

6

2

4

7

6

Al dividendo 6/7 lo MULTIPLICAMOS por el divisor invertido 2/4, o sea invertimos ambas cosas: lo operación división por la multiplicación, y al divisor por “por 1 sobre ese divisor”. ¿porqué es ésto? Esto es por que por ejemplo dividir por 2 es lo mismo que multiplicar por 1/2 = 0,5 invirtiendo la operación de “:” (división) por la de “x” (multiplicación) y también al divisor por su recíproco o inverso. Notar que el inverso de 1/3 es 3, el de 43/17 es 17/43, etc.

Recuerden que en la introducción quedó una cuenta pendiente. Se trata de expresar el contenido de gaseosa conocida como de dos litros y cuarto:

_____1L____│____1L___│_1/4L Los enteros son los dos litros y lo demás es la fracción decimal 1/4 L=0.25 L

1L 2L 2 1/4L Por tanto, se puede expresar que: 2 1/4 L = 2,25 L

GUIA DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS: • NUMEROS NATURALES:

1) Escribí en letras los siguientes números naturales:

21 ……………………………………………………………………………………………………………

17 ……………………………………………………………………………………………………………

29 ……………………………………………………………………………………………………………

18 ……………………………………………………………………………………………………………

27 ……………………………………………………………………………………………………………

16 ……………………………………………………………………………………………………………

32 ……………………………………………………………………………………………………………

33 ……………………………………………………………………………………………………………

31 ……………………………………………………………………………………………………………

64 …………………………………………………………………………………………………………… 2) Escribí con palabras los siguientes números naturales:

32146 ……………………………………………………………………………………………………….

263348………………………………………………………………………………………………………

564213………………………………………………………………………………………………………

2194376……………………………………………………………………………………………………. 3) ¿Cuál es el menor número natural de tres cifras no nulas distintas? ¿Cuál es el mayor?

……………………………………………………………………………………………………………….

4) Escribí los números correspondientes a: La mitad de quinientos

mil:………………………………………………………………………………. Cien menos que un millón:

…………………………………………………………………………….... Seis menos que diez mil:

………………………………………………………………………………... El doble de ciento veinticinco mil:

………………………………………………………………………. La cuarta parte de diez mil:

……………………………………………………………………………… El mayor número natural formado por tres cifras no nulas, pares y no repetidas

………………… …………………………………………………………………………………………………………

……. El menor número natural formado por tres cifras no nulas, pares y no repetidas

………………… …………………………………………………………………………………………………………

……. 5) Formar números con las cifras indicadas:

Cinco unidades con una decena: ………………………………………………………………………..

Siete decenas con seis unidades: ………………………………………………………………………

Catorce decenas con tres unidades: ……………………………………………………………………

Ciento cuarenta y ocho decenas con cinco unidades: …………………………………………………

Trece centenas con veintitrés unidades: ………………………………………………………………..

Cinco unidades de mil con dos decenas: ………………………………………………………………..

Veinticinco unidades con ciento tres centenas. ……………………………………………………….. 6) Escribir en potencias de diez, o como suma de múltiplos de diez encabezados por cada

cifra componente del número, para los cuatro números siguientes: 527, 1467, 2548, 32707. Por ejemplo: Para el 527 es 5x100+2x10+7 ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. 7) ¿Cuántas vueltas da cada una de las agujas del reloj: la horaria, la de los minutos y la de

los segundos, en un día? ¿y en una semana? ……………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. 8) A un campo de frutales se lo cerca con árboles a 5m de distancia entre ellos. Los lados del

campo son 215m, 305m, 255m y 290m. ¿Cuántos árboles rodean al campo? ……………………………………………………………………………………………………………….. 9) El jarabe para la tos vino en una botellita de 175 ml, y el dosificador es de 5 ml de

capacidad. A razón de tres dosis diarias ¿cuántos días durará la medicación? ……………………………………………………………………………………………………………….. 10) De planta baja al primer piso hay una altura de 2,80m, por lo que hay que diseñar una

escalera con escalones que no superen los 22cm de alto. ¿Cuántos escalones harán falta?

………………………………………………………………………………………………………………..

