GUÍA DE POLINOMIOS 2015-2

7/24/2019 GUA DE POLINOMIOS 2015-2

1/4

Universidad de TalcaInstituto de Matemtica y Fsica

1. En IR[X], descomponga en 6 factores, el polinomio

P(X) =X12 1

2. El polinomio P(X) =X4

1, descompongalo en:

(a) Un factor de grado 1 y un factor grado 3

(b) En dos factores de grado 2

(c) En sus factores irreducible en C[X]

(d) Encuentre sus factores propios monicos en IR[X]

3. Dado aIR, descomponga X6 a6 como producto de factoresirreducibles en C[X]

4. Descomponga en sus factores irreducibles el polinomio P(X) =X8 1i) en IR[X]; ii) en Q[X]

5. El polinomio P(X) = X6 + 1, descompongalo en IR[X] en unfactor de grado 2 y un factor de grado 4.

6. Demuestre que el polinomio

P(X) = (2a b)X2 + 4a2(bX) +b2(X 2a)

es divisible por D1(X) =X 2a y D2(X) =X b.

7. Calcule el producto P(X) = (X3 +X2 1)(X2 X+ 1). Digaen que se convierte este desarrollo si cambiamos Xpor X. De-duzca la descomposicion deR(X) =X5 +X+ 1 en un productode dos factores.

8. Encuentre un polinomioP(X) con coeficientes enteros, del menorgrado posible, tal que P(

2 +

3) = 0

GUA DE POLINOMIOS


2/4

9. Determinar el cuociente y el resto al dividir el polinomio :i) 2X4 3X3 + 4X2 5X+ 6 por X2 3X+ 1ii)X5 X4 + 1 por 2X3 2Xiii)4X3 +X2 por X+ 1

2

10. Al dividir el polinomio aX4 2X3 + bX2 18X+ apor X 1,el resto es 3 y el cuociente es un polinomio que toma el valor 33

para X= 2. Calcular a y b.

11. En IR[X] encuentre:

(a) Un polinomio de grado 3 que tenga por races 1 + i, 1 i, 2(b) Un polinomio que tenga por races 1, 0, 1 2i(c) Un polinomio que tenga por races 2 y 3 y que deje resto 4

al ser dividido por R(X) =X 4

12. Sabiendo que 2i es raz del polinomio

P(X) =X5 3X4 + 2X3 6X2 8X+ 24

encuentre las otras races.

13. Encuentre las condiciones que deben cumplira y bpara que

P(X) =X3 + 3aX+ b

tenga:

(a) Una raz de multiplicidad dos

(b) Una raz triple

14. Dos de las races de P(X) =X4 2(a2 + b2)X2 + (a2 b2)2 son(a+b) y (a b).Encuentre las otras dos

15. Dado a IR, demuestre que P(X) = X4 +aX2 + 1 no puedetener una raz triple.

16. Encuentre un polinomio P(X) en C[X], IR[X] o Q[X], de grado3, cuyas races sean , + 1 y 2y tal que el coeficiente de X2

sea 3. Ademas determine .


3/4

17. Encuentre todas las races en C del polinomio X6 +X4 +X2 + 1.

18. Factorice en IR[X] y en C[X] los polinomios

(a) P(X) =X4 + 2X2 8

(b) Q(X) =X4

+X3

+X2

+X(c) R(X) = X3 X2 7X+ 15, sabiendo que admite a 2 +i

como raz).

19. Exprese en la forma a+ bi las races de P(X) = X4 + 4 y deQ(X) =X2 +i

20. Considere los polinomiosP(X) =X2 4X+ 5 y Q(X) =X3(1 + 2i)X2 3X+ 2i 1

(a) Encuentre los numeros complejos que son races del poli-nomio P(X)

(b) Pruebe que el polinomioQ(X) tiene una raz comun conel polinomioP(X). Determine

(c) DividaQ(X) por D(X) =X (d) DescompongaQ(X) en factores de grado 1

(e) DetermineR(X) C[X], de grado minimal que sea multiplocomun deP(X) y del polinomioS(X) =X3(1+2i)X23X+a. Discuta los valores de a. Es unico este polinomio

R(X)?

21. Descomponga en C[X],los siguientes polinomios a) X61; b)X4 + 16; c) X4 2; d) X8 1; e) X12 + 1

22. Determine los valores de para que las ecuaciones siguientestengan al menos una raz doble :

(a) x3 3x+= 0(b) x3

8x2 + (13

)x

62= 0

(c) x4 4x3 + (2 )x2 + 2x 2 = 0y resuelva cada una de estas ecuaciones con las condicionesencontradas


4/4

23. Resuelva la ecuacion 24x3 14x2 63x+ 45 = 0, sabiendo queuna raz es el doble de la otra

24. Resuelva la ecuacionx416x3 +86x2176x+105 = 0, sabiendoque 1 y 7 son races

25. Resuelva la ecuacion 4x3 + 16x2 9x 36 = 0,sabiendo que lasuma de dos de sus races es cero.

26. Resuelva la ecuacion 4x3 + 20x2 23x+ 6 = 0, sabiendo quetiene dos races iguales

27. Descomponer en fracciones parciales, las siguientes funcionesracionales

a)

2z3 +z+ 1

z 1 ; b) 2z+ 1

(z 1)(z+ 2)c) z2 + 1

(z 1)3 d) z2 z+ 2z4 5z2 + 4

e) z2

(z2 + 1) g)

3z3 + 4

z2 + 3z+ 2

h) 1

z2 + 1 i)

1

(z2 + 1)

j) 1

z2 + 4 k)

4z3 2z2 +z+ 1(z 2)(z+ 1)3

l) z2 z+ 4

(z 1)(z2

+ 2z+ 2)2 m)

7z3 + 20x2 + 35z 13

z2

(z2 4z+ 1)

Documents

GUÍA DE POLINOMIOS 2015-2