Laboratorio de Control Ingeniera Electrnica - UNSAAC Ing. Alex Jhon Quispe Mescco

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PRACTICA N 2

ANLISIS DE RESPUESTA EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA Y ANALISIS DEL LUGAR GEOMTRICO DE LAS RAICES USANDO EL SISOTOOL

OBJETIVO

Utilizar la tcnica de Respuesta en el Dominio de la Frecuencia para el anlisis y diseo de sistemas de control en lazo cerrado. La respuesta de estos sistemas nos permite analizar la estabilidad relativa y absoluta de los modelos lineales.

Analizar la respuesta transitoria de sistemas de control mediante el mtodo del LGR. Analizar la relacin entre la ubicacin de polos, ceros y ganancias con la respuesta transitoria de

sistemas de control.

Familiarizarse con la herramienta SISOTOOL del Matlab

FUNDAMENTO TEORICO

RESPUESTA EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

El anlisis de un sistema en base a su respuesta en el tiempo, para ciertos casos se vuelve complejo. Como alternativa puede utilizarse el anlisis en base a la respuesta de frecuencia. Para el anlisis de sistemas de control en el dominio de la frecuencia se requiere el conocimiento de su respuesta en frecuencia que puede ser obtenida experimentalmente o partiendo de su funcin de transferencia. Para un sistema de lazo cerrado la funcin de transferencia est dada por:

Y descrita en el dominio de la frecuencia w, ( s = jw ), toma la siguiente forma:

Donde M (jw) se expresa mediante amplitud y fase, definidas por:

El estudio de un sistema de control en el dominio de la frecuencia involucra esencialmente la evaluacin de las grficas de Nyquist y de Bode del sistema e lazo abierto y cerrado. El anlisis en el dominio de la frecuencia es til cuando el sistema es de orden superior y el anlisis en el dominio del tiempo puede resultar complejo.

Para el anlisis en frecuencia se pueden usar mtodos grficos como: bode, polar o Nyquist y nichols

TRAZA DE NYQUIST

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Es una grfica L(jw) = G(jw) . H(jw) en coordenadas polares de la parte imaginaria de L(jw) contra la parte real de L(jw).

La estabilidad critica de un sistema se produce cuando su traza de Nyquist pasa por el punto (-1, 0j).

TRAZA DE BODE

Las trazas de Bode la funcin G(jw) se componen de dos grficas, una con su amplitud en decibeles (dB) vs log(w) w; y la otra con la fase de G(jw) en grados como una funcin de log(w) w.

CARACTERISTICAS DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA

Margen de Fase

Es el ngulo en grados que la Traza de Nyquist L(jw) se debe rotar alrededor del origen, para que el cruce de ganancia pase por el punto crtico (-1,0j) para que el sistema se vuelva inestable.

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Para determinar el margen de fase usando la traza de Bode se debe emplear el sistema en lazo abierto.

Margen de Ganancia

Es la cantidad de ganancia en decibeles (dB) que se puede aadir al lazo antes de que el sistema en lazo cerrado se vuelva inestable.

El margen de ganancia se emplea para indicar al cercana de la interseccin del eje real negativo hecho por la traza de Nyquist L(j) al punto de estabilidad crtica (-1,j0).

El margen de ganancia puede medirse en la traza de Bode de la amplitud de G(j) en lazo abierto.

Margen de Resonancia

La magnitud de Mr da indicacin de una estabilidad relativa de un sistema en lazo cerrado F(j). Normalmente, un valor grande de Mr corresponde a un sobreimpulso grande en la respuesta temporal. El valor deseado para Mr puede estar entre 1.1 y 1.5. El valor de Mr puede medirse en la traza de Bode del sistema en lazo cerrado. Ancho de banda (AB) El ancho de banda es el rango de frecuencia en el cual la magnitud de F(j) no cae por debajo del 70.7% o 3 dB del valor en la frecuencia cero. El valor del ancho de banda puede medirse en la traza de Bode del sistema en lazo cerrado.

ANALISIS EN EL LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES Las propiedades transitorias de un sistema dependen de los polos de la funcin de transferencia en lazo cerrado. Es por ello que el estudio de las trayectorias que siguen las races de la ecuacin caracterstica es importante en sistemas de control lineales, emplendose para ello el mtodo del lugar geomtrico de las races LGR.

El anlisis de un sistema empleando el LGR se traduce en ubicar los polos y ceros de la funcin de transferencia en lazo abierto sobre el plano s y a partir de estos determinar la trayectoria que seguiran los polos en lazo cerrado cuando uno o ms parmetros Ki varan, siendo generalmente la ganancia K del sistema la que vara. Las especificaciones del sistema en este caso estn dadas mediante la ubicacin de

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polos deseados en lazo cerrado en el LGR, obtenidos a partir de las condiciones de mximo sobreimpulso y tiempo de establecimiento.