• NUMEROS ENTEROS:

1) Volcar en la recta numérica los enteros: -14, 9, -19, -45, 94, -47, -69, 33, 0, 7. Usar escala

en mm, lo que significa, que la recta numérica esté graduada en mm. 2) Calcular “a” y “b”, si: b > - 3 y b < a ; 6 > a > b; a= 4 ……………………………………………………………………………………………………………….. 3) Completar la tabla siguiente:

a b - a - b -(-a) - (- b)

2 5

3 7

6 4

0 -3

1 -10 4) ¿Cuales son los enteros comprendidos entre:

a) x ≥ 3 y x ≥ 9 …………………………………………………………………………………… b) x < 6 y x > 1 …………………………………………………………………………………… c) x ≥ - 13 y x ≤ - 9 …………………………………………………………………………………

5) Encontrar los números que no se alejan más de tres unidades del - 5. ……………………………………………………………………………………………………………….. 6) Encontrar los números que se alejan menos de tres unidades del - 5. ……………………………………………………………………………………………………………….. 7) A.Einstein murió en 1955 a la edad de 76 años ¿en que año nació? …………………………….. 8) Resolver suma y resta, aplicando las propiedades asociativa y conmutativa:

a) 113-94-12+11 -7= ………………………………………………………………………….

124 -19 -94= …………………………………………………………………………. 30 -19= …………………………………………………………………………. 61-44+52 -50 -1-10+3= ………………………………………………………………………….

b) Resolvé los cálculos de (a) agrupando todos los positivos y restale los negativos agrupados. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..

c) -7+2-6+19-4+8-15+34= ………………………..…………………………………………………..

-32+63= …………………………………………………………………………… 9) Calcular los siguientes productos y cocientes:

a) 10x1=_____ 10x5=____ 10x3=_____ 10x(-81)=____ 10x(-2)= _____ 10x99=____ 10x(-4)=_____ 10x17=____ b) Si se puede, aplica alguna propiedad como la asociativa o la conmutativa: 3 x (-6)=

………………………………………………………………………………………………. (-1) x (-4) x (-1) x (-6)= ………………………………………………………………………………. (-2) x 11= ……………………………………………………………………………………………... 3 x (-2) x (-1) x (-5)= …………………………………………………………………………………. 3 x (-6) x 2= ………………………………………………………………………………………….. (-4) x (-5) x (-1) x 2 x (-1)= ………………………………………………………………………….. (-2) x 11 x (-3) = ……………………………………………………………………………………… (-1) x 4 x (-1) x 5 x (-2)= ……………………………………………………………………………..

c) Completar: ___x (-4)=16 (-1) x (-3) x___ = -15

4 x ___=-32 ___x___x___ = -27 (-2) x (-4) x___= - 64 d) ¿Hay algún número que multiplicado por cero da un producto distinto de cero? ¿Por qué? ……………………………………………………………………………………………………………….. e) Resolver aplicando el producto distributivo sobre suma y resta:

7 x 2= 7 x (3-1)= …………………………………………………………………………………… 9 x (-81) = 9 x (90-9) = ………………………………………………………………………………. 2 x (-3)=2 x (2-5)= …………………………………………………………………………………… 13 x (-17) =13 x (3-20)= ………………………………………………………………………………

f) El aspecto de la operación se puede cambiar para llevarla a una estructura que permita hacer cuentas mentalmente: Por ejemplo: Por ejemplo: 749 : 7= (700+49) : 7 = 700 : 7 + 49 : 7 = 100 + 7 = 107

121 : 11 = (99 + 22) : 11= 99 : 11 + 22 : 11 = ………………………………………. 981 : 9 = (900 + 81) : 9 = 900 : 9 + 81: 9 = …………………………………………. 3926:13= (3900+26):13=(39x100):13 + 26:13= ……………………………………...

• NUMEROS RACIONALES:

• 1) Juguemos al ahorcado: Los enteros pueden tener dos signos: _ o _ i _ i _ o _ ó _ e _ a _ i _ o _ 2) En los cocientes de números racionales podemos obtener solamente números racionales,

de los que los números enteros son un subconjunto. Resolvé los siguientes operaciones hasta los decimales que sean necesarios:

48 : 3 = 1 : 5= 48 : 5= 2 : 9= 23 : 33 = 46 : 33 = 24 : (-6)= (-3) :12= 144 : (-30) = (-2) : 3 = (-69) : 11= 19 : (-22)= 3) Una fracción o razón entre enteros se puede interpretar gráficamente. Tantas partes tiene

un entero como indique el denominador. Las partes sombreadas son las que indica el numerador.

Sea la fracción 2/5, así nuestro objeto tiene 5 partes de las que destaco 2:

1. ¿Qué significa entonces 5/6 ? Representalo.

2. Para representar el mismo número, ¿cuántos debo tomar de 40, y cómo lo escribo? ¿Por cuánto multiplico al 3 para obtener 30? ¿Y al 4 para obtener 40? ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..

RECORDAR QUE TODA OPERACIÓN COMBINADA SE SEPARA EN TERMINOS

CON LOS SIGNOS DE SUMA Y RESTA, QUE SON LAS OPERACIONES

PRIORITARIAS EN JERARQUIA FRENTE A LAS OTRAS. O sea que primero se

resuelven los cocientes y luego las sumas y resta.

Otra forma de caracterizarlas es diciendo que son las operaciones más exteriores.

………………………………………………………………………………………………………………..

c) ¿Cómo representas (3x10) / (4x10)? ¿Qué le pasa a cualquier fracción si multiplicás numerador y denominador al mismo tiempo por el mismo número?

……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. 4) Compará los siguientes pares de números racionales:

75 / 90 con 5/6 …………………………………………………………………………………………. 46 / 98 con 23/49 ………………………………………………………………………………………. 30 / 35 con 120/140 ……………………………………………………………………………………. 910/130 con 14/2 ………………………………………………………………………………………….

5) Ordena las siguientes fracciones por su complicación para ser representadas: 3/4; 2/3; 6/7; 4/5; 1 /12; 14/28; 11/44; 7/10

……..……………………………………………………………………………………………………………..

6) Compará la dificultad de cortar una pizza en 6, 8 ó 12 porciones con la de cortarla en 5, 7 u 11 porciones, por supuesto iguales. ……………………………………………………………………………………………………………….. a) Si de la pizza que divido en 8, me como 4 porciones, ¿Cuánto queda?

………….………………….. b) Y si comiera 6 ¿Cuánto quedaría?

……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..

7) Si a una fracción la multiplico tanto numerador como denominador por un mismo factor, ¿qué cambia? ¿El número racional, la fracción, el valor real, el numerador, el denominador o ambos? Sólo una de estas opciones es correcta…………………………………………………………………………….

8) ¿Qué significa la división siguiente: 30000+4000+700+90+5 = ? 5

Escribilas como suma de fracciones, todas con denominador 5: 9) Te dejamos el espacio para que hagas la

división y compares con el ejercicio 8:

10) Se llama suero fisiológico a la mezcla cloruro de sodio en agua en una proporción de 1 litro de

agua con 9 gramos de sal. Si el litro de agua pesa 1 kilogramo ¿Cuánto pesa la solución? ….……………………………………………………………………………………………………………..

11) Hoy compré 2 kg de manzana, 1/2 kg de pan, 75,0 gramos de levadura y 2 g de azafrán. ¿Cuánto peso llevo en la bolsa? ………………………………………………………………………………………………………………..

12) En un automóvil de 1000 kg de peso, suben 4 personas de 75 kg cada una, un perro de 7 kg, una TV de 23 kg, cargue 800 g de pan, 50 g de jamón crudo y un sobre de te de tilo de 8 g. ¿Cuánto pesa todo el conjunto con auto incluido? .……………………………………………………………………………………………………………..

34795 __5____

13) Así como los enteros, las fracciones y los decimales son de dos signos: (+) y (--) , y los resultados de sus operaciones también. Calcular la suma, resta, multiplicación o división de los siguientes grupos de fracciones:

a) 4

1

3

1

2

1 j)

5

1

125

149

b) 4

1

3

1

2

1 k)

15

7:

49

60

c) 6

1

3

1

18

5

9

7 l)

64

1

128

1

d) 121

8

7

22

4

11 m)

64

7:

32

21=

e) 9

5

3

12 n)

3

9

3

5

3

1

f) 10

1

5

8

3

4 ñ)

10

3:

5

9

g) 10

3

5

1

2

7 o)

8

10:

4

6

h) 13

1

169

14 p)

2

1

2

3

i) 3

1:

6

1 q)

5

2

2

1

5

2xx

GEOMETRÍA En esta parte de la guía vas a poder repasar los conceptos de punto, recta y plano, ángulo, figura geométrica, triángulos, cuadriláteros y el cálculo del perímetro y el área de esas figuras. Al final hallarás una pequeña guía de ejercicios para que repases los temas estudiados. Esperamos que te guste y te sea útil. INTRODUCCIÓN: La geometría es la parte de la matemática que estudia al punto, la recta y el plano, sus propiedades y lo que puede hacerse con ellos. Nosotros en este apunte abordaremos algunos temas como son los ángulos, triángulos y cuadriláteros.