Los diagramas del lugar geomtrico de las races permiten determinar el rango de valores del parmetro variable para los cuales el sistema es estable. Sin embargo, se debe tener en cuenta que las races de la ecuacin caracterstica dan una indicacin exacta de la estabilidad absoluta de sistemas lineales, pero dan slo informacin cualitativa sobre la estabilidad relativa, ya que los ceros de la funcin de transferencia en lazo cerrado, si existen, tambin juegan un papel importante en el desempeo dinmico del sistema.

Al analizar un sistema mediante el LGR se debe tener en cuenta las siguientes caractersticas:

Condicin de ngulo.- se emplea para determinar las trayectorias del lugar geomtrico de las races en el plano s.

)i()s(H).s(G 12 += K 0

Condicin de magnitud.- empleada para determinar los valores del parmetro variable K una vez que se ha dibujado el lugar geomtrico de las races. 1

sds=

=)s(H).s(G - < K <

La porcin del LGR ubicado en el semiplano derecho de s corresponde a los valores de K, para los cuales el sistema es inestable. Los puntos sobre el lugar geomtrico de las races donde K = son los ceros de G(s)H(s); y, donde K = 0 son los polos de G(s)H(s). COMANDOS DE MATLAB step Respuesta al paso de un sistema LTI. bode Respuesta de frecuencia de un sistema LTI. margin Devuelve los mrgenes de fase y de ganancia de un sistema. rlocus Devuelve el grfico del lugar geomtrico de las races del sistema. lsim Permite observar la respuesta de un sistema a una entrada arbitraria. nichols Diagrama de Nichols nyquist Diagrama de Nyquist ngrid Grilla en el diagrama de Nyquist sisotool Permite usar una interfaz grfica para el anlisis y diseo de sistemas y compensadores. ltiview Abre una ventana que permite observar diferentes tipos de repuesta de un sistema LTI TRABAJO PREPARATORIO

1. Realizar el diagrama de Bode a lazo abierto y lazo cerrado del sistema (para K = 1)

Determinar las caractersticas de respuesta de frecuencia: margen de fase, margen de ganancia, margen de resonancia y ancho de banda (tabular los datos).

A partir del diagrama de bode determine el error en estado estable del sistema, compruebe el valor usando la definicin de error.

2. Para el sistema de la figura, dibuje el diagrama de Nyquist en lazo abierto y determine los

mrgenes de estabilidad.

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3. Trazar el lugar de races a escala del siguiente sistema:

)5)(2()(

++=

sssKsG

; H=1 a. Singularidades a lazo abierto b. Lugar de races sobre el eje real c. Asntotas: cantidad, ngulos y punto de cruce de las asntotas sobre el eje real

(centroide) d. Puntos de ruptura. e. ngulo de partida y de llegada de las singularidades complejas de bucle abierto (si

existen). f. Lugar de cruce sobre el eje imaginario g. K crtico h. Encontrar K para =0,5.

i.

TRABAJO PRCTICO

1. Para el literal 2 obtenga en el M A T L A B, los diagramas de Bode, Nyquist y Nichols; ubique los parmetros de importancia y analice la estabilidad del sistema.

2. Considere el sistema:

Realizar el anlisis de frecuencia del sistema G p Realizar el anlisis de frecuencia del sistema G c .G p

3. Usando el SISOTOOL, determine los valores de la ganancia K, las caractersticas de la respuesta

en frecuencia y la respuesta paso para el ejercicio 1 del trabajo preparatorio, para los siguientes casos:

Margen de ganancia MG = 0 d B Margen de fase MF = 6 5 Margen de ganancia MG = 2 0 d B Mximo de resonancia Mr = 3 d B

4. Utilizando el SISOTOOL, encontrar el LGR del siguiente sistema y llenar la siguiente tabla.

)5)(1()(

++=

ssKsG

, H=1

K S1 S2 S2/S1 n aprox. MP (%)

Ts Ess(%)

0.5

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1.7 4.85 15 100

5. Halle el LRG del siguiente sistema:

)53()( 2 ++=

sssKsG , H=1

Llene la siguiente tabla K S1 S2 S3/S1 n aprox. MP

(%) Ts Ess(%)

0.5 3.2 7.5 8.5 Kc

INFORME

Obtenga las caractersticas de respuesta de frecuencia para los valores de coeficiente de amortiguamiento 0.3, 0.7 y 1 del siguiente sistema para Wn = 2, analticamente y compruebe sus resultados usando el SISOTOOL de Matlab, mostrar grficamente los parmetros y tabularlos. Adems encontrar el LGR usando Matlab