Los arqueólogos en todo el mundo han desenterrado vasijas de barro y muchos otros objetos que pertenecieron a personas de distintas civilizaciones y culturas que están decorados con motivos geométricos. Muchos aborígenes decoraban su alfarería (vasijas, vasos y urnas de barro) con dibujos y guardas geométricas. El barro horneado era una excelente forma de fabricar utensillos para uso cotidiano.

En nuestro país también hay registros arqueológicos de alfarería con motivos geométricos. Las fotos que aquí se ven fueron tomadas en el museo del Molino San Francisco, en la ciudad de Chilecito, provincia de La Rioja por uno de los autores de esta guía de matemática. Son piezas de barro desenterradas por los arqueólogos y que pertenecieron a los indios Diaguitas que habitaban esa región.

Los diseños tienen significado religioso y ritual, además del decorativo. Es una tarea interesantísima poder recuperar objetos tan hermosos y de enorme valor histórico para poder comprender la forma en que esa gente vivía y se relacionaba con la naturaleza. ¿Te animás a buscar información sobre los indios Diaguitas y la provincia de La Rioja? También la importancia de la geometría se basa en la cantidad de aplicaciones de las figuras geométricas a la construcción de edificios, puentes, objetos de nuestra vida cotidiana, en el arte y en el diseño de decoraciones, telas, escenografías, murales y hasta de juegos de

computadoras!

RECTAS Líneas y rectas: No todas las líneas son rectas. Una línea es cualquier fila o conjunto de puntos consecutivos, es decir, que un punto está detrás del otro sin dejar espacio entre ellos. Se pueden dibujar infinitas líneas en un plano (cuando hablamos de plano pensamos en una hoja gigantesca, a tal punto que no tendría fin). Una recta también es una fila o un conjunto de puntos, pero tiene características que las hacen especiales. Para dibujar una recta es suficiente con elegir dos puntos de un plano y trazar entre

ellos el camino más corto que los conecte. La línea recta es el camino más corto entre dos puntos en un plano.

Para saber si una línea es una recta, se eligen 2 puntos que estén en la línea y ver si el menor camino que los une es una línea que está toda contenida en la recta. La línea A no es una línea recta pues los puntos m y n que están en ella no pueden ser unidos por un camino que esté todo contenido en A. La línea B sí es una línea recta pues los puntos r y s sí pueden unirse por un camino que está todo contenido en B.

Rectas paralelas y no paralelas: En un plano hay una cantidad infinita de puntos que determinan a su vez infinitas rectas. Hay tantas rectas que si quisiéramos hacer una lista para contarlas a todas nunca dejaremos de encontrar más y más y nuestra lista no tendría fin. Eso es exactamente lo que significa infinito: sin fin. Si elegimos dos rectas cualquiera en un plano podrán presentarse dos situaciones: que las rectas no se “corten” o que las rectas se “corten” en un punto. Más correcto es hablar de intersección de rectas, es decir, buscar la existencia de puntos en común o compartidos. Diremos entonces que dos rectas son paralelas cuando no tienen puntos compartidos. Las rectas son no paralelas cuando existe un punto en común. En la parte inferior del dibujo A y B comparten al punto m, por lo tanto m pertenece a ambas rectas.

ÁNGULOS: Cuando 2 rectas se cortan entre sí quedan determinadas cuatro regiones del plano que se llaman ángulos. Las rectas pueden cortarse (en lenguaje matemático decimos intersectarse) de tal manera que los cuatro ángulos que se forman tienen exactamente el mismo tamaño. Cuando eso sucede, decimos que las rectas son “perpendiculares” y los ángulos se llaman “ángulos RECTOS”. Cuando las rectas no son perpendiculares entonces los ángulos que su intersección determina no tendrán el mismo tamaño. De los cuatro ángulos que se forman, habrá dos con mayor tamaño que el de un ángulo recto y los llamaremos “ángulos OBTUSOS”. Los otros dos tendrán tamaños menores que un recto y los llamaremos “ángulos AGUDOS”. Otra vieja costumbre matemática es nombrar a las rectas con letras mayúsculas (A, B, C, etc.), a los puntos con letras minúsculas (a, b, c, etc.) y a los ángulos con letras del alfabeto griego:

alfa) beta), gamma) (delta) épsilon), etc.

Las rectas A y B se intersectan en el punto m formando

los ángulos ro) mu) pi) y (phi ). El

punto m (el punto de intersección) se llama “vértice” de los ángulos. Las rectas A y B son sus “lados” En este dibujo, los cuatro ángulos tienen la misma abertura, por lo tanto las rectas A y B son perpendiculares y los 4 ángulos se llaman ángulos

rectos.

En este otro dibujo los cuatro ángulos no tienen la misma abertura o tamaño. Vemos que

alfa) y gamma) tienen el mismo tamaño y son mayores que un ángulo recto, son los

“ángulos OBTUSOS”.

Los ángulos (delta) y beta), también tienen el mismo tamaño entre sí, pero son

menores que un ángulo recto. Son los “ángulos AGUDOS“.

Medición de ángulos: Una muy antigua forma de medir ángulos, que se remonta a Babilonia, define a cada ángulo recto

con una medida de 90 partes llamadas grados. Así cada ángulo recto mide 90º (ese “cerito” arriba del número quiere decir “grado”). Y los cuatro ángulos forman una vuelta entera, es decir 360º. Este instrumento para medir ángulos se llama transportador. Para medir la abertura de un ángulo hay que apoyar el transportador en uno de los lados del ángulo y hacer coincidir el punto central del transportador con el vértice. El número que marcará en el arco, será la abertura del ángulo medido. Así como puede apreciarse en el esquema, el ángulo a medir mide 30º.

SEGMENTOS Un segmento es una parte o porción de recta encerrada entre dos puntos. Dichos puntos se llaman “extremos” del segmento.

El segmento se identifica por sus puntos extremos, en este caso el segmento de la recta A que tiene por extremos a los

puntos a y b. Abreviadamente decimos ab o ab segmento.

El segmento es el camino más corto para unir dos puntos sobre un plano. Ambos puntos son los extremos del segmento.

Segmentos consecutivos alineados y no alineados: Varios segmentos de la misma recta pueden tener extremos en común. Cuando eso sucede, se dice que los segmentos son “consecutivos”. La recta A tiene a los segmentos a-b y c-d. Por pertenecer a la misma recta son segmentos alineados. Pero no son consecutivos porque no tienen un extremo en común. Otra forma de ver si son o no son consecutivos es fijándose si los segmentos quedan separados por una porción de recta o quedan “pegaditos” uno contra el otro. En la segunda recta, la recta B tiene dos segmentos alineados a-b y b-c. Pero también son consecutivos: comparten un extremo, el punto b.

En este diagrama, los segmentos ab, bc y cd no están alineados pues no pertenecen a la misma recta. Pero sí son consecutivos porque entre los puntos “b” y “c” no hay puntos intermedios. Para pensar… ¿qué hubiera pasado si los segmentos se cierran sobre sí mismos, es decir los extremos inicial y final se tocan?

FIGURAS GEOMÉTRICAS Llamamos figuras geométricas a las figuras que se forman luego de cerrar una porción de plano usando segmentos consecutivos no alineados de rectas. Esta es la respuesta a la pregunta que te planteamos unos renglones más arriba… se forma una figura geométrica!

Perímetro y superficie de figuras geométricas: Las figuras geométricas tienen dos medidas que resultan de enorme importancia y define sus características. Además nos valemos de ellas en la vida real. Ellas son el perímetro y la superficie. El Perímetro La palabra perímetro proviene de una palabra griega que significa “la medida alrededor”. Es muy fácil calcular el perímetro de una figura geométrica, porque es la medida de su “contorno”, es decir la suma de la medida de sus lados. Sin importar la cantidad de lados que tenga una figura geométrica, el perímetro se calcula sumando la medida de todos los lados que la forman. Una manera de no olvidarse de sumar ninguno de los lados (sobre todo en las figuras con muchos lados), es elegir un vértice cualquiera y comenzar a “recorrer” la figura, siguiendo el sentido de las agujas del reloj hasta llegar al punto de partida. Partiendo del vértice “a”, el camino sería:

ab → bc → cd → de → ea

llegando nuevamente al punto de partida, el vértice a, asegurándonos de dar la vuelta entera. Entonces el perímetro es:

La superficie y el cálculo de áreas: Los lados de las figuras geométricas encierran una porción de plano llamada interior. El interior de una figura plana se llama superficie y puede medirse. El valor de la superficie, recibe el nombre de área de la figura.

P = L1 + L2 + L3 + L4 + L5 P = ab + bc + cd + de + ea

El cálculo de las áreas no es tan sencillo como el cálculo de los perímetros. Cada figura geométrica tiene una fórmula que permite hallar el área en cuestión.

Clasificación de figuras geométricas: Las figuras geométricas forman grandes grupos o familias de figuras, que se clasifican de acuerdo a la cantidad de lados que tengan. Algunas familias de figuras geométricas son:

NOMBRE Cantidad de lados

Ejemplos

Triángulos

3

Cuadriláteros

4

Pentágonos

5

Hexágonos

6

TRIÁNGULOS: Los triángulos son figuras geométricas que tienen 3 vértices, 3 ángulos y 3 lados. Además sus ángulos sumados miden 180º. El estudio de las propiedades de los triángulos se llama Trigonometría, y es una parte de la geometría muy antigua. Se han encontrado papiros egipcios, tablitas babilónicas y escritos chinos donde se estudian las propiedades de los triángulos. Los triángulos tienen unas características que los hacen únicos. Por ejemplo: son la primer figura geométrica que se puede formar en el plano, es decir que no hay ninguna figura geométrica con menos de 3 lados. Y también puede descomponerse cualquier figura geométrica en varios triángulos.

Partes de un triángulo: Los triángulos tienen 3 lados, 3 vértices, 3 ángulos. Y la suma de sus ángulos mide 180º. Hay una medida que nos resulta de suma utilidad que se llama altura (“h”). Es la medida del segmento que conecta el vértice superior con la base o su extensión, de forma perpendicular. Así vemos como el segmento h es la altura del triángulo abc y fue necesario extender el lado ab para que se conecte con el vértice c.

Clasificación de triángulos: Los triángulos se pueden clasificar según sus lados o según sus ángulos:

Atención: Estas dos clasificaciones pueden mezclarse, es decir, puede haber triángulos rectángulos y obtusángulos isósceles por ejemplo. De la misma manera jamás vas a tener un triángulo equilátero rectángulo ¿por qué? ¿Te animás a responder? ………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………..

Perímetro y área de triángulos: El perímetro se calcula sumando los lados del triángulo. Para hallar el área de un triángulo hay que multiplicar la base por la altura y dividirla por 2:

CUADRILÁTEROS: Son figuras geométricas con 4 lados, 4 vértices y 4 ángulos, y la suma de sus ángulos mide 360º.

En esta figura podemos ver: - los 4 vértices a, b, c y d. - los 4 segmentos, sus lados: a-b, b-c, c-d y d-a. - los 4 ángulos y Además: 360º

Cuadriláteros cóncavos y convexos: Hay dos tipos de cuadriláteros llamados cóncavos y convexos.

Clasificación de Triángulos según la longitud de sus lados

Triángulo

ESCALENO

Todos los lados de distintas

medidas

Triángulo ISÓSCELES

dos lados de igual medida

Triángulo EQUILÁTERO

Todos los lados de igual medida

Clasificación de Triángulos según la abertura de sus ángulos

Triángulo

OBTUSÁNGULO

Un ángulo OBTUSO y los demás son ángulos

agudos

Triángulo RECTÁNGULO

Un ángulo RECTO y los

demás son ángulos agudos

Triángulo

ACUTÁNGULO

Todos los ángulos son AGUDOS

¡CURIOSIDAD MATEMÁTICA!

La palabra “cuadrilátero” quiere decir “4 lados”. Siguiendo este criterio a los triángulos

(las figuras de 3 lados) las podríamos llamar triláteros. O al revés, si aceptamos al

triángulo, podríamos aceptar al cuadrángulo. ¿Vos qué opinás?

Área del triángulo= Base x Altura 2

Área= b x h 2

Para saber qué tipo de cuadrilátero es hay que fijarse si cualquier par de puntos del interior de la figura puede unirse por medio de un segmento que esté incluido completo en la figura. Si ello se puede hacer, entonces el cuadrilátero es cóncavo. Caso contrario es convexo. Por ejemplo, los cuadriláteros B, C, E y F son cóncavos, mientras que A y D son convexos. ¿Te animarías a explicar por qué lo son? (ayudita: retrocedé unas páginas y consultá la diferencia que hicimos entre línea y recta) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………… Familias de cuadriláteros cóncavos: Los cuadriláteros se clasifican formando “familias” de figuras geométricas. Se analiza las propiedades de la figura y se agrupa a las que compartan esas mismas propiedades. Familia de los paralelogramos

De todas las familias de cuadriláteros cóncavos, nosotros estudiaremos a la familia de los PARALELOGRAMOS. “Heredan” las propiedades generales de los cuadriláteros, es decir tienen 4 lados, 4 ángulos y la suma de sus ángulos es 360º. Pero tienen una propiedad adicional, que los hacen pertenecer exclusivamente a esta famila: los dos pares de lados opuestos son paralelos. (de allí deriva su nombre, ¿te das cuenta por qué?). En la figura 1 los lados opuestos a-b y c-d son paralelos entre ellos y los lados a-d y b-c también son paralelos entre ellos. Entonces sus dos pares de lados opuestos son paralelos, por lo tanto, esta figura pertenece a la familia de paralelogramos En cambio, en la figura 2 aunque los lados f-g y h-i sean opuestos y paralelos, los lados f-i y g-h que son opuestos NO son paralelos

entre ellos, por lo tanto NO pertenece a esta familia. A veces resulta difícil darse cuenta si los lados opuestos son o no son paralelos, entonces podemos ver otras características que también los hacen ser paralelogramos. En la siguiente tabla te las contamos.

Nombre Propiedades adicionales Ejemplo

RECTÁNGULO

- todos sus ángulos son rectos (de allí viene su nombre). - Los lados opuestos miden igual longitud.

ROMBO

- todos sus lados miden igual.

CUADRADO - todos sus ángulos son rectos. - todos sus lados miden igual.

PARALELOGRAMO

PROPIAMENTE DICHO

- todas las demás figuras con pares de lados opuestos para-lelos pero no son rectángulos o rombos.

¡Atención! Los cuadrados pertenecen a dos clasificaciones a la vez. Podemos pensar que son rectángulos porque tienen sus 4 ángulos rectos y, en forma simultánea, son rombos porque tienen sus 4 lados iguales!

Perímetro y área de cuadriláteros cóncavos:

El perímetro de los cuadriláteros se calcula sumando el valor de todos sus lados. Entonces tenemos:

Para hallar el área de un cuadrilátero habrá que multiplicar la medida de la base por su altura.

Recordemos que la altura es la medida del segmento que une en forma perpendicular el vértice más lejano del lado opuesto (generalmente el lado horizontal). A veces el segmento altura puede coincidir con alguno de los lados, otras veces no. Inclusive hay muchos segmentos altura, es suficiente con elegir el de mayor tamaño.

El siguiente gráfico te mostrará varios cuadriláteros con sus respectivas bases (b) y alturas (h). Aquí podemos observar en distintos paralelogramos sus bases y alturas correspondientes. El rombo permite calcular su área usando la longitud de sus diagonales, pero por ahora no trataremos ese tema.

GUIA DE EJERCICIOS: 1. Mirar atentamente los ángulos de las figuras 1 y 2 para luego tachar lo que no corresponda:

1.1 es agudo / recto / obtuso

es agudo / recto / obtuso

es agudo / recto / obtuso

es agudo / recto / obtuso

es agudo / recto / obtuso es agudo / recto /

obtuso es agudo / recto / obtuso es agudo / recto / obtuso

2. Unir con flechas la figura de cada ángulo con su definición:

¡CURIOSIDAD MATEMÁTICA!

La palabra “altura” no se escribe con la letra “hache”, entonces… ¿por qué en nuestro país representamos

a la altura con una “h” en las fórmulas? Nadie tiene la respuesta cierta a este interrogante, algunos

profesores sospechan que se debe a que a finales del siglo XIX los alumnos usaban libros franceses

para estudiar y en francés la palabra altura se escribe “hauteur”, como ves, con “h”. En esa época los

conocimientos científicos llegaban a nuestro país escritos en francés y es por ello que los

bachilleratos enseñaban idioma francés, los colegios comerciales enseñaban inglés. Te proponemos que

realices tu propia investigación y obtengas tus conclusiones.

A = base x altura

A = b x h

P = L1 + L2 + L3 + L4

3. Indicar el nombre o los nombres de las figuras, según los datos que aporta cada dibujo

(recuerda que se pueden nombrar de acuerdo a dos criterios: la longitud de sus lados y el valor de sus ángulos).

figura 3.1 figura 3.2 figura 3.3 figura 3.4 ………………………………………………………………………………………………………………………. 4. Escribir el nombre de cada triángulo y dibujarlo, según el dato que se aporte de cada uno:

Datos Nombre Dibujo

4.1.- Sus 3 lados tienen distinta longitud.

4.2.- Tiene un ángulo recto.

4.3.- Tiene dos lados que miden igual longitud.

4.4.- Tiene un ángulo obtuso y dos lados iguales.

4.5.-Todos sus ángulos son agudos y tiene sus tres lados iguales.

5. Traza un segmento y divide los siguientes cuadriláteros en dos triángulos iguales:

5.1 5.2 5.3 5.4 6. Hallar el perímetro de un triángulo isósceles cuyos lados mayores miden 15 cm y el lado

menor mide 5 cm. ……………………………………………………………………………………………………………………

7. Hallar el área de un triángulo rectángulo cuya base mide 30 m y la altura mide 50 m ……………………………………………………………………………………………………………………

8. Se desea rodear un campo cuadrado de 250 metros de lado con 3 vueltas de alambre. ¿Cuántos metros de alambre se van a necesitar? ¿Qué área queda encerrada? ………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………

Ángulo Agudo: su medida es menor a la del ángulo recto.

Ángulo recto: es el ángulo que se forma cuando dos rectas son perpendiculares. Ángulo obtuso: mide más que un ángulo recto.

9. Una cancha de fútbol (rectangular) de 90 metros de lado por 45 metros de ancho necesita que se le vuelva a pintar la línea blanca solamente a su alrededor. ¿Cuántos metros de línea se tienen que pintar? ¿Qué área tiene? ………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………

10. Tachar lo que no corresponda y justificar el por qué se contestó de esa manera:

Verdadero Falso 10.1- un triángulo rectángulo tiene todos sus ángulos menores a 90º.

....................................................................................................................... .......................................................................................................................

Verdadero Falso 10.2- un triángulo isósceles tiene solamente dos lados iguales.

....................................................................................................................... .......................................................................................................................

Verdadero Falso 10.3- un triángulo rectángulo tiene todos sus ángulos menores a 90º.

....................................................................................................................... .......................................................................................................................

11. Una persona camina por el borde de una pileta de natación rectangular, de 25 metros por 15 metros. ¿Qué distancia caminó? ¿Qué área ocupa la pileta? …………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………

12. Unos chicos quieren marcar en la plaza una canchita de fútbol 5 con piolín. La canchita tiene 4 lados, todos rectos de 10 metros los 2 más largos y 5 metros los más cortitos. ¿Cuánto piolín tienen que conseguir? …………………………………………………………………………………………

13. El monitor de cierta computadora tiene forma rectangular de 31 cm. de base y 27 cm. de altura. ¿Qué perímetro y área tendrá? ………………………………………………………………………………

14. Los abuelos de una plaza quieren pintar el perímetro de la cancha de bochas con cal. La cancha tiene que tener 3 metros de ancho y 12 metros de largo. ¿Qué perímetro y área tiene la cancha? ……………………………………………………………………………………………………………………

15. Un cartel rectangular de 2 m de base y 1m de altura, es cortado por su diagonal (el segmento que une vértices opuestos) como en la figura. Hallar el perímetro y el área del cartel. Hallar el área de cada mitad. Si queremos resolver usando la fórmula del área de un triángulo, nos daría igual el resultado obtenido. Verificalo! ……………………………………………………………………………………………………………………

16. Un papel afiche de forma rectangular de color rojo mide 90 cm. de alto y 40 cm. de ancho. Se lo corta en 4 partes iguales. ¿Qué perímetro y área tiene cada parte?

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17. Si al mismo papel del ejercicio anterior lo dividimos a la mitad, obtenemos dos triángulos. ¿Qué tipo de triángulos se obtienen? ¿Cuál es la medida de la base y la altura de ellos? ¿Qué área tiene cada triángulo? ………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………

18. La plaza del barrio tiene 200 metros de largo y 120 metros de largo. Para entrenar los chicos del equipo de fútbol le dan 5 vueltas trotando y las chicas de voley le dan 4 vueltas. ¿Qué

distancia recorren los chicos y las chicas? ……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………

19. Con un transportador medí la abertura de los siguientes ángulos:

Ángulo 19.1: ………………………. Ángulo 19.2: ………………